重视复平面上复数与向量得联系作用
平面向量与复数就是高中数学得重要内容,联系紧密，联系就是在复平面进行得。随着知识得发展,相互对应相互促进就是联系得主要体现。复数中得概念、运算等在向量中可以作出几何解释;向量得运算，可以对应有关得复数运算、复数与向量得这种联系,只要我们需要,可以将它们组合起来，在计算推理中发挥它们得联系作用,将就是一件高效快乐得事情、一复数商与内积得联系
复数运算,向量运算之间得许多联系,在现有课本里就是可以学习到得，下面我们来瞧复数商与内积得联系、
例 1 复数z=a+bｉ，ｚ=a＋bi，它们得三角式分别为z=|z｜(cｏｓθ+isinθ), z=|ｚ|(cosθ+ｉsinθ)，对应得向量分别就是＝(ａ,ｂ)、＝(a，b)、
然后复数作商:
代数式作商:=;-－-－---－-－--－(１)
三角式作商:=[cｏｓ(θ－θ）+ｉｓin(θ-θ)],-－－-－-(2)
比较(1)（2）式,可得 [cos（θ－θ)]=, (3)
［sｉn(θ-θ）]= (4)
则从中可得下列变式：
(1)复数对应向量间得夹角余弦公式:
ｃos(θ-θ)= ，（我們总可以适当选择θ、θ得主值范围,使得|θ-θ|∈，所以与得夹角就就是|θ－θ|)、
(2) 向量内积:
·=ａa+ｂb=||·｜｜ｃos(θ-θ)、
若对(４）取绝对值得到:|×|=｜ab-ab｜=||·|sin(θ-θ)｜，这就是空间平面上向量叉积得绝对值,就是以线段oz、ｏz为邻边得平行四边形得面积公式、
复数商运算式中,隐含着向量间得夹角公式,向量得内积,平行四边形面积得公式、
若复数代数式得三角式分别就是,
然后，将它们得代数式,三角式分别相乘,比较结果,同样可以得到上面得三个式子、数学中得这种相互包容联系,真就是体现了数学中得统一与谐之美、
二复数向向量表示上得转化联系
利用复数与向量得联系,复数可以向向量表示上得转化，使有些复数得问题转化为向量问题或构造向量图像去处理,借向量之力去解决复数问题、
例2 已知复数z、z得模为１,z+ｚ，求复数、
解：根据题意，设复数对应得向量为,以这两个向量为邻边，边长为1,构作一个平行四边形,并建如图１得直角坐标系、记,对应向量、
∵对应得复数就是
x∴，∠ｚoz=60
,
?
本题在解题得思路上借助了复数向向量转化得作用、复数向向量转化就是较常用得思想方法、此题纯粹用代数方法去做,计算量就是较大得、
例３复平面内,已知动点Ａ,B所对应得复数得辐角为定值,分别θ、-θ,,O为原点,ΔAＯB得面积就是定值S,求ΔAOＢ得重心M所对应得复数模得最小值、图2、解:根据题设,设向量对应复数且
|,则有
,
∵ 图2
∴
＝
=
≥
=
∴ ｜z|=|,即重心M 所对应得复数模得最小值(=时,取最小值)、该题用向量方法可较简捷获解、
复数向向量表示上得转化得特点就是:能将复数条件化为特殊得向量图形, 或构造一个向量运算，然后,顺利进行推理运算,求得结果、
三 向量向复数表示上得转化联系
利用复数与平面向量得联系,由向量向复数表示上得转化,使向量问题转化为复数问题或构造复数得结论去处理,借复数之力去解决向量问题,并使人觉得返朴归真之感、
例4已知三个不共线得向量且证明:可构成一个三角形、
证明:不妨设对应复数得三角式分别为：,
且、
o i r i r i r =+++++∴)sin (cos )sin (cos )sin (cos 333222111θθθθθθ
＝0 (2)
由(１）,（2)解得
不共线,
可构成一个三角形、
从证明过程知道,其逆也成立得,故此命题可写成充要条件得形式、
该题纯粹用向量概念去证明就是比较简单得,但学生听了后,并觉得没有复数解明白、 向量向复数表示上得转化得特点就是:转化为复数问题后能构造出复数得某些结论或某些代数公式,从而通过它们去实现目标完成、
四 复数与向量并用联系
用多种形式表示一个命题得方法,在数学中就是常用得手段，而且就是常用常新,也就是知识、思想、方法融会贯通得重要途径、如有些命题既可以用复数表示、也可以用向量表示，对于这类命题得处理自然要选择合适得形式来表示,或者就是两者并用,实现相互左证,这样可以使问题明了简单、
例5已知线段ＡＢ得中点Ｃ,以ＡC 与C Ｂ为对角线作平行四边形A ＥＣＤ与BFCG ，又作平行四边形CF ＨＤ与CGK Ｅ,求证H 、C 、Ｋ三点在一条直线上,且CK ＝C Ｈ,如图３、
证明：以C 为原点,A Ｂ为X 轴建立直角直角
坐标系、设向量对应复数那么,向量对应复数分别为;
又、分别对应复数、
∵ ,
图3 ∴ ,
∴平行,但又有公共点C,故Ｈ、C 、K 三点共线,且CK=CH 、
例6已知(k=１，2,……,ｎ）就是单位圆上得n 个等分点,就是该圆上任意一点，求证 为一定值、如图４、
证明:以单位圆得圆心Ｏ为直角坐标得原点，ＯP 为Ｘ轴,建立坐标系，则∠ (当k=n 时,假定此角为2)，
∵ 点，对应向量就是，则其长为1,向量与，即、
∴ = =()()(.....)()()()2211op op op op op op op op op op op op n n -?-++-?-+-?- =)......(2||||......||||21222221n n op op n op op op ++?-++++
=２n-２=2n,为定值、
在这两个问题解决得过程中，我们既用了复数,又用到了向量及它们之间得等价结论、复数与向量并用得特点就是:并用表示后,相互之间有左证作用或有等价结论,而且在各自得范围内有顺利进行计算推理得可能、
在平面图中，证明点共线,直线平行，直线垂直,判断三角形得形状等时,经常用复数与向量之间来转换、或并用来表示命题得,从而实现共同之目得、
复数与平面向量之间得联系就是很多得,既有数形联系,又有等价结论联系、用好这些联系得意义就是很大得、在教学中能揭示这些联系,可以活跃思维,培养兴趣,提高学习得积极性,提高学习得效率、 要牢固掌握这些联系,关键在平时要理清复数与向量得对应联系，并把它们装在心中,拿在手中,落实在应用中,千万别将它们分离、
例４已知就是单位圆上得ｎ个等分点(按逆时针排列),o 就是原点,求证:
证明:以单位圆得圆心Ｏ为直角坐标得原点,OP 为X 轴,建立直角坐标系，则∠ (当k=n 时,假定此角为2)、
∵ 点,对应向量就是,则其长为1,向量与,
∴ 、
这种等分圆周得有关向量求与问题,通过复数之后,可以转化为复数数列求与来完成、