第 10 炼函数零点的个数问题
一、知识点讲解与分析：
1、零点的定义：一般地，对于函数y f x x D ，我们把方程f x 0的实数根x
称
为函数y f x x D 的零点
2、函数零点存在性定理：设函数f x 在闭区间a,b 上连续，且f a f b 0 ，
那么在开区间a,b 内至少有函数f x 的一个零点，即至少有一点x0a,b ，使得
f x
0 。
（1）f x 在a,b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提
（ 2）零点存在性定理中的几个“不一定” （假设f x 连续）
① 若f a f b 0 ，则f x 的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若f a f b 0 ，那么f x 在a,b 不一定有零点
③ 若f x 在a,b 有零点，则 f a f b 不一定必须异号
3、若f x 在a,b 上是单调函数且连续，则f a f b 0 f x 在a,b 的零点唯一
4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系
设函数为y f x ，则f x 的零点即为满足方程f x 0的根，若f x g x h x , 则方程可转变为g x h x ，即方程的根在坐标系中为g x ,h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵
活转化。（详见方法技巧）
二、方法与技巧：
1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构
造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。例如：对
于方程
1
lnx x 0 ，无法直接求出根，构造函数f x lnx x ，由f 1 0, f 0 即可判定
2
1
其零点必在1,1 中
2
2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用
（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
缺点：方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关
（ 2）方程的根：工具：方程的等价变形作用：当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数
缺点：能够直接求解的方程种类较少，很多转化后的方程无法用传统方法求出根，也无法判断根的个数
（ 3）两函数的交点：工具：数形结合作用：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现。通过图像可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围。
缺点：数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进行参变分离，其目的在于若含x 的函数可作出图像，那么因为另外一个只含参数的图像为直线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡（作图问题详见： 1.7 函数的图像）
3、在高中阶段主要考察三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理，（ 2）二次方程根分布问题，（ 3）数形结合解决根的个数问题或求参数的值。其中第（
3）个类型常要用到函数零点，方程，与图像交点的转化，请通过例题体会如何利用方程构造出函数，进而通过图像解决问题的。
三、例题精析：
例 1：直线y a与函数y x3 3x 的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围为（
）．A ．2,2 B ．2,2 C．2, D．, 2
了 x 与 a 的分离， 此法的好处在于一侧函数图像为一条曲线， 所以为一条水平线， 便于上下平移， 进行数形结合。 由此可得： 若关于 x 的函数易于作出图像， 则优 先进行 参变分 离。所 以在本 题中 将方程 转变为 a x 2ln x 1 ，构造 函数
g x x 2ln x 1
并进行数形结合。
答案： A
小炼有话说：作图时可先作常系数函数图象，对于含有参数的函数， 先分析参数所扮演的角 色，然后数形结合，即可求出参数范围。
例 2 ：设函数 f x x 2
2x 2ln x 1 ，若关于 x 的方程 x x 2
x a 在 0,2 上恰
有两个相异实根，则实数 a 的取值范围是
思路：
方程等价于： x 2
2x 2ln x 1 x 2
x x 2ln x 1 ，即函数 y a
与g x x 2ln x 1
gx 的单调性并作出草图：
x 0 解得：
1,2
g1
1 2ln2, g0
0,g 2
2ln3 ，由图像可得， 水平线 y a 位于 g 1 ,g 2 之
间时， 恰好与 g x 有两个不同的交点。 1 2ln2 a 2 2ln3
答案： 1 2ln2 a 2 2ln3
小炼有话说： （ 1）本题中的方程为 x 2
2x
2ln x 1 2
x 2 x a ，在构造函数时，进而含参数的函数图像由于不含 x
三个相异交点。可得： a 2,2
的取值范围是（
答案： D
小炼有话说： （1）本题体现了三类问题之间的联系：即函数的零点 方程的根 函数图象
的交点，运用方程可进行等式的变形进而构造函数进行数形结合，解决这类问题要选择合适 的函数，以便于作图，便于求出参数的取值范围为原则。
（ 2）本题所求 k 在图像中扮演两个角色，一方面决定 f x 左侧图像直线的倾斜角，另一方
面决定水平线的位置与 x 轴的关系，所以在作图时要兼顾这两方面，进行数形结合。 例 4 ： 已知函数 f x 满足 f x f 3x ，当 x 1,3 , f x ln x ，若在区间
1,9 内，
函数 g x f x ax 有三个不同零
点，
则实数 a 的取值范围是（ ）
ln3,1
ln3 1
ln3 1 ln 3 ,
ln 3
A ．
B. , C ． ,
3e
9 3e
9 2e
9 3
2）在作出函数草图时要注意边界值是否能够取到， 数形结合时也要注意 a 能否取到边界值。 例 3 ：已知函数 f
kx 2,x 0
ln x,x
0k R ，若函数
y k 有三个零点， 则实数 k
A. k 2
B. 1 k
C.
D. k
思路：函数 y
价于 f x 与 y 像不同，且会影响 范围为 k 2。
k 有三个零点，等价于方程 k 图像有三个不同交点， y k 的位置，所以按 作出0,k k 有三个不同实数根， x 的图像，则 k 的正负会导致
进而等
0进行分类讨论，然后通过图像求出 k 的
思路：Q f x f 3x f x f
x
，当x
3,9 时，f x f
x x
ln
，所
以
3 3 3
ln x,1 x 3 f x x ，而 g x ln ,3 x 9
3
1
f x ax 有三个不同零点 y f x 与 y ax 有三
ln 3
1 a 3e
1）如何利用 f x
x
，已知 x 1,3 , f x 的解析式求 x 3,9 , f x 的解析式。 3
2）参数 a 的作用为
直线 y ax 的斜率，故数形结合求出三个交点时 a 的范围 例 5
：
已知函 数 f
(x)
是 定 义在
,0 0, 上的偶函数，当 x 0时，
2
|x 1|
1, 0 x 2
f (x) 1
2,
2
则函数 g(x) 4f(x) 1 的零点个数为（ ）
fx
x
2
A ．4
B ．
6
C ．8
D ．10
x 0,2 时，可以利用 1
x 2 时， f x f 2
y 2x
利用图像变换作出图像，
x 2 ，即自变量差 2 个单位，
函
2,4 ， 4,6 ，??的图像， g
的零点个数即为 f x 1
根的个数，即 f x 与 y 1
的
44
交点个数，观察图像在 x 0时，有 5 个交点，根据对称性可得 x 0时，也有 5个交
计 10 个交点 答案： D 小炼有话说：
小炼有话说：本题有以下两个思路：由 f x 为偶函数可得：只需作出正半轴的图像，再利用对称性作另一半
（ 1）f x f x 2 类似函数的周期性，但有一个倍数关系。依然可以考虑利用周期性2
的思想，在作图时，以一个“周期”图像为基础，其余各部分按照倍数调整图像即可（ 2）周期性函数作图时，若函数图像不连续，则要注意每个周期的边界值是属于哪一段周期，在图像中要准确标出，便于数形结合。
（ 3）巧妙利用f x 的奇偶性，可以简化解题步骤。例如本题中求交点个数时，只需分析正
半轴的情况，而负半轴可用对称性解决
例 6：对于函数f x ，若在定义域内存在．．实数 x，满足f x f x ，称f x 为“局部奇函数”，若f x 4x m2x 1m23为定义域 R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范
围是（）
A.1 3 m 1 3
B. 1 3 m 22
C. 2 2 m 2 2
D. 2 2 m 13
思路：由“局部奇函数”可
得：4x 2m 2x m2 3 4 x 2m 2x 2 m
3 0 ，整理
可
得
：
4x
4
x
2m 2
x
2
x2m26 0 ，考虑到4x
4x 2
x 2x
2
2，从而可
将
2x 2 x视为整体，方程转化
为：2
x
2
x 2
2m 2
x
2x 2m
28 0 ，利用换元
设
t 2x 2 x（t 2），则问题转化为只需让方程t 2 2mt 2m2 8 0存在大于等于 2 的解即可，故分一个解和两个解来进行分类讨论。设g t t22mt 2m28 0 。
（1）若方程有一个解，则有相切（切点x m 大于等于 2）或相交（其中交点在x 2两侧），
即0或g 2 0，解得：m 2 2或1 3 m 1 3
m2
0 2 2 m 2 2
（2）若方程有两解，则g 2 0，解得：m 1 3,m 1 3 1 3 m 2 2 ，
m 2 m 2
综上所述：1 3 m 2 2
答案： A
小炼有话说：本题借用“局部奇函数”概念，实质为方程的根的问题，在化简时将2
x
2
x
视
2）所给不等式
fx
0 呈现出 f x 轮流求导的特点， 猜想可能是符合导数的乘
xf x 法法则， 变形后可得
x
0 ，而 g x 的零点问题可利用方程进行变形， 从而与条件中
的 xf x 相联系，从而构造出 h x
例 8：定义域为 R 的偶函数 f x 满足对 x R ，有 f x 2 f x f 1 ，且当 x 2,3 时， f x 2x 2
12x 18 ，若函数 y x log a x 1 在 0, 上至少有三个零点，
则 a 的取值范围是（
)
3
B. 0,
C.
0, 5
5
5
D. 0,
为整体，进而将原方程进行转化，转化为关于 2x 2 x
的二次方程，将问题转化为二次方程根
分布问题，进行求解。
已知 函数 y f x 的图 像为 R 上 的一条 连 续 不断的 曲线 ，当 x 0 时，
答案： 小炼有话说：
1）本题由于 f x 解析式未知，故无法利用图像解决，所以根据条件考虑构造函
数，利用
单调性与零点存在性定理进行解决。
A ．0 思路： 为方 程 f x
hx xf x 0, hx
0 ，则关于 x 的函数 g x
．1
．2 1， 上单调递增； 0
xf x
1
的零点的个数为（
．0 或 2
xf x
0 ，结合 g x
0， 结合 条件中 的不等 式，可将方 程化为 xf x
即只需求出 h x 的零点个数，当 x 0 时， h x 同理可得： h x 在 ,0 上单调递减， h x min h 0 1 0 ，所以不存在零点。
的零点个数即 0， ，可设
hx 在
1，故
3
f 1 体现的是间隔 2 个单位的自变量， 其函数值差 f 1 ，联想到 周期性，考虑先求出 f 1 的值，由 f x 为偶函数，可令 x 1 ，得 f 1
x ， f x 为周期是 2 的周期函数。已知条件中函数
答案：
小炼有话说：本题有以下几个亮点：
特殊值，解出 f 1 ，进而判定周期，配合对称性作图
2)在选择出交点的函数时， 若要数形结合， 则要选择能够做出图像的函数， 例如在本题中，
实数 t 的取值范围是(
思路： f x 2 f x x2
x log a x 1 0 即
log a
2 log a
3 2 log a
1) f x 的周期性的判定：
f 1 可猜想与 f x 周期性有关， 可带入
f x 的图像可做，且 y lo
g a x 1 可通过图像变换做出 例 9： 已知 定 义 在 R 上的函数 f
f x ，当 x 1,3 时，
x
t1
1 x 2
,x x2 1,1
,x ，其中
t 0，若方程 3f x x 恰有三个不同的实数根， 则
y
x log a x 1 有三个零点，可将零点问题转化为
方程
3 3
a 2
所以 1
2 3 0 a
努力的你，未来可期
3
4
A. 0,
B.
2 23
,2
C.
4 43
,3
D.
2
, 3
,
5 5
思路 x4 x2
解方程可视为 影响 y t 1
x2
y
max t
) 由
，先做出
件作出 f x
的图像 （如图） ，可发现只
要在 x
2 处， f
的图像高于
g x 图像且在 x 6 处 f x 的图像低于 g x
图像即可。所以有 f6
g6 f
(6) g2
f (2)
f (2) 2 3
2
，即
2t2 3
答案： B 例 10：（ 2014 甘肃天水一中五月考）已知函数 si n 1,x
的图像上
log a x
0,a 1 ,
x
关于 y
轴对称的点至少有 3 对，则实数 a 的取
值范围是
A. 0,
5
5
B. 5
5,1
C.
3 3
3,1
D.
0,33
思路：考虑设对称点为 转化为方程 f
x
0 si n
1的图像，
通 1 log a x
gx si
n
x 1与h x log a x 有三个交点，先做
出
2
y sin x
2
过观 察可知若 y log a x 与 其有三个交 点，则 0 a 1，
进 一步观察图
像可得 ：只 要
则满足题意，所以
sin 5
1 2
1
log a 5 2 log a 5 log a 2 log a 5 a
1
12 5 ，所以
a
2
答案： A
三、近年模拟题题目精选：
1、已知 f(x)是以 2为周期的偶函数，当 x [0,1]时， f(x) x ，那么在区间 ( 1,3)内，
关于 x 的方程 f (x) kx k(k R)有4个根，则 k 的取值范围是 ( ) ． A
． 0 k 1
或k
3
B ．
0k 1
4
6
4 C
． 0 k 1
或k
3 D ．
0k 1
4
6
4
2、 ( 2014 吉林九校联考二模， 16)若直角坐标平面内 A,B 两点满足条件：①点 A,B 都在函数 f x 的图像上； 点 A,B 关于原点对称， 则称 A,B 是函数 f x 的一个“姊妹点对”( A,B
零点，则 a 的取值范围是
且 x 0 0，则 a 的取值范围是(
3、 A.
4、
B,A 可看作同一点对) 2015 ，天津)已知函数
R ，若函数 y
B.
2015，湖南)已知 f ，已知 f
x 恰有 ,
7 ,4
3
x ,
x
x 2 2x,x 2 x ,x e x , x 2
22,
2,
4 个零点，则 0
，则 f 函数 g x
b 的取值范围是
7 C. 0,74
的“姊妹点对” 有 f 2 x ，其中
D.
7 74
,2
若存在实数 b ，使函数 g f x b 有两个 5、( 2014，新课标全国卷 I)已知函数 f
ax 3 3x 2
1 ，若 f x 存在唯一的零点 x 0， A. 2,
B. 1,
C.
,2
D.
,1
6、( 2014，山东)已知函数 f x x2
1,g x kx ，若方程 f x g x 有两个不相
等的实根，则实数k 的取值范围是
1 A. 0,
2
1
B. 12,1
C. 1,2
D. 2,
7、（ 2014，天津）已知函数
f x
异的实数根，则实数a 的取值范围是
8、（ 2015，江苏）已知函
数f x
实根的个数
为
9、已知函数f
3 ax 3x
2
围是
（
A. 2, B
.
10 、对于函
数
,g
mn
A.
11
f(x )
1，则
称
2
x ax
2,73
已知偶
x2 3x ,x
R ，
ln x ,g
x
1 ，若f
x
1
,
x ，设m x| f
若方程
f
ax 1 0恰有 4 个
互
0,
2
x
x1
2,x ，则方
程
1
存在唯一的零点x0 ，且
x0
0 ，则a 的取
值范
C. , 2
D. ,1
x 0 ,n x|g x 0
x 与g x 互为“零点关联函数” ，若函
数f x
3互为“零点关联函数” ，则实数a 的取值
范围是（
B. 73,3
C. 2,3
若存
在
log2 x
D. 2,4
m,n 使
得
数f(x) 满足对任意x R ，均有f (1 x) f (3 2
x
2
),x [0,1]，若方程3f(x)
m(1
x 1,x (1,2]
12、（ 2016，河南中原第一次联考）
已知函数
内恰有 9 个零点，则实数a
的值为
x2
13、（ 2014，四川）已知函数f x e x
ax2底
数
1x
e与
x) 且x 恰有 5 个实数解，则实数m 的取值范围
bx
1）设g x 是函数f x 的导函数，求函数g x
cos2x asinx 在区间0,n n N
1,a,b R,e 2.71828L 为自然对数的
在区间0,1 上的最
小值
2）若f 1 0，函数f x 在区间0,1 内有零点，求a 的取值范围
习题答案：1、答案： B
1,0 解析：根据周期性和对称性可作出f x 的图像，直线f (x) kx k(k R) 过
定点
结合图像可得：若 ( 1,3) 内有四个根，
可知 k
1
0, 。若直线与 f x
在
4 2,3 相切，
联立
方程： x 2
ky kx k
3k 0 ，令
0 可
得：
6
3，当
6 3
时，解得
6
x5
2,3
，综上所
述： 0,14
2、答案： 解析： 关于原点对称的两个点为 x,y 和 x, y ，不妨
设
0，则
有
x
e ，
2
x 2x
从而 x 2 2x
2
x ，所以“姊妹点对”的个数为
方程
e
x 2
2x
的个数，即曲
线
2 yx
2x
与
2
x 的交点个数，作出图像即可得有两个交点 e
3、答案：
2 x , x 2, 2
2x fx
2 得 f (2 x) 2
D
解析：由 x,
x x
,x
所以
f(x
) f (2 x )
x
2
即y f (x) f
(2 x )
2,
2
x 5x f (x) g(x) f(x ) f(2
f (x) f (2 x ) 的 4 个公共点， 4、答案： a 解析：
g x 2
x 2,
2, x 0 8,x
x, (x x) b ,所以
2)2
,
x b 0 有 4 个不同的解，即函数
由图象可知 7
b 4
,0 U
1, x b 由两个零点， 两个交点。可在同一直角坐标系下作出 2
y x 2
有两个交点，故符合题
2.
即方程 f x
3
y x ,y 0 a 1 时， 2
，
15 10 5
5 10 15
x 恰有 4 个零点等价于
方程
y b 与函数 y f(x) f (2 x) 的图象
b 有两个根， 从而 y f x 与 y b
有
2
x 2 ，观察图像可得： a 0时，水平
线与
f x 为增函数，所以最多只有一个
零点，
不符题意；当 a 1时，存在水平线与 y x 3,y x 2
分别有一个交点，共两个符合题意。综 上所述： a ,0 U 1,
5、答
案 ：C
解析：
32 ax 3x 10 3 a x 11 3 ，令 t ，依题意可知 y
a 与y
3t t 3
应在有唯 一交点且位于 t 0的区域。 设 g t 3t t 3，所以 g ' t 3 3t 2 3 1 t 1 t ，则 g t 在 1,0 , 0,1 单增，在 , 1 , 1, 单减， g 1 2,g 1 2 ，作出图像可知只
有
当 a 2 时， y a 与 y 3t t 3
有唯一交点，且在 t 0的区域。 6、答案： B
7、答案： 0,1 U 9,
数形结合即可得到 a 0,1 U 9, 8、答案： 4
方法二：本题还可以先对方程进行变形，再进行数形结合， x 2 1 kx 中 x 0显然不是
x21 方程的解，当 x 0 时， k
，设 h
x 1
1 ,x x 2
3
x
1,x 2 为 y k 与 y h x 交点为 2个。作出图像后即可观察到
k 的范围 解析： 方程为： x 2
3x a x 1 ， x 1 显然不是方程的解， 所以 x 1时， a
x
2
3x
x1
即a x1
x 1 ，则 y a 与 y 4
t 5有 4个交点即可， t
作出图像
解析：方法一：方程
像有两个不同交点，
1
x21
x
，则问题转
化
4 x1
函数的零点 班级 ___________ 姓名 __________ 知识必备 1、函数零点定义. 对于函数()D x x f y ∈=,，把使()0=x f 成立的实数x 叫作函数()D x x f y ∈=,的零点。 2、函数的零点与相应方程的根，函数的图像与x 轴交点之间的关系. 方程()0=x f 有实根?函数()x f y =的图像与x 轴交点?函数()x f y =有零点. 3、函数零点的判定（零点存在性定理） 如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图像是一条连续曲线，并且有()()0+-≤-+=0 ,ln 20 ,322x x x x x x f 的零点个数为____________. 5、函数()()2,1≥∈-+=+n N n x x x f n n 在区间?? ? ??121，内的零点个数为______. 6、已知0x 是函数()x x f x -+ =11 2的一个零点，若()()+∞∈∈,,10201x x x x ，则（ ） ()()0,0.21< 函数零点的求法及零点的个数 题型1：求函数的零点。 [例1] 求函数 222 3+--=x x x y 的零点. [解题思路]求函数 222 3+--=x x x y 的零点就是求方程 0222 3=+--x x x 的根 [解析]令 32 220x x x --+=，∴ 2(2) (2) x x x --- = ∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴112x x x =-==或或 即函数222 3 +--=x x x y 的零点为-1，1，2。 [反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数 ()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是 一个实数。 题型2：确定函数零点的个数。 [例2] 求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数. [解题思路]求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 [解析]方法一：易证f(x)= lnx ＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增， 又有(1)(4)0f f ?<，所以函数f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。 方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 即求ln 62y x y x =?? =-?的交点的个数。画图可知只有一个。 [反思归纳]求函数)(x f y =的零点是高考的热点，有两种常用方法： ①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。 题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围 [例3] (2007·广东)已知a 是实数,函数 ()a x ax x f --+=3222,如果函数()x f y =在区 间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。 [解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点寻找关于参数 a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2 x 的系 数，故要对a 进行讨论 [解析] 若0a = , ()23f x x =- ,显然在 []1,1-上没有零点, 所以 0a ≠. 令 ()248382440 a a a a ?=++=++=, 解得 37 2a -±= ①当 37 2a --= 时, ()y f x =恰有一个零 点在[ ] 1,1-上; ②当()()()()05111<--=?-a a f f ，即15a <<时， () y f x =在[ ] 1,1-上也恰有一个零点。 ③当()y f x =在[ ] 1,1-上有两个零点时, 则 ()()20824401 1121010a a a a f f >? ??=++>??-<-??-<- 高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分14分） 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 （2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。 21．解：（1）1()ln h x a x x x =-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分 （2）方法1：问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?，得e x 1= 备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第六篇函数与导数 专题04 函数的零点 【典例1】【辽宁省丹东市2020届模拟】已知设函数()ln(2)(1)ax f x x x e =+-+. （1）若0a =，求()f x 极值； （2）证明：当1a >-，0a ≠时，函数()f x 在(1,)-+∞上存在零点. 【思路引导】 （1）通过求导得到()f x '，求出()0f x '=的根，列表求出()f x 的单调区间和极值. （2）对a 进行分类，当1a >时，通过对()f x '求导，得到()f x '在()1,-+∞单调递减，找到其零点，进而得到()f x 的单调性，找到()0>0f x ，()00f <，可证()f x 在()1,-+∞上存在零点. 当01a <<时，根据（1）得到的结论，对()f x 进行放缩，得到1e 0a f -??> ??? ，再由()00f <，可证() f x 在()1,-+∞上存在零点. 【详解】 （1）当0a =时，()()()ln 21f x x x =+-+，定义域为()2,-+∞，由()1 02 x f x x +'=- =+得1x =-． 当x 变化时，() f x '，()f x 的变化情况如下表： 故当1x =-时，()f x 取得极大值()()()1ln 21110f -=---+=，无极小值． （2）()()1 e 112 ax f x a x x ??= -++?+'?，2x >-． 当0a >时，因为1x >-，所以()() ()2 1 e 1202ax f x a a x x ??=- -++?+''，()1 002 f b -'=-<， 所以有且仅有一个()11,0x ∈-，使()10g x '=， 当11x x -<<时，()0f x '>，当1x x >时，()0f x '<， 所以()f x 在()11,x -单调递增，在()1,x +∞单调递减． 所以()()010f x f >-=，而()0ln210f =-<， 所以()f x 在()1,-+∞存在零点． 当10a -<<时，由（1）得()()ln 21x x +≤+， 于是e 1x x ≥+，所以()e 11ax ax a x -≥-+>-+． 所以()()()()()) e e ln 21e 1ln 21]ax ax ax f x x x x a x -???=+-+>-+++??? ． 于是11111 11e e e 1ln e 21]e e 1ln e 1]0a a a a a f a a -------??????????????>+-+->+--=???? ? ? ? ? ???????????????? ???． 因为()0ln210f =-<，所以所以()f x 在1e ,a -?? +∞ ??? 存在零点． 综上，当1a >-，0a ≠时，函数()f x 在()1,-+∞上存在零点． 【典例2】【河南省名校-鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试】已知函数()2 23x f x e x x =+-. （1）求函数()f x '在区间[]0,1上零点个数；（其中()f x '为()f x 的导数） （2）若关于x 的不等式()()2 5312 f x x a x ≥+-+在[)1,+∞上恒成立，试求实数a 的取值范围. 【思路引导】 函数的零点及判断零点个数提高题 1．已知函数()22,52,x x a f x x x x a +>?=?++≤?，函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,1- B ．[]0,2 C ．[)2,2- D ．[)1,2- 【答案】D ． 【解析】 22()()232x x a g x f x x x x x a -+>?=-=?++≤?，而方程20x -+=的解为2，方程 2320x x ++=的解为1-或2-，所以?? ???≤-≤-->，当1x ≤-?1x -≥，又f （x ）为奇函数， ∴0x <时， ()(] 12log (1),1,0()()13,,1x x f x f x x x ?--+∈-?=--=??-+--∈-∞-?，（也可以不求解析式，依 据奇函数的图象关于原点对称，画出y 轴左侧的图象），画出y =f （x ），y =a （01a <<）的图象，如图 共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则45123,322 x x x x ++=-= 专题三“用好零点”，证明函数不等式 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕高考压轴题中已知零点（零点个数），证明函数不等式问题，例题说法，高效训练. 【典型例题】 类型一设而不求，应用函数零点存在定理 例1.【四川省泸州市2019届高三二诊】已知函数． （1）若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点，求的取值范围； （2）求证：时，． 类型二设而不求，应用不等式性质 例2.【广东省揭阳市2019届高三一模】已知函数（，e是自然对数的底，） （1）讨论的单调性； （2）若，是函数的零点，是的导函数，求证：． 类型三代入零点，利用方程思想转化证明零点之间的关系 例3.【湖南师大附中2019届高三月考试题（七)】已知函数，其中为常数. （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个相异零点，求证：. 类型四利用零点性质，构造函数证明参数范围 例4．【山东省临沂市2019届高三2月检测】已知函数． (1)判断的单调性； (2)若在(1，+∞)上恒成立，且=0有唯一解，试证明a<1． 【规律与方法】 应用函数的零点证明不等式问题，从已知条件来看，有两类，一类是题目中并未提及函数零点，二一 类是题目中明确函数零点或零点个数；从要求证明的不等式看，也有两种类型，一类是求证不等式是函数值的范围或参数的范围，二一类是求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系. 1.由于函数零点存在定理明确的是函数值满足的不等关系，所以，通过设出函数的零点，利用函数零点存在定理，可建立不等关系，向目标不等式靠近，如上述类型一；也可以利用不等式的性质，向目标不等式靠近，如上述类型二，这两类问题突出的一点是“设而不求”． 2. 当求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系时，则注意将零点代入函数式，构建方程（组），进一步确定零点之间的关系，然后在通过求导、分离参数、构造函数等手段. 【提升训练】 1．【广东省揭阳市2019届高三一模】设函数， （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个零点、，求证：． 2．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】已知函数有两个零点． 求实数a的取值范围； 若函数的两个零点分别为，，求证：． 3.【宁夏银川市2019年高三下学期检测】已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明：（其中为自然对数的底数）． 4．已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2（a＞0）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，证明：． 5. 已知函数f（x）=3e x+x2，g（x）=9x﹣1． （1）求函数φ（x）=xe x+4x﹣f（x）的单调区间； （2）比较f（x）与g（x）的大小，并加以证明． 6. 已知函数f（x）=lnx﹣x+1，函数g（x）=ax?e x﹣4x，其中a为大于零的常数． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）求证：g（x）﹣2f（x）≥2（lna﹣ln2）． 7.【山东省济南市2019届高三3月模拟】已知函数，其导函数的最大值 专题2.函数的零点 高考解读 求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x 轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力． 知识梳理 1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点． (2)函数的零点与方程根的关系 函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标． (3)零点存在性定理 如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0, 这个c 也就是方程f (x )＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点． (4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f (x )，g (x )，即把方程写成f (x )＝g (x )的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系. 高频考点突破 考点一 函数的零点判断 例1、【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．1 2 - B ．13 C ．12 D ．1 【变式探究】(1)函数f (x )＝e x ＋1 2 x －2的零点所在的区间是( ) A. )2 1 ,0( B.)1,2 1( C ．(1,2) D ．(2,3) (2)已知偶函数y ＝f (x )，x ∈R 满足：f (x )＝x 2－3x (x ≥0)，若函数g (x )＝????? log 2x ，x >0，－1x ，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4 【方法技巧】函数零点的求法 (1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且 高中数学专题练习-函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(2015·北京)设函数f (x )＝??? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (·东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (·天津)已知函数f (x )＝??? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： 函数零点问题的求解 【教学目标】 知识与技能： 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 过程与方法： 1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决. 2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用. 情感、态度与价值观: 1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质； 2.让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2. 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有 导数与函数的零点专题 研究方程根或函数的零点的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现． 例题精讲 例1、已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2. (1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． 解析：f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a . 曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线方程为y ＝ax ＋2，由题设得－2 a ＝－2，所以a ＝1. (2)证明 由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2，设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题设知1－k >0. 当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]有唯一实根． 当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4，则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )． h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0. 所以g (x )＝0在(0，＋∞)没有实根． 综上，g (x )＝0在R 有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． 例2、已知函数 . (I)讨论的单调性；(II)若 有两个零点，求a 的取值范围. 【解析】（Ⅰ）()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a '=-+-=-+． （ i ）当0a ≥时，则当1x >时，()0f x '>；当1x <时，()0f x '< 故函数()f x 在(,1)-∞单调递减，在(1,)+∞单调递增． （ ii ）当0a <时，由()0f x '=，解得：1x =或ln(2)x a =- ①若ln(2)1a -=，即2 e a =-，则x R ?∈，()(1)()0x f x x e e '=-+≥ 故()f x 在(,)-∞+∞单调递增． 函数零点个数问题赏析 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 近年高考试卷中的N 型函数零点个数问题赏析 近些年来，有不少的N 型函数零点个数问题出现在不同年份、不同省区与全国的高考试卷中，这不能不成为高考的热门话题和需要我们研究并指导高三学生进行科学备考的一个重点内容。什么是N 型函数零点个数问题呢，就是含参函数()y f x =在其定义域内连续可导，有两个极值点1x 、2x 并将其定义域分成三个单调区间，通常是“增减增”或“减增减”，在此条件的基础上，方程()0f x =或()f x m =的根的个数与参数取值范围相关的问题。这里注意：函数()y f x =在其靠近定义域两端点时，函数值会很大或很小（即一端足够大，大于极大值；一端足够小，小于极小值）。 N 型函数有哪些呢？一可能是三次函数3 2 ()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠，二可能是函数 2()ln()f x ax bx x t =+++(0)a ≠，它们在定义域内都必须有两个极值点。 例1、（2006年福建高考卷）已知函数2 ()8f x x x =-+，()6ln g x x m =+。 （Ⅰ）求f (x )在区间[,1]t t +上的最大值()h t ； （Ⅱ）是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。 解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）构作函数2 ()()()86ln x f x g x x x x m ?=-=-++，0x >； 求导得：22862(1)(3) '()x x x x x x x ?-+--==，0x >，函数单调性与极值列表如下： x (0,1) 1 (1,3) 3 (3,)+∞ '()x ? + - + ()x ? 7m ?=- 极大 6ln 315m ?=+-极小 依题意，转化为函数()x ?图象与x 轴的交点为3时情形，当x 充分接近0时，()0x ?<，当x 充分大时，()0x ?>，为此有：707156ln 36ln 3150m m m ??=->? ?<<-? =+- 高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法 【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有 0)()( 【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()( 专题三 . 隐零点专题 知识点 一、不含参函数的隐零点问题 已知不含参函数)(x f ，导函数方程0)('=x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则①有关系式0)('0=x f 成立，②注意确定0x 的合适范围. 二、含参函数的隐零点问题 已知含参函数),(a x f ，其中a 为参数，导函数方程0),('=a x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则①有关系式0)('0=x f 成立，该关系式给出了a x ,0的关系，②注意确定0x 的合适范围，往往和a 的范围有关. 例1.已知函数)2ln()(+-=x e x g x ，证明)(x g ＞0. 例2.（2017052001）已知函数x a e x f x ln )(-=. （I ）讨论)(x f 的导函数)('x f 的零点的个数； （II ）证明：当0>a 时，)ln 2()(a a x f -≥. 例3.（2017.全国II.21）已知函数x x ax ax x f ln )(2 --=，且()0f x ≥. （I ）求a ； （II ）证明：)(x f 存在唯一的极大值点0x ，且2022)(--< 函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌 握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和 所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理 问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()00e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 问题2:函数2 ()68f x x x =-+在区间[][][]1,3, 0,1, 1,5有零点吗 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗 解法二:几何解法 (1). ()e 2 x f x x =+- 可化为2x e x =-+． 复合函数、分段函数零点个数问题 1.已知函数???<≥=) 0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判 断不正确．．． 的是【 】 A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 2、已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且 5.已知f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是【 】 A ．13 B ．16 C ．18 D ．22 6 已知函数31+,>0()3,0x x f x x x x ??=??+≤? ， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数不可能．．．为【 】 A 3 B 4 C 5 D 6 7． 已知函数f(x)＝????? ax ＋1，x ≤0，log 2x ， x ＞0。则下列关于函数y ＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确的是【 】 （A ）当a ＞0时，有4个零点；当a ＜0时，有1个零点 （B ）当a ＞0时，有3个零点；当a ＜0时，有2个零点 （C ）无论a 为何值，均有2个零点 （D ）无论a 为何值，均有4个零点 8、设R 上的函数2lg (>0) ()-2(0)x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2 +=x f x f 的零点的个数为【 】． A 2 B 3 C 5 D 7 高中数学-函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如： 函数零点经典习题 一．选择题 1．函数f(x)=-x2+4x-4在区间[1，3]上的零点情况是： A 没有零点 B 有一个零点 C 有两个零点 D 有无数个零点 2函数f(x)=(x2-4)/(x-2)的零点是 A -2，2 B 2 C -2 D 不存在 3.函数f(x)=x2+27/x的零点是 A -3 B -1/3 C 3 D 1/3 4.如果方程2ax2+x-3=0在区间（0，1）内有一个解，则a的取值范围是 A a<-1 B a>1 C -1 9.函数f(x)=x 2-ax-b 的两个零点是3，5 则函数g(x)=bx 2-ax-1的零点是 A -3，-5 B 3，5 C -1/3，-1/5 D 1/3，1/5 1.函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ ） A.?? ? ??41,81 B.?? ? ??21,41 C.?? ? ??1,2 1 D.(1,2) 2.若0x 是方程31 )2 1 (x x =的解，则0x 属于区间（ ） A ． ?? ? ??1,3 2 . B ．?? ? ??32,21 . C ．?? ? ??21,31 D ．?? ? ? ?31,0 3.函数x x x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是（ ） A ．)2,1( B ．)3,2( C ．)1 ,1(e 和)4,3( D ．),(+∞e 二．填空题 10．已知函数f9x)=x 2-1则函数f(x+2)的零点是------------ 11．方程x 2-2x-5=0在区间（2，3）内有实数根，取区间的中点x 0=2.5，下一个有根区间是------------- 12．若函数f(x)=ax+b 的零点是-3则函数g(x)=bx 2-ax 的零点是-------- 10.若函数 a x a x f x --=)( (0>a 且1≠a )有两个零点，则实数a 的取值范围 是高考复习专题：函数零点的求法及零点的个数()
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