10 函数零点的个数问题
一、知识点讲解与分析：
1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点
2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。
（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提
（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续）
① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点
③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号
3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x
4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系
设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =-,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。（详见方法技巧）
二、方法与技巧：
1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。例如：对于方程
ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ??>< ???
即可判定其零点必在1,12?? ???
中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用
（1）函数的零点：
工具：零点存在性定理
作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
缺点：方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关
（2）方程的根：
工具：方程的等价变形
作用：当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数
缺点：能够直接求解的方程种类较少，很多转化后的方程无法用传统方法求出根，也无法判断根的个数
（3）两函数的交点：
工具：数形结合
作用：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现。通过图像可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围。
缺点：数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进
行参变分离，其目的在于若含x 的函数可作出图像，那么因为另外一个只含参数的图像为直线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡（作图问题详见：1.7 函数的图像）
3、在高中阶段主要考察三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理，（2）二次方程根分布问题，（3）数形结合解决根的个数问题或求参数的值。其中第（3）个类型常要用到函数零点，方程，与图像交点的转化，请通过例题体会如何利用方程构造出函数，进而通过图像解决问题的。
三、例题精析：
例1：直线y a =与函数33y x x =-的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围为 ( )．
A ．()2,2-
B ．[]2,2-
C ．[)2,+∞
D ．(],2-∞-
例2：设函数()()222ln 1f x x x x =+-+，若关于x 的方程()2f x x x a =++在[]0,2上恰有两个相异实根，则实数a 的取值范围是_________
例3：已知函数()()2,0ln ,0
kx x f x k R x x +≤?=∈?>?，若函数()y f x k =+有三个零点，则实数
k 的取值范围是（ ） A. 2k ≤ B. 10k -<< C. 21k -≤<-
D.2k ≤- 例4：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)()1,3,ln x f x x ∈=，若在区间[)1,9内， 函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．ln 31,3e ??
??? B. ln 31,93e ?? ??? C ．ln 31,92e ?? ??? D ．ln3ln3,93?? ??? 例5：已知函数)(x f 是定义在()()+∞∞-,00, 上的偶函数，当0>x 时，()?????>-≤<-=-2,22
120,12)(|1|x x f x x f x ，则函数1)(4)(-=x f x g 的零点个数为（ ） A ． 4 B ．6 C ．8 D ．10
例6：对于函数()f x ，若在定义域内存在．．
实数x ，满足()()f x f x -=-，称()f x 为“局部奇函数”，若()12423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是（ ）
A.11m ≤≤
B. 1m ≤≤
C. m -≤≤
D. 1m -≤≤
例7：已知函数()y f x =的图像为R 上的一条连续不断的曲线，当0x ≠时，()()'0f x f x x
+>，则关于x 的函数()()1g x f x x =+的零点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或2
例8：定义域为R 的偶函数()f x 满足对x R ?∈，有()()()21f x f x f +=-，且当[]2,3x ∈时，()221218f x x x =-+-，若函数()()log 1a y f x x =-+在()0,+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）
A.
? ??
B. ? ??
C. ? ??
D. ? ??
例9：已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当(]1,3x ∈-时，
(
)(]()(]
1,112,1,3x f x t x x ∈-=--∈??，其中0t >，若方程()3f x x =恰有三个不同的实数根，则实数t 的取值范围是（ ） A. 40,3?? ??? B. 2,23?? ??? C. 4,33?? ??? D. 2,3??+∞ ???
例10：（2014甘肃天水一中五月考）已知函数()()sin 1,02log 0,1,0a
x x f x x a a x π???-≠>? 的图像
上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ）
A. ?
??
B. ????
C. ????
D. ? ??
三、模拟题题目精选：
1、已知()f x 是以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈
时，()f x =(1,3)-内，关于x 的方程()()f x kx k k R =+∈有4个根，则k 的取值范围是( )．
A ．104k <≤
或6
k =．104k <≤ C ．104k <<
或k =．104k << 2、若直角坐标平面内A,B 两点满足条件：①点,A B 都在函数()f x 的图像上；点,A B 关于原点对称，则称(),A B 是函数()f x 的一个“姊妹点对”（(),A B 与(),B A 可看作同一点对），
已知()22,02,0x x x x f x x e
?+
3、已知函数()()22,2,2,2,
x x f x x x ?-≤?=?->?? 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）
A. 7,4??+∞
??? B. 7,4??-∞ ??? C. 70,4?? ??? D. 7,24?? ???
4、已知()32,,x x x a f x x a ?≤?=?>??，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是______
5、已知函数()32
31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ）
A. ()2,+∞
B. ()1,+∞
C. (),2-∞-
D. (),1-∞-
6、已知函数()()21,f x x g x kx =-+=，若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）
A. 10,2?? ???
B. 1,12?? ???
C. ()1,2
D. ()2,+∞
7、已知函数()23,f x x x x R =+∈，若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，
则实数a 的取值范围是_________
8、已知函数()()20,01ln ,42,1x f x x g x x x <≤??==?-->??
，则方程()()1f x g x +=实根的个数为__________
9、已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x > ，则a 的取值范围是（ ）
A. ()2,+∞
B. ()1,+∞
C. (),2-∞-
D. (),1-∞-
10、对于函数()(),f x g x ，设(){}(){}|0,|0m x f x n x g x ∈=∈=，若存在,m n 使得
1m n -≤，
则称()f x 与()g x 互为“零点关联函数”，若函数()()12log 1x f x x e -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点关联函数”
，则实数a 的取值范围是（ ） A. 72,3?????? B. 7,33??
????
C. []2,3
D. []2,4 11、已知偶函数()f x 满足对任意x R ∈，均有(1)(3)f x f x +=-且2(1),[0,1]()1,(1,2]
m x x f x x x ?-∈=?-∈?，若方程3()f x x =恰有5个实数解，则实数m 的取值范围是 .
12、已知函数()cos2sin f x x a x =+在区间()()
0,n n N π*∈内恰有9个零点，则实数a 的值为________
13、已知函数()21,,, 2.71828x f x e ax bx a b R e =---∈=为自然对数的底数
（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[]0,1上的最小值
（2）若()10f =，函数()f x 在区间()0,1内有零点，求a 的取值范围
函数的零点 1、函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x 轴有交点?函数y=f(x)有零点 注意：零点是一个实数,不是点。 练习：函数23)(2 +-=x x x f 的零点是（ ） Ａ．()0,1 Ｂ．()0,2 Ｃ．()0,1，()0,2 Ｄ.１，２ 方程f(x)=0的根的个数就是函数y=f(x)的图象与x 轴交点的个数。 方程f(x)=0的实数根就是函数y=f(x)的图象与x 轴交点的横坐标。 方法：①（代数法）求函数的零点就是求相应的方程的根，一般可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点。 ②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 练习：Ⅰ求零点 ①y=x 3-1, ② y=2^x-1, ③y=lg(x 2-1)-1, ④y=2^|x|-8, ⑤y=2+log 3x Ⅱ结合函数的图像判断函数f(x)=x 3-7x+6的零点 Ⅲ判断函数f(x)=lnx+2x 是否存在零点及零点的个数 2、一元二次方程和二次函数 例，当a>0时，方程ax 2+bx+c=0的根与函数y=ax 2+bx+c 的图象之间的关系如下表： 练习：如果函数f(x)= ax 2-x-1仅有一个零点，求实数a 的范围。 3、零点存在性定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c ∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根。 例1：观察二次函数f (x)=x 2- 2x - 3的图象: ① 在区间[-2，1]上有零点_______； f (-2)=_____，f (1)=_____， f (-2) · f(1)___0（< 或 > 或 =） ② 在区间[2，4]上有零点_______； f (2) · f(4)___0（< 或 > 或 =） 例1图 例2图 例2：观察函数 y = f (x)的图象: ①在区间[a ，b]上___(有/无)零点； f (a) · f(b)___0（< 或 > 或 =） ②在区间[b ，c]上___(有/无)零点； f (b) · f(c)___0（< 或 > 或 =） 练习：①判断函数f(x)=x2-2x-1在区间（2，3）上是否存在零点? 4、函数最值： 最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；（2）存在x0∈I ，使得f(x0) = M ，那么，称M 是函数y=f(x)的最大值． 方法：利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 利用图象求函数的最大（小）值 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b). 练习：①函数 f （x ）= )1(11 x x --的最大值是______ ②函数f （x ）=ax （a ＞0，a ≠1）在［1，2］中的最大值比最小值 大2a ，则a 的值为______ ③设a 为实数，函数f （x ）=x2+|x －a|+1，x ∈R. （1）讨论f （x ）的奇偶性；（2）求f （x ）的最小值. ④已知二次函数f （x ）＝（lga ）x2＋2x ＋4lga 的最大值为3，求a 的值.
函数零点的求法及零点的个数 题型1：求函数的零点。 [例1] 求函数 222 3+--=x x x y 的零点. [解题思路]求函数 222 3+--=x x x y 的零点就是求方程 0222 3=+--x x x 的根 [解析]令 32 220x x x --+=，∴ 2(2) (2) x x x --- = ∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴112x x x =-==或或 即函数222 3 +--=x x x y 的零点为-1，1，2。 [反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数 ()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是 一个实数。 题型2：确定函数零点的个数。 [例2] 求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数. [解题思路]求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 [解析]方法一：易证f(x)= lnx ＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增， 又有(1)(4)0f f ?<，所以函数f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。 方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 即求ln 62y x y x =?? =-?的交点的个数。画图可知只有一个。 [反思归纳]求函数)(x f y =的零点是高考的热点，有两种常用方法： ①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。 题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围 [例3] (2007·广东)已知a 是实数,函数 ()a x ax x f --+=3222,如果函数()x f y =在区 间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。 [解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点寻找关于参数 a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2 x 的系 数，故要对a 进行讨论 [解析] 若0a = , ()23f x x =- ,显然在 []1,1-上没有零点, 所以 0a ≠. 令 ()248382440 a a a a ?=++=++=, 解得 37 2a -±= ①当 37 2a --= 时, ()y f x =恰有一个零 点在[ ] 1,1-上; ②当()()()()05111<--=?-a a f f ，即15a <<时， () y f x =在[ ] 1,1-上也恰有一个零点。 ③当()y f x =在[ ] 1,1-上有两个零点时, 则 ()()20824401 1121010a a a a f f >? ??=++>??-<-??-<-
第4讲与函数的零点相关的问题 函数零点的个数问题 1.函数f(x)=xcos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( D ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:要使f(x)=xcos 2x=0,则x=0,或cos 2x=0,而在区间[0,2π]上,通过观察y=cos 2x 的函数图象,易得满足cos 2x=0的x的值有,,,,所以零点的个数为5个. 2.(2015南昌二模)已知函数f(x)=函数g(x)是周期为2的偶函数,且当x∈[0,1]时,g(x)=2x-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是( B ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解析:函数y=f(x)-g(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数.在同一坐标系中画出这两个函数的图象: 由图可得这两个函数的交点为A,O,B,C,D,E,共6个点. 所以原函数共有6个零点.故选B. 3.(2015南昌市一模)已知函数f(x)=若关于x的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数解,则实数a的取值范围为. 解析:依题意,得a≠0,令f(x)=0,得lg x=0,即x=1,由f[f(x)]=0,得f(x)=1, 当x>0时,函数y=lg x的图象与直线y=1有且只有一个交点,则当x≤0时,函数y=的图象与直线y=1没有交点,若a>0,结论成立;若a<0,则函数y=的图象与y轴交点的纵坐标-a<1,得-1 答案:(-1,0)∪(0,+∞) 4.(2015北京卷)设函数f(x)= ①若a=1,则f(x)的最小值为; ②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是. 解析:①当a=1时,f(x)=其大致图象如图所示: 由图可知f(x)的最小值为-1. ②当a≤0时,显然函数f(x)无零点; 当0 2016年全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动交流课案 课 题：3.1.1 方程的根与函数的零点 教 材：人教A 版高中数学·必修1 【教材分析】 本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。 第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数()y f x =零点就是方程()0f x =的实数根，即函数 ()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零 点的判定方法：如果函数()y f x =在区间[],a b 上图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。这些内容是求方程近似解的基础。本节课的 教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。 【教学目标】 1.理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。 2.通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。 3.通过本节课的学习，学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌握“数形结合”的方法。 【学情分析】 1.学生具备的知识与能力 (1)初中已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与x 轴的交点横坐标之间的关系。 (2)从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。 2. 学生欠缺的知识与能力 (1)超越函数的相关计算及其图象性质. (2)通过对具体实例的探究,归纳概括发现的结论或规律,并将其用准确的数学语言表达出 函数的零点及判断零点个数提高题 1．已知函数()22,52,x x a f x x x x a +>?=?++≤?，函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,1- B ．[]0,2 C ．[)2,2- D ．[)1,2- 【答案】D ． 【解析】 22()()232x x a g x f x x x x x a -+>?=-=?++≤?，而方程20x -+=的解为2，方程 2320x x ++=的解为1-或2-，所以?? ???≤-≤-->，当1x ≤-?1x -≥，又f （x ）为奇函数， ∴0x <时， ()(] 12log (1),1,0()()13,,1x x f x f x x x ?--+∈-?=--=??-+--∈-∞-?，（也可以不求解析式，依 据奇函数的图象关于原点对称，画出y 轴左侧的图象），画出y =f （x ），y =a （01a <<）的图象，如图 共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则45123,322 x x x x ++=-= 高中数学专题练习-函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(2015·北京)设函数f (x )＝??? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (·东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (·天津)已知函数f (x )＝??? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： 函数零点问题的求解 【教学目标】 知识与技能： 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 过程与方法： 1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决. 2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用. 情感、态度与价值观: 1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质； 2.让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2. 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有 函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(北京)设函数f (x )＝????? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (天津)已知函数f (x )＝? ??? ? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实 数a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： 函数零点个数问题赏析 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 近年高考试卷中的N 型函数零点个数问题赏析 近些年来，有不少的N 型函数零点个数问题出现在不同年份、不同省区与全国的高考试卷中，这不能不成为高考的热门话题和需要我们研究并指导高三学生进行科学备考的一个重点内容。什么是N 型函数零点个数问题呢，就是含参函数()y f x =在其定义域内连续可导，有两个极值点1x 、2x 并将其定义域分成三个单调区间，通常是“增减增”或“减增减”，在此条件的基础上，方程()0f x =或()f x m =的根的个数与参数取值范围相关的问题。这里注意：函数()y f x =在其靠近定义域两端点时，函数值会很大或很小（即一端足够大，大于极大值；一端足够小，小于极小值）。 N 型函数有哪些呢？一可能是三次函数3 2 ()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠，二可能是函数 2()ln()f x ax bx x t =+++(0)a ≠，它们在定义域内都必须有两个极值点。 例1、（2006年福建高考卷）已知函数2 ()8f x x x =-+，()6ln g x x m =+。 （Ⅰ）求f (x )在区间[,1]t t +上的最大值()h t ； （Ⅱ）是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。 解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）构作函数2 ()()()86ln x f x g x x x x m ?=-=-++，0x >； 求导得：22862(1)(3) '()x x x x x x x ?-+--==，0x >，函数单调性与极值列表如下： x (0,1) 1 (1,3) 3 (3,)+∞ '()x ? + - + ()x ? 7m ?=- 极大 6ln 315m ?=+-极小 依题意，转化为函数()x ?图象与x 轴的交点为3时情形，当x 充分接近0时，()0x ?<，当x 充分大时，()0x ?>，为此有：707156ln 36ln 3150m m m ??=->? ?<<-? =+- 高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法 【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有 0)()( 【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()( 函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌 握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和 所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理 问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()00e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 问题2:函数2 ()68f x x x =-+在区间[][][]1,3, 0,1, 1,5有零点吗 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗 解法二:几何解法 (1). ()e 2 x f x x =+- 可化为2x e x =-+． 复合函数、分段函数零点个数问题 1.已知函数???<≥=) 0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判 断不正确．．． 的是【 】 A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 2、已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且 5.已知f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是【 】 A ．13 B ．16 C ．18 D ．22 6 已知函数31+,>0()3,0x x f x x x x ??=??+≤? ， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数不可能．．．为【 】 A 3 B 4 C 5 D 6 7． 已知函数f(x)＝????? ax ＋1，x ≤0，log 2x ， x ＞0。则下列关于函数y ＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确的是【 】 （A ）当a ＞0时，有4个零点；当a ＜0时，有1个零点 （B ）当a ＞0时，有3个零点；当a ＜0时，有2个零点 （C ）无论a 为何值，均有2个零点 （D ）无论a 为何值，均有4个零点 8、设R 上的函数2lg (>0) ()-2(0)x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2 +=x f x f 的零点的个数为【 】． A 2 B 3 C 5 D 7 函数零点经典习题 一．选择题 1．函数f(x)=-x2+4x-4在区间[1，3]上的零点情况是： A 没有零点 B 有一个零点 C 有两个零点 D 有无数个零点 2函数f(x)=(x2-4)/(x-2)的零点是 A -2，2 B 2 C -2 D 不存在 3.函数f(x)=x2+27/x的零点是 A -3 B -1/3 C 3 D 1/3 4.如果方程2ax2+x-3=0在区间（0，1）内有一个解，则a的取值范围是 A a<-1 B a>1 C -1 9.函数f(x)=x 2-ax-b 的两个零点是3，5 则函数g(x)=bx 2-ax-1的零点是 A -3，-5 B 3，5 C -1/3，-1/5 D 1/3，1/5 1.函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ ） A.?? ? ??41,81 B.?? ? ??21,41 C.?? ? ??1,2 1 D.(1,2) 2.若0x 是方程31 )2 1 (x x =的解，则0x 属于区间（ ） A ． ?? ? ??1,3 2 . B ．?? ? ??32,21 . C ．?? ? ??21,31 D ．?? ? ? ?31,0 3.函数x x x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是（ ） A ．)2,1( B ．)3,2( C ．)1 ,1(e 和)4,3( D ．),(+∞e 二．填空题 10．已知函数f9x)=x 2-1则函数f(x+2)的零点是------------ 11．方程x 2-2x-5=0在区间（2，3）内有实数根，取区间的中点x 0=2.5，下一个有根区间是------------- 12．若函数f(x)=ax+b 的零点是-3则函数g(x)=bx 2-ax 的零点是-------- 10.若函数 a x a x f x --=)( (0>a 且1≠a )有两个零点，则实数a 的取值范围 是 高中数学-函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如： 【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()( 教学目标： 1、知识目标：理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系 . 2、能力目标：体验函数零点概念的形成过程，引导学生学会用转化与数形结合思想方法研究问题，提高数学知识的综合应用能力. 3、情感目标：让学生初步体会事物间相互转化以及特殊到一般的辨证思想. 重点、难点： 教学过程： 一．自主达标 1．如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）在实数处的值等于零，即ｆ（ｘ）＝０，则ｘ叫做 ． ２．把一个函数的图像与 叫做这个函数的零点． ３．二次函数ｙ＝ａ2x ＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０），当 Δ＝2b －４ａｃ＞０时，二次函数有 个零点； Δ＝2b －４ａｃ＝０时，二次函数有 个零点； Δ＝2b －４ａｃ＜０时，二次函数有 个零点． ４．二次函数零点的性质： （１）二次函数的图像是连续的，当它通过零点时（不是二重零点）， ． （２）在相邻的两个零点之间所有 ． 二。典例解析 例１．若函数ｆ（ｘ）＝2x ＋ａｘ＋ｂ的两个零点是２和－４，求ａ，ｂ的值． 例1、解：函数ｆ（ｘ）＝2x ＋ａｘ＋ｂ的两个零点是２和－４，也就是方程2x ＋ａｘ＋ｂ＝０的两个根是２和－４，由根与系数的关系可知???=-?-=-+b a )4(2)4(2得ａ＝２，ｂ ＝－８． 评析：反常的根与函数零点的关系以及反常的根与系数的关系是本体解决关键． 例２．求证：方程５2x －７ｘ－１＝０的一个根在（－１，０）上，另一个根在（１，２）上． 例2、证明：设ｆ（ｘ）＝５2x －７ｘ－１，则ｆ（－１）ｆ（０）＝－１１＜０，ｆ（１）（２）＝－１５＜０．而二次函数ｆ（ｘ）＝５2x －７ｘ－１是连续的．所以，ｆ（ｘ）在（－１，０）和（１，２）上分别有零点． 即方程５2x －７ｘ－１＝０的根一个在（－１，０）上，另一个（１，２）在上． 评析：判断函数是否在（ａ，ｂ）上存在零点，除验证ｆ（ａ）?ｆ（ｂ）＜０是否 函数零点 一、知识点回顾 1、函数零点的定义：对于函数)(x f y =,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。 注意：（1）零点不是点； （2）方程根与函数零点的关系：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 2、零点存在性定理：如果函数)(x f y =在闭区间[a, b]上的图象是连续曲线,并且有0)()(++c bx ax 的解集是 例2 若函数2()2f x x x a =-+有两个零点，且一个在（－2，0）内，另一个在（1，3）内，求a 的取值范围． 变式 1、已知关于x 的方程2350x x a -+=的两根12x x ，满足1(20)x ∈-，，2(13)x ∈，，求实数a 的取值范围． 2、已知函数()()()2()f x x a x b a b =--+<，若()αβαβ<，是方程()0f x =的两个根，则实数a b αβ，，，之间的大小关系是（ ） A ．a b αβ<<< B ．a b αβ<<< C ．a b αβ<<< D ．a b αβ<<< 《函数的零点》课堂教学设计 一．教学内容 本课内容选自经全国中小学教材审定委员会2004年初审通过的人教版普通高中课程标准试验教科书，数学必修①，B 版第二单元《函数》中的《函数的零点》，新授课，第一课时。 1．知识背景 2．4节《函数与方程》作为新课程改革试验教材中的新增内容，其课程目标是想 通过对本节的学习，使学生学会用二分法求函数零点近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系，同时达到“方法构建、技术运用、算法渗透”这一隐性的教学目标。建立实际问题的函数模型，利用已知函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的。方程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”，这也是本章渗透的主要数学思想． 2．本节内容 《函数的零点》通过对二次函数图像的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步 探索一般函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，对函数图像进行全新的认识，在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。 二．教学目标 知识与技能:（1）通过对二次函数增图像的描绘，理解函数零点的概念，体会我们在 研究和解决问题过程的一般思维方法。 （2）通过对一般函数图像的描绘分析，领会函数零点与相应方程之间的 关系，掌握零点存在的判定条件。 （3）培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。 过程与方法: 通过画函数图像，分析零点的存在性。 情感态度与价值观: 使学生再次领略“数形”的有机结合，渗透由抽象到具体的思想, 理解动与静的辨证关系,体会数学知识之间的紧密联系。 三．教学重点 重点：理解零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点． 具体流程设计 一、创设情境 画函数322--=x x y 的图像，并观察其图象与其对应的一元二次方程0322=--x x [师生互动] 师：引导学生通过配方，画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系。高中数学《方程的根与函数的零点》公开课优秀教学设计一
函数的零点及判断零点个数提高题
高中数学专题练习-函数零点问题
函数的零点问题
高中数学-函数零点问题
函数零点个数问题赏析
高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法
高中数学题型解法归纳《函数的零点个数问题》
函数零点问题(讲解)
复合函数的零点个数问题
函数零点经典习题
高中数学-函数零点问题及例题解析
第13讲 函数的零点个数问题的求解方法高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析 (1)
(新课程)高中数学 2.4.1《函数的零点》教案 新人教B版必修1
求函数零点的几种方法
高中数学必修一《函数的零点》优秀教学设计
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