2015届本科毕业论文
题目：关于等价无穷小量的有关思想
学院：数学科学学院
专业班级：数学11-1班
学生姓名：吾热克西·米吉提
指导老师：塔实甫拉提
答辩日期：2015年5月10日
新疆师范大学教务处
目录
1 引言 (1)
2等价无穷小量的定义及其重要性质 (1)
2.1等价无穷小量的定义 (1)
2.2 等价无穷小量的比较 (2)
2.3等价无穷小量的重要性质 ........................................................... 错误！未定义书签。
2.4等价无穷小量性质的推广 (2)
3等价无穷小量的应用 (5)
3.1求函数的极限 (5)
3.2等价无穷小量在近似计算中的应用 (5)
3.3利用等价无穷小量和泰勒公式求函数极限 (6)
3.4等价无穷小量在判断级数收敛中的应用 (7)
4等价无穷小量的优势 (8)
4. 1运用等价无穷小量求函数极限的优势 (8)
4. 2 等价无穷小量在求函数极限过程中的优势 (9)
5结论 (12)
参考文献 (13)
致谢 (14)
1 引言
等价无穷小量在各种数学书籍是很少提及的，可以说在《数学分析》和《高等数学》等这一类书中也是占了很小的篇幅，在其它数学类的书籍中更是难得一见。虽然等价无穷小量在高等数学中占了很小的篇幅，可是其性质的推广和应用是十分广泛的，包括在求函数极限的运算等等。只要充分的掌握并在实际的的解决问题中运用好这些性质，就会使一些很难解决的问题变得容易解决，从而使解题变得更加轻松。因而，对等价无穷小量的研究也就有了必要性，因此,有必要对等价无穷小量的性质进行深刻地认识和理解,以便恰当运用,达到简化运算的目的.
2等价无穷小量的概念及其重要性质 2.1 等价无穷小量的定义
2.11 定义 若函数(包括数列)在某变化过程中以零为极限,则称该函数为这个变化过
程中的无穷小量. 如函数2x , sinx, 1- cosx, ln(1+x)均为当x →0 时的无穷小量.对于数列只有一种情形, 即n →∞, 如数列{ 1
n
} 为n →∞时的无穷小量或称为无穷小数列. 注意：
1) 绝对值非常小的数不是无穷小量, 0 是唯一的是无穷小量的数; 无穷小量无限趋近于0 而又不等于0.
2) 无穷小量是变量, 与它的变化过程密切相关,且在该变化过程中以零为极限.
如函数1
x
当x →∞时的无穷小量,但当x →1时不是无穷小量.
3）两个（相同类型）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. 4）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.
2.2等价无穷小量比较
1) 若存在正数K 和L,使得在某0()o U x 上有()
()
f x K L
g x ≤≤,则称f 与g 为当0x x →时的同阶无穷小量.特别当0
()
lim
(0)()
x x f x c c g x →=≠ 则称()f x 与()g x 是同阶无穷小. 2) 若()
lim
()
f x
g x =1, 则称()f x 与()g x 是等价无穷小量, 记为()f x ～()g x .
3) 若
()
lim
()
f x
g x
= 0, 则称()
f x是()
g x高阶无穷小, 记作()
f x=(())
o g x.
注: 并不是任意两个无穷小均可比较, 如当x→0 时,
1
sin
x
x
与2x都是无穷小量, 但它
们不能进行阶的比较.
2.3等价无穷小量的重要性质
设α,α′,β,β′,γ 等均为同一自变量变化过程中的无穷小,
②若α～β,β～γ,则α～γ.
注意 1）需要注意的是在运用无穷小替换解题时,等价无穷小量一般只能在对积商的某一项做替换,和差的替换是不行的.
2）以上性质说明我们利用无穷小量的代换性质将无穷小的等价替换推广到和与差的形式,并对的不定式极限的求解作了简化,使其适用的函数类范围扩大,从而简化函数极限的运算过程,对不定式极限的求解有很大的意义.
3等价无穷小量的应用
利用等价无穷小，在做近似计算，有时可以起到意想不到的效果，如：
例8 求0lim
sin 3x x
→
解 解法一（等价无穷小量替换）：
由于ln(1+3x)等价于3x,sin3x 等价于 3x,则,由无穷小替换定理有：0ln(13)lim
sin 3x x x →+=03x
lim
13x x
→=. 解法二（两个重要极限）：由于
130
0sin 3limln(13)
1,lim
13x
x x x
x x
→→+==,
所以有
0ln(13)lim sin 3x x x
→+=1
300ln(13)ln(13)3lim lim 1sin 3sin 333x x x x x x x x x x
→→++==. 解法三（洛必达法则）：
0ln(13)
lim sin 3x x x
→+=003
113lim lim
13cos3cos3(13)x x x x x x →→+==+. 由此例可以发现,很多时候求解函数极限的方法多种多样.其中包括极限的运算法则、两个重要极限、洛必达法则以及无穷小替换等等.所以我们求解一道题时要进行全方位、多角度的思考,找出最适合、最恰当的解题方法.对上例的几种不同解法进行比较,我们很容易地发现恰当利用无穷小替换能够快速、准确地求解一些函数极限.
20,30x x →→,x ln(12)2,ln(13)3x x x ++等价于等价于,则由无穷小替换定理有
ln(12lim
ln(13)
x x x →-∞++）
：=2lim 3x x x →-∞=+∝.
由此例看求解上述极限时,很显然利用等价无穷小量替换更简单、便捷.另外,值得注意
的是对本例在使用洛必达法则计算时,如果不把23
x
x 写到分母上,而是继续使用洛必达法
则,就会出现循环计算,将永远得不到结果.由此更能体现等价无穷小量替换的重要性.同时本例还说明不仅是在极限存在时而且在极限为无穷大时同样都可以使用等价无穷小量替换.
具有局限性,只要充分地掌握好等价无穷小量的4条性质就不难求出正确的结论.
结论
函数极限的计算是《高等数学》中的一个非常重要内容,而等价无穷小量又是函数极限运算中的一个重要的方法。通过对等价无穷小量的运用，可以使求解函数极限的问题变得更加快速简单便捷。所以说，如果想要使解决函数极限这类问题变得不再棘手，就要求我们充分的了解等价无穷小量的性质，对其进行推广和应用，不断积累经验，那么就会得到意想不到的效果。此外，在求解函数极限这类问题时要注意的是：如果分子（或分母）是乘积的话，这时就可以直接利用等价无穷小量进行替换；如果分子（或分母）是加减运算的话，是不能将其中的一项单独替换的，要么整体进行替换，要么化成乘积因子就可以单独替换了。对于这两种情况，可以只对分子（或分母）进行替换，也可以分子和分母同时替换，不会影响题目的结果。
参考文献
[ 1 ]同济大学应用数学系,主编.高等数学.第5版[M].高等教育出版社,2002,7 56～59. [ 2 ]杨文泰,等.价无穷小量代换定理的推广[J].甘肃高师学报,2005,10（2）：11～13.
[ 3 ] 王斌.用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨[J].黔西南民族师专学报,2001. [ 4 ] 华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001.
[ 5 ] 盛祥耀. 高等数学[M]. 北京: 高等教育出版社, 1987.
[ 6 ] 冯录祥. 关于等价无穷小量量代换的一个注记[J]. 伊犁师范学院学报, 2006( 3) : 25- 26.
[ 7 ] 段丽凌,杨贺菊. 关于等价无穷小量替换的几点推广.[ J ]. 河北自学考试, 2007, (06). [ 8 ] 华东师范大学数学系.数学分析（上册）[ M] .（第三版）北京：高等教育出版
社,2004.62.
[ 9 ] 马振明,吕克噗.微分习题类型分析[ M ] .兰州：兰州大学出版社,1999.59,45-65.
[10] 崔克俭,应用数学[ M ],北京：中国农业出版社,2004.
[11] 张云霞. 高等数学教学[J]. 山西财政税务专科学校学报, 2001.04.
[12]任治奇, 梅胤胜.数学分析[M]. 渝西学院学报(社会科学版) , 1998.02
[13] 刘玉琏傅沛仁：数学分析讲义[M].北京：人民教育出版社,2000.
致谢
不知不觉间大学四年就这样即将匆匆走完了。回想这四年里的汗水与泪水、笑声与哭声，怀揣着对同伴对学校的恋恋不舍，伴着这次论文的完成，即将为我这几年的努力添上完美的一笔。
这次论文最需要感谢的人就是我的指导老师塔实普拉提，她不辞辛劳、日以继夜地指导我完成了本次论文。从论文题目的选择到大纲的确定再到初稿的完成，无处不体现了刘静老师认真负责，关心学生的优秀品质和崇高师德。论文的完成同时也凝聚着刘静老师心血。我怀着激动的心情不得不向塔实普拉提老师报以深深的感谢和无比崇高的敬意！
在此，我也要向在这四年里的教育过我或者帮助过我的老师表示由衷的敬意。如果没有你们教诲和帮助，我也很难学到真么多东西。俗话说，一日为师，终身为师，我是不会忘记你们的，能从你们身上学到知识、经验，是我莫大的荣幸。我很庆幸遇到你们，让我有了这充实的四年，也很庆幸你们对我论文的帮助，让我以后的路更加平坦和充满希望。
还有,我借鉴的一些参考文献和论文的作者，也谢谢你们对我的帮助。
在此，再一次感谢帮助过我的人。谢谢你们！
2015年5月10日.