第 32 次课日期周次星期学时：2
内容提要：
第九章变化的电磁场
§9.1 法拉第电磁感应定律
一．一．楞次定律：电磁感应现象；感应电动势；楞次定律。
二．法拉第电磁感应定律
三．应强调指出的几点
四．磁流体发电
目的要求：
理解电动势的概念，掌握法拉第电磁感应定律。
重点与难点:
1.用楞次定律判断感应电动势的方向；
2.法拉第电磁感应定律的理解和应用。
教学思路及实施方案：
本次课应强调：
1. 法拉第电磁感应定律是电磁感应的基本实验规律。电磁感应的关键是磁通量随时间变化。由法拉第
电磁感应定律：
??
-
=
Φ
-
=
∈
s
m
i
ds
B
dt
d
dt
d
cos
。
产生磁通量随时间的变化的方法有：
（1）
)(t
B
B
=，感生电动势；
（2）导线运动，
)(t s
s=，动生电动势；
（3）导线框转动，
)(t
θ
θ=，动生电动势；
及其组合。但是不论什么原因，只要
≠
Φ
dt
d
m
，就要产生电动势。
2．感应电动势的方向实际上是非静电场力的方向
3．楞次定律实质上是说明：感应电流的“效果”总是反抗引起感应电流的的“原因”。是能量守恒和转化定律的必然结果。
教学内容：
§9.1 法拉第电磁感应定律
一．一．楞次定律
1.电磁感应现象
如图所示，将磁棒插入线圈Ａ的过程中，电流计的指针
发生偏转，且偏转的角度大小与插入速度有关，插得越快，
偏转角度越大。这个现象也说明线圈A的回路中有感应电
流产生。
由上述实验，当穿过闭合回路（如回路abcd，线圈A与
电流计组成回路）的磁通量发生变化时，回路中将产生感应电流。这种现象称作“电磁感应现象”。
2.感应电动势：
导体闭合回路中有感应电流产生，说明回路中产生了电动势。由磁通量随时间变化而产生的电动势叫感应电动势。
3．楞次定律
感应电动势总具有这样的方向，即它产生的感应电流在回路中激发的磁场总是去阻碍引起感应电动势的磁通量的变化。以上结论又叫做楞次定律。感应电流取楞次定律所述的方向，是能量守恒和转化定律的必然结果。
二．法拉第电磁感应定律
从1822年到1831年间，法拉第做了大量有关实验，终于发现了电磁感应现象，并由实验归纳得出其规律是：
感应电动势的大小与穿过回路的磁通量随时间的变化率成正比。该定律即为法拉第电磁感应定律，在国际单位制中比例系数为1，其数学表达式是
dt
d m i Φ-
=∈
其中的负号是楞次定律的数学表达式。由此式可得电动势的单位还可表达为：
１伏特（Ｖ）＝１韦伯／秒（Ｗｂ／ｓ） 三 三 应强调指出以下几点：
1．磁通量：
???=?=Φs
s
m ds
B s d B θcos
由法拉第电磁感应定律：
??-=Φ-
=∈s
m i ds B dt d
dt d cos
产生磁通量随时间的变化的方法有：
（1）)(t B B
=， 感生电动势；
（2）导线运动， )(t s s =，动生电动势；
（3）导线框转动， )(t θθ=，动生电动势；
及其组合。但是不论什么原因，只要0
≠Φdt d m
，就要产生电动势。
2．感应电动势的方向实际上是非静电场力的方向 （1）非静电力和非静电性场强
右图是最简单的直流电路，电源以外的电路是外电路。在外 电路中，电流在静电场力作用下由Ａ到Ｂ，即由高电势Ａ（正 极）到低电势Ｂ（负极）。显然在电源内部，电流不再可能在静 电场力作用下由Ｂ到Ａ，如果要使外电路中有持续不断的电流，
必须维持Ａ、Ｂ两极间的电势差，即必须存在某种非静电力k F ，
它将正电荷ｑ由低电势Ｂ点搬至高电势Ａ点。非静电力的种类很 多，如化学电源中的化学力，发电机内由于电磁感应出现的非静
电力等，因此电源是提供非静电力的装置。在本章中不论及电源内是什么种类的力，均统用非静电场力称呼。 若电量为ｑ的正点电荷在电源内受的非静电力为k F ，那么单位正点电荷受的非静电力场强k E
表示，为
q F E k k
=
（2）电源电动势
非静电力在电源内搬运电荷建立和维持电场E ，因此在电源内，电荷还将受到该电场的力作用，电场力与非静场电力反向，故在电源内非静场电力搬运电荷要克服电场力做功，用电源的电动势∈描述该做功能力的大小，将电源电动势定义为：在电源内非静电力移动单位正点电荷由低电势(负极)到高电势(正极)所做的功。用数学式表示为
l
d E k ?∈=
?
+
-（积分应沿电源内部）；
在有些情况下非静电力存在于整个电流回路中，这时整个回路中的总电动势应为
??∈=L k l
d E
， 式中线积分遍及整个回路。
（3）感应电动势的方向实际上是非静电场力的方向。
由上式清楚地看到电动势是一个标量，它等于单位正电荷从负极移到正极时由于非静电力作用所增加的电势能，因此又把电源内从负极到正极的方向，即电势升高的方向，称为电动势的方向。
3．楞次定律实质上是说明，感应电流的“效果”总是反抗引起感应电流的的“原因”。例如，如果“原因”是磁通量增加，则感应电流激发的磁场总是反抗磁通量增加，即磁通量减少；如果“原因”是导线移动，则感应电流激发的磁场总是使导线所受的安培力反抗导线的移动；如果“原因”是导线框转动，则感应电流激发的磁场总是使导线框所受的安培力矩反抗导线框的转动。 四。磁流体发电
火力发电是通过燃料燃烧把化学能转变为热能，热能在汽轮机中转换为机械能，再带动发电机，将机械能转变为电能，即是说火力发电要经过化学能→热能→机械能→电能四种能量形态的转换，能量损失很大。能不能将热能直接转变为电能，减少转换为机械能的这一过程呢?磁流体发电就是一种将热能直接转换成电能的新型发电方式。
磁流体发电装置一般是由燃烧室、磁极和发电通道三部分组成，如图8.7示。在燃烧室中
利用燃料燃烧的热能将气体离解变成高温等离子体，温度可高达3000℃，为了加速等离子体的形成，常加进一定量容易离解的物质(如钾盐等)作为“种子”。然后将高温等离子体经喷管以约1000米／秒的速度喷入发电通道。发电通道两侧有由电磁铁产生的强磁场(如图所示)，其上、下两面安有电极。高速高温的等离子体通过通道时，切割磁力线，在两电极间有感应电动势产生，若有一电路与两电极连接，则电路中将有感应电流产生，从而实现了将热能直接转变为电能。较之火力发电，磁流体发电大大提高了热能的利用率。磁流体发电是一门综合性很强的技术。产生强磁场的磁体是重要的部件之一，要求在1m 的电磁铁空气隙产生5特斯拉以上的均匀强磁场，因此必须用超导激磁线圈，导线中的电流密度可达6×5
10Ａ／
2cm 。目前，磁流体发电机制造的主要问题是因高温、碱腐蚀、化学烧蚀等造成的发电通道效率低，使发
电机不能长时运行。
例1．一矩形导线框与一长直载流导线共面，且该
线框以恒速率v 向右运动（如图所示），若线框的
电阻为Ｒ，当导线通有电流
t I I ?cos 0=。求线
框中的感应电流大小及方向。
解：x b
x t I a Badr ds B s d B b x x m +===?=Φ?????+ln
cos 2cos 00?πμθ
]
cos )(ln sin [200t b x x bv x b x t aI dt d m ???πμ+++=Φ-∈=
例2．如图，一半径2r 、电荷线密度为λ的带电环，里边有一半径为1r 、总电阻为R 的导体环，两环共面
同心，且12r r >>，当大环以变角速度ω＝ω(t)绕垂直于环面的中心轴旋转时
求小环中的感应电流，其方向如何?
解：旋转的大圆环相当于一个大圆电流，该圆电流的电流强度为
)(21
2202t r I λωμωπλπ==
在圆心o 处的B 为
)(21
202
00t r I
B λωμμ=
=
B
在小环所围面上的磁通量为
)
(21
210021t r B r m ωπμπ==Φ
由法拉第电磁感应定律：
dt d r dt d m i ωλπμ2
1021-=Φ-=∈ 感应电流：
dt d r R I ωπλμ2
1021-=
第 33 次课 日期 周次 星期 学时：2
内容提要：
§9.2 动生电动势
一．由于导体回路的面积发生变化而产生的感应电动势 二．引起动生电动势的非静电力是洛仑兹力
三．动生电势的一般表达式：动生电势的一般表达式；动生电动势的两种计算方法。 四．导线框在匀强磁场中转动时产生的动生电动势。 目的要求：
理解动生电动势，并能计算简单情况下运动导体上的动生电动势。 重点与难点:
1．引起动生电动势的非静电力是洛仑兹力； 2．动生电动势的两种计算方法。 教学思路及实施方案： 本次课应强调：
1. 引起动生电动势的非静电力是洛仑兹力
2. 对于一段导线产生的动生电动势用两种计算方法时要注意：用法拉第电磁感应定律计算时必须接成闭合回路，而且新接入的部分不能产生电动势。用动生电动势的公式计算较为方便，还可以知道是那一段导线在产生电动势 教学内容：
§9.2 动生电动势
一．由于导体回路的面积发生变化而产生的感应电动势
)(0x x Bl m +=Φ；
Bvl dt d m
i =Φ=
∈
二．引起动生电动势的非静电力是洛仑兹力
当导体相对磁场运动时，导体内的电荷相对磁场也有定向的宏观运动，运动电荷在磁场中将受到磁场力
的作用，此力即称为洛仑兹力。
如上图所示，导线ab 以速度υ向右平移，它里面的电子也随之向右运动，运动的电子要受到洛仑兹力，
为
B
v e f m ?=其中e 是电子电量绝对值，且知m f 向下，该力促使自由电子向下运动，形成b 端负电
荷堆积，a 端为正电性，导体ab 内形成由a 指向b 的电场E 。导体内的自由电子将受到电场E 的作用。随着电荷的堆积， E 逐渐增强，直到m e f f =。此时自由电子的宏观定向运动停止，导体ab 两端具有一确
定的电势差，且
a U ＞
b U ，若构成导体回路，有感应电流产生，由a 流出经d
c ，又流回b ，造成b 端的负
电荷减少，相应E 又减弱。由于导线ab 仍以υ向右移动，在
m f 作用下，被削弱的E 又增强至两力平衡。
使导体ab 两端保持一定的电势差。由以上分析不难看出：相对磁场运动的导体相当于一个电源，m f 扮演
了该电源中的非静电力的角色，它搬运负电荷由a 到b 的过程中克服静电力e f 做了功，
该电源的电动势与
m f 做的功有关。由于此电动势存在于相对磁场运动的导体上，故称之为动生电动势，简称动生电势。在
该电源内单位运动正电荷所受的非静电力为
B
v e f E m k
?=-=
三．动生电势的一般表达式
1．动生电势的一般表达式
由电源电动势的定义知，运动导线上的动生电势可表示为
l
d B v ??∈=?)(
上式中的积分是遍及运动导线的。可以证明：上式所表达的动生电势与用法拉第感应定律表示的动生电动势是相同的。
由此可知，下面三种情况的动生电动势为零： （1）导线不动，0=v ； （2）v 与B 平行，01=θ；
（3）0
290=θ；这三种情况均不切割磁力线。
2．动生电动势的计算
动生电动势可用以下两种方法计算。
(1)l
d B v
??∈=?)(
一般说来，在运动导线上各点的ｖ及Ｂ都可能不相同，不一定能提出积分号外,需首先求出该导线任一元段d l 上的d ∈，再对所有元段的d ∈求和。
(2)用法拉第感应定律计算：
??-=Φ-
=∈s
m i ds B dt d
dt d cos 。
这时有两种可能：第一种是运动导线构成了闭合曲线，根据运动情况及磁场分布情况，求出穿过闭合曲线的磁通m Φ
与时间ｔ的函数关系。第二种是一段不闭合的运动导线ab ，可假想一条曲线与该运动导线ab 构成闭合曲线，由此求出闭合曲线的动生电动势∈。注意这个∈是对整个闭合曲线而言的，因此要求运动导线ab 上的动生电势，还必须从总回路的动生电动势∈中去掉假想曲线上的动生电动势。由此可知假想曲线应是静止的或曲线上的动生电动势易求的情况。
例1．在与均匀恒定磁场Ｂ垂直的平面内有一长为Ｌ的直导线ａｂ，设导线绕ａ点以匀角速ω转动，转轴与Ｂ平行（如图所示），求ａｂ上动生电动势。
解法1：因为导线作旋转运动，知导线上各点处的线速度ｖ不相同，故要用微积分方法处理。在导线_
ab 上任取一小段dx ，其上所产生的电动势为
用l
d B v
??∈=?)(求解。xdx B x d B v d ω=??∈=
所以 2
021
L B xdx B d L ab ωω??==∈∈=
解法2：用法拉第电磁感应定律求解。
设_
ab 在dt 时间内转过了θd 角，则它在该时间内扫过的面积为ds ，则有
θd L ds 221=
在dt 时间内θ
d BL Bds d m 2
21=
=Φ
由法拉第电磁感应定律 2
22121L B dt d BL dt d m i ωθ==Φ-=∈
四．导线框在匀强磁场中转动时产生的动生电动势
θ
cos Bs m =Φ
t t NBs dt d NBs dt d N
i ???θ
θsin )sin(sin 0=∈==Φ-=∈， 其中?NBs =∈0
t I I ?sin 0=，其中，
R NBs R I ?=∈=00 导线框在匀强磁场中转动时产生动生电动势是交流发电机的工作原理。
第 34 次课 日期 周次 星期 学时：2
内容提要：
§9.3 感生电动势
一．产生感应电动势的非静电场力是涡旋电场力
产生感应电动势的非静电场力是涡旋电场力; 涡旋电场和静电场的比较; 涡旋电场的计算 二。涡电流、趋肤效应 三．自感应现象
自感应现象;自感系数; 自感系数的求法. 四．耦合电路的互感应现象
互感应现象; 互感系数; 互感系数的求法 五．磁场的能量 目的要求：
1.了解涡旋电场及性质，理解感生电动势；
2.理解自感系数和互感系数；
3.理解磁场的能量。 重点与难点:
1. 1. 涡旋电场的概念及在特殊情况下对w E 的计算；
2. 2. 自感系数和互感系数的计算。
教学思路及实施方案： 本次课应强调：
1. 1. 产生感应电动势的非静电场力是涡旋电场力，涡旋电场和静电场的比较：
静电场 涡旋电场
相同： E q F =
不同：（1）
?=?0
l d E j
；
s
d t B l d E w
???-=????
（2）
??
∑=?0
εq
s d E j
；
??
=?0s d E w
??∑=?i j q s d D ； ??=?0
s d D w
对导体有静电感应； 对导体有电磁感应。
2.讲清楚麦克斯韦第一基本假定：变化的磁场能够产生变化的电场。
3.求自感系数的一般方法；
（1）（1）设线圈中有电流I ；
（2）（2）求I 在线圈中产生的磁场B
；
（3）（3）由B 求得在线圈中产生的磁通链m N Φ=ψ； 由定义求
I L ψ=
，L 一定与I 无关。 教学内容：
§9.3 感生电动势
一． 一． 产生感应电动势的非静电场力是涡旋电场力 1．产生感应电动势的非静电场力是涡旋电场力
实验表明：时变磁场在导体上所产生的感应电动势与导体的种类、性质无关，这说明它是由时变的磁场引起的，又常称为感生电动势。麦克斯韦敏锐地注意到这些现象，并意识到在时变磁场周围也会激发一种电场，正是这个电场作用在导体上从而产生了感生电动势。时变磁场所激发的电场，又称为感生电场或涡旋电场。
麦克斯韦第一基本假定：变化的磁场能够产生变化的电场。
s
d dt
B d s d B dt d dt d l d E s m w i
?-=?-=Φ-=?=∈????? 2．涡旋电场和静电场的比较：
静电场 涡旋电场
相同： E q F
=
不同：（1）
?=?0
l d E j
；
s
d t B l d E w
???-=????
（2）
??∑=
?0
εq
s d E j
；
??=?0
s d E w
??∑=?i j q s d D ；
??=?0
s d D w
对导体有静电感应； 对导体有电磁感应。 3． 3．
涡旋电场的计算一般比较复杂，只在特殊的情况下可用
s
d t B l d E w
???-=????计算。
例1． 例1． 在半径为R 的圆柱形体积
内，充满磁感应强度为B
的均匀
磁场。有一长为l 的金属棒放在 磁场中，如图所示。若已经知道
dt dB
，求棒两端的感应电动势。 解：方法一：取如图所示的oab ?
因为
2
2__)2(2121l
R l B oc ab B s d B m -=?=?=Φ?? 所以
4222
l R l dt dB dt d m i -
-=Φ-=∈ 方法二：s d t
B l d E l s
???=????
即 2
2r t B rE ππ??-
= 所以
t B r E ??=
2
dx
E x d E b a
w b a
w i θcos ??=?=∈
又因为
41cos 22
l R r -
=θ 所以
4222
l R l dt dB i -
-=∈ 二．涡电流、趋肤效应
当块状的金属存在于时变磁场中或相对磁场运动时，由于感应电动势的存在，在金属块内部会产生感应电流。这些感应电流的电流线呈闭合的涡旋状，故又称为涡电流。由于大块金属的电阻很小，因此涡电流可达非常大。强大的涡流在金属内流动时，会释放出大量的焦耳热。工业上利用这种热效应，制成高频感应电炉冶炼金属，这种加热和冶炼方法的独特优点是无接触加热，可以使金属不受玷污，不致在高温下氧化，且加热效率高，速度快，已广泛应用于冶炼特种钢、难熔或活泼性特强的金属，以及提炼半导体材料等工艺中。涡电流除了热效应外，它所产生的机械效应在实际中也得到广泛应用，如电磁阻尼，它依据的是感应电流总是反抗引起感应电流的原因。在许多电磁仪表中，采用电磁阻尼使测量指针迅速停下来。电气火车中使用的电磁制动、感应式异步电动机运转等也是根据同样的原理制成的。
涡电流产生的热在某些问题中非常有害，如电机和变压器中的铁芯，在线圈通以交变电流时，铁芯中将产生很大的涡流，既造成能量的损耗，且发热量还可能大到烧毁设备。为了减小涡流及其损失，通常采用叠合起来且彼此绝缘的硅钢片代替整块铁芯，并使硅钢片平面与磁感线平行，这样把涡流限制在各薄硅钢片内，使涡流大为减小。
趋肤效应在工业技术中也得到有利的利用，如金属工件的表面淬火。用高频强电流通过待处理的金属工件，由于趋肤效应，它的表面首先被加热，迅速达到可淬火的温度，而内部温度较低。经淬火处理，可使工件表面硬而内部仍保持原来的韧性，达到提高耐磨损性能的表面强化目的。 三．自感应现象 1．自感应现象
在直流电路中，电源电动势和电流都不随时间变化，对电路唯一需要考虑的参量是组成这个电路的各个元件的电阻。当电源电动势和电流随时间变化了，这时必须考虑新效应，这些新效应一般都是和电磁感应现象联系着的，对电路的各元件必须引出新的参量－电感。
当一电流回路的电流Ｉ随时间变化，通过回路自身的磁通也要发生变化，因而回路自身也要感生一个电动势，这个感生电势叫自感电动势，这个现象叫自感应现象。 2．自感系数
由安培环路定理知，回路中的电流所激发的磁感应强度与电流强度成正比，因此穿过此回路的全磁通Ψ与回路中的电流强度Ｉ成正比，可以写为
LI =ψ （L 的静态定义）
式中Ｌ为比例系数，仅取决于回路的几何形状、匝数及回路周围的磁介质，与电流Ｉ无关。Ｌ被称为电路的自感系数，简称自感。由上式知自感Ｌ的单位是韦伯／安（Ｗｂ／Ａ），又被叫作享利（Ｈ）。 由电磁感应定律知，回路中自感电动势为
)()(dt dL
I dt dI L dt LI d dt d L +-=-=-
=∈ψ 其中，
m N Φ=ψ ψ-----磁通链， N ---线圈匝数。
若 0=dt dL ， 则
dt dI L
L -=∈ （L 的动态定义） 3． 3． 自感系数的求法：
（1） （1） 设线圈中有电流I ；
（2） （2） 求I 在线圈中产生的磁场B
；
（3） （3） 由B 求得在线圈中产生的磁通链
m N Φ=ψ；
（4） （4） 由定义求
I L ψ=
，L 一定与I 无关。 自感现象在电子无线电技术中应用广泛。利用线圈具有阻碍电流变化的特性，可以稳定回路中的电流；
可用它与电容器的组合构成谐振电路或滤波器等。自感现象在某些情况下也是有害的，如猛拉电闸时，由于电流变化快，电路中将产生很大的自感电动势，引起强的感应电流，使线圈绝缘被烧环，或在电闸断开的隙缝处产生强烈的电弧，烧坏电闸开关，象这类似情况应想法避免。
例2．设有一单层密绕螺线管，长为cm l 50=，截面积为210cm s =，绕组的总匝数为Ｎ＝3×3
10，试求其自感系数。
解：由题给的管长和管半径比较，该螺线管内的磁场可近似看为是均匀磁场。当螺线管通有电流为Ｉ时，管内的磁感应强度为
nI B 0μ=，
VI n r nI nl NBs N m 2
020μπμψ===Φ=
V
n I L 20μψ
==
式中的ｎ是单位长度的匝数。
由此可以看出螺线管自感系数L 正比于它的体积、单位长度上匝数的平方以及磁导率。由本题给的数值
可算得该螺线管的自感为23=L ｍＨ 四．耦合电路的互感应现象 1．互感应现象
当导体回路（1）中的电流1I 改变时，它周围的磁场随之变化，穿过导体回路（2）的磁通也随之变化，在回路（2）上将产生感生电动势，这种现象叫互感应现象，这种电动势叫互感电动势。反之亦然。这样的电路称为耦合电路。 2．互感系数
设穿过导体回路（2）的磁通2Φ是正比于电流Ｉ 1212I M =Φ ，
上式中的21M 是一比例系数，被称作是载流回路（1）对回路（2）的互感系数，简称互感。 同理， 2121I M =Φ
上式中的12M 也是一比例系数，是载流回路（2）对回路（1）的互感系数。
当两回路的几何形状、相对位置、它们各自的匝数以及它们周围磁介质分布一定时，可以证明有 M M M ==2112
Ｍ就叫作这两个导体回路的互感系数，简称它们的互感。 互感Ｍ的单位与自感L 的单位是相同的，也是享利（Ｈ）。在回路（2）中产生的互感电动势为
dt dI M
1
2-=∈
同理，在回路(1)中产生的互感电动势为
dt dI M
2
1-=∈
由上两式可以推断，当两回路中各有时变电流流动时，两个电路间借助于电磁场会有能量交换，这个过程的常见实际应用是变压器、互感式传感器、电涡流式传感器和感应发电机等。广义的互感应的另一个应用，是在一个叫作发射机的电路中产生一个可变的电流，把信号从一个地方传递到另一个地方。这个信号又作用在和它耦合的另一个电路（叫作接收机）上。这种方法用于电报、无线电、电视、雷达等中。 互感系数的求法：
互感系数的求法与自感系数的求法类似
（1）设线圈1中有电流1I ；
（2）求1I 在线圈2中产生的磁场2B
；
（3）由2B
求得在线圈中产生的磁通链222
m N Φ=ψ； （4）由定义求得
12
21I M ψ=
，21M 一定与1I 无关。
五．磁场的能量
1．一个载流为Ｉ、自感为Ｌ的线圈中所储存的磁场能量
电场能够储存能量。同样，能量也可以储存在磁场中。在磁场中移动载流导体，磁场要做功，即要消耗磁场的能量。电流在其周围空间激发磁场，因此电流建立的过程就是磁场建立的过程，也就是磁场能量增长的过程。以下以一个载流为Ｉ、自感为Ｌ的线圈为例讨论该线圈中所储存的磁场能量。
设初始时线圈未通电，将其与外电源接通构成回路。线圈内的电流由零开始增长，由于自感现象存在，电流增长需一个过程，在该过程中外电源要克服自感电动势做功。
设在电流增长建立过程的ｔ到ｔ＋ｄｔ时间间隔中，线圈内的电流由ｉ变化为ｉ＋ｄｉ，此时线圈上的自感电动势为：
∈＝－Ｌdt di
因此，在ｄｔ时间内外电源克服自感电动势所作的功ｄＡ为
dA ＝－∈idi ＝Lidi
过程，因此外电源克服自感电动势所做的功就是相应磁场能的增量，即 Lidi dA dw B ==
因此，当线圈的电流由0增加至Ｉ，相应地线圈所储的磁场能量为
221LI w B =
当断开外电源，且让线圈放电，上式所表示的储存在线圈中的磁能又将全部释放出来。严格地说，上式给出的是自感为Ｌ，载流为Ｉ的线圈所储的自感磁能。
上式给出的一个载流线圈所储的磁能，在公式的表达方式上与带电电容器所储的电场能形式极为相似。
若有多个线圈相邻(即耦合线圈)，载流后，其所储的磁能不仅有各个载流线圈单独存在时所储的磁能，还有与相互耦合有关的互感磁能， 2．磁场的能量、电磁场的能量
磁场是存在于载流线圈包围的空间，以载流长直螺线管为例，由上式导出用磁场场量所表达的磁场能量形式。
设螺线管长为ｌ，管截面积为Ｓ，单位长度匝数为ｎ，管内填充磁导率为μ的磁介质，则由上式知
BHV V nI nI I V n LI W B 21
))((21)(2121222====μμ
螺线管单位体积内所具有的磁能，即磁能体密度为 BH w B 21=
上式表示磁场中某点处单位体积内的磁能等于该点
磁感应强度的平方的1/2，再除以磁介质的磁导率。 它虽然是由载流长直螺线管的形式推出，但却具有 普适性，也就是说对于一切磁场，磁能密度都具有 上式的形式。
当研究的区域既有磁场，又有电场，那么电磁 场的能量密度w 为
BH DE w w w B e 2121+=
+=
上式对于一切电磁场适用，尤其是对于时变电磁场， 电、磁场相互激励产生，总是在场所存在的空间内 共存，因此在场中每一点处单位体积内储存的电磁 能由上式给出。
例3．一环式螺线管，共N 匝，截面积为长方 形，其尺寸如图所示。求证此螺线管的自感系数。
a b
h N L ln
220πμ= 试用能量方法证明这一结果。
解：方法一：设通入电流I ，由安培环路定理
∑∑?=?=?=?r NI
B I rB I l d B πμμπμ22000
a b
NIh Bhdr s d B b a m ln
20???==?=Φπμ
a b h N I N L m ln
220πμ=Φ= 方法二：用能量方法
dV
H wdV W 2021
μ????==
因为
r NI H π2=
， rdr h dV π2= 2
22021ln 4LI
a b h I N W ==πμ
所以
a b h N L ln
22
0πμ=
第 35 次课 日期 周次 星期 学时：2
内容提要：
§9.4 麦克斯韦电磁场方程组 一．电磁场实验定律的总结和推广
静电场和稳恒磁场实验定律的总结；电磁场实验定律的总结；电磁场实验定律的推广 二．位移电流、时变电场激发磁场
问题的提出；位移电流的概念；推广的安培环路定理； 三．麦克斯韦电磁场方程组 四．平面电磁波的性质
五．电磁场的能量密度ω和能流密度S 。 六．电磁波谱 目的要求：
了解位移电流概念及麦克斯韦方程组（积分形式）的物理意义，了解电磁波的基本性质。 重点与难点:
1．位移电流的概念；
2．麦克斯韦电磁场方程组及其物理意义； 3．平面电磁波的性质。 教学思路及实施方案： 本次课应强调：
1. 只要承认麦克斯韦的第二基本假定，就有位移电流的概念。
2. 麦克斯韦电磁场方程组加上描述物质性质的三个方程原则上能够解决宏观电磁场的全部问题。 3．麦克斯韦电磁场方程组物理意义是；
??∑=?0
q s d D
， 电场是有源场。
??????-=?s
d t B l d E
， 变化的磁场能够产生变化的电场。
??=?0
s d B ， 磁力线闭合（无磁单极存在）。
?
??∑???+=?s d t D I l d H
0 ， 变化的电场能够产生变化的磁场。
4．只要承认麦克斯韦的两个基本假定，电磁波的存在就是必然的。麦克斯韦电磁场理论的巨大成功是
预言了电磁波的存在。
5．电磁波具有如下特性：
(1) (1) 电磁波是横波。E 和H 的振动方向相互垂直，并均与传播方向垂直。
(2) (2) E 和H 在各自的平面内振动，且相互垂直，并均与传播方向垂直。这一特性又常称为偏振性。 (3) (3) E 和H 同相变化。对于平面电磁波，E 和H 都随时间作正弦或余弦的变化，两者的相位是相同的。 (4) (4) 由电磁场理论可以证明，对于空间同一点， E 和H 的瞬时值满足
H
E με=
(5) (5) 电磁波以有限速度传播。电磁波的传播速度v 决定于传播媒质的介电和导磁特性为
v ＝１／
εμ
在真空中8
001031
?==
μ
εc m/s 。据此，麦克斯韦预言了电磁波的存在。
教学内容：
§9.4 麦克斯韦电磁场方程组
一．电磁场实验定律的总结和推广 1．静电场和稳恒磁场实验定律的总结
基本实验规律 真空方程 性质
静电场 r r q q F 32141πε= ??=?0
)1(εq s d E （1） 力线不闭合（有源场）
?=?0
)1(l d E （2） 保守场
稳恒磁场 34r r l Id B d ?=
πμ ??=?0)1(s d B （3） 力线闭合（无源场）
?=?0
0)1(I l d B μ
（4） 涡旋电场
2．电磁场实验定律的总结
??????-=?s
d t B l d E
)2( （5） 3． 3． 电磁场实验定律的推广
设)
2()1(E E E +=， 则（2）、（5）为
??????-=?s
d t B l d E
（1）、（3）可直接推广，仅（4）需修改。为此麦克斯韦提出：麦克斯韦第二基本假定：变化的电场能够产生变化的磁场。在此基础上麦克斯韦提出了位移电流的概念。 二．位移电流、时变电场激发磁场 1．问题的提出
考虑一包含平行板电容器的电路，分析电容器充电过程中电流的连续性和安培环路定理的适用性。闭合电键ｋ，导线中有电流ｉ，该电流在电容器极板处中断；电容器充电，极板上电量增加。选取一环路Ｌ，以Ｌ为共同边界作两个曲面1s 和2s 。载流导线穿过曲面1s ，未穿过曲面2s ，但2s 通过两极板之间。对环路Ｌ运用安培环路定理，对1s 和2s 得到两种不同结论：
1s ：
?=?i
l d H 2s ：
?=?0
l d H
注意此处的电流ｉ是非稳恒的传导电流。正由于非稳恒传导电流在电容器处的中断、不连续，造成了对同一环路运用安培环路定理得出不同结果，它说明原安培环路定理不适用于非稳恒传导电流情形。 2．位移电流的概念
位移电流强度（通过某一截面的电位移通量随时间的变化率）：?????=Φ=s
d t
D dt d I d d
如果将
d I 也看作是“电流”的话，则非稳恒传导电流的不连续性和安培环路定理不能适用于非稳恒传导电
流的两个问题均可解决。麦克斯韦将穿过曲面2s 的电位移通量d Φ
对时间的变化率叫做“位移电流”。由
此可知位移电流的实质是时变电场。这样，就将电流的概念扩大了，它既包括了电荷宏观定向运动所引起的传导电流0I
，还包括了时变电场的位移电流，这种电流概念，又称为“全电流”概念。 麦克斯韦假定：全电流 == 传导电流 + 位移电流 3．推广的安培环路定理
安培环路定理在全电流概念下应为
??????+=+=?s
d t D I I I l d H d
00
上式对稳恒和非稳恒情况均适应，只不过在稳恒时，dt
d d Φ等于零。
上式说明了时变电场在其周围空间也要激发磁场，这已经为无数实验事实直接或间接地证明了。将全电流概念运用在前边讨论的含充电电容器的电路中，可以看出在极板间中断的传导电流，由位移电流连续地接上了。因此，在任何情况下全电流总是连续的。
以上是利用电荷守恒定律将适用于稳恒电流的安培环路定理推广至包括非稳恒的情况。实际上利用电、磁场相对性，可以证明上式是正确的。 三．麦克斯韦电磁场方程组
描述电磁场规律的麦克斯韦方程组（积分形式）：
??∑=?0
q s d D
， 电场是有源场。
??????-=?s
d t B l d E ， 变化的磁场能够产生变化的电场。
??=?0
s d B ， 磁力线闭合（无磁单极存在）。
?
??∑???+=?s d t D I l d H
0 ， 变化的电场能够产生变化的磁场。 麦克斯韦电磁场方程组再加上描述物质性质的方程：
E D
ε=， H B μ=，E γδ= 其中，δ ---电流密度，
ργ1
=---电导率。 原则上可解决宏观电磁场的全部问题。
麦克斯韦方程组所给出的电磁场相互激发、相互作用关系，是物理学的最伟大成就之一，是构成电磁场理论的基本框架，也是现代科学技术发展所依据的基础理论之一。然而，以上所列的麦克斯韦方程有其局限性，它虽然卓有成效地应用于诸如辐射天线、电路、甚至电离的原子或分子束等大的宏观电荷系间的电磁相互作用，但对于基本粒子（尤其是在高能量下）之间的电磁相互作用，还必须根据量子力学规律，用一种称为量子电动力学的方法给以处理。因此，以麦克斯韦方程组为基础的电磁场理论又叫经典电动力学。
四．平面电磁波的性质
1865年麦克斯韦由电磁场理论揭示了时变的电场和磁扬在空间中相互激励产生，并以有限的速度由近及远地传播，从而预言了电磁波的存在。该有限的传播速度(波速)在真空中为
8
001031
?==
μ
εc m/s
这个速度是光在真空中的传播速度，因此他还预言了光是一种电磁波。经过23年以后，1888年德国物理学家赫兹第一次用振荡偶极子实验直接证实了电磁波的存在，测定了电磁波在真空中的传播速度等于光速c ，并研究了电磁波的许多特性。 电磁波具有如下特性：
（1） （1） 电磁波是横波。E 和H 的振动方向相互垂直，并均与传播方向垂直。
（2） （2） E 和H 在各自的平面内振动，且相互垂直，并均与传播方向垂直。这一特性又常称为偏
振性。
（3） （3） E 和H 同相变化。对于平面电磁波，E 和H 都随时间作正弦或余弦的变化，两者的相位
是相同的。
（4） （4） 由电磁场理论可以证明，对于空间同一点， E 和H 的瞬时值满足
H
E με=
（5） （5） 电磁波以有限速度传播。电磁波的传播速度v 决定于传播媒质的介电和导磁特性为
v ＝１／
εμ
在真空中8
001031
?==
μ
εc m/s 。据此，麦克斯韦预言了电磁波的存在。
五．电磁场的能量密度w 和能流密度S 电场和磁场的能量密度分别为
DE w e 21=
， BH w B 21=
以上两式对时变电磁场仍然适用。
2
221
21H E w w w B e με+=+=， v ＝１／εμ，H E με=
可得 EH wv S ==H E S ?=?。S
-----乌莫夫—玻印廷矢量。单位时间内沿电磁波传播方向垂
直通过单位面积辐射的电磁场能量。Ｓ亦即辐射强度或电磁波的能流密度。 六．电磁波谱
按电磁波波长的长度或频率高低的顺序将其排列成谱，称为电磁波谱。 处于微波和可见光之间的电磁波，称为“红外线”。生产中常用红外线的热效应来烘烤物体。红外线虽然看不见，但可以通过特制(氯化钠或锗等材料做成)的透镜或棱镜成象或色散，使特制的底片感光，或通过图象变换器转变为可见象，进行红外照相，或制成夜视仪在夜间观察物体。由于物质的分子结构和化学成分与它所能吸收或辐射的红外线的波谱存在密切关系，因此可根据物质的红外光谱来分析物质的组成和分子结构。
波长比可见光的最短波长(紫光)还短的电磁波，称为紫外线，它也不引起视觉，具有较强的杀菌本领，具有显著的化学效应和荧光效应。 波长比紫外线更短的是X 射线，可用高速电子轰击金属靶得到，它是由原子中的内壳层电子跃迁发射的。X 射线穿透物质的能力很强，可以利用它检查人体内的病变和检查金属工件内部的缺陷。又由于X 射线的波长与晶体内原子间距的线度相近，因此常利用它分析晶体的结构。
波长比X 射线更短的是γ射线，它来自宇宙射线或从某些放射性元素衰变过程中自发发射出来的，研究γ射线可以帮助了解原子核的结构。γ射线具有比X 射线更强的穿透能力。
第九章 电磁场与电磁波 一、选择题 91001 一个匀速直线运动的负电荷，能在周围空间产生： A.静电场，静磁场； B.库仑场，运动电荷的磁场； C.库仑场，运动电荷的磁场，感应电场； D.库仑场，运动电荷的磁场，感应电场、感应磁场。 91002 一平行板电容器的两极板是半径为5.0cm 的圆导体片，在充电时，其中电场强度的变化率为2.0×1012V/m·s。则两极板间的位移电流I D 为 ： A.2.0×1012V/m·s； B.17.7A/m 2； D.1.4×10-2A ； D.1.4×10-1A 。 91003 一平行板电容器的两极板都是半径为5.0cm 的圆导体片，在充电时，其中电场强度的变化率为1.0×1012V/m·s。则极板边缘的磁感应强度为 A.2.8×10-7T ； B.4.0×106T ； C.3.54×10-5T ； D.0。 91004半径为R 的圆形平行板电容器接在角频率为ω的简谐交流电路中，极板上电荷q=q 0sin(ωt+φ)则电容器极板间的位移电流I D 为(忽略边缘效应)： A.20R q πsin(ωt+φ)； B.2 0R q πωcos(ωt+φ)； C.q O ωcos(ωt+φ)； D.200R q πωεcos(ωt+φ) 91005 半径为R 的圆形平行板电容器接在角频率为ω的简谐交流电路中，电路中的传导电流为i=I 0sin(ωt+φ)则电容器极板间的位移电流密度为： A.I 0ωcos(ωt+φ)； B.I 0ω0εcos(ωt+φ)； C.20R I πcos(ωt+φ)； D.2 0R I πsin(ωt+φ)。 91006 半径为R 的圆形平行板电容器接在角频率为ω的简谐交流电路中，电路中的传导电流i=I 0sin(ωt+φ)。则电容器极板间磁场强度的分布为： A.()r t π?ω2sin I 0+； B. ()202sin I R t r π?ω+； C.()2002sin I R t r π?ωμ+； D.()r t π?ωμ2sin I 00+。 91007 由两个圆形金属板组成的平行板电容器，其极板面积为A ，将该电容器接于一交流电源时，极板上的电荷随时间变化，即q=q m sin ωt ，则电容器内的位移电流密度为 A.q m ωcos ωt ； B.A q m ωcos ωt ；
第十章 电磁感应 思 考 题 10-1 一个导体圆线圈在均匀磁场中运动，在下列几种情况下，那些会产生感应电流？为什么？(1)线圈沿磁场方向平移；(2)线圈沿垂直方向平移；(3)线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向平行；(4)线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向垂直。 答：(1)当线圈沿磁场方向平移和沿垂直方向平移时，磁感应强度和面积矢量方向相同，且大小不变，所以，磁通量也保持不变。由法拉第电磁感应定律d /d Φt e =-可知，线圈中感应电动势为零，因而线圈中也就没有感应电流。(2) 在线圈以自身的直径为轴（轴与磁场方向平行）转动过程中，磁感应强度和面积矢量方向保持垂直，磁通量为零，因此，线圈中也没有感应电流。(3) 在线圈以自身的直径为轴（轴与磁场方向垂直）转动过程时，由于磁通量为cos BS q ，其中q 是磁感应强度和面积法向矢量方向的夹角，它随时间的变化而变化。所以，磁通量发生变化，线圈中会产生感应电动势，也就有感应电流产生。 10-2 灵敏电流计的线圈处于永磁体的磁场中，通入电流线圈就会发生偏转，切断电流后线圈在回到原来位置前总要来回摆动几次。这时，如果用导线把线圈的两个头短路，摆动就会马上停止，这是为什么？ 答：处于永磁体磁场中的灵敏电流计的通电线圈要受到四个力矩的作用，它们是：（1）磁场对线圈的电磁力矩BSNI g ，其中，B 为磁场的磁感应强度，S 为线圈的截面积，N 为线圈的总匝数，I g 为线圈中通过的电流；（2）线圈转动时张丝扭转而产生的反抗（恢复）力矩－Dθ，其中，D 为张丝的扭转系数，θ为线圈的偏转角；（3）电磁阻尼力矩；（4）空气阻尼力矩。 电磁阻尼力矩产生的原因是因为线圈在磁场中运动时的电磁感应现象。根据电磁感应定律，线圈在磁场中运动时会产生感应电动势。灵敏电流计的内阻R g 和外电路的电阻R 构成一个回路，因而有感应电流i 流过线圈，这个电流又与磁场相互作用，产生了一个阻止线圈运动的电磁阻尼力矩M 。可以证明，M 与回路的总电阻R g +R 成反比，有 t BNSi M d d θ ρ-=-= 其中，R R S N B g +=2 22ρ，称为阻尼系数。 当用导线把线圈的两个头短路时，外电路的电阻R 减小，阻尼系数增大，电磁阻尼力矩M 增大。设计时使短路后的外阻等于临界阻尼，摆动就会马上停止。 10-3 变压器的铁芯为什么总做成片状的，而且涂上绝缘漆相互隔开？铁片放置的方向应和线圈中磁场的方向有什么关系？ 答：变压器中的铁芯由于处在交变电流的磁场中，因而在铁芯内部要出现涡流，由于金属导体电阻很小，涡流会很大，从而产生大量的焦耳热，使铁芯发热，浪费电能，甚至引起事故。为了较少涡流，将铁芯做成片状，而且涂上绝缘漆相互隔开，可以减小电流的截面，增大电阻，减小涡流，使涡流损耗也随之减小。
一．选择题 [ D ]1.（基础训练3）在一自感线圈中通过的电流I 随时间t 的变化规律如图(a)所示，若以I 的正流向作为 的正方向，则代表线圈内自感电动势 随时间t 变化规律的曲线应为图(b)中(A)、(B)、(C)、(D)中的哪一个？ 【解答】 dt dI L L -=ε， 在每一段都是常量。dt dI [ D ]2. （基础训练5）在圆柱形空间内有一磁感强度为B 的均匀 磁场，如图所示．B 的大小以速率d B /d t 变化．在磁场中有A 、B 两点，其间可放直导线AB 和弯曲的导线AB ，则 (A) 电动势只在导线AB 中产生． (B) 电动势只在AB 导线中产生． (C) 电动势在AB 和AB 中都产生，且两者大小相等． (D) AB 导线中的电动势小于导线中的电动势 【解答】 连接oa 与ob ，ob ab ob oab εεεε++=。因为涡旋电场总是与圆柱截面垂直，所以oa 和ob 上的涡旋电场方向处处垂直于oa 、ob ，即0=?= =? → →l d E ob ob εε oab ob d dB S dt dt φεε==- =- o ab oab d d dt dt ??∴< [ B ]3.（基础训练6）如图12-16所示，直角三角形金属框架abc 放在均匀磁场 中，磁场B 平行于ab 边，bc 的长度为l ．当金属框架绕ab 边以匀角速度ω转动 时，abc 回路中的感应电动势和a 、c 两点间的电势差U a – U c 为 (A) 0ε= 2 2 1l B U U c a ω=- (B) 0ε= 221l B U U c a ω-=- (C)2 B l εω=221l B U U c a ω=- (D) 2B l εω= 221l B U U c a ω-=- 【解答】 ab 边以匀速转动时 0=- =dt d abc φ ε 22 l B l d B v U U U U L c b c a ω-=???? ? ??=-=-?→→→ [ B ]4.（自测提高2）真空中一根无限长直细导线上通电流I ，则距导线垂直距离为a 的空间 t t t t t (b) (a) B a b c l ω图12-16
第十二章 电磁感应 电磁场（一） 一．选择题 [ A ]1.（基础训练1）半径为a 的圆线圈置于磁感强度为B 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，线圈电阻为R ，当把线圈转动使其法向与B 的夹角为α=60?时，线圈中已通过的电量与线圈面积及转动时间的关系是： (A) 与线圈面积成正比，与时间无关. (B) 与线圈面积成正比，与时间成正比. (C) 与线圈面积成反比，与时间无关. (D) 与线圈面积成反比，与时间成正比. 【解析】 [ D ]2.（基础训练3）在一自感线圈中通过的电流I 随时间t 的变化规律如图(a)所示，若以I 的正流向作为的正方向，则代表线圈内自感电动势随时间t 变化规律的曲线应为图(b)中(A)、(B)、(C)、(D)中的哪一个？ 【解析】 dt dI L L -=ε，在每一段都是常量。dt dI ［ B ］3.（基础训练6）如图所示，直角三角形金属框架abc 放在均匀磁场中，磁场B ? 平 行于ab 边，bc 的长度为l ．当金属框架绕ab 边以匀角速度转动时，abc 回路中的感应 电动势和a 、c 两点间的电势差U a – U c 为 (A) =0，U a – U c =221l B ω (B) =0，U a – U c =22 1l B ω- (C) =2l B ω，U a – U c =2 2 1l B ω (D) =2l B ω，U a – U c =22 1 l B ω- 【解析】金属框架绕ab 转动时，回路中 0d d =Φ t ，所以0=ε。 2012c L a c b c bc b U U U U v B d l lBdl Bl εωω→→→ ??-=-=-=-??=-=- ??? ?? ［ C ］5.（自测提高1）在一通有电流I 的无限长直导线所在平面内，有一半经 为r ，电阻为R 的导线环，环中心距直导线为a ，如图所示，且r a >>。当直导线的电流被切断后，沿着导线环流过的电量约为： (A))1 1(220r a a R Ir +-πμ (B) a r a R Ir +ln 20πμ (C)aR Ir 220μ (D) rR Ia 220μ 【解析】直导线切断电流的过程中，在导线环中有感应电动势大小：t d d Φ = ε B ? a b c l ω a I r o R q 2 1 φφ-=
电磁场和电磁波 电磁场,有内在联系、相互依存的电场和磁场的统一体和总称。随时间变化的电场产生磁场，随时间变化的磁场产生电场，两者互为因果，形成电磁场。电磁场可由变速运动的带电粒子引起，也可由强弱变化的电流引起，不论原因如何，电磁场总是以光速向四周传播，形成电磁波。电磁场是电磁作用的媒递物，具有能量和动量，是物质存在的一种形式。电磁场的性质、特征及其运动变化规律由麦克斯韦方程组确定。 电磁波是电磁场的一种运动形态。在高频电磁振荡的情况下，部分能量以辐射方式从空间传播出去所形成的电波与磁波的总称叫做“电磁波”。在低频的电振荡中，磁电之间的相互变化比较缓慢，其能量几乎全部反回原电路而没有能量辐射出去。然而，在高频率的电振荡中，磁电互变甚快，能量不可能全部反回原振荡电路，于是电能、磁能随着电场与磁场的周期变化以电磁波的形式向空间传播出去。 电磁场和电磁波是物理中的两个基础概念，电磁场和电磁波有什么区别了？ 电磁场 一般来说电磁场就是指彼此相联系的交变电场和磁场。电磁场是由带电粒子的运动而产生出的一种物理场，在电磁场里，磁场的任何变化都会产生电场，电场的任何变化也会产生磁场。这种交变电磁场不仅可以存在于电荷、电流或导体的周围，而且能够在空间传播。
电磁场可以被视为一种电场和磁场的连结。电场是由电荷产生的，而移动的电荷又会产生出磁场。 电磁波是什么了 电磁场的传播就构成了电磁波。又被称为电磁辐射，比如我们常见的电磁波有无线电波、微波、红外线、可见光、紫外线、X 射线、r射线，这些全都是电磁波，只是这些电磁波的波长不同而已。其中无线电波的波长是电磁波中最长的，r射线的电磁波的波长最短。 直得一提的是，人眼可以接收到的电磁波的波长一般是在380至780nm之间，也就是我们常说的可见光。一般来说，只要物体本身的温度大于绝对零度（也就是零下273.15摄氏度）,除了暗物质外，都会向外发射电磁波，而世界上并没有温度低于零下273.15摄氏度的物体，所以我们身边的物体可以说者会放出电磁波。电磁波的传播速度是以光速传播。 电磁波是谁最先发现了了，历史上电磁波首先是由詹姆斯·麦克斯韦于1865年预测出来的，后来又由德国物理学家海因里希·赫兹于1887年至1888年间在实验中证实了电磁波的存在。
《电磁场与电磁波》答案(4) 一、判断题（每题2分，共20分） 说明：请在题右侧的括号中作出标记，正确打√，错误打× 1.在静电场中介质的极化强度完全是由外场的强度决定的。 2.电介质在静电场中发生极化后，在介质的表面必定会出现束缚电荷。 3.两列频率和传播方向相同、振动方向彼此垂直的直线极化波，合成后 的波也必为直线极化波。 4.在所有各向同性的电介质中，静电场的电位满足泊松方程2ρ?ε?=-。 5.在静电场中导体内电场强度总是为零，而在恒定电场中一般导体内的电场强度不为零，只有理想导体内的电场强度为零。 6.理想媒质和损耗媒质中的均匀平面波都是TEM 波。 7.对于静电场问题，保持场域内电荷分布不变而任意改变场域外的电荷分布，不会导致场域内的电场的改变。 8.位移电流是一种假设，因此它不能象真实电流一样产生磁效应。 9.静电场中所有导体都是等位体，恒定电场中一般导体不是等位体。 10.在恒定磁场中，磁介质的磁化强度总是与磁场强度方向一致。 二、选择题（每题2分，共20分） （请将你选择的标号填入题后的括号中） 1. 判断下列矢量哪一个可能是静电场（ A ）。 A ．369x y z E xe ye ze =++ B ．369x y z E ye ze ze =++ C ．369x y z E ze xe ye =++ D ．369x y z E xye yze zxe =++ 2. 磁感应强度为(32)x y z B axe y z e ze =+-+ , 试确定常数a 的值。（ B ） A ．0 B ．-4 C ．-2 D ．-5 [ ×]1 [ √]2 [ ×]3 [ ×]4 [ √]5 [ √]6 [ ×]7 [ ×]8 [ √]9 [ ×]10
第九章 电磁场对电荷的作用力 上一章我们由电力引入电场。本章通过讨论运动电荷之间的作用力进一步引进磁场，并给出计算稳恒电流所激发的磁场的公式。电场和磁场分别描写了电磁相互作用的两个方面。电场和磁场都不是洛伦兹矢量，洛伦兹力同样也不是洛伦兹矢量。在惯性系变换下，他们都没有简单的变换关系。我们将引入四维矢势，它不仅是洛伦兹四维矢量，而且能够完整地描写电磁场的物理性质。我们还提到规范对称性。规范对称性在现代理论物理中占据核心地位。 9.1相对论的力 让我们先回忆狭义相对论关于力的公式。在第一册第二章，我们引进了四维动量P ，它的分量定义为 τ μ μ d dx m p 0= (9.1) 其中0m 为质点的静止质量，τ为固有时。固有时τ和测量P 所在惯性系的时间t 有关系式 τγd v dt )(= （9.2） 质点瞬时速度v 的函数)(v γ定义为 () 2 /11)(c v v -= γ （9.3） 四维力K 的分量定义为 τ κμ μ d dp = (9.4) 静止质量0m 和固有时τ都是洛伦兹标量，在惯性系的洛伦兹变换下不变。四维动量P 和四维力K 都是洛伦兹矢量，在洛伦兹变换下和四维位移矢量一样变换。记K 的前三个分量为 τ κd p d = (9.5) 其中τ d x d m p 0=，为相对论四维动量的前三个分量。 在相对论力学中，我们仍保留力作为动量变化率的意义，但动量要理解为相对论四维动量的前三个分量，即（三维）力定义为 κγ ) (1v dt p d f == (9.6) 注意，它不是四维矢量的前三个分量。因此它在惯性系变换的方式要通过四维力的变换式和（9.6）式得到。 四维力矢量是（9.4）定义的K ，它的第四个分量为
本科生学年论文（课程设计）题目：电磁场与电磁波的应用 学院物理科学与技术学院 学科门类理学 专业应用物理 学号2012437019 姓名郭天凯 指导教师闫正 2015年11月18日
电磁场与电磁波的应用 摘要 随着社会的不断进步与发展，科学技术的不断改革创新，电磁场与电磁波已经应用于社会生活的方方面面，受到了越来越多人的高度重视和关注。电子通信产品的随处可见，手机通信，微波通讯以及无线电视等；电磁波极化在雷达信号滤波、检测、增强、抗干扰和目标鉴别/识别等方面的应用；电磁场在金属材料加工、合成与制备中的应用；电磁波随钻遥测技术在钻井中的应用；电磁场的生物效应在电磁治疗方面的应用等都离不开电磁成与电磁波。本文将进一步对电磁场与电磁波在通讯、科技开发、工业生产、生物科学、材料科学等方面的应用展开分析和探讨。 关键词：电磁场；电磁波；极化；电子通信技术；电磁波的应用
目录 1 电磁场与电磁波的概况 (1) 2 电磁场与电磁波在通讯方面的应用 (2) 2.1 在无线电广播中的应用 (2) 2.2 在电视广播中的应用 (2) 2.3 在移动通信中的应用 (2) 2.4 在卫星通信中的应用 (2) 3 电磁波极化的应用 (3) 3.1 利用极化实现最佳发射和接收 (3) 3.2 利用极化技术提高通信容量 (3) 3.3 极化在雷达目标识别、检测和成像中的应用 (3) 3.4 极化在抗干扰中的应用 (4) 4 电磁波随钻遥测技术在钻井中的应用 (5) 4.1 采用数据融合技术，优化产品性能，提高传输深度 (5) 4.2 采用广播芯片技术，提高信息传输能力 (5) 5 在生物医学中的应用 (6) 5.1 电磁场的生物效应及其发展 (6) 5.2 电磁场作用的机理 (6) 6 电磁场在材料科学中的应用 (7) 7 结束语 (7) 参考文献 (8)
第九章习题解答 9.1 设元天线的轴线沿东西方向放置，在远方有一移动接收台停在正南方而收到最大电场强度，当电台沿以元天线为中心的圆周在地面移动时，电场强度渐渐减小，问当电场强 时，电台的位置偏离正南多少度？ 解：元天线（电基本振子）的辐射场为 j k r j θ-=E e 可见其方向性函数为(),sin f θφθ=，当接收台停在正南方向（即090θ=）时，得到最大电场强度。由 s i n θ= 得 045θ= 此时接收台偏离正南方向045±。 9.2 上题中如果接收台不动，将元天线在水平面内绕中心旋转，结果如何？如果接收天线也是元天线，讨论收发两天线的相对方位对测量结果的影响。 解： 如果接收台处于正南方向不动，将天线在水平面内绕中心旋转，当天线的轴线转至沿东西方向时，接收台收到最大电场强度，随着天线地旋转，接收台收到电场强度将逐渐变小，天线的轴线转至沿东南北方向时，接收台收到电场强度为零。如果继续旋转元天线，收台收到电场强度将逐渐由零慢慢增加，直至达到最大，随着元天线地不断旋转，接收台收到电场强度将周而复始地变化。 当接收台也是元天线，只有当两天线轴线平行时接收台收到最大电场强度；当两天线轴线垂直时接收台收到的电场强度为零；当两天线轴线任意位置，接收台收到的电场强介于最大值和零值之间。 9.3 如题9.3图所示一半波天线，其上电流分布为() 11cos 2 2m I I kz z ??=-<< ??? （1）求证：当0r l >>时， 020 cos cos 22sin jkr m z I e A kr πθμπθ -?? ? ??= ? （2）求远区的磁场和电场； （3）求坡印廷矢量； （4）已知22 c o s c o s 20.609sin d π πθθθ ?? ? ?? =? ，求辐射电阻； （5）求方向性系数。 题9.3（1） 图 解：（1）沿z 方向的电流z I 在空间任意一点()0,P r θ产生的矢量磁位为
第十二章 电磁感应 电磁场和电磁波 12－3 有两个线圈，线圈1对线圈2 的互感系数为M 21 ，而线圈2 对线圈1的互感系数为M 12 ．若它们分别流过i 1 和i 2 的变化电流且 t i t i d d d d 2 1<，并设由i 2变化在线圈1 中产生的互感电动势为12 ，由i 1 变化在线圈2 中产生的互感电动势为ε21 ，下述论断正确的是（ ）． （A ）2112M M = ，1221εε= （B ）2112M M ≠ ，1221εε≠ （C ）2112M M =， 1221εε< （D ）2112M M = ，1221εε< 分析与解 教材中已经证明M21 ＝M12 ，电磁感应定律t i M εd d 1 2121=；t i M εd d 21212=．因 而正确答案为（D ）． 12－5 下列概念正确的是（ ） （A ） 感应电场是保守场 （B ） 感应电场的电场线是一组闭合曲线 （C ） LI Φm =，因而线圈的自感系数与回路的电流成反比 （D ） LI Φm =，回路的磁通量越大，回路的自感系数也一定大 分析与解 对照感应电场的性质，感应电场的电场线是一组闭合曲线．因而 正确答案为（B ）． 12－7 载流长直导线中的电流以 t I d d 的变化率增长.若有一边长为d 的正方形线圈与导线处于同一平面内，如图所示.求线圈中的感应电动势. 分析 本题仍可用法拉第电磁感应定律t Φ d d - =ξ ，来求解.由于回路处在非均匀磁场中，磁通量就需用??= S S B Φd 来计算. 为了积分的需要，建立如图所示的坐标系.由于B 仅与x 有关，即B =B (x )，故取一个平行于长直导线的宽为d x 、长为d 的面元d S ，如图中阴影部分所示，则d S =d d x ，所以，总磁通量
全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选 教案设计 电磁场和电磁波及其应用 学校：江苏省泰兴市第四高级中学 姓名：曹新红
一、教案背景 1.面向学生：□中学 2.学科：物理 3. 课时：1 4. 学生课前准备：（1）通过阅读课本、网络搜索了解电磁场和电磁波的基本知识； （2）进行市场调查：①调查本地移动通信的发展情况；②列举家用电器和生活用品中与电磁波相关的实例； （3）通过查找资料、网络搜索查找麦克斯韦、赫兹的相关内容。 二、教学课题 对本节的要求是比较低的“了解”层次。做好赫兹实验使学生了解电磁波的发射，不同波长的电磁波的传播特点是很有用的常识，应该了解。电磁波的接收重在其物理过程，学生可做常识性了解。 教育方面： (1)通过观察实验，体验赫兹成功的喜悦。 (2)体会“心动不如行动”。 (3)通过马可尼.波波夫的成功,感悟科学是人类创造发明的基础,体会科学只有融入技术中才能 真正造福人类。 三、教材分析 1.在学习本节之前，学生已经学过机械振动机械波、电磁振荡等知识，通过本节的学习让学生知道知道不管机械波还是电磁波，都具有波动性，在教学中既要注意它们的共性，又要指出它们的区别，如机械波的传播需要介质，而电磁波的传播不需要介质等。 2.学生要通过学习本节内容，体会科学的猜想与假设以及运用数学进行推理论证对物理学发展的物理意义。 教学之前用百度在网上搜索《电磁波》的相关教学材料，找了很多教案作参考，了解到教学的重点和难点，确定课堂教学形式和方法。然后根据课堂教学需要，利用百度搜索在土豆网找到相关视频供学习参考。用百度搜索在土豆网搜索电磁波的实验，让同学们对电磁波的形成有切身体验。 四、教学方法 采用教师传授学生自主学习与同学讨论交流相结合的教学方法,以学生自主学习为主，充分发挥学生的主体作用，让学生参与自主互动式课堂教学流程，注重过程与方法，做好模仿赫兹实验的实验，大部分内容可让学生自主学习，体验有效学习。 五、教学过程 教学过程： 一、设疑激趣，导入新课。 1. 找一段赫兹实验的视频，课堂放给学生看。 【土豆视频】电磁波https://www.doczj.com/doc/bb12307514.html,/programs/view/yXYzvKG1a4s/ 2. 你觉得这现象有什么特别？你想知道些什么？ 3. 设疑：你看到过电磁波吗？在什么地方看到了？电磁波实质是什么？ 二、检查预习 提问：麦克斯韦电磁场理论的两点假设是什么？ 三、新课教学 1. 电磁波的产生 模仿：赫兹实验，请学生观察
电磁场与电磁波答案(1)
(1 )-2 《电磁场与电磁波》答案(1) 一、判断题（每题2分，共20分） 说明：请在题右侧的括号中作出标记，正确打√，错误打× 1. 均匀平面波是一种在空间各 点处电场强度相等的电磁波。 2. 电磁波的电场强度矢量必与 波的传播方向垂直。 3. 在有限空间V 中，矢量场的 性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。 [ ×]1 [ ×]2 [ √]3 [ √]
4. 静电场是有源无旋场，恒定 磁场是有旋无源场。 5. 对于静电场问题，仅满足给 定的泊松方程和边界条件， 而形式上不同的两个解是不 等价的。 6. 电介质在静电场中发生极化 后，在介质的表面必定会出 现束缚电荷。 7. 用镜像法求解静电场问题的 本质，是用场域外的镜像电 荷等效的取代原物理边界上 的感应电荷或束缚电荷对域 内电场的贡献，从而将有界 空间问题转化为无界空间问 题求解。 (1 )-3
(1 )-4 8. 在恒定磁场问题中，当矢量 位在圆柱面坐标系中可表为 ()z A A r e =r r 时，磁感应强度矢量 必可表为()B B r e φ =r r 。 9. 位移电流是一种假设，因此 它不能象真实电流一样产生磁效应。 10.均匀平面波在理想媒质中的 传播时不存在色散效应，在损耗媒质中传播时存在色散效应。 二、选择题（每题2分，共20分） （请将你选择的标号填入题后的括号中） 1. 有一圆形气球，电荷均匀分布在其表面上，在此气球被缓缓吹大的过程中，始终
处在球外的点其电场强度（ C ）。 A．变大B．变小C．不变 2. 用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像 电荷的选取是否正确的根据是（ D ）。 A．镜像电荷是否对称B．场域内的电荷分布是否未改变 C．边界条件是否保持不变D．同时选择B和C 3. 一个导体回路的自感（D ）。 A．与回路的电流以及回路的形状、大小、匝数和介质的磁导率有关 B．仅由回路的形状和大小决定 C．仅由回路的匝数和介质的磁导率决定 D．由回路的形状、大小、匝数和介质的磁导率决定 4. 判断下列矢量哪一个可能是恒定磁场 (1 )-5
第九章 电磁感应 电磁场理论 练 习 一 一.选择题 1. 在一线圈回路中，规定满足如图1所示的旋转方向时，电动势ε，磁通量为正值。若磁铁沿箭头方向进入线圈，则有（ B ） (A) d /dt 0， 0 ； (B) d /dt 0， 0 ； (C) d /dt 0， 0 ； (D) d /dt 0， 0。 2. 一磁铁朝线圈运动，如图2所示，则线圈内的感应电流的方向（以螺线管内流向为准）以及电表两端电势U A 和U B 的高低为（ C ） (A) I 由A 到B ，U A U B ； (B) I 由B 到A ，U A U B ； (C) I 由B 到A ，U A U B ； (D) I 由A 到B ，U A U B 。 3. 一长直螺线管，单位长度匝数为n ，电流为I ，其中部放一面积为A ，总匝数为N ，电阻为R 的测量线圈，如图3所示，开始时螺线管与测量线圈的轴线平行，若将测量线圈翻转180°，则通过测量线圈某导线截面上的电量q 为（ A ） (A) 2 nINA /R ； (B) nINA /R ； (C) NIA /R ； (D) nIA /R 。 4. 尺寸相同的铁环和铜环所包围的面积中，磁通量的变化率相同，则环中（ A ） （A ）感应电动势相同，感应电流不同； （B ）感应电动势不同，感应电流相同； （C ）感应电动势相同，感应电流相同； （D ）感应电动势不同，感应电流不同。 二.填空题 1．真空中一长度为0l 的长直密绕螺线管，单位长度的匝数为n ，半径为R ，其自感系数L 可表示为02 20l R n L πμ=。 2. 如图4所示，一光滑的金属导轨置于均匀磁场B v 中，导线ab 长为l ，可在导轨上平行移 动，速度为v ，则回路中的感应电动势ε=θsin Blv ，a 、b 两点的电势a U ＜ b U （填<、=、>），回路中的电流I=R Blv /sin θ，电阻R 上消耗的功率P=R Blv /)sin (2 θ。 S N v 图1 · · G A B N S v 图2 I I A 图3
一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C 和()?A B C ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= ==-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （4）由 c o s AB θ = 8==A B A B ，得 1c o s AB θ- =(135.5= （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ = =A B B （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e
一。选择题 [ D ]1.（基础训练3）在一自感线圈中通过的电流I 随时间t 的变化规律如图(a)所示，若以I 的正流向作为 的正方向，则代表线圈内自感电动势 随时间t 变化规律的曲线应为图(b)中(A)、(B)、(C)、(D)中的哪一个？ 【分析】 dt dI L L -=ε， 在每一段都是常量。dt dI [ D ]2. （基础训练5）在圆柱形空间内有一磁感强度为B 的 均匀磁场，如图所示．B 的大小以速率d B /d t 变化．在磁场中有A 、 B 两点，其间可放直导线AB 和弯曲的导线AB ，则 (A) 电动势只在导线AB 中产生． (B) 电动势只在AB 导线中产生． (C) 电动势在AB 和AB 中都产生，且两者大小相等． (D) AB 导线中的电动势小于导线中的电动势 【分析】 连接oa 与ob ，ob ab ob oab εεεε++=。因为涡旋电场总是与圆柱截面垂直，所以oa 和ob 上的涡旋电场方向处处垂直于oa 、ob ，即0=?= =? → →l d E ob ob εε oab ob d dB S dt dt φεε==-=- o ab oab d d dt dt ??∴< [ B ]3.（基础训练6）如图12-16所示，直角三角形金属框架abc 放在均匀磁 场中，磁场B 平行于ab 边，bc 的长度为l ．当金属框架绕ab 边以匀角速度ω转动 时，abc 回路中的感应电动势和a 、c 两点间的电势差U a – U c 为 (A) 0ε= 2 2 1l B U U c a ω=- (B) 0ε= 221l B U U c a ω-=- (C)2 B l εω=22 1l B U U c a ω=- (D) 2B l εω= 221l B U U c a ω-=- 【分析】 ab 边以匀速转动时 0=- =dt d abc φ ε 22 l B l d B v U U U U L c b c a ω-=???? ? ??=-=-?→→→ t t t t t (b) (a) B a b c l ω图12-16
第十二章 电磁感应 电磁场 问题 12-1 如图,在一长直导线L 中通有电流I ,ABCD 为一矩形线圈,试确定在下列情况下，ABCD 上的感应电动势的方向：(1)矩形线圈在纸面内向右移动；(2)矩形线圈绕AD 轴旋转；（3）矩形线圈以直导线为轴旋转. 解 导线在右边区域激发的磁场方向垂直于纸面向 里，并且由2I B r μ0=π可知，离导线越远的区域磁感强度越小，即磁感线密度越小．当线圈运动时通过线圈的磁通量会发生变化，从而产生感应电动势．感应电动势的方向由楞次定律确定． （1）线圈向右移动，通过矩形线圈的磁通量减少，由楞次定律可知，线圈中感应电动势的方向为顺时针方向． （2）线圈绕AD 轴旋转，当从0到90时，通过线圈的磁通量减小，感应电动势的方向为顺时针方向．从90到180时，通过线圈的磁通量增大，感应电动势的方向为逆时针. 从180到270时，通过线圈的磁通量减少，感应电动势的方向为顺时针．从270到360时，通过线圈的磁通量增大，感应电动势的方向为逆时针方向. （2）由于直导线在空间激发的磁场具有轴对称性，所以当矩形线圈以直导线为轴旋转时，通过线圈的磁通量并没有发生变化，所以，感应电动势为零. 12-2 当我们把条形磁铁沿铜质圆环的轴线插入铜环中时,铜环内有感应电流和感应电场吗？ 如用塑料圆环替代铜质圆环,环中仍有感应电流和感应电场吗？ 解 当把条形磁铁沿铜质圆环的轴线插入铜环过程中，穿过铜环的磁通量增加，铜环中有感应电流和感应电场产生；当用塑料圆环替代铜质圆环，由于塑料圆环中的没有可以移动的自由电荷，所以环中无感应电流和感应电场产生. 12-3 如图所示铜棒在均匀磁场中作下列各种运动，试问在哪种运动中的铜棒上会有感应电动势？其方向怎样？设磁感强度的方向铅直向下．（１）铜棒向右平移［图(a)］；（２）铜棒绕通过其中心的轴在垂直于B 的平面内转动［图(b)］；（３）铜棒绕通过中心的轴在竖直平面内转动［图(c)］． C I
第7章 导行电磁波 1、 求内外导体直径分别为0.25cm 和 0.75cm 空气同轴线的特性阻抗； 在此同轴线内外导体之间填充聚四氟乙烯（ 2.1r ε=），求其特性阻抗与300MHz 时的波长。 解：空气同轴线的特性阻抗 00.7560ln 60ln =65.9170.25 b Z a ==Ω 聚四氟乙烯同轴线: 00.75 =41.404ln345.487 0.25 b Z a = ==Ω 8 0.69v m f λ==== 2、在设计均匀传输线时，用聚乙烯（εr ＝2.25）作电介质，忽略损耗 ⑴ 对于300Ω的双线传输线，若导线的半径为0.6mm ，线间距应选取为多少？ ⑵ 对于75Ω的同轴线，若内导体的半径为0.6mm ，外导体的内半径应选取为多少？ 解：⑴ 双线传输线，令d 为导线半径，D 为线间距，则 0110 ln , ln 1 300 ln 3.75, 25.5D L C D d d D Z d D D mm d μπε ππ= = ===∴== ⑵ 同轴线，令a 为内导体半径，b 为外导体内半径，则 0112 ln , 2ln b L C b a a μπε π= =
01 ln 752 ln 1.875, 3.91b Z a b b mm a π===∴== 3、设无耗线的特性阻抗为100Ω, 负载阻抗为5050j -Ω, 试求：终 端反射系数L Γ驻波比VSWR 及距负载0.15λ处的输入阻抗in Z 。 解：00 50501001125050100 35 L L L Z Z j j j Z Z j j ---++Γ===-=-+-+- 1 2.6181L L S +Γ===-Γ ()()000250501000.15100210050500.15L in L j j tan Z jZ tan d Z d Z Z jZ tan d j j tan πλβλπβλλ?? -+? ? +??==? +?? +-? ? ?? 43.55 +34.16j = 4、一特性阻抗为50Ω、长2m 的无耗线工作于频率200MHz ，终端阻抗为4030j +Ω，求其输入阻抗in Z 。 解：输入阻抗:00 0tan tan L in L Z jZ z Z Z Z jZ z ββ+=+ 288 1.5, 2, tan 1.7323326.329.87 in c z f Z j πππλβλ= ==?==-∴=-Ω 5、在特性阻抗为200Ω的无耗双导线上 , 测得负载处为电压驻波最小点,min V 为 8V, 距负载4λ处为电压驻波最大点 , max V 为 10V, 试求负载阻抗L Z 及负载吸收的功率L P 。 解：传输线上任一点的输入阻抗和反射系数的关系为 1(d) (d)1(d) in Z Z +Γ=-Γ 在电压最小点处()L d Γ=-Γ，将其代入上式可得 min 0 1(d)1L L Z Z -Γ=+Γ 再由驻波比表达式 1|| 1|| L L S +Γ= -Γ 所以 min 0 1(d)1L L Z Z Z S -Γ== +Γ 由题中给出的条件可得
第十章 变化电磁场的基本规律 一、基本要求 1．掌握法拉第电磁感应定律。 2．理解动生电动势及感生电动势的概念，本质及计算方法。 3．理解自感系数，互感系数的定义和物理意义，并能计算一些简单问题。 4．了解磁能密度的概念 5．了解涡旋电场、位移电流的概念，以及麦克斯韦方程组（积分形式）的 物理意义，了解电磁场的物质性。 二、基本内容 1. 电源的电动势 在电源内部，把单位正电荷由负极移到正极时，非静电力所做的功 ?+ -?=l E d k k E 为作用于单位正电荷上的非静电力，电动势方向为电源内部电势升高的方向。 2．法拉第电磁感应定律 当闭合回路面积中的磁通量m Φ随时间变化时，回路中即产生感应电动势： i m d dt Φ= - 方向由式中负号或楞次定律确定。该定律是电磁感应的基本规律，无论是闭合回路还是通过作辅助线形成闭合回路，只要能够求出该回路所围面积的磁通量，就可以应用定律得到该回路中的感应电动势。自感、互感电动势也是该定律的直接结果。 3．.动生电动势 动生电动势是导体在稳恒磁场中运动而产生的感应电动势，它的起源是非静电场力——洛伦兹力，其数学表达式为 i l B v d b a ??= ? +-)() () ( 或 ab l B v l E d d b a b a k ??= ?= ?? )(
式中B v f E ?== q k ，动生电动势方向沿（B v ?）方向。 如 ab >0，则V a
第一章 习题解答 1.2给定三个矢量A ，B ，C ： A =x a +2y a -3z a B = -4y a +z a C =5x a -2z a 求：⑴矢量A 的单位矢量A a ； ⑵矢量A 和B 的夹角AB θ； ⑶A ·B 和A ?B ⑷A ·（B ?C ）和（A ?B ）·C ； ⑸A ?（B ?C ）和（A ?B ）?C 解：⑴A a =A A （x a +2y a -3z a ） ⑵cos AB θ =A ·B /A B AB θ=135.5o ⑶A ·B =-11, A ?B =-10x a -y a -4z a ⑷A ·（B ?C ）=-42 （A ?B ）·C =-42 ⑸A ?（B ?C ）=55x a -44y a -11z a （A ?B ）?C =2x a -40y a +5z a 1.3有一个二维矢量场F(r) =x a （-y ）+y a (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图 形。 解：由dx/(-y)=dy/x,得2x +2y =c 1.6求数量场ψ=ln （2x +2y +2 z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。
解：等值面方程为ln （2x +2y +2 z ）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么2x +2y +2z =14 1.9求标量场ψ（x,y,z ）=62x 3y +z e 在点P （2，-1，0）的梯度。 解：由ψ?=x a x ψ??+y a y ψ??+z a z ψ??=12x 3y x a +182x 2y y a +z e z a 得 ψ?=-24x a +72y a +z a 1.10 在圆柱体2x +2y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S: ⑴求矢量场A 沿闭合曲面S 的通量，其中矢量场的表达式为 A =x a 32x +y a （3y+z ）+z a (3z -x) ⑵验证散度定理。 解：⑴??s d A = A d S ?? 曲+A dS ?? xoz +A d S ?? yoz +A d S ?? 上+A d S ?? 下 A d S ?? 曲=232(3cos 3sin sin )z d d ρθρθθρθ++?曲 =156.4 A dS ?? xoz =(3)y z dxdz +?xoz =-6 A d S ?? yoz =-23x dydz ?yoz =0 A d S ?? 上+A d S ?? 下=(6cos )d d ρθρθρ-?上+cos d d ρθρθ?下=272π ??s d A =193 ⑵dV A V ???=(66)V x dV +?=6(cos 1)V d d dz ρθρθ+?=193 即：??s s d A =dV A V ??? 1.13 求矢量A =x a x+y a x 2y 沿圆周2x +2y =2a 的线积分，再求A ?? 对此圆周所包围的表 面积分，验证斯托克斯定理。 解：??l l d A =2L xdx xy dy +? =44a π A ?? =z a 2y