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多元函数微积分复习题

一、单项选择题

1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B )

(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;

2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的（ D )

(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;

3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).

(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;

A. 若0

lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0

lim (,)y y f x y A →=;

B. 若在00(,)x y 处

z x ??和

z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微;

C. 若在00(,)x y 处

z x

??和

z y

??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微;

D. 若2

2z x

??和

z y

??都存在, 则.

2z x

??=

z y

??.

5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ). A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续;

C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续;

D. 可导?连续, 但可导不一定可微.

6.向量()()3,1,2,

1,2,1a b =--=-

，则a b =

（ A ）

(A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2

5．已知三点M （1，2，1），A （2，1，1），B （2，1，2），则→

→?AB MA = （ C ） (A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2；

6．已知三点M （0，1，1），A （2，2，1），B （2，1，3），则||→

→

+AB MA =（ B ）

(A);2-

(B) ;

7．设D 为园域222x y ax +≤ (0)a >, 化积分(,)D

F x y d σ??为二次积分的正确方法

是_____D____.

A. 20(,)a a a

dx f x y dy -?

B. 20

2(,)a dx f x y dy

C. 2cos 0

(cos ,sin )a

a a

d f d θθρθρθρρ

-??

D. 2cos 20

(cos ,sin )a d f d π

θπ

ρθρθρρ

8．设3ln 1

(,)x I dx f x y dy =?

, 改变积分次序, 则______.I

= B

A. ln 30

0(,)y

e dy

f x y dx

B. ln 330(,)y

dy f x y dx

C. ln 3

(,)dy f x y dx ?

D. 3

ln 1

(,)x

dy f x y dx ??

9．二次积分cos 20

(cos ,sin )d f d π

θθρθρθρρ??

可以写成___________. D

A. 10

(,)dy f x y dx

B. 100

(,)dy f x y dx

C. 110

(,)dx f x y dy ?? D. 10

(,)dx f x y dy

10．设Ω是由曲面222x y z +=及2z =所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分

(,,)I f x y z dx dy dz Ω

???

表示为三次积分，________.I = C

A ． 2

2120

(cos ,sin ,)d d f z dz

πθ

ρρθρθ?

B. 2

2220

0(cos ,sin ,)d d f z dz

πθ

ρρθρθρ?

C ． 2222

(cos ,sin ,)d d f z dz

πρθ

ρρθρθρ?

D ． 2220

(cos ,sin ,)d d f z dz π

ρρθρθρ?

11．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d y c a x L ≤≤=,:，

则()=?L

dx y x P , （ C ）

（A ） a （B ） c

（C ） 0 （D ） d

12．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d x c a y L ≤≤=,:，则()=?L

dy y x P , （ C ）

（A ） a （B ） c （C ） 0 （D ） d

13．设有级数∑∞

n n u ,则0lim =∞

→n n u 是级数收敛的（ D ）

(A) 充分条件； (B) 充分必要条件； (C) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;

14．幂级数∑∞

n n nx 的收径半径R = （ D ）

(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D) 1

15．幂级数∑

∞

1n n

的收敛半径=R （ A ）

(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 3

16．若幂级数∑∞

n n

n x a 的收敛半径为R ，则∑∞

=+0

2n n n x a 的收敛半径为（ A ）

(A) R (B) 2R (C) R (D) 无法求得

17. 若lim 0n n u →∞

=, 则级数1

n n u ∞

=∑( ) D

A. 收敛且和为

B. 收敛但和不一定为

C. 发散

D. 可能收敛也可能发散

18. 若1

n n u ∞

=∑为正项级数, 则( B )

A. 若lim 0n n u →∞

=, 则1

n n u ∞=∑收敛 B. 若1

n n u ∞=∑收敛, 则21

n n u ∞

=∑收敛

C. 若21

n u ∞

=∑, 则1

n n u ∞

=∑也收敛 D. 若1

n n u ∞

=∑发散, 则lim 0n n u →∞

≠

19. 设幂级数1

n n n C x ∞

=∑在点3x =处收敛, 则该级数在点1x =-处( A )

A. 绝对收敛

B. 条件收敛

C. 发散

D. 敛散性不定

20. 级数1

sin (0)!

n nx x n ∞

=≠∑

, 则该级数( B )

A. 是发散级数

B. 是绝对收敛级数

C. 是条件收敛级数

D. 可能收敛也可能发散

二、填空题

1．设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+，则 =')1,0(x f ___1___.

2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则

,0('

x f =____0______.

3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是

()()????=

d d f dxdy

y x f θ

ρρθρθρsin ,cos ,

4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是

()()??????Ω

=dz d d z f dxdydz z y x f ?ρρ?ρ?ρ,sin ,cos ,,

5．柱面坐标下的体积元素 z d d d dv θρρ=

6．设积分区域222:D x y a +≤, 且9D

dxdy π=??, 则a = 3 。

7．设D 由曲线sin ,a a ρθρ==所围成, 则D

dxdy =

??2

a π

8．设积分区域D 为2214x y ≤+≤, 2D

dxdy =??6π

9．设()y x f ,在[0， 1]上连续，如果()310

dx x f ，

则()()??1

dy y f x f dx =_____9________.

10．设L 为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，则

()L

x y ds +=

11．设L 为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，

则 ().___________=-?L

ds y x 0

12．等比级数∑∞

n n

)0(≠a 当 1q < 时，等比级数∑∞

n n

收敛.

13．当__1ρ>__时，-p 级数∑

∞

1n p

是收敛的.

14．当_________时,级数()∑∞

=--11

11n p

n n

是绝对收敛的. 1ρ>

．若(,)f x y =

则(2,1)_________.x f =

16．若2

(,)(1)arccos

f x y xy x x

=+-, 则(1,)_________.y f y = 23y

17．设x y u z =, 则_________.du = ln ln x y xy z y xdx x zdy dz z ??++

18．设ln x

z y

=, 则

__________.z x

?=?

ln 2

ln (ln 1)

y y y

19. 积分2

y x

dx e dy -??的值等于_________. 4

(1)2

e --,

20.设D 为园域222x y a +≤, 若()228D

x y dxdy π+=??, 则_______.a = 2

三、计算题

1. 求过点()2,0,1- 且与平面25480x y z -+-=平行的平面方程.

解: 已知平面的法向量n=（2，-5，4），

所求平面的方程为

2（x +2）-5（y -0）+4（z -1）=0 即 2 x -75y +4z = 0

2．求经过两点M 1（1-，2-，2）和 M 2（3，0，1）的直线方程。

. 解:

→

M = (4, 2 ,1- )

所求直线方程为 1224

x y Z ++-==

3．求过点 ( 0, -3, 2) 且以n =( 3, -2, 1 )为法线向量的平面方程.

解: 所求的平面方程为

()()()3023120x y z --++-=

即 3280x y z -+-=

4．设()y xy f z ,=，其中f 具有二阶连续偏导数，求

x z ???2

解:

yf x

z =??

()()1211112

f f x y f f y y

x z y y

x z ''+''+'='??

?? ??????=

???

5．设x

y y

x arctan

=+, 求

解: 方程两边对x 求导得

()2

112221

y y x x y y y x y

y x -'?

? ??+=

'++?+

由此得 y

x y x y -+=

6．设()y xy f z ,=，其中f 具有二阶连续偏阶导数，求2

z ??。

解: u

yf x

z =??,

()()u u u u f y f x

y yf x x z x x

z 22

=??

=??=

??? ??????=

7．设

z z x ln

=, 求

z ??

解: 方程

z z

x ln ln -=两边同时对x 求导得

z z z x z x

z ??=

??-12

x z x

z +=

8．设()by ax f z ,=，其中f 具有连续的二阶偏导数，求

x z ???2

解:

1f a x

z '=??

"=??? ?

?'??=

???1212

abf af y y

x z

9．设 .,0sin 2dx

dy xy e y x 求

=-+

解: 方程两边对x 同时求导得

c o s 20

y y e

x y y ''?+

--= 由此得 y

xy y

e y x

cos 22

--=

10．计算二重积分()??+D

dxdy y x 23, 其中D 是由直线2,0,

0=+==y x y x

所围成的闭区域。

解: ()()[]

????

--+

+20

32323dx

xy dy

y x dx dxdy

y x x

=()

204324222

322

???+-=+-?x x x dx x

11．改变二次积分()dx y x f dy I y y

220

,的积分次序。

解: 积分区域为 y x y

y D 2,20:2

≤≤≤≤

也可表示为

y x x D ≤

≤≤≤2

40:

()??=∴x

dy y x f dx I 2

12．计算二重积分()??+D

dxdy y x 23, 其中D 是由直线1,0,

0-===x y y x

所围成的闭区域。

解: ()()[]

???--+=

32323dx

y xy dy

y x dx dxdy

y x x x D

=()

11541

+--?dx x x

13．改变二次积分()dx

y x f dy I y ?

,的积分次序。

解: 积分区域为

x y D ≤≤≤≤0,

10:

也可表示为

10:≤≤≤≤y x x D

∴有 ()()????=1

001

0,,x

dy y x f dx dx y x f dy

14．计算二重积分()??+D

dxdy y x 23其中D: .10,10≤≤≤≤y x

解: ()()[]?????

dx y xy dy y x dx dxdy

y x 10

32323

=().2523131

0=???

???+=+?x x dx x

15．改变二次积分()dx y x f dy I y

,的积分次序。

解: 积分区域为 1,11:2

≤≤≤≤-x y y D

也可表示为

y x x D ≤

≤-≤≤,10:

()??-

=∴x x

dy y x f dx I ,1

16．利用格林公式计算曲线积分 I = ?-+++-

L dy x y dx y x ,)635()42(

其中L 为三顶点分别为(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界.

解: 由格林公式 I =

dxdy

y x y

x y x

)]42()635([

+-??-

-+????

= ??D

dxdy 4 =

14???

= 12

17．利用格林公式计算曲线积分 ()L

y dx xdy -+? ,

其中L 为正向的圆周 )0.(222>=+a a y x .

解：由格林公式

I =

dxdy

y y

x x

)]([

-??-

????

= ??D

dxdy 2

18．利用格林公式计算曲线积分 I = ?-+++-L

dy x y dx y x ,)635()42( 其中L 为三顶点分别为(0,0),(3,0),(0,3)的三角形正向边界.

解: 由格林公式

I =

dxdy

y x y

x y x

)]42()635([

+-??-

-+????

= ??D

dxdy 4

332

14???

= 18.

19．判别级数∑∞

sin

n n

n π

的收敛性。

解: ()13

sin

1lim

lim

21<=

+==+∞

→+∞

→n n n n

n n n n u u ππρ

∴ 由比值判别法知级数∑∞

sin

n n

n π

收敛

20．求幂级数∑

∞

=?12

1n n

x n 的收敛区间。

解:

()2

211

lim

+==+∞

→+∞

→n

n n n

n n n n a a ρ

∴

R ，

收敛区间为()2,2-

21．求幂级数∑

∞

=?1

1n n

x n 的收敛区间。

解:

()3

1311

lim

+==+∞

→+∞

→n

n n n

n n n n a a ρ,

收敛区间为(-3, 3)

四、解下列各题题

1．利用柱面坐标计算三重积分 ???Ω

zdxdydz ，其中Ω是由曲面22y x z +=

与平面4=z 所围成的闭区域。

解:

20,20:2

≤≤≤≤≤≤Ωz ρ

ρπ?

???

020

ρρ?dz

z d d zdxdydz

=()??

-2

162

ρρ

ρ?π

d d

64π

2．利用柱面坐标计算三重积分 ???Ω

zdxdydz ，

其中闭区域Ω为半球体0,1222≥≤++z z y x . 解:

在xoy 平面内的投影区域为1:

≤+y

D ，

用柱面坐标可表示为

10,

20:ρ

ρπ?-≤

≤≤≤≤≤Ωz

()?

???

-==

-Ω

dz dz z d d zdxdydz ρρπ

ρρ?ρ

441

πρρ

π=???

???-=

3．．利用柱面坐标计算三重积分 ???

+dxdydz

y x 2

，其中Ω是由曲面229y x z --=

与平面0=z 所围成的闭区域。

解:

90,30,

20:ρ

ρπ?-≤≤≤≤≤≤Ωz ?

???

-Ω

ρρρ?dz

d d dxdydz y x

=()??

-3

3249π

ρρ

?π

d d

4．计算曲线积分()()?+--L

dy y x dx y x 22，其中L 是在圆周2

2x x y -=

上由

点O （0，0）到点A （1，1）的一段弧。

解: (

P y

x Q -=+-=2

,1-=??=

??y

P x

Q 曲线积分与路径无关，

()()()(

)dy y

x dx y x

x dx y x OA

2+--=

--??-

=?+--1

022)]()[(dx x x x x ( y=x ,

10≤≤x

)

=?-1

)2(dx x = - 1

5．计算曲线积分()(

)?+--L

dy y

x dx y x 2

，其中L 是在圆周2

2x x y -=

上由

点O （0，0）到点A （2，0）的一段弧。

解：

(

P y

x Q -=+-=2

,1-=??=

??y

P x

Q 曲线积分与路径无关，

()()()(

)dy y

x dx y x

x dx y x OA

2+--=

--??-

=?2

x ( y=0,

0≤≤x )

6．计算曲线积分()()?+--L

dy y x dx y x 2，其中L 是在圆周2

2x x y -=上由

点A （2，0）到点0（0，0）的一段弧。

解:

(

P y

x Q -=+-=2

,1-=??=

??y

P x

Q 曲线积分与路径无关，

()()()(

)dy y

x dx y x

x dx y x AO

2+--=

--??-

=?0

x ( y=0 , x 由2到0)

= -

7．判别级数()∑∞

=-2

ln 11n n

是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛？

解: 记 n

u n ln 1=

, 则

()

),,,3,2(1ln 1

ln 11

n n u n n

u n n ==+>

且

ln 1lim

lim ==∞

→∞

→n

u n n n

由莱布尼兹定理, 级数()n

ln 11∑-收敛

又n

1ln 1>

,而级数∑

∞

1n n

发散,由比较判别法可知

级数∑

∞

ln 1n n

发散,从而级数()∑∞

=-2

ln 11n n

为条件收敛

8．判别级数()∑∞

=??

??+

-211ln 1n n n 是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛？解：记??

=n u n 11ln ， 11

11ln lim =?

?? ?

+∞→n

n n 而∑

∞

1n n

发散，所以∑∞

=??

11ln n n 发散又1111ln 11ln +=??? ?

++>??? ??+=n n u n n u

),3,2,1( =n

且

011ln lim lim =??? ?

+=∞→∞→n u n n n ，由莱布尼兹定理知

()∑∞

=-???

??+-11

11ln 1n n n 收敛且为条件收敛.

9．判别级数())

!1ln(12

∑∞

-n n n

是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛？

解:

)

11l n ()11l n ()

1(2

n +

11)11ln(lim

∞

→n

级数)

11ln(2

∑∞

n n

收收敛，

从而级数())11ln(12

∑∞

-n n n

为绝对收敛.

10 计算2

I x y d σ

-??

, 其中:11,01D y x -≤≤≤≤. 1115??

???

11. 计算22

I x y d σ

+-??

, 其中22

3.D x y +≤ 52π?? ???

12. 求由锥面222z x y =+与圆柱面()220x y ax a +=>所围成的立体的体积. 38

a ?? ???

五．应用题

1．将周长为p 2的矩形绕它的一边旋转得一圆柱体，问矩形的

边长各为多少时，所得圆柱体的体积为最大？

解. 目标函数：y

x V

π=，附加条件：p

y x =+

()()p y x y x y x L -++=λπ2

解方程组：??

??=+=+==+=p y x x L xy L y X 0022λπλπ

得唯一可能极值点：p

y p x 3

1,3

故当矩形的边长分别为

p 3

2和

p 3

1时，绕短边旋转所得到园柱

体的体积最大，且其体积为3

4p V

π=

2．从斜边之长为l 的一切直角三角形中，求有最大周长的

直角三角形.

解：设直角三角形的两直角边分别为x 和y ，问题化为求

l y x A ++=在条件2

l y

=+下的最大值问题。

设()(

2,l

l y x y x L -++++=λ …………………...2分

解方程组??

???=+=+==+=2220210

21l y x y L x L y X λλ

得 2

=y x ……………………………….5分

故可知当两直角边都等于

22时直角三角形的周长最

大。 …………………………………..7分

3.. 求原点到曲面()2

1x y z --=上点的最短距离.

4. 证明: 曲面3xyz a =上任一点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积

(整理)多元函数微分习题

第五部分多元函数微分学 [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A

多元函数微积分测试题

第七、八、九章多元函数微积分复习测试题一、单项选择题（每题2分） 1、在空间直角坐标系中，1=y 表示（）。 A 、垂直于x 轴的平面 B 、垂直于y 轴的平面 C 、垂直于z 轴的平面 D 、直线 2、用平面1=z 截曲面22y x z +=，所得截线是（）。 A 、圆 B 、直线 C 、抛物线 D 、双曲线 3、下列关于二元函数的说法正确的是（）。 A 、可偏导一定连续 B 、可微一定可偏导 C 、连续一定可偏导 D 、连续一定可微 4、设3 2 y xy x z +-=，则=???y x z 2（）。A 、y 612+- B 、x - C 、y - D 、1- 5．若函数),(y x z z =的全微分y y x x y z d sin d cos d -=，则二阶偏导数y x z ???2=（） A ．y sin - B ．x sin C ．x cos D ． y cos 6、函数x x y y x f 2),(22+-=在驻点（1，0）处（） A ．取极大值 B ．取极小值 C ．无极值 D ．无法判断是否取极值 7．若函数),(y x f z =的一阶偏导存在，且 y y f xy x z ==??),0(,2，则=),(y x f （） A ．y x 2 B ．2 xy C ．y y x +2 D ．y xy +2 8、设20,10:x y x D ≤≤≤≤；则下列与 ??D dxdy 的值不相等的是（）。 A 、 ?1 2 dx x B 、? 1 dy y C 、?-1 )1(dy y D 、??1 2 x dy dx 9、二次积分dy y x x dx x ? ? -+240 2220 转化为极坐标下的二次积分为（） A 、dr r d ??20 32 cos θθπ B 、dr r d ?? 2 22 cos θθπ C 、 dr r d ?? 2 30 cos θθπ D 、dr r d ??2 20 cos θθπ 10、x y x D ≤≤≤||,10:，则二重积分=??D dxdy （）。 A 、 ? 10 ydy B 、 ? 10 xdx C 、 ? -11 ydy D 、 ? 10 2xdx 二、填空题（每空3分） 11、0242 2 2 =+++-z z y x x 的图形是球心为的球面。

多元函数微分学知识点梳理

第九章多元函数微分学内容复习一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理（1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续（2）（二元函数）极值的必要、充分条件二、基本计算（一）偏导数的计算 1、偏导数值的计算（计算),(00y x f x '）（1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='）（3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '）（1）简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导（2）复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式）（3）隐函数求导求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等）注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算注意记号表示，以及求导顺序（二）全微分的计算 1、叠加原理

高等数学习题详解-第7章多元函数微分学

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。

多元函数微积分复习题

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多元函数微积分复习题一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的（ B ) （A) 充分而不必要条件; (B ）必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件； (D) 既不必要也不充分条件． 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的（ D ) (Ａ）充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (Ｃ）必要而且充分条件; (D ）既不必要也不充分条件. 3.函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B )． (A) 充分而不必要条件; (Ｂ) 必要而不充分条件; (Ｃ) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. ４．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ). A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=； B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在，则. 22z x ??=22z y ??. 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ). Ａ. 可微（指全微分存在）?可导(指偏导数存在)?连续; Ｂ. 可微?可导?连续; C ．可微?可导, 或可微?连续，但可导不一定连续; Ｄ. 可导?连续，但可导不一定可微. 6．向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ) (A) 3 (B ） 3-

《多元函数微分学》练习题参考答案

多元微分学 P85-练习1 设)cos(2z y e w x +=，而3x y =，1+=x z ，求 dx dw ．解： dw w w dy w dz dx x y dx z dx ???=+?+???? 2222cos()[sin()(3x x e y z e y z x =++-+? 23232cos((3x e x x x ?? =-+???? P86-练习2 设函数20 sin (,)1xy t F x y dt t = +? ，则22 2 x y F x ==?=? ．（2011）解： 2222222222 sin cos (1)2sin ,1(1)F y xy F y xy x y xy xy y x x y x x y ??+-==??+?+，故 22 02 4x y F x ==?=? P86-练习3 设)(2 2 y x f z +=，其中f 有二阶导数，求22x z ?? ，22y z ??．（2006）解：z f x ?'=?； 2223222222).(z x y f f x x y x y ?'''=?+??++ 同理可求 222 222222 () z y x f f y x y x y ?'''=?+??++. P87-练习4 设)(), (x y g y x xy f z +=，其中f 有二阶连续偏导数，g 有二阶导数，求y x z ???2．（2000）解: 根据复合函数求偏导公式 1221()z y f y f g x y x ?'''=?+?+?-?,

122111122212222211122223323221()111 [()][()]11 z y f y f g y x y y x x x y f y f x f f f z x y x y f xyf f f g g y y x x f g g y y y y x x x ?? ?????'''==????''+?+?- ? ???????? '''''''''''''=''''''' +---++?--++?--?-?-= P87-练习5 设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求 211 x y z x y ==???．（2011）解：由题意(1)0g '=。因为 12()z yf yg x f x ?'''=+?， 21111222122()()()()z f y xf g x f g x f yg x xf g x f x y ?????''''''''''''=+++++??????，所以 211 12111 (1,1)(1,1)(1,1)x y z f f f x y ==?'''''=++?? P88-练习6 设),,(xy y x y x f z -+=，其中f 具有二阶连续偏导数，求dz ， y x z ???2．（2009）解： 123123,z z f f yf f f xf x y ??''''''=++=-+?? 123123()()z z dz dx dy f f yf dx f f xf dy x y ??''''''= +=+++-+?? () 1231112132122233313233211132223333(1)(1)(1()())f f yf y z x y f x y f f x y f xyf f f f x f f f x f f f y f f x ?'''=++???'''''''''''''???'''''''''''=+?-+?++?-+'''''' =++-+-+?+++?-+???+

多元函数微分学及应用(隐函数反函数)

习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用多元复合函数、隐函数的求导法 (1) 多元复合函数设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点 ),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数 )),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且 ()()()() x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00??()()()() y y x v v v u f y y x u u v u f y z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00?? 多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微，则将z 看成y x ,的函数，有 dy y z dx x z dz ??+??= 计算 y v v f y u u f y z x v v f x u u f x z ????+????=??????+????=??,，代人， dv v f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??= ???? ????+????+???? ????+????=???? ??????+????+??? ??????+????=??+??= 我们将dv v f du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??= 叫做微分形式不变性。例1 设??? ??=x y xy f x z , 3 ，求y z x z ????,。

多元函数微积分复习题

多元函数微积分复习题一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的（ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). C A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( ). C A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2

多元函数微分学及其应用

第8章多元函数微分学及其应用参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性：（1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。

多元函数微积分复习试题

多元函数微积分复习题一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的（ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. … 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ). A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. ] 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ). A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2

考研数学三-多元函数微积分学(一).doc

考研数学三-多元函数微积分学(一) (总分：100.00，做题时间：90分钟) 一、Section Ⅰ Use of Eng(总题数：1，分数：10.00) The mass media is a big part of our culture, yet it can also be a helper, adviser and teacher to our young generation. The mass media affects the lives of our young by acting as a (an) (1) for a number of institutions and social contacts. In this way, it (2) a variety of functions in human life. The time spent in front of the television screen is usually at the (3) of leisure: there is less time for games, amusement and rest. (4) by what is happening on the screen, children not only imitate what they see but directly (5) themselves with different characters. Americans have been concerned about the (6) of violence in the media and its (7) harm to children and adolescents for at least forty years. During this period, new media (8) , such as video games, cable television, music videos, and the Internet. As they continue to gain popularity, these media, (9) television, (10) public concern and research attention. Another large societal concern on our young generation (11) by the media, is body image. (12) forces can influence body image positively or negatively. (13) one, societaland cultural norms and mass media marketing (14) our concepts of beauty. In the mass media, the images of (15) beauty fill magazines and newspapers, (16) from our televisions and entertain us (17) the movies. Even in advertising, the mass media (18) on accepted cultural values of thinness and fitness for commercial gain. Young adults are presented with a (19) defined standard of attractiveness, a(n) (20) that carries unrealistic physical expectations. （分数：10.00） (1).[A] alternative [B] preference [C] substitute [D] representative（分数：0.50） A. B. C. D. (2).[A] accomplishes [B] fulfills [C] provides [D] suffices（分数：0.50） A. B. C. D. (3).[A] risk [B] mercy [C] height [D] expense（分数：0.50） A. B. C. D. (4).[A] Absorbed [B] Attracted [C] Aroused [D] Addicted（分数：0.50） A. B. C. D. (5).[A] identify [B] recognize [C] unify [D] equate（分数：0.50） A. B. C.

多元函数微分学练习题

多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

第五章（多元函数微分学）练习题一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是．

多元函数微分学复习题及答案

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第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令22y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=?????110 00，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=???? ?22 2222000，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 2000(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22

多元函数微分学习题

第五部分多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31, 31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A

《数学分析》多元函数微分学

第四章多元函数微分学一、本章知识脉络框图

二、本章重点及难点本章需要重点掌握以下几个方面容： ● 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor 公式. ● 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. ● 几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线. ● 极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange 乘数法. 三、本章的基本知识要点 (一)平面点集与多元函数 1.任意一点A 与任意点集E 的关系. 1) 点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?，则称点A 是点集E 的点。 2) 外点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?=?，则称点A 是点集E 的外点。 3) 界点（边界点）. 若在点A 的任何邻域既含有属于E 得的点，又含有不属于E 的点，则称点A 是点集E 的界点。 4) 聚点. 若在点A 的任何空心邻域()o U A 部都含有E 中的点，则称点A 是点集E 的聚点。 5) 孤立点. 若点A E ∈，但不是E 的聚点，则称点A 是点集E 的孤立点。 2. 几种特殊的平面点集. 1) 开集. 若平面点集E 所属的每一点都是E 的点，则称E 为开集。 2）闭集. 若平面点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集。 3) 开域. 若非空开集E 具有连通性，即E 中任意两点之间都可用一条完全含于E 得有限折线相连接，则称E 为开域。 4）闭域. 开域连同其边界所成的点集称为闭域。 5）区域. 开域、闭域或者开域连同某一部分界点所成的点集，统称为区域。 3.2 R 上的完备性定理. 1) 点列收敛定义：设{}2 n P R ?为平面点列，2 0P R ∈为一固定点。若对任给的正数ε，存在正整数N ，使得当n N >时，有()0,n P U P ε∈，则称点列{}n P 收敛于点0P ，记作 0lim n n P P →∞ = 或 ()0,n P P n →→∞.

《多元函数微积分》习题解答第二章-15页word资料

习题2-1 1、解：在任意一个面积微元 SKIPIF 1 < 0 上的压力微元 SKIPIF 1 < 0 ，所以，该平面薄片一侧所受的水压力 SKIPIF 1 < 0 2、解：在任意一个面积微元σd 上的电荷微元σμd y x dF ),(=，所以，该平面薄片的电荷总量??=D d y x Q σμ),( 3、解：因为10,10≤≤≤≤y x ，所以1122++≤++y x y x ，又u ln 为单调递增函数，所以()()1ln 1ln 22++≤++y x y x ，由二重积分的保序性得 ( ) ()????≤≤≤≤≤≤≤≤++≤ ++1 01 01 010221ln 1ln y x y x d y x d y x σσ 4、解：积分区域D 如图2-1-1所示，所以该物体的质量 3 4 )384438()()(1 0321 22 2 2 2 =-+-=+=+=??? ??-dy y y y dx y x dy d y x M y y D σ 5、解：（1）积分区域如图2-1-2所示，所以????=1 10010),(),(x y dy y x f dx dx y x f dy （2）积分区域如图2-1-3所示，所以? ???=x x y y dy y x f dx dx y x f dy 2 /4 22 ),(),(2 （ 3 ）积分区域如图2-1-4所示，所以 ? ???+----=1 1210 2221 22 ),(),(y y x x x dx y x f dy dy y x f dx （4）积分区域如图2-1-5所示，所以????=e e x e y dx y x f dy dy y x f dx ),(),(1 0ln 00 6、解：（1）积分区域如图2-1-6所示，所以 () ? ????=??? ??-=-==1 01 054/1134/310 55 6 5111432322x x dx x x x dy y x dx d y x x x D σ （ 2）积分区域如图2-1-7所示，所以 15 64)4(2122 2240 22 2 2 2 =-==? ? ???--dy y y dx xy dy d xy y D σ

多元函数微分学复习(精简版)

高等数学下册复习提纲第八章多元函数微分学本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆）条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆）无条件极值（☆☆☆☆）曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆）隐函数（组）求导（☆☆☆）一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆）方向导数、梯度计算（☆☆）重极限、累次极限计算（☆☆）函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数例设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y

多元函数微分学练习题完整版

多元函数微分学练习题 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是． 17. 曲线2226,2 x y z x y z ?++=?++=?在点(1,2,1)-处切线的方向向量s = ． 18. 设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由方程z y x e z y x --+=+确定的隐函数，则=)1,1,0(x f ．二、选择题 1. 设0x 是n R ?E 的孤立点，则0x 是E 的（） (A)聚点； (B)内点； (C)外点； (D)边界点． 2. 设0x 是n R ?E 的内点，则0x 是E 的（） (A)孤立点； (B)边界点； (C)聚点； (D)外点． 3. 设22 2, (,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y x y f x y x y x y ?+≠?=+??=? ，则(0,0)y f =( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 1-

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