微积分II （甲）多元函数积分学练习题解答
１.计算二重积分22
d D x y
σ??
，其中D 是由1
,,2y x y x x ===所围成的闭区域． 解：
2
2
2
1
2
1
x x
D
x x
yd dx dy y σ=???? ()2
3
1124
x x dx =-=?
２.计算二重积分D
xyd σ??，其中D 是由直线2y y x ==、和2y x =所围成的闭区域．
解：
20
2
y
y D
xyd dy xydx σ=???
?
2
2340
0333
8322
y dy y ??=== ????
３. 作出积分区域的图形,交换积分次序,
计算10
dy ?
.
解：210
2
1)9
x I dx =
=?
?
４．计算二重积分
2
,{(,)
D
y x
d D x y x σ-=≤?? 解： 12D D D =?（1D 是所有阴影部分面积）
1
2
222D
D D y x d y x d y x d σσσ-=-+-??
????
()()22
1
1222
10
1
x x
dx x y dy dx y x dy --=-+-??
??
1
1424111146
(22)2215
x dx x x dx --=+-+=
??． ５.用极坐标计算D
σ??，其中D 为{22(,)|4,0,0x y x y x y +≤≥≥．
解：
32
2
33220
cos cos =cos cos =4
D
D
D
r r rdrd r drd d r dr d r dr π
πσθθθθ
θθθθ=??==???????
??
?
６. 设D 为闭区域2
2
{(,)|2}x y x y y +≤，将二重积分(,)D
f x y d σ??化为极坐标下的累
次积分．
2
解：Ｉ＝
2sin 0
(cos ,sin )d f r r rdr π
θθθθ?
?
．
７. 设D 为闭区域2
2
{(,)|2,}x y x y x y x +≤≤，将二重积分(,)D
f x y d σ??化为极坐标下的
累次积分．
解：Ｉ＝
2cos 40
2
(cos ,sin )d f r r rdr π
θπθθθ-??
．
8. 利用二重积分计算由曲面2
2
z x y =+和平面1z =所围成的立体的体积. 解 设所求体积为V ，则有
=
V ()2
21D
x
y d σ--??，
其中 (){}
2
2,1D x y x
y =
+≤，于是
=
V ()()22211D D
x
y d r rdrd σθ--=-????
=
()21
20
12
d r rdr π
π
θ-=
?
?.
9.求由三个坐标面和平面1=+y x 及抛物面z y x -=+62
2
所围立体的体积． 解 设所求体积为V ，则有
=
V ()
??--D
d y x
σ22
6，
其中 (){}
x y x y x D -≤≤≤≤=10,10,，于是
=
V ()
??--D
d y x
σ2
2
6=()112
20
6x dx x
y dy ---??
()1323011766136x x x x dx ??
=--+--=????
?
10．求由()π≤≤=x x y 0sin 与0=y 所围的均质薄板的质量中心． 解 设该薄板所在区域为D ，则 该均质薄板的面积为 0
sin 2S xdx π
==?
，
又有 sin 0
0x D
xd dx xdy π
σπ==????
， 及
sin 0
4
x D
yd dx y dy π
π
σ==
????
，
由均质平面薄片的质量中心公式可得所求质量中心坐标为???
?
?8,2ππ．
二、三重积分
11. 求
xydV Ω
???，其中Ω为1x y +=,1z =与三个坐标面所围成的三棱柱体．
解
xydV Ω
???111
x dx dy xydz -=??
?
=1100
x dx xydy -?
?
()1
2
0111224
x x dx =
-=?． 12. 求(
)???Ω+++dV z y x 311
，其中Ω为三个坐标面与平面1=++z y x 所围成的四面体．
解 (
)???Ω+++dV z y x 311()111300011x x y dx dy dz x y z ---=+++??? =
()112
1318821x dx x dy x y -??
-+??++????
?
?
()1
013115ln 2218828x dx x ????=
-+=-?? ?+????
?． 13．计算下列三重积分
???Ω
+dV y x z 22 ，其中Ω由22z x y =+及平面1z =围成． 解 Ω在z xoy =平面上的投影区域为22
{(,)1}x y x y +≤ 可用柱面坐标计算：
221
21
1
1
222000
1
240
1224(1).21
r r d r dr zdz r dr z r r dr πθππ
πΩ
??
== ?
??=-=
????????
14. 计算
,???
Ω
zdV 其中Ω是由球面4222=++z y x 与抛物面z y x 322=+所围成(在抛物面内的那一部分)的闭区域．
解 球面4222=++z y x 与抛物面z y x 322=+的交线为
222
22
4
3x y z x y z
?++=??+=?? 从中解得两曲面交线为
,1=z 22
3x y +=，
Ω在xOy 面上的投影区域为
:D ,30≤≤r πθ20≤≤，
利用柱面坐标，对投影区域D 内任一点),,(θr 有
22
43
r z r -≤≤， 所以
I 2
3
r D
zdV rdrd θΩ
=
=?????
?2
20
3
r d zdz πθ=??
?
?π4
13
=
． 15．计算()
d V z y x
???Ω++222
，其中Ω是球体1222≤++z y x ．
解
()
??????Ω
Ω
=++θ?ρ?ρd d d dV z y x
sin 4222
2140
004sin 5d d d ππθ??ρρπ=
=?
??
16. 计算球体2
2
2
2
2a z y x ≤++在锥面22y x z +=上方部分Ω的体积．
解 在球面坐标系中, :Ω,20a r ≤≤,4
0π
?≤
≤πθ20≤≤，
故所求体积
V ???Ω
=
dV 224
sin d d d π
πθ?ρ?ρ=?
??
3
40)2sin 3d π
π??=?
?.)12(3
4
3a -=π 17．求由曲面)0(22
22>=++a az z y x 及2
22z y x =+（含有z 轴部分）所围成空
间的体积．
解 在球面坐标下计算
??????Ω
Ω
==
θ?ρ?ρd d d dV V sin 2
22cos 24
sin a d d d π
π?θ??ρρ=
?
??
3
3340
82cos sin 3
a d a π
π???π==?
．
18. 立体Ω是圆柱面122=+y x 内部, 平面2=z 下方, 抛物面221y x z --=上方部分, 其上任一点的密度与它到z 轴之距离成正比(比例系数为K )， 求Ω的质量m ．
解 据题意得，密度函数为
,),,(22y x K z y x +=ρ
所以
.),,(22??????Ω
Ω
+==dV y x K dV z y x m ρ
利用柱面坐标，先对z 积分，Ω在xOy 平面上投影域D 为
},1),({22≤+=y x y x D
故
2
2
22121220
01()r D
r m Kr rdrd dz K r drd dz
K d r dr dz
πθθθ-Ω
-===??????
?
??
1220
162(1)15
K
K r r dr ππ=+=
?
． 三、曲线积分
19． 计算?
Γxdl ，其中 Γ是由x y =和2
x y = 围成的区域的整个边界。
解 设Γ=?OA OA
+，交点为O )0,0(和A )1,1(， 直线段OA 的方程：x y =，[0,1]x ∈
OA xdl =
?1
?=1
222x =22
曲线段?OA
的方程：2
y x =，[0,1]x ∈ ?OA xdl ?
＝1
?=1
03
2)41(3281x +?=)155(12
1-
?Γ
xdl =?OA
xdl +?OA
xdl ?＝
22+)155(12
1
-. 20.计算(),x y dl Γ+?Γ是曲线2
2x t y t z t ?=?
=??=?
上从点()1,2,1到点()2,4,4的一段曲线.
x
o
y
A
解：由于曲线段为22x t y t z t ?=?
=??=?
，[1,2]t ∈，因此
2
2
1
1
2
32
22
11
()(2313
3(54)
.4
4
x y dl t t t Γ
+=+===+=
????
21.求(
)
,2
2
2
dl z y x ?Γ++其中Γ是圆周???=++=++0
2
222z y x a z y x .
解
()2
2222322l
l
x
y z dl a dl a a a ππ++==?=??.
22.计算(),dy x y xydx ?
Γ
-+L 是抛物线2
x y =上从点()0,0到点()1,1的一段弧.
解 Γ的参数方程为2
,x x
y x
=??
=?，起点0,x =终点1,x = 于是
()()12220
()xydx y x dy x x dx x x d x Γ
+-=
?+-?
?
(
)1
32
02x x x x dx ??=
+-????()132013212x x dx =-=?.
23. 计算,2
dx y ?
Γ
其中Γ为半径为a ，圆心在原点，按顺时针方向绕行的上半圆周.
解 Γ的参数方程为cos sin x a y a θθ
=??
=?，
起点,θπ=终点0,θ= 则
()0
22232
sin cos sin cos y dx a d a a d π
πθθθθΓ
==-??? ()3
23
4
1cos cos 3
a
d a π
θθ=--=?. 24.设3
22
3,F x i zy j x yk =+-u r r r r
计算,F dl Γ
??u r r 其中Γ是从点()()0,0,01,2,3B A 到的直
线段AB .
解 直线段AB 的方程为
1
23z y x == 化为参数方程得
10,,2,3≤≤===t t z t y t x ，
从而 F dl Γ
?=?u r r ()()()0322322
133332232x dx zy dy x ydz t t t t t dt Γ
??+-=?+??-?
???
4
87870
1
3-
==?
dt t . 25．设一个质点在(,)M x y 处受到力F u r 的作用,F u r
的大小与M 到原点O 的距离成正比(比例系数为k ),F u r 的方向恒指向原点.此质点由点(,0)A a 沿椭圆12222=+b
y a x 按逆时针方向
移动到点(0,)B b ,求力F 所作的功W .
解 椭圆的参数方程为t b y t a x sin ,cos ==，t 从0变到
2
π. r OM xi y j →==+r r r , ||()()||
r
F k r k xi y j r =??-=-+r
u r r r r r ,
其中0k >是比例常数.于是 =--=
?AB
kydy kxdx W ?+-AB
ydy xdx k
2220
(cos sin sin cos )k
a t t
b t t dt π
=--+?
2
2
2
220
()
sin cos ()2
k k a b t tdt a b π
=-=
-?
. 26.利用格林公式计算?
Γ
++-dy y x dx x y )3()( ，其中Γ：9)4()1(22=-+-y x ，
取逆时针方向．
解 本题中y x Q x y P +=-=3,，则
3=??x
Q
，1=??y P ， 由格林公式，原式=
(31)18D
dxdy π-=??
27.利用格林公式计算2
,xydx y dy Γ
+?? ，其中Γ是顶点为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)的正方形，取逆时针方向． 解 本题中2,
P xy Q y ==，则
0Q
x
?=?，P x y ?=?，
由格林公式，原式=11001
.2D
xdxdy xdx dy -
=-=-???? 28 计算曲线积分()(2)y x I e x dx xe y dy G
=
++-ò
， 其中Γ为从起点O )0,0(出发经
点A (1,0)到达终点B )2,1(的圆弧段.
解 令 x e P y +=，y xe Q y
2-=，则
y e x
Q
=??，y e y P =?? ， 由此得I 与路径无关，不妨取积分路径为AB OA +，则
=I ?+OA Qdy Pdx +?+AB
Qdy Pdx
=
1
2
00
(1)(2)y
x dx e y dy ++-??=2
72-e ． 29.利用格林公式，计算下列曲线积分
()()
dy m y e dx my y e
x x
-+-?Γ
cos sin ，其中Γ是
从)0,(a A 沿 上半圆周)0(22
2
>=+a ax y x 到原点)0,0(O
解 添加直线段OA ，方向取x 轴的正向，它与Γ围成的区域记为D ，令
m y e Q my y e P x x -=-=cos ,sin ，
则
m y
P
x Q =??-??， 在区域D 上满足格林公式，应用格林公式得到
()()
dy m y e dx my y e
x x
-+-?Γ
cos sin
()()
dy m y e dx my y e
x OA
x
-+-=
?+Γcos sin
()()
dy m y e dx my y e
x OA
x
-+--?cos sin ，
其中
()()=-+-?+Γdy m y e dx my y e x
OA x
cos sin 82
a m d y P x Q D πσ=???? ?
???-????，
()()
0cos sin =-+-?dy m y e dx my y e
x OA
x
，
从而
(
)(
)
8
cos sin 2
a m dy m y e dx my y e x
x
π=-+-?Γ． 30.证明()(2)y
y
e x dx xe y dy ++-0=为全微分方程，并求其通解．
解 令y P e x =+，2y
Q xe y =-，易得
y P Q e y x
??==?? 在xOy 面内处处成立，所以该方程为全微分方程． 不妨取)0,0(),(00=y x ，得到方程左边的一个原函数为
00(,)(,)(,)()(2)x y y y x y u x y e x dx xe y dy =++-?
(,)(0,0)()(2)x y y y e x dx xe y dy =++-? (,0)(0,0)x =+
?(,)(,0)
()(2)x y y y x e x dx xe y dy ++-?
(,0)(0,0)()x y e x dx =++
?(,)(,0)
(2)x y y x xe y dy -?
()x e x dx =
++
?
(2)y
y xe y dy -?
22
(1)2y x x x e y =++--222y x xe y =+- 从而所求通解为c y xe x y +-+22
2
． （或用凑微分法求通解，注意到
=du ()(2)y y e x dx xe y dy ++-
2y y e dx xdx xe dy ydy =++-()2y y e dx xe dy xdx ydy =++-
221()()()2y d xe d x d y =+-221
()2
y d xe x y c =+-+，
所以所求通解为c y xe x y +-+22
2
．） 31. 计算,1dS z S
?? 其中S 是球面2222a z y x =++被平面()a h h z <<=0所截出的顶部．
解 S 的方程为 222y x a z --=
，
S 在xoy 平面上的投影区域为(){}
2222,h a y x y x D xy -≤+=，且 dxdy y
x a a dxdy y z x z dS 2
222
2
1--=????
????+??? ????+=， 则
dxdy y
x a a dS z xy D S ????--=2221， 利用极坐标得
2
22222001xy
S D ar r dS drd a d dr z a r a r πθθ==--?????? (
)2212ln 2ln
2a
a a r a h
ππ?=--=??． 32计算()
,22
dS y x
S
??+其中S 是锥面22y x z +=及平面1=z 所围成的整个区域
边界．
解 设21S S S +=，其中 ()
11:22
1≤+=y x
z S ，,dS dxdy = (){}
1,22≤+=y x y x D xy ，
()10:2
22≤≤+=z y x z S ，,2dxdy ds =
(){}
1,22≤+=y x y x D xy ，
则
()
=
+??dS y x
S 1
22
()21
2230
02
xy
D x y dxdy d r dr ππ
θ+==
??
??，
()
=
+??dS y x
S 2
22
(
21
2230
2
xy
D x y d r dr πθ+==
??
?， 最后
()
=
+??dS y x
S
22
()
+
+??dS y x
S 1
22
()
π2
2
12
22
+=
+??dS y x
S ． 33. 求
??S
zdS ，其中S 是抛物面()()2
21012
z x y z =
+≤≤的一部分．
解 S 在xoy 平面上的投影区域为(){}
2,22≤+=y x y x D xy ，
它的方程为：
()
22
2
1y x z +=
，()xy D y x ∈,
dS =
=
则
??S
zdS (
2
212xy
D x y =+??
20
2
d r πθ=?
?
()
36115
2+=
π
34．计算球面2
2
2
2
a z y x =++介于平面0=z 和()a h h z <<=0,之间的部分的面积．
解 球面2
2
2
2
a z y x =++介于平面0=z 和()a h h z <<=0,之间的部分在xoy 平
面上投影区域为(){
}2
2
2
2
2
,a
y x h a y x D xy ≤+≤-=
由曲面面积公式得所求面积为 σσd y x a a d y z x z S xy
xy
D D ????
--=????
????+??? ????+=
2
222
2
1
20
2a d ah p
q
p =
=蝌
．
35 计算
??
S
xyzdxdy ，其中S 是2221x y z ++=在第一卦限的外侧． 解 S 在xoy 平面上的投影区域为(){}
2
2,1,0,0xy D x y x
y x y =
+≤≥≥
:S z =
则
??
S xyzdxdy
xy
D =??
1
2
cos d r dr π
θθθ=
?
?115
=
． 36.
2S
yzdzdx dxdy +??
，其中S 是上半球面2224x y z ++=的外侧．
解 由题意，S 的单位法向量为
??
?
???????++++++=222222222,
,z y x z z y x y z y x x n ρ， S 在xoy 平面上的投影区域为(){
}4,22≤+=y x y x D xy ， S 的方程为：()xy D y x y x z ∈--=,,422，
2S
yzdzdx dxdy +??ds z y x z z y x y yz S
???
?
?
?++?
+++?=??
2222222 dxdy y x y y x x y
x z
y x y xy
D 2
22
2222
2
2
2
2
244142--+--+--+++=
??
()2222
320
22sin 84812.
xy
xy
xy
D D D y dxdy y dxdy dxdy
d r dr πθθππππ=+=+=+=+=???????
?
37. 利用高斯公式计算曲面积分
xdydz z y dxdy y x S
)()(-+-??, 其中S 为柱面
221x y +=及平面0,3z z ==所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧.
解 这里(),0,P y z x Q R x y =-==- ，
z y x P -=??, 0=??y Q , 0=??z
R
由高斯公式得
dydz z y dxdy y x S
)()(-+-??
??????Ω
Ω
-=-=
dz rdrd z r dV z y θθ)sin ()(
213
9(sin )2
d rdr r z dz ππ
θθ=
-=-
?
??. 38.计算曲面积分
dS z y x S
)cos cos cos (222γβα++??
, 其中S 为锥面222
x y z +=介于平面0z =及(0)z h h =>之间的部分的下侧,cos α、cos β、cos γ是S 上点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.
解一
2
22222(cos cos cos )S
S
x
y z dS x dydz y dzdx z dxdy αβγ++=++????，
根据被积函数的奇偶性和积分区域的对称性,
220S
x dydz y dzdx +=??，则
2
2
2
2
2
24
2330
()=.
2
S
S
D
h
D
x dydz y dzdx z dxdy z dxdy x
y dxdy
h r drd d r dr π
πθθ++==-+-=-=-
??????????
解二 设1S 为2
2
2
()z h x y z =+≤的上侧，则S 与1S 一起构成一个闭曲面，记它们围成的空间闭区域为Ω，由高斯公式得
?????
Ω
+++=++dv z y x dS z y x S S )(2)cos cos cos (1
2
22γβα， 根据被积函数的奇偶性和积分区域的对称性, 0)(=+???Ω
dv y x ，则
?????????Ω
Ω
Ω
++=++zdv dv y x dv z y x )()(
20
h h
r
zdv d rdr zdz πθΩ
=
=????
??
2340
11
2()24
h h r r dr h π
π=-=?
， 而
4
22
2222
221
1
)cos cos cos (h dxdy h dS z dS z y x h y x S S πγβα===++??
????≤+, 因此
4442222
1
21)cos cos cos (h h h dS z y x S
πππγβα-=-=++??
.
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
第二章 一元函数微分学 一、 导数 （一）、导数概念 1、导数的定义： 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ?时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -?+=?，如果当0→?x 时，x y ??的极限存在，即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1：根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解：223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 ＝当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义： 如果当)0(0-+→?→?x x 时，x y ??的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左
第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0
)(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x
习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用 多元复合函数、隐函数的求导法 (1) 多元复合函数 设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点 ),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数 )),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且 ()()()() x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00??()()()() y y x v v v u f y y x u u v u f y z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00?? 多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微， 则将z 看成y x ,的函数，有 dy y z dx x z dz ??+??= 计算 y v v f y u u f y z x v v f x u u f x z ????+????=??????+????=??,，代人， dv v f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??= ???? ????+????+???? ????+????=???? ??????+????+??? ??????+????=??+??= 我们将dv v f du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??= 叫做微分形式不变性。 例1 设??? ??=x y xy f x z , 3 ，求y z x z ????,。
第四部分 一元函数微积分 第11章 函数极限与连续[内容提要] 一、函数：(138-141页） 1、函数的定义：对应法则、定义域的确定、函数值计算、简单函数图形描绘。 2、函数分类：基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反 三角函数的统称）；复合函数（[()]y f x ?=）；初等函数（由常数和基本初等函数构成的，且只能用一个式子表达的函数）；分段函数；隐函数；幂指函数（()()g x y f x =）；反函数。 3、函数的特性：奇偶性；单调性；周期性；有界性. 二、极限： 1、极限的概念：(141-142页) 定义1：（数列极限）给定数列{}n x ，如果当n 无限增大时，其通项n x 无限趋向 于某一个常数a ，即a x n -无限趋近于零，则称数列{}n x 以a 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记为a x n n =∞ →lim ，若{}n x 没有极限，则称数列{} n x 发散。 定义2：（0x x →时函数)(x f 的极限）设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域0(,) U x δo 内有定义，当x 无限趋向于0x （0x x ≠）时，函数)(x f 的值无限趋向于 A ，则称0x x →时， )(x f 以A 为极限，记作A x f x x =→)(lim 0 。 左极限：设函数)(x f 在点0x 的左邻域00(,)x x δ-内有定义，当0x x <且无限趋向 于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的左极限为A ，记作0 0(0)lim ()x x f x f x A -→-==。 右极限：设函数)(x f 在点0x 的右邻域00(,)x x δ+内有定义，当0x x >且无限趋向 于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的右极限为A ，记作0 0(0)lim ()x x f x f x A +→+==。 定义3：（x 趋于无穷大时函数)(x f 的极限）设)(x f 在区间)0(>>a a x 时有定义， 若x 无限增大时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称当∞→x 时，
第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。 解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性： （1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。
多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. … 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ). A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. ] 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ). A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2
一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限： 1．93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4．0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6．x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8．943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11．01 sin lim 20=→x x x （无穷小的性质）
考研数学三-多元函数微积分学(一) (总分：100.00，做题时间：90分钟) 一、Section Ⅰ Use of Eng(总题数：1，分数：10.00) The mass media is a big part of our culture, yet it can also be a helper, adviser and teacher to our young generation. The mass media affects the lives of our young by acting as a (an) (1) for a number of institutions and social contacts. In this way, it (2) a variety of functions in human life. The time spent in front of the television screen is usually at the (3) of leisure: there is less time for games, amusement and rest. (4) by what is happening on the screen, children not only imitate what they see but directly (5) themselves with different characters. Americans have been concerned about the (6) of violence in the media and its (7) harm to children and adolescents for at least forty years. During this period, new media (8) , such as video games, cable television, music videos, and the Internet. As they continue to gain popularity, these media, (9) television, (10) public concern and research attention. Another large societal concern on our young generation (11) by the media, is body image. (12) forces can influence body image positively or negatively. (13) one, societaland cultural norms and mass media marketing (14) our concepts of beauty. In the mass media, the images of (15) beauty fill magazines and newspapers, (16) from our televisions and entertain us (17) the movies. Even in advertising, the mass media (18) on accepted cultural values of thinness and fitness for commercial gain. Young adults are presented with a (19) defined standard of attractiveness, a(n) (20) that carries unrealistic physical expectations. （分数：10.00） (1).[A] alternative [B] preference [C] substitute [D] representative（分数：0.50） A. B. C. D. (2).[A] accomplishes [B] fulfills [C] provides [D] suffices（分数：0.50） A. B. C. D. (3).[A] risk [B] mercy [C] height [D] expense（分数：0.50） A. B. C. D. (4).[A] Absorbed [B] Attracted [C] Aroused [D] Addicted（分数：0.50） A. B. C. D. (5).[A] identify [B] recognize [C] unify [D] equate（分数：0.50） A. B. C.
一、极限题 1、求.)(cos lim 2 1 0x x x → 2、6 sin )1(lim 2 2 x dt e x t x ?-→求极限。 3、、)(arctan sin arctan lim 20x x x x x -→ 4、2 1 0sin lim x x x x ?? ? ??→ 5、? ?+∞ →x t x t x dt e dt e 0 20 2 2 2)(lim 6、 ) 1ln(1 lim -→+x e x x 7、x x x e x cos 11 20 ) 1(lim -→+ 8、 x x x x x x ln 1lim 1+--→ 9、) 1ln()2(sin ) 1)((tan lim 2 30 2 x x e x x x +-→ 10、1 0lim( )3 x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞ →x x e x 12、 )cot 1(lim 2 20x x x -→ 13、[] )1(3sin 1 lim 11x e x x ---→ 14、() ?? ???=≠+=0 021)(3 x A x x x f x 在0=x 点连续，则A =___________ 二、导数题 1、.sin 2 y x x y ''=，求设 2、.),(0y x y y e e xy y x '==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(2 3 的单调区间与极值求函数-=x x x f 4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小， 这时底直径与高的比是多少？
第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞ ∞或00型，)()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算：
基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法
第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31, 31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A
第四章多元函数微分学一、本章知识脉络框图
二、本章重点及难点 本章需要重点掌握以下几个方面容： ● 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数 与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor 公式. ● 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. ● 几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线. ● 极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange 乘数法. 三、本章的基本知识要点 (一)平面点集与多元函数 1.任意一点A 与任意点集E 的关系. 1) 点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?，则称点A 是点集E 的点。 2) 外点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?=?，则称点A 是点集E 的外点。 3) 界点（边界点）. 若在点A 的任何邻域既含有属于E 得的点，又含有不属于E 的点，则称点A 是点集E 的界点。 4) 聚点. 若在点A 的任何空心邻域()o U A 部都含有E 中的点，则称点A 是点集E 的 聚点。 5) 孤立点. 若点A E ∈，但不是E 的聚点，则称点A 是点集E 的孤立点。 2. 几种特殊的平面点集. 1) 开集. 若平面点集E 所属的每一点都是E 的点，则称E 为开集。 2）闭集. 若平面点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集。 3) 开域. 若非空开集E 具有连通性，即E 中任意两点之间都可用一条完全含于E 得有限折线相连接，则称E 为开域。 4）闭域. 开域连同其边界所成的点集称为闭域。 5）区域. 开域、闭域或者开域连同某一部分界点所成的点集，统称为区域。 3.2 R 上的完备性定理. 1) 点列收敛定义：设{}2 n P R ?为平面点列，2 0P R ∈为一固定点。若对任给的正数ε，存在正整数N ，使得当n N >时，有()0,n P U P ε∈，则称点列{}n P 收敛于点0P ，记作 0lim n n P P →∞ = 或 ()0,n P P n →→∞.
《高等数学》（上）“一元函数微分学”复习题 1.设x x f +=1)(ln ，求)(x f '. 2.设函数)(x f 二阶可导，且0)0(=f ，1)0(='f ，2)0(=''f ，求20)(lim x x x f x -→. 3.设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim 2=-→x x f x ，求)2(f '. 4.若)(sin x f y =，求dy . 5.若函数)(x f 可导，)(sin 2x f y =则 dx dy 为多少？ 6.设函数)1ln()(2x x f -=，求)(x f ''. 7.求等边曲线x y 1=在点2) ,2 1(的切线方程. 8.设函数???≥+<=0 ),1ln(0,sin )(x x x x x f ，求)0(-'f 、)0(+'f ，并判断)0(f '是否存在. 9.确定常数a ，b 使函数? ??>-≤+=0,0,13sin )(x b ae x x x f x 在0=x 处可导. 10.求曲线???==t y t x sin 2cos 在3π=t 处的切线方程和法线方程. 11.求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数的微分dy . 12.设函数x x x y ?? ? ??+=1，求其导数y '. 13.设曲线的参数方程为?????==-t t e y e x 23，求22dx y d . 14.求由方程12 2=-y x 所确立的隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d . 15.设函数)(x f y =由方程4ln 2y x xy =+确定，求() 1,1dx dy . 16.求椭圆442 2=+y x 在点()2,0处的二阶导数22dx y d . 17.设()3,1是曲线2 3bx ax y +=的拐点，求b a ,.
高等数学下册复习提纲 第八章 多元函数微分学 本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆） 条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆） 曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆） 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数 例 设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构 图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一 项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构 相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y
第六章 多元函数微积分学 §6.1空间解析几何 习题 6-1 1.在空间直角坐标系中，指出下列各点所在的卦限: (2,2,3);(6,2,4);(1,5,3);(3,2,4);A B C D ------ (4,3,2); (2,3,1); (3,3,5); (1,2,3).E F G H ------ 2.写出坐标面上和坐标轴上的点的坐标的特征，并指出下列各点的位置: (2,0,3);(0,2,4);(0,0,3);(0,2,0);A B C D --- 3.求点(,,)M a b c 关于(1)各坐标面;(2)各坐标轴;(3)坐标原点的对称点的坐标. 4.求以点(1,3,2)O -为球心，且通过坐标原点的球面方程. 5.求与原点和0(2,3,4)M 的距离之比为1:2的点的全体所构成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？ 6. 指出下列方程组所表示的曲面 222(1)4x y z ++=； 7.指出下列方程组所表示的曲线: 22225(1)3 x y z x ?++=?=?； 22(2)20x y z +-=； 22(3)0x y -=； 22(4)0x y +=； 2 2(5)1916x y +=； 2 2 (6)125 y x -=； (7)0y -=；
2 (8)430y y -+=； 2(9)4x y =； 222(10)0z x y --=. §6.2 多元函数的基本概念 习题 6-2 1.设22,y f x y x y x ? ?+=- ?? ?，求(,)f x y . 2.已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy -+. 3.求下列各函数的定义域: 2 (1)ln(21)z y x =-+ ; (2)z = 22(3)z = ; (4)z = ; (5)ln()z y x =- ; (6)u =4.求下列各极限 : 10 (1)y x y →→ (,)(0,0)(2) lim x y →; 22() (3)lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞ +; 222200 (4)lim x y x y x y →→+ ; 00(5)x y →→;22222200 1cos() (6)lim ()x y x y x y x y e →→-++. 5.证明下列极限不存在: 2222(,)(0,0)2(1)lim 32x y x y x y →-+; 1 00 (2)lim(1)x y x y xy +→→+ ; (,)(0,0)(3)lim x y →6.研究下列函数的连续性: 222(1)(,)2y x f x y y x +=-; 22(2)(,)ln()f x y xy x y =+.
第八章多元函数微分法及其应用 （讲授法18学时） 上册研究了一元函数微分法，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。 多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。 一、教学目标与基本要求 1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 二、教学内容及学时分配： 第一节多元函数的基本概念2课时 第二节偏导数2学时 第三节全微分2学时 第四节多元复合函数的求导法则2学时 第五节隐函数的求导公式2学时 第六节多元函数微分学的几何应用2学时 第七节方向导数与梯度2学时 第八节多元函数的极值及其求法2学时 三、教学内容的重点及难点： 重点： 1．多元函数的极限与连续； 2．偏导数的定义；全微分的定义 3．多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则 4．方向导数与梯度的定义 5．多元函数的极值与最值的求法 难点： 1．多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系； 2．多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数； 3．由方程组确定的隐函数的求导法则； 4．梯度的模及方向的意义； 5．条件极值的求法
`第八章多元函数微分学 8.1基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 8.2基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。
（1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于 这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24 (,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++，
第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？
例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）