次根式复习课
教学目标
1. 理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子;
2. 熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.
教学重点和难点 重点：含二次根式的式子的混合运算.
难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子. 、复习
1.请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的
条件.
指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简 二次根式.
2.二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来.
指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的.把两个二次根式相
计算结果要把分母有理化.
(l) a0);
4.在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：
⑴（掐尸二与a =（拓尸（?0）! （可屈 二虚* 血7b=V^Ca>0, b>0）； ⑶卜彩5 b 〉0）与*胡（6
7
例如，化简分，可以用?神方法: ⑴直接约分咅-等=你
先写成分式形式，即■^1低= 除，
\/a
,再运用二次根式的除法袪则进行计算，计算,
3.在二次根式的化简或计算中,
还常用到以下两个二次根式的关系式:
⑵分母有理化存務 5 ⑶看作二次根式的除法=夢 攵倚不一定能化成茁几 当矗耐，如曲)2二护珂Qr (丽)?4^=(耐,此时，V?
■陆？；％<0叭 ■炉叫旋巴但后无意义，所以何此
时5只去(疑
2.
二、例题 例1x 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义:
C 1)V3 - X +、如-2 ；
(2) [ ；
⑶伍Sr 3X
分析:
(1) 题是两个二次根式的和，x 的取值必须使两个二次根式都有意义; (2) 题中，式子的分母不能为零，即:^不能取使1-歹=0的值； (3) 题是两个二次根式的和，x 的取值必须使两个二次根式都有意义；
(4) 题的分子是二次根式，分母是含 x 的单项式，因此x 的取值必须使二次根式 有意义，
同时使分母的值不等于零.
例记知g n 为实埶且满时亜乎1二求尬％的值.
分析；先根据己知条件求岀m 与n 的值，冉求多顶式6m Jn 的值.二次根式VnF
环厂尹能义的条件分别是』-9》0及9-nO(L 从申来得nKHL 从而确定m 的值 解因为n 2
-
9>0 9-n 2
>0且n-3工0所以n 2
=9且门工3所以
-9 + Jg "口* +4 4 2
n = -3, m = 7 = — = -Ti
-0 J
小结
1．本节课复习的五个基本问题是 “二次根式 ”这一章的主要基础知识，同学们 要深刻
理解并牢固掌握．
fi-3
6m-3n = 6X(-|)-3(-3) = 5.
2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式
有意义的条件（或题中的隐含条件），即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．
3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．
平行四边形
王雪梅
【教学目标】
1、通过对几种平行四边形的回顾与思考，梳理所学的知识，系统地复习平行四
边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法，三角形的中位线定理等;
2、正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别，在反思和交流过
程中，逐渐建立知识体系;
3、引导学生独立思考，通过归纳、概括、实践等系统数学活动，感受获得成功 的体验，
形成科学的学习习惯。 【教学重点】
1、平行四边形与各种特殊平行四边形的区别。
2、梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形、三角形的中位线定理的知识体系及
应用方法。
【教学难点】 平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用。 【教学过程】
、以题代纲，梳理知识 （一）开门见山，直奔主题
同学们，今天我们一起来复习《平行四边形》的相关知识，先请同学们迅速 地完成下面几道练习题 （二）诊断练习
角线AC 和BD 相交于点0:
矩形
(5)
AB = BC ，四边形ABCD 是平行四边形 OA = OC = OB = OD ，AC 丄 BD 菱形 正方形
2、菱形的两条对角线长分别是6厘米和8厘米,
则菱形的边长为丄厘米。
1、根据条件判定它是什么图形，并在括号内填出,
在四边形
ABCD 中，对
(1) AB = CD,AD = BC
（平行四边形
4、若正方形ABCD的对角线长10厘米，那么它的面积是_5匚平方厘米。
5、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，轴对称图形有：矩形、菱形、正方形，中心对称图形的有: 平行四边形、矩形、菱形、正方形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是:
（三）归纳整理，形成体系
1、性质判定，列表归纳
2、基础练习:
（1）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ C ）
3、顺次连结矩形ABCD各边中点所成的四边形是菱形。
A.对角线相等（距、
正）B.对角线平分一组对角（菱、正）
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直（菱、
正）
矩形、菱形、正方形
(2)正方形具有，矩形也具有的性质是(
A )
A. 对角线相等且互相平分
B. 对角线相等且互相垂直
C.对角线互相垂直且互相平分
D.对角线互相垂直平分且 相等
(3)如果一个四边形是中心对称图形，那么这个四边形一定
都是中心对称图形，A 、B 、C 都是平行四边形
(4)矩形具有，而菱形不一定具有的性质是( B )
问：菱形的对角线一定不相等吗？错，因为正方形也是菱形。
(5)
正方形具有而矩形不具有的特征是(
D )
A.内角为360°
问：那么正方形具有而菱形不具有的特征是什么？对角线相等
能得到哪些新的平行四边形？为什么?
A.正方形
B.菱形
C.矩形
D.平行四边形
A.对角线互相平分
B.对角线相等
C. 对边平行且相等
D.内角和为360°
B.四个角都是直角
C.两组对边分别相等
D. 对角线平分对角
一题多变，培养应变能力 已
知： 如图1，□ ABCD 的对角线AC 、BD 交于点0,
EF 过点0与AB 、CD 分别交于点E 、F .
求证: A --------------- E - L
—氓--_ f
'/
J = F
变式1. OE=OF .
证明：???
在图1中，连结哪些线段可以构成新的平行四边形？为什么?
1-1
变式2.在图1中，如果过点
1-2
0再作GH , 分别交AD 、BC 于G 、H ，你又
D
D
变式2 2-2-2 2-3
变式4.在图1中，若改为过A 作AH 丄BC ,垂足为H , AD 于G ,连结GC ,贝U 四边形AHCG 是什么四边形？为什么？
A ____________ G ，
/ 、丄”
Ct ； -- ---------------------
B H C
变式4
变式5.在图1中，若GH 丄BD , GH 分别交AD 、BC 于G 、H ，则四边形
BGDH 是什么四边形？为什么?
变式5
（二）课堂小结，领悟思想方法
条件和结论互换，往往会有意想不到的收获。也只有这样，才能做到举一反三, 提咼应变能力。
善于总结，领悟方法。
数学题目本身蕴含着许多数学思想方法，只要你善于总结，就能真正掌握、 提炼出其中的数学方法，才能不断提高自己分析问题、解决问题的能力。
变式3.在图1中，若EF 与AB 、CD 的延长线分别交于点 E 、F ,这时仍有
OE=OF 吗？你还能构造出几个新的平行四边形
?
连结HO 并延长交
.一题多变，举一反三。
经常在解题之后进行反思
改变命题的条件，或将命题的结论延伸，或将
专题：二次根式重难点综合题型 题型一：二次根式的性质 1．写出下列各式有意义时x 的取值范围. (1)12--x ; (2) ． 2．已知：,x y 为实数，且311+-+- ※课后练习 1．若53+的小数部分是a ，5-3的小数部分是b ，求a +b 的 值。 2．已知411+=-+-y x x ，则xy 的平方根为______． 3．已知25-=x ，求4)25()549(2++-+x x 的值． 4．计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 5．已知,23,23-=+=y x 求(1)x 2－xy ＋y 2； (2)x 3y ＋xy 3的值． 6．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 均为整数，且a 和b 满足 .09622=+-+-b b a 试求△ABC 的c 边的长． 7 ．已知：11a a +=221 a a +的值。 8．化简： 9．已知：x,y,z 满足关系式： y x y x z y x z y x --+-+=-++--+20122012223，试求x ，y ， z 的值。 10．求值： 2004 20031431321211++ ++++++Λ x x x x x 1399413+-a a b b a a a 2129122+-+) 23(623 24b a a b b a ab b -?-÷2 310253b a b a ÷- ? 一、选择题 1．如果0,0a b <<，且6a b -=，则22a b -的值是（ ） A ．6 B ．6- C ．6或6- D ．无法确定 2．下列计算正确的是（ ） A ．()2 22a b a b -=- B ．()3 22x x 8x ÷=+ C ．1a a a a ÷? = D ． () 2 44-=- 3．下列二次根式中是最简二次根式的为（ ） A ．12 B ．30 C ．8 D ． 12 4．如图，在矩形ABCD 中无重叠放入面积分别为16cm 2和12cm 2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A ．（8﹣43）cm 2 B ．（4﹣23）cm 2 C ．（16﹣83）cm 2 D ．（﹣12+83）cm 2 5．计算() 21 273632 ÷+?--的结果正确的是( ) A ．3 B ．3 C ．6 D ．33- 6．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（ ）. A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 7．下列计算正确的是（ ） A 366=± B ．422222=C ．83266= D a b ab =（a≥0，b≥0） 8．下列各式计算正确的是（ ） A 235+=B ．2 36=（） C 824= D 236= 9．已知m ＝12n ＝12223m n mn +- （ ） A ．±3 B ．3 C ．5 D ．9 10．下列各组二次根式中，能合并的一组是（ ） A 1a +1a -B 3和 1 3 C 2a b 2ab D 318 二、填空题 11．比较实数的大小:(1)5?-______3- ；（2）51 4 -_______12 12．计算（π-3）02-2 11(223)-4 --22 --（） 的结果为_____． 13．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72 [72]=8 [8]=2 [2]=1，类似地，只需进行3次操作 后变为1的所有正整数中，最大的是________． 14．已知a ＝﹣ 73 +，则代数式a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____． 15．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简2a ﹣|a ﹣c |+2()c b -﹣|﹣b |＝_______． 16．把1 m m - _____________. 17．若a 、b 、c 均为实数,且a 、b 、c 均不为0432 52a c b =___________ 18．已知|a ﹣20072008a -=a ，则a ﹣20072的值是_____． 19．已知4a 2(3)|2|a a +--=_____． 20．3a ，小数部分是b 3a b -=______. 三、解答题 21．计算： （18322（2）)((2 52253 82 +-+． 【答案】(1)52 【分析】 （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据平方差公式化简，再化简、合并同类二次根式即可. 【详解】 （18322=22422 =52 （2） )((2 52253 82 +--+ 备战2021年中考数学总复习一轮讲练测 第一单元数与式 第4讲二次根式 1.了解二次根式和最简二次根式的概念，知道二次根式中被开方数为非负数并且也是非负数. 2.了解二次根式的加、减、乘、除运算法则并掌握二次根式的性质. 3.能根据二次根式的运算法则及性质进行二次根式的加、减、乘、除和综合运算. 1．（2020?温岭市校级一模）当x＜1时，有意义． 【思路点拨】根据二次根式及分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【答案】解：∵有意义， ∴x﹣1＜0，解得x＜1． 故答案为：＜1． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数具有非负性是解答此题的关键． 2．（2019春?余姚市期末）下列各式正确的是（） A．＝±3 B．＝±3 C．＝3 D．＝﹣3 【思路点拨】根据算术平方根的定义求解，即正数正的平方根是算术平方根． 【答案】解：A、＝3，故此选项计算错误，不符合题意； B、＝3，故此选项计算错误，不符合题意； C、＝3，故此选项计算错误，符合题意； D、＝3，故此选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．3．（2020春?临邑县期末）下列运算中，正确的是（） A．＝±6 B．﹣1 C．＝5 D．3＝3 【思路点拨】利用算术平方根的定义对A进行判断；利用二次根式的性质对B进行判断； 利用完全平方公式对C进行判断；根据二次根式的加减法对D进行判断． 【答案】解：A、＝6，所以A选项错误； B、原式＝|1﹣|＝﹣1，所以B选项正确； C、原式＝2+2+3＝5+2，所以C选项错误； D、原式＝2，所以D选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4．（2018?恩阳区模拟）若，则（） A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3 【思路点拨】等式左边为非负数，说明右边3﹣b≥0，由此可得b的取值范围． 【答案】解：∵， ∴3﹣b≥0，解得b≤3． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质：≥0（a≥0），＝a（a≥0）． 5．（2019?石家庄二模）如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（） 特尔教育一对一个性化辅导讲义 学科：数学任课教师：授课时间：2014年9月日(星期 ) 2、应用题 1、如图所示，某小区规划在一个长为40 m 、宽为26 m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144 m 2 ，求道路的宽度． 2 西瓜经营户以2元／千克的价格购进一批小型西瓜，以3元／千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0．1元／千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元． (1)设销售单价为每千克a 元,每天平均获利为y 元,请解答下列问题:（每空2分） ①每天平均销售量可以表示为_____; ②每天平均销售额可以表示为______; ③每天平均获利可以表示为y=________; (2) 该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降多少元? （5分） 解析：(1)①)4001400(a -千克 ②a a )4001400(-元 ③24)4001400)(2(---=a a y （元） (2) 该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降多少元? 解法一：设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元,根据题意，得： ()40322002420001x x ?? --+ -= ?.? ?； 解这个方程，得：120203x x =.,=. 因此 应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元. 解法二：由(1)根据题意，得：(a-2)(1400-400a)-24=200 整理得 056.75.52 =-+a a 16.2 二次根式的乘除 二次根式的乘法 基础训练 知识点1 二次根式的乘法法则 1.(河池)计算:×= . 2.(安徽)计算×的结果是( ) A. B.4 C. D.2 3.(中考·海南)下列各数中,与的积为有理数的是( ) A. B.3 C.2 D.2- 4.等式·=成立的条件是( ) A.x≥1 B.-1≤x≤1 C.x≤-1 D.x≤-1或x≥1 5.下列等式成立的是( ) A.4×2=8 B.5×4=20 C.4×3=7 D.5×4=20 6.(2016·长沙)下列计算正确的是( ) A.×= B.x8÷x2=x4 C.(2a)3=6a3 D.3a3·2a2=6a6 7.×的计算结果估计在( ) A.1至1.5之间 B.1.5至2之间 C.2至2.5之间 D.2.5至3之间 8.在△ABC中,BC=4 cm,BC边上的高为2 cm,则△ABC的面积为( ) A.6 cm2 B.4 cm2 C.8 cm2 D.16 cm2 知识点2 积的算术平方根的性质 9.若=·成立,则( ) A.a≥0,b≥0 B.a≥0,b≤0 C.ab≥0 D.ab≤1 10.若=·,则x的取值范围是( ) A.x≥-3 B.x≥2 C.x>-3 D.x>2 11.(重庆)化简的结果是( ) A.4 B.2 C.3 D.2 12.下列计算正确的是( ) A.=× B.=5a2b C.=8+5 D.=7 13.对于任意实数a,下列各式中一定成立的是( ) A.=· B.=a+6 C.=-4 D.=5a2 14.设=a,=b,用含有a,b的式子表示,则下列表示正确的是( ) A.0.3ab B.3ab C.0.1ab2 D.0.1a2b 15.将a根号外的因式移到根号内. 提升训练 16.计算: 学科：数学 姓名 1、 2、 3、 4、 5、 1、 3、 5、 6、 7、 8、 年级 特尔教育一对一个性化辅导讲义 任课教师: 性别 二次根式易错题及重难点题练习 、选择题 计算 A. 使式子 授课时间：2014年9月日（星期） 总课时 2008 2009 .7 2 2 . 7 2、2,正确的结果是( 2 ...2 7 B. ,7 2、、2 C.1 D. x（x 5） 2有意义的未知数x有（）个. 0 B . 1 C . 2 D .无数 -2 x 1成立的条件是 ■ 7 2「2 B. x A -1 C . -1 w x w 1 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简 A. 1 B. 1 C. 1 2a D. 2a 如图，数轴上A, B两点表示的数分别为 表示的数为（ A. 2 3 C. 2 3 二、填空题 (2 .5)2 计算：327 4 1 .3 2、 4、 | 1 a |、a2的结果为（ a ---- 1i ------- > 1 0 1 1和?、3，点B关于点A的对称点为C,贝惊C所 、、252 242 v a2x 2abx b2x = 丄中根号外面的因式移到根号内的结果是 a a j字1化简二次根式号后的结果是 若J m —1- 有意义，则m的取值范围是 m 1 9、 x 2 2X 1有意义，则x 的取值范围是 10、 当 x < 0 时， 11 .比较大小：— 18 0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 14、在小明大学同学毕业五周年的聚会上，每两个人都握了一次手，所有人共握手 人参加这次聚会，则可列出方程 三.计算题 1、 4、若最简根式 3a b 4a 3b 与根式 2ab 2 b 3 6b 2是同类二次根式，求 a 、b 的值. 5、若 |1995-a | +、、a 2000 =a ，求 a-19952 的值. 6、已知 a=、3-1,求 a 3+2a 2 -a 的值 7、已知x 2 3x 1 0,求 x 2 E 2的值。 化简1 X v x 2 的结果是 12 .方程 X 2 9x 13. a — a 1 的有理化因式是 105次，设有X 3m 2 3n 2 亠 2a 2 如图：A ，B ， C 三点表示的数分别为 a ， b , c 。 C AO B 利用图形化简: a b l -3 (a>0) 八年级数学二次根式 一，选择 1、如果a是非零实数，则下列各式中一定有意义的是（） A、a B、a- 2C、2a-D、21 a 2. 下面的计算中，正确的是（） A =0.1； B．=-0.03； C± 13； D π-4 3. 等式)6 x x成立的条件是（） ?x x ( - 6- = A．x≥0 B．x≥6 C．0≤x≤6 D．x 为一切实数 二填空 4、若x3+3x2 =－x x+3 ，则x的取值范围是。 5. 当 __________ 6. 若1 有意义，则m的取值范围 1 是。 7 ()2 240 -+-=，则= a c a b + -c 8 . 2440 -+=，xy的值是 y y 9、化简2)2 1(-的结果是 10、已知 a等于 11、当-1 12、 (1) ,则x 的取值范围是 。 (2) , 则x 的取值范围 是 。 (3) 设a,b,c 为△ABC 的三边 ,化简 = (4) 则a 的取值范围是 13．数a 在数轴上的位置如图所示，化简： -│1-a │ =_______． 14．比较大小6．（填“>”，“＝”，“<”号） 三．计算 （1; （2） )521 (154- ?- (3)a a 82? （4） 23241 62xy xy ? （x ≥0，y ≥0） （5） ) 2 四.在实数范围内因式分解. (1) （2）（3） 2x =-1=-2=22 x -2 3x -+59x x - 二、二次根式的乘法 1．等式 )6(6-=-?x x x x 成立的条件是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≥6 C ．0≤x ≤6 D ．x 为一切实数 2. 计算： __________ 3．计算：=?b a 10253 ______． 4. 当 0a ≤，b ＜0__________=。 5、若x 3 +3x 2 =－x x+3 ，则x 的取值范围是 。 6.计算（1）821 ? （2） )521 (154- ?- （3） 12 （4） 2000 （5）2 22853- （6） 44176?； （7）2 3 483 4 15? ； （8）16 2436a a ? 板块一 二次根式与配方思想 【例1】 已知实数x ，y ，z 满足211 4412034x y y z z z -++++-+=，求2()y z x +?的值. 【巩固】 已知实数a ，b ，c 满足21 22102a b b c c c -+++-+=，求()a b c + 【例2】 已知正数a 和b ，有下列命题： ⑴若2a b +=，则1ab ≤； ⑵若3a b +=，则3 2ab ≤； ⑶若6a b +=，则3ab ≤. 根据以上三个命题所提供的规律，猜想若9a b +=，则ab ≤ . a b n +=，则ab ≤ ，并式证明上式成立. 【巩固】 已知非零实数a 、b 满足等式542 b a a b ab b a ++=+，求32b a b a ++的值. 【例3】 若正数m ，n 满足42443m mn m n n +--+=，求28 22002m n m n +-++ 第4讲:二次根式中的配方思想 例题精讲 【巩固】 计算()x y +÷. 【补充】已知正数a ，b ，且满足1=，求证：221a b += 【例4】 1()2 x y z =++，求x 、y 、z 的值． 【巩固】 设32 a b c +++=，求代数式222a b c ++的值． 【巩固】 如果实数a b c ，，满足2a b =2104ab +=的值. 【巩固】 设,,a b c 是实数，若14a b c ++=，则2bc =________. 【例5】 11a a b ab +-+ 板块二：多重二次根式 双重二次根式： 多重二次根式：二次根式的被开方数（式）中含有多于一个二次根式的式子叫多重二次根式．双（多）重二 次根式的解法：平方法、配方法、构造法、待定系数法． 【例6】 第二章 实数 7．二次根式（第1课时） 一、学情分析 七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度． 二、教材分析 本节分为三个课时。第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力． 为此，确定本节课教学目标是： 1.认识二次根式和最简二次根式的概念. 2.探索二次根式的性质． 3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式． 三、教学设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结； 第一环节：明晰概念 问题1 ：5，11，2.7，121 49，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？ 答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。 介绍二次根式的概念。一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ． 问题2：二次根式怎样进行运算呢？ 答：这是我们本节课要解决的新问题． 意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础． 第二环节：探究性质 二次根式的乘除教材分析与重难点突破第1课时 一、教材分析 本节主要内容是二次根式的乘法运算和二次根式的化简，通过本节学习应使学生掌握根式的乘法运算法则和化简二次根式的常用方法．建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备． 探究二次根式的乘法法则，教材从具体例子出发，由特殊到一般、由具体到抽象地归纳给出二次根式的运算法则．通过“探究”栏目，引导学生利用二次根式的性质，从具体数字的运算中发现规律，进而得出二次根式的乘法法则．“探究”栏目中的两个问题是两个不同层次的探究活动．首先是让学生通过计算发现规律，然后是让学生对发现的规律进行类比，得出乘法法则的具体内容． 为了使学生更全面地了解二次根式的运算，提高学生的运算能力，也为今后的数学学习打下必要的基础，教材在正文中设置了“选学例题”，采用举例的方式，让学有余力的学生能够学到“根号下为字母的二次根式”的运算。由于数式通性，只要将二次根式中的实数看成字母，二次根式的运算实际上就是整式的运算． 将二次根式的乘法法则反过来，就得到积的算术平方根的性质．利用这条性质可以对二次根式进行化简．通过学习，应该使学生对化简二次根式的基本要求有所认识，即在化简时，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后再将能开得尽方的因数或因式开出来，这一点教材利用了一个小贴士加以说明． 本节课的教学重点是，二次根式的乘法法则；教学难点是，在理解二次根式的性质和运算法则的基础上，养成良好的运算习惯． 二、重难点分析 1．二次根式的乘法法则的理解 突破建议 1．教材对本节内容的处理，仍然沿用“从具体数字的算术平方根的运算中观察规律，经历从特殊到一般的过程，归纳得出二次根式的乘法运算法则”的方式展开，教学时，应充分根据教材的编写意图，让学生通过观察： 2021年中考数学一轮复习----知识点例题精讲 第一章 数与式 第4讲二次根式及其运算 【思维框图】 【知识点归纳】 1、二次根式的概念：式子)0(≥a a 叫做二次根式。 （1）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。 （2）同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。 （3）分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。 （4）有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：a 与a ； d c b a +与d c b a -） 2、化二次根式为最简二次根式的方法： （1）若被开方数是分数（包括小数）或分式，则先利用二次根式的性质把它写成二次根式除法的形式，然后把分母化为有理数或有理式； （2）若被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式移除根号。 3、二次根式的性质： （1） )0()(2≥=a a a ；（2）???<-≥==)0() 0(2a a a a a a ；（3）b a ab ?=（a ≥0，b ≥0）； （4）)0,0(≥≥=b a b a b a 4、运算： （1）二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。 （2）二次根式的乘法：ab b a =?（a ≥0，b ≥0）。 （3）二次根式的除法：)0,0(≥≥=b a b a b a 二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。 【例题精讲】 考点1 二次根式的有关概念 例：1．若是二次根式，则a 的值不可以是（ ） A ．4 B ． C ．90 D ．﹣2 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【解答】解：∵是二次根式， ∴a ≥0，故a 的值不可以是﹣2． 故选：D ． 2.下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A ． B ． C ． D ． 【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案． 【解答】解：A 、原式＝，故A 不是最简二次根式． 南沙初中初三数学练习（4） 2008 班级 姓名 学号 得分 1．在二次根式a 5，a 8， 9 c ，22b a +，3a 中，最简二次根式共有（ ） （A ） 1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 2．计算()()1212-+，正确结果是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3．下列各组二次根式中是同类二次根式的是 （ ） A ．2 112与 B ．2718与 C ．313与 D ．5445与 4．把a a 1-根号外的因式移到根号内得 （ ） A ．a B ．－a C ．－a - D ．a - 5．当0 实数章末重难点题型汇编 【考点1 无理数的概念】 【方法点拨】无限不循环小数又叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起 来有三类： （135,2等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如13 π 等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； 【例1】（2019春?博兴县期中）在3.14、√12、 227 、?√5、√273 、2π、0.2020020002这六个数中，无理数 有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】解：3.14、 22 7 、√273 、0.2020020002是有理数，√12、?√5、2π是无理数，无理数的个数是3， 故选：C ． 【变式1-1】（2018春?新罗区校级期中）下列说法中 ①无限小数都是无理数 ②无理数都是无限小数 ③﹣2是4的平方根 ④带根号的数都是无理数．其中正确的说法有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 【答案】①无限不循环小数都是无理数，故①错误；②无理数都是无限不循环小数，故②正确； ③﹣2是4的平方根，故③正确；④带根号的数不一定都是无理数，故④错误；故选：B ． 【变式1-2】（2018秋?东台市期中）下列实数中，√12、√93 、?17、π 2 、﹣3.14、√0.1、 √?273 、0、0.3232232223…（相邻两个3之间依次增加一个2），无理数的个数是（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 【答案】解：√12=2√3，√0.1=√10 10，√?273 =?3， 则无理数有：√12、√93 、π 2 、√0.1、0.3232232223…，共5个．故选：D ． 【变式1-3】（2019秋?安宁区校级期中）在下列各数中是无理数的有（ ） ?√(?5)2、√36、1 7、0、﹣π、√113 、3.1415、√1 5、2.010101…（相邻两个1之间有1个0）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 故选：C ． 2019-2020年中考数学一轮复习第4讲二次根式试题 【考点解析】 1. 二次根式的意义及性质 【例题】（xx·广西桂林）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥1． 【考点】二次根式有意义的条件． 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴x﹣1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【变式】 1.要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x= B．x≠ C．x≥ D． x≤ 【答案】C. 【解析】由题意得：5x﹣3≥0，解得：x≥，故选C． 2.若x、y满足，则的值等于( ) A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】∵，∴()2 12x 10x 22y 10y 1 ?-=?= ?????-=???=?.∴.故选B. 2. 最简二次根式与同类二次根式 【例题】（xx ·四川南充）下列计算正确的是（ ） A ． =2 B ． = C ． =x D ． =x 【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案． 【解答】A 、=2，正确； B 、=，故此选项错误； C 、=﹣x ，故此选项错误； D 、=|x|，故此选项错误； 故选：A ． 【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 【变式】下列各式与是同类二次根式的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D ． 【解析】A 、=2，故不与是同类二次根式，故错误；B 、=2，故不与是同类二次根式，故错误；C 、=5，故不与是同类二次根式，故错误；D 、=2，故，与是同类二次根式，故正确；故选D ． 二次根式中中考题错解示例 —、在取值范围上只考虑二次根式，不考虑分母 例1(2010绵阳中考)要使3_x d —1有意义，则x应满足( ) J2x—1 (A)丄< x< 3 2(B) x < 3 且X M1 2 (C) 1v x v 3 2(D) 1v x < 3 2 错解：选A.由3-x>0且2x-1 >0,可知x< 3且x>丄，即丄< x 2 2 < 3. 错解分析：错解在取值范围上死板地应用二次根式的性质，思维单一，不顾整体.只考虑到二次根式中被开方数的取值范围，不考虑分母,结果扩大了代数式的取值范围，造成了错解?在1中,既要考 J2x-1 虑(2x-1)是被开方数，须使其值是非负数，又要考虑是分母,还 必须使2x-1不为0.综上可知2x-1 > 0. 正解：选D.由3-x>0且2x-1 >0,可知x< 3且x> -,即1v x 2 2 < 3. 二、平方根与算术平方根的概念相混淆 例2 (2010 -济宁中考)4的算术平方根是( ) (A) 2 ( B)—2 (C) 士2 ( D 4 错解：选C.由-2 2= 4,可知4的算术平方根是士2. 错解分析：错解对算术平方根和平方根的概念模糊不清，误以为一个正数的算术平方根有两个，它们互为相反数.事实上,一个正数的平方根有两个，且互为相反数.另外,正数的那个正的平方根叫算术平方根.因为4的平方根是士2,所以4的算术平方根是2. 正解:选A. 三、不会把非负因式移到根号里面 例3（2010 ?绵阳中考）下列各式计算正确的是（） 2 3 6 （A）m ? m = （C）3 2 3 =2 3=5（ D）（a「1）［a =n2；a 1「a（。 < 1） 错解：选A.由m2m3二m2 3二m6,可知选A. 错解分析：m2m3= m2 3= m5,故选项A错误.有些同学在D选项中不会把非负因式往根号里面移.在（a -1）, 1中,使被开方数十 > 0,则必有分子、分母同号.由于分子1是正数,所以分母1- a必为正数.所以有隐含条件a< 1.另外,要注意把根号外的因式往根号内移时只有非负因式才能往里移.要把负因式a1往根号里面移，必须变形为-（1- a,然后把括号前面的负号留在外面.把正因式1- a加平方后移入根号里面.所以（a 一1）；丄=一：（1 —a）'丄一J仁a . \1_a \ 1 -a 第十六章 二次根式 测试1 二次根式 学习要求 掌握二次根式的概念和意义，会根据算术平方根的意义进行二次根式的运算． 课堂学习检验 一、填空题 1． a +1表示二次根式的条件是______． 2．当x ______时，1 2--x 有意义，当x ______时， 3 1+x 有意义． 3．若无意义 2 +x ，则x 的取值范围是______． 4．直接写出下列各式的结果： (1)49 ＝_______； (2)2 ) 7( _______； (3)2 )7(-_______； (4)2 ) 7(-- _______； (5)2 ) 7.0( _______；(6)2 2] )7([ - _______． 二、选择题 5．下列计算正确的有( )． ①2)2(2 =- ② 2 2=- ③ 2 ) 2(2 =- ④2 ) 2( 2 -=- A ．①、② B ．③、④ C ．①、③ D ．②、④ 6．下列各式中一定是二次根式的是( )． A ． 2 3 - B ． 2 ) 3.0(- C ． 2 - D ． x 7．当x =2时，下列各式中，没有意义的是( )． A ．2 -x B ． x -2 C ． 2 2 -x D ． 2 2x - 8．已知, 21)12(2 a a -=-那么a 的取值范围是( )． A ．2 1> a B ．2 1 10．计算下列各式： (1);)23(2 (2);)1(22+a (3); )4 3(22 - ?- (4). )3 23 (2 - 综合、运用、诊断 一、填空题 11． x 2-表示二次根式的条件是______． 12．使 1 2-x x 有意义的x 的取值范围是______． 13．已知411+=-+-y x x ，则x y 的平方根为______． 14．当x =－2时， 2 2 44121x x x x ++-+-＝________． 二、选择题 15．下列各式中，x 的取值范围是x ＞2的是( )． A ．2-x B ． 2 1-x C ． x -21 D ． 1 21-x 16．若022|5|=++-y x ，则x －y 的值是( )． A ．－7 B ．－5 C ．3 D ．7 三、解答题 17．计算下列各式： (1);)π14.3(2- (2);)3(2 2-- (3) ; ]) 3 2[( 2 1- (4).)5 .03( 2 2 18．当a =2，b =－1，c =－1时，求代数式a ac b b 242 -±-的值． 拓广、探究、思考 19．已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示： 化简： ||) (||2 2 b b c c a a ---++-的结果是：______________________． 20．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 均为整数，且a 和b 满足 . 09622 =+-+-b b a 试求 △ABC 的c 边的长． 子洲三中 “双主”高效课堂 数学 导学案 2014-2015 学年第一学期 姓名： 组名： 使用时间2014年 月 日 年 级 科 目 课 题 主 备 人 备 课 方 式 负责人（签字） 审核领导（签字） 序号 八（3） 数学 第七节 二次根式 第4课时 乔智 一、【学习目标】 1．理解分母有理化的概念。 2．掌握二次根式的混合运算顺序。 二、【学习过程】 （一）、学习准备 1、有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含________________，我们说这两个代数式互为有理化因式。 2、二次根式：形如)0(≥a a 的式子叫做________________，其中____________叫做被开方数。 3、二次根式的乘、除法则（1）);0,0(__________≥≥=b a ab （2） )0,0(__________>≥=b a b a 。 4、阅读教材：第七节《二次根式》（四） （二）、教材精读 5、分母有理化的概念 例1计算：（1） ；3 1 （2） 5 2 。 归纳：分母有理化：把 中的根号化去叫做分母有理化。 实践练习：把下面各式分母有理化：（1） ；3 3 （2） 5 22。 解：（1） )(() ______;3333==??=（） （） 6、分母有理化的依据 例2 将 3 51 -分母有理化。 解： ()()()() == ?-?= -)35(1351 归纳：分母有理化的依据是分式的基本性质。 实践练习：化简：（1）；2 2 2+ （2） 2 31 -。 7、有理化因式 例3化简（1） ；1 21 + （2） 3 2236 -。 归纳：常见的有理化因式有a 与________，b a +与____________，d c b a +与 ___________。 实践练习：计算（1）01)22()32(----； （2） 2 53 +。 （三）、教材拓展 8、例4计算（1） 1 32 121++-； （2） 0)13(81 21 -+-+。 归纳：分母有理化的方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。 二次根式中中考题错解示例 一、在取值范围上只考虑二次根式,不考虑分母 例1(2010·绵阳中考)要使有意义,则x应满足( ) (A)≤x≤3 (B)x≤3且x≠ (C)＜x＜3 (D)＜x≤3 错解:选A、由3-x≥0且2x-1≥0,可知x≤3且x≥,即≤x≤3、错解分析:错解在取值范围上死板地应用二次根式得性质,思维单一,不顾整体、只考虑到二次根式中被开方数得取值范围,不考虑分母,结果扩大了代数式得取值范围,造成了错解、在中,既要考虑(2x-1)就是被开方数,须使其值就是非负数,又要考虑就是分母,还必须使2x-1不为0、综上可知2x-1＞0、 正解: 选D、由3-x≥0且2x-1＞0,可知x≤3且x＞,即＜x≤3、 二、平方根与算术平方根得概念相混淆 例2(2010·济宁中考)4得算术平方根就是( ) (A)2 (B)－2 (C)±2 (D)4 错解: 选C、由＝4,可知4得算术平方根就是±2、 错解分析:错解对算术平方根与平方根得概念模糊不清,误以为一个正数得算术平方根有两个,它们互为相反数、事实上,一个正数得 平方根有两个,且互为相反数、另外,正数得那个正得平方根叫算术平方根、因为4得平方根就是±2,所以4得算术平方根就是2、正解:选A、 三、不会把非负因式移到根号里面 例3(2010·绵阳中考)下列各式计算正确得就是( ) (A)m2 ·m3 = m6 (B) (C) (D)(ɑ＜1) 错解:选A、由,可知选A、 错解分析: ,故选项A错误、有些同学在D选项中不会把非负因式往根号里面移、在中,使被开方数＞0,则必有分子、分母同号、由于分子1就是正数,所以分母1-ɑ必为正数、所以有隐含条件ɑ＜1、另外,要注意把根号外得因式往根号内移时,只有非负因式才能往里移、要把负因式ɑ-1往根号里面移,必须变形为-(1-ɑ),然后把括号前面得负号留在外面、把正因式1-ɑ加平方后移入根号里面、所以、正解:选D、 四、不会比较根式得大小 例4(2010·天津中考)比较2,,得大小,正确得就是( ) (A) (B) 考纲要求命题趋势 1．掌握二次根式有意义的条件和 基本性质(a)2＝a(a≥0)． 2．能用二次根式的性质a2＝|a| 来化简根式． 3．能识别最简二次根式、同类二 次根式． 4．能根据运算法则进行二次根式 的加减乘除运算以及混合运算. 二次根式的知识点是新课标 的基本考查内容之一，常常以客观 题形式进行考查，重点要求熟练掌 握基本运算．二次根式运算的另一 考查形式是求二次根式的值，尤其 是分母中含有根式或根式中含有 字母类型的题目是考查的热点. 知识梳理 一、二次根式 1．概念 形如________的式子叫做二次根式． 2．二次根式有意义的条件 要使二次根式a有意义，则a≥0. 二、二次根式的性质 1．(a)2＝a(______)． 2．a2＝|a|＝ ?? ? ??a≥0， a<0. 3．ab＝______(a≥0，b≥0)． 4． a b ＝______(a≥0，b＞0)． 三、最简二次根式、同类二次根式 1．概念 我们把满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的______或______的二次根式，叫做最简二次根式． 2．同类二次根式的概念 几个二次根式化成________________以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式． 四、二次根式的运算 1．二次根式的加减法 合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式． 2．二次根式的乘除法 (1)二次根式的乘法：a·b＝____(a≥0，b≥0)． (2)二次根式的除法： a b ＝____(a≥0，b＞0)． 自主测试 1．使3x－1有意义的x的取值范围是( ) A．x＞ 1 3 B．x＞－ 1 3 C．x≥ 1 3 D．x≥－ 1 3 2．已知y＝2x－5＋5－2x－3，则2xy的值为( ) A．－15 B．15 C．－ 15 2 D． 15 2 二次根式教材分析与重难点突破第2课时 一、教材分析 二次根式的性质是二次根式化简和运算的基础，应让学生熟练掌握和灵活运用. 对于二次根式的性质，教材没有直接从算术平方根的意义得到，而是考虑学生的年龄特征，先通过“探究”栏目中给出四个具体问题，让学生学生根据算术平方根的意义，就具体数字进行分析得出结果，再分析这些结果的共同特征，由特殊到一般地归纳出结论． 本节课的教学重点是：理解二次根式的性质；教学难点是：二次根式性质的灵活运用. 二、重难点突破 （一）理解二次根式的性质 突破建议 在探究的过程中得出二次根式的性质 对于二次根式的性质，重在让学生理解，而不是把结论直接告诉学生，让学生去机械记忆.因此，在教学过程中，要充分利用教材的“探究”栏目，让学生经历二次根式性质的探究过程，引导学生由具体到抽象，得出一般性结论，并发现开方运算与平方运算的关系.培养学生由特殊到一般的思维方式，提高归纳、总结的能力.教学时，可参考如下的问题设计： 问题1 你能解释下列式子的含义吗？ ，，，. 让学生初步感知，这些式子都表示一个非负数的算术平方根的平方. 问题2 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据. ；；； . 学生独立完成填空后，重在让学生展示其思维过程，看学生是怎样得出结论的.由于，，学生很容易得出，.对于、，学生理解起来有一 定得到困难，需要教师的引导：根据算术平方根的意义，可设()，则，把代入，可得，同理可得. 问题3 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？ 引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）. 对于（≥0）这个性质，可以类似设计如下三个问题： 问题1 你能解释下列式子的含义吗？ ，，，. 问题2 填空： = ，= ，= ，= . 问题3 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？ 引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0） 问题4 谈一谈你对与的认识. 引导学生从式子的读法、意义、被开方数的取值范围、运算结果等方面加以辨别. （二）二次根式性质的灵活运用 突破建议 精心设计习题灵活运用二次根式的性质 二次根式性质的灵活运用，关键在于精心设计好每一道习题.让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力.可参考如下的习题设计：二次根式单元同步练习试题
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