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解析法巧解中考数学压轴题

解析法巧解中考压轴题

在平面几何题中,适当的建立直角坐标系,利用代数的方法解决几何问题,即解析法,有时会显得更简洁高效.现以近年中考压轴题为例,分析说明解析法之妙.例1 (2013泰州)如图1,在矩形ABCD中,点P在边CD上,且与C、D不重合,过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q,连结PQ,M为PQ中点.

解析法巧解中考数学压轴题

解析法巧解中考数学压轴题

若AD=10,AB=a,DP=8,随着a的大小的变化,点M的位置也在变化.当点M 落在矩形ABCD外部时,求a的取值范围.

分析本题将矩形、三角形、动点、参数相结合,考察学生利用相似解决问题的综合能力,难度较大,区分度高,按照参考答案给出的解题思路,如图2所示,当点M落在矩形ABCD外部时,须满足的条件是“BE>MN”.分别求出BE与MN的表达式,列不等式求解,即可求出a的取值范围.

由△ADP∽△ABQ,解得QB=4

5 a.

由△QBE∽△QCP,同样由比例关系得出BE=

() 28 225

a a

a

-

+

又因为MN为QCP的中位线,得出

MN=1

2

PC=

1

2

(a-8).

再由BE>MN,

()

28

225

a a

a

-

+

()

1

8

2

a

>-

得出a> 12.5.

当点M落在矩形ABCD外部时,a的取值范围为a>12.5.

这种解法不仅要想到添加辅助线,还两次运用了相似比,计算量大,易出错.比较稳妥而简洁的做法是将图形放进直角坐标系中,利用数形结合的方法来解决此类问题.

一如何建立合适、恰当的坐标系呢?通常需要考虑以下两点:

第一,让尽可能多的点落在直角坐标系上,这些点的坐标含有数字O,可以起到简化运算的功效;

第二,考虑图形的对称性,同样,也能起到简化运算的作用.

解答如图3所示,建立以B点为原点,BC方向为x轴正半轴,BA方向为y轴正

半轴的直角坐标系.

则A(0,a),P(0,a-8).

直线AP的斜率为k AP=-4

5

∴直线AQ为y=5

4

x+a,

直线AQ与x轴交于点Q,

∴Q(-4

5

a,0).

又M为线段QP上的中点,

∴M(5-2

5

a,

2

a

-4).

因为M点落在矩形ABCD的外部,所以M点在第二象限,

3

50

5

40

2

a

a

?

-<

??

?

?->

??

解得a>12.5.

这样,通过建立合适的直角坐标系,使图形上各点得到确定,让问题变得清晰明了,避免了运用相似而产生的复杂计算.

例2(2014连云港)某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究,已知AB=8.问题思考:

如图4,点P为线段AB上的一个动点,分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF.

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解析法巧解中考数学压轴题

(1)分别连结AD、DF、AF,AF交DP于点K,当点P运动时,在△APK、△ADK、△DFK中,是否存在两个面积始终相等的三角形?请说明理由.

问题拓展:

(2)如图5,在“问题思考”中,若点M、N是线段AB上的两点,且AM=BN=1,点G、H分别是边CD、EF的中点,请写出点P从M到N的运动过程中,GH的中点D 所经过的路径的长

(3)在第二问的情况下,求OM+OB的最小值.

分析这是一道关于正方形的综合题,难度较大,解题难点在于分析动点的运动轨迹,需要很好的空间想象能力和作图分析能力;此外本题还综合考查了二次函数、

解析法巧解中考数学压轴题

整式的运算、

四边形、中位线、相似、轴对称与勾股定理等众多知识点.但是,如果我们建立直角坐标系,用解析几何的方法就可以避开相似,省去很多不必要的麻烦.在第(1)问根据点的坐标,

求得PK=a

2

8

a

-,进而求得DK=PD-PK=

2

8

a

,然后根据面积公式即可求得,第(2)(3)

问涉及点的运动轨迹,GH中点O的运动路径是与AB平行且距离为3的线段XY上,如图6所示;然后利用轴对称的性质,求出OM+OB的最小值.

解答(1)如图6所示,以A点为原点,AB方向

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为x轴正半轴,AC方向为y轴正半轴,建立直角坐标系.

设AP=a.

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又P在M到N之间运动,

∴1≤a≤7.

∴a经过的路径是一条与AB平行的线段,长为3.

(3)如图7所示,作点M关于直线XY的对称点M',连结BM'.

由轴对称性质可知,M'(1,8),

由两点之间线段最短可知,此时OM+OB=BM'最小,

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而BM'=

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∴OM+DB的最小值为

综上所述,在以特殊图形为基础几何问题中,不要因变化多端的条件而搞乱思路,可以尝试用解析几何的方法去应对,有可能达到化繁为简的效果.

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