基本初等函数
一、单项选择
1. 已知幂函数)(x f y =的图象经过点(2,2)，则=)4(f ( ) A.2 B.21 C.2
2 D.22 2. 下列式子正确的是( )
A.2log 20=
B.lg101=
C.2510222?=1
22-=
3. 函数y ＝3x 与y ＝－3－x 的图象关于下列哪种图形对称( )
A ．x 轴
B ．y 轴
C ．直线y ＝x
D ．原点中心对称
4. 函数x e y -=的图象
A.与x e y =的图象关于y 轴对称
B.与x e y =的图象关于坐标原点对称
C.与x e y -=的图象关于 y 轴对称
D.与x e y -=的图象关于坐标原点对称
5. 下列不等式中错误的是 （ ）
A 、
B 、
C 、
D 、2log 3log 22>>>
6. 若函数f(x)＝log a (x ＋b)的大致图象如图所示，其中a ，b(a>0且a ≠1)为常数，则函数g(x)＝a x ＋b 的大致图象是( )
7. 若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a >0且a ≠1)，满足对任意的x 1、x 2，当x 1
实数a 的取值范围为( )
A ．(0,1)∪(1,3)
B ．(1,3)
C ．(0,1)∪(1,23)
D ．(1,23)
8. 设min{, }p q 表示p ，q 两者中的较小的一个，若函数221()min{3log , log }2
f x x x =-，则满足()1f x <的x 的集合为 （ ）
A.(0,
B. （0，+∞）
C. ),16()2,0(+∞?
D.),16
1(+∞ 9. 已知函数f(x)＝)x (log 12+，若f(α)＝1，则α＝( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
10. 设全集I ＝R ，集合A ＝{y |y ＝x 2－2}，B ＝{x |y ＝log 2(3－x )}，则
A )∩
B 等于( )
A ．[－2,3)
B ．(－∞，－2]
C ．(－∞，3)
D ．(－∞，－2)
11. 函数)34(log 1)(22-+-=
x x x f 的定义域为( ) A.(1,2)(2,3) B.(,1)(3,)-∞+∞
C.(1,3)
D.[1,3]
12. 电视台应某企业之约播放两套连续剧．其中，连续剧甲每次播放时间为80 min ，其中广告时间为1 min ，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min ，其中广告时间为1 min ，收视观众为20万．已知该企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min 广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于320 min 的节目时间．则该电视台通过这两套连续剧所获得的收视观众最多为（ ）
A ．220万
B ．200万
C ．180万
D ．160万
二、填空题
13. 将一张厚度为0.04mm 的白纸对折至少 次(假设可能的话),其高度就可以超过珠穆朗玛峰的高度(8848m).
14. 设5
3
07538
01615625.a .,b .,c .,===则a,b,c 从小到大的关系为___________. 15. 已知1414log 7,log 5,a b ==则用,a b 表示35log 28= 。
16.
求值：22log 3321272log 8
-?+=__________ 三、解答题
17. 某出版公司为一本畅销书定价如下:C(n)=??
???∈∈∈）*N ，49≥（10）*N ，48≤
≤25（11）*N ，24≤ ≤1（12n n n n n n n n n 这里n 表示定购书的数量,C(n)表示定购n 本所付的钱数(单位:元).
(1)有多少个n,会出现买多于n 本书比恰好买n 本书所花钱少?
(2)若一本书的成本价是5元,现在甲、乙两人来买书(甲、乙不合买),每人至少买1本, 甲买的书不多于乙买的书,两人共买60本,问出版公司至少能赚多少钱?最多能赚多少钱?
18. 已知定义域为R 的函数11()212
x f x =
-+. (1)判断其奇偶性并证明; (2)判断函数()f x 在R 上的单调性,不用证明;
(3)是否存在实数k ,对于任意[1,2]∈t ,不等式22(2)(2)0f t t f t k -+->恒成立. 若存在,求出实数k 的取值范围;若不存在,说明理由.
19. 已知()()log (1)0,1x a f x a a a =->≠且，求()f x 的定义域。
20. 汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速40km/h 以内的弯道上，甲、乙两汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.经认定，该事故中的超速行驶者应负主要责任.已知事发现场测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车刹车距离略超过10m ，且知甲、乙两种车型的刹车距离S （m ）与车速x （km/h ）之间分别有如下关系：201.01.0x x S +=甲，2005.005.0x x S +=乙.
（1）请指出这次事故的主要责任人，并说明理由；
（2）判断两种车型在何时有相同的刹车距离？为什么？
21. 某商店经营的消费品进价每件14元，月销售量Q （百件）与销售价格P （元）的关系如下图，每月各种开支2000元，
（1）写出月销售量Q （百件）与销售价格P （元）
的函数关系.
（2）该店为了保证职工最低生活费开支3600
元，问：商品价格应控制在什么范围？
（3）当商品价格每件为多少元时，月利润并扣
除职工最低生活费的余额最大？并求出最大
值.
22. 已知函数22()1
x f x log x -=-的定义域为集合A ,关于x 的不等式x a a --<22的解集为B ,
若A B ?,求实数a 的取值范围．
参考答案
一、单项选择
1. A
2. B
3. D 【解析】由y ＝－3－x 得－y ＝3－x ，(x ，y )→(－x ，－y )，即关于原点中心对称．
4. D
5. C
6. B 【解析】由图可知，函数f(x)＝log a (x ＋b)是单调递减函数，所以0 7. D 【解析】令g (x )＝x 2－ax ＋3，则????? a >1，g (a 2)>0. 由此得a 的取值范围为(1, 23)． 8.C 【解析】由函数()f x 的图像知()1f x <的x 的集合为C 第一部分基本初等函数知识点整理 第二章 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数 1、 指数与指数幂的运算： 复习初中整数指数幂的运算性质： a m *a n =a m+n (a m )n =a mn (a*b)n =a n b n 2、根式的概念：一般地，若a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根， 其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。此时，a 的n 次方根用符号 表示。 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 的次方根用符号 表示。正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成 （a>0）。 注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 式子n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数。 3、 分数指数幂 正数的分数指数幂的 ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 4、 有理数指数米的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ) ,,0(R s r a ∈>． 5、无理数指数幂 一般的，无理数指数幂a a （a>0,a 是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。 （二）、指数函数的性质及其特点 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函 数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．为什么？ （1）在[a ，b]上，值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； （4）当a>1时，若X 1 函数名 一次函数 二次函数 反比例函数 指数函数 解析式 )0()(≠+=a b ax x f )0()(≠= k x k x f 图像 定义域 R R {}0|≠x x R 值域 R ） ，（∞+0 必过点 ）（b ,0 ） ，（c 0 ) 1,(1,--k k ） （ ） （1,0 周期性 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 单调性 在R 上单增 )2-a b -∞，（为减 ),2+∞-a b （为增 ）为减，（0-∞）为减，（∞+0 为减 为增，101<<>a a 最大最小值 在R 不存在最大最小值 开口向上有最小值 a b a c y 442min -= 不存在最大最小值 在R 上不存在最大最小值 奇偶性 非奇非偶函数 为奇函数00≠=b b 偶函数 为非奇非为偶函数，00≠=b b 奇函数 非奇非偶函数 对称性 为常数。 对称， 函数图像关于直线任何一点对称；关于图像上t t x a y +=1 - 对称 直线函数图像关于 a b x 2-= 函数图像关于原点对称； 对称。 直线和关于 对称，直线图像关于x y x y -== 既不成中心对称也不成轴对称。 渐近线 无 无 . 00==y x 直线或者直线 .0=y 直线 ) 0()(2≠++=a c bx ax x f ) 10()(≠=a a a x f x 且＞0＞a ＞a 0 ＞k ) ,44[ 2 +∞-a b a c ），（），（∞+?∞00-x a y =) 10(<a x y O 1 函数名 对数函数 幂函数的一个例子 双钩函数 含绝对值函数 解析式 ) 10(log ≠>=a a y x a 且 ) 0(≥=x x y b a b x a x y <-+-=设为了研究方便 图像 O 1 y x ) 10(log <<=a y x a ) 1(log >=a y x a O y x x y =1 1 定义域 ()∞+，0 [)∞+，0 0}x |{x ≠ R 值域 R [) ∞+，0 (][) ∞+∞，，ab ab 22--Y [)+∞-,a b 必过点 ）（0,1 () 1,1 )2,(2,ab a b ab a b -- ）（ ) ,(,a b b a b a --）（ 周期性 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 单调性 单调递减。 单调递增。，, 101<<>a a 为增函数 定义域内 递增。递减，，递减，递增，，???? ??+∞???? ????? ? ? ????? ??∞,00,---a b a b a b a b (][)函数。 上为常值为增函数。 为减函数。 ，],[,-b a b a +∞∞ 最大最小值 无最大最小值 最小值为 0min =y ，无最 大值 无最大最小值 a b y -=min 奇偶性 非奇非偶 非奇非偶 奇函数 对称性 既不是轴对称也不是中心对称 既不是轴对称也不是中心对称 关于原点成中心对称 关 于 直 线 2 b a x += 对称。 渐近线 直线x=0 ax y =和0=x O y x a b a b -ab 2ab 2-O y x a b a b -的情况 只了解中学研究方便通常 ） （00>>+=b a x b ax y 为偶函数0=+b a 基本初等函数测试题 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．有下列各式： ①n a n ＝a ； ②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0 ＝143 x y +; ④ 6 － 2 ＝ 3 －2. 其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．函数y ＝a |x | (a >1)的图象是( ) 3．下列函数在(0，＋∞)上是增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝－2x C ．y ＝log 0.1x D ．y ＝x 12 4．三个数log 215 ，20.1,2－1 的大小关系是( ) A ．log 215<20.1<2－1 B ．log 215<2－1<20.1 C ．20.1<2－1 一、一次函数与二次函数 （一）一次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质 ①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递 增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a =- 时，2max 4()4ac b f x a -=． 二、幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x α =叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． 三、指数函数 （1）根式的概念：如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数 指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质 基本初等函数 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ；2）)0(10 ≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； 此文档下载后即可编辑 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的 n 次方等于 a （n 1,且 n x n a ，则x 称a 的n 次方根 n 1且n N ）， 1）当 n 为奇数时， a 的n 次方根记作 n a ； 2）当 n 为偶数时，负数 a 没有 n 次方根，而正数 a 有两个 n 次方根且互为相反数，记作 n a （a 0） （2）．幂的有关概念 ①规定： 1） a n a a a （n N * ；2） a 0 1（a 0）； n a m (a 0,m 、n N * 且 n 1) 0,r 、 s Q)； 2)(a r )s a r s (a 0,r 、s Q)； 3) (a b)r a r b r (a 0,b 0,r Q)。 （注）上述性质对 r 、 s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果 a （a 0,且a 1） 的 b 次幂等于 N ，就是 a b N ，那么数 b 称以 a 为底 N 的 对数，记作 log a N b,其中a 称对数的底， N 称真数 1）以 10为底的对数称常用对数， log 10 N 记作lg N ； 基本初等函数 n 个 m 3) a p 1 1 (p Q ， 4） a n a p ②性质： 1) a r a s a r s (a N ） ，则这个数称 a 的 n 次方根。即若 3）当 n 为偶数时， n a |a| a(a 0) 。 a(a 0) 2）以无理数e（e 2.71828 ）为底的对数称自然对数，log e N ，记作ln N ； ②基本性质： 1）真数 N 为正数（负数和零无对数） ；2） log a 1 0 ； 3） log a a 1 ；4）对数恒等式： a logaN N 。 ③运算性质：如果 a 0,a 0,M 0, N 0, 则 1) log a (MN ) log a M log a N ； 2) log a M log a M log a N ； a N a a 3) log a M n n log a M (n R) ④换底公式： log a N log m N (a 0,a 0,m 0, m 1, N 0), log m a 1) log a b log b a 1；2)log a m b n n log a b 。 m 2．指数函数与对数函数 (1) 指数函数： ①定义：函数 y a x （a 0,且a 1） 称指数函数， 1）函数的定义域为 R ；2）函数的值域为 （0, ） ； 1时函数为减函数，当 a 1 时函数为增函数。 1）指数函数的图象都经过点（ 0， 1），且图象都在第一、二象限； 2）指数函数都以 x 轴为渐近线（当 0 a 1时，图象向左无限接近 x 轴，当 a 1时，图 象向右无限接近 x 轴）； 3）对于相同的 a （a 0,且a 1），函数 y a x 与y a x 的图象关于 y 轴对称 ③函数值的变化特征： （2）对数函数： ①定义：函数 y log a x （a 0,且a 1） 称对数函数， 1）函数的定义域为 （0, ） ；2）函数的值域为 R ； 3）当 0 a ②函数图 专题02 函数及基本初等函数 第三讲 函数的概念与性质答案部分 2019年 1.[1,7]-【解析】由2 760x x +-，得267 0x x --，解得17x -． 所以函数276y x x =+-的定义域是[1,7]-． 2.D 【解析】设 ，则 ， 所以f (-x )=e 1x --， 因为设 为奇函数，所以()e 1x f x --=-， 即()e 1x f x -=-+． 故选D ． 3.130 15 【解析】①草莓和西瓜各一盒的价格为6080140120+=>，则支付 14010130-=元； ②设促销前顾客应付y 元，由题意有()80%70%y x -，解得1 8 x y ，而促销活动条件是120y ，所以max min 111201588 x y ?? ==?= ???. 学习奥数的优点 1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。 2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。 3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力 4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。 4.A 【解析】由基本初等函数的图像与性质可知，只有12 y x =符合题意.故选A. 5.C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，所以331(log )(log 4)4 f f =， 因为33lo g 4log 31>=，2303 2 02 2 21- -<<<=，所以233 2 302 2 log 4- - <<<， 又()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以233 2 31(2)(2)(log )4 f f f -->>. 故选C ． 2015-2018年 1．D 【解析】当0x ≤时，函数()2x f x -=是减函数，则()(0)1f x f =≥，作出()f x 的 大致图象如图所示，结合图象可知，要使(1)(2)+ 此文档下载后即可编辑 基本初等函数 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，? ??<-≥==)0() 0(||a a a a a a n 。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ；2）)0(10 ≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的 对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； 专题3 基本初等函数 【三年高考】 1．【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z 【答案】D 【考点】指、对数运算性质 【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，在用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式和0与1的对数表示. 2．【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-， 0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 （A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c << （D ）b c a << 【答案】C 【考点】 指数、对数、函数的单调性 【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式. 3．【2017北京，理8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080 .则下列各数中与M N 最接近的是 （参考数据：lg 3≈0.48） （A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093 【答案】D 【解析】 试 题 分 析 ： 设 361 80310 M x N == ，两边取对数， 36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810 x ==-=?-=，所以93.28 10 x =，即M N 最接近9310，故选D. 【考点】对数运算 【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的 运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是361 80310 x =时，两边取对数，对数运算公式包 含log log log a a a M N MN +=，log log log a a a M M N N -=，log log n a a M n M =. 4．【2016高考新课标3理数改编】已知43 2a =，25 4b =，13 25c =，则,,a b c 大小关系 是 ． 【答案】b a c << 【解析】 试题分析：因为4 223 3 5 244a b ==>=，1223 3 3 2554c a ==>=，所以b a c <<． 考点：幂函数的图象与性质． 【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不 §2 初等解析函数及其基本性质 一、基本初等函数 1.指数函数 ()y i y e z x sin cos exp += 加法定理 ()2121exp exp exp z z z z +=?。 z e z =exp ，即()y i y e e e e e x yi x yi x z sin cos +=?==+。 周期性 z e 是周期为()Z ∈k i k π2的周期函数。 2.对数函数 定义2 满足()0≠=z z e w 的函数()z f w =称为复变量z 的对数函数，记为Lnz w =。关于Lnz w =的表达式： 令θ i re z iv u w =+=,，则πθθk v r e re e e e u i iv u iv u 2,+==?==+， 即Argz v z r u ===,ln ln 。从而 注：Lnz 是多值函数，Argz 是多值函数。 当Argz 取主值z arg 时，Lnz 为单值函数，称其为Lnz 的主值，记为z ln ，即 z i z z arg ln ln += ?i k z Lnz π2ln += 注：当0>=x z 时，x x i x z ln arg ln ln =+=——实对数函数。 例2 证明对数运算性质： ⑴2121Lnz Lnz z Lnz +=?；⑵212 1 Lnz Lnz z z Ln -=。 证明⑴ 由对数定义表达式， 212121ln z iArgz z z z Lnz +=? ()2121ln Argz Argz i z z ++?= 2211ln ln iArgz z iArgz z +++=21Lnz Lnz +=； 同理可证⑵式。 例3 求()??? ? ? ?+--i Ln 232 1 ,3ln 及主值。 解 ( )() i i π+= -+-=- 3ln 2 1 3arg 3ln 3ln ； i k i i i i Ln π22321arg 2321ln 2321+??? ? ??+-++-=???? ??+- i k i k i πππ??? ? ? +=++=3122321ln ； 主值：i i i ππ32 321ln 2321ln =+=??? ? ??+- 。 由Lnz 的表达式，容易知道，有分析性质： Lnz 在除原点及负实轴的平面内连续且解析。 i k z i z Lnz π2arg ln ++=，而z arg 在原点及负实轴上不连续，即 Lnz 在除原点及负实轴的平面内连续。 又 在除原点及负实轴的平面内，z w e z w ln ,==有定义且互为反函数，有求导法则， z e dz z d w dw de w 1 11ln ===.Lnz ∴在除原点及负实轴的平面内解析。 从而，应用对数函数Lnz 时，皆指其除原点及负实轴的平面内的某一分支。 3.复数乘幂b a 及其计算 定义3 复数b a ,构成的乘幂：bLna b e a =，其中0≠a 。 可以分析讨论知道，其取值情况有： 1.(年广东卷文)若函数y 二f(x)是函数y 二a(a .0,且a=1)的反函数，且f(2) =1,则 所以,a = 2,故 f (x) = log 2 x ,选 A. x 亠3 y =lg 的图像，只需把函数 y =lg x 的图像上所有 10 ( ) A .向左平移3个单位长度，再向上平移 1个单位长度 B .向右平移3个单位长度，再向上平移 1个单位长度 C. 向左平移3个单位长度，再向下平移 1个单位长度 D. 向右平移3个单位长度，再向下平移 1个单位长 度 答案 C 1 o 3 a = g 2,b = log 1 3,c =(-).，则 2 2 A a 题型一 求函数值 【题型要点解析】 已知函数的解析式，求函数值，常用代入法，代入时，一定要注意函数的对应法则与自变量取值范围的对应关系，有时要借助函数性质与运算性质进行转化． 例1．若函数f (x )＝a |2x － 4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] 【解析】 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝4 23 1-?? ? ??x 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减． 【答案】 B 例2．已知函数f (x )＝??? 3x 2＋ln 1＋x 2＋x ，x ≥0，3x 2＋ln 1＋x 2－x ，x <0， 若f (x －1) 必修一基本初等函数练习题（含详细答案解析） 一、选择题 1．对数式log 32－(2＋3)的值是( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．不存在 1．A 2．当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y ＝a － x 与y ＝log a x 的图象是( )． A B C D 2．A 解析：当a ＞1时，y ＝log a x 单调递增，y ＝a － x 单调递减，故选A ． 3．如果0＜a ＜1，那么下列不等式中正确的是( )． A ．(1－a )3 1＞(1－a )2 1 B ．log 1－a (1＋a )＞0 C ．(1－a )3＞( 1＋a )2 D ．(1－a )1+a ＞1 3．A 4．函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小顺序是( )． A ．1＜d ＜c ＜a ＜b B ．c ＜d ＜1＜a ＜b C ．c ＜d ＜1＜b ＜a D ．d ＜c ＜1＜a ＜b 4．B 解析：画出直线y ＝1与四个函数图象的交点，它们的横坐标的值，分别为a ，b ，c ，d 的值，由图形可得正确结果为B ． (第4题) 5．已知f (x 6)＝log 2 x ，那么f (8)等于( )． A ． 3 4 B ．8 C ．18 D ． 2 1 5．D 6．如果函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间??? ??121 ，上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )． A ． a ≤2 B ．a ＞3 C ．2≤a ≤3 D ．a ≥3 6．D 7．函数f (x )＝2－ x －1的定义域、值域是( )． A ．定义域是R ，值域是R B ．定义域是R ，值域为(0，＋∞) C ．定义域是R ，值域是(－1，＋∞) D ．定义域是(0，＋∞)，值域为R 7．C ＋∞)． 8．已知－1＜a ＜0，则( )． A ．(0.2)a ＜a ??? ??21＜2a B ．2a ＜a ??? ??21＜(0.2)a C ．2a ＜(0.2)a ＜a ?? ? ??21 D ．a ?? ? ??21＜(0.2)a ＜2a 8．B 一、一次函数与二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3 ①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2b x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =- 时，2 min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,) 2b a -+∞上递减，当2b x a =-时，2 max 4()4ac b f x a -=． 二、幂函数 （1）幂函数的定义 叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． 过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． （1）根式的概念：如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂 的意义是：0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂 等于0． ②正数的负分数指数幂 的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 新课标人教版数学?必修高一(上)同步变式练习 第二章基本初等函数(I) 变式练习1 一、选择题 1. y= f (x)(x€ R)是奇函数，则它的图象必经过点( ) A ?(—a,—f(—a)) B.( a,— f (a)) C.( a, f (丄)) D ?(—a,—f (a)) 答案：D a 2?设定义在R上的函数f (x)=| x I,则f (x)( ) A ?既是奇函数，又是增函数B.既是偶函数，又是增函数 C.既是奇函数，又是减函数 D.既是偶函数，又是减函数 解析：本题可以作出函数图象，由图象可知该函数为偶函数，又是R上的 增函数. 答案：B 3?设f (x)是R上的偶函数，且在(0,+^)上是减函数，若x i v 0且x i + x2 >0,贝U( ) A ? f ( —x i)> f (—x2) B. f ( —X1)= f ( —X2) C. f ( —X1)v f ( —x2) D. f ( —X i)与f ( —x2) 大小不确 疋 解析：x2> —x i> 0, f (X)是R 上的偶函数，??? f ( —x i)= f (x i).又f (x) 在(0,+x)上是减函数，? f ( —X2)= f (X2)V f ( —x i). 答案：A 二、填空题 4. ______________________________________________________ 已知 f(x)= x5+ ax3+ bx—8, f ( —2)= i0,贝U f (2)： __________________ . 解析：f ( —2) = ( —2) 5+ a ( —2) 3—2b —8= i0, ?(—2) 5+ a ( —2) 3—2b= i8, f (2)= 25+ 23a+ 2b —8=—i8—8= —26. 专题02 函数的概念与基本初等函数I 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 【答案】B 【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.2 02 21,b =>= 0.3000.20.21,c <=<=即01,c << 则a c b <<． 故选B ． 【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小． 2．【2019年高考天津理数】已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b << 【答案】A 【解析】因为551log 2log 2 a =<= ， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=， 10.200.50.50.5c <=<，即 1 12 c <<， 所以a c b <<. 故选A. 【名师点睛】本题考查比较大小问题，关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较. 3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若a >b ，则 A ．ln(a ?b )>0 B ．3a <3b C ．a 3?b 3>0 D ．│a │>│b │ 【答案】C 【解析】取2,1a b ==，满足a b >，但ln()0a b -=，则A 错，排除A ； 由219333=>=，知B 错，排除B ； 取1,2a b ==-，满足a b >，但|1||2|<-，则D 错，排除D ； 因为幂函数3 y x =是增函数，a b >，所以33a b >，即a 3?b 3>0，C 正确. 故选C ． 【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断． 4．【2019年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2?m 1= 2 152lg E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1 B ．10.1 C ．lg10.1 D ．10?10.1 【答案】A 【解析】两颗星的星等与亮度满足1212 5lg 2E m m E -=， 令211.45,26.7m m =-=-， 则()121222 lg ( 1.4526.7)10.1,55 E m m E =-=?-+= 从而10.11 2 10E E =. 故选A. 【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识?信息处理能力?阅读理解能力以及对数的运算. 5．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )= 在 [,]-ππ的图像大致为 A ． B ． 2sin cos ++x x x x 高考理科数学：基本初等函数题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 指数运算与对数运算 例1 已知函数2log ,0,()31,0, x x x f x x ->?=?+≤?则f (f (1))＋f 31log 2? ? ???的值是( ) A.5 B.3 C.－1 D.7 2 【答案】A 【解析】由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30 ＋1＝2，31log 0,2<∴f 31log 2?? ??? ＝31 log 2 3-+1＝2＋1 ＝3，所以f (f (1))＋f ????log 31 2＝5. 【易错点】确定3 1 log 2 的范围再代入. 【思维点拨】本题较简单，分段函数计算题代入时要先确定范围，再代入函数. 例2 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝2log 1,0,6,0,x x f x x -≤?? ->?（）（ ）则f (2 019)＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D 【解析】∵2 019＝6×337－3，∴f (2 019)＝f (－3)＝log 2(1＋3)＝2.故选D. 【易错点】转化过程 【思维点拨】x >6时可以将函数看作周期函数，得到f (2 019)＝f (3)，然后再带入3，得出f (3)＝f (－3). 题型二 指对幂函数的图象与简单性质 例1 函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A.a >1，b <0 B.a >1，b >0 C.00 D.0 函数集锦 1.(2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝ ?????cos πx 2，0高中数学必修一基本初等函数知识点+练习题含答案解析(非常详细)
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