当前位置：文档之家› 高考数学总复习专题基本初等函数试题含解析

高考数学总复习专题基本初等函数试题含解析

专题3 基本初等函数

【三年高考】

1．【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z

B ．5z <2x <3y

C ．3y <5z <2x

D ．3y <2x <5z

【答案】D

【考点】指、对数运算性质

【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，在用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式和0与1的对数表示.

2．【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，

0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a <<

（C ）b a c <<

（D ）b c a <<

【答案】C

【考点】指数、对数、函数的单调性

【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.

3．【2017北京，理8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080

.则下列各数中与M N

最接近的是

（参考数据：lg 3≈0.48）

（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093 【答案】D 【解析】试

题

分

析

：

设

361

80310

M x N == ，两边取对数，

36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810

x ==-=?-=，所以93.28

x =，即M N 最接近9310，故选D.

【考点】对数运算

【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的

运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是361

80310

x =时，两边取对数，对数运算公式包

含log log log a a a M N MN +=，log log log a a a

M M N N

-=，log log n

a a M n M =. 4．【2016高考新课标3理数改编】已知43

2a =，25

4b =，13

25c =，则,,a b c 大小关系

是．【答案】b a c << 【解析】

试题分析：因为4

223

244a b ==>=，1223

2554c a ==>=，所以b a c <<．考点：幂函数的图象与性质．

【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不

同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．

5．【2016高考浙江理数】已知a>b>1.若log a b+log b a=5

，a b=b a，则a=

，b= .

【答案】42

【解析】

试题分析：设log,1

a t t

则，因为2

t t a b

+=?=?=，

因此2

22, 4.

b a b b

a b b b b b b a

=?=?=?==

考点：1、指数运算；2、对数运算．

【易错点睛】在解方程

log log

a b

b a

+=时，要注意log1

a>，若没注意到log1

a>，方程

log log

a b

b a

+=的根有两个，由于增根导致错误．

6【2016高考天津理数】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.

若实数a满足

(2)(2)

f f

->-，则a的取值范围是______.

【答案】

(,)

考点：利用函数性质解不等式

【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：

(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．

(2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．

7．【2016高考天津理数】已知函数f（x）=

2(4,0,

log(1)1

x a x

x x

?+<

++≥

（a>0,且a≠1）在R

上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）（A ）（0，

23] （B ）[23，34

] （C ）[13，2

{

}（D ）[13，2

3）

{

} 【答案】C 【解析】

试题分析：由()f x 在R 上递减可知34013

31,013

4a a a a -≥??≤≤?

≥<

好有两个不相等的实数解，可知132,

12a a ≤-≤，1233a ≤≤，又∵3

a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的去范围是

123

[,]{}334

，故选C. 考点：函数性质综合应用

【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

8．【2016高考浙江文数改编】已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,x

f x x ≥∈R .则下列四个命题中正确的命题是．

①.若()f a b ≤，则a b ≤；②若()2b

f a ≤，则a b ≤；③若()f a b ≥，则a b ≥；④若

()2b f a ≥，则a b ≥

【答案】②

考点：函数的奇偶性.

【思路点睛】先由已知条件可得()f x 的解析式，再由()f x 的解析式判断()f x 的奇偶性，进而对选项逐个进行排除．

9．【2015高考山东，文2】设0.6 1.50.6

0.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是_________. 【答案】b a c ＜＜

【解析】由0.6x

y =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.5

0.600.60.61<<<，又0.61.51>，

故b a c ＜＜.

10. 【2015高考北京，理7】如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是_____.

B O

y -1

【答案】{}|11x x -<≤

【解析】如图所示，把函数2log y x =的图象向左平移一个单位得到2log (1)y x =+的图象1x =时两图象相交，不等式的解为11x -<

≤，用集合表示解集{}|11x x -<≤

11. 【2015高考天津，理7】已知定义在R 上的函数()2

1x m

f x -=- （m 为实数）为偶函

数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为____________. 【答案】c a b << 【解析】因为函数()2

1x m

f x -=-为偶函数，所以0m =，即()21x

f x =-，所以

log log 330.521(log 3)log 2121312,

3a f f ?

?===-=-=-= ??

?()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=，所以c a b <<.

12．【2015高考四川，理15】已知函数x

x f 2)(=，ax x x g +=2

)(（其中R a ∈）.对于不相等的实数21,x x ，设2121)()(x x x f x f m --=

，2

121)

()(x x x g x g n --=.现有如下命题：

（1）对于任意不相等的实数21,x x ，都有0>m ；

（2）对于任意的a 及任意不相等的实数21,x x ，都有0>n ；（3）对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m =；（4）对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m -=. 其中的真命题有（写出所有真命题的序号）. 【答案】①④

【解析】设11221122(,()),(,()),(,()),(,())A x f x B x f x C x g x D x g x .对（1），从2x

y =的图象可看出，0AB m k =>恒成立，故正确.对（2），直线CD 的斜率可为负，即0n <，故不正确.对（3），由m =n 得1212()()()()f x f x g x g x -=-，即1122()()()()f x g x f x g x -=-.令

2()()()2x h x f x g x x ax =-=--，则()2ln 22x h x x a '=--.由()0h x '=得：

2ln 22x x a =+，作出2ln 2,2x y y x a ==+的图象知，方程2ln 22x x a =+不一定有解，

所以()h x 不一定有极值点，即对于任意的a ，不一定存在不相等的实数21,x x ，使得

12()()h x h x =，即不一定存在不相等的实数21,x x ，使得n m =.故不正确.对（4），由m =－n

得1221()()()()f x f x g x g x -=-，即1122()()()()f x g x f x g x +=+.令

2()()()2x h x f x g x x ax =+=++，则()2ln 22x h x x a '=++.由()0h x '=得：

2ln 22x x a =--，作出2ln 2,2x

y y x a ==--的图象知，方程2ln 22x x a =--必一定有解，

所以()h x 一定有极值点，即对于任意的a ，一定存在不相等的实数21,x x ，使得12()()h x h x =，即一定存在不相等的实数21,x x ，使得m n =-.故正确.所以（1）（4）

【2018年高考命题预测】

纵观2015－2017高考试题，对基本初等函数的考查，大部分是以基本初等函数的性质为依托，结合运算推理解决问题，高考中一般以选择题和填空的形式考查.幂函数新课标要求较低，只要求掌握幂函数的概念，图像与简单性质，仅限于几个特殊的幂函数，关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现.指数函数在历年的高考题中占据着重要的地位.从近几年的高考形势来看，对指数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题.为此，我们要熟练掌握指数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数进行变形处理.高考题目形式多以指数函数为载体的复合函数来考察函数的性质.同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大.对数函数在历年的高考题中占据着重要的地位.从近几年的高考形势来看，对对数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题.为此，我们要熟练掌握对数运算法则，明确算理，能对常见的对数型函数进行变形处理.高考题目形式多以对数函数为载体的复合函数来考察函数的性质.同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大.基本初等函数是考察函数、方程、不等式很好的载体，预测2018年会继续加强对基本初等函数图象和性质的考察.尤其注意以基本初等函数为模型的抽象函数的考察，这种题型只给出定义域内满足某些运算性质的法则，往往集定义域、值域、单调性、奇偶性与一身，全面考察学生对函数概念和性质的理解.

【2018年高考考点定位】

高考对基本初等函数的考查有三种主要形式：一是比较大小；二是基本初等函数的图象和性质；三是基本初等函数的综合应用，其中经常以分段函数为载体考察函数、方程、不等式等知识的相联系.

【考点1】指数值、对数值的比较大小【备考知识梳理】

指数函数(0,1)x

y a a a =>≠，当a 1>时，指数函数在(,)-∞+∞单调递增；当0a 1<<时，指数函数在(,)-∞+∞单调递减.

对数函数log (0,1)a y x a a =>≠，当a 1>时，对数函数在(0,)+∞单调递增；当0a 1<<时，对数函数在(0,)+∞单调递减.

幂函数y x α

=图象永远过（1,1），且当0α>时，在(0,)x ∈+∞时，单调递增；当0α<时，在(0,)x ∈+∞时，单调递减. 【规律方法技巧】

指数值和对数值较大小，若指数值有底数相同或指数相同，可以考虑构造指数函数和幂函数和对数函数，通过考虑单调性，进而比较函数值的大小；其次还可以借助函数图象比较大小.若底数和指数不相同时，可考虑选取中间变量，指数值往往和1比较；对数值往往和0、1比较.

【考点针对训练】 1.设1

133

3124