重视复平面上复数与向量的联系作用
平面向量与复数是高中数学的重要内容,联系紧密,联系是在复平面进行的。随着知识的发展，相互对应相互促进是联系的主要体现。复数中的概念、运算等在向量中可以作出几何解释；向量的运算，可以对应有关的复数运算.复数与向量的这种联系，只要我们需要,可以将它们组合起来，在计算推理中发挥它们的联系作用，将是一件高效快乐的事情.
一 复数商与内积的联系
复数运算，向量运算之间的许多联系，在现有课本里是可以学习到的，下面我们来看复数商与内积的联系.
例1 复数z 1=a 1+b 1i, z 2=a 2+b 2i ，它们的三角式分别为z 1=|z 1|(cos θ1+isin θ1),
z 2=|z 2|(cos θ
2
+isin θ
2
),对应的向量分别是1oz =(a 1,b 1)、2oz =(a 2,b 2).
然后复数作商: 代数式作商:
21z z =2221122121||)()(z i
b a b a b b a a -++；-------------(1) 三角式作商：
21z z =|
||
|21z z [cos(θ1-θ2
)+isin(θ
1-θ2
)],------(2)
比较(1)(2)式,可得
|
||
|21z z [cos(θ1-θ2)]=
2
22
121||z b b a a +, ……(3) |
||
|21z z [sin(θ1-θ2)]=
2
22
112||z b a b a - (4)
则从中可得下列变式：
(1) 复数对应向量间的夹角余弦公式:
cos(θ
1-θ
2|
|||212121oz oz ? ,( 我們总可以适当选择θ
1、θ2
的主值范围，使得|θ
1-θ2
|∈),0[π，所以1oz 与2oz 的夹角就是|θ
1-θ2
|).
(2) 向量内积:
1oz ·2oz =a 1a 2+b 1b 2=|1oz |·|2|cos(θ1-θ
2
).
若对(4)取绝对值得到:|1oz ×2oz |=|a 1b
2
-a 2b 1|=|1|oz |·2|oz |sin(θ
1-θ2
)|,
这是空间xoy 平面上向量)0,,(),0,,(2121b b a a ==叉积的绝对值,是以线段oz 1、oz 2为邻边的平行四边形的面积公式.
复数商运算式中,隐含着向量间的夹角公式，向量的内积，平行四边形面积的公式.
若复数代数式i y x z i y x z 222111,-=+=的三角式分别是)sin (cos 1111θθi r z +=,
=2z )],sin()[cos(222θθ-+-i r 然后,将它们的代数式,三角式分别相乘,比较结果,同样可
以得到上面的三个式子.数学中的这种相互包容联系,真是体现了数学中的统一和谐之美.
二 复数向向量表示上的转化联系
利用复数与向量的联系,复数可以向向量表示上的转化，使有些复数的问题转化为向量问题或构造向量图像去处理，借向量之力去解决复数问题.
例2 已知复数z 1、z 2的模为1，z 1+z 2i 2
321+=
,求复数21、z z . 解：根据题意，设复数21、z z 对应的向量为21oz oz ，以这两个向量为邻边，边长为1，构作一个平行四边形，并建如图1的直角坐标系.记z z z =+21，对应向量.
∵oz 对应的复数是
i 2
3
21+
∴1||=oz ，∠zoz 1=600
1||1=oz ∴?oz 1z 是正三角形,
? ozz 2?z oz 1? 2ozz ?∴
是正三角形. ∴11=z ,i z 23212+-
=,或1,2
3
2121=+-=z i z . 本题在解题的思路上借助了复数向向量转化的作用.复数向向量转化是较常用的思想
方法.此题纯粹用代数方法去做,计算量是较大的.
例3复平面内，已知动点A,B 所对应的复数的辐角为定值，分别θ、-θ，)2
0(π
θ∠∠，
O 为原点，ΔAOB 的面积是定值S ，求ΔAOB 的重心M 所对应的复数模的最小值.图2.
解：根据题设，设向量OM 、、对应复数、z 、z z 21且 ||||||||||||2211z 、r z 、r z =====,则有
θ2sin 2121r r s =
, θ
2sin 221s
r r = ∵)(3
1
OB OA OM += 图2
∴ )()(91
||91||22+?+=+=
=)2|||(|912
2?++
=
)2cos 2(9
121222
1θr r r r ++ ≥
θθ
θ221cos 22sin 292)2cos 1(92??=+s
r r =
θcot 9
4
s ∴ |z|=|θcot 32|s OM ≥,即重心M 所对应的复数模的最小值θc o t
3
2
s （1z =
θ2sin 2s
)sin (cos 2sin 2),sin (cos 2θθθ
θθi s
z i -=+时，取最小值）.该题用向量方法可较简捷获解.
复数向向量表示上的转化的特点是:能将复数条件化为特殊的向量图形, 或构造一个向量运算,然后,顺利进行推理运算,求得结果.
三 向量向复数表示上的转化联系
利用复数与平面向量的联系，由向量向复数表示上的转化，使向量问题转化为复数问题或构造复数的结论去处理，借复数之力去解决向量问题,并使人觉得返朴归真之感.
例4已知三个不共线的向量,,,且,=++证明:,,可构成一个三角形. 证明:不妨设,,对应复数的三角式分别为:),sin (cos 111θθi r +)sin (cos 222θθi r +,
),sin (cos 333θθi r +且321r r r ≤≤.
=++
o i r i r i r =+++++∴)sin (cos )sin (cos )sin (cos 333222111θθθθθθ )1......(0cos cos cos 332211=++∴θθθr r r 332211sin sin sin θθθr r r ++=0 (2)
由(1),(2)解得)cos(221212
22123θθ-++=r r r r r
c b a ,, 不共线,)(21Z k k ∈≠-∴πθθ
1)cos(121∠-∠-∴θθ
2122212321222122r r r r r r r r r ++∠∠-+∴
12312r r r r r +∠∠-∴
c b a ,,∴可构成一个三角形.
从证明过程知道,其逆也成立的,故此命题可写成充要条件的形式.
该题纯粹用向量概念去证明是比较简单的,但学生听了后,并觉得没有复数解明白.
向量向复数表示上的转化的特点是:转化为复数问题后能构造出复数的某些结论或某些代数公式,从而通过它们去实现目标完成.
四 复数与向量并用联系
用多种形式表示一个命题的方法,在数学中是常用的手段，而且是常用常新，也是知识、思想、方法融会贯通的重要途径.如有些命题既可以用复数表示、也可以用向量表示，对于这类命题的处理自然要选择合适的形式来表示，或者是两者并用，实现相互左证,这样可以使问题明了简单.
例5已知线段AB 的中点C,以AC 和CB 为对角线作平行四边形AECD 和BFCG,又作平行四边形CFHD 和CGKE,求证H 、C 、K 三点在一条直线上,且CK=CH,如图3.
证明:以C 为原点,AB 为X 轴建立直角直角坐标系.
设向量、、对应复数321,z ，z z 那么,向量CE CG CA 对应复数分别为31211z z 、z 、z z ----；
又CD CF CH +=、CE CG CK +=分别对应复数
32z z +、)()(3121z z z z --+-
∵
1)
()(31213
2-=--+-+z z z z z z ，
图3 ∴1-=，
∴CK CH 平行，但又有公共点C ，故H 、C 、K 三点共线,且CK=CH. 例6已知k P (k=1,2,……,n)是单位圆上的n 个等分点,P 是该圆上任意一点,求证
2
2221||......||||n pp pp pp +++为一定值.如图4.
证明:以单位圆的圆心O 为直角坐标的原点,OP
n
为X 轴,建立坐标系,则∠
n
k
op p k n π2=
(当k=n 时,假定此角为2π), ∵ 点i n
k
n k z p k k ππ2sin 2cos +=对应的复数三角式为
,对应向量是k op ,则其长为1,向量和
01
1
1
1
==∑∑∑===n
k k n
k k
n k k
z z
op 对应于复数和,即01
=∑=n
k k op .
∴ 2
2221||......||||n pp pp pp +++=22221||......||||n pp pp pp +++
=()()(.....)()()()2211op op op op op op op op op op op op n n -?-++-?-+-?-
=)......(2||||......||||21222221n n op op n op op op ++?-++++ =2n-2o op ?=2n,为定值.
在这两个问题解决的过程中，我们既用了复数,又用到了向量及它们之间的等价结论.复数与向量并用的特点是:并用表示后,相互之间有左证作用或有等价结论,而且在各自的范围内有顺利进行计算推理的可能.
在平面图中，证明点共线，直线平行，直线垂直，判断三角形的形状等时,经常用复数与向量之间来转换、或并用来表示命题的,从而实现共同之目的.
复数与平面向量之间的联系是很多的，既有数形联系,又有等价结论联系.用好这些联系的意义是很大的.在教学中能揭示这些联系，可以活跃思维，培养兴趣，提高学习的积极性,提高学习的效率. 要牢固掌握这些联系，关键在平时要理清复数与向量的对应联系，并把它们装在心中，拿在手中，落实在应用中,千万别将它们分离.
例4已知),.....,2,1(n k p k =是单位圆上的n 个等分点(按逆时针排列)，o 是原点，求证：
op
n
k k
=∑=1
证明:以单位圆的圆心O 为直角坐标的原点,OP n 为X 轴,建立直角坐标系,则∠
n
k
op p k n π2=
(当k=n 时,假定此角为2π). ∵ 点i n
k
n k z p k k ππ2sin 2cos +=对应的复数三角式为,对应向量是k op ,则其长为1,向量和
01
11
1
==∑∑∑===n
k k
n k k n
k k z z op
对应于,
∴
1
=∑=n
k k
op
.
这种等分圆周的有关向量求和问题,通过复数之后,可以转化为复数数列求和来完成.
高考微点二 复数、平面向量与算法 牢记概念公式，避免卡壳 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )概念 (1)分类：当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数. (2)z 的共轭复数z － ＝a －b i. (3)z 的模|z |＝a 2＋b 2. 2.复数的四则运算法则 (a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； (a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ； (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋ d 2 i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0). 3.平面向量的有关运算 (1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a ∥b a ＝λb . 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b ＝0|a ＋b |＝|a －b |. (2)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (3)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1 ）2. (4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 2 2. 4.算法的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构；(2)条件结构；(3)循环结构. 活用结论规律，快速抢分 1.复数的几个常用结论 (1)(1±i)2＝±2i ； (2) 1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ； (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i. 2.复数加减法可按向量的三角形、平行四边形法则进行运算. 3.z ·z － ＝|z |2 ＝|z － |2. 4.三点共线的判定
高中数学复习讲义第四章平面向量与复数 【知识图解】 Ⅰ.平面向量知识结构表 Ⅱ.复数的知识结构表 【方法点拨】 由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。 复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。 1.向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问 题时注意用数形结合思想的应用. 2.平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向 量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合. 3.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决. 4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.
第1课 向量的概念及基本运算 【考点导读】 1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义. 3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】 1.出下列命题：①若=a b ，则=a b ；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则DC AB =是四边形为平行四边形的充要条件；③若,==a b b c ，则=a c ；④=a b 的充要条件是=a b 且//a b ；⑤若//a b ， //b c ，则//a c 。其中，正确命题材的序号是②③ 2. 化简AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r 得0 3.在四边形ABCD 中，=a +2b ，BC =－4a －b ，CD =－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为梯形 4.如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点， 若OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，则OP u u u r ＝21 33 +a b ， OQ u u u r ＝12 33+a b (用a 、b 表示) 【范例导析】 例1 .已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ， 求证：2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r . 分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB 和EC ， 由EA AB EB +=u u u r u u u r u u u r 和EF FB EB +=u u u r u u u r u u u r 可得，EA AB EF FB +=+u u u r u u u r u u u r u u u r （1） 由ED DC EC +=u u u r u u u r u u u r 和EF FC EC +=u u u r u u u r u u u r 可得，ED DC EF FC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r （2） （1）+（2）得， 2EA ED AB DC EF FB FC +++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （3） ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴0EA ED +=u u u r u u u r r ，0FB FC +=u u u r u u u r r ， 代入（3）式得，2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r 点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形. 例1
第六章 平面向量与复数 , 第32课 向量的概念与线性运算 激活思维 1. (必修4P 67练习4改编)化简：AB →＋CD →＋DA →＋BC → ＝________． 2. (必修4P 62习题5改编)判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a|＝|b |，则a ＝b ；③若|a|>|b|，则a>b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确的个数是________． 3. (必修4P 57习题2改编)对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”成立的________条件． (第4题) 4. (必修4P 60例1改编)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF → ＝________． 5. (必修4P 68习题10改编)在△ABC 中，若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC → |，则△ABC 的形状是________． 知识梳理 1. 向量的有关概念 向量：既有大小又有方向的量叫作向量．向量的大小叫向量的________(或模)． 2. 几个特殊的向量 (1) 零向量：____________，记作____，其方向是任意的． (2) 单位向量：________________________． (3) 平行向量：________________________，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线． (4) 相等向量：________________________． (5) 相反向量：________________________． 3. 向量的加法 (1) 运用平行四边形法则时，将两个已知向量平移到公共起点，和向量是____________的对角线所对应的向量． (2) 运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以____________为起点，即由第一个向量的起点指向____________的向量为和向量． 4. 向量的减法 将两个已知向量平移到公共起点，差向量是________的终点指向________的终点的向量．注意方向指向被减向量．
重视复平面上复数与向量的联系作用 平面向量与复数是高中数学的重要内容,联系紧密,联系是在复平面进行的。随着知识的发展，相互对应相互促进是联系的主要体现。复数中的概念、运算等在向量中可以作出几何解释；向量的运算，可以对应有关的复数运算.复数与向量的这种联系，只要我们需要,可以将它们组合起来，在计算推理中发挥它们的联系作用，将是一件高效快乐的事情. 一 复数商与内积的联系 复数运算，向量运算之间的许多联系，在现有课本里是可以学习到的，下面我们来看复数商与内积的联系. 例1 复数z 1=a 1+b 1i, z 2=a 2+b 2i ，它们的三角式分别为z 1=|z 1|(cos θ1+isin θ1), z 2=|z 2|(cos θ2+isin θ2),对应的向量分别是1oz =(a 1,b 1)、2oz =(a 2,b 2). 然后复数作商: 代数式作商: 21z z =2221122121||)()(z i b a b a b b a a -++；-------------(1) 三角式作商： 21z z =| || |21z z [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],------(2) 比较(1)(2)式,可得 ||||21z z [cos(θ1-θ2)]=222121||z b b a a +, ……(3) ||||21z z [sin(θ1-θ2)]=222112| |z b a b a -………(4) 则从中可得下列变式： (1) 复数对应向量间的夹角余弦公式: cos(θ1-θ2| |||212121oz oz ? ,( 我們总可以适当选择θ1、θ2的主值范围，使得|θ 1-θ2 |∈),0[π，所以1oz 与2oz 的夹角就是|θ1-θ2|). (2) 向量内积: 1oz ·2oz =a 1a 2+b 1b 2=|1oz |·|oz 2|cos(θ1-θ2). 若对(4)取绝对值得到:|1oz ×2oz |=|a 1b 2 -a 2b 1|=|1|oz |·2|oz |sin(θ1-θ2)|, 这是空间xoy 平面上向量)0,,(),0,,(2121b b a a ==叉积的绝对值,是以线段oz 1、oz 2为邻边的平行四边形的面积公式. 复数商运算式中,隐含着向量间的夹角公式，向量的内积，平行四边形面积的公式. 若复数代数式i y x z i y x z 222111,-=+=的三角式分别是)sin (cos 1111θθi r z +=,
复数的向量表示 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 教学目标 掌握向量的有关概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量； 理解并掌握复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系； 掌握复数的模的定义及其几何意义； 通过学习复数的向量表示，培养学生的数形结合的数学思想； 通过本节内容的学习，培养学生的观察能力、分析能力，帮助学生逐步形成科学的思维习惯和方法． 教学建议 一、知识结构
本节内容首先从物理中所遇到的一些矢量出发引出向量的概念，介绍了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接着介绍了复数集与复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系，指出了复数的模的定义及其计算公式． 二、重点、难点分析 本节的重点是复数与复平面的向量的一一对应关系的理解；难点是复数模的概念．复数可以用向量表示，二者的对应关系为什么只能说复数集与以原点为起点的向量的集合一一对应关系，而不能说与复平面内的向量一一对应，对这一点的理解要加以重视．在复数向量的表示中，从复数集与复平面内的点以及以原点为起点的向量之间的一一对应关系是本节教学的难点．复数模的概念是一个难点，首先要理解复数的绝对值与实数绝对值定义的一致性质，其次要理解它的几何意义是表示向量的长度，也就是复平面上的点到原点的距离．
三、教学建议 1．在学习新课之前一定要复习旧知识，包括实数的绝对值及几何意义，复数的有关概念、现行高中物理课本中的有关矢量知识等，特别是对于基础较差的学生，这一环节不可忽视． 2．理解并掌握复数集、复平面内的点集、复平面内以原点为起点的向量集合三者之间的关系 如图所示，建立复平面以后，复数与复平面内的点形成—一对应关系，而点又与复平面的向量构成—一对应关系．因此，复数集与复平面的以为起点，以为终点的向量集形成—一对应关系．因此，我们常把复数说成点Z或说成向量．点、向量是复数的另外两种表示形式，它们都是复数的几何表示． 相等的向量对应的是同一个复数，复平面内与向量相等的向量有无穷多个，所以复数集不能与复平面上所有的向量相成—一对应关系．复数集只能与
第06练-平面向量与复数 一、单选题 1．已知复数2a i i +-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2 B ．2 C ．1 2 D ．-1 【答案】C 【解析】 2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以2121 0,0552 a a a -+=≠∴=，选C. 2．设i 为虚数单位，复数z 满足21i i z =-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-i B ．-1-i C ．1+i D ．-1+i 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的运算法则解得1i z =-+，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】 ∵复数z 满足 21i i z =-，∴ ()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B. 【点睛】 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．虚数()2++x yi ，,x y R ∈，当此虚数的模为1时，y x 取值范围为（ ） A ．???? B ．???? ?? ???? U C ．?? D ．)( ??? 【答案】B 【解析】 【分析】 虚数()2++x yi ，得0y ≠，根据模长公式可得2 2 (2)1,0x y y ++=≠， y x 表示圆上点（去掉与x 轴交
点）与坐标原点的连线的斜率，当连线为圆的切线时为最大和最小值，即可求出结论. 【详解】 虚数()2++x yi ，得0y ≠， 虚数()2(,)x yi x y R ++∈的模为1， 2222(2)1,(2)1,0x y x y y ∴++=++=≠， y x ∴表示圆上的点（去掉与x 轴交点）与坐标原点的连线斜率， 0y x ∴≠，当过原点的直线与22(2)1x y ++=相切时， y x 取得最值，如下图所示，圆心C ，切点分别为,A B ， 3tan tan 3 BOC AOC ∠=∠= ， 切线,OA OB 的斜率分别为33 ,33 - ， 所以30y x - ≤<或30y x <≤ . 故选:B. 【点睛】 本题以虚数的模的背景，考查斜率的几何意义和直线与圆的位置关系，要注意虚数条件，不要忽略，属于中档题. 4．设复数11i z i =+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP uuu v ，OQ uuu v （O 为原点），则OP OQ ?=u u u v u u u v （ ） A ．1 2 - B ．0
复数的向量表示及复数的三角形式 基础概念 一、基础知识概述 由于解方程的需要，我们引进了复数和及其四则运算，并建立了复数集C 和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对立，我们还学过向量及其运算，在些基础上，我们现在一起来学习复数的向量表示、复数的三角形式及其运算、复数的指数形式、复数的运算的几何意义． 二、重点知识归纳及讲解 1、复数的向量表示： 复数集C 与复平面内的向量集合OZ （O 为原点）一一对应． 说明： （1）零向量表示复数0，相等的向量表示同一个复数； （2）向量OZ 的模r 就是复数bi a Z +=（a 、R b ∈）的模，即2 2||||b a r bi a Z += =+=． 2、复数的三角形式及运算： （1）复数的幅角：设复数bi a Z +=对应向量OZ ，以x 轴的正半轴为始边，向量OZ 所在的射线（起点为O ）为终边的角θ，叫做复数Z 的辐角，记作ArgZ ，其中适合πθ20<≤的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作Z arg ． 说明： 不等于零的复数Z 的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差π2的整数倍． （2）复数的三角形式：)sin (cos θθi r +叫做复数bi a Z +=的三角形式，其中02 2 ≥+= b a r ，r a = θcos ，r b = θsin ． 说明： 任何一个复数bi a Z +=均可表示成)sin (cos θθi r +的形式．其中r 为Z 的模，θ为Z 的一个辐角． （3）复数的三角形式的运算： 设)sin (cos θθi r Z +=，)sin (cos 1111θθi r Z +=，)sin (cos 2222θθi r Z +=．则 1）乘法：)]sin()[cos(21212121θθθθ+++=?i r r Z Z ；
复数的向量表示数学教案 教学目标 (1)掌握向量的有关概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量; (2)理解并掌握复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系; (3)掌握复数的模的定义及其几何意义; (4)通过学习复数的向量表示，培养学生的数形结合的数学思想; (5)通过本节内容的学习，培养学生的观察能力、分析能力，帮助学生逐步形成科学的思维习惯和方法. 教学建议 一、知识结构 本节内容首先从物理中所遇到的一些矢量出发引出向量的概念，介绍了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接着介绍了复数集与复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系，指出了复数的模的定义及其计算公式. 二、重点、难点分析 本节的重点是复数与复平面的向量的一一对应关系的理解;难点是复数模的概念.复数可以用向量表示，二者的对应关系为什么只能说复数集与以原点为起点的向量的集合一一对应关系，而不能说与复平面内的向量一一对应，对这一点的理解要加以重视.在复数向量的表示中，从复数集与复平面内的点以及以原点为起点的向量之间的一一对应关系是本节教学的难点.复数模的概念是一个难点，首先要理解复数的绝对值与实数绝对值定义的一致性质，其次要理解它的几何意义是表示向量的长度，也就是复平面上的点到原点的距离. 三、教学建议 1.在学习新课之前一定要复习旧知识，包括实数的绝对值及几何意义，复数的有关概念、现行高中物理课本中的有关矢量知识等，特别是对于基础较差的学生，这一环节不可忽视. 2.理解并掌握复数集、复平面内的点集、复平面内以原点为起点的向量集合三者之间的关系 如图所示，建立复平面以后，复数与复平面内的点形成―一对应关系，而点又与复平面的向量构成―一对应关系.因此，复数集与复平面的以为起点，以为终点的向量集形
平面向量与复数 [A 组——“12＋4”限时提速练] 一、选择题 1．(2016·全国乙卷)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 解析：选A 由题意知(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，则a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A ． 2．(2016·全国丙卷)若z ＝4＋3i ，则z |z | ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．45＋35 i D ．45－35 i 解析：选D ∵z ＝4＋3i ，∴z ＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5， ∴z |z |＝4－3i 5＝45－35i. 3．(2016·武汉调研)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→ 等于( ) A ．OM ―→ B ．2OM ―→ C ．3OM ―→ D ．4OM ―→ 解析：选D 因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA ―→＋OC ―→ ＝2OM ―→，OB ―→＋OD ―→＝2OM ―→，所以OA ―→＋OB ―→ ＋OC ―→＋OD ―→＝4OM ―→ ，故选D ． 4．(2016·全国丙卷)已知向量BA ―→＝????12，32，BC ― →＝????32，12，则∠ABC ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 解析：选A 因为BA ―→＝????12，32，BC ― →＝ ????32，12， 所以BA ―→·BC ―→ ＝34＋34＝32 .
一.复数小题 （一）命题特点和预测：7年7考，每年1题，主要考查复数的实部、虚部、共轭复数、纯虚数等概念、复数的加减乘除运算、复数的摸、复数相等的充要条件等知识，有时与简易逻辑结合，难度为基础题，18年仍将继续考查复数的有关概念与运算，难度仍为送分题． （二）历年试题比较： ：若复数满足，则 ：若复数满足，则 ：若复数满足，则 ：若复数，则. ．．． ）设是实数，则 满足= ） （ C. ．．
下面是关于复数 的四个命题： 复数 ．－． 【解析与点睛】 （2017年）【解析】令 ，则由得，所以， 故正确； 当时，因为 ，而 知，故不正确； 当时，满足 ，但 ，故 不正确； 对于 ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故 正确，故选B. （2016年）【解析】因为 所以 故选 B.
（三）命题专家押题 已知复数满足： 已知为虚数单位，复数的虚部为，则实数（ B. C. D. ，则 已知复数满足是的共轭复数，则 若复数满足则其共轭复数 下面是关于复数的四个命题：：；：；： 的共轭复数为的虚部为，其中真命题为（ D. ， 在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数复数
D. 已知复数（为虚数单位）给出下列命题：① ；② 的虚部为. C. 已知复数满足 为虚数单位），则 __________【详细解析】 1.【答案】C 4.【答案】C 【解析】由题意得，∴，∴ ．选C ． 5.【答案】A 【解析】∵=1﹣i ，∴z= ，∴，则在复平面内对应的
点的坐标为（），位于第一象限，故选：A． 6.【答案】C 【解析】因为的虚部为，所以是真命题，故选C. 7.【答案】D 【解析】由题意可得，，所以，对应点坐标(0,-1),选D. 8.【答案】C 二.平面向量小题 （一）命题特点和预测：分析近7年的高考题发现，7年7考，每年1题，主要考查平面向量的线性运算、平面向基本定理、平面向量向量数量积及利用数量积处理垂直、夹角和长度问题,多数为基础题，个别年份以三角形、四边形、梯形、圆等平面图形为载体，考查平面向量基本定理与平面向量数量积及其应用，难度为中档难度，18年高考在考查知识点方面、题型、难度方面仍将保持稳定，可能适度创新． （二）历年试题比较：
第四章 平面向量与复数第4课时 复 数 1. (2013·南通期末)已知复数z ＝3－2i i (i 是虚数单位)，则复数z 所对应的点位于复平面的第________象限． 答案：三 解析：z ＝3－2i i ＝（3－2i ）（－i ）i （－i ） ＝－2－3i. 2. (2013·苏州期末)设复数z 满足z(2＋i)＝1－2i(i 为虚数单位)，则|z|＝________． 答案：1 解析：由z(2＋i)＝1－2i ，得z ＝1－2i 2＋i ＝（1－2i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ） ＝0－5i 5＝－i ，故|z|＝1. 3. (2013·徐州三模)已知i 是虚数单位，若a ＋3i i ＝b ＋i(a 、b ∈R )，则ab 的值为________． 答案：－3 解析：由a ＋3i i ＝b ＋i(a 、b ∈R )，得a ＋3i ＝bi －1，根据复数相等的条件得a ＝－1，b ＝3，ab ＝－3. 4. (2013·常州期末)已知复数z ＝－1＋i(i 为虚数单位)，计算：z·z －z －z －＝________． 答案：－i 解析：z ＝－1＋i ，z·z －z －z － ＝（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）－（－1－i ）＝22i ＝－i. 5. (2013·苏锡常镇一模)若实数a 满足2＋ai 1－i ＝2i ，其中i 是虚数单位，则a ＝________． 答案：2 解析：由2＋ai 1－i ＝2i 得2＋ai ＝(1－i)2i ，即2＋ai ＝2＋2i ，根据实部、虚部分别相等，可知a ＝2. 6. 若z －·z ＋z ＝154 ＋2i(i 为虚数单位)，则复数z ＝________． 答案：－12 ＋2i 解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，则由z －·z ＋z ＝154＋2i ，得x 2＋y 2＋x ＋yi ＝154 ＋2i ，所以?????x 2＋y 2＋x ＝154，y ＝2，解得?????x ＝－12，y ＝2， 所以z ＝－12 ＋2i. 7. 若复数z 满足|z －i|＝1(其中i 为虚数单位)，则|z|的最大值为________． 答案：2 解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，则由|z －i|＝1，得x 2＋(y －1)2＝1，由画图可知|z|的最大值为2. 8. 已知x ＝－3－2i(i 为虚数单位)是一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0(a ，b 均为实数)的一个根，则a ＋b ＝________. 答案：19
第四章平面向量与复数 【知识图解】 Ⅰ.平面向量知识结构表 Ⅱ.复数的知识结构表 【方法点拨】 由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。 复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。 1.向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问 题时注意用数形结合思想的应用. 2.平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向 量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合. 3.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决. 4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法. 第1课向量的概念及基本运算 【考点导读】 1.理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2.掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义.
3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】 1.出下列命题：①若=a b ，则=a b ；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则=是四边形为平行四边形的充要条件；③若,==a b b c ，则=a c ；④=a b 的充要条件是=a b 且//a b ；⑤若//a b ， //b c ，则//a c 。其中，正确命题材的序号是②③ 2. 化简AC - BD + CD - AB 得0 3.在四边形ABCD 中，=a +2b ，=－4a －b ，=－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为梯形 4.如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点， 若OA ＝a ，OB ＝b ，则OP ＝21 33 +a b ， OQ ＝12 33+a b (用a 、b 表示) 5.设12,e e 是不共线的向量,已知向量121212AB 2,CB 3,CD 2=+=+=- e ke e e e e ,若A,B,D 三点共线,求k 的值为8k =- 【范例导析】 例1. 如图，ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a ，=b ，试以a 、b 为基底表示DE 、BF 、CG 分析：本题可以利用向量的基本运算解决. 解：11 22 =-=+-=+-=- DE AE AD AB BE AD a b b a b 1122 =-=+-=+-=- BF AF AB AD DF AB b a a b a G 是△CBD 的重心，111 ()333 ==-=-+ CG CA AC a b 点拨: 利用一直向量表示未知向量的依据是平面向量基本定理，在解题中，应尽可能地转化到平行四边形 或三角形中，结合向量的加减法、数乘运算解决. 例2.已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ， 求证：2AB DC EF += . 分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB 和EC ， 由EA AB EB += 和EF FB EB += 可得，EA AB EF FB +=+ （1） 例1 例2
平面向量、复数 【命题趋势】复数及其运算时高考的一个必考点，内容比较简单，主要是考查共轭复数，复平面以及复数之间的一些运算.一般出现在选择题的第一或者是第二题.平面向量也是高考的一个重要考点，主要涉及到向量的代数运算以及线性运算.1+1模式.两者结合的综合性题目也是高考填空第三题的一个重要方向.本专题也是学生必回的知识点.通过选取了高考出现频率较高的复数、向量知识点采用不同的题型加以训练，题型与高考题型相似并猜测一部分题型，希望通过本专题的学习，学生能够彻底掌握复数与平面向量. 【知识点分析以及满分技巧】 复数一般考查共轭复数以及复平面的意义比较多，中间夹杂着复数之间的运算法则，这类题目相对比较简单，属于送分题目.牵涉到知识点也是比较少.主要注重基本运算.特别会求复数类题目可采取答案带入式运算. 平面向量代数运算类题目一般采用基本运算法则，只要简单记住向量的坐标运算以及模长运算即可. 平面向量的线性运算一般采用三角形法则，应掌握一些常识性结论，如三点共线问题，重心问题等，在解决此类题目中记住三角形法则核心即可. 平面向量综合性的题目一般是代数运算与线性运算相结合.此类题目简便解法是采用数形结合的方式去求解. 【考查题型】选择题，填空 【限时检测】（建议用时：45分钟） 1．（2018·河北衡水中学高考模拟（理））已知i是虚数单位，则复数 37i z i + =的实部和 虚部分别为 A．7，3i -B．7-，3C．7-，3i D．7，3-【答案】D 【解析】先化简复数z,再确定复数z的实部和虚部.
【详解】 由题得2373737 731 i i i z i i i +--= ===--，所以复数z 的实部和虚部分别为7和-3. 故答案为：D 【名师点睛】 (1)本题主要考查复数的除法运算和复数的实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 注意复数(,)z a bi a b R =+∈的实部是a,虚部是“i”的系数b ，不包含“i”,不能写成bi. 2．（2019·河北衡水中学高考模拟（理））已知i 为虚数单位，若复数11ti z i -=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ） A ．[1,1]- B ．(1,1)- C ．(,1)-∞- D ．(1,)+∞ 【答案】B 【解析】 由题()()()()1-ti 1-i 1-ti 1-t 1+t z= ==-i 1+i 1+i 1-i 22 ．又对应复平面的点在第四象限，可知110022 t t 且-+>-<，解得11t -<<．故本题答案选B ． 3．（2019·河南高三月考（理））若1312i i -+与1 ()2 i a ai -的虚部互为相反数，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．1- D ．1 【答案】D 【解析】分别对两个复数进行四则运算化成复数的标准形式，分别得到得复数的虚部，再相加等于0，从而求得a 的值. 【详解】
专题5.平面向量与复数 1.平面向量是高考考查的重点、热点，六年六考.往往以选择题或填空题的形式出现.突出其“几何味”，常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题； 2.近几年浙江卷涉及模及角的最值问题，六年五考！同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，考查数形结合思想、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力．难度为中等或中等偏难. 3.复数的概念运算，六年四考（近四年）.常见题型有选择题、填空题，重点考查除法、乘法等运算，同时考查复数的概念. 预测2021年将侧重平面向量的运算及其应用的考查，综合性依然会较强，难度不会降低.复数考查将保持稳定. 1．（2020·浙江省高考真题）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（） A．1 B．–1 C．2 D．–2 2．（2020·全国高考真题（理））设,a b为单位向量，且||1 a b +=，则|| a b -=______________. 3．（2020·浙江省高考真题）设 1 e， 2 e为单位向量，满足 2 1 |22 | -≤ e e， 12 a e e =+， 12 3 b e e =+，设a，b的夹角为θ，则2 cosθ的最小值为_______． 4．（2020·天津高考真题）如图，在四边形ABCD中，60,3 B AB ? ∠==，6 BC=，且 3 , 2 AD BC AD AB λ =?=-，则实数λ的值为_________，若, M N是线段BC上的动点，且||1 MN=，则DM DN ?的最小值为_________． 5．（2020·全国高考真题（理））设复数1z，2z满足12 ||=||=2 z z， 12 3i z z +=，则12 || z z -=__________.
第一节平面向量的概念及其线性运算 一、向量的有关概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量． 4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 二、向量的线性运算 三角形法则 平行四边形法则 三角形法则 1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0. 2．运算律：设λ，μ是两个实数，则： ①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λ a＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb. 四、共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa. 第二节平面向量的基本定理及坐标表示 一、平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 3．平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使a ＝x i ＋y j ，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标． (2)设＝x i ＋y j ，则向量的坐标(x ，y )就是终点A 的坐标，即若＝(x ，y )，则A 点坐标为(x ，y )，反之亦成立．(O 是坐标原点) 二、平面向量坐标运算 1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)． 2．向量坐标的求法 (1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，||＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 三、平面向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.若a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0. 第三节 平面向量的数量积 一、两个向量的夹角 1．定义 已知两个非零向量a 和b ，作＝a ，＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角． 2．范围 向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a 与b 同向时，夹角θ＝0°；a 与b 反向时，夹角θ＝180°. 3．向量垂直 如果向量a 与b 的夹角是90°，则a 与b 垂直，记作a ⊥b . 二、平面向量数量积 1．已知两个非零向量a 与b ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角． 规定0·a ＝0. 当a ⊥b 时，θ＝90°，这时a ·b ＝0. 2．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 三、向量数量积的性质 1．如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a . 2．a ⊥b ?a ·b ＝0. 3．a ·a ＝|a |2，|a |＝a ·a . 4．cos θ＝a ·b |a ||b | .(θ为a 与b 的夹角) 5．|a ·b |≤|a ||b |. 四、数量积的运算律 1．交换律：a ·b ＝b ·a . 2．分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 3．对λ∈R ，λ(a ·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )． OA u u u r OA u u u r OA u u u r AB u u u r AB u u u r OA u u u r OB u u u r
专题复习___________平面向量与复数 【例题选讲】 例1. 设z ∈C ，求满足z+z 1 ∈R 且|z －2|=2的复数z. 解法一：设z=a+bi ，则z+z 1=a+bi+i 1 b a +=a+bi+2 2i b a b a +- =a+ 22 a a b ++(b －22b a b +)i ∈R ∴b=22b a b +∴b=0或a 2+b 2 =1 当b=0时，z=a ， ∴|a －2|=2∴a=0或4 a=0不合题意舍去，∴z=4 当b ≠0时，a 2+b 2=1 又∵|z －2|=2，∴(a －2)2+b 2 =4 解得a=41，b=±415，∴z=41±415i 综上，z=4或z=41 ±415i 解法二：∵z+z 1∈R ，∴z+z 1 =z +z 1 ∴(z －z )－z z z z -=0，(z －z )·2 2||1||z z -=0 ∴z=z 或|z|=1，下同解法一 例 2. 四边形ABCD 中,AB a = , BC b = ,CD c = , DA d = ,且a b b c c d d a ?=?=?=? ，判断四边形ABCD 是什么图形？ 分析：在四边形ABCD 中，a+b+c+d=0，这是一个隐含条件， 对a+b=－（c+d ），两边平方后，用a ·b=b ·c=d ·c 代入， 从四边形的边长与内角的情况来确定四边形的形状. 解：∵a+b+c+d=0， ∴a+b=－（c+d ）， ∴（a+b ）2=（c+d ）2，即|a|2+2a ·b+|b|2=|c|2+2c ·d+|d|2 ， ∵a ·b=c ·d ， ∴|a|2+|b|2=|c|2+|d|2……① 同理：|a|2+|d|2=|b|2+|c|2 ……② ①，②两式相减得：|b|2=|d|2，|a|2=|c|2 ，即|b|=|d|，|a|=|c|. ∴ABCD 为平行四边形. 又∵a ·b=b ·c ，即b ·（a －c ）=0，而a=－c ，∵b ·（2a ）=0 ∴a ⊥b ， ∴四边形ABCD 为矩形. 例3. 已知A(0，a),B(0,b),(0＜a ＜b)，在x 轴的正半轴上求点C ，使∠ACB 最大，并求出最大值、 解，设C(x,0)(x ＞0) 则=(－x,a), =(－x,b) 则·=x 2 +ab cos ∠ 22222b x a x ab x +++ 令t=x 2 +ab 故cos ∠ACB= 11)(1 )(1 222 +?-+--t b a t b a ab 当t 1=ab 21即t=2ab 时，cos ∠ACB 最大值为b a ab +2、
考点专题二平面向量与复数(2) 【考情分析】 从近四年高考试卷分析来看，本专题知识理科每年考查 1 —2题，所占分值比例约为4.8%, 难易度以容易题、中等题为主，文科每年考查 1 —2题，所占分值比例约为4.5%，难易度以容易题为主，此知识是高考中的必考容 此知识在近四年常以填空题、选择题、解答题的形式在高考题中出现，主要考查复数的四则运算，复平面等相关知识?复数在高考试卷中的考查形式比较单一 【知识梳理】 ［重难点］ 1.复数的相等：两个复数乙a bi(a,b R), z2 c di(c,d R)，当且仅当a c且 b d时，z i Z2.特别地，当且仅当a b 0时，a bi 0. 2.复数的模：复数Z i a bi (a, b R)的模记作z或a bi ，有 z l a bi b2. 3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数.复数 Z的共轭复数记作乙Z、Z互为共轭复数. 如果Z a bi,Z a bi(a,b R)，则有Z R的充要条件是Z Z; Z是纯虚数的充要条件是z z且z 0. 4.复平面 在平面直角坐标系中，可以用点Z(a,b)表示复数Z1 a bi(a,b R)，建立直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，在复平面上，称x、y轴分别为实轴和虚轴，并且复数集C和复平面所有的点构成的集合建立-- 对应关系 5.实系数一元二次方程 实系数一元二次方程在复数集中恒有解，当判别式b2 4ac 0时，实系数一元二次方 程ax2 bx c 0(a,b,c R且a 0)在复数集中有一对互相共轭的虚数根b V4ac b2 . x i. 2a 2a ［易错点］