二次根式复习专题讲义
一、二次根式的概念：
1.二次根式：形如
a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”
称为二次根号。
①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。
②.
a （a ≥0）是一个非负数。 ③. （a ）
2
＝a （a ≥0）；
2
a =a （a ≥0）
2.二次根式的乘： ①.一般的，有
a
·
b
＝
a b
．（a ≥0，b ≥0）
②. 反过来，有ab ＝a ×b
( a ≥ 0 ，b ≥ 0 )
3.二次根式的除：
①. 一般地，对二次根式的除法规定：
a
b
=
a b
（a ≥0，b>0），
②. 反过来，
a b
=
a b
（a ≥0，b>0）
4. 二次根式的加减法则：
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
典型例题分析：
例1. 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
2、3
3、
1x
、
x （x>0）、0、42、-2、
1
x y
+、x y +（x ≥0，
y ?≥0）．
例2.当x 是多少时，23x ++1
1
x +在实数范围内有意义？
变式题1：当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？
变式题2：①.当x 是多少时，23
x x
++x 2在实数范围内有意义？
例3. ①.已知y=
2x -+2x -+5，求
x y
的值．
②.若1a ++1b -=0，求a
2004
+b 2004的值．
③.已知1x y -++3x -=0，求x y
的值．
例4. 计算 1．（3
2
）2 2．（3
5）
2
3．（
5
6）2 4．（
72
）2
例5. 计算 1．（1x +）
2
（x ≥0） 2．（
2
a ）2
3．（
221a a ++）2
4．（24129x x -+）2
变式题：计算
1.（-3
2
3
）2
2.(2332)(2332)
+-
例6.在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
例7.化简
（1）9（2）2
(3)
-
(4)
-（3）25（4）2例8.填空：当a≥0时，2a=_____；当a<0时，2
a=_______，?并根据这一性质回答下列问题．
（1）若2a=a，则a可以是什么数？
（2）若2a=-a，则a可以是什么数？
（3）2a>a，则a可以是什么数？
例9.当x>2，化简2
(12)x
-．
x--2
(2)
例10．先化简再求值：当a=9时，求a+2
-+的值，
12a a
甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=a+2
-=a+（1-a）=1；
(1)a
乙的解答为：原式=a+2
(1)a
-=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
变式题1．若│1995-a│+2000
a-=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a?的值是正数还是负数，去掉绝对值）
变式题2．
若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│+2
(3)x ++21025x x -+。
例11．计算 （1）5×
7
（2）
1
3
×
9
（3）9×
27
（4）
12
×
6
分析：直接利用a
·
b
＝
a b
（a ≥0，b ≥0）计算即可．
解：（1）
5
×
7
=
35
（2）13
×9=1
93
?=3
（3）9
×27=2
92793?=?=93
（4）
12
×
6
=
162
?=
3
例12 . 化简 （1）916?
（2）1681? （3）81100?
（4）
22
9x y （5）54
例13 . 判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1）(4)(9)49-?-=-?-
（2）12
425
×
25
=4×
1225
×
25
=4
1225
×
25
=4
12
=8
3
变式题1：若直角三角形两条直角边的边长分别为15
cm
和
12
cm ，?那么此直角三角形斜边长是（ ）．
变式题2：化简a 1a
-
的结果是（ ）．
变式题3：
1014=_______．√169×6
变式题4：一个底面为30cm ×30cm 长方体玻璃容器中装满水，?现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？
变式题5：探究过程：观察下列各式及其验证过程． （1）2
2
3
=223
+
验证：223
=
2
2
×23
=
2223
?=
332(22)233
-+= =
32
2222
2222(21)221212121--+=+----
=223+
（2）3
3
8
=338
+
验证：338
=
2
3
×38
=
3
38
=
3233331
-+-
=
22
222
3(31)33(31)3313131
-+-=+---=338+
同理可得：444
41515
=+ 5
55
52424
=+，…… 通过上述探究你能猜测出： a 2
1
a a -=_______（a>0）,
并验证你的结论．
例14．计算： （1）
12
3
（2）
3128
÷ （3）
11416
÷ （4）
64
8
例15．化简： （1）
364
（2）
22
649b a （3）
2
964x y （4）
2
5169x y
例16．已知9966
x x
x x --=
--，且x 为偶数，求（1+x ）
2254
1
x x x -+-的值．
变式题1.计算
112
121335
÷÷的结果是（ ）．
变式题2.阅读下列运算过程：
1333333==?，22525
5
555==
? 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简
26
的结果是（ ）．
变式题3.已知x=3，y=4，z=5，那么y z x y ÷的最后结果
是_______．
变式题4.有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为
3
：1，?现用直径为3
15
cm 的一种圆木做原料
加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？ 变式题5.计算
（1）32n
n m m ·（-33
1
n m
m ）÷
3
2n m
（m>0，n>0）
（2）-3
22
2332m n a -÷（2
3
2
m n a +）×2a m n
- （a>0）
例17.把它们化成最简二次根式：
(1)
5312
; (2) 2442x y x y +; (3)238x y
总结：二次根式有如下两个特点： 1．被开方数不含分母；
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
例18.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2.5cm ，BC=6cm ，求AB 的长．
B
A
C
例19.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
121
+=
1(21)21
2
1(21)(21)?--=-+-=2
-1，
1
32
+=
1(32)32
32(32)(32)
?--=-+-=3
-2
，
同理可得：
1
43
+=
4
-
3
，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （121
++
132
++
143
++……
1
20022001
+）（2002
+1）的
值． 练习： 一、选择题 1．如果
x y
（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次
根式是（ ）． A ．
x
y
（y>0） B ．
x y
（y>0） C ．
x y y
（y>0）
D ．以上都不对 2．把（a-1）1
1
a --中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）．
A ．
1a - B ．1a - C ．-1a - D ．-1a
-
3．在下列各式中，化简正确的是（ ）
A ．5
3
=3
15
B ．
12
=±1
2
2
C ．
4a b
=a 2
b
D ． 32x x -=x 1x -
4．化简32
27
-的结果是（ ）
A ．-23
B ．-23
C ．-
63
D ．-
2
二、填空题 1．化简
422x x y +=_________．（x ≥0）
2．a
2
1a a +-
化简二次根式号后的结果是_________．
三、综合提高题
1．已知a 为实数，化简：
3
a --a
1a
-
，阅读下面的解答
过程，请判断是否正确？若不正确，?请写出正确的解答过程：
2．若x 、y 为实数，且y=22
441
2
x x x -+-++，求x
y x y +-的值．
例20.计算 （1）8
+
18
（2）
16x
+
64x
总结：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的二次根式进行合并．
例
21．计算
（1）348-91
3
+3
12
（2）（48
+
20
）+（12
-
5
）
例
22．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（293
x
x
+y 2
3
x y
）
-（x 2
1x
-5x
y x
）的值．
练习：
一、选择题
1．以下二次根式：①12；②22；③2
3
；④27中，与3是同类二次根式的是（）．
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
2．下列各式：①33+3=63；②1
7
7=1；③
2+6=8=22；④24
3
=22，其中错误的有（）．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题
1．在8、175
3a、29
3
a、125、3
2
3a
a
、30.2、-21
8
中，
与3a是同类二次根式的有________．
2．计算二次根式5a-3b-7a+9b的最后结果是________．
三、综合提高题
1．已知5≈2.236，求（80-41
5）-（13
5
+445
5
）的
值．（结果精确到0.01） 2．先化简，再求值．
（6x y
x +3
3
x y
y
）-（4x x
y
+36xy），其中x=3
2
，y=27．
例23．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点
B 开始沿BA 边以1厘米/?秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿B
C 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）
B
A
C Q
P
例
23．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精
确到0.1m ）？
例24．若最简根式34
3a b a b -+与根式232
26a b b b -+是同类二
次根式，求a 、b 的值．（?同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）
练习： 一、选择题
1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（?结果用最简二次根式） A ．52
B ．
50
C ．2
5
D ．以上都
不对
2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框，?为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又
钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．（结果同最简二次根式表示） A ．13
100
B ．1300
C ．10
13
D ．5
13
二、填空题
1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，
它的面积是1600m 2，?鱼塘的宽是_______m ．（结果用最简二次根式）
2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为
2
，?那么这
个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）
三、综合提高题 1．若最简二次根式22
323
m -与2
12
410n m -
-是同类二次根式，求m 、n 的值．
2．同学们，我们以前学过完全平方公式a 2±2ab +b 2=（a
±b ）2
，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，
那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（
3
）2，5=（
5
）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我
们观察： （
2
-1）2=（
2
）2-2·1·
2
+12=2-2
2
+1=3-2
2
反之，3-22
=2-2
2
+1=（
2
-1）2
∴3-22
=（2
-1）
2
∴
322-=2-1
求：（1）322+； （2）
423+；
（3）你会算412-吗？(√3-1)
（4）若
2a b ±=m n ±，则m 、n 与a 、b 的关系是什
么？并说明理由．
例25．计算: （1）（6
+
8
）×
3
（2）（4
6
-3
2
）÷2
2
例26．计算 （1）（5
+6）（3-
5
） （2）（
10
+
7
）（
10
-
7
）
例27．已知x
b
a
-=2-x
a b
-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0， 化简11x x
x x
+-+++
11x x
x x
+++-，并求值。
练习： 一、选择题 1．（
24
-3
15
+2
22
3
）×
2
的值是（ ）．
A ．20
3
3-330 B ．3
30-2
3
3 C ．2
30
-2
3
3
D ．20
3
3
-
30
2．计算（
x
+1x -）（x
-1x -）的值是（ ）．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．1 二、填空题 1．（-12
+
32
）2的计算结果（用最简根式表示）是
________． 2．（1-2
3
）（1+2
3
）-（2
3
-1）2的计算结果（用最简
二次根式表示）是_______． 3．若x=
2
-1，则x 2+2x+1=________．
4．已知a=3+22
，b=3-2
2
，则a 2b-ab 2=_________．
三、综合提高题 1．化简57
10141521
++++
2．当x=
121
-时，求
22
11x x x x x x
++++-++
22
11x x x x x x
+-++++的值．（结果
用最简二次根式表示）
课外知识
1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，?这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．
练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．
A ．2x 与2y
B ．34
89
a b 与
5892
a b
C ．
m n
与
n
D ．
m n +与m n +
2．互为有理化因式：?互为有理化因式是指两个二次根
式的乘积可以运用平方差公式（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-22x x
+与
x+1+
22x x +就是互为有理化因式；x
与
1x
也是互为有理化
因式． 练习：2
+
3
的有理化因式是________；
x-y
的有理化因式是_________．
-1x +-1x -的有理化因式是_______．
3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、?分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．
练习：把下列各式的分母有理化 （1）
151
-；（2）
1
123
+；（3）
2
62
-；（4）3
342
3342
+-． 4．其它材料：如果n 是任意正整数，那么21n n n +
-=n 21
n
n -
理由：
21n n n +-=33
22
11
n n n n n n -+=--=n 21n n -
练习：填空22
3
=____；
33
8
=_____；
44
15
=_______．
例28.比较
32-与21-的大小。
变式题1：比较43-与32-的大小。
变式题2：试比较1n n +-与1n n --的大小。
例29.已知16+的整数部分为a,小数部分为b,求a-b.
二次根式计算专题训练 解答题（共30小题） 1．计算： （1）+；（2）（+）+（﹣）． 2．计算： （1）（π﹣3.14）0+|﹣2|﹣+（）﹣2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）（x﹣3）（3﹣x）﹣（x﹣2）2． 3．计算化简： （1）++（2）2﹣6+3． 4．计算 （1）+﹣（2）÷×．
（1）×+3×2（2）2﹣6+3． 6．计算： （1）（）2﹣20+|﹣| （2）（﹣）× （3）2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣） 7．计算 （1）?（a≥0）（2）÷ （3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣）
（1）+﹣（2）3+（﹣）+÷． 9．计算 （1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2． 10．计算： （1）﹣4+（2）+2﹣（﹣）（3）（2+）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0． 11．计算： （1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2?．
①4+﹣+4；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2． 13．计算题 （1）××（2）﹣+2 （3）（﹣1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣） （5）÷﹣×+（6）． 14．已知：a=，b=，求a2+3ab+b2的值． 15．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．
16．化简：﹣a． 17．计算： （1）9+5﹣3；（2）2；（3）（）2016（﹣）2015． 18．计算：． 19．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值． 20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．
21．已知1＜x＜5，化简：﹣|x﹣5|． 22．观察下列等式： ①==； ②==； ③== …回答下列问题： （1）利用你观察到的规律，化简： （2）计算：+++…+． 23．观察下面的变形规律： =，=，=，=，…解答下面的问题： （1）若n为正整数，请你猜想=； （2）计算： （++…+）×（） 24．阅读下面的材料，并解答后面的问题： ==﹣1
二次根式知识清单及典型题型练习 姓名________ 1.二次根式：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。 ) )00x x ><中，二次根式有 个 二次根式有意义的条件： ①当__________时， 1 1 m +有意义；②当__________ x 有（ ）个．A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数 变式：已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+-< x x y ,化简 1 1--y y =_________. 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 练．下列式子为最简二次根式的是( ) 3.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2 ） 利用二次根式的性质化简：①．若0x <，则x = ；②．若0,0a b <>，则 = ；2 = ；④若0xy ≠，=-成立的条件是 ；⑤若01x <<等于 ． ⑥= ；⑦3y =，x +y 的平方根=_____. 4.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 练：下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ） A ．2112与 B ．2718与 C ．3 13与 D ．5445与 变式：若最简二次根式____,____a b ==。 5.二次根式的运算： （1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． a （a ＞0） ==a a 2 a -（a ＜0） 0 （a =0）；
（2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a = （a>0，b≥0） （特别应注意a 、b 的取值） 练：①使等式 ()()1111x x x x +-= -+g 成立的条件是 。 ②当x __________时， 22 x x x x =--有意义； ③计算： ( ) 483273_____________-÷=；33 23121418÷???? ? ?++-= 6、二次根式的大小比较（通常采用平方法，作差法，求倒法） 比较大小：①23- 32- ②53- 23+ ③76- 65- 变式：设25,3223-=-=-= c ，b a ,则a 、b 、c 的大小关系 7、在实数范围内分解因式 在实数范围内分解因式。（1）4x 2－3= ；（2）9y 4－4= 8、规律性问题 练：观察下列各式及其验证过程： ， 验证：； 验证:. （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4 4 15 =_________； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程. 变式： 已知，则a _________ 巩固练习： 1、下列根式中，最简二次根式为：（ ） A 0.2b B ．x 2 4- C ． x 4 D ．()x +42
课 题 二次根式全章综合复习 1、理解二次根式的概念，并利用 a （ a ≥ 0）的意义解答具体题目 学习目标 2、理解 a （ a ≥ 0）是一个非负数和（ a ）2 =a （ a ≥ 0）并利用它们进行计算和化简 3、二次根式的运算与化简求值 学习重点 二次根式的性质及其运算 知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义： 形如 的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当 是一个非负数时， 才 9 有意义． 【典型例题】 例 1、下列各式 1） 1 , 2) 5,3) x 2 2, 4) 4,5) ( 1)2 ,6) 1 a,7) a 2 2a 1 ，其中是二次 5 3 根式的是 _________（填序号）． 练习： 1 、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） 2 A 、 a B 、10 C 、 a 1 D 、 a 1 2 、在 a 、 a 2 b 、 x 1、 1 x 2 、 3 中是二次根式的个数有 ______ 个 例 2、若式子 1 ． [来源 :学 *科 *网 Z*X*X*K] 有意义，则 x 的取值范围是 x 3 练习： 1 、使代数式 x 3 有意义的 x 的取值范围是（ ） x 4 A 、x>3 B 、 x ≥3 C 、 x>4 D 、 x ≥3 且 x ≠4 2 、如果代数式 m 1 P （ m ， n ）的位置在（ ） 有意义，那么，直角坐标系中点 mn
A 、第一象限 B 、第二象限C、第三象限D、第四象限 例 3、若y=x 5 + 5 x +2009，则x+y= 练习： 1、若x 1 1 x(x y)2，则x－y的值为（） A．－ 1 B ． 1C． 2 D ． 3 2 、当a取什么值时，代数式2a 1 1 取值最小，并求出这个最小值。 例 4、已知 a 是 5 整数部分，b是 5 的小数部分，求a 1 的值。b2 练习： 1 、若 3 的整数部分是 a ，小数部分是 b ，则3a b。 2 、若17 的整数部分为x，小数部分为 x 21 y，求y 的值. 知识点二：二次根式的性质【知识要点】
八年二次根式、勾股定理综合复习经典
学习过程 一、知识点复习讲解 1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质： （1）（a）2=a（a≥0）；（2） = =a a2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式， 那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次 根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所 得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （a≥0，b≥0）；=b≥0，a>0） （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的 分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222 a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五” 0 （
人教版九年级上第二十一章二次根式 二次根式 教师：学生：时间：内容简介： 本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要内容有：（1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、?同类二次根式等；（2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等． 知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义：的式子叫二次根式，其中 形如 是一个非负数时， 叫被开方数，只有当 才有意义． 【典型例题】 【例1】下列各式1），其中是二次根式的是（填序号）．
举一反三： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（） A、 B、 C、 D、 2、在、、、、中是二次根式的个数有个 【例2】若式子有意义，则x的取值范围是．[来源:学*科*网Z*X*X*K] 举一反三： 1、使代数式有意义的x的取值范围是（） A、x>3 B、x≥3 C、 x>4 D 、x≥3且x≠4 2、使代数式有意义的x的取值范围是 3、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 【例3】若2009，则 解题思路：式子（a≥0），，2009，则2014 举一反三： 1、若，则x－y的值为（） A．－1 B．1 C．2 D．3
2、若x、y都是实数，且，求的值 3、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。 已知a是整数部分，b是的小数部分，求的值。 若的整数部分是a，小数部分是b，则。 若的整数部分为x，小数部分为y，求的值. 知识点二：二次根式的性质 【知识要点】1. 非负性：是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： 3. 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替． （3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负
苏教版八年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 《二次根式》全章复习与巩固（基础）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、二次根式的相关概念和性质 1.二次根式 0)a ≥. 要点诠释：0a ≥，即只有被开方数0a ≥时， 才有意义. 2.二次根式的性质 （1） ； （2）；
（3）. 要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2=（0a ≥）， 如22212;;3x ===（0x ≥）. （2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论a . （3a ，再根据绝对值的意义来进行化简. （42的异同 a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数； a ，2=a （0a ≥）. 相同点：被开方数都是非负数，当a 2. 3.最简二次根式 （1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数中不含有分母； （3）分母中不含有根号. 满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.等都是最简二次根式. 要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同， 再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1.乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 0,0)a b =≥≥ 积的算术平方根化简公式： 0,0)a b =≥≥
二次根式的加减 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如 (a ≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2. （a ≥0）； 3. . 要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2)(0a a a =≥）. 2a 2)a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2a 中a ≥02a a 为任意值。 2).a ≥0时，2)a 2a a ；a <0时，2()a 2a a -. 知识点
类型一、二次根式的概念 例1.下列各式中 ，一定是二次根式的有（ ）个． A.2 B.3 C.4 D.5 举一反三： 【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）. （1）13 ；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3-；（6）1x -（1x >） 例2. 式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＜1 B ．x ≤1 C ．x ＞1 D ．x ≥1 举一反三： 【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）. 23-()20.3-2-x 类型二、二次根式的性质 例3. 计算下列各式： (1)23 2()4 --2(3.14)π- 典型例题
课 题 二次根式全章综合复习 学习目标 1、理解二次根式的概念，并利用a （a ≥0）的意义解答具体题目 2、理解a （a ≥0）是一个非负数和（a ）2 =a （a ≥0）并利用它们进行计算和化简 3、二次根式的运算与化简求值 学习重点 二次根式的性质及其运算 知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义： 形如 的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时， 才9有意义． 【典型例题】 例1、下列各式1） 22211 ,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+，其中是二次根式的是_________（填序号）． 练习： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、 2 1a + 2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个 例2、若式子 1 3 x -有意义，则x 的取值范围是 ． 练习： 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4
例8、如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+2 () a b +的结果等于（） A．－2b B．2b C．－2a D．2a 练习： 1、实数a在数轴上的位置如图所示：化简：2 1(2)______ a a -+-=．2、 已知实数a，b在数轴上的位置如图，化简： 2 2 2 2 2)1 ( )1 ( ) (- - - + - + +a b b a b a 例9、已知a、b、c为△ABC的三边长，化简2 2 2 2) ( ) ( ) ( ) (b a c c b a c b a c b a- - + - - + - + + + + 练习：在△ABC中，a、b、c是三角形的三边长，化简b a c c b a- - - + -2 ) (2 例10、化简2 1816 x x x ---+的结果是2x-5，则x的取值范围是（） （A）x为任意实数（B）1≤x≤4 （C）x≥1 （D）x≤1 练习： 1、若代数式22 (2)(4) a a -+-的值是常数2，则a的取值范围是（） Ａ．4 a≥Ｂ．2 a≤Ｃ．24 a ≤≤Ｄ．2 a=或4 a= 2、如果1 1 a2 a a2= + - +，那么a的取值范围是（） A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1 1-012 a o b a
分式和二次根式专题训练 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、当 x ＿＿＿＿时，分式有意义。 ２、当＿＿＿＿时，有意义。 ３、计算：－a －1＝＿＿＿＿。 ４、化简：(x 2 －xy)÷＝＿＿＿＿。 ５、分式 ，，的最简公分母是＿＿＿＿。 ６、比较大小：2＿＿＿＿3。 ７、已知 ＝，则的值是＿＿＿＿。 ８、若最简根式和是同类根式，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 ９、仿照2＝·＝＝的做法，化简3 ＝＿＿＿＿。 10、当 2＜x ＜3 时，－＝＿＿＿＿。 11、若的小数部分是 a ，则 a ＝＿＿＿＿。 12、若 ＝＋＋2成立，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、下列各式中，属于分式的是（ ） A 、 B 、 C 、x ＋ D 、 ２、对于分式 总有（ ） A 、＝ B 、＝ C 、＝ D 、＝ ３、下列根式中，属最简二次根式的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 ４、可以与合并的二次根式是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 x 2x －3 a －2a 2 a －1 x －y xy b 2a 24a 3b c a 5c 2 32x ＋2y 2y 5 2x ＋y y x ＋1y 30.5220.54×0.521 3 (2－x)2(x －3)2 31－x x －1x －y 22x ＋y 12x 2 1 x －1 1x －1x －1(x －1)21x －1x ＋1x 2－11x －112 (x －1)21x －11 1－x 27x 2＋11 2 a 2 b 182761 3 8y y
５、如果分式 中的 x 和 都扩大为原来的 2 倍，那么分式的值（ ） A 、扩大 2 倍 B 、扩大 4 倍 C 、不变 D 、缩小 2 倍 ６、当 x ＜0 时，｜－x ｜等于（ ） A 、0 B 、－2x C 、2x D 、－2x 或0 三、计算：（每题 6 分，共 24 分） １、()3÷()0×(－)－2 ２、(＋)÷ ３、－＋ ４、(3－2)2 四、计算：（每题 6 分，共 24 分） １、－＋ ２、÷(x ＋ 1)· ３、－· ４、4b ＋－3ab (＋) 五、解答题：（每题 8 分，共 32 分） １、某人在环形跑道上跑步，共跑两圈，第一圈的速度是 x 米/分钟，第二圈的速度是 米/分钟（x ＞），则他平均一分钟跑的路程是多少？ 2x x ＋y x 2b 2a 22b 23a b a x 2x －242－x x ＋2 2x 84 2 1223x x ＋y y y －x 2xy x 2－y 2x 2－1x 2＋4x ＋4x 2＋3x ＋2 x －1 20＋55 1312a b 2a a 5b 31 ab 4ab y y y
二次根式综合应用（讲义） ? 课前预习 1. 回顾二次根式的相关概念，并完成下列各题． （1 ）2=_____ ． （2）二次根式的乘除法则： ①_______________________；②______________________． （3）二次根式的加减法则： ①______________________；②_______________________． 2. 根据幂的运算性质11p p p a a a -?? == ??? （a ≠0，p 为正整数）进行计算： （1 ）2 -? ? ； （2 ）3-． 3. 有理数混合运算处理方法： ①观察_______划_______； ②有序操作依_______； ③每步推进一点点． 例： 2112(2)(3)2102543.?? -÷ ?--?-+ ??? ① ②③ 思路分析 观察结构，划为①②③三个部分，对①②部分，每步推进一点点． 过程示范
1840.25(3)1 432 31 32 31 34 3 ?? =??--?-+ ??? ?? =---+ ???=-++=- 原式 请你类比有理数混合运算处理方法，处理下面实数混合运算： ? 知识点睛 1. 理解二次根式的双重非负性 （1 0且0x ≥． （2 20y z +=，则x =_____，y =_____，z =_____． 2. 实数混合运算处理方法： ①_____________________； ②_____________________； ③_____________________． 做运算时往往需要估计工作量．．．．．，观察式子结构，巧用公式，可以大大简化运算． （1）22()()a b a b a b +-=-； （2）222()2a b a ab b ±=±+． 3. 比较大小的几种方法：估值法，作差法，乘方法，分母有理化． 4. 二次根式与数形结合 被开方数中出现平方形式，可通过构造直角三角形借助勾股定理．．．．．．．．．．．．． 解决问题．
二次根式 知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义：形如 的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是 一个非负数时，才有意义． 【典型例题】【例1】下列各式122211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a -+---+ 其中是二次根式的是_________（填序号）． 【例2】若式子3 x -有意义，则x 的取值范围是 ．3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。 · 知识点二：二次根式的性质 【知识要点】 1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2. ()()a a a 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()20 3. a a a a a a 200==≥-
【例4】 若()2 240a c --=，则=+-c b a ． （公式)0()(2≥=a a a 的运用） 【例5】 化简：21a -+的结果为（ ）A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4 （公式? ??<-≥==)0a (a )0a (a a a 2的应用） 【例6】已知2x <, A 、2x - B 、2x + C 、2x -- D 、 2x - 【例7】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │ 的结果 等于（ ） A ．－2b B ．2b C ．－2a D ．2a . 【例8】如果11a 2a a 2=+-+，那么a 的取值范围是（ ） A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a ≤1 知识点三：最简二次根式和同类二次根式 【知识要点】1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式． 2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。 【典型例题】 【例9】在根式 ，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) { 【例10】下列根式中能与3是合并的是( )A.8 B. 27 5 D. 21 知识点四：二次根式计算——分母有理化 【知识要点】 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： o b a
第七讲 二次根式的运算 式子a (a ≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础． (1)c b a c b c a )(±=± (c ≥0)； (2)ab b a =? (0,0≥≥b a )； (3) b a b a = (0,0>≥b a )； (4)22)(a a =(≥a 0)． 同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念． 二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等． 例题求解 【例1】 已知2542 4 52 22+-----= x x x x y ，则22y x += ． (重庆市竞赛题) 思路点拨 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手． 注： 二次根式有如下重要性质： (1)0≥a ，说明了a 与a 、n a 2一样都是非负数； (2) a a =2)( (≥a 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化； (3) a a =2)(，揭示了与绝对值的内在一致性． 著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题． 提示：22222 2 054 20,262045x x x y x y x x ?-≥??-→-==→+=?-?≥?-? 【例2】 化简2 2 )1(111++ + n n ，所得的结果为（ ）(武汉市选拔赛试题) A ．1111+++n n B ．1111++-n n C ．1111+-+n n D ．1 1 11+--n n 思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．提示： 原式 11 1 n n n +==-+ （C ） 【例3】计算： （1） ) 23)(36(23346++++； （2 （3） 49 4747491 7 55715 33513 31++ +++ ++ + ； （4 思路点拨 若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口．（1 ）原式 = ==+ （2）原式 = (55==--= （3 = = 12= == 原式1 1113( ()2 217747 =+++=-= （4 = = ==【例4】 (1)化简324324-++； (北京市竞赛题)
专题训练(一) 二次根式化简求值有技巧(含答案) ? 类型之一 利用二次根式的性质a 2＝|a|化简 对于a 2的化简，不要盲目地写成a ，而应先写成绝对值的形式，即|a|，然后再根据a 的符号进行化简．即a 2＝|a|＝?????a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）. 1．已知a ＝2－3，则a 2－2a ＋1＝( ) A ．1－3 B .3－1 C ．3－3 D .3－3 2．当a ＜12且a ≠0时，化简：4a 2－4a ＋12a 2－a ＝________． 3．当a ＜－8时，化简：|（a ＋4）2－4|. 4．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c ，化简：c 2－4c ＋4－ 14c 2－4c ＋16. ? 类型之二 逆用二次根式乘除法法则化简 5．当ab ＜0时，化简a 2b 的结果是( ) A ．－a b B ．a －b C ．－a －b D ．a b 6．化简：(1)（－5）2×（－3）2； (2)（－16）×（－49）； (3) 2.25a 2b ； (4) －25－9； (5)9a 34 . ? 类型之三 利用隐含条件求值 7．已知实数a 满足（2016－a ）2＋a －2017＝a ，求a －12016 的值．
8．已知x ＋y ＝－10，xy ＝8，求x y ＋y x 的值． ? 类型之四 巧用乘法公式化简 9．计算：(1)(－4－15)(4－15)； (2)(26＋32)(32－26)； (3)(23＋6)(2－2)； (4)(15＋4)2016(15－4)2017. ? 类型之五 巧用整体思想进行计算 10．已知x ＝5－26，则x 2－10x ＋1的值为( ) A ．－30 6 B ．－186－2 C ．0 D ．10 6 11．已知x ＝12(11＋7)，y ＝12(11－7)，求x 2－xy ＋y 2的值． 12．已知x ＞y 且x ＋y ＝6，xy ＝4，求x ＋y x －y 的值． ? 类型之六 巧用倒数法比较大小 13．设a ＝3－2，b ＝2－3，c ＝5－2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞a D ．b ＞c ＞a _
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础） 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如1 3, ,0.02,02 等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2） ； （3）. 要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2 a =（0a ≥）， 如2 2211 22); );)33 x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .
（3 a ，再根据绝对值的意义来进行化简. （4 2 的异同 a 可以取任何实数，而2 中的a 必须取非负数； a ，2=a （0a ≥）. 相同点：被开方数都是非负数，当a 2 . 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 次根式. 要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断. 显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 0,0) a b =≥≥ 积的算术平方根化简公式： 0,0)a b =≥≥ 二次根式的除法 0,0)a b ≥> 商的算术平方根化简公式： 0,0)a b =≥> 要点诠释： （1 ）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如 = （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）. ≠. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：
数学二次根式(讲义及答案)含答案 一、选择题 1．5﹣x ，则x 的取值范围是（ ） A ．为任意实数 B ．0≤x≤5 C ．x≥5 D ．x≤5 2．下列式子为最简二次根式的是（ ） A B C D 3．下列各式成立的是（ ） A 3= B 3= C ．22(3 =- D ．2-= 4．下列各式计算正确的是（ ） A = B = C ．23= D 2=- 5．下列各式计算正确的是（ ） A = B 6= C ．3+= D 2=- 6．下列各式中正确的是（ ） A 6 B 2=- C 4 D ．2(＝7 7．若a ，b ＝，则a b 的值为（ ） A ． 1 2 B ． 14 C ． 3 21 + D 8．下列各式计算正确的是（ ） A += B ．2 6=（ C 4= D = 9．若|x 2﹣4x+4|x+y 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．9 10．设0a >，0b >=的值是 （ ） A ．2 B ． 14 C ． 12 D ． 3158 11．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ） A B C D 12．2 30x -=成立的x 的值为（ ）
A ．-2 B ．3 C ．-2或3 D ．以上都不对 二、填空题 13．比较实数的大小:(1)5?-______3- ；（2）51 -_______12 14．已知实数,x y 满足()( ) 2 22008 20082008x x y y ----=，则 2232332007x y x y -+--的值为______. 15．计算（π-3）02-2 11(223)-4 --22 --（） 的结果为_____． 16．把31 a a - 根号外的因式移入根号内，得________ 17．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“ ”表示算数平 方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为： 22164?a x a x +=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________. 18．化简：3222＝_____． 19．函数y ＝ 42 x x --中，自变量x 的取值范围是____________． 20．28n n 为________． 三、解答题 21．计算： 2232234334 1009999100 + ++++【答案】 910 【解析】 【分析】 先对代数式的每一部分分母有理化，然后再进行运算
二次根式专项训练答案 一、选择题 1．1 =-，那么x的取值范围是（） x A．x≥1B．x>1 C．x≤1D．x<16 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等式的左边为算术平方根，结果为非负数，即x-1≥0求解即可. 【详解】 由于二次根式的结果为非负数可知：x-1≥0， 解得，x≥1， 故选A. 【点睛】 本题利用了二次根式的结果为非负数求x的取值范围. 2．在实数范围内有意义，则a的取值范围是（） A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】 在实数范围内有意义，则其被开方数大于等于0；易得a＋2≥0，解不等式a＋2≥0，即得答案. 【详解】 在实数范围内有意义， ∴a＋2≥0，解得a≥－2． 故选B. 【点睛】 本题是一道关于二次根式定义的题目，应熟练掌握二次根式有意义的条件； 3．a的值为（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】 根据题意得，3a-8=17-2a，
移项合并，得5a=25， 系数化为1，得a=5． 故选：D． 【点睛】 本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． 4．若x、y 4 y=，则xy的值为() A．0 B．1 2 C．2 D．不能确定 【答案】C 【解析】 由题意得，2x?1?0且1?2x?0， 解得x?1 2 且x? 1 2 ， ∴x=1 2 ， y=4， ∴xy=1 2 ×4=2. 故答案为C. 5．下列运算正确的是（） A． B ）2=2 C D ==3﹣2=1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质和加减运算法则判断即可.【详解】 根据二次根式的加减，可知 A选项错误； 根据二次根式的性质2=a（a≥0 2=2，所以B选项正确； (0) =0(=0) (0) a a a a a a ? ? =? ?- ? ＞ ＜ ﹣11|=11，所以C选项错误； D D选项错误． 故选B．
二次根式计算专题训练 一、解答题（共30 小题） 1．计算： （1）+ ；（2）（+ ）+（﹣）． 2．计算： （1）（π﹣3.14）0+| ﹣2| ﹣+（）-2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）（ x﹣ 3）（3﹣x）﹣（ x﹣ 2）2． 3．计算化简： （1）++ （2）2﹣6 +3． 4．计算 （1）+ ﹣（2）÷×． 5．计算： （1）×+3 ×2 （2）2 ﹣6 +3 ． 6．计算： （1）（）2﹣20+| ﹣| （2）（﹣）×
（3）2 ﹣3 + ；（4）（7+4 ）（2﹣）2+（2+ ）（2﹣） 7．计算 （1）? （ a≥ 0）（2）÷ （3）+ ﹣﹣（4）（3+ ）（﹣） 8．计算：： （1）+ ﹣（2）3 + （﹣）+ ÷． 9．计算 （1）﹣4 + ÷（2）（1﹣）（1+ ）+（1+ ）2． 10．计算： （1）﹣4 + （2）+2 ﹣（﹣）
（3）（ 2 + ）（2 ﹣）；（4）+ ﹣（﹣1）0． 11．计算： （1）（3 + ﹣4 ）÷（ 2）+9 ﹣2x2? ． 12．计算： ①4+﹣+4；②（ 7+4 ）（ 7﹣ 4 ）﹣（ 3 ﹣1）2． 13．计算题 （1）××（2）﹣ +2 （3）（﹣ 1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣） （5）÷﹣×+ （6）．
．已知： a=， b=，求2+3ab+b2的值． 14 a 15．已知 x， y 都是有理数，并且满足，求的值． 16．化简：﹣a ． 17．计算： （1）9 +5 ﹣3 ；（2）2 ； （3）（）2016（﹣）2015． 18．计算：． 19．已知 y= + ﹣4，计算 x﹣y2的值． 20．已知： a、 b、 c 是△ ABC的三边长，化简．21．已知 1＜ x＜5，化简：﹣| x﹣5| ．
八年级二次根式复习讲义(非常全面)
二次根式 知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时， 才有意义． 【典型例题】 【例1】下列各式1） 22211 ,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 举一反三： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、 2 1a + 2、在a 、2a b 、1x +、2 1x +、3中是二次根式的个数有______个 【例2】若式子3 x -有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三： 1、使代数式4 3--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2、使代数式2 21x x -+-有意义的x 的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 解题思路：式子a （a ≥0），50 ,50x x -≥??-≥? 5x =，y=2009，则x+y=2014 举一反三： 1、11x x --2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值 3、当a 211a +取值最小，并求出这个最小值。 已知a 5b 是5的小数部分，求1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求 y x 1 2+ 的值. 知识点二：二次根式的性质 【知识要点】 1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()()a a a 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()20 3. a a a a a a 200==≥-
新人教版数学八年级下册《二次根式》基础专项练习 一、二次根式的意义 1．下列式子一定是二次根式的是（） A．B．C．D． 2．下列式子是二次根式的有（） ①；②（a≥0）；③（m，n同号且n≠0）；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列根式中，属于最简二次根式的是（） A． B．C．D． 二、二次根式有意义的条件 4．若代数式﹣在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x≠﹣2 B．x≤5 C．x≥5 D．x≤5且x≠﹣2 5．已知y=，则的值为（） A．B．﹣ C．D．﹣ 6．若式子﹣+1有意义，则x的取值范围是（） A．x≥B．x≤C．x= D．以上都不对 三、二次根式的性质与化简 7．下列运算正确的是（） A．B． C．D． 8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简﹣+b的结果是（）A．1 B．b+1 C．2a D．1﹣2a 9．若1＜x＜2，则的值为（） A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 四、最简二次根式
10．下列二次根式是最简二次根式的是（） A． B．C． D． 11．在根式①②③④中，最简二次根式是（）A．①②B．③④C．①③D．①④ 12．下列根式中是最简二次根式的是（） A．B．C．（a＞0）D． 五、二次根式的乘除法 13．计算2×÷的结果是（） A．B．C．D．2 14．下列运算正确的是（） A．a+a=a2B．a2?2a3=2a6C．÷=3 D．（﹣ab3）2=a2b6 15．下列计算正确的是（） ①=?=6；②=?=6 ③=?=3；④=?=1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 六、分母有理化 16．﹣1的倒数为（） A．﹣1 B．1﹣C．+1 D．﹣﹣1 17．a=，b=，则a+b﹣ab的值是（） A．3 B．4 C．5 D． 七、同类二次根式 18．下列根式中，与为同类二次根式的是（） A．B．C．D． 19．下列二次根式中，能与合并的是（） A． B． C．D． 20．在根式、、、、中与是同类二次根式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个