多元函数微积分复习题
一、单项选择题
1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B )
(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.
2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D )
(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;
(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.
3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).
(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;
(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ).
A. 若0
lim x x
y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0
lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处
z
x
??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处
z
x
??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22
z
y ??.
5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ).
A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续;
B. 可微?可导?连续;
C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续;
D. 可导?连续, 但可导不一定可微.
6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-r r
，则a b =r r g （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2
5．已知三点M （1，2，1），A （2，1，1），B （2，1，2） ，则→
→?AB MA = （ C ） (A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2；
6．已知三点M （0，1，1），A （2，2，1），B （2，1，3） ，则||→
→
+AB MA =（ B ）
(A);2-
(B)
(C)2; (D)-2;
7．设D 为园域222x y ax +≤ (0)a >, 化积分(,)D
F x y d σ??为二次积分的正确方法
是_____D____.
A. 20(,)a
a a
dx f x y dy -??
B. 20
2(,)a
dx f x y dy ?
C. 2cos 0
(cos ,sin )a a a
d f d θθρθρθρρ-??
D. 2cos 20
2
(cos ,sin )a d f d π
θπ
θρθρθρρ-
??
8．设3ln 1
(,)x I
dx f x y dy =??
, 改变积分次序, 则______.I
= B
A. ln30
(,)y e dy f x y dx ??
B. ln330(,)y e
dy f x y dx ??
C. ln33
(,)dy f x y dx ?
? D. 3
ln 1
(,)x dy f x y dx ??
9． 二次积分cos 20
(cos ,sin )d f d π
θθρθρθρρ??
可以写成___________. D
A. 1
(,)dy f x y dx ??
B. 1
00
(,)dy f x y dx ?
C. 11
(,)dx f x y dy ?? D. 10
(,)dx f x y dy ?
10． 设Ω是由曲面222x y z +=及2z =所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分
(,,)I f x y z dx dy dz Ω
=???表示为三次积分，________.I = C
A ． 221
20
(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθ?
??
B. 222
20
(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθρ?
??
C ． 2222
2
(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρθρθρ?
??
D ． 222
(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρθρθρ?
??
11．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d y c a x L ≤≤=,:，
则()=?L
dx y x P , （ C ）
（A ） a （B ） c
（C ） 0 （D ） d
12．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d x c a y L ≤≤=,:，则()=?L
dy y x P , （ C ）
（A ） a （B ） c （C ） 0 （D ） d
13．设有级数∑∞
=1n n u ,则0lim =∞
→n n u 是级数收敛的 （ D ）
(A) 充分条件； (B) 充分必要条件； (C) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;
14．幂级数∑∞
=1n n nx 的收径半径R = （ D ）
(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D) 1
15．幂级数∑∞
=11
n n x n
的收敛半径=R （ A ）
(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 3
16．若幂级数∑∞
=0
n n
n x a 的收敛半径为R ，则∑∞
=+0
2n n n x a 的收敛半径为 （ A ）
(A) R (B) 2R
(C) R (D) 无法求得
17. 若lim 0n n u →∞
=, 则级数1n n u ∞
=∑( ) D
A. 收敛且和为
B. 收敛但和不一定为
C. 发散
D. 可能收敛也可能发散
18. 若1
n n u ∞
=∑为正项级数, 则( B )
A. 若lim 0n n u →∞
=, 则1
n n u ∞=∑收敛 B. 若1
n n u ∞=∑收敛, 则21
n n u ∞
=∑收敛
C. 若21
n n u ∞=∑, 则1
n n u ∞=∑也收敛 D. 若1
n n u ∞
=∑发散, 则lim 0n n u →∞
≠
19. 设幂级数1
n n n C x ∞
=∑在点3x =处收敛, 则该级数在点1x =-处( A )
A. 绝对收敛
B. 条件收敛
C. 发散
D. 敛散性不定 20. 级数1
sin (0)!n nx x n ∞
=≠∑
, 则该级数( B )
A. 是发散级数
B. 是绝对收敛级数
C. 是条件收敛级数
D. 可能收敛也可能发散
二、填空题
1．设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+，则 =')1,0(x f ___1___.
2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则
)1,0('x f =____0______.
3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是
()()????=D
D
d d f dxdy y x f θρρθρθρsin ,cos ,
4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是
()()??????Ω
Ω
=dz d d z f dxdydz z y x f ?ρρ?ρ?ρ,sin ,cos ,,
5．柱面坐标下的体积元素 z d d d dv θρρ=
6．设积分区域222:D x y a +≤, 且9D
dxdy π=??, 则a = 3 。
7． 设D 由曲线sin ,a a ρθρ==所围成, 则D
dxdy =
??234
a π
8． 设积分区域D 为2214x y ≤+≤, 2D
dxdy =??6π
9．设()y x f ,在[0， 1]上连续，如果()31
=?
dx x f ，
则()()??1
1
dy y f x f dx =_____9________.
10．设L 为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，则
()L
x y ds +=
? .
11．设L 为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，
则 ().___________=-?L
ds y x 0
12．等比级数∑∞
=1
n n
aq )0(≠a 当 1q < 时，等比级数∑∞
=1
n n aq 收敛.
13．当__1ρ>__时，-p 级数∑
∞
=11
n p n
是收敛的.
14．当_________时,级数()
∑∞
=--11
1
1n p
n n 是绝对收敛的. 1ρ> 15
．若(,)f x y =则(2,1)_________.x f = 12,
16．若2
3
(,)(1)arccos 2y f x y xy x x
=+-, 则(1,)_________.y f y = 23y
17．设x y u z =, 则_________.du = ln ln x y xy z y xdx x zdy dz z ?
?++ ???
18．设ln x
z y
=, 则22__________.z x ?=? ln 2
ln (ln 1)x
y y y x
- 19. 积分2
2
2
y x
dx e
dy -??的值等于_________. 41
(1)2
e --,
20.设D 为园域222x y a +≤, 若()228D
x y dxdy π+=??, 则_______.a = 2
三、计算题
1. 求过点()2,0,1- 且与平面25480x y z -+-=平行的平面方程.
解: 已知平面的法向量n=（2，-5，4），
所求平面的方程为
2（x +2）-5（y -0）+4（z -1）=0 即 2 x -75y +4z = 0
2．求经过两点M 1（1-，2-，2）和 M 2（3，0，1）的直线方程。
. 解: →
21M M = (4, 2 ,1- ) 所求直线方程为
122
421
x y Z ++-==
- 3．求过点 ( 0, -3, 2) 且以n =( 3, -2, 1 )为法线向量的平面方程.
解: 所求的平面方程为
()()()3023120x y z --++-=
即 3280x y z -+-=
4．设()y xy f z ,=，其中f 具有二阶连续偏导数，求y
x z
???2
解:
,1yf x
z
=?? ()()1211
112f f x y f f y y
x z y y x z ''+''+'='??
=??? ??????=???
5．设x y y x arctan ln 22=+, 求dx
dy
解: 方程两边对x 求导得
()2
2
2
22
21122211x
y
y x x y y y x y x y x -'?
??
?
??+=
'++?
+ 由此得 y
x y
x y -+='
6．设()y xy f z ,=，其中f 具有二阶连续偏阶导数，求22x
z
??。
解:
u yf x
z
=??, ()()u u u u f y f x y yf x x z x x
z 222=??
=??=??? ??????=??
7．设
y z z x ln =, 求.x
z
??
解: 方程y z z x
ln ln -=两边同时对x 求导得
x z z z x z x
z ??=??-12
, z
x z x z +=??
8．设()by ax f z ,=，其中f 具有连续的二阶偏导数，求y
x z
???2
解:
1f a x
z
'=??
"
=??
? ??'??=???1212abf af y y x z
9．设 .,0sin 2dx
dy xy e y x 求
=-+ 解: 方程两边对x 同时求导得
2cos 20x y y e y xyy ''?+--=
由此得 y
xy y e y x cos 22
--='
10．计算二重积分()??+D
dxdy y x 23, 其中D 是由直线2,0,0=+==y x y x
所围成的闭区域。
解: ()()[]?????--+=+=+2
0202202
032323dx y xy dy y x dx dxdy y x x
x
=(
)
3
204324222
0322
02
=???
???+-=+-?x x x dx x x
11．改变二次积分()dx y x f dy I y y ?
?
=
22
2
,的积分次序。
解: 积分区域为 y x y y D 2,
20:2≤≤≤≤
D 也可表示为 x y x
x D ≤≤≤≤2
,40: ()??=∴x
x dy y x f dx I 2
4
0,
12．计算二重积分()??+D
dxdy y x 23, 其中D 是由直线1,0,0-===x y y x
所围成的闭区域。
解: ()()[]?????--+=+=+1
00120
11
032323dx y xy dy y x dx dxdy y x x x D
=()6
1
1541
02=+--?dx x x
13．改变二次积分()dx y x f dy I y
??=0
10
,的积分次序。
解: 积分区域为 y x y D ≤≤≤≤0,10:
D 也可表示为 1,10:≤≤≤≤y x x D ∴有 ()()????=1
1
001
0,,x y
dy y x f dx dx y x f dy
14．计算二重积分()??+D dxdy y x 23其中D: .10,10≤≤≤≤y x
解: ()()[]?????+=+=+D
dx y xy dy y x dx dxdy y x 1
01
021
01
032323
=().2
523131
021
0=???
???+=+?x x dx x
15．改变二次积分()dx y x f dy I y ?
?-=11
12
,的积分次序。
解: 积分区域为 1,
11:2≤≤≤≤-x y y D
D 也可表示为 x y x x D ≤≤-≤≤,10: ()??-=∴x
x dy y x f dx I ,1
16．利用格林公式计算曲线积分 I = ?-+++-L dy x y dx y x ,)635()42(
其中L 为三顶点分别为(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界.
解: 由格林公式 I =
dxdy y x y
x y x D
)]42()635([
+-??
--+???? = ??D
dxdy 4 = 232
1
4???
= 12
17．利用格林公式计算曲线积分 ()L
y dx xdy -+??,
其中L 为正向的圆周 )0.(222>=+a a y x .
解：由格林公式
I =
dxdy y y
x x D
)]([
-??
-???? = ??D
dxdy 2
= 22a π
18．利用格林公式计算曲线积分 I = ?-+++-L
dy x y dx y x ,)635()42(
其中L 为三顶点分别为(0,0),(3,0),(0,3)的三角形正向边界.
解: 由格林公式
I =
dxdy y x y
x y x D
)]42()635([
+-??
--+???? = ??D
dxdy 4
= 332
14??? = 18.
19． 判别级数∑∞
=123
sin
n n
n π
的收敛性。
解: ()1313
sin 3sin
1lim
lim 2121
<=+==+∞
→+∞→n
n n n
n n n n u u ππ
ρΘ
∴ 由比值判别法知级数∑∞
=0
23
sin
n n
n π
收敛
20．求幂级数∑
∞
=?12
1n n
n
x n 的收敛区间。 解: ()21
2211
lim lim
11=
+==+∞→+∞→n
n n n
n n n n a a ρ 21
==
∴ρ
R ，
收敛区间为()2,2-
21．求幂级数∑
∞
=?13
1
n n n
x n 的收敛区间。 解: ()3
131311
lim lim
11=+==+∞→+∞→n
n n n
n n n n a a ρ, 31
==
ρ
R
收敛区间为(-3, 3)
四、解下列各题题
1． 利用柱面坐标计算三重积分 ???Ω
zdxdydz ，其中Ω是由曲面22y x z +=
与平面4=z 所围成的闭区域。
解: 4,20,20:2≤≤≤≤≤≤Ωz ρρπ? ??????=Ω
4
20202
ρπρρ?dz z d d zdxdydz
=
()
??-20
4201621ρρρ?πd d =3
64
π
2． 利用柱面坐标计算三重积分 ???Ω
zdxdydz ，
其中闭区域Ω为半球体0,1222≥≤++z z y x .
解: Ω在xoy 平面内的投影区域为1:22≤+y x D ， 用柱面坐标可表示为
210,10,20:ρρπ?-≤≤≤≤≤≤Ωz ()
???????-==-Ω
1
210
1
02012
dz dz z d d zdxdydz ρρπρρ?ρπ
441211
042π
ρρπ=??????-= 3．． 利用柱面坐标计算三重积分 ???
Ω
+dxdydz y x 22，其中Ω是由曲面229y x z --=
与平面0=z 所围成的闭区域。
解: 290,30,20:ρρπ?-≤≤≤≤≤≤Ωz ??????-Ω
?=+2
90
3
0202
2
ρπ
ρρρ?dz d d dxdydz y x
=()??=
-3
022205
324
9πρρρ?π
d d
4． 计算曲线积分()()
?+--L
dy y x dx y x 22，其中L 是在圆周22x x y -=上由
点O （0，0）到点A （1，1）的一段弧。
解: ()y x P y x Q -=+-=22,
,1-=??=??y
P
x Q 曲线积分与路径无关， ()()()()
dy y x dx y x
dy y x dx y x OA
L
22
22+--=
+--??-
-
=?+--1
022)]()[(dx x x x x ( y=x , 10≤≤x )
=?-1
)2(dx x = - 1
5．计算曲线积分()()?+--L
dy y x dx y x 22，其中L 是在圆周22x x y -=上由
点O （0，0）到点A （2，0）的一段弧。
解： ()y x P y x Q -=+-=22,
,1-=??=??y
P
x Q 曲线积分与路径无关， ()()()()
dy y x dx y x
dy y x dx y x OA
L
22
22+--=
+--??-
-
=?2
02dx x ( y=0, 20≤≤x )
3
8=
6． 计算曲线积分()
()?+--L
dy y x dx y x 2，其中L 是在圆周22x x y -=上由
点A （2，0）到点0（0，0）的一段弧。
解: ()y x P y x Q -=+-=22,
,1-=??=??y
P
x Q 曲线积分与路径无关， ()()()()
dy y x dx y x
dy y x dx y x AO
L
22
22+--=
+--??-
-
=?0
22dx x ( y=0 , x 由2到0) = -3
8.
7． 判别级数()
∑∞
=-2ln 1
1n n
n
是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛？ 解: 记 n
u n ln 1
=
, 则 ()
),,,3,2(1ln 1ln 11
ΛΛn n u n n u n n ==+>=
+
且 0ln 1
lim lim ==∞
→∞→n
u n n n 由莱布尼兹定理, 级数()n
n
ln 1
1∑-收敛 又n n 1
ln 1>Θ
,而级数∑∞
=21n n
发散,由比较判别法可知
级数∑∞
=2ln 1n n 发散,从而级数()∑∞
=-2
ln 1
1n n n 为条件收敛
8．判别级数()∑∞
=??? ??+-2
11ln 1n n
n 是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛？
解： 记??
? ??+=n u n 11ln ， 1111ln lim
=?
?? ?
?
+∞→n
n n Θ 而∑∞
=11
n n
发散，所以∑∞
=??? ??+111ln n n 发散
又1111ln 11ln +=??
? ?
?
++>??
? ?
?+=n n u n n u Θ ),3,2,1(ΛΛ=n
且 011ln lim lim =??
? ?
?
+=∞
→∞→n u n n n ， 由莱布尼兹定理知
()∑
∞
=-??
? ?
?+-1111ln 1n n n 收敛且为条件收敛. 9． 判别级数())!
1ln(12
2∑∞
=+
-n n
n
是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛？ 解: )11ln()11ln()1(221n
n n +=+
-- 11)11ln(lim
2
2
=+
∞
→n n n Θ
级数)1
1ln(2
2
∑∞
=+
n n 收收敛， 从而级数())1
1ln(12
2
∑∞
=+
-n n n 为绝对收敛.
10 计算2D I x y d σ=-??, 其中:11,01D y x -≤≤≤≤. 1115??
???
11. 计算222D
I x y d σ=+-??, 其中22: 3.D x y +≤ 52π
??
???
12. 求由锥面222z x y =+与圆柱面()220x y ax a +=>所围成的立体的体积. 389a ??
???
五．应用题
1．将周长为p 2的矩形绕它的一边旋转得一圆柱体，问矩形的 边长各为多少时，所得圆柱体的体积为最大？
解. 目标函数：y x V 2π=，附加条件：p y x =+
()()p y x y x y x L -++=λπ2,
解方程组：??
?
??=+=+==+=p y x x L xy L y X 0022λπλπ
得唯一可能极值点：p y p x 31
,32==
故当矩形的边长分别为p 32和p 3
1
时，绕短边旋转所得到园柱
体的体积最大，且其体积为327
4
p V π=
2．从斜边之长为l 的一切直角三角形中，求有最大周长的 直角三角形.
解： 设直角三角形的两直角边分别为x 和y ，问题化为求
l y x A ++=在条件222l y x =+下的最大值问题。
设()()222,l y x l y x y x L -++++=λ …………………...2分
解方程组??
?
??=+=+==+=222021021l y x y L x L y X λλ
得 2
2
=
=y x ……………………………….5分 故可知当两直角边都等于
l 2
2
时直角三角形的周长最大。 …………………………………..7分
3.. 求原点到曲面()2
2
1x y z --=上点的最短距离.
4. 证明: 曲面3xyz a =上任一点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
高等数学教案 、
第一章 函数、极限与与连续 本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。具体的要求如下： 1． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中 逐步加深理解，对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。 2． 掌握极限四则运算法则。 3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。能够正确运用等价无穷小求极限。 5. 理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上）连续函数的概念。 6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。 7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。 第一章共12学时，课时安排如下 绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1.4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1.4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时 绪论 数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。 关于数学应用和关于微积分的评价： 恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。 张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了（《数学通报》数学与文化2001.1.封二） 初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。
第二章 一元函数微分学 一、 导数 （一）、导数概念 1、导数的定义： 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ?时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -?+=?，如果当0→?x 时，x y ??的极限存在，即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1：根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解：223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 ＝当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义： 如果当)0(0-+→?→?x x 时，x y ??的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左
第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0
)(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x
习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用 多元复合函数、隐函数的求导法 (1) 多元复合函数 设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点 ),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数 )),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且 ()()()() x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00??()()()() y y x v v v u f y y x u u v u f y z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00?? 多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微， 则将z 看成y x ,的函数，有 dy y z dx x z dz ??+??= 计算 y v v f y u u f y z x v v f x u u f x z ????+????=??????+????=??,，代人， dv v f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??= ???? ????+????+???? ????+????=???? ??????+????+??? ??????+????=??+??= 我们将dv v f du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??= 叫做微分形式不变性。 例1 设??? ??=x y xy f x z , 3 ，求y z x z ????,。
第四部分 一元函数微积分 第11章 函数极限与连续[内容提要] 一、函数：(138-141页） 1、函数的定义：对应法则、定义域的确定、函数值计算、简单函数图形描绘。 2、函数分类：基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反 三角函数的统称）；复合函数（[()]y f x ?=）；初等函数（由常数和基本初等函数构成的，且只能用一个式子表达的函数）；分段函数；隐函数；幂指函数（()()g x y f x =）；反函数。 3、函数的特性：奇偶性；单调性；周期性；有界性. 二、极限： 1、极限的概念：(141-142页) 定义1：（数列极限）给定数列{}n x ，如果当n 无限增大时，其通项n x 无限趋向 于某一个常数a ，即a x n -无限趋近于零，则称数列{}n x 以a 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记为a x n n =∞ →lim ，若{}n x 没有极限，则称数列{} n x 发散。 定义2：（0x x →时函数)(x f 的极限）设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域0(,) U x δo 内有定义，当x 无限趋向于0x （0x x ≠）时，函数)(x f 的值无限趋向于 A ，则称0x x →时， )(x f 以A 为极限，记作A x f x x =→)(lim 0 。 左极限：设函数)(x f 在点0x 的左邻域00(,)x x δ-内有定义，当0x x <且无限趋向 于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的左极限为A ，记作0 0(0)lim ()x x f x f x A -→-==。 右极限：设函数)(x f 在点0x 的右邻域00(,)x x δ+内有定义，当0x x >且无限趋向 于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的右极限为A ，记作0 0(0)lim ()x x f x f x A +→+==。 定义3：（x 趋于无穷大时函数)(x f 的极限）设)(x f 在区间)0(>>a a x 时有定义， 若x 无限增大时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称当∞→x 时，
第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。 解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性： （1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。
多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. … 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ). A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. ] 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ). A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2
一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限： 1．93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4．0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6．x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8．943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11．01 sin lim 20=→x x x （无穷小的性质）
考研数学三-多元函数微积分学(一) (总分：100.00，做题时间：90分钟) 一、Section Ⅰ Use of Eng(总题数：1，分数：10.00) The mass media is a big part of our culture, yet it can also be a helper, adviser and teacher to our young generation. The mass media affects the lives of our young by acting as a (an) (1) for a number of institutions and social contacts. In this way, it (2) a variety of functions in human life. The time spent in front of the television screen is usually at the (3) of leisure: there is less time for games, amusement and rest. (4) by what is happening on the screen, children not only imitate what they see but directly (5) themselves with different characters. Americans have been concerned about the (6) of violence in the media and its (7) harm to children and adolescents for at least forty years. During this period, new media (8) , such as video games, cable television, music videos, and the Internet. As they continue to gain popularity, these media, (9) television, (10) public concern and research attention. Another large societal concern on our young generation (11) by the media, is body image. (12) forces can influence body image positively or negatively. (13) one, societaland cultural norms and mass media marketing (14) our concepts of beauty. In the mass media, the images of (15) beauty fill magazines and newspapers, (16) from our televisions and entertain us (17) the movies. Even in advertising, the mass media (18) on accepted cultural values of thinness and fitness for commercial gain. Young adults are presented with a (19) defined standard of attractiveness, a(n) (20) that carries unrealistic physical expectations. （分数：10.00） (1).[A] alternative [B] preference [C] substitute [D] representative（分数：0.50） A. B. C. D. (2).[A] accomplishes [B] fulfills [C] provides [D] suffices（分数：0.50） A. B. C. D. (3).[A] risk [B] mercy [C] height [D] expense（分数：0.50） A. B. C. D. (4).[A] Absorbed [B] Attracted [C] Aroused [D] Addicted（分数：0.50） A. B. C. D. (5).[A] identify [B] recognize [C] unify [D] equate（分数：0.50） A. B. C.
一、极限题 1、求.)(cos lim 2 1 0x x x → 2、6 sin )1(lim 2 2 x dt e x t x ?-→求极限。 3、、)(arctan sin arctan lim 20x x x x x -→ 4、2 1 0sin lim x x x x ?? ? ??→ 5、? ?+∞ →x t x t x dt e dt e 0 20 2 2 2)(lim 6、 ) 1ln(1 lim -→+x e x x 7、x x x e x cos 11 20 ) 1(lim -→+ 8、 x x x x x x ln 1lim 1+--→ 9、) 1ln()2(sin ) 1)((tan lim 2 30 2 x x e x x x +-→ 10、1 0lim( )3 x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞ →x x e x 12、 )cot 1(lim 2 20x x x -→ 13、[] )1(3sin 1 lim 11x e x x ---→ 14、() ?? ???=≠+=0 021)(3 x A x x x f x 在0=x 点连续，则A =___________ 二、导数题 1、.sin 2 y x x y ''=，求设 2、.),(0y x y y e e xy y x '==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(2 3 的单调区间与极值求函数-=x x x f 4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小， 这时底直径与高的比是多少？
第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞ ∞或00型，)()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算：
基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法
第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31, 31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A
高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( D ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( C ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e
5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( C )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( C ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ A ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ C ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ D ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ C ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = 2 . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在 点 x 连续，则 f )]()([lim 0→-0 x f x f x x =______f ’(xo)_________； 14. =→x x x x 5sin lim 0_________0.2__； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _______e*e__________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________2___1_____
第四章多元函数微分学一、本章知识脉络框图
二、本章重点及难点 本章需要重点掌握以下几个方面容： ● 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数 与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor 公式. ● 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. ● 几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线. ● 极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange 乘数法. 三、本章的基本知识要点 (一)平面点集与多元函数 1.任意一点A 与任意点集E 的关系. 1) 点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?，则称点A 是点集E 的点。 2) 外点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?=?，则称点A 是点集E 的外点。 3) 界点（边界点）. 若在点A 的任何邻域既含有属于E 得的点，又含有不属于E 的点，则称点A 是点集E 的界点。 4) 聚点. 若在点A 的任何空心邻域()o U A 部都含有E 中的点，则称点A 是点集E 的 聚点。 5) 孤立点. 若点A E ∈，但不是E 的聚点，则称点A 是点集E 的孤立点。 2. 几种特殊的平面点集. 1) 开集. 若平面点集E 所属的每一点都是E 的点，则称E 为开集。 2）闭集. 若平面点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集。 3) 开域. 若非空开集E 具有连通性，即E 中任意两点之间都可用一条完全含于E 得有限折线相连接，则称E 为开域。 4）闭域. 开域连同其边界所成的点集称为闭域。 5）区域. 开域、闭域或者开域连同某一部分界点所成的点集，统称为区域。 3.2 R 上的完备性定理. 1) 点列收敛定义：设{}2 n P R ?为平面点列，2 0P R ∈为一固定点。若对任给的正数ε，存在正整数N ，使得当n N >时，有()0,n P U P ε∈，则称点列{}n P 收敛于点0P ，记作 0lim n n P P →∞ = 或 ()0,n P P n →→∞.
《高等数学》（上）“一元函数微分学”复习题 1.设x x f +=1)(ln ，求)(x f '. 2.设函数)(x f 二阶可导，且0)0(=f ，1)0(='f ，2)0(=''f ，求20)(lim x x x f x -→. 3.设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim 2=-→x x f x ，求)2(f '. 4.若)(sin x f y =，求dy . 5.若函数)(x f 可导，)(sin 2x f y =则 dx dy 为多少？ 6.设函数)1ln()(2x x f -=，求)(x f ''. 7.求等边曲线x y 1=在点2) ,2 1(的切线方程. 8.设函数???≥+<=0 ),1ln(0,sin )(x x x x x f ，求)0(-'f 、)0(+'f ，并判断)0(f '是否存在. 9.确定常数a ，b 使函数? ??>-≤+=0,0,13sin )(x b ae x x x f x 在0=x 处可导. 10.求曲线???==t y t x sin 2cos 在3π=t 处的切线方程和法线方程. 11.求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数的微分dy . 12.设函数x x x y ?? ? ??+=1，求其导数y '. 13.设曲线的参数方程为?????==-t t e y e x 23，求22dx y d . 14.求由方程12 2=-y x 所确立的隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d . 15.设函数)(x f y =由方程4ln 2y x xy =+确定，求() 1,1dx dy . 16.求椭圆442 2=+y x 在点()2,0处的二阶导数22dx y d . 17.设()3,1是曲线2 3bx ax y +=的拐点，求b a ,.
高等数学下册复习提纲 第八章 多元函数微分学 本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆） 条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆） 曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆） 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数 例 设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构 图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一 项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构 相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y
第六章 多元函数微积分学 §6.1空间解析几何 习题 6-1 1.在空间直角坐标系中，指出下列各点所在的卦限: (2,2,3);(6,2,4);(1,5,3);(3,2,4);A B C D ------ (4,3,2); (2,3,1); (3,3,5); (1,2,3).E F G H ------ 2.写出坐标面上和坐标轴上的点的坐标的特征，并指出下列各点的位置: (2,0,3);(0,2,4);(0,0,3);(0,2,0);A B C D --- 3.求点(,,)M a b c 关于(1)各坐标面;(2)各坐标轴;(3)坐标原点的对称点的坐标. 4.求以点(1,3,2)O -为球心，且通过坐标原点的球面方程. 5.求与原点和0(2,3,4)M 的距离之比为1:2的点的全体所构成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？ 6. 指出下列方程组所表示的曲面 222(1)4x y z ++=； 7.指出下列方程组所表示的曲线: 22225(1)3 x y z x ?++=?=?； 22(2)20x y z +-=； 22(3)0x y -=； 22(4)0x y +=； 2 2(5)1916x y +=； 2 2 (6)125 y x -=； (7)0y -=；
2 (8)430y y -+=； 2(9)4x y =； 222(10)0z x y --=. §6.2 多元函数的基本概念 习题 6-2 1.设22,y f x y x y x ? ?+=- ?? ?，求(,)f x y . 2.已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy -+. 3.求下列各函数的定义域: 2 (1)ln(21)z y x =-+ ; (2)z = 22(3)z = ; (4)z = ; (5)ln()z y x =- ; (6)u =4.求下列各极限 : 10 (1)y x y →→ (,)(0,0)(2) lim x y →; 22() (3)lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞ +; 222200 (4)lim x y x y x y →→+ ; 00(5)x y →→;22222200 1cos() (6)lim ()x y x y x y x y e →→-++. 5.证明下列极限不存在: 2222(,)(0,0)2(1)lim 32x y x y x y →-+; 1 00 (2)lim(1)x y x y xy +→→+ ; (,)(0,0)(3)lim x y →6.研究下列函数的连续性: 222(1)(,)2y x f x y y x +=-; 22(2)(,)ln()f x y xy x y =+.
第一章 习题1-1 1.用区间表示下列不等式的解 2(1)9;(2)1;1(3)(1)(2)0;(4)00.01 1 x x x x x ≤>--+<<<+ 解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3]. (2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞). (3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1). (4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+??>?即0210x x x ≤≤??>??>? 所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2]. (3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ?--≥?-≠??->?即6112x x x -≤≤??≠??
第八章多元函数微分法及其应用 （讲授法18学时） 上册研究了一元函数微分法，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。 多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。 一、教学目标与基本要求 1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 二、教学内容及学时分配： 第一节多元函数的基本概念2课时 第二节偏导数2学时 第三节全微分2学时 第四节多元复合函数的求导法则2学时 第五节隐函数的求导公式2学时 第六节多元函数微分学的几何应用2学时 第七节方向导数与梯度2学时 第八节多元函数的极值及其求法2学时 三、教学内容的重点及难点： 重点： 1．多元函数的极限与连续； 2．偏导数的定义；全微分的定义 3．多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则 4．方向导数与梯度的定义 5．多元函数的极值与最值的求法 难点： 1．多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系； 2．多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数； 3．由方程组确定的隐函数的求导法则； 4．梯度的模及方向的意义； 5．条件极值的求法