2019 中考数学压轴题解析 45
、选择题
1．（2017四川省乐山市，第 9题，3 分）已知二次函数 y x 2mx
（m 为常数），当﹣1≤x ≤2
时， 函数值 y 的最小值为﹣ 2，则 m 的值是（ ）
【答案】 D ．
【分析】将二次函数配方成顶点式，分 结合二次函数的性质求解可得．
点睛：本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键． 考点：二次函数的最值；最值问题；分类讨论；综合题．
3），过点 A 作 x 轴的平行线，分别交两条抛物线于 B ．C 两点，且 D 、E 分别为顶
点．则下列结论：
2
①a= 3 ；②AC=AE ；③△ ABD 是等腰直角三角形； ④当 x >1时， y
1 y
2
.其中正确结论的个
数是 （ ）
【分析】把点 A 坐标代入 y2，求出 a 的值，即可得到函数解析式；令 y=3，求出 A 、B 、C 的横坐标， 然后求出 BD 、AD 的长，利用勾股定理的逆定理以及结合二次函数图象分析得出答案．
2 a=3
，故①正确；
A ． 2
B ． 2 3
C ． 2 或 2
3
D ． 2 或 2
m <﹣1、m >2和﹣1≤m ≤2三种情况，根据 y 的最小值为﹣ 2， 2．（ 2017四川省宜宾市， 第 8 题，3 分）如图，抛物线 12
y 1 21(x 1)2 1 与
y 2 2
a （x 4） 3
交于点 A （1，
C ．3个
D ． 4 个
解析】∵抛物线 y 1
1
(x 1)2
1
2
与
y 2
2
a （x 4）
2 3
交于点 A （1， 3）， ∴3=a （1﹣4）2﹣3，解得：
答案】
∵E 是抛物线的顶点，∴ AE=EC ，∴无法得出 AC=AE ，故②错误；
1
(x 1)2
1 当 y=3时，3=2
，解得：x1=1，x2=﹣3，故B (﹣3，3)，D (﹣1，1)，则 AB=4，AD=BD=2 2
，
∴AD2+BD2=AB ，2∴③△ ABD 是等腰直角三角形，正确；
1 2 2 2
(x 1)2 1 (x 4) 2
3 ∵ 2 =3
时，解得： x1=1，x2=37，∴当 37>x >1 时，y1>y2，故④错误．
故选 B ．
点睛：本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量 的值．
考点：二次函数的性质；二次函数的图象；等腰直角三角形；综合题．
22
3．( 2017四川省泸州市，第 10题，3分)已知 m ，n 是关于 x 的一元二次方程
x 2 2tx t 2 2t 4 0
的 两实数根，则
(m 2)(n 2)
的最小值是( ) A ．7 B ．11 C ． 12
D ．16
【答案】 D ．
【分析 】利用根与系数的关系可知： m+n=2t ，mn=t 2
2t 4，则
(m 2)(n 2)=mn 2(m n) 4
2
=t 2
2t 4 2 2t 4
，此题还需考虑有实数根时 t 的取值范围，所以利用根的判别式求出 t 的取值
范 围，再利用二次函数的性质综合考虑求最小值则可．
22 【解析】∵△ =(2t ) 2﹣4( t 2t 4
)≥0，∴t ≥2，又∵ m+n=2t ，mn=t 2t 4
，∴
2
(m 2)(n 2)=mn 2(m n) 4 = t 2 2t 4 2 2t 4=t 2 2t 8=(t 1) 7 ，根据二次函数的性质， t
≥-1 时，函数值随 t 的增大而增大，∵ t ≥2，∴当 t=2 时，
(m 2)(n 2)
的值最小，此时
2
(m 2)(n 2)
=(2 1) 7 =16，即最小值为 16．故选 D ．
点睛：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．注意还需考虑有实数根时 最易漏掉的条件．解此类题目要把代数式变形为两根之积或两根之和的形式．
考点：二次函数的性质；最值问题；二次函数的最值；根与系数的关系；综合题．
4．(2017 四川省绵阳市，第 12 题， 3 分)如图所示，将形状、大小完全相同的“?”和线段按照一 定规律摆成下列图形，第 1幅图形中“?”的个数为 a1，第 2幅图形中“?”的个数为 a2，第 3幅
t 的取值范围，这是本题
图形中“?”的个数为11 11
a3，?，以此类推，则a1a2 a3 a19的值为( )
20 61 589
A．21 B．84 C．840 【答C．
421 D．760
分析】首先根据图形中“?”的个数得出数字变化规律，进而求出即可．
解析】a1=3=1× 3，a2=8=2× 4，a3=15=3× 5，a4=24=4× 6，?，an=n（n+2）；
1 a
1 1
a
2
11
a
3
a
19
1 1 1 1 =1 3 1
19 21
1
=2
1
(1
3
1111 11 1 1 1 1
19 21)=2(1
1 1
）
589
2 20 21） = 840 ，故选C．找出图形之间的
联系，找出规律解决问题．
. 科. 网
12
1
x
2x 0 y x 3 x0 5．（2017四川省达州市，第10题，3分）已知函数x的图象如图所示，点P是y 轴负半
轴上一动点，过点P作y 轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、OB．下列结论：
①若点M1（x1，y1），M2（x2，y2）在图象上，且x1< x2<0，则y1 ②当点P坐标为（0，﹣3）时，△ AOB是等腰三角形； ③无论点P 在什么位置，始终有S△AOB=7.5，AP=4BP； ④当点P移动到使∠ AOB=9°0 时，点A的坐标为（ 2 6，6）． 其中正确的结论个数为（ 2435 46 点睛：此题考查图形的变化规律， 考点：规律型：图形的变化类；综 C．3 D．4 因为x1 y1>y2； 12 ③正确． 3 12 3 设P（0，m），则B（m，m），A（﹣m，m），可得PB=﹣m，PA=﹣m，推出 ， 3 12 △OPB+S△OPA=2 2 =7.5 ； 3 12 3 12 ④正确．设P（0，m），则B（m，m），A（﹣m，m），推出PB=﹣m，PA=﹣m，OP=﹣m，由△OPB ∽△ APO，可得OP2=PB?P，A列出方程即可解决问题； 【解析】①错误．∵ x1< x2< 0，函数y 随x 是增大而减小，∴ y1>y2，故①错误． ②正确．∵ P（0，﹣3），∴ B（﹣1，﹣3），A（4，﹣3），∴ AB=5，OA= 3 4=5，∴AB=AO，∴△ AOB 是等腰三角形，故②正确． 3 12 3 12 ③正确．设P（0，m），则B（m，m），A（﹣m，m），∴PB=﹣m，PA=﹣m，∴ PA=4PB，【答 案】 【分 C． ①错 误． 求出 3 12 △OPB+S△OPA=2 2 =7.5 ，故③正 确． 3 12 3 12 ④正确．设P（0，m），则B（m，m），A（﹣m，m），∴PB=﹣m，PA=﹣m，OP=﹣m，∵∠ AOB=9°0 ，∠ OPB=∠OPA=9°0 ，∴∠ BOP+∠AOP=9°0 ，∠ AOP+∠OPA=9°0 ，∴∠ BOP=∠OAP，∴△ OPB∽△ APO， OP PB 3 12 ∴ AP OP ，∴OP2=PB?P，A∴m2=﹣m ?（﹣m ），∴m4=36，∵m<0，∴m=﹣6，∴A（2 6，﹣6），故④正确，∴②③④正确，故选C． 点睛：本题考查反比例函数综合题、等腰三角形的判定、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 考点：反比例函数综合题；综合题．6．（2017 临沂，第11 题，3 分）将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的 个数，若n个图形中”的个数78，则n 的值是（） A．11 B．1C．13 【答案】 【分析】根据小圆个数变化规律进而表示出第n 个图形中小圆的个数，进而得出答案．【解析】第 1 个图形有 1 个小圆；第 2 个图形有1+2=3 个小圆；第 3 个图形有1+2+3=6 个小圆；第 4 个图形有1+2+3+4=10个小圆； n（n 1） 第n 个图形有1+2+3+?+n= 2个小圆； n（n 1） ∵第n个图形中“○”的个数是78，∴78= 2，解得：n1=12，n2=﹣13（不合题意舍去），故选B．点睛：此题主要考查了图形变化类，正确得出小圆个数变化规律是解题关键．考点：规律型：图形的变化类；综合题． 7．（2017 临沂，第11 题，3 分）将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的 个数，若n个图形中”的个数78，则n 的值是（） A．11 B．1 2 C．13 【答案】 【分析】根据小圆个数变化规律进而表示出第n 个图形中小圆的个数，进而得出答 案．【解析】第 1 个图形有 1 个小圆；第 2 个图形有1+2=3 个小圆； 第 3 个图形有 1+2+3=6 个小圆； 第 4 个图形有 1+2+3+4=10个小圆； n （ n 1） 第 n 个图形有 1+2+3+? +n= 2 个小圆； n （n 1） ∵第 n 个图形中“○”的个数是 78，∴78= 2 ，解得：n1=12，n2=﹣13（不合题意舍 去），故选 B ． 点睛：此题主要考查了图形变化类，正确得出小圆个数变化规律是解题关键． 考点：规律型：图形的变化类；综合题． 8．（2017南宁，第 12题， 3分）如图，垂直于 x 轴的直线 AB 分别与抛物线 C 1 ： y x （x ≥0）和抛 2 x y 物线C 2： 4（x ≥0）交于 A ，B 两点，过点 A 作CD ∥x 轴分别与 y 轴和抛物线 C2交于 点 C ，D ， S OFE 过点B 作EF ∥x 轴分别与 y 轴和抛物线 C1交于点 E ，F ，则 S EAD 的值为（ ） 1 a 标为 4 ，∵点 F 是抛物线 y x 上的点，∴点 F 横坐标为 x= y =2 ，∵ CD ∥x 轴，∴点 D 纵坐标为 3 2 1 2 aa =2a ，∴ AD=a ，BF=2 ，CE=4 ，OE=4 ， 点睛：本题考查了抛物线上点的计算，考查了三角形面积的计算，本题中求得点 E 、F 、D 2 2 1 1 A ． 6 B ． 4 C ． 4 D ． 6 【答案】 D ． 【分析】可以A 、 B 横坐标a ，易求得E 、F 、D 的坐标，即可求得 OE 、CE 、AD 、 BF 的 可解题． 2 a 2 【解析】设点 A 、B 横坐标为 a ，则点 A 纵坐标为 a 2 ，点 B 的纵坐标为 4 ，∵ BE ∥x a 2 ，∵点D 是抛物线 y 2 x 4 上的点，∴点 D 横坐标为 x= 1 B F O E 2 S OFE 1 141 = 8 3=6 ，故选 的坐标是解 题的关键． 考点：二次函数图象上点的坐标特征；综合题． 2 9．（2017浙江省嘉兴市，第 10 题，3 分）下列关于函数 y x 6x 10 的四个命题： ①当 x=0时， y 有最小值 10； ② n 为任意实数， x=3+n 时的函数值大于 x=3﹣n 时的函数值； ③若n >3，且n 是整数，当 n ≤x ≤n+1时，y 的整数值有（ 2n ﹣4）个； ④若函数图象过点（ a ，y0）和（ b ，y0+1），其中 a >0， b > 0，则 a 【答案】 C ． 【分析】分别根据二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标公式及抛物线的增减性对各选项 进行逐一分析． 22 【解析】∵ y x 2 6x 10 =（x 3） 2 1 ，∴当 x=3 时，y 有最小值 1，故①错误； 当 x=3+n 时，y=（3+n ）2﹣6（3+n ）+10，当 x=3﹣n 时，y=（n ﹣3）2﹣6（n ﹣3）+10，∵（ 3+n ）2 ﹣6（3+n ）+10﹣[ （n ﹣3） 2﹣6（ n ﹣ 3） +10]=0 ，∴ n 为任意实数， x=3+n 时的函数值等于 x=3﹣n 时 的函数值，故②错误； 2 ∵抛物线 y x 6x 10 的对称轴为 x=3，a=1>0，∴当 x >3时，y 随x 的增大而增大，当 x=n+1时， y=（n+1）2﹣6（n+1）+10，当 x=n 时，y=n2﹣6n+10，（n+1）2﹣6（n+1）+10﹣[n2﹣6n+10]=2n ﹣5， ∵n 是整数，∴ 2n ﹣5 是整数，故③正确； 2 ∵抛物线 y x 6x 10 的对称轴为 x=3，1>0，∴当 x >3时，y 随 x 的增大而增大， x <0时，y 随 x 的增大而减小，∵ y0+1>y0，∴当 0b ，当 a >3，b >3 时， a < b ，当 03 时， a 3 时， a 考点：命题与定理；二次函数的性质；综合题． 10．（2017湖北省咸宁市，第 8 题，3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，将一块含有 45°角的直角三角 板如图放置，直角顶点 C 的坐标为（ 1，0），顶点 A 的坐标为（ 0，2），顶点 B 恰好落在第一象限的双 x 轴正方向平移，当顶点 A 恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点 ） 【答案】 C ． 【分析】过点 B 作 BD ⊥x 轴于点 D ，易证△ ACO ≌△ BCD （AAS ），从而可求出 B 的坐标，进而可求出反 比例函数的解析式，根据解析式与 A 的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出 C 的对应点． 【解析】过点B 作BD ⊥x 轴于点 D ， ∵∠ACO+∠BCD=90°，∠OACA+CO=9°0，∴∠OAC=∠BCD ，在△ACO 与△ BCD 中，∵∠ OAC ∠= BCD ，∠AOC=∠BDC ，AC=BC ，∴△ACO ≌△BCD （AAS ），∴OC=B ，DOA=C ，D ∵A k 0，2），C （1，0），∴OD=3，BD=1，∴B （3，1），∴设反比例函数的解析式为 y x ，将 A ．（ 2 ，0） B ．（2，0） C ．（ 2 ，0） D ．（3，0） 曲线上，现将直角三角 3 点睛：本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移 的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移；综合题． 11．（2017湖北省恩施州，第 12 题，3分）如图，在平面直角坐标系中 2条直线为 l1 ：y=﹣3x+3，l2 ： y=﹣3x+9，直线 l1 交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B ，直线 l2 交 x 轴于点 D ，过点 B 作 x 轴的平行线交 2 l2 于点 C ，点 A 、E 关于 y 轴对称，抛物线 y=ax +bx+c 过 E 、B 、C 三点，下列判断中： ① a ﹣b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线 x=1 对称；④抛物线过点（ b ，c ）；⑤S 四边形 ABCD=，5 【答案】 C ． 【分析】根据直线 l1 的解析式求出 A （1，0）， B （0，3），根据关于 y 轴对称的两点坐标特征求出 E （﹣ 1， 0）．根据平行于 x 轴的直线上任意两点纵坐标相同得出 C 点纵坐标与 B 点纵坐标相同都是 3， 再根据二次函数图象上点的坐标特征求出 C （2，3）．利用待定系数法求出抛物线的解析式为 y=﹣ x2+2x+3，进而判断各选项即可． B （3， k 3 3 y y y 1）代入 x ，∴ k=3，∴ x ，∴把 y=2代入 x ∴x=2 ，当顶点 A 恰好落在该双曲线 上时， 33 此时点 A 移动了 2个单位长度，∴ C 也移动了 2 个单位长度，此时点 C 的对应点 5 2 ， 0）．故选 C ．3 D ．2 ①∵抛物线y=ax2+bx+c过E（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，故①正确；②∵a=﹣1，b=2，c=3， ∴2a+b+c=﹣2+2+3=3≠5，故②错误； ③∵抛物线过B（0，3），C（2，3）两点，∴对称轴是直线x=1，∴抛物线关于直线x=1 对称，故③ 正确； ④∵ b=2，c=3，抛物线过C（2，3）点，∴抛物线过点（b，c），故④正确； ⑤∵直线l1 ∥l2 ，即AB∥CD，又BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴ S四边形ABCD=BC?OB=2 ×3=6≠5，故⑤错误． 综上可知，正确的结论有 3 个． 故选C． 点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，关于 y 轴对称的两点坐标特征，平行于x 轴的直线上任意两点坐标特征，待定系数法求抛物线的解析式，平行四边形的判定及面积公式，综合性较强，求出抛物线的解析式是解题的关键． 考点：抛物线与x 轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；关于x 轴、y 轴对称的点的坐标；综合题． 2 12．（2017湖北省荆州市，第10题，3分）规定：如果关于x 的一元二次方程ax2 bx c 0 （a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的 2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论： 2 ①方程x2 2x 8 0 是倍根方程； 2 ②若关于x的方程x2 ax 2 0是倍根方程，则a=±3；22 ③若关于x的方程ax2 6ax c 0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y ax 6ax c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）； 4 y2 ④若点（m，n）在反比例函数x的图象上，则关于x的方程mx2 5x n 0是倍根方程． 上述结论中正确的有（） A．①② B．③④C．②③D．②④ 【答案】C． 【分析】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断； ②设x2=2x1，得到x1x2=2x12=2，得到当x1=1 时，x2=2，当x1=﹣ 1 时，x2=﹣2，于 是得到结论；③根据“倍根方程”的定义即可得到结论； 4 y2 ④若点（m，n）在反比例函数x 的图象上，得到mn=4，然后解方程mx2 5x n 0 即可得到正确 的结论； 2 【解析】①由x2 2x 8 0，得（x+4）（x-2 ）=0，解得x1=-4 ，x2=2，∵ x1≠2x2，或 x2≠2x1，∴ 2 方程x 2x 8 0不是倍根方程．故①错误； 2 ②关于x 的方程x2 ax 2 0是倍根方程，∴设x2=2x1，∴x1x2=2x12=2，∴x1=±1，当x1=1时，x2=2，当x1=﹣1 时，x2=﹣2，∴ x1+x2=﹣a=±3，∴ a=±3，故②正确； 22 ③关于x 的方程ax2 6ax c 0（a≠0）是倍根方程，∴ x2=2x1，∵抛物线y ax 6ax c的对称轴 是直线x=3，∴抛物线y ax 6ax c与x 轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），故③正确； 4 2 8 y2 ④∵点（m，n）在反比例函数x 的图象上，∴ mn=4，解mx 5x n 0得x1=﹣m ，x2=﹣m，∴ 2 x2=4x1，∴关于x 的方程mx2 5x n 0 不是倍根方程； 故选C．点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，正确的理解倍根方程的定义是解题的关键． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征；根的判别式；根与系数的关系；抛物线与x 轴的交点；综合题． 13．（2017湖北省荆门市，第12 题，3 分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等 边△ AOB的边 k y 长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC=3B，D反比例函数x（k≠0）的图象恰好经过点 C 和点D，则k 的值为（） 81 3 81 3 81 3 81 3 A．25 B．16 C． 5 D． 4 【答案】A． 【分析】过点 C 作CE⊥x 轴于点E，过点D作DF⊥x 轴于点F，设BD=a，则OC=3a，根据等边三角形的性质结合解含30 度角的直角三角形，可找出点C、D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、k 的值，此题得解． 【解析】过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x 轴于点F，如图所示． 设BD=a，则OC=3a． ∵△ AOB为边长为 6 的等边三角形，∴∠ COE=∠DBF=60°，OB=6． 3 3 3 在Rt△COE中，∠COE=6°0 ，∠CEO=9°0 ，OC=3a，∴∠ OCE=3°0 ，∴OE=2 a，CE= OC2 OE2= 2 3 3 3 a，∴点C（2 a， 2 a ）． 13 同理，可求出点 D 的坐标为（ 6﹣ 2 a ， 2 a ）． y k 3 3 3 1 3 6 ∵反比例函数 x （k ≠0）的图象恰好经过点 C 和点 D ， ∴k=2a × 2 a=（6﹣ 2 a ）× 2 a ，∴ a= 5 ， 81 3 点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及解含 30 度角的直角三角 形，根据等边三角形的性质结合解含 30 度角的直角三角形，找出点 C 、D 的坐标是解题的关键． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；综合题． 14．（2017 湖北省随州市，第 8 题， 3 分）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如 图反映了牡丹的列数（ n ）和芍药的数量规律，那么当 n=11 时，芍药的数量为（ ） A ． 84 株 B ．88株 C ．92株 D ．121 株 【答案】 B ． 【分析】根据题目中的图形，可以发现其中的规律，从而可以求得当 n=11 时的芍药的数量． 【解析】由图可得，芍药的数量为： 4+（2n ﹣1）× 4，∴当 n=11时，芍药的数量为： 4+（2×11﹣1） ×4=4+（22﹣1）× 4=4+21× 4=4+84=88，故选 B ． 点睛：本题考查规律型：图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中图形的变化规律． 考点：规律型：图形的变化类；综合题． 15．（2017贵州省安顺市，第 10题，3 分）二次函数 y ax bx c （a ≠0）的图象如图，给出下列 四 个结论：① 4ac b 2 0；②3b 2c 0；③4a c 2b ；④ m am b b a m 1 ，其中结论正确的 答案】 B ． 分析】由抛物线与 x 轴有两个交点得到 b2﹣ 4ac >0，可判断①；根据对称轴是 x=﹣ C ．3 D ．4 k= 25 ．故选 A ． 1，可得x=﹣2、 0 时，y 的值相等，所以 4a ﹣2b+c >0，可判断③；根据 2a = ﹣1，得出 b=2a ，再根据 a+b+c < 0，可 1 得 2 b+b+c <0，所以 3b+2c <0，可判断②； x=﹣1时该二次函数取得最大值，据此可判 断④． 【解析】∵图象与 x 轴有两个交点，∴方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，∴ b2﹣4ac > 0， 4ac ﹣b2<0，①正确； b1 ∴ 2a =﹣1，∴ b=2a ，∵ a+b+c <0，∴ 2 b+b+c <0，3b+2c <0，∴②是正确； ∵当 x=﹣2 时，y >0，∴4a ﹣2b+c >0，∴4a+c >2b ，③错误；