分式的意义及性质
分式是一种特殊的数学表达式，用于表示一个数与另一个数之间的比
例关系。分式通常由一个分子和一个分母组成，分子表示被除数，分母表
示除数。分子和分母可以是整数、变量或者是一个完整的代数表达式。
1.分式表示两个数的比例关系。例如，分式1/2表示1和2之间的比
例关系，即1比2小一半。
2.分式能够表示一个整体被等分为若干份，并表示其中的一部分。例如，分式1/3表示一个整体等分为3份，而1表示其中的一份。
3.分式可以用于表示一个数相对于另一个数的百分比。例如，分式
2/5表示一些数相对于5的总数而言，占了其中的2份。
分式的性质：
1.分式具有乘除结合律。例如，(a/b)×(c/d)=(a×c)/(b×d)，
(a/b)÷(c/d)=(a×d)/(b×c)。
2.分式可以化简为最简形式。即将分子与分母进行约分，使它们没有
共同的因子。
3.分式可以互化为带分数或者小数形式。例如，分式2/3可以互化为
带分数2/3=0.6666...或小数形式2/3≈0.67
4.分式可以进行加减运算。对于相同分母的分式，可以直接将分子相
加或相减，分母不变；对于不同分母的分式，可以通过通分后再进行运算。
5.分式可以进行乘除运算。两个分式的乘积等于分子相乘，分母相乘；两个分式的除法等于分子相除，分母相除。
分式在数学中具有广泛的应用，尤其是在代数学和实数学中。它们可以用于解方程、表示比例、表示百分比、计算平均数等。分式的意义和性质的理解对于数学的学习和应用具有重要的意义，可以帮助我们更好地理解数与数之间的关系，并运用到实际的问题中去。
分式的意义及性质 目标认知 学习目标 1．理解分式的意义，会求使分式有意义的条件。 2．掌握分式的基本性质并能用它将分式变形。 重点 分式的意义及其基本性质。 难点 分式的变号法则。 知识要点梳理 要点一：分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中A叫做分子， B叫做分母。 要点诠释： （1）分式表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。 如可以表示(a－b)÷(a+b)； （2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母一定含有字母。 （3）分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当时，分式才有 意义； （4）判断一个代数式是否是分式，不能把原式变形(如约分等)后再看，而只能根据它的本来面目进行判断。例如：对于来说，，我们不能因为是整式，就判断也是整式，事实上 是分式。 要点二：分式有意义、无意义，分式的值为零的条件 1、分式有意义的条件是分式的分母不为0； 2、分式无意义的条件是分式的分母为零； 3、分式的值为零的条件是分式的分子为零，且分母不为零。 要点诠释： （1）分母不为零是分式概念必不可少的组成部分，无论是分数还是分式，分母为零都没有意义。 （2）分式分母的值不为0，是指整个分母的值不为0。如果分母中的字母的值为0，但整个分母的值不 为0，则分式是有意义的。
（3）分式的值为0，是在分式有意义的条件下，再满足分子的值为零。 （4）如果没有特别说明，所遇到的分式都是有意义的。例如在分式中隐含着，即 这一条件，也就是说分式中分母的值不为零。 要点三：分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是： (其中)。 要点诠释： （1）运用分式的基本性质时，千万不能忽略“”这一条件. 如，变形时，必 须满足2x+1≠0。 （2）分式的基本性质要求“同乘（或除以）一个不等于0的整式”即分式的分子、分母要做相同的变形，要防止只乘（或除以）分子(或分母)的错误；同时分子、分母都乘（或除）以的整式必须相同。 （3）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发 生变化。例如：，在变形后，字母x的取值范围变大了。 知识点四：分式的变号法则 一个分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 要点诠释： （1）改变符号时应该是分子、分母整体的符号，而不是分子、分母中某一项的符号； （2）一个分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何一个或三个，得到的分式成为原分式的 相反数。 要点五：分式的约分 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。 要点诠释： （1）约分的依据是分式的基本性质； （2）约分的方法是：先把分子、分母分解因式（分子、分母是多项式时），然后约去它们的公因式； （3）找公因式的方法：先分解因式，系数取最大公约数，字母（或字母因式）取相同字母（或字母因式）的最低次幂； （4）约分要彻底，使分子、分母没有公因式，分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式。
分式的概念和性质 要点一、分式的概念 一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 A B 叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母. 要点诠释：分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2x y x 是分式，与xy 有区别，xy 是整式，即只看形式，不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零. （2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分 母的值不等于零. （3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 要点三、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M B B M B B M ?÷==?÷，（其中M 是不等于零的整式）. 要点诠释：在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如： ，在变形后，字母x 的取值范围变大了. 要点四、分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 要点诠释：根据分式的基本性质有b b a a -=-，b b a a -=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与a b -互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 要点五、分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分
分式的概念： 当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式． 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时，注意以下三点： ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0； ⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开． 分式有意义的条件： 两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式1 x ，当0 x≠时，分式有意义；当0 x=时，分式无意义． 分式的值为零： 分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 分式的基本性质： 分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变． 上述性质用公式可表示为：a am b bm =， a a m b b m ÷ = ÷ (0 m≠)． 注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0 m≠； ②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据． 一、分式的基本概念 【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ 1 t ，(2) 3 x x+， 221 1 x x x -+ - ， 24 x x + ， 5 2 a ，2m， 2 1 321 x x x + -- ， 3 π x - ， 32 3 a a a + 【例2】代数式 2222 113 1 321223 x x x a b a b ab m n xy x x y +-- +++ + ，，，，，，，中分式有（） A.1个 B.1个 C.1个 D.1个 分式的基本概念及性质
分式的意义和性质 一、分式的概念 1、用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做 分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。这就是分式的概念。研究分式就从这里展开。 2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不 一定可以取任意值。分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有 意义。一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。 3.〔1〕分式：，当B=0时，分式无意义。 〔2〕分式：，当B≠0时，分式有意义。 〔3〕分式：，当时，分式的值为零。 〔4〕分式：，当时，分式的值为1。 〔5〕分式：，当时，即或时，为正数。 〔6〕分式：，当时，即或时，为负数。 〔7〕分式：，当时或时，为非负数。
三、分式的根本性质： 1、学习分式的根本性质应该与分数的根本性质类比。不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。 2、这个性质可用式子表示为：〔M为不等于零的整式〕 3、学习根本性质应注意几点： 〔1〕分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零； 〔2〕易犯错误是只乘〔或只除〕分母或只乘〔或只除〕分子； 〔3〕如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。 4、分式变号法那么的依据是分式的根本性质。 5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如以下式子： ，。 四、约分： 1、约分是约去分子、分母中的公因式。就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。 2、约分的理论依据是分式的根本性质。 3、约分的方法： 〔1〕如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中一样因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。 例1，请说出以下各式中哪些是整式，那些是分式？〔1〕〔2〕〔3〕 〔4〕
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 分式的意义和性质 分式的意义和性质一、分式的概念 1、用 A、 B 表示两个整式， AB 可以表示成的形式，其中 A 叫做分式的分子， B 叫做分式的分母，如果除式 B 中含有字母，式子就叫做分式。 这就是分式的概念。 研究分式就从这里展开。 2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。 分式的分子 A 可取任意数值，但分母 B 不能为零，因为用零做除数没有意义。 一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。 3、（1）分式： ，当 B=0 时，分式无意义。 （2）分式： ，当 B0 时，分式有意义。 （3）分式： ，当时，分式的值为零。 （4）分式： ，当时，分式的值为 1。 （5）分式： 1 / 10
，当时，即或时，为正数。 （6）分式： ，当时，即或时，为负数。 （7）分式： ，当时或时，为非负数。 二、分式的基本性质： 1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。 不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。 2、这个性质可用式子表示为： （M 为不等于零的整式） 3、学习基本性质应注意几点：（1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；（2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；（3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。 4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。 5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子： ，。 三、约分： 1、约分是约去分子、分母中的公因式。 就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。
分式及基本性质 一、分式的概念 1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。 2、对于分式概念的理解，应把握以下几点： （1）分式是两个整式相除的商。其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。 3、分式有意义、无意义的条件 （1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0； （2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。 4、分式的值为0的条件： 当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。即，使B A =0的条件是：A=0，B ≠0。 5、有理式 整式和分式统称为有理式。 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式； 多项式：由几个单项式的和组成的代数式。 二、分式的基本性质 1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A B= A·M B·M = A÷M B÷M，其中M（M≠0）为整式。 2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。 3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。 在约分时要注意：（1）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数 的最大公约数，相同字母的最低次幂； 如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分； （3）约分一定要把公因式约完。 三、分式的符号法则： （1）－a b= a -b=－ a b；（2） -a -b= a b；（3）－ -a -b= - a b
分式的定义与性质 一、分式的定义 如果整式A 除以整式B,可以表示成A/B 的形式.且除式B 中含有字母, 那么称式子A/B 为分式. 其中,A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。 例题 1、判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ （1）9x+4, （2）x 7 , （3）209y +,（4） 54-m , （5） 238y y -，（6）9 1-x 是分式的有 ； 2、下列各式中使分式的是______________. πm y x x x 2)3(;8)2(;)1(2 + 3、列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？ (1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时. （2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时. (3)x 与y 的差于4的商是 . 二、分式有意义的条件 对任意一个分式，若使分式有意义，则分母都不能为零。 例1、当x 取何值时，下列分式有意义？ （1）x 25 （2）x x 235-+ （3）2 522+-x x 答案：（1） ；（2） ；（3） ； 2．使分式224 x x +-等于0的x 值为（ ） A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．不存在 3 、 对于分式5 312-+x x ， （1）当 时，分式有意义；
（2）当 时，分式的值为0； （3）当 时，分式的值为1； 2、 当x 为何值时，分式x x x --21 || 的值为0？ 三、分式的基本性质 分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数或者式子，分式的值不变 1、（1）填充分子，使等式成立；() 222(2)a a a -=++ （2）填充分母，使等式成立：()2223434 254x x x x -+-=--- 2、不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项系数都化为整数。 （1）0.010.50.30.04x y x y -+； （2）322 283a b a b -- 3、把分式x x y +（x ≠0，y ≠0）中的分子、分母的x ，y 同时扩大2倍，那么分式的值（ ） A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．改变 D ．不改变 4、下列等式正确的是 （ ） A ．22b b a a = B ．1a b a b -+=-- C ．0a b a b +=+ D ．0.10.330.22a b a b a b a b --=++ 5、将分式22x x x +化简得1x x +，则x 必须满足_________________________。
1 / 19 分式是不同于整式的另一类有理式，分式是代数式中重要的基本概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分．在此基础上学习分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序．在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利．与此同时借助对分数的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，这在本章学习中经常使用． 一、分式的意义与基本性质： 1、分式的概念：两个整式、B 相除，即A B 时，可以表示为 A B ．如果B 中含有字母，那么A B 叫做分式，叫做分式的分子，B 叫做分式的分母． 在理解分式的概念时，注意以下三点： （1）分式的分母中必然含有字母； （2）分式的分母的值不为0； （3）分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开． 2、分式有意义的条件： 两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式 分式的意义、性质及综合计算 知识结构 知识精讲 内容分析
无意义．例如：分式1 x ，当0 x≠时，分式有意义；当0 x=时，分式无意义． 3、分式值为零的条件： 分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．4、分式的基本性质： 分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不 变．上述性质用公式可表示为：a am b bm =， a a m b b m ÷ = ÷ (0 m≠)． 注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0 m≠； ②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据． 二、分式的乘除： 1、分式的乘法：两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表 示为：A C AC B D BD ?=． 2、分式的乘方法则：分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即 n n n A A B B ?? = ? ?? ． 3、分式的除法法则：分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．用 公式表示为：A C A D AD B D B C BC ÷=?=． 4、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算． 【注意】 1、在分式除法运算中，除式或（被除式）是整式时，可以看作分母是1的分式，然后按照分式的乘除法的法则计算． 2、要注意运算顺序，对于分式的乘除来讲，它只含同级乘除运算，而在同级运算中，如果没有附加条件（如括号等），那么就应该按照由左到右的顺序计算． 三、分式的加减： 1、同分母的分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减． 2、异分母的分式加减法法则： （1）通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分，这几个相同的分母叫做公分母． （2）异分母分式加减法法则：分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分母分式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简． 四、分式的综合运算： 与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的．
分式的性质及意义 分式是数学中一种特殊的表达形式，由分子和分母组成，分子与分母 都可以是数或者代数式。 1.分式的值是唯一的：分式所代表的数值是确定的，不会因为分式写 法的不同而改变。 2.分式的分母不能为零：分母不能为零，因为除数不能为零。 3.分式的约分：分式可以通过约分化简为最简形式，即分子和分母没 有相同的因子。 4.分式的乘法和除法：两个分式相乘时，可以将分子和分母分别相乘；两个分式相除时，可以将第一个分式的分子和第二个分式的分母相乘，并 将第一个分式的分母和第二个分式的分子相乘。 5.分式的加法和减法：两个分式相加时，需要首先找到它们的公共分母，然后将分子相加，分母保持不变；两个分式相减时，需要首先找到它 们的公共分母，然后将分子相减，分母保持不变。 分式的意义： 1.分数的意义：分式可以用来表示一个整体被划分成若干等份中的一份。分母表示整体被划分的份数，分子表示被划分的份数中的一份。例如，1/2表示一个整体被划分为两份中的一份。 2.比值的意义：分数也可以表示两个数的比值。分子表示比例中的前 一个数，分母表示比例中的后一个数。例如，2/3表示两个数的比值为2：3
3.量的意义：分数可以用来表示一定数量的其中一种东西。分子表示 具体的量值，分母表示这个量与单位的关系。例如，1/4表示一个量的值 为1，单位为4个。 4.分式的运算意义：分式的运算可以用来解决实际问题，如分数的相 加减、相乘除等运算可以用来求解各种问题，如物品的比例增减、人员的 比例关系等。 分式在日常生活中的应用非常广泛，如： 1.厨房中的食谱：食谱中经常用到分数，如“1/2杯糖”、“3/4勺盐”等，用来表示食材的量。 2.比例关系：比值经常用到分数的形式，例如比例尺上的比例关系就 是使用分数表示的。 3.金融中的利率：利息的计算中用到的年利率、月利率等都可以看作 分数的形式。 4.化学中的配方：不同化学物质的配方中经常使用到分数，如“2:1”的配方比例表示两个物质的摩尔比。 综上所述，分式是数学中一种特殊的表达形式，具有唯一性和不可为 零的性质。它可以表示分数、比值、量和运算等多种意义，在日常生活中 应用广泛。了解分式的性质和意义，可以帮助我们更好地理解和运用分式。
分式的意义和性质 分式（Fraction）是指由两个整数表示的有理数，其中，分子（numerator）表示分数的一个部分，分母（denominator）表示分数的另一个部分。分式通常写成 $\frac{a}{b}$ 的形式，其中 $a$ 是分子，$b$ 是分母。分式的意义和性质在数学中有广泛的应用，如代数、几何、物理等领域。 一、分式的意义： 1. 分式表示数的部分：分式能够表示数的部分或部分数量。例如，$\frac{2}{3}$ 表示一个整体的三分之二，$\frac{7}{8}$ 表示一个整体的八分之七。 2. 分式表示比率：分式可以用来表示比率或比例。例如， $\frac{5}{6}$ 表示五份中的六份，$\frac{3}{5}$ 表示三个中的五个。 3. 分式表示除法：分式可以看作是一个数除以另一个数的结果。例如，$\frac{2}{5}$ 可以看作是2除以5的结果。这种表示方法在计算中特别有用。 4. 分式表示小数：分式也可以表示小数。例如，$\frac{1}{2}$ 表示小数0.5，$\frac{3}{4}$ 表示小数0.75 二、分式的性质： 1. 分式的大小比较：对于正的分式，分子越大，分数越大。例如，$\frac{4}{5}$ 比 $\frac{2}{5}$ 大。对于正的分式，分母越大，分数越小。例如，$\frac{2}{3}$ 比 $\frac{2}{5}$ 小。
2. 分式的约分：分式可以进行约分，即分子和分母同时除以一个相 同的数。例如，$\frac{2}{4}$ 可以约分为 $\frac{1}{2}$。约分可以简 化计算，并且使得分式更加简洁。 5. 分式的倒数：分式的倒数是指将分子和分母互换位置所得到的新 的分式。例如，$\frac{2}{3}$ 的倒数是 $\frac{3}{2}$。倒数的意义是 将分数的分子与分母的位置对调，可以改变分数的大小关系。 总之，分式作为有理数的一种表示形式，具有很多重要的意义和性质。它可以表示数的部分、比率和除法运算，可以表示小数，还可以进行大小 比较、约分、加减乘除等运算。分式的认识和理解对于数学的学习和实际 应用有很大的帮助。
分式的意义及性质 分式是数学中的一种表示数的形式，由分子和分母组成，分子表示被 除数，分母表示除数。分式的意义是表示一个数是由两个整数的比例构成的。 分式的性质如下： 1.值的性质：分式的值可以是有理数也可以是无理数，取决于分子和 分母的值。 2.约分性质：对于一个分式，如果分子和分母有公约数，可以进行约分，即将两者同时除以最大公约数，使得分式的值保持不变。 3.逆运算性质：分式与整数的乘、除运算可以通过通分和约分来进行。 4.运算性质：分式与分式的加、减、乘、除运算可以通过通分和约分 来进行。 5.负号性质：可以对分式的分子或分母加负号，改变分式的正负性。 6.相等性质：两个分式是否相等可以通过交叉相乘法（求两个分式的 乘积，判断是否相等）来进行判断。 7.近似性质：将分式转化为小数形式可以进行近似计算，这在实际问 题中往往更为方便。 1.比例关系：分式可以表示比例关系，如一个矩形的长与宽的比可以 表示为一个分式。 2.图形的类比：分式可以表示图形的类比关系，如一个三角形的边长 比例可以表示为一个分式。
3.百分比：百分比可以看作是一个以100为分母的分式，表示一个量与总量之间的比值。 4.速度计算：速度可以表示为距离与时间的比率，可以用一个分式来表示。 5.金融计算：利率、折扣等金融概念可以通过分式来表示。 6.科学计算：科学领域中常常需要进行精确的计算，分式可以提供更准确的表达和计算结果。 7.概率与统计：概率和统计中的概率、频率等概念也可以通过分式来表示。 分式在数学学习中是一个重要的概念，掌握分式的意义和性质可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。因此，在学习分式时，我们需要注意理解分式的定义和性质，并通过实际问题的解决来加深对分式的认识。
分式的意义及分式的基本性质 从分数到分式 知识领航：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式．对分式的概念的理解要注意以下两点：（1）分母中应含有字母；（2）分母的值不能为零．分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当0≠B 时，分式 B A 才有意义；当B=0时，分式B A 无意义.由于只有在分式有意义的条件下，才能讨论分式的值的问题，因此，要分式的值为零，需要同时满足两项条件：（1）分式的分母的值不等于零；（2）分子的值等于零． 分式的基本性质是：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示是： C B C A B A ⋅⋅= C B C A B A ÷÷= （0≠C ）约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分．约分的依据是分式的基本性质． 习题一： 1、 当x 取什么值时，下列分式有意义．（1）54+x x ， （2）4 22+x x . 2、已知分式2 4 2+-x x ，当X 为何值时，分式无意义？当X 为何值时，分式有意义？当X 为何值时，分式的值为 零？当X=-3时，分式的值是多少？ 3、式子① x 2 ②5y x + ③a -21 ④1 -πx 中，是分式的有-----------------------------（ ） A ．①② B. ③④ C. ①③ D.①②③④
4、分式 1 3-+x a x 中，当a x -=时，下列结论正确的是---------------------------------------（ ） A ．分式的值为零 B.分式无意义 C. 若31-≠a 时,分式的值为零 D. 若3 1 ≠a 时,分式的值为零 5. 若分式 1 -x x 无意义,则x 的值是------------------------------------------------------( ) A. 0 B. 1 C. -1 D.1± 6.如果分式 x 211 -的值为负数,则的x 取值范围是------------------------------------------( ) A.21≤x B.21
分式的意义及性质 分式（fraction）是由两个整数构成的表达式，称为分子（numerator）和分母（denominator），分母不能为零。分式的形式通常 为a/b，读作a除以b，其中a为分子，b为分母。分子表示分式的份数 或部分数，分母表示每个份数或部分的均等分割数。 分式在数学和实际生活中都有重要的意义。它们可以用于表示比例、 比率、百分比、概率等。以下是分式的一些重要性质和应用： 1.表示比例和比率：分式可以表示两个数或量之间的比例关系。例如，如果一个班级有30个学生，其中男生有15个，则男生在班级中的比例可 以表示为15/30，或简化为1/2、这个分式表示男生和总学生数之间的比率。 2.表示百分比：分式也可用于表示百分比。例如，如果项考试有50 道题，一个学生答对了25道，则答对的百分比可以表示为25/50，或简 化为1/2，即50%。 3.表示部分与整体：分式可以表示部分与整体的关系。例如，一个披 萨被平均分成8份，一个人吃了2份，则这个人吃了2/8的披萨。 4.运算性质： -加法：两个分数相加时，需要先化为相同的分母，然后将分子相加。例如，1/3+1/4=4/12+3/12=7/12、结果可以简化为最简分式。 -减法：两个分数相减时，也需要先化为相同的分母，然后将分子相减。例如，2/5-1/3=6/15-5/15=1/15
-乘法：两个分数相乘时，将分子相乘，分母相乘。例如， 2/3*3/4=2*3/3*4=6/12、结果可以简化为1/2 -除法：两个分数相除时，将第一个分数的分子乘以第二个分数的分母，第一个分数的分母乘以第二个分数的分子。例如， 2/3÷1/4=(2/3)*(4/1)=8/3、结果可以简化为22/3 5.约分和最简分式：约分是将分式化为最简形式的过程。即在分子和 分母同时除以它们的最大公约数，使分子和分母没有共同的因数。例如， 8/12可以约分为2/3 6.逆运算：分式的逆运算是求其倒数。例如，分数1/2的倒数是2/1，或简化为2、逆运算可以帮助我们解决一些问题，例如计算速度的倒数是 时间。如果一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，那么它每分钟前进1公里，其速度的倒数是1/60。 7.比较大小：可以通过比较分数的大小来比较两个数的大小。例如， 比较1/2和3/4，我们可以将它们化为相同的分母，然后比较它们的分子。1/2可以化为2/4，因此2/4<3/4 总结起来，分式在表示比例、比率、百分比和部分与整体关系方面非 常有用。它们还适用于加法、减法、乘法和除法等运算中，并且可以通过 约分和比较大小来进一步操作。在实际生活和各学科的问题中，我们常常 需要使用分式来表示和解决各种数学和现实世界中的比例和关系。
分式的概念 当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地,如果A ，B 表示两个整式,并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式． 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时，注意以下三点: ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0； ⑶分式必然是写成两式相除的形式,中间以分数线隔开． 分式有意义的条件 两个整式相除,除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式 1 x ，当0x ≠时，分式有意义；当0x =时，分式无意义． 分式的值为零 分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 上述性质用公式可表示为：a am b bm =，a a m b b m ÷=÷(0m ≠)． 注意:①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠； ②强调“同时"，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据． 一、分式的基本概念 【例1】 在下列代数式中,哪些是分式？哪些是整式？ 1t ，(2)3x x +，2211x x x -+-,24x x +，52a ，2m ，21321x x x +--，3πx -，32 3a a a + 【考点】分式的基本概念 【解析】根据分式的概念可知,分式的分母中必然含有字母， 由此可知1t ,2211x x x -+-，24x x +，21 321x x x +--，323a a a +为分式． (2)x x +， 5a ,2m ，3x -为整式． 【答案】1t ，1x -，24x x +,21 321x x x +--,3a 为分式
分式的基本性质和概念 一、分式的基本性质和概念 1、分式的概念 一般地，如果$A$，$B$表示两个整式，并且$B$中含有字母，那么式子 $\frac{A}{B}$叫做分式。分式$\frac{A}{B}$中，$A$叫做分子，$B$叫做分母。 2、分式有意义的条件 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0。即当$B≠0$时，分式$\frac{A}{B}$才有意义。 3、分式的值为0的条件 当分式的分子等于0，且分母不等于0时，分式的值为0，即当$A=0$，且$B≠0$时， 分式$\frac{A}{B}=0$。 4、分式的基本性质 （1）分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 即$\frac{A}{B}=\frac{A·C}{B·C}$，$\frac{A}{B}=\frac{A÷C}{B÷C}$$(C≠0)$，其中$A$，$B$，$C$是整式。 （2）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分 式的约分。 （3）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去 分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数约去它们的最大公约数，如果分式 的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分。 （4）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。 （5）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等 的同分母的分式，叫做分式的通分。 （6）通分法则：把两个或者几个分式通分，①先求各个分式的最简公分母（即各分 母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂与所有不同因式的积）。②再利用分式的基本 性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分
分式的概念及基本性质分式的运算 一. 知识精讲及例题分析 （一）知识梳理 1. 分式的概念 形如A B （A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式。其中A叫分式的分子，B叫 分式的分母。 注： （1）分式的分母中必须含有字母 （2）分式的分母的值不能为零，否则分式无意义 2. 有理式的分类 3. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 A B A M B M = ⨯ ⨯ ， A B A M B M = ÷ ÷ （M为整式，且M≠0） 4. 分式的约分与通分 （1）约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。 步骤： ①分式的分子、分母都是单项式时 ②分子、分母是多项式时 （2）通分：把n个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，为进行分式加减奠定基础。 通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，即各分母所有因式的最高次幂的积。 求最简公分母的步骤： ①各分母是单项式时 ②各分母是多项式时 5. 分式的运算 （1）乘除运算 （2）分式的乘方 （3）分式的加减运算 （4）分式的混合运算 【典型例题】 例1. 下列有理式中，哪些是整式，哪些是分式。 ab a 2 ， 1 x ， a 3 ，- - x x y ， x+1 π， 1 4 () x y -， 1 y a b () +， 1 2 a- 例2. 下列分式何时有意义 （1）x x - + 1 2 （2） 1 1 ||x- （3） 4 1 2 x x- （4） x x x 22 + 例3. 下列分式何时值为零 下列各式中x为何值时，分式的值为零？