函数零点个数问题赏析
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近年高考试卷中的N 型函数零点个数问题赏析
近些年来，有不少的N 型函数零点个数问题出现在不同年份、不同省区与全国的高考试卷中，这不能不成为高考的热门话题和需要我们研究并指导高三学生进行科学备考的一个重点内容。什么是N 型函数零点个数问题呢，就是含参函数()y f x =在其定义域内连续可导，有两个极值点1x 、2x 并将其定义域分成三个单调区间，通常是“增减增”或“减增减”，在此条件的基础上，方程()0f x =或()f x m =的根的个数与参数取值范围相关的问题。这里注意：函数()y f x =在其靠近定义域两端点时，函数值会很大或很小（即一端足够大，大于极大值；一端足够小，小于极小值）。
N 型函数有哪些呢？一可能是三次函数3
2
()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠，二可能是函数
2()ln()f x ax bx x t =+++(0)a ≠，它们在定义域内都必须有两个极值点。
例1、（2006年福建高考卷）已知函数2
()8f x x x =-+，()6ln g x x m =+。 （Ⅰ）求f (x )在区间[,1]t t +上的最大值()h t ；
（Ⅱ）是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。
解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）构作函数2
()()()86ln x f x g x x x x m ?=-=-++，0x >；
求导得：22862(1)(3)
'()x x x x x x x
?-+--==，0x >，函数单调性与极值列表如下：
x
(0,1) 1 (1,3)
3 (3,)+∞ '()x ?
+
-
+
()x ?
7m ?=-
极大
6ln 315m ?=+-极小
依题意，转化为函数()x ?图象与x 轴的交点为3时情形，当x 充分接近0时，()0x ?<，当x
充分大时，()0x ?>，为此有：707156ln 36ln 3150m m m ??=->?
?<<-?
=+-
。 故m 的取值范围为7156ln3-（，）
。 例2、（2008年四川高考卷）已知3x =是函数2
()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点。 （Ⅰ）求a ；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围。
解析：（Ⅰ）（Ⅱ）略；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()()()2
16ln 110,1,f x x x x x =++-∈-+∞，
()()22432(1)(3)
11x x x x f x x
x
-+--'=
=
++，()1,x ∈-+∞，故函数单调性与极值情况如下表：
因此，()()2
1616101616ln 291f f =-?>-=，()
()213211213f e f --<-+=-<， 所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞上，直线y b =与()y f x =的图象有三个交点，当且仅当()()31f b f <<；因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--。
例3、（2009年陕西高考卷·文）已知函数3
()31,0f x x ax a =--≠。 （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y m =与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。
解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）因为()f x 在1x =-处取得极大值，所以()2
13(1)30f a '-=?--=，
得：1a =，继而3()31f x x x =-+，2
()33f x x '=-，由()0f x '=解得121,1x x =-=。如下表
因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，又(3)193f -=-<-，(3)171f =>，结合()f x 的单调性可知，m 的取值范围是3-（，1）
。 评述：以上三例为两个函数图象（或一条直线与一个函数图象）有三个不同交点的问题，都可以转化为一个N 型函数()f x 有三个零点问题，即方程()0f x =或()f x m =有三个根的问题，列相
应不等式组， 0
0f f >??
或f m f <<极小极大，解出参数范围，如下图。
x
(1,1)- 1 (1,3) 3
(3,)+∞ '()f x +
-
+
()f x
16ln 29f =-极大
32ln 221f =-极小
x
(,1)-∞-
1- (1,1)- 1 (1,)+∞ ()f x ' +
-
+
()f x
1f =极大
3f =-极小
()
y f x =
()
y f x =
1
x
2
x
2
x
1
x
x
f >极大
例4、（2007年全国高考Ⅱ卷）已知函数3
()f x x x =-。 （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；
（Ⅱ）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<。 解析：（Ⅰ）切线方程为： 2
3
(31)2y t x t =--。
（Ⅱ）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使2
3
(31)2b t a t =--，即32230t at a b -++=。
于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32
230t at a b -++=有三个相异的实数根。
记3
2
()23g t t at a b =-++，则 2
()66g t t at '=-6()t t a =-。 当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：
t (0)-∞， 0 (0)a ， a
()a +∞， ()g t ' +
0 -
+
()g t
极大值a b +
极小值()b f a -
由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；
当0a b +=时，解方程()0g t =得302
a
t t ==
，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根； 当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2
a
t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根． 综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则
()0a b b f a +>??
-
，即()a b f a -<<。 例5、（2010年湖北高考卷·文）设函数22
1()32
a f x x x bx c =-++，其中0a >，曲线()y f x =在点(0,(0))p f 处的切线方程为1y =。
（Ⅰ）确定,b c 的值；
（Ⅱ）设曲线()y f x =在点1122(,())(,())x f x x f x 及处的切线都过点（0,2）.证明：当12x x ≠时，
12()()f x f x ''≠；
（Ⅲ）若过点(0,2)可作曲线()y f x =的三条不同切线，求a 的取值范围。 解析：（Ⅰ）（Ⅱ）略；（Ⅲ） 32
1()132
a f x x x =
-+， 2'()f x x ax =-。 由于点(,())t f t 处的切线方程为()()()y f t f t x t '-=-，而点（0,2）在切线上，所以
2()()(0)f t f t t '-=-，化简得3221032a t t -+=，即t 满足的方程为3221032
a
t t -+=。
过点（0,2）可作()y f x =的三条切线，等价于方程2()()(0)f t f t t '-=-有三个相异的实根，即等价于方程
32
21032a t t -+=有三个相异的实根。 设322()132a g t t t =-+，则2()2g t t at '=-。令2
()2g t t at '=-＝0得120,(0)2
a x x a ==>
列表如下：
t
(.0)-∞
0 (0,)2
a
2
a (,)2
a
+∞ ()g t ' ＋
－
＋
()g t
↗ 极大值1 ↘
极小值3
124
a -
↗
由322()132a g t t t =
-+的单调性知，要使322()132
a
g t t t =-+=0有三个相异的实根，当且仅当10>，3
1024
a -<，即323a >。故a 的取值范围是323+∞（，）。
例6、（2008年湖南高考卷·文）已知函数43219
()42
f x x x x cx =+-+有三个极值点。 （Ⅰ）证明：275c -<<；
（Ⅱ）若存在c ，使函数()f x 在区间[]2a a +，上单调递减，求a 的取值范围。 解析：（I ）证明：因为函数43219
()42
f x x x x cx =
+-+有三个极值点，也即 32()390f x x x x c '=+-+=有三个互异的实根。
设3
2
()39g x x x x c =+-+，则2
()3693(3)(1)g x x x x x '=+-=+-，其单调性与极值如下表：
由于()0g x =有三个不同实根，所以(3)0g ->且(1)0g <。即2727270c -+++>，且
1390c +-+<，解得27,c >-且5,c <故275c -<<。
（II ）略。
评述：例4、例5为过某定点可作曲线（或函数图像）的三条切线的条件问题，此问题可以转化为一个N 型函数有三个零点问题，即方程()0f x =或()f x m =有三个根的问题。而例6则是原函数()f x 有三个极值点的问题，它等同于其导函数()f x '（是N 型函数）有三个零点问题，即可转化为方程()0f x '=有三个根的问题。
例7、（2005年全国高考Ⅱ卷·文）设a 为实数，函数32
()f x x x x a =--+。 （Ⅰ）求()f x 的极值；
（Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点。
解析：(I)2
()321f x x x '=--，令()0f x '=，则11
3
x =-
，21x =。 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：
x (－∞，－
13
) －
13
(－
1
3
，1) 1 (1，+∞)
()f x '
+ 0 － 0 + ()f x
↗
极大值
5
27
a + ↘
极小值1a -
↗
∴()f x 的极大值是15
()327f a -=
+，极小值是(1)1f a =-
(II)函数32
2()(1)(1)1f x x x x a x x a =--+=-++-，由此可知，取足够大的正数时，有
()f x >0，取足够小的负数时有()f x <0，所以曲线y =()f x 与x 轴至少有一个交点。
结合()f x 的单调性可知： 当()f x 的极大值
527a +<0，即5
(,)27
a ∈-∞-时，它的极小值也小于0，因此曲线y =(
)f x 与x 轴仅有一个交点，它在(1，
+∞)上；当()f x 的极小值a
－1>0即a ∈(1，+∞)时，它的极大值也大
于0，因此曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点，它在(－∞，－
1
3
)上。 综上所述，当5
(,)27
a ∈-∞-
∪(1,)+∞时，曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点。 x
(,3)-∞-
3-
(3,1)- 1 (1,)+∞ '()g x +
-
+
()g x
27g c =+极大
5g c =-+极小
例8、（2009年江西高考·文）设函数3
2
9()62
f x x x x a =-
+-。 （1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值； （2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围。 解析：（1）求导得：223
33
()3(32)3()244
f x x x x '=-+=--≥-，
对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立等价于min 3[()]4m f x '≤=-
，故m 的最大值为3
4
-。 （2）因2()3(32)3(1)(2)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，则11x =，22x =。 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：
x (－∞，1) 1 (1，2) 2 (2，+∞) ()f x ' + 0 － 0 +
()f x ↗ 极大值5
2
a - ↘ 极小值2a -
↗ ∴()f x 的极大值是5
(1)2
f a =-，极小值是(2)2f a =-且函数()f x 定义域为(,)-∞+∞，依
题意知，5
(1)02
f a =-<或(2)20f a =->，故a 的取值范围为5(,2)(,)2-∞+∞。
评述：N 型函数零点问题的核心就是找出零点个数的相关条件，即()0f x =有三个根，须
满足0
f f >??
0f <极大或0f >极小（如下图二所示）。若()(0)f x m m =≠，则可以转化为：()()0g x f x m =-=。
N 型函数零点个数问题的题型是在函数定义域优先情况下把函数单调性、极值与函数零点个数
条件很好结合并求参数范围的题型。作用：⑴考查函数单调性；⑵考查函数极值；⑶考查函数零点的个数条件；⑷考查曲线或函数图象中过定点切线个数等；难度：在掌握解题模式下应属于中等偏易题，适合考查文科生，此题型是高考命题者比较青睐的题型，是高考文科类导数命题的一个方向，因此也是高三学生（含理科生）科学备考必须掌握的典型题。
N 型函数零点个数问题的解题模式与套路：求含参函数的定义域→求导函数→列表（写出函数单调区间、单调性、极值点、极值）→转化为N 型函数零点个数问题（即方程()0f x =或()f x m =的根的个数问题）→列相应不等式或不等式组，求出参数的取值范围。
()y f x =
()
y f x =
1
x
2
x 2
x
1
x
f 极小
f 极大
图二图二32211
函数零点的求法及零点的个数 题型1：求函数的零点。 [例1] 求函数 222 3+--=x x x y 的零点. [解题思路]求函数 222 3+--=x x x y 的零点就是求方程 0222 3=+--x x x 的根 [解析]令 32 220x x x --+=，∴ 2(2) (2) x x x --- = ∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴112x x x =-==或或 即函数222 3 +--=x x x y 的零点为-1，1，2。 [反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数 ()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是 一个实数。 题型2：确定函数零点的个数。 [例2] 求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数. [解题思路]求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 [解析]方法一：易证f(x)= lnx ＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增， 又有(1)(4)0f f ?<，所以函数f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。 方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 即求ln 62y x y x =?? =-?的交点的个数。画图可知只有一个。 [反思归纳]求函数)(x f y =的零点是高考的热点，有两种常用方法： ①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。 题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围 [例3] (2007·广东)已知a 是实数,函数 ()a x ax x f --+=3222,如果函数()x f y =在区 间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。 [解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点寻找关于参数 a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2 x 的系 数，故要对a 进行讨论 [解析] 若0a = , ()23f x x =- ,显然在 []1,1-上没有零点, 所以 0a ≠. 令 ()248382440 a a a a ?=++=++=, 解得 37 2a -±= ①当 37 2a --= 时, ()y f x =恰有一个零 点在[ ] 1,1-上; ②当()()()()05111<--=?-a a f f ，即15a <<时， () y f x =在[ ] 1,1-上也恰有一个零点。 ③当()y f x =在[ ] 1,1-上有两个零点时, 则 ()()20824401 1121010a a a a f f >? ??=++>??-<-??-<-
复合函数、分段函数零点个数问题 1.已知函数???<≥=) 0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判 断不正确．．． 的是【 】 A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 2、已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且 5.已知f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是【 】 A ．13 B ．16 C ．18 D ．22 6 已知函数31+,>0()3,0x x f x x x x ??=??+≤? ， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数不可能．．．为【 】 A 3 B 4 C 5 D 6 7． 已知函数f(x)＝????? ax ＋1，x ≤0，log 2x ， x ＞0。则下列关于函数y ＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确的是【 】 （A ）当a ＞0时，有4个零点；当a ＜0时，有1个零点 （B ）当a ＞0时，有3个零点；当a ＜0时，有2个零点
函数的零点及判断零点个数提高题 1．已知函数()22,52,x x a f x x x x a +>?=?++≤?，函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,1- B ．[]0,2 C ．[)2,2- D ．[)1,2- 【答案】D ． 【解析】 22()()232x x a g x f x x x x x a -+>?=-=?++≤?，而方程20x -+=的解为2，方程 2320x x ++=的解为1-或2-，所以?? ???≤-≤-->，当1x ≤-?1x -≥，又f （x ）为奇函数， ∴0x <时， ()(] 12log (1),1,0()()13,,1x x f x f x x x ?--+∈-?=--=??-+--∈-∞-?，（也可以不求解析式，依 据奇函数的图象关于原点对称，画出y 轴左侧的图象），画出y =f （x ），y =a （01a <<）的图象，如图 共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则45123,322 x x x x ++=-=
高中数学专题练习-函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(2015·北京)设函数f (x )＝??? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (·东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (·天津)已知函数f (x )＝??? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：
高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法 【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有 0)()(
函数零点问题的求解 【教学目标】 知识与技能： 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 过程与方法： 1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决. 2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用. 情感、态度与价值观: 1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质； 2.让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2. 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有
复合函数、分段函数零点个数问题 1.（2013届八校联考理10）已知函数???<≥=) 0()-(log ) 0(3)(3x x x x f x ，函数 )()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．． 的是（ ） A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 2、（2013届八校联考-文10）已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0) ()-2(0) x x f x x x x ?=? -≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为________. 5.已知函数1+ (0)()0(=0) x x f x x x ?≠?=??? 则关于x 的方程 2()b ()0f x f x c ++= 有5个 不同的实数解的充要条件是（ ） A b<-2且c>0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且
函数零点个数问题赏析
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近年高考试卷中的N 型函数零点个数问题赏析 近些年来，有不少的N 型函数零点个数问题出现在不同年份、不同省区与全国的高考试卷中，这不能不成为高考的热门话题和需要我们研究并指导高三学生进行科学备考的一个重点内容。什么是N 型函数零点个数问题呢，就是含参函数()y f x =在其定义域内连续可导，有两个极值点1x 、2x 并将其定义域分成三个单调区间，通常是“增减增”或“减增减”，在此条件的基础上，方程()0f x =或()f x m =的根的个数与参数取值范围相关的问题。这里注意：函数()y f x =在其靠近定义域两端点时，函数值会很大或很小（即一端足够大，大于极大值；一端足够小，小于极小值）。 N 型函数有哪些呢？一可能是三次函数3 2 ()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠，二可能是函数 2()ln()f x ax bx x t =+++(0)a ≠，它们在定义域内都必须有两个极值点。 例1、（2006年福建高考卷）已知函数2 ()8f x x x =-+，()6ln g x x m =+。 （Ⅰ）求f (x )在区间[,1]t t +上的最大值()h t ； （Ⅱ）是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。 解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）构作函数2 ()()()86ln x f x g x x x x m ?=-=-++，0x >； 求导得：22862(1)(3) '()x x x x x x x ?-+--==，0x >，函数单调性与极值列表如下： x (0,1) 1 (1,3) 3 (3,)+∞ '()x ? + - + ()x ? 7m ?=- 极大 6ln 315m ?=+-极小 依题意，转化为函数()x ?图象与x 轴的交点为3时情形，当x 充分接近0时，()0x ?<，当x 充分大时，()0x ?>，为此有：707156ln 36ln 3150m m m ??=->? ?<<-? =+-
高中数学-函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如：
【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(
函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌 握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和 所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理 问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2
解法一:代数解法 解：(1)．因为()00e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 问题2:函数2 ()68f x x x =-+在区间[][][]1,3, 0,1, 1,5有零点吗 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗 解法二:几何解法 (1). ()e 2 x f x x =+- 可化为2x e x =-+．
函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用 函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． < A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.() 1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()11e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选 C. 二、 基础知识回顾
1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 有零点吗 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗 · 解法二:几何解法 (1). ()e 2x f x x =+- 可化为2x e x =-+． 画出函数x y e =和 2y x =-+的图象，可观察得出C 正确. ) )0=有实数根
函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的 联系，掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点 个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用 函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()00e 0210f =+-=-<，()11e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念
对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 有零点吗? 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗? 解法二:几何解法 (1). ()e 2x f x x =+- 可化为2x e x =-+． 画出函数x y e =和 2y x =-+的图象，可观察得出C 正确. ) )0=有实数根 图像有交点.
函数零点经典习题 一．选择题 1．函数f(x)=-x2+4x-4在区间[1，3]上的零点情况是： A 没有零点 B 有一个零点 C 有两个零点 D 有无数个零点 2函数f(x)=(x2-4)/(x-2)的零点是 A -2，2 B 2 C -2 D 不存在 3.函数f(x)=x2+27/x的零点是 A -3 B -1/3 C 3 D 1/3 4.如果方程2ax2+x-3=0在区间（0，1）内有一个解，则a的取值范围是 A a<-1 B a>1 C -1
9.函数f(x)=x 2-ax-b 的两个零点是3，5 则函数g(x)=bx 2-ax-1的零点是 A -3，-5 B 3，5 C -1/3，-1/5 D 1/3，1/5 1.函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ ） A.?? ? ??41,81 B.?? ? ??21,41 C.?? ? ??1,2 1 D.(1,2) 2.若0x 是方程31 )2 1 (x x =的解，则0x 属于区间（ ） A ． ?? ? ??1,3 2 . B ．?? ? ??32,21 . C ．?? ? ??21,31 D ．?? ? ? ?31,0 3.函数x x x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是（ ） A ．)2,1( B ．)3,2( C ．)1 ,1(e 和)4,3( D ．),(+∞e 二．填空题 10．已知函数f9x)=x 2-1则函数f(x+2)的零点是------------ 11．方程x 2-2x-5=0在区间（2，3）内有实数根，取区间的中点x 0=2.5，下一个有根区间是------------- 12．若函数f(x)=ax+b 的零点是-3则函数g(x)=bx 2-ax 的零点是-------- 10.若函数 a x a x f x --=)( (0>a 且1≠a )有两个零点，则实数a 的取值范围 是
零点个数问题 该问题题常以分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等.解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用. 一、 分段函数的零点问题 【例1】（2020?漳州一模）已知函数21,1()43,1x e x f x x x x ?-<=?-+? ，若y kx =与()f x 有三个公共点，则实数k 的取 值范围是( ) A ．4,1)e -B ．4,0) (0,1)e -C ．4,1)(1,1)e - D ．4,0)(0,1)(1,1)e - 解：如图所示，函数()f x 的图象，y kx =的图象． 1x -→时，()1f x e →-，可得(1,1)A e -，1OA k e =-． 1x <时，()1x f x e =-，()x f x e '=． 1x 时，22()43(2)1f x x x x =-+=--，()24f x x '=-． 假设()f x 与y kx =相切于原点时，01k e ==． 结合图形可得：11k e <<-时y kx =与()f x 有三个公共点． 设直线y kx =与2()43(1)f x x x x =-+相切于点0(P x ，2 043)x x -+， 则 2 0000 4324x x x x -+=-，化为：2 03x =， 解得：0x = 4k =． 结合图形可得：41k <<时，y kx =与()f x 有三个公共点． 综上可得：41k <<，或11k e <<-时，y kx =与()f x 有三个公共点．故选：C ．
函数零点 一、知识点回顾 1、函数零点的定义：对于函数)(x f y =,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。 注意：（1）零点不是点； （2）方程根与函数零点的关系：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 2、零点存在性定理：如果函数)(x f y =在闭区间[a, b]上的图象是连续曲线,并且有0)()(++c bx ax 的解集是 例2 若函数2()2f x x x a =-+有两个零点，且一个在（－2，0）内，另一个在（1，3）内，求a 的取值范围． 变式 1、已知关于x 的方程2350x x a -+=的两根12x x ，满足1(20)x ∈-，，2(13)x ∈，，求实数a 的取值范围． 2、已知函数()()()2()f x x a x b a b =--+<，若()αβαβ<，是方程()0f x =的两个根，则实数a b αβ，，，之间的大小关系是（ ） A ．a b αβ<<< B ．a b αβ<<< C ．a b αβ<<< D ．a b αβ<<<
高中数学2017-2018高三专题复习 -函数（3）函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。
微专题函数零点个数的判定 活动一：预习◆反馈◆导学 1.函数f (x )＝x e x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 2.已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是 ________． 3.【2017山东，理10】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m 的图 象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 4. 【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = 活动二. 合作◆提炼◆探究 例1.设f(x)＝e x ·sin x ＋ax(a 为常数)，x ∈[0，2π]． （1））若f(x)在区间(0，2π)的极大值、极小值各有一个，求实数a 的取值范围． 例2. 已知函数()1x x f x ax e =-+. （2）试求()f x 的零点个数，并证明你的结论.
例3.设函数21()()ln 2 f x x a b x ab x = -++（其中e 为自然对数的底数，,a e b R ≠∈），曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程为212y e =-. （1）求b ； （2）若对任意1[,)x e ∈+∞，()f x 有且只有两个零点，求a 的取值范围. 例4.已知()21ln 2 f x x a x =-, a R ∈. （1）求函数()f x 的增区间； （2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围，并说明理由； 例5.已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.
第 10 炼函数零点的个数问题 一、知识点讲解与分析： 1、零点的定义：一般地，对于函数y f x x D ，我们把方程f x 0的实数根x 称 为函数y f x x D 的零点 2、函数零点存在性定理：设函数f x 在闭区间a,b 上连续，且f a f b 0 ， 那么在开区间a,b 内至少有函数f x 的一个零点，即至少有一点x0a,b ，使得 f x 0 。 （1）f x 在a,b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （ 2）零点存在性定理中的几个“不一定” （假设f x 连续） ① 若f a f b 0 ，则f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若f a f b 0 ，那么f x 在a,b 不一定有零点 ③ 若f x 在a,b 有零点，则 f a f b 不一定必须异号 3、若f x 在a,b 上是单调函数且连续，则f a f b 0 f x 在a,b 的零点唯一 4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系 设函数为y f x ，则f x 的零点即为满足方程f x 0的根，若f x g x h x , 则方程可转变为g x h x ，即方程的根在坐标系中为g x ,h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。 由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵 活转化。（详见方法技巧） 二、方法与技巧： 1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构 造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。例如：对
函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如：
第10炼 函数零点的个数问题 一、知识点讲解与分析： 1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点 2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。 （1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号 3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x < ??? 即可判定