成都石室联合中学数学几何模型压轴题易错题（Word版含答案）
一、初三数学旋转易错题压轴题（难）
1．如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G 为FC的中点，连接GD，ED．
（1）如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．
（2）将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由．
（3）若AB＝5，AE＝1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．
【答案】（1）DE＝2DG；（2）成立，理由见解析；（3）DE的长为42或32．【解析】
【分析】
（1）根据题意结论：DE=2DG，如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM，证明△CMG≌△FEG（AAS），推出EF=CM，GM=GE，再证明△DCM≌△DAE （SAS）即可解决问题；
（2）如图2中，结论成立．连接EG，延长EG到M，使得GM=GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R，其证明方法类似；
（3）由题意分两种情形：①如图3-1中，当E，F，C共线时．②如图3-3中，当E，F，C 共线时，分别求解即可．
【详解】
解：（1）结论：DE＝2DG．
理由：如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°，
∵∠AEF＝∠B＝90°，
∴EF∥CM，
∴∠CMG＝∠FEG，
∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF，
∴△CMG≌△FEG（AAS），
∴EF＝CM，GM＝GE，
∵AE＝EF，
∴AE＝CM，
∴△DCM≌△DAE（SAS），
∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，
∴∠EDM＝∠ADC＝90°，
∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM，
∴△EGD是等腰直角三角形，
∴DE＝2DG．
（2）如图2中，结论成立．
理由：连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．
∵EG＝GM，FG＝GC，∠EGF＝∠CGM，
∴△CGM≌△FGE（SAS），
∴CM＝EF，∠CMG＝∠GEF，
∴CM∥ER，
∴∠DCM＝∠ERC，
∵∠AER+∠ADR＝180°，
∴∠EAD+∠ERD＝180°，
∵∠ERD+∠ERC＝180°，
∴∠DCM＝∠EAD，
∵AE＝EF，
∴AE＝CM，
∴△DAE≌△DCM（SAS），
∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，
∴∠EDM＝∠ADC＝90°，
∵EG＝GM，
∴DG＝EG＝GM，
∴△EDG是等腰直角三角形，
∴DE ＝2DG ．
（3）①如图3﹣1中，当E ，F ，C 共线时，
在Rt △ADC 中，AC ＝
22AD CD +＝
2255+＝52，
在Rt △AEC 中，EC ＝22A AE C -＝22(52)1-＝7， ∴CF ＝CE ﹣EF ＝6，
∴CG ＝
1
2
CF ＝3， ∵∠DGC ＝90°，
∴DG ＝22CD CG -＝2253-＝4， ∴DE ＝2DG ＝42．
②如图3﹣3中，当E ，F ，C 共线时，同法可得DE ＝32．
综上所述，DE 的长为2或2． 【点睛】
本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．已知抛物线y=ax 2+bx-3a-5经过点A(2，5) （1）求出a 和b 之间的数量关系．
（2）已知抛物线的顶点为D 点，直线AD 与y 轴交于(0，-7) ①求出此时抛物线的解析式；
②点B 为y 轴上任意一点且在直线y=5和直线y=-13之间，连接BD 绕点B 逆时针旋转
90°，得到线段BC ，连接AB 、AC ，将AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BH ．截取BC 的中点F 和DH 的中点G ．当点D 、点H 、点C 三点共线时，分别求出点F 和点G 的坐标．
【答案】（1）a+2b=10；（2）①y= 2x 2+4x-11，②G 1(478，91-8
+)，
F 1(，，
G 2，F 2，) 【解析】 【分析】
（1）把点A 坐标代入抛物线y=ax 2+bx-3a-5即可得到a 和b 之间的数量关系；
（2）①求出直线AD 的解析式，与抛物线y=ax 2+bx-3a-5联立方程组，根据直线与抛物线有两个交点，结合韦达定理求出a ，b ，即可求出解析式；
②作AI ⊥y 轴于点I ，HJ ⊥y 轴于点J.设B （0，t ），根据旋转性质表示粗H 、D 、C 坐标，应含t 式子表示直线AD 的解析式，根据D 、H 、C 三点共线，把点C 坐标代入求出
131t -
4+=，2t -4
=，分两类讨论，分别求出G 、F 坐标。
【详解】
解：（1）把A （2,5）代入y=ax 2+bx-3a-5得4a+2b-3a-5=5 ∴a+2b=10
∴a 和b 之间的数量关系是a+2b=10 （2）①设直线AD 的解析式为y=kx+c ∵直线AD 与y 轴交于（0，-7），A （2,5）
∴2k c 5{c -7+==解得k 6
{c -7
==即直线AD 的解析式为y=6x-7 联立抛物线y=ax 2+bx-3a-5与直线AD ：y=6x-7 得2
y ax +bx-3a-5
{y 6x-7
==
消去y 得ax 2+（b-6）x-3a+2=0 ∵抛物线与直线AD 有两个交点 ∴由韦达定理可得：x A +x D =b-6-a =2a 2a +，x A x D =-3a 2
a
+ ∵A （2,5）∴x A =2即x D =2a -22a +∵x D =b -2a =a-104a
∴
2a -22a +=a-104a 解得a=2∴b=10-a
2= 4 ∴此时抛物线的解析式为y= 2x 2+4x-11
②如图所示：作AI ⊥y 轴于点I ，HJ ⊥y 轴于点J.设B （0，t ） ∵A （2，5），∴AI=2，BJ=5-t
∵AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BH ∴AB=BH ，∠ABH=90°，∠AIB=∠BJH=90° ∵∠IAB+∠IBA=90°，∠ABH+∠IBA+∠JBH=180° ∴∠IBA+∠JBH=90°即∠IAB=∠JBH ∴△AJB ≌△BJH 即AI=BJ=2，BI=IH=5-t ∴H （5-t ，t-2）
∵D （-1，-13）∴y B -y D =t+13 同理可得：C （t+13，t-1） 设DH 的解析式为y=k 1x+b 1
∴1111-k b -13{5-t k b t-2
+=+=（）解得11t 11k 6-t {t 11b -13-t-6
+=
+=
即直线AD 的解析式为t 1111
y x-13-66
t t t ++=--
∵D 、H 、C 三点共线 ∴把C （t+13，t-1）代入AD t 1111y x-13-66t t t ++=--得：t 1111
t-1t 13-13-66t t t ++=+--（）
整理得2t 2+31t+82=0解得131305t +=，231-305
t =
由图可知：①当131305
t +=如图1所示： 此时H （
513054，39305-4） ，C （305-21-4，35305
-4
+）
∵点G为DH中点，点F为BC中点
∴G1（47305
+
，
91305
-
+
），F1（
305-21
-，
33305
-
+
）
由图可知：当
231-305
t-
=如图2所示：
此时H（51-305
4
，
39-305
-
4
），C（
30521
4
+
，
35-305
-
4
）
∵点G为DH中点，点F为BC中点
∴G2（47-305
，
91-305
-），F2（
30521
+
，
33-305
-）（14分）
∴综上所述：G1（47305
8
+
，
91305
-
8
+
），F1（
305-21
-
8
，
33305
-
4
+
）
G2（47-305
8
，
91-305
-
8
），F2（
30521
8
+
，
33-305
-
4
）。
【点睛】
本题为含参数的二次函数问题，综合性强，难度较大，解题关键在于根据旋转性质，用含参数式子分别表示点的坐标，函数关系式，结合韦达定理，分类讨论求解。
3．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 、Q 分别是边AB 、BC 上的两个动点（与点A 、B 、C 不重合），且始终保持BP BQ =，AQ QE ⊥，QE 交正方形外角平分线CE 于点E ，AE 交CD 于点F ，连结PQ ．
（1）求证：APQ QCE ??≌； （2）证明：DF BQ QF +=；
（3）设BQ x =，当x 为何值时，//QF CE ，并求出此时AQF ?的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当22
2x =-+//QF CE ；
AQF S ?442=-+．
【解析】 【分析】
（1）判断出△PBQ 是等腰直角三角形，然后求出∠APQ=∠QCE=135°，再根据同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE ，再求出AP=CQ ，然后利用“角边角”证明即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得AQ=EQ ，判断出△AQE 是等腰直角三角形，将
ADF ?绕点A 顺时针旋转90?得F AB '?，再证明()F AQ FAQ SAS '??≌；
（3）连结AC ，设QF
CE ，推出QCF ?是等腰直角三角形°，再证明
()ABQ ADF SAS ??≌，根据全等三角形对应边相等可得QF=GF ，AQ AF =，
22.5QAB DAF ∠=∠=?，分别用x 表示出DF 、CF 、QF ，然后列出方程求出x ，再求出
△AQF 的面积． 【详解】
（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB BC =，90B BCD DCM ∠=∠=∠=?， ∵BP BQ =，
∴PBQ ?是等腰直角三角形，AP QC =， ∴45BPQ ∠=?， ∴135APQ ∠=? ∵CE 平分DCM ∠， ∴45DCE ECM ∠=∠=?， ∴135QCE ∠=?， ∴135APQ QCE ∠=∠=?， ∵AQ QE ⊥，
∴90AQB CQE ∠+∠=?． ∵90AQB BAQ ∠+∠=?． ∴BAQ CQE ∠=∠． ∴()APQ QCE ASA ?≌． （2）由（1）知APQ QCE ??≌． ∴QA QE =． ∵90AQE ∠=?，
∴AQE ?是等腰直角三角形， ∴45QAE ∠=?． ∴45DAF QAB ∠+∠=?，
如图4，将ADF ?绕点A 顺时针旋转90?得F AB '?，
其中点D 与点B 重合，且点F '在直线BQ 上，
则45F AQ '∠=?，F A FA '=，AQ AQ =， ∴()F AQ FAQ SAS '??≌．
∴QF QF BQ DF '==+．
（3）连结AC ，若QF CE ，
则45FQC ECM ∠=∠=?． ∴QCF ?是等腰直角三角形， ∴2CF CQ x ==-， ∴DF BQ x ==．
∵AB AD =，90B D ∠=∠=?， ∴()ABQ ADF SAS ??≌．
∴AQ AF =，22.5QAB DAF ∠=∠=?， ∴AC 垂直平分QF ，
∴22.5QAC FAC QAB FAD ∠=∠=∠=∠=?，2FQ QN =， ∴22FQ BQ x ==．
在Rt QCF ?中，根据勾股定理，得2
2
2
(2)(2)(2)x x x -+-=． 解这个方程，得1222x =-+ 2222x =--（舍去）． 当22
2x =-+QF
CE ．
此时，QCF QEF S S ??=，∴21
2
QCF AQF QEF AQF AQE S S S S S AQ ?????+=+==， ∴()
2222111
222
AQF AQE QCF S S S AQ CQ AQ CQ ???=-=
-=- ()
222
112(2)4244222x x x x ??=
+--=?==-+?
?【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于（3）作辅助线构造成全等三角形并利用勾股定理列出方程．
4．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： 操作发现
（1）某小组做了有一个角是120?的等腰三角形DAC 和等边三角形GEB 纸片，
DA DC =，让两个三角形如图①放置，点C 和点G 重合，点D ，点E 在AB 的同侧，AC
和GB 在同一条直线上，点F 为AB 的中点，连接DF ，EF ，则DF 和EF 的数量关系与位置关系为：________；
数学思考
（2）在图①的基础上，将GEB 绕着C 点按顺时针方向旋转90?，如图②，试判断DF 和EF 的数量关系和位置关系，并说明理由； 类比探索
（3）①将GEB 绕着点C 任意方向旋转，如图③或图④，请问DF 和EF 的数量关系和位置关系改变了吗？无论改变与否，选择图③或图④进行证明；
②GEB 绕着点C 旋转的过程中，猜想DF 与EF 的数量关系和位置关系，用一句话表述：________.
【答案】（1）3EF DF =，DF EF ；
（2）3EF DF =，DF EF ,理由见解析;
（3）①3EF DF =，DF EF ;②旋转过程中3EF DF =，DF
EF 始终成立.
【解析】 【分析】
（1）由题意过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点E 作EN AB ⊥于点N ，利用等边三角形和中点性质设DM a =，2GB b =，结合相似三角形判定和性质进行综合分析求解； （2）根据题意要求判断DF 和EF 的数量关系和位置关系，连接CF ，OB 与AE 交于点M ，并综合利用垂直平分线定理以及矩形和等边三角形性质与三角函数进行综合分析； （3）①根据题意延长DF 并截取FN DF =，连接NE ，连接NB 并延长交CE 于点P ，交DC 的延长线于点O ，连接DE ，并利用全等三角形判定和性质以及三角函数进行分析证明；
②由题意可知结合①猜想可知旋转过程中3EF DF =，DF EF 始终成立.
【详解】
解：（1）3EF DF =，DF
EF ；
如解图，过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点E 作EN AB ⊥于点N ，
AD CD =，EGB 为等边三角形. AM MC ∴=，GN BN =. 又点F 为AB 的中点， AF BF ∴=.
()1
2
MF CF NC NB AC AM CB MC NC +=++=+=+∴.
MF NC NB ∴==，CF CN FN AM +==. 设DM a =，2GB b =，
120ADC ∠=?，DA DC =，
3AM a ∴=，3FN a =，MF NC NB b ===. tan 33EGB NE GN GN b =?==∠.
在DMF 和FNE 中，
3
3DM FN a ==
， 3
3MF NE b
==
， 又
90DMF FNE ∠=∠=?， DMF FNE ∴∽.
MDF NFE ∴∠=∠，
3
DF DM FE FN ==
，即3EF DF =. 90MDF DFM ∠+∠=?，
90DFM NFE ∴∠+∠=?. 90DFE ∴∠=?.
3EF DF ∴=且DF
EF .
（2）3EF DF =，DF
EF .
理由如下：
如解图，连接CF ，OB 与AE 交于点M ，当旋转角是90?时，则90ACB ∠=?，在
Rt ACB △中，点F 是AB 的中点，
CF BF ∴=.
又
CE EB
=，
EF ∴垂直平分BC.同理，DF 垂直平分AC ， ∴四边形LCMF 为矩形， 90DFE ∴∠=?.
DF EF ∴⊥，//AC EF .
DA DC =，120ADC =∠?，30DCA ∴∠=?. GEB 为等边三角形， 60ECB ∴∠=?.
∴∠DCA+∠ACB+∠ECB=180^° ∴D ，C ，E 三点共线.
30DCA DEF ∴∠=∠=?.
∴在Rt DEF △中，3tan 3
3
DE DF F F E DF
===∠； （3）①3EF DF =，DF EF .
选择题图进行证明：
如解图，延长DF 并截取FN DF =，连接NE ，连接NB 并延长交CE 于点P ，交DC 的延长线于点O ，连接DE ，
在ADF 和BNF 中，
AF BF AFD BFN DF NF =??
∠=∠??=?
， ()SAS ADF BNF ∴?.
AD NB ∴=，ADF BNF ∠=∠. //AD NB ∴.
18060O ADC ∴∠=?-∠=?.
又CPO BPE ∠=∠，60O CEB ∠=∠=?， OCP OBE ∴∠=∠. DCE NBE ∴∠=∠. 又GEB 是等边三角形， GE BE ∴=，
又AD BN CD ==，
()
SAS
DCE NBE
∴?.
DE NE
∴=，BEN CED
∠=∠.
BEN BED CED BED
∴∠+∠=∠+∠，
即60
NED BEC
∠=∠=?.
DEN
∴是等边三角形.
又DF FN
=，
DF EF
∴⊥，60
FDE
∠=?.
tan3
E E
F DF DF
FD
∴∠
=?=.
或选择图进行证明，证明如下：
如解图，延长DF并延长到点N，使得FN DF
=，
连接NB，DE，NE，NB与CD 交于点O，EB与CD相交于点J，在ADF 和BNF中，
AF BF
AFD BFN
DF NF
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
()
SAS
ADF BNF
∴?.
AD NB
∴=，ADF BNF
∠=∠.
//
AD NB
∴.
120
NOC ADC
∴∠=∠=?.
60
BOJ
∴∠=?，60
JEC
∠=?.
又OJB EJC
∠=∠，
OBE ECJ
∴∠=∠.
AD CD
=，AD NB
=，
CD NB
∴=.
又GEB是等边三角形，
CE BE
∴=.
()
SAS
DCE NBE
∴?.
DE NE
∴=，BEN CED
∠=∠.
BEN BED CED BED
∴∠-∠=∠-∠，
即60
NED BEC
∠=∠=?.
DEN
∴是等边三角形.
又DF FN
=，
DF EF ∴⊥，60FDE ∠=?. tan 3E E F DF DF FD ∴∠=?=.
②旋转过程中3EF DF =，DF EF 始终成立.
【点睛】
本题考查几何图形的综合探究题，难度大，运用数形结合思维分析以及掌握并灵活利用全等三角形判定和性质以及三角函数、相似三角形判定和性质等是解题关键.
错因分析：①未掌握旋转的性质，即旋转前后线段、角度均不变；②不能合理利用类比关系，由浅到深解决问题.
5．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
()1探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B
顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 求证：BCD 的面积为2
1.(2
a 提示：过点D 作BC 边上的高DE ，可证ABC ≌)BDE
()2探究2：如图2，在一般的Rt ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B 顺
时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 请用含a 的式子表示BCD 的面积，并说明理由．
()3探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针
旋转90得到线段BD ，连接.CD 试探究用含a 的式子表示BCD 的面积，要有探究过程．
【答案】（1）详见解析；（2）BCD 的面积为
2
12
a ，理由详见解析；（3）BCD 的面积为
2
14a ． 【解析】 【分析】
()1如图1，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出
ABC ≌BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；
()2如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出
ABC ≌BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；
()3如图3，过点A 作AF BC ⊥与F ，过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ，由等腰三角形
的性质可以得出
1
BF BC 2
=
，由条件可以得出AFB ≌BED 就可以得出BF DE =，由三角形的面积公式就可以得出结论． 【详解】
()1如图1，过点D 作DE CB ⊥交CB 的延长线于E ，
BED ACB 90∠∠∴==，
由旋转知，AB AD =，ABD 90∠=，
ABC DBE 90∠∠∴+=，
A ABC 90∠∠+=， A DBE ∠∠∴=， 在ABC 和BDE 中， AC
B BED A DBE AB BD ∠=∠??
∠=∠??=?
， ABC ∴≌()BDE AAS BC DE a ∴==，
BCD 1
S BC DE 2=?，
2BCD 1
S a 2
∴=；
()2BCD 的面积为21a 2
，
理由：如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，
BED ACB 90∠∠∴==，
线段AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BE ，
AB BD ∴=，ABD 90∠=，
ABC
DBE 90∠∠∴+=，
A ABC 90∠∠+=， A DBE ∠∠∴=， 在ABC 和BDE 中， AC
B BED A DBE AB BD ∠=∠??
∠=∠??=?
， ABC ∴≌()BDE AAS ， BC DE a ∴==，
BCD 1
S BC DE 2=?，
2BCD 1
S a 2
∴=；
()3如图3，过点A 作AF BC ⊥与F ，过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ，
AFB E 90∠∠∴==，11BF BC a 22
==， FAB ABF 90∠∠∴+=，
ABD 90∠=，
ABF DBE 90∠∠∴+=，
FAB EBD ∠∠∴=，
线段BD 是由线段AB 旋转得到的，
AB BD ∴=，
在AFB 和BED 中，
AFB E FAB EBD AB BD ∠=∠??
∠=∠??=?
， AFB ∴≌()BED AAS ， 1BF DE a 2
∴==， 2BCD
1111
S
BC DE a a a 2224
=
?=??=，
BCD ∴的面积为21
a 4
．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.
6．已知：△ABC 和△ADE 均为等边三角形，连接BE ，CD ，点F ，G ，H 分别为DE ，BE ，CD 中点．
（1）当△ADE 绕点A 旋转时，如图1，则△FGH 的形状为 ，说明理由；
（2）在△ADE 旋转的过程中，当B ，D ，E 三点共线时，如图2，若AB =3，AD =2，求线段FH 的长；
（3）在△ADE 旋转的过程中，若AB =a ，AD =b （a ＞b ＞0），则△FGH 的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）△FGH 是等边三角形；（261
-；（3）△FGH 的周长最大值为
32（a +b ），最小值为3
2
（a ﹣b ）． 【解析】
试题分析：（1）结论：△FGH 是等边三角形．理由如下：根据三角形中位线定理证明FG =FH ，再想办法证明∠GFH =60°即可解决问题；、
（2）如图2中，连接AF 、EC ．在Rt △AFE 和Rt △AFB 中，解直角三角形即可；
（3）首先证明△GFH 的周长=3GF =
3
2
BD ，求出BD 的最大值和最小值即可解决问题； 试题解析：解：（1）结论：△FGH 是等边三角形．理由如下：
如图1中，连接BD 、CE ，延长BD 交CE 于M ，设BM 交FH 于点O ．
∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形，
∴AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE ，∴BD =CE ，∠ADB =∠AEC ，∵EG =GB ，EF =FD ，∴FG =
12BD ，GF ∥BD ，∵DF =EF ，DH =HC ，∴FH =1
2
EC ，FH ∥EC ，∴FG =FH ，∵∠ADB +∠ADM =180°，∴∠AEC +∠ADM =180°，∴∠DMC +∠DAE =180°，∴∠DME =120°，∴∠BMC =60°
∴∠GFH =∠BOH =∠BMC =60°，∴△GHF 是等边三角形，故答案为：等边三角形． （2）如图2中，连接AF 、EC ．
易知AF ⊥DE ，在Rt △AEF 中，AE =2，EF =DF =1，∴AF 2221-3，在Rt △ABF 中，BF 22AB AF -6，∴BD =CE =BF ﹣DF 61，∴FH =12EC =61
2
． （3）存在．理由如下．
由（1）可知，△GFH 是等边三角形，GF =
12
BD ，∴△GFH 的周长=3GF =3
2BD ，在△ABD
中，AB =a ，AD =b ，∴BD 的最小值为a ﹣b ，最大值为a +b ，∴△FGH 的周长最大值为
32（a +b ），最小值为3
2
（a ﹣b ）． 点睛：本题考查等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的三边关系、三角形的中位线的宽等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．
7．在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，以点A 为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD ，旋转角为(0180)αα<<，得到矩形AEFG ，点B 、点C 、点D 的对应点分别为点E 、点F 、点G ．
()1如图①，当点E 落在DC 边上时，直写出线段EC 的长度为______； ()2如图②，当点E 落在线段CF 上时，AE 与DC 相交于点H ，连接AC ，
①求证：ACD ≌CAE ； ②直接写出线段DH 的长度为______．
()3如图③设点P 为边FG 的中点，连接PB ，PE ，在矩形ABCD 旋转过程中，
BEP 的面
积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．
【答案】（1）23；（2）①见解析；3
4
②；（3）存在，PBE 的面积的最大值为21，理由见解析 【解析】 【分析】
()1如图①中，在Rt ADE 中，利用勾股定理即可解决问题； ()2①证明：如图②中，根据HL 即可证明ACD ≌CAE ；
②如图②中，由ACD ≌CAE ，推出ACD CAE ∠∠=，推出AH HC =，设
AH HC m ==，在Rt ADH 中，根据222AD DH AH +=，构建方程即可解决问题； ()3存在.如图③中，连接PA ，作BM PE ⊥交PE 的延长线于M.由题意：
PF PC 1==，由AG EF 1==，G F 90∠∠==，推出PA PE 2==PBE
12S
PE BM 2=
??=，推出当BM 的值最大时，PBE 的面积最大，求出BM 的最大值即可解决问题； 【详解】
()
1四边形ABCD 是矩形，
AB CD 2∴==，BC AD 1==，D 90∠=，
矩形AEFG 是由矩形ABCD 旋转得到，
AE AB 2∴==，
在Rt ADE 中，22DE 213=-=
CE 23∴=，
故答案为23-．
()2①
当点E 落在线段CF 上，
AEC ADC 90∠∠∴==，
在Rt ADC 和Rt AEC 中，
{
AC CA
CD AE ==，
Rt ACD ∴≌()Rt CAE HL ；
ACD ②
≌CAE ，
ACD CAE ∠∠∴=，
AH HC ∴=，设AH HC m ==，
在Rt ADH 中，
222AD DH AH +=，
2221(2m)m ∴+-=，
5m 4
∴=
， 53DH 244
∴=-
=， 故答案为
34
； ()3存在．理由如下：
如图③中，连接PA ，作BM PE ⊥交PE 的延长线于M ，
由题意：PF PC 1==，
AG EF 1==，G F 90∠∠==， PA PE 2∴==
PBE
12S
PE BM 2∴=
??=， ∴当BM 的值最大时，PBE 的面积最大，
BM PB ≤，PB AB PA ≤+，
PB 22∴≤，
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最新初中数学几何图形初步易错题汇编附答案解析 一、选择题 1．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】 解：如右图， 连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线， 所以OP=1 2 AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以 O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线． 故选D． 2．一副直角三角板如图放置，其中∠C=∠DFE=90°，∠A=45°，∠E=60°，点F在CB的延长线上．若DE∥CF，则∠BDF等于（） A．30°B．25°C．18°D．15° 【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角形内角和定理可得45ABC ∠=?和30EDF ∠=?，再根据平行线的性质可得45EDB ABC ==?∠∠，再根据BDF EDB EDF =-∠∠∠，即可求出BDF ∠的度数． 【详解】 ∵∠C =90°，∠A =45° ∴18045ABC A C =?--=?∠∠∠ ∵//DE CF ∴45EDB ABC ==?∠∠ ∵∠DFE =90°，∠E =60° ∴18030EDF E DFE =?--=?∠∠∠ ∴15BDF EDB EDF =-=?∠∠∠ 故答案为：D ． 【点睛】 本题考查了三角板的角度问题，掌握三角形内角和定理、平行线的性质是解题的关键． 3．如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，2,3BE AE BE ==，P 是AC 上一动点，则PB PE +的最小值是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 【答案】C 【解析】 【分析】 连接DE ，交AC 于P ，连接BP ，则此时PB+PE 的值最小，进而利用勾股定理求出即可． 【详解】 解：如图，连接DE ，交AC 于P ，连接BP ，则此时PB PE +的值最小 ∵四边形ABCD 是正方形 B D ∴、关于A C 对称 PB PD =∴ PB PE PD PE DE ∴+=+= 2,3BE AE BE ==Q
《几何图形初步》复习学案 知识点一：余角和补角的概念（思考什么叫互为余角，什么叫互为补角） 1．★若∠α=79°25′，则∠α的补角是（） A．100°35′B．11°35′C．100°75′D．101°45′ 2 ★已知∠α与∠β互余，若∠α=43°26′，则∠β的度数是（） A．56°34′B．47°34′C．136°34′D．46°34′ 3 ★已知α=25°53′，则α的余角和补角各是 4★★已知∠1=30°21’，则∠1的余角的补角的度数是（） 知识点二从正面、上面、左面看立体图形 1★画出从正面、上面、左面三个方向看到的立体图的形状 ２★从正面、上面、左面看圆锥得到的平面图形是（） A．从正面、上面看得到的是三角形，从左面看得到的是圆 B．从正面、左面看得到的是三角形，从上面看得到的是圆 C．从正面、左面看得到的是三角形，从上面看得到的是圆和圆心 D．从正面、上面看得到的是三角形，从左面看得到的是圆和圆心 ３★★下列四个几何体中，从正面、上面、左面看都是圆的几何体是（） A 圆锥Ｂ圆柱Ｃ球Ｄ正方体 ４★★一个几何体从正面、上面、左面看到的平面图形 如右图所示，这个几何体是（） A 圆锥Ｂ圆柱Ｃ球Ｄ正方体 ５★★观察下列几何体，，从正面、上面、左面看都是长方形的是（） ６★★从正面、左面、上面看四棱锥，得到的3个图形是（） ＡＢＣ ７★★★如下图，是一个几何体正面、左面、上面看得到的平面图形，下列说法错误的是
（） A．这是一个棱锥B．这个几何体有4个面 C．这个几何体有5个顶点D．这个几何体有8条棱 ８★★★如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形体的数 字表示该位置小立方块的个数，则从正面看该几何体的图形是（） 知识点三：度分换算 １度分 °= 度分 °=°′ °=°′ ２分度 79°24′=°29°48′=° 把56°36′换算成度的结果是 把37°54′换算成度的结果是 知识点四对直线、射线、线段三个概念的理解 1 ★图中有条直线，条射线，条线段 2★★过ABC三点中两点的直线有多少条（画图表示） 3★★过ABCD四点中两点的直线有多少条（画图表示） A．1或4B．1或6C．4或6D．1或4或6 4 ★★同一平面内的四点，过其中任意两点画直线，仅能画四条，则这四点的位置关系是（）A．任意三点不在同一直线上B．四点都不在同一直线上 C．四点在同一直线上D．三点在同一直线上，第四点在直线外 5 ★★已知A，B，C，D四点都在直线L上，以其中任意两点为端点的线段共有（）条；已知A，B，C，D四点都在直线L上，以其中任意一点为端点的射线共有（）条 6 ★★下列说法中正确的个数为（）个 （1）过两点有且只有一条直线；（2）连接两点的线段叫两点间的距离； （3）两点之间所有连线中，线段最短；（4）射线比直线小一半． 知识点五线段计算——涉及分类讨论（线段双解问题，画图很重要！！！） 引例★：线段AB=15cm，BC=5cm，则线段AC等于（） 1 ★线段AB=7cm, 点C在直线ＡＢ上，ＢＣ＝３cm, 求线段AC长
几何图形初步易错题汇编 一、选择题 1．一把直尺和一块三角板ABC（含30°，60°角）的摆放位置如图，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点A，且∠CED＝50°，那么∠BAF＝（） A．10°B．50°C．45°D．40° 【答案】A 【解析】 【分析】 先根据∠CED＝50°，DE∥AF，即可得到∠CAF＝50°，最后根据∠BAC＝60°，即可得出∠BAF的大小． 【详解】 ∵DE∥AF，∠CED＝50°， ∴∠CAF＝∠CED＝50°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BAF＝60°﹣50°＝10°， 故选：A． 【点睛】 此题考查平行线的性质，几何图形中角的和差关系，掌握平行线的性质是解题的关键. 2．如图是由四个正方体组合而成，当从正面看时，则得到的平面视图是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】
根据从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．根据图中正方体摆放的位置判定则可． 【详解】 解：从正面看，下面一行是横放3个正方体，上面一行最左边是一个正方体． 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查三视图的识别，解决本题的关键是要熟练掌握三视图的识别方法. 3．将一副三角板如下图放置，使点A 落在DE 上，若BC DE P ，则AFC ∠的度数为（ ） A ．90° B ．75° C ．105° D ．120° 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行线的性质可得30E BCE ==?∠∠，再根据三角形外角的性质即可求解AFC ∠的度数． 【详解】 ∵//BC DE ∴30E BCE ==?∠∠ ∴453075AFC B BCE =+=?+?=?∠∠∠ 故答案为：B ． 【点睛】 本题考查了三角板的角度问题，掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解题的关键． 4．下列图形中，是正方体表面展开图的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【详解】
平面几何问题的复数解法.许兴华 复数是高中数学的重要内容之一,在中学数学中,有许多数学问题,如果我们能够根据题目的具体特征,将其转化为复数问题,那么这类数学问题往往可以得到复巧解妙证. 用复数方法解解平面几何的基本思路是,首先运用复数表示复平面上的点,然后利用复数的模和幅角的有关性质,复数运算的几何意义以及复数相等的条件,化几何问题为复数问题来处理. 1.用于证三角形为正三角形 典型1.求证:若三角形重心与其外心重合,则该三角形必 为正三角形. 证明思路分析 以三角形的相重合的外心(重心),为原点O 建立起复平面上的直角坐标系.设321,,Z Z Z 表示三角形的三个顶点,其对应的复 数是.,,321z z z 因O 为外心,故,||||||321r z z z ===又O 为重心，故,033 21=++z z z 即,0321=++z z z 于是由,321z z z -=+得2 2123||||z z z +=)()(2121z z z z ++= ,||||21212221z z z z z z +++=即,22121r z z z z -=+ 22123|||| z z z -=∴)()(2121z z z z --=),(||||21212221z z z z z z +-+=.3|z -z | 21r =∴ 同理可得：.3|z -z | |z -z | 1323r ==∴ 故321,,z z z 在复平面上是正三角形.
2.用于证明几何中的角度相等 典型2.已知正方形OBCD 中（如图），E 是CD 的中点，F 是CE 的中点，求证：FOB DOC ∠=∠2 1. 证明思路分析 建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设 ,1||=OD 则,1=OD ,,4 31,211i OB i OF i OE =+=+= DOE ∠=α是 OD 与OE 的夹角，有 ),43arg(i)21arg(12 ),211arg(2i i +=+=+=αα又 )],43(2516arg[431arg i i i FOB +=+=∠=β ,2βα=∴即FOB DOC ∠=∠21. 3.用于证明几何中的不等式 典型3.在凸四边形ABCD 中，求证：BD AC BC AD CD AB ?≥?+?. 证明思路分析 建立如图所示的复平面上的 直角坐标系，设C,D,A 对应的复数分别是 .,,321z z z 则|, ||||,||||,||||,|||213312z z CD z AB z z CA z DB -==-==|,|||32z z AD -= ||||||||||||||||132213z z z z z z BC AD CD AB ?-+-?=?+? ||||31213231z z z z z z z z -+-=.|||||)(|312BD AC z z z ?=-=
试卷代号：1098 中央广播电视大学2009-2010学年度第二学期“开放本科”期末考试 中学数学教学研究试题 一、填空题（本题共20分，每个空2分） 1．确定中学数学教学目的的依据是------------、---------------、--------------、----------------------- 2．说课的内容包括---------、--------、---------、---------。 3．评价教育实验样本的要点为-----------、---------------、---------------- 二、简述题（本题共60分，每小题12分） 1．简述数学形象思维的功能。 2．简述奥苏伯尔有意义学习的基本观点。 3．如何理解数学的严谨性？在数学教学中如何贯彻严谨性和量力性相结合的教学原则？4．什么是归纳推理，说明它在数学学习中的作用。 5．简述计算机对数学教育产生的影响。 三、综合题（本题20分） 什么是数学能力？数学能力由哪些主要成分组成？结合自己的教学经验，阐述如何在数学教学中培养学生的数学能力。 试卷代号：1098 中央广播电视大学2009-2010学年度第二学期“开放本科”期末考试 中学数学教学研究试题答案及评分标准 （供参考） 一、填空题（本题共20分，每个空2分） 1．党的教育总目标及普通中学的性质和任务数学的特点中学生的年龄特征和认识水平 2．说内容说教法说学法说教学程序 3．随机性代表性样本的容量 二、简述题（本题共60分，每小题12分） 1．答：数学形象思维有如下的功能： 第一，数学形象思维以形象的形式反映数学规律，从而提供数学问题生动而形象的整体显示。因此，易于把握整体。（4分） 第二，数学创造性往往从对形象的思维受到启发，以形象思维为先导。从古到今，形象思维给数学猜想、数学方法的提出以及数学创造都带来了活力。（4分） 第三，数学形象思维可以弥补抽象思维的不足。抽象思维是一种概念的运动，在认识真理方面具有无可怀疑的可感力与优越性。但由于在运动和发展中完全脱离具体的可感的材料，如果再加以绝对化，那也会陷入形而上学的泥潭。（4分） 2．答：奥苏伯尔把学习从两个维度上进行划分：根据学习的内容，把学习分为机械学习和有意义学习；根据学习的方式，把学习分成接受学习和发现学习。（3分）奥苏伯尔认为：在学校条件下，学生的学习应当是有意义的，而不是机械的。从这一观点出发，他认为好的讲授教学是促进有意义学习的唯一有效方法。探究学习，发现学习等在学校里不应经常使用。即奥苏伯尔提倡有意义的接受学习。（3分） 奥苏伯尔认为要产生有意义的接受学习，学习者必须具备两个条件： 第一，学习者必须具有意义学习的心向，即学生必须把学习任务和适当的目的联系起来。如果学生企图理解学习材料，有把新学习的和以前学过的东西联系起来的愿望，那么该生就是以有意义的方式学习新内容。如果学习者不想把新知识与以前学习的知识联系起来，那么
九年级数学旋转几何综合易错题（Word 版 含答案） 一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．已知如图1，在ABC 中，90ABC ∠=?，BC AB =，点D 在AC 上，DF AC ⊥交BC 于F ，点E 是AF 的中点． （1）写出线段ED 与线段EB 的关系并证明； （2）如图2，将CDF 绕点C 逆时针旋转( ) 090a α? <
∴∠DAB=45° ∴在四边形ABFD中，∠DFB=360°－90°－45°－90°=135° ∠DEB=∠DEF+∠FEB=180°－2∠EFD+180°－2∠EFB=360°－2(∠EFD+∠EFB) =360°－2×135°=90° ∴DE⊥EB （2）如下图，延长BE至点M处，使得ME=EB，连接MA、ME、MF、MD、FB、DB，延长MF交CB于点H ∵ME=EB，点E是AF的中点 ∴四边形MFBA是平行四边形 ∴MF∥AB，MF=AB ∴∠MHB=180°－∠ABC=90° ∵∠DCA=∠FCB=a ∴∠DCB=45°+a，∠CFH=90°－a ∵∠DCF=45°，∠CDF=90° ∴∠DFC=45°，△DCF是等腰直角三角形 ∴∠DFM=180°－∠DFC－∠CFH=45°+a ∴∠DCB=∠DFM ∵△ABC和△CDF都是等腰直角三角形 ∴DC=DF，BC=AB=MF ∴△DCB≌△DFM(SAS) ∴∠MDF=∠BDC，DB=DM ∴∠MDF+∠FDB=∠BDC+∠FDB=90° ∴△DMB是等腰直角三角形 ∵点E是MB的中点 ∴DE=EB，DE⊥EB （3）当点F在AC上时，CF有最大值，图形如下：
新初中数学几何图形初步技巧及练习题 一、选择题 1．如图，已知ABC ?的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ^于D ，且4OD =，则ABC ?的面积是（ ） A ．25米 B ．84米 C ．42米 D ．21米 【答案】C 【解析】 【分析】 根据角平分线的性质可得点O 到AB 、AC 、BC 的距离为4，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】 连接OA ∵OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ^于D ，且4OD = ∴点O 到AB 、AC 、BC 的距离为4 ∴ABC AOC OBC ABO S S S S =++△△△△ ()142 AB BC AC =??++ 14212 =?? 42=（米） 故答案为：C ． 【点睛】 本题考查了三角形的面积问题，掌握角平分线的性质、三角形面积公式是解题的关键．
2．∠1与∠2互余，∠1与∠3互补，若∠3=125°，则∠2=（） A．35°B．45°C．55°D．65° 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解：根据题意得：∠1+∠3=180°，∠3=125°，则∠1=55°，∵∠1+∠2=90°，则∠2=35° 故选：A． 【点睛】 本题考查余角、补角的计算． 3．将如图所示的Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体的主视图（正视图）是（） A．B．C． D． 【答案】D 【解析】 解：Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体是圆锥，主视图是等腰三角形． 故选D． 首先判断直角三角形ACB绕直角边AC旋转一周所得到的几何体是圆锥，再找出圆锥的主视图即可． 4．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是
新初中数学几何图形初步易错题汇编及解析 一、选择题 1．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（） A．三棱柱B．圆锥C．四棱柱D．圆柱【答案】A 【解析】 【分析】 侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱． 【详解】 解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱． 故选A． 【点睛】 本题考查的是三棱柱的展开图，对三棱柱有充分的理解是解题的关键．．2．如图，AB∥CD，EF平分∠GED，∠1=50°，则∠2=（） A．50°B．60°C．65°D．70°【答案】C 【解析】 【分析】 由平行线性质和角平分线定理即可求. 【详解】 ∵AB∥CD ∴∠GEC=∠1=50° ∵EF平分∠GED ∴∠2=∠GEF= 1 2 ∠GED= 1 2 (180°-∠GEC)=65° 故答案为C.
【点睛】 本题考查的知识点是平行线性质和角平分线定理，解题关键是熟记角平分线定理. 3．下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）. A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 试题分析：三棱柱的展开图为3个矩形和2个三角形，故B 不能围成. 考点：棱柱的侧面展开图. 4．一副直角三角板如图放置，其中∠C =∠DFE =90°，∠A =45°，∠E =60°，点F 在CB 的延长线上．若DE ∥CF ，则∠BDF 等于（ ） A ．30° B ．25° C ．18° D ．15° 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角形内角和定理可得45ABC ∠=?和30EDF ∠=?，再根据平行线的性质可得45EDB ABC ==?∠∠，再根据BDF EDB EDF =-∠∠∠，即可求出BDF ∠的度数． 【详解】 ∵∠C =90°，∠A =45° ∴18045ABC A C =?--=?∠∠∠ ∵//DE CF ∴45EDB ABC ==?∠∠ ∵∠DFE =90°，∠E =60° ∴18030EDF E DFE =?--=?∠∠∠ ∴15BDF EDB EDF =-=?∠∠∠ 故答案为：D ． 【点睛】 本题考查了三角板的角度问题，掌握三角形内角和定理、平行线的性质是解题的关键． 5．如图，直线a ∥b ，点B 在直线b 上，且AB ⊥BC ，∠1=55°，那么∠2的度数是（ ）
贵州师范大学2007—2008学年度第一学期 《中学数学研究》课程期终考试试卷 (A 卷;闭卷) （代数部分）参考答案及评分标准 一、(12分) ⑴（8分）请给出两种不同的方法证明2不是有理数？ ⑵（4分）数学发展历史上是如何发现无理数的？这一发现在数系扩展中有何价值？ 解： ⑴证法1（奇偶数判别，导致矛盾） 设2是一个有理数x ，即22 =x ，且x 可表示为既约分数 1),(,=n m n m ，于是 22 2=n m ，即 22 2n m =，因此2 m 是偶数，由于奇数的平方不能等于偶数，故m 是偶数。所以设k m 2=，则 2 2 2 2 4)2(2k k m n ===，故2 22k n =，从而n 也是偶数，这与()1,=n m 矛盾，这说明2不是 有理数。 证法2 若22=x ，且x 表示为既约分数 b a 。将 b a ,分解为素因数之积，由于222b a =，则2a 的素因 子必定成对出现，而22b 的素因子中2出现奇数次，矛盾。 证法3 若22 =x ，且x 表示为既约分数b a 。因为222 b a =，故b 可整除2 a ，但()1,= b a ，故1=b ， 所以22 =a ，由此得221<<，由于1和4之间没有完全平方项，矛盾。 上述证法，每做对一种，给4分。但总分不超过8分 ⑵略 4分 二、（13分） ⑴（6分）为什么说初等数学中三角函数的定义是用几何方法建立起来的？请按中学数学教材体系给出正弦、余弦在初中和高中的定义。 ⑵（5分）数学分析教程中，可将三角函数展开成幂级数，请给出解析正弦和解析余弦的定义。为什么通过证明又说三角式的概念并不依赖于几何解释？ ⑶（2分）上述问题的探析对你有何启示？ 解：
（易错题精选）初中数学几何图形初步易错题汇编及答案解析 一、选择题 1．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果145∠=°，330∠=°时，那么2∠的度数是（ ） A ．15° B ．25° C ．30° D ．45° 【答案】A 【解析】 【分析】 根据∠2=∠BOD+EOC-∠BOE ，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD 和∠EOC 的度数从而求解． 【详解】 ∵∠BOD=90°-∠3=90°-30°=60°， ∠EOC=90°-∠1=90°-45°=45°， ∵∠2=∠BOD+∠EOC-∠BOE ， ∴∠2=60°+45°-90°=15°． 故选：A ． 【点睛】 此题考查余角和补角，正确理解∠2=∠BOD+EOC-∠BOE 这一关系是解题的关键． 2．将如图所示的Rt △ACB 绕直角边AC 旋转一周，所得几何体的主视图（正视图）是（ ）
A．B．C． D． 【答案】D 【解析】 解：Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体是圆锥，主视图是等腰三角形． 故选D． 首先判断直角三角形ACB绕直角边AC旋转一周所得到的几何体是圆锥，再找出圆锥的主视图即可． 3．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=55°，那么∠2的度数是（） A．20°B．30°C．35°D．50° 【答案】C 【解析】 【分析】 由垂线的性质可得∠ABC=90°，所以∠3=180°﹣90°﹣∠1=35°，再由平行线的性质可得到∠2的度数. 【详解】 解： 由垂线的性质可得∠ABC=90°， 所以∠3=180°﹣90°﹣∠1=35°， 又∵a∥b， 所以∠2=∠3=35°． 故选C． 【点睛】
成都石室中学 四川省首批通过验收的国家级示范性普通高中，先后被评为四川省文明单位、四川省首批“校风示范校”、首批“实验教学示范学校”、四川省第五届职业道德建设十佳标兵单位。石室是一所具有实验性、示范性、开放性的学校。 学校延聘社会名流、博学之士以及外籍教师到校任教。学校有成都市教育专家3人，全国优秀教师13人，特级教师21人，市学科带头人23人，省市级学会负责人23人， 多年来，石室中学以一流的办学水平和高质量的教育教学成绩著称。在全面推进素质教育和培养学生综合素质方面不断努力，形成了“活路、和谐”的办学特色。学分制的全面实施、双语课的开设、研究性学习的规范性管理、科技创新活动连创佳绩、学科竞赛保持优异成绩、对外开放合作办学不断加强等，集中体现了学校的办学水平。每年源源不断地为国内外大学输送大批优秀学子，受到社会各界的广泛称赞；学生艺体特长突出，学生管弦乐团在省内享有盛名，在国际交流中获得高度赞誉。据统计，近年来，我校学生有109人在奥林匹克学科竞赛中获全国一等奖，161人获全国二等奖；有151人次获全国、省、市各级各类科创发明奖，有743人次艺体特长学生获得全国、省、市一、二、三等奖，我校女子篮球多次进入全国决赛，两次获得冠军。 为适应对外交流合作的需要，石室中学国际部与美国、加拿大、德国、日本、新西兰、澳大利亚、新加坡等近十个国家的教育界建立了广泛的合作关系，定期交换师生，将长期进行的国际间的交流合作工作提高到了新的水平。 石室中学以重点学校的优势，与省市多所学校开展了多层次的合作交流办学，共享优质教育资源，发挥重点学校的辐射指导作用。为四川省、成都市经济和教育的发展作出了贡献。
八年级几何易错题合集201012 1. 一个多边形共有9条对角线，那么这个多边形的边数为____。A.5 B.6 C.7 D.8 2.已知等腰三角形ABC 中，AB=AC ，D 为BC 边上一点，连接AD ，若△ACD 和△ABD 都是等腰三角形，则∠C 的度数是（ ）。A 、36° B 、45° C 、36°或45° D 、36°或45°或72° 3.如图，在△ABC 中，AD ，BE 是两条中线，则S △EDC ∶S 四边形EDBA ＝ 4. 若a 、b 、c 、为△ABC 的三边长，则()()()222b a c a c b c b a -----+--= 5. 如图8，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 度。 6. 如图，已知点A （a ，b ），O 是原点，OA=OA1,OA ⊥OA1, 则点A1的坐标是（ ）。 7. 一个多边形截去一个角后形成的一个新的多边形的内角和为2520°，则原多边形有（ ）条边。 8. 已知：如图，△ABC 为锐角三角形，AB=AC ，CD ∥AB ，求作：线段BP ，使得点P 在直线 CD 上，且∠ABP=2 1∠BAC 。 9. 如图，Rt △ABC 中，∠ABC=90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A 、DB=DE B 、AB=AE C 、∠EDC=∠BAC D 、∠DAC=∠C 10.右图为边长相等的6个正方形组成的图形，则∠1+∠2+∠3等于（ ）。 A 、60° B 、90° C 、100° D 、135° 11.如图，已知∠AOB=60°，点P 在边OA 上，OP ＝12，点M 、N 在边 OB 上，PM=PN ，若MN=2，则OM=（ ）。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6
习题1.设梯形两底之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点。 已知：如图，梯形ABCD 中，A D ∥BC,AB=AD+BC,E 是 DC 中点 求证：∠DAB 与∠ABC 的平分线必经过E 点。 证明（同一法）： 设∠DAB 与∠ABC 的角平分线交于E ′点，只需证E ′点与E 点重合。 ∵A D ∥BC ∴∠DAB+∠ABC=180° ∵∠1=∠2, ∠3=∠4, ∴∠2+∠3=90° ∴∠A E ′B =90° 作Rt △ABE ′的斜边AB 上的中线 FE ′,则 FE ′=2 1AB=AF=BF ∴∠2=∠A E ′F , ∠3=∠B E ′F ∴∠1=∠2=∠A E ′F , ∴E ′F ∥A D ∥BC 连结EF,则EF 为梯形 ABCD 的中位线, E F ∥A D ∥BC ∴E ′F 与 E F 共线 ∵FE ′=2 1AB=2 1(AD+BC), FE =2 1(AD+BC) ∴E ′F = E F ∴E ′与 E 重合。 证 毕 。 习题2.A 是等腰三角形ABC 的顶点，将其腰AB 延长至D ，使BD=AB 。知CD=10厘米，求AB 边上中线的长。 解：过B 作BF ∥AC 交CD 于F ， 则BF 是△DAC 的中位线。 ∴BF 2 1 AC ∴∠FBC=∠ACB 又∠ACB=∠ABC ，AB=AC ∴∠FBC=∠ABC ，BF=2 1 AB=BE ∴△EBC ≌△FBC （SAS ） ∴CE=CF=21CD=2 1 ×10=5cm 即△ABC 中边上的中线CE 的长为5厘米。 习题3.证明：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰距离之差为常量。 已知：如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC 。D 为BC 延长线上一点，过D 作DE ⊥ AB 于E ，作D F ⊥ AC 延长线于F 。 求证：D E －DF 为常量。
《几何图形初步》易错题专训 1.下列语句表述正确的是（） A.直线m、n相交与点a B.画直线AB=3cm C.延长射线AO D.延长线段AB到点C，使BC=AB 2.如果线段AB=6cm,MA+MB=10cm，那么下列说法中正确的是（） A.点M在线段AB上 B. 点M在直线AB上 C. 点M在直线AB之外 D. 点M可能在直线AB上，也可能在直线AB之外 3.∠α=51.2°，∠β=51°2’，则∠α与∠β的大小关系是（） A. ∠α=∠β B. ∠α>∠β C. ∠α<∠β D. 无法确定 4.甲看乙的方向是南偏西50°，那么乙看甲的方向是（） A.北偏东50° B. 南偏东50° C. 北偏东40° D. 北偏西40° 5.如图1，将一个正方体纸盒沿着图中的粗线剪开，并展开成平面图形，则其展 开图的形状为（） 6.从2时30分到2时55分，时针转过的角的大小为______,分针转过的角的大小 为______; 7.有公共端点的两天射线分别表示南偏东25°与北偏东35°方向，则这两条射 线所构成的角的大小为____ 8.A、B两个城市之间有铁路相连，一共设有5个站点，不同的区间需要不同的车 票（相同区间的不同方向也需要不同的车票）,则共有____ 种不同的车票。 9.如图2，点A、O、B在同一条直线上，OC⊥AB，OD⊥OE， 则图中与∠1互余的角是____ 10.不透明的正方体的六个面上分别标有1至6六个整数，如图3 是我们从不同方向观察这个正方体所得到的三种情况，那么 与标有整数1的面相对的面上的整数是____，与标有整数5 的面相对的面上的整数是___ 11.一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角。 12.如图，∠AOB=70°，∠COD=80°，求∠AOD-∠BOC的大小 13.将一张长方形纸片按照图中所示的方式折叠后，得到∠AOB’=70°，求∠B’OG 的大小 14.已知A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别为线段AB、BC的中点，且 AB=30,BC=20,求线段MN的长度 图2 图3
几何与图形易错题 一、填空： 1.在一张长16厘米，宽8厘米的长方形内画半径是4厘米的圆(不重叠)，这样的圆最多能画（）个。 2、圆的半径扩大到原来的3倍，它的面积就扩大到原来的（）倍，周长就扩大到原来的（）倍。 3.（1）一个圆柱和一个圆锥的底面积和高分别相等，圆锥的体积是圆柱的（），圆柱的体积是圆锥的（）倍。 （2）一个圆柱和一个圆锥的体积和底面积分别相等，圆锥的高是圆柱的（）倍，圆柱的高是圆锥的（）。 4、把一个圆柱体削成一个最大圆锥体，圆锥的体积与削去的体积之比是（）。 5. 一个圆锥的体积是15立方分米,高是3分米,底面积是( )平方分米。 6. 将一个圆柱的侧面展开得到一个正方形，圆柱的底面半径是10厘米，圆柱的高是（）厘米。 7、一个圆柱的体积是125.6立方厘米，底面直径是4厘米，它的侧面积是（），表面积是（）。 8、圆锥的底面半径是3厘米，体积是113.04立方厘米，圆锥的高是（）厘米。 9、一根圆柱形的木料长5米，把它锯成4段，表面积增加了12平方分米，这根木料的体积是（）。如果锯成4段用了9分钟，那么把它锯成6段要用（）分钟。 10．圆的半径由6厘米增加到9厘米，圆的面积增加了（）平
方厘米。 11.一张周长是8厘米的正方形纸，把它剪成一个最大的圆，它的面积是（）平方厘米。 3的水，12.一个圆柱形水桶内底半径是8分米，高是5分米，装了 5 水的体积是（）立方分米，如果把这些水倒入与它底面积相等的圆锥形容器中正合适，那么圆锥形容器高是（）分米。二．判断： 1、一个圆柱体铅块熔铸成一个圆锥体，它的体积不变。（） 2. 两个等底等高的梯形一定能拼成一个平行四边形。（） 3、圆心角越大，扇形就越大。（） 4、圆的周长和半径成正比例关系。（） 三、解决问题： 1. 把一块底面直径是4厘米，高是10厘米的圆柱形钢材锻造成底面半径是4厘米的圆锥形钢材，可以锻造多高？ 2．一个圆柱形容器的底面半径是4分米，高6分米，里面盛满水，把水倒在棱长是8分米的正方体容器内，水深是多少分米？ 3.有一段钢可做一个底面直径8厘米，高9厘米的圆柱形零件。如果把它改制成高是12厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？ 4、水结成冰后，体积增加10%，有一块冰体积55立方厘米，化成水后体积是多少立方厘米？
2019年四川成都石室中学(成都四中)教师招聘公告篇一：2019年四川成都市属教师招聘考试报考条件 四川教师招聘考试公告资讯2019年四川教师公招考试信息汇总四川教师招聘真题题库 应聘资格条件： (一)应聘人员应同时具备的条件： 1、热爱社会主义祖国，拥护中华人民共和国宪法，拥护中国共产党，遵纪守法，品行端正，有良好的职业道德，爱岗敬业，事业心和责任感强。 2、身体健康，具有正常履行招聘岗位职责的身体条件。 3、符合招聘岗位确定的其他条件(详见附件1)。 4、委培、定向应届毕业生，须征得原委培、定向单位同意。 5、符合《成都市事业单位公开招聘工作人员试行办法》有关回避的规定。 报考面向组织选派服务城乡基层的大学生志愿者定向招聘岗位的应聘人员还应同时具备以下条件： 1、系成都市组织选派的“一村(社区)一名大学生计划”、“一村(涉农社区)两名大学生计划”、“农村中小学特设教师岗位计划”、“乡(镇)公立卫生院大学生支医计划”或“大学生服务社区就业和社会保障计划”志愿者。 2、服务成都市乡镇及以下单位服务期满(两年以上)考核合格的
团中央选派的“大学生志愿服务西部计划”志愿者和四川省委组织部选派的“大学生村干部”。 3、志愿服务期满(服务期限认定截止时间为2019年2月16日)且经服务所在区(市)县项目管理部门考核合格。 4、截止报名结束时尚未被国家行政机关或事业单位正式录(聘)用。 根据省委办公厅、省人民政府办公厅《关于激励引导教育卫生人才服务基层的意见》(川委办〔2019〕7号)和省委组织部等四部门印发《关于〈激励引导教育卫生人才服务基层的意见〉有关问题的答复意见》的通知(川组通〔2019〕58号)有关精神，报考成都市市属教育、卫生事业单位岗位(见附件1)的本科及以下学历的人员应具有2年及以上基层工作经历。报考人员至该次公招报名截止日期的当月，在以下区域内单位工作累计满2周年及以上，视为具有2年及以上基层工作经历： 1、成都市和地级市所辖除区以外的(市)县; 2、所有乡镇及以下区域; 3、少数民族自治区域、“四大片区”贫困县(区)(见附件3)。 工作单位以法人证书所登记的地点为准(党政机关以组织机构代码证为准)。军队转业干部在团级及以下单位服役时间和退役士兵服役时间，视为基层工作经历。在四川省外的其他省(市、区)工作两年以上的人员，不受基层工作经历限制。 (二)有下列情况之一者，不得应聘：
中学数学研究投稿须知 周中祥 (山东省临清市第一中学252600) 投稿行文格式为：文章标题->作者单位邮政编码 ->正文 ->参考文献 ->作者简介 ->联系方式。 投稿具体要求： (1) 标题：一般不超过 20 个汉字（副标题除外），要求贴切醒目不哗众取宠。 (2) 作者信息：按作者工作单位全称 ->单位所在街区邮政编码 ->作者姓名格式。 (3) 正文：要求结构严谨，表述简明，语义确切，论点鲜明，论据充分，引用规范，数据准确。 (4) 内文标题：文内标题要求简洁明确，标题层次不宜过多过细。层次顺序依次为：一 ->（一） ->1 ->（ 1 ） ->①。 (5) 参考文献：按在正文中出现的先后次序标注于文后；标注以“参考文献：”（左顶格）为标识；参考文献的序号左顶格，并用数字加方括号表示，如 [1] ﹑ [2] … . 每一个参考文献条目的最后均以“ . ”结束。参考文献的不同类型用不同的大写字母标注。如专著：[M] ；期刊文章： [J] ；报纸文章： [N] ；论文集： [C] ；学位论文： [D] ；报告：[R] ；标准： [S] ；专刊 [P]. (6) 参考文献格式：期刊文章：作者，文章题目 [J] , 期刊名称，年份，（期号）。 例：张奠宙，建设中国特色的数学教育理论 [J], 数学通报， 2010 ，（ 1 ）。 书，专著：作者，专著名称 [M], 出版地：出版社名称，出版年份。 例：梅向明，高等几何 [M], 北京：高等教育出版社， 2000. (7) 字体：标题用黑体小二号，姓名工作单位用仿宋体小五号，正文用宋体五号，其他用楷体五号。 (8) 附图，表格：附图，表格制作要求规范准确（附图要求用几何画板画） , 并加上序号，插入文章正文相应地方。 (9) 作者简介：文章最后请附上不多于 100 字的作者简介，并附上作者详细联系方式（含详细地址，邮政编码，移动电话号码，电子邮箱）以方便联系。 (10) 编辑格式：文章要求以 word 文档打印，正文中涉及的数学符号式子一律用公式器（ mathtype 软件）打印。全文要求用 A4 纸编辑。文章以附件形式发回本刊编辑部。
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难） 1．在数轴上、两点分别表示有理数和，我们用表示到之间的距离；例如表示7到3之间的距离. （1）当时，的值为________. （2）如何理解表示的含义？ （3）若点、在0到3（含0和3）之间运动，求的最小值和最大值. 【答案】（1）5或-3 （2）解：∵ = ， ∴表示到-2的距离 （3）解：∵点、在0到3（含0和3）之间运动， ∴0≤a≤3, 0≤b≤3, 当时， =0+2=2，此时值最小， 故最小值为2； 当时， =2+5=7，此时值最大， 故最大值为7 【解析】【解答】（1）∵， ∴a=5或-3； 故答案为：5或-3； 【分析】（1）此题就是求表示数a的点与表示数1的点之间的距离是4，根据表示数a的点在表示数1的点的右边与左边两种情况考虑即可得出答案； （2）此题就是求表示数b的点与表示数-2的点之间的距离; （3）此题就是求表示数a的点与表示数2的点之间的距离及表示数b的点与表示数-2的点之间的距离和，而0≤a≤3, 0≤b≤3, 借助数轴当时，的值最小；当时，的值最大. 2．在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD。
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想并证明； （2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明。 【答案】（1）解：猜想：AB=AC+CD． 证明：如图②，在AB上截取AE=AC，连接DE， ∵AD为∠BAC的角平分线时， ∴∠BAD=∠CAD， ∵AD=AD， ∴△ADE≌△ADC（SAS）， ∴∠AED=∠C，ED=CD， ∵∠ACB=2∠B， ∴∠AED=2∠B， ∵∠AED=∠B+∠EDB， ∴∠B=∠EDB， ∴EB=ED， ∴EB=CD， ∴AB=AE+DE=AC+CD. （2）解：猜想：AB+AC=CD． 证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED． ∵AD平分∠FAC， ∴∠EAD=∠CAD． 在△EAD与△CAD中， AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD， ∴△EAD≌△CAD（SAS）． ∴ED=CD，∠AED=∠ACD．
文献综述报告 新课标下的中学数学教学研究及其实践理论 我仔细的阅读了五篇与中学数学新课标及实践理论的文献。然后，通过对这五篇现有研究资料的综合分析，并结合我国的国情，从理论上分析形成我国初中数学基本技能训练的观念和种种现象的深层原因。研究显示，我国初中学生的数学基本技能训练深受我国悠久文化传统、已有的教学理论、现代社会变迁等诸多因素的影响。总体而言，我国初中学生的数学基本技能训不能适应新时代的要求，尤其不能适应知识经济时代对于教育的要求。从数据上得出我国初中学生的数学基本技能训练实际情况与新课程标准要求的差距，指出我国初中学生的数学基本技能训练并未很好地促进学生数学能力的提高和良好数学态度的形成。针对我国数学基本技能的现实情况，通过案例分析，探讨我国初中学生的数学基本技能训练教学的改进，具体讨论新课程标准下数学基本技能训练过程中教师主导作用的发挥，提出一些切合我国数学教学实际的建议： 数学课程改革倡导的新观念深刻地影响、引导着数学教学实践的改变:教师由重知识传授向重学生思维能力培养转变;由重教师“教”向重学生“学”转变;由重结果向重过程转变.如何在数学中培养学生的思维能力，养成良好的思维品质是教学改革的一个重要课题.锻炼学生的创造思维，培养他们的学习能力是新课程标准实践教学的重要内容。 首先，转变传统教育教学理念，确立研究性学习在初中数学中的地位。在日常的教学过程中，往往体现教师满堂课的问、讲、分析，教师期望通过个体多讲、多问、多分析，让学生迅速形成解题的经验，这样的话，教师只能通过灌输，把学生带人枯燥乏味的题海战术中去。这种教学方法过于强调被动接受、死记硬背、机械训练的过程，忽视学生的学习兴趣的培养，扼杀了学生主动学习的能力。 其次，新课程改革倡导的理念体现了通过学生的亲身的实践，新课标高中数学课程力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。比如，在讲解圆与圆之间的位置关系时，我讲解的方式就是将早些准备好的道具(两个圆)，让学生自己‘看操作”总结位置关系的分类。这样很清楚明白的就是知道，圆与圆有五种关系，可以从几何和代数的角度(即半径与圆心距之间、解的个数)。 最后，实践也是很重要的，通过学生自己动脑动手操作过的经验更为丰富。而在《全口制义务教育数学课程标准(实验稿)》中指出:““实践与综合应用”内容领域将帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决