七年级上数学思维拓展训练
第一章兴趣数学
七桥问题（一笔画问题）
18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。
七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注。他把具体七桥布局化归为图所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线
只画一次不准重复），并且最后返回起点？
欧拉经过研究得出的结论是：图是不能一笔画出的图形。这就是说，七桥问题是无解的。这个结论是如何产生呢？
如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。
如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。
综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。
图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。
欧拉定理：如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，
那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。
一笔画：
■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
■⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)
练习：你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？试试看。（不走重复线路）图例1
图例2
图例3
图例4
第二章 绝对值
知识回顾：
绝对值的意义
（1） 代数意义:一个正数的绝对只是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的
绝对值是0.
（2） 几何意义：一个数的绝对值是表示这个数的点在数轴上离开原点的距离。
1、绝对值的常用性质：
⑴非负性：任何一个数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.
⑵双解性：绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数（0除外），即若|x|＝a ﹙a ＞0﹚则x ＝±a.
⑶|－a|＝|a| ⑷|a|≥a ⑸(|a|)2＝|a 2|﹦a 2
⑹|ab|﹦|a|?|b| ⑺|b
a b a =﹙b ≠0﹚ 解题技巧： 解答绝对值问题，常用的思维方法有：
1、分类讨论思想：去掉含字母的绝对值时，需要对字母取值加以讨论。
2、数形结合思想：绝对值问题通常会和数轴联系在一起。
3、 零点分段法：多个绝对值化简时常用。
☆教学过程：
★ 一.求未知数
例1：若5a =，则a = 。若0a =，则a =
思考提示：根据绝对值定义：数轴到原点距离是5和0的点有几个？是多少？ 变式1:若9x =-，则x = ； 若()2.8x =--，则x = ； 若2x -=-，则x = ；
变式2：25x -=若，则x = 若21 3.5x -=，则x = 。
★ 二.非负数的性质应用
例2：若320a b ++-=，则a b += 。思考提示：两个最小是0的数加在一起等于0说明什么呢？
变式：1：非负数类型玩花样：若()2120a b -++=，则()2009a b += 。 变式：2：变量个数不断增加：若3150x y z +++++=，则x y z --= 。 总结：若干非负数之和为0， 。
★ 三.数轴上两点间的距离公式：若数轴上两点,A B 所表示的数为,a b ，则,A B 两点间的距离为a b -
例3．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.
并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ .
（2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离
可以表示为 ________________.
（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___.
（4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ .
（5）若1232008x x x x -+-+-++-L 的值为常数，试求x 的取值范围．
★ 四.绝对值的最值问题
例4.（1）当x 取何值时，3-x 有最小值？这个最小值是多少？（2）当x 取何值时，
25+-x 有最大值？这个最大值是多少？（3）求54-+-x x 的最小值。
（4）求987-+-+-x x x 的最小值。
（2）当b 为______时，5-12-b 有最大值，最大值是_______
当a 为_____时，1＋|a +3 |有最小值是_________.
（3） 已知1,1≤≤y x ，设421--++++=x y y y x M ，求M 的最大值与最小值．
（4） 利用数轴分析23x x -++，可以看出，这个式子表示的是x 到2的距离与x 到3
-的距离之和，它表示两条线段相加：⑴当x > 时，发现，这两条线段的和随x 的增大而越来越大；⑵当x < 时，发现，这两条线段的和随x 的减小而越来越大；⑶当 x ≤≤ 时，发现，无论x 在这个范围取何值，这两条线段的和是一个定值 ，且比⑴、⑵情况下的值都小。因此，总结，23x x -++有最小值 ，即等于 到 的距离
（5） 利用数轴分析71x x +--，这个式子表示的是x 到7-的距离与x 到1的距离之
差它表示两条线段相减：⑴当x ≤ 时，发现，无论x 取何值，这个差值是一个定值 ；⑵当x ≥ 时，发现，无论x 取何值，这个差值是一个定值 ；
⑶当 x << 时，随着x 增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。 因此，总结，式子71x x +--当x 时，有最大值 ；当x 时，有最小值 ；
★ 五.含未知数的绝对值的化简（学习去绝对值符号法则）
例5：阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道()()()
0000
<=>?????-=x x x x x x ，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式21-++x x 时，可令01=+x 和02=-x ，分别求得2,1=-=x x （称2,1-分别为1+x 与2-x 的零点值）。在有理数范围内，零点值1-=x 和2=x 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
（1）当1- （2）当21<≤-x 时，原式=()321=--+x x ； （3）当2≥x 时，原式=1221-=-++x x x 。 综上讨论，原式=()()() 2211123 12≥<≤-- （1） 先分别求出2+x 和4-x 的零点值，再化简42-++x x （2） 已知23++-x x 的最小值是a ，23+--x x 的最大值为b ，求b a +的值。 （3） 如果2x ＋| 4－5x|＋ |1－3x |＋4恒为常数，求x 的取值范围。 【课后练习】 3．若实数x 、y 满足2002(x 一1)2 1122013+--=y x ，则=+22y x ． 4. 若1++b a 与2)1(+-b a 互为相反数，则a 与b 的大小关系是( )． A ．b a > B ．b a = C ．b a < D ．b a ≥ 5.若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。 6.先求零点值，再化简｜3x+1｜+｜2x-1｜． 7.当a 为_____时，3＋|2a －1 |有最小值是________；当b 为______时，1- | 2＋b|有最大值是_______. 8. 11-++x x 的最小值是（ ） A ． 2 B ．0 C ．1 D ．-1 ★★★9. ⑴求当x 取何值时，1232013x x x x -+-+-++-L 有最小值，最小值是多少。 ⑵求当x 取何值时，1232012x x x x -+-+-++-L 有最小值，最小值是多少。 第三章 整式的加减 【典型例题】 ★类型一：整体代入法 例1、若代数式7322++y y 的值是2，求代数式9642-+y y 的值。 例2、 设m 和n 均不为零, 233x y 和2235m n x y ++-是同类项, 求3223 3223 339______________.5369m m n mn n m m n mn n -++=+-+ 例3、当5-=x 时，代数式c bx ax ++24的值是3，求当5=x 时，代数式c bx ax ++24的 值.例4、 设()537-++=cx bx ax x f ，其中a 、b 、c 为常数，已知()77=-f ，求()7f 的值. 例4、已知多项式c bx ax x +++23中，c b a ,,为常数， 当1=x 时，多项式的值是1；当2=x 时。多项式的值是2.若x 是8和5-时，多项式的值分别是M 、N ,求N M -的值。 ★类型二：降次法 例5、（1999年北京竞赛题）若133=-x x ，求代数式199973129234+--+x x x x 的值。 变式练习、若=+++=-+1855,013232x x x x x 则___________。 例6、已知a 为有理数，且0123=+++a a a ，求代数式19954321a a a a a +??????+++++的值. 1、如果代数式13 22+-x x 的值为2，求代数式3322--x x 的值。 2、已知012=-+x x ，求代数式()()15232++-x x 的值。 3、（16届希望杯数学竞赛题）已知,322=+x x 求代数式151387234+-++x x x x 的值。 4、如果,012=-+x x 求代数式723-+-x x 的值。 5、已知代数式c bx ax ++3，当0=x 时的值为2；当3=x 时的值为1，求当3-=x 时，代数式的值。 6、当时2=x ，代数式13+-bx ax 的值等于17-，那么当1-=x 时，代数式53123--bx ax 的值是多少？ 7、如果对于某一特定范围内x 的任意允许值， x x x x x P 10191413121-+-++-+-+-=Λ的值恒为一个常数。请求出这个常数。 第四章动点专题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想 1．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|2b﹣6|+（a+1）2=0，A、B 之间的距离记作AB，定义：AB=|a﹣b|． （1）求线段AB的长． （2）设点P在数轴上对应的数x，当PA﹣PB=2时，求x的值． （3）M、N分别是PA、PB的中点，当P移动时，指出当下列结论分别成立时，x的取值范围，并说明理由：①PM÷PN的值不变，②|PM﹣PN|的值不变． 2．如图1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x． （1）PA= _________ ；PB= _________ （用含x的式子表示） （2）在数轴上是否存在点P，使PA+PB=5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点P以1个单位/s的速度从点D向右运动，同时点A以5个单位/s的速度向左运动，点B以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是AP、 OB的中点，问：的值是否发生变化？请说明理由． 3．如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点， AB=14． （1）若点P在线段AB上，且AP=8，求线段MN的长度； （2）若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关；（3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：① 的值不变；②的值不变，请选择一个正确的结论并求其值． 4．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上） （1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请说明P点在线段AB上的位置： （2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求的值． （3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D 点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN 的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 5．如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB=AC，点C对应的数是200． （1）若BC=300，求点A对应的数； （2）如图2，在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足MR=4RN（不考虑点R与点Q相遇之后的情形）； （3）如图3，在（1）的条件下，若点E、D对应的数分别为﹣800、0，动点P、Q分别从E、D两点同时出发向左运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度 每秒，点M为线段PQ的中点，点Q在从是点D运动到点A的过程中，QC﹣AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若不变，请说明理由． 6．如图1，已知点A、C、F、E、B为直线l上的点，且AB=12，CE=6，F为AE的中点．（1）如图1，若CF=2，则BE= _________ ，若CF=m，BE与CF的数量关系是 （2）当点E沿直线l向左运动至图2的位置时，（1）中BE与CF的数量关系是否仍然成立？请说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，在线段BE上，是否存在点D，使得BD=7，且DF=3DE？ 若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 7．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM 上） （1）若AB=10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值． （2）若点C、D运动时，总有MD=3AC，直接填空：AM= _________ AB． （3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN=MN，求的值． 8．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x． （1）如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是_________ ； （2）数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由． （3）如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，点N的距离相等？ 9．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10．动点P从点A 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数_________ ，点P表示的数_________ 用含t的代数式表示）； （2）动点R从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R 同时出发，问点P运动多少秒时追上点R？ （3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长； 10．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10．动点P从点A 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）①写出数轴上点B表示的数_________ ，点P表示的数_________ （用含t的代数式表示）； ②M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长； （2）动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点R从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若P、Q、R三动点同时出 发，当点P遇到点R时，立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动．那么点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？ 六年级思维拓展之标数法求最短路线数 1.阿雅和天天到图书馆参加活动。如果他们从学校出发，共有多少种不同的最短路线？ 2.球球从A步行到Z，行走方向都是向右或者向下，路线如图所示。那么球球一共有多少种不同的行走路线？ 3.下图是阿雅学校附近小区的平面图。今天阿雅放学，要去同学家写作业。请问：从学校到同学家有多少种不同的最短路线？ 4.B点有一群小羊在吃草，大灰狼在A点，它想到B点吃羊，最短路线有多少条？ 5.皮皮和天天准备去看望养老院的李奶奶，可是市中心在修路（城市的街道如图所示），他们从学校到养老院最短路线共有几条呢？聪明的小朋友，你们知道吗？ 6.下图是天天家附近小区的平面图。今天下雨，路口G有积水，不能通过。请问：今天天天从家去学校有多少种不同的最短路线可供选择？ 7.天天上学需要先经过K路口去买书。请问：天天经过K路口到达学校有多少种不同的最短路线？ 8.如图，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？ 9.城市街道如下图所示，有几处街区有积水不能通行。那么从A到B的最短路线有几条？ 10.天天和皮皮结伴骑车去图书馆看书，他们先去公园看大熊猫再去图书馆。聪明的小朋友们，请你帮天天和皮皮想想他们的最短路线有多少种不同的走法？ 参考答案 1.【解答】标数法：三步走（1）确定方向； （2）从起点出发的两个方向上每个点标1； （3）其他点来源相加。 如下图所示。一共有10种不同的最短路线。 2.【解答】分析：标数，如下图所示。一共有13种不同的路线。 3.【解答】分析：标数，如下图所示。一共有10种不同的路线。 4.【解答】分析：标数，如下图所示。一共有12种不同的路线。 数学思维拓展《图形找规律》 姓名： 一、填空题 1.下图是按照一定规律排列起来的,请按这一规律在“?”处画出适当的图形. 2.按照图形的变化规律,在“?”处画出相符的图形. 3.在图中找出与众不同的那个图形( ). (1) (2) (3) (4) (5) (6) 4.下图看似复杂,实际上只要你找到合适的方法,你就不费吹灰之力就可以解答出来,试试看,好吗? 5.请找一找图形的变化规律,在空格处画出恰当的图形. 6. . 7.找一下规律,从 . 8.按照下列图形的变化规律,空白处应是什么样的图形. ？ ? ? 那么 应变为 10.下面一组图形的阴影变化是有规律的,请根据这个规律把第四幅图的阴影部分画出来. 二、解答题 11.图中,哪个图形与众不同? (1) (2) (3) (4) (5) 12.有一个立方体,每个面上分别写上数字1、2、3、4、5、6、,有3个人 从不同的角度观察的结果如下图所示,这个立方体的每一个数字的对面各是什么数字? 13.下面是由几何图形组成的帆船图形,请按照一定的规律,在标序号处画出符合规律的小帆船. 1 2 6 1 3 4 ① ② ③ ———————————————答案—————————————————————— 1. 这一组图形我们应该从两方面来看:一是旗子的方向,二是旗子上星星的颗数. 首先我们看一下旗子的方向.第1面旗子向右,第2面向上,第4面向下,可以发现,旗子的方向是按逆时针旋转的,并依次旋转? 90,所以第3面旗子应是第2面逆时针旋转? 90得来的,旗子应向下倒立. 其次我们看旗上星星的颗数.第1面是5颗,第2面是4颗,第4面是2颗,可见颗数是依次减少1颗,所以第3面旗上应是3颗星星.所以“?”处的图形应为: 2. 这组图形的变化只在于正方形中阴影部分的位置.通过观察,我们可以发现阴影部分是按照逆时针方向依次旋转? 90得到的.所以“?”处的图形应为: 3. 选(4).因为变化规律是从左到右依次逆时针旋转? 90. 4. 在这组图形中,不变的有以下几点:大小正方形不变,两条对角线不变.所以“?”处也应有大小两个正方形和两条对角线.发生变化的有:一、阴影部分和黑色部分的位置.通过观察,我们可以看出这两部分都是按逆时针方向依次旋转? 90得到的,所以“?”处的阴影部分应是小正方形的右边,黑色部分应在大正方形的下部.二、小竖线的位置.小竖线是从图形中心到相应的边所作的一条垂线.它的变化规律是按逆时针方向依次旋转? 90,这样,整个图形我们就分析完了,下面看一看你画出的图形和书上的一样吗?如果一样,就做对了. 5. 因为要填的是第1幅图,我们可以从后往前看.首先三角形的个数是发生变化的,依次是7、5、3.可以发现是从后向前依次减少2个的.所以第1幅图中应有1个三角形.其次三角形的方向也是有变化的,从后面观察,三角形 四年级上册数学思维拓展题 1、一列客车和一列货车同时从甲乙两地开出，相向而行，客车每小时行80 千米，货车每小时行45千米，2.4小时后两车相遇，客车从甲地到乙地 共用多少小时？ 2、儿童公园在李红家和张华家之间，两人同时各自从家到公园参加植树活动， 李红每分钟行48米，张华每分钟比李红快7米，经过8分钟在公园相遇，两家相距多少米？ 3、 4、新村将480吨粮食运到粮库，计划要用8天才能运完，现在要求每天比计 划多运20吨，这样要用多少天运完？ 6、服装厂用165米布料加工童装，计划每套用布2.2米，由于改进裁剪方法，节省了布料，比计划多加工25套，实际每套用布料多少米？ 8、张师傅和李师傅共同加工一批零件，张师傅每小时加工120个，李师傅每小时比张师傅多加工15个，他们6小时完成任务，这批零件由多少个？ 9、甲乙两地相距1350千米，一辆汽车从甲地开往乙地，计划要用25小时，实际比计划每小时多行21千米，到达乙地要用多少小时？ 11、甲、乙、丙、丁四人共有81块糖，他们的糖数各不相同，已知甲加上2块，乙减去2块，丙乘2，丁除以2，他们的糖数相同，算一算，他们四人各有多少块糖？ 12、小朋友分糖果，每人3粒，余30粒；每人5粒，少4粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖？ 14、学校买来一批图书。若每人发9本，则少25本；若每人发6本，则少7本。问：有多少个学生？买了多少本图书？ 15、参加美术活动小组的同学，分配若干支彩色笔。如果每人分4支，那么多12支；如果每人分8支，那么恰有1人没分到笔。问：有多少同学？多少支彩色笔？ 16、红星小学去春游。如果每辆车坐60人，那么有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，那么恰好多出一辆车。问：有多少辆车？多少个学生？ 17、某数的8倍减去153，比其5倍多66，求这个数。 小学数学六年级上册思维拓展精选练习题 填空题部分 1、一根绳长12 米，剪去它的 2 3 后，比原来短了（ ）米。 2、一个正方形的周长是 5 4 米，它的边长是( )米，边长与周长的比值是( )。 3、甲、乙两桶油共重15千克，从甲桶里取出 15 ，从乙桶也取出 1 5 ，共取出（ ）千克。 4、已知A × 23 =B × 67 =0.75×C =D ÷5 6 ，其中A 、B 、C 、D 是非0自然数，把四个字母从 大到小排列是：（ ）﹥（ ）﹥（ ）﹥（ ）。 5、一个减法算式中，减数是差的 2 7 ，被减数与差的比是( )。 6、从学校走到电影院，甲用8分钟，乙用10分钟，甲和乙的速度比是( )。 A ．8:10 B ．10:8 C ．4:5 D ．5:4 7、甲仓存粮18吨，从甲仓运3吨放入乙仓，两仓存粮同样多，原来甲仓比乙仓多( )。 A ．3吨 B ．12 C ． 13 D ．2 3 8、如果一个正方形周长和一个圆周长相等，那么这个正方形和圆的面积比是（ ）∶（ ）。 9、工程队3天完成了一项工程的8 1 ，完成全项工程的一半需（ ）天。 10、判断：一个非0自然数，把它增加 101以后再减少10 1 ，这个数大小没变。………（ ） 11、把9 20 米平均分成3份，每份是（ ）米，每份占9米的（ ）。 12、一桶油，第一次用去14 ，正好是5升，第二次用去这桶油的1 2 ，第二次用去（ ）升。 13、栽一批苹果树，成活率是95％，为了保证成活380棵，至少要栽（ ）棵苹果树。 14、把一根长96厘米的铁丝焊成一个高是4厘米，底面的长与宽的比是3:2的长方体框架，这个框架的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米。 15、判断：黄师傅加工了101个零件，全部合格，合格率为101%。…（ ） 16、选择：爸爸今年a 岁，比小明大b 岁，再过5年，爸爸和小明相差（ ） A ．a B. b C. a-b D. b+5 17、在200克盐水中，盐与水的比为1:24，又放入4克盐后，盐与水的比为（ ）：（ ） 第五章 相交线与平行线 思维导图 ?????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????作图基本性质定义平移错误的命题假命题—公理，定理—正确的命题真命题—命题—命题与定理角互补、两直线平行，同旁内相等、两直线平行，内错角相等、两直线平行，同位角性质线平行、同旁内角互补，两直平行、内错角相等，两直线平行、同位角相等，两直线判定，则，推论：若已知直线平行，有且只有一条直线与公理：经过直线外一点平行公理”表示的两条直线平行，用“—在同一平面内不相交—定义平行线同旁内角内错角同位角三线八角所截两条直线被第三条直线垂直对顶角邻补角两条直线相交相交线线行平与线交相)()(321321//////a //)(c a c b b 第六章 实数 思维导图 ???????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????相同法则、运算律与有理数实数的运算性质、运算、倒数与有理数相同实数的相反数、绝对值性质及运算负无理数正无理数 无理数负有理数正有理数有理数分类实数—用定义和计算器求—求法的立方根是负数的立方根是负数正数的立方根是负数性质定义立方根（开立方）—用定义和计算器求—求法的平方根是负数没有平方根它们互为相反数正数的平方根有两个，性质定义平方根双重非负性负数没有算术平方根的算术平方根是的算术平方根是正数性质定义算术平方根平方根（开平方）实数0000000a a 姓名：班级： 1. 甲、乙、丙三人在A、B两块地植树,A地要植900棵,B地要植1250棵.已知甲、乙、丙每天分别能植树24,30,32棵,甲在A地植树,丙在B地植树,乙先在A 地植树,然后转到B地植树.两块地同时开始同时结束, 乙应在开始后第几天从A地转到B地？ 2. 有三块草地,面积分别是5,15,24亩.草地上的草一样厚,而且长得一样快.第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天,问第三块地可供多少头牛吃80天？ 3. 某工程,由甲、乙两队承包,2.4天可以完成,需支付1800元；由乙、丙两队承包,3+3/4天可以完成,需支付1500元；由甲、丙两队承包,2+6/7天可以完成,需支付1600元.在保证一星期内完成的前提下, 选择哪个队单独承包费用最少？ 4. 一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块.现打开水龙头往容器中灌水.3分钟时水面恰好没过长方体的顶面.再过18分钟水已灌满容器.已知容器的高为50厘米,长方体的高为20厘米, 求长方体的底面面积和容器底面面积之比. 5. 甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装,乙购进的套数比甲多1/5,然后甲、乙分别按获得80%和50%的利润定价出售.两人都全部售完后,甲仍比乙多获得一部分利润, 这部分利润又恰好够他再购进这种时装10套,甲原来购进这种时装多少套？ 姓名：班级： 1、有甲、乙两根水管,分别同时给A,B两个大小相同的水池注水,在相同的时间里甲、乙两管注水量之比是7：5.经过2+1/3小时,A,B两池中注入的水之和恰好是一池.这时,甲管注水速度提高25%,乙管的注水速度不变, 那么,当甲管注满A池时,乙管再经过多少小时注满B池？ 2、小明早上从家步行去学校,走完一半路程时,爸爸发现小明的数学书丢在家里,随即骑车去给小明送书,追上时,小明还有3/10的路程未走完,小明随即上了爸爸的车,由爸爸送往学校,这样小明比独自步行提早5分钟到校. 小明从家到学校全部步行需要多少时间？ 3、甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地,A,B两地的距离等于B,C两地的距离.乙车的速度是甲车速度的80%.已知乙车比甲车早出发11分钟,但在B地停留了7分钟,甲车则不停地驶往C地.最后乙车比甲车迟4分钟到C地. 那么乙车出发后几分钟时,甲车就超过乙车. 4、甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务.甲车单独清扫需要10小时,乙车单独清扫需要15小时,两车同时从东、西城相向开出,相遇时甲车比乙车多清扫12千米,问东、西两城相距多少千米？ 5、今有重量为3吨的集装箱4个,重量为2.5吨的集装箱5个,重量为1.5吨的集装箱14个,重量为1吨的集装箱7个.那么最少需要用多少辆载重量为4.5吨的汽车可以一次全部运走集装箱？ 【学生注意】本讲练习满分100 分，考试时间70 分钟． 一、填空题Ⅰ（本题共有8 小题，每题 6 分） 1. 用0、1、2、3、4、5 这六个自然数中的三个组成三位数，从个位到百位的数字依 次增大，且任意两个数字的差都不是1，这样的三位数共有个． 2. 从1 到30 中选出两个不同的数相加，和大于30 的情况有种． 3. 从1000 到2010 中，十位数与个位数相同的数有个． 4. 在用数字0、1 组成一个6 位数中，至少有4 个连续的1 的数共有个． 5. 3 个海盗分30 枚金币，如果每个海盗最多分12 枚，一共有种不同的分法． 6. 图中有条线段，个三角形，个梯形． 7. 一台综艺节目，由2 个不同的舞蹈和3 个不同的演唱组成．C 如果第一个节目是舞蹈，那么共有种不同的安排方法． 8. 有身高各不相同的5 个孩子，按下列条件排成一行：条件1：最 高的孩子不排在边上； 条件2：最高的孩子的左边按由高到矮向左排列；条件3：最高的孩子的右边按由高到矮向右排列．那么符合上述所有条件的排队方法有种． F 第6 题 二、填空题Ⅱ（本题共有4 小题，每题7 分） 9.（1）平面上7 个点，任意三点不共线，那么可以连出个三角形； （2）两条平行线上各有 4 个点，从这些点中任取 3 个作为顶点， 可以连出 个三角形． 10. 如图是由 22 个六边形组成的图形，在六边形内蚂蚁只可以选如右边箭头所指的方向之一爬到相邻的六边形内．一只蚂蚁从六边形A 出发，选择不经过六边形B 的路线到达六边形C ， 那么这样的路线共有 条． 第 10 题 11. 8 块相同的奥运纪念徽章分给小高、卡莉娅、墨莫、萱萱四人，每人至少分一块， 有 种不同的分法． 12. 由 0、1、2、…、9 组成的小于 5000 且没有重复数字的四位数共有 个， 其中从小到大第 2010 个是 ． 三、填空题Ⅲ（本题共有 3 小题，每题 8 分） 13. 有些三位数，相邻两个数字的差都不超过 2，比如 424，244，110，…，所有这 4 4 4 4 样的三位数有 个． 14. 各位数字之和为 4 的四位数有 个，其中能被 11 整除的有 个． 15. 在下面数字谜中，七个不同汉字表示七个不同数字，“小学升学尖子班”表示的七位数有 种不同的取值． 小 学 升 学 + 尖子 班 2 0 2 0 b a 第1题图 七年级上册数学思维训练题1 (林志鸿编 一、基础题 1.实数a b ,在数轴上的位置如图所示,下列各式正确的是( A .0a > B .0b < C .a b < D .a b > 2.湛江是个美丽的海滨城市,三面环海,海岸线长达1556000米,数据1556000用科学记数法表示为( A .515.5610? B 、61.55610? C .80.155610? D . 7 1.55610? 3.下列各题中合并同类项,结果正确的是( A 、222532a a a =+ B 、222632a a a =+ C 、134=-xy xy D 、02222=-mn n m 4、解方程1- ,去分母,得( A 、x x 331=-- B 、x x 336=-- C 、x x 336=+- D 、x x 331=+-. 5. 已知(2 2-x +1+y =0,则y x +的值是( A 、1 B 、-1 C 、-3 D 、3 6.已知整式622+-x x 的值为9,则6422 +-x x 的值为( A .18 B .12 C .9 D .7 7、假期张老师带学生乘车外出参加创新素质实践活动,甲车主说“每人8折”,乙车主说:“学生9折,老师免费”,张老师计算了一下,不论坐谁的车,费用都一样,则张老师带的学生数为( A .8名 B .9名 C .10名 D .17名 8. 如图所示, ∠AOB 是平角, ∠AOC=300 , ∠BOD=600 , 射线OM 、ON 分别是∠AOC、∠BOD 的平分线, ∠MON 等于 _________________。 9.2.40万精确到位,有效数字有 个 . 10.单项式22 3 xy π-的系数是__________,次数是___________. 11.计算(m n m n +--的结果为 . 12.在数轴上,若A 点表示数x ,点B 表示数-5,A 、B 两点之间的距离为7, 则x = _______. 小学一年级数学 思维拓展训练（共13套），活跃思维 思维训练题01 1、晾晒1块手帕，要用2只夹子；2块手帕，要用3只夹子；11块手帕，要用( )只夹子。 2、老师带了一些小朋友去看电影，一共买了11张票。问和老师一起看电影的有( )个小朋友。 3、8名女同学站成一排，每隔2名女同学插进3名男同学，共插进( )名男同学。 4、把2、3、4、5分别填入( )中，每个数只能用一次。 ( )+( )-( )=( ) 5、小朋友排队。小平的左面有4个人，右面有8个人。这一行有( )个人。 6、小朋友排队。从左数过来小平是第4个，从右数过来是第8个。这一行有( )个人。 7、按规律写数。 15、10、13、12、11、( )、( ) 1、4、3、6、5、( )、( ) 1、2、4、8、( )、( ) 8、小明、小林和小红一起比体重，结果是小明比小林重，小林比小红重，小明比小红重。他们三人中( )最重， ( )最轻。 9、小明、小红、小林进行100米跑步比赛。小明用了13秒，小林用了12秒，小红用了11秒。那么，( )是第一，( )是第二。 10、强强的体重是27千克，芳芳的体重是25千克。东东的体重居于第三，他和强强体重相差5千克，东东的体重是 ( )千克。 思维训练题02 1、小猫、小狗、小兔、小猴、小熊排成一横排做广播操：兔的左边是狗；猴在熊的左边；猫的右边是狗；猴在兔 的右边。( )排在队伍的最左边。 2、1、2、4、5、7、8、( )、( ) 15、1、12、1、9、( )、( )、( )、( ) 75、( )、( )、60、( )、50、( )、( )、( ) 10、5、9、6、8、7、7、( )、( )、( ) 四年级数学思维训练题 一、倍数问题 “和倍”与“差倍”问题的应用题，一般都在条件中告诉我们：两个数量的和（或差）与这两个数量的倍数关系，要我们求这两个数量分别是几。解答这类应用题时，我们采用代换的思路，用1倍数去代替几倍数，看和(或差)相当于1倍数的几倍，即除以几，先求出1倍数，然后再求出几倍数，解题公式是： 1、和倍问题 和÷（倍数＋1）=1倍数 1倍数×几倍=几倍数或和－1倍数=几倍数 2、差倍问题 差÷（倍数—1）=1倍数 1倍数×几倍=几倍数或 1倍数+差=几倍数 在解答这类题目时，线段图是一个很好的帮手。我们要根据题意，画出线段图进行分析，这样能很快地理清解题思路，找到解题的方法。 【例1】弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本。哥哥给弟弟多少本后，弟弟的课外书是哥哥的2倍？ 【点拨】.画线段图如下： 哥哥： 20本给弟弟的本数 弟弟： 2倍 在观察上图的基础上，可先思考以下几个问题： （1）哥哥在给弟弟课外书前后，题目里不变的数量是什么？ （2）要想求哥哥给弟弟多少本课外书，需要知道什么条件？ （3）如果把哥哥剩下的课外书看做1倍数，那么这时（哥哥给弟弟课外书后）弟弟的课外书可看做是哥哥剩下的课外书的几倍？ 在思考以上几个问题的基础上，再求哥哥应该给弟弟多少本课外书。根据条件需要先求出哥哥剩下多少本课外书。如果我们把哥哥剩下的课外书看做1倍数，那么这时弟弟的课外书可看做是哥哥剩下的课外书的2倍，也就是兄弟俩共有的倍数相当于哥哥剩下的课外书的3倍，而兄弟俩课外书的总数始终是不变的数量。 【解答】（20＋25）÷（2＋1）=15（本） 25—15=10（本）答：哥哥给弟弟10本后，弟弟的课外书是哥哥的2倍。 七（下）数学思维拓展训练 时间：45分钟 分值：100分 一、选择题（每小题5分，共25分） 1.若n 为正整数，且x 2n =3，则(3x 3n )2－4(x 2)2n 的值为( ) （A ）207 （B ）36 （C ）45 （D ）217 2．一个长方形的长是2x 厘米，宽比长的一半少4厘米，若将长方形的长和宽都增加3厘米，则该长方形的面积增加为（ ） (A)9 （B ）2x 2+x －3 （C ）－7x －3 （D ）9x －3 3．若(x-5)·A= x 2+x+B ，则（ ） （A ）A=x+6，B=－30 （B ）A=x －6，B=30 （C ）A=x+4，B=－20 （D ）A=x －4，B=20 4.已知6141319,27,81===c b a ，则a ，b ，c 大小关系是（ ） （A ）a>c>b （B ）a>b>c （C ）a 图4 8.如图4，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E 、D 、B 、F 在同一条直线上，若 ∠ADE ＝ . 9.三个程组111 222 a x b y c a x b y c += ??+=?的解是3 4 x y =?? =?，求方程组111222 325325a x b y c a x b y c +=?? +=?的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 10. 数学家发明了一个魔术盒，当任意数对()b a ,进入其中时，会得到一个新的数： ()()21--b a .现将数对()1,m 放入其中得到数n ，再将数对()m n ,放入其中后，如果最 后得到的数是 .（结果要化简） 三、解答题（每小题10分，共50分） 11. 计 算 ： (1+2+3+...+2013)(2+3+4+ (2012) － (1+2+3+ (2012) (2+3+4+…+2013)． 12.图5是按一定规律排列的方程组集合和它解的集合的对应关系图，若方程组集合中的方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、……方程组n ． （1）将方程组1的解填入图中； （2）请依据方程组和它的解变化的规律，将方程组n 和它的解直接填入集合图中； （3）若方程组?? ?-=+1x y x 的解是??=10 x ，求m 的值，并判断该方程组是否符合（2） 中的规律？ 13.如图6（1C N 图3 方程组对应方程组集解的 图5 小学四年级数学思维拓展训练题18套 小学四年级数学拓展题（一） 一、填空 1、一个数的个位是3，千位是8，万位是5，百万位是2，其他各位上的数都是零，这个数写作（） 2、在6和9中间添（）个零，这个数是六百万零九。 3、五万八千零四十写作:( ), 后面的一个数是( )。 4、由3个亿,5个百万,2个千和8个十组成的数写作:( )。读作:( )。 5、12□780≈13万,□最大可填( ),最小可填( ). 6、一个六位数，四舍五入到万位约是30万，这个数最大是（），最小是（） 7、十位上和千位上都是8的五位数中，最大的数是（），最小的数是（），它们相差（） 8、一个数加2的和比最小的三位数多1，这个数是（） 9、2000年全国总人口为00人。按每人捐出1分钱计算，共可筹集捐款（）元，约（）万元。 10、用2、4、6、8和3个0按要求组成七位数。 ⑴最大的七位数是（）。最小的七位数是（）。 ⑵只能读出两个零的最小七位数是（）。 ⑶能读出三个零的最大七位数是（）。 11、26980四舍五入到百位是（），四舍五入到千位是（），四舍五入到万位是（）。 12、一个九位数，千万位上是5，十万位是6，每相邻三个数位上的数字之和是16，这个九位数是（） 二、解答题 1、一个三位数，末尾添上一个0后，就比原来大1008，这个三位数是多少 2、三个数的末尾加上一个0后得到一个新数，两数之和为14080，这个数是多少 3、六个连续的自然数的和是15，这六个数中最小数是多少最大数是多少/ 4.、用2、3、4、8、9和3个0八个数字，按要求写出八位数。 ⑴只能读一个零的最大的八位数。它省略万位后面的尾数约是多少四舍五入到亿位是多少 ⑵在组成的八位数中，最小的三个数分别是多少按从小到大的顺序写出来。 5、用0、2、4、 6、8这五个数字，组成一个三位数和一个两位数，用计算器找出这两个数的积最大是多少最小是多少 七年级下册数学思维专项训练题（共10套） 思维训练题（一） 班级______________ 姓名_____________ 一、选择题： 1．a 为任意自然数，包括a 在内的三个连续的自然数，可以表示为 （ ） A ．a －2，a －1，a B ．a －3，a －2，a －1 C ．a ，a ＋1，a ＋2 D ．不同于A 、B 、C 的形式 二、计算题：（动动脑筋，可能会有简便的解题方法！） 1．____________________56875=? 2．____________2006200420022000...12108642=+-+-+-+-+- 3．__________________8567785667855678=+++ 4．()()__________888...6428002...888488868888=++++-++++ 5．______________125.017 12 517125625.05.0171251753=?-?+?+ 6．______________12346 12345 1234512345=÷ 7． _________________3 1313131 =-+ - 8．_______________99 163135115131=++++ 9．_____________2004 2004 ...200432004220041=++++ 10．_____________90 1 9721856174216301520141213612 1=++++++++ 三、应用与创新： 1．有一高楼，每上一层需要3分钟，每下一层需要1分30秒。小贤于下午6时15分开始从最底层不断地向上走，到了最顶层后便立即往下走，中途没有停留，他在7时36分返回最底层。这座高楼共有多少层？ 2．回答下列各题： （1）用1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个没有重复数字的五位数？ （2）在15个连续自然数中最多有多少个质数？最少有多少个质数？ （3）以下是一个数列，第一项是1，第二项是4，以后每一项是前两项相乘的积。求第2004项被7除的余数。 项数 第1项 第2项 第3项 第4项 第5项 (2004) 数字 1 4 4 16 64 …… ？ 乐学在线课堂上有更多免费名师视频课程可以观看：咨询：4008-11-66-88 小学数学思维拓展训练学习攻略 数学——人类智力的进化经历了几千年，还在不断进步，尚未抵达巅峰，古语有云“说三岁看老”，数学成绩提高、逻辑思维的培养过程、正确的指导、科学的方法、最关键时 期只有几年。 教育公认定理：“天才不常有，但卓越的人常见，区别是后天培养的”。从四年级开始，通过科学的教导和有目的的培养，即可“一箭双鵰”：一轻松应对各类小升初试题； 二形成良好的数学思维模式，学会用数学思想解决问题。从最初的僵化、混乱，逐渐变得 灵活、清晰，“家有小学儿女”的家长们，千万别在起跑线上站立太久，从四年级开始准备，冲刺小升初，有备无患。 小学阶段不是只有游戏和娱乐，更不要‘望奥数生畏’，奥数的真实作用不是为考试、拿证得高分、疯狂做难题，而是一种成功思维的培养和引导，小学奥数中很多知识点是初 中奥数竞赛、联赛、中考，甚至是高考的知识点,良好的思维模式更是让你受用一生的能力! 数学思维拓展训练：——“思维拓展培养+数学高分+小升初满分毕业” 思维拓展专题突破系列——“思维定向培养+专项突破+玩转小学考试” 华杯、迎春杯、走美杯、希望杯，杯杯重要，期中考试、期末考试、升学考试，越考越难……..国家级重要杯赛，是小升初进入重点中学重要砝码，获得名校入取通知书的敲门砖。不仅如此，奥数还可以拓展思维，通过灵巧、发散思维的解题方法和答题技巧的学习，可以锻炼分析问题，培养逻辑思维，和解决难题的能力，为进入初、高中学习奠定知识的基础，同时培养高等数学逻辑思维。 学习攻略： 相关课程介绍： 更多名师课程到乐学在线课堂免费看吧： 小学六年级数学思维训练题 一．填空 1、有40名羽毛球运动员参加淘汰制的比赛,（即每赛一场选出一位胜者进入下一场）,决出最后的冠军,一共要进行的比赛场次是（）场。 2.在数列1 3,1 2 ,5 9 ,7 12 ,3 5 ,11 18 ……中,第25个分数是（）。 3.一个长方形把平面分成两部分,那么2个长方形最多把平面分成（）部分。 4．今年,祖父的年龄是小明的年龄的6倍。几年后,祖父的年龄将是小明的年龄的5倍。又过几年以后,祖父的年龄将是小明的年龄的4倍。求：祖父今年是多少岁？ 5．已知等式,其中□内是一个最简分数,那么□内的数是_______。 6．一项挖土方工程,如果甲队单独做,16天可以完成,乙队单独做要20天才可以完成。现在两队同时施工,工作效率提高20%。当工程完成时,突然遇到地下水,影响施工进度,使得每天少挖了47.25方土,结果共用了10天完成工程,问整个工程要挖多少方土？ 7．在算式1×2×3×4×...×100中,那么这个乘积的末尾连续的零的个数等于________个。 二．计算 1. 2. 3. 附答案： 一．填空题 1．39 2.49/75 3. 4 4. 72岁 5.3/100 6. 1100 7. 24 8. 二．计算 1．15/16 2. 62 3. 148.75 小学六年级数学思维训练题 1.有含盐16%的盐水40千克,蒸发多少千克水后可将浓度提高到20%？ 2.商店今天卖出两件衣服,售出的价格都是240元,按成本价计算,其中一件衣服赚了1/5,另一件衣服亏了1/5.如果两件衣服合起来考虑,是亏了还是赚了？ 3.如图,直角三角形的三条边分别是3、4、5厘米,以斜边为轴旋转一周,形成的立体图形的体积是多少？ 图4 七（下）数学思维拓展训练 时间：45分钟 分值：100分 一、选择题（每小题5分，共25分） 1.若n 为正整数，且x 2n =3，则(3x 3n )2－4(x 2)2n 的值为( ) （A ）207 （B ）36 （C ）45 （D ）217 2．一个长方形的长是2x 厘米，宽比长的一半少4厘米，若将长方形的长和宽都增加3厘米，则该长方形的面积增加为（ ） (A)9 （B ）2x 2+x －3 （C ）－7x －3 （D ）9x －3 3．若(x-5)·A= x 2+x+B ，则（ ） （A ）A=x+6，B=－30 （B ）A=x －6，B=30 （C ）A=x+4，B=－20 （D ）A=x －4，B=20 4.已知6141319,27,81===c b a ，则a ，b ，c 大小关系是（ ） （A ）a>c>b （B ）a>b>c （C ）a 学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。 方阵的基本特点是： ①方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里一层，每边上的人数就少2。 ②每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系： 四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]×4； 每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4＋1。 ③中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数。 例1：有一条公路长900米，在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆分析：要以两棵电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长可分成若干段.由于公路的两端都要求栽杆，所以电线杆的根数比分成的段数多1。 《 解：以10米为一段，公路全长可以分成 900÷10＝90（段）共需电线杆根数：90+1=91（根） 练习与作业 1.四年级同学参加广播体操比赛，要排列成每行11人，共11行的方阵。这个方阵里有多少同学 2.用棋子排成一个6×6的正方形，共需用棋子多少枚 3.有1764棵树苗，准备在一块正方形的苗圃（实心方阵）里栽培。这个正方形苗圃的每边要栽多少棵树苗 4.576人排成一个实心方阵，这个方阵每边多少人 5.棋子若干只，恰好可以排成每边6只的正方形，棋子的总数是多少棋子最外层有多少 6.在大楼的正方形平顶四周装彩灯，四个角都装一盏，每边装25盏，四周共装彩灯多少盏 巧求周长培优专项训练 # 我们已经会计算长方形和正方形的周长了，但对于一些不是长方形、正方形而是多边形的图形，怎样求它的周长呢可以把求多边形的周长转化为求长方形和正方形的周长。 例1：如图13—1所示，求这个多边形的周长是多少厘米 练习与作业 1.下图的周长与长＿＿厘米，宽＿＿厘米的长方形周长相同，所以它的周长为＿＿厘米（单位：厘米）。 2.下图的周长可以看成一个长由＿＿个1厘米的小线段组成，宽由＿＿个1厘米的小线段成的长方形的周长，所以它的周长是＿＿＿厘米。 3.求下列各图形的周长（单位：厘米）。 ①周长为＿＿厘米。 # 本课程是针对五、六年级的学优生开设的。通过八个不同的专题训练，使学生学会解决关键问题，指出思考问题的方法、阐述思考途径，让学生逐步掌握学习的方法，既增长知识，又增长智慧，提高学生的思维能力。 课时一：分析综合法 “分析法”与“综合法”是我们小学生常用的解题思考方法之一。所谓“分析法”就是从要求的问题出发，根据题意和已知的数量关系，想一想，还需要知道什么条件才能推出所求的问题。如果在这一条件中，有的还有未知的，就把它当做新的所求的问题，再来寻找能够求出它的那些条件。这样，逐步寻求需要的条件，直到具备所需的一切条件。我们把这种从未知出发，转化问题，步步逆推，执果索因的思考方法，称为“分析法”，也叫“逆推法”。 所谓“综合法”，就是从题目的某一个（或几个）已知条件出发，想想它能推出一些什么结果，再把推出的结果与另外一些已知条件一起又可以推出什么结果，这样一步一步地向着所要求的问题前进，最后得出要求的结果。这种从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，即从已知条件出发，转化条件，步步顺推，由因导果的思考方法，称为“综合法”，也称“顺推法”。 在解题的过程中，往往既用“分析法”，又用“综合法”，至于在什么情况下用“分析法”，什么情况下用“综合法”，要根据具体情况，恰如其分地选用。 解决一些较复杂的问题时，我们可以先从问题出发，利用分析法探索所要找的条件，当这种分析推理遇到困难时，再从已知条件出发，用综合法推理，看看能否推出这个条件。我们把这种将“综合法”和“分析法”结合起来分析问题的方法称作“中间会师”。 【例题】甲、乙两块棉田，平均亩产棉花92.5千克，甲棉田是5亩，平均亩产棉花101.5千克，乙棉田平均亩产棉花85千克，乙棉田有什么亩？ 思考途径：想到用“分析法”来思考，从问题想起。要求乙棉田有多少亩，需要知道乙棉田的产量比按平均亩产计算的产量少的千克数，还要知道乙棉田的亩产量比平均亩产少的千克数，而要求乙棉田的亩产量少的千克数，需要知道两块棉田的平均亩产量（题中直接提供是92.5千克），还需知道乙棉田的亩产量（题中直接提供为85千克）。要求乙棉田的产量比按平均亩产量计算的产量少的千克数，即甲棉田的产量比按平均亩产计算的产量多的千克量，需要知道甲棉田的质量比按平均计算产量多的千克数。 根据分析得出下面的解答： [（101.5-92.5）×5]÷（92.5-85） =[9×5] ÷7.5 =45÷7.5 =6(亩) 所以，乙棉田有6亩。 1，第二天读了全【习题1】雪容读一本科技书，第一天读了全书的 3 书的37.5%，第三天从第69页开始读，第三天要读多少页，才能把这本书读完？ 思考途径：想到用“分析法”的思路来探究。从问题想起，要求的问题是：“第三天要读多少页才能把书读完？”现在已经知道前两 思维拓展训练1 一．每种水果都表示一个数，你能知道这个数是几吗？ — 6 = 15， = 12 — = 8 ， = + 12 = 35 ， = 25 — = 11 ， = 二、每个图形代表一个数，你能算出这个数是多少吗？？ (1) △一7=５ o+△=１7 (2)☆+☆=12 ☆一△=6 △=( ) o=( ) ☆=( ) △=( ) （3）△一4=11 o+△=１6 (4)☆+☆=24 ☆一△=6 △=( ) o=( ) ☆=( ) △=( ) （5）5+o=12 △+o=10 (6) o 一☆=5 12一☆=8 o=( ) △=( ) o =( ) ☆=( ) (7)5+o=12 △+o=10 (8) o 一☆=5 12一☆=8 o=( ) △=( ) o =( ) ☆=( ) （9）△+△=18 △=( ) （10）口+口+△+△=14 ☆+ o =13 o =( ) △+△+口=10 △+ o =15 ☆=( ) △=( ) 口=( ) 三、每个图形代表一个数，你能算出这个数是多少吗？ （ 1 ）△＋□=9 ○-△=1 △＋△＋△＝9 △=（）□=（）○=（） （ 2 ）△ + ○ = 12 ○ + ☆ = 8 △ + ○ + ☆ = 21 △ =( ) ○= ( ) ☆=( ) （ 3 ）你 + 我 = 7 你 + 他 = 18 你 + 我 + 他 = 24 你 = （）我 = （）他 = （） （ 4 ）○+□=10，□+△=12，○+□+△=15。 ○=（），□=（），△=（）。 （5）△+○=9 △+△+○+○+○=25 △=（）○=（） 四、每个图形代表一个数，你能算出这个数是多少吗？ （1）△＋△＋△＋△＝28 △＝（） △＋△＋□＝20 □＝（） （2）○＋○＋○＝6 ○＝（） △＋△＋△＝12 △＝（） （3）△－○＝1 △＝（） △＋△－○＝9 ○＝（） △＋○－□＝10 □＝（） 五、下图中每种水果各代表一个数，算一算，它们各代表几? ＋ = 7，＋= 10，＋= 9 =（）=（）=（） 六、1.已知：☆+☆+☆=6，△+△+△+△=20，则△－☆=( ) 2.已知：△＋○＝14，△－○＝2 ，则△＝( ) ○＝( ) 3.已知：▲＝●＋●＋●，▲＋●＝12，则●＝（），▲＝（） 4.已知：△ + ○ = 5，○ + ☆ = 9，△ + ○ + ☆ = 13 △ =( ) ○= ( ) ☆=( ) 七、张老师把红、白、蓝各一个气球分别送给三位小朋友。根据下面三句话，请你猜一猜，他们分到的各是什么颜色的气球? (1)小春说：“我分列的不是蓝气球。” (2)小宇说：“我分到的不是白气球。” (3)小华说：“我看见张老师把蓝气球和红气球分给上面两位小朋友了。” 小春分到（）气球。小宇分到（）气球。小华分到（）气球。 训练题---方阵问题 第一讲方阵问题（一） 学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。 方阵的基本特点是： (1)方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向里一层,每边上的人数就少2。 (2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系; 四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4 每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1 (3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数 (4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4 (5)中空方阵最外层每边人数=总人数÷4÷层数+层数 例1.三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人? 分析:根据四周人数与每边人数的关系可知: 每边人数=四周人数÷4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求了。 解:(1)方阵最外层每边的人数:20÷4+1=5+1=6(人) (2)整个方阵共有学生人数:6×6=36(人) 答:方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人。 练习与作业（一） 1.四年级同学参加广播体操比赛，要排列成每行11人，共11行的方阵。这个方阵里有多少同学？ 2.用棋子排成一个6×6的正方形，共需用棋子多少枚？ 3.有1764棵树苗，准备在一块正方形的苗圃（实心方阵）里栽培。这个正方形苗圃的每边要栽多少棵树苗？ 4.576人排成一个实心方阵，这个方阵每边多少人？ 5.棋子若干只，恰好可以排成每边6只的正方形，棋子的总数是多少？棋子最外层有多少？ 6.在大楼的正方形平顶四周装彩灯，四个角都装一盏，每边装25盏，四周共装彩灯多少盏？ 第二讲方阵问题（二） 例3：某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人。问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？ 分析：根据四周人数和每边人数的关系可以知： 每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。 解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人） 整个方阵共有学生人数：16×16=256（人） 答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。 例4：晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？【思维拓展】数学六年级思维拓展之标数法(附答案)
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