单元（章节）课题结构素描 本节课题十二面体结构画法 三维目标 知识与技能：要求学生掌握物体的基本造型个性、理解物体的结构和基本透视 过程与方法：通过示范与讲解，在听讲中理解其结构与画法，在实践中进一步掌握画法。 情感、态度价值观：在学习中提升绘画技能，在实践中树立信心。 提炼的课题 十二面体由于块面较多，结构复杂，对学生来说比较难，特别是在造型与观察中存在形体不准，观察方法单一。 教学重难点[来源学科网ZXXK] 教学重点：物体的形状个性、结构、透视。 教学难点：物体的分面、透视。 教学过程 导入[来源学科网 ZXXK] [来源学。科。网] 示范与讲解 一、十二面体的特点 石膏十二面体是隶属于石膏几何形体训练的其中一个内容，它的特点为：块面齐整、造型简练、明暗表现清楚的几大特点，所以在素描练习中具有重要的地位，下面就它的结构特点和素描画法做一个简单的介绍[来源:Z#xx#https://www.doczj.com/doc/b96573305.html,] 二、结构特点[来源学#科#网Z#X#X#K] 这节课所介绍的多面体的基本形为五边形，而多面体则由十二个五边形所组成，每个五边形的各条边均与其他的五边形相连，形成一个完整的多面体，结构清楚、明暗效果直接明了，让画者很容易的区分黑白灰的层次感觉，便于绘画练习。（如图）
[来源学+科+网] [来源:https://www.doczj.com/doc/b96573305.html,] [来源:https://www.doczj.com/doc/b96573305.html,] [来源:Z*xx*https://www.doczj.com/doc/b96573305.html,] 三、结构画法（示范与讲解） 十二面体的素描画法具体分为一下几个步骤： 第一步，考虑画面的构图，也就是说把十二面体在纸上画多大，画在什么位置上。 第二步，用直线画出大的形状。这个步骤画的时候用线不要太重，以便于后 边几个步骤中能够进行修理。（如图） 第三步画出具体形状。在进行这个步骤的绘画练习时，要把你所能看到的五边形全部绘画出来，但同时要注意，由于角度的不同，所看到的五边形也发生了很大的变化，既各 边的长短在视觉上有了很大的差异。 组织学生开展实践操作。
展开图如下所示： 若以正二十面体的中心为原点，各顶点的坐标分别为Φ,0,±1)}，在此Φ = (1+
正十二面体是正二十面体的对偶多面体。 建立模型的基本过程如下： void CTestView::ReadPoint()//点表 { double a=180;//长方形的宽 double b=a*(1+sqrt(5))/2;//黄金分割的矩形的长 double half=0.5; //第一个长方形的各个顶点 P[0].x=half*a;P[0].y=0;P[0].z=half*b; P[1].x=-half*a;P[1].y=0;P[1].z=half*b; P[2].x=half*a;P[2].y=0;P[2].z=-1/2.0*b; P[3].x=-1/2.0*a;P[3].y=0;P[3].z=-half*b; //第二个长方形的各个顶点 P[4].x=half*b;P[4].y=-half*a;P[4].z=0; P[5].x=half*b;P[5].y=half*a;P[5].z=0; P[6].x=-half*b;P[6].y=half*a;P[6].z=0; P[7].x=-half*b;P[7].y=-half*a;P[7].z=0; //第三个长方形的各个顶点 P[8].x=0;P[8].y=-half*b;P[8].z=half*a; P[9].x=0;P[9].y=-half*b;P[9].z=-half*a; P[10].x=0;P[10].y=half*b;P[10].z=half*a; P[11].x=0;P[11].y=half*b;P[11].z=-half*a; } void CTestView::ReadFace()//面表 { //面的边数、面的顶点编号 F[0].SetEN(3) ;F[0].p[0]=0 ;F[0].p[1]=5 ;F[0].p[2]=10 ; F[1].SetEN(3) ;F[1].p[0]=5 ;F[1].p[1]=2 ;F[1].p[2]=11 ; F[2].SetEN(3) ;F[2].p[0]=11 ;F[2].p[1]=3 ;F[2].p[2]=6 ; F[3].SetEN(3) ;F[3].p[0]=6 ;F[3].p[1]=1 ;F[3].p[2]=10 ; F[4].SetEN(3) ;F[4].p[0]=7 ;F[4].p[1]=1 ;F[4].p[2]=6 ; F[5].SetEN(3) ;F[5].p[0]=1 ;F[5].p[1]=0 ;F[5].p[2]=10 ; F[6].SetEN(3) ;F[6].p[0]=8 ;F[6].p[1]=0 ;F[6].p[2]=1 ; F[7].SetEN(3) ;F[7].p[0]=0 ;F[7].p[1]=4 ;F[7].p[2]=5 ; F[8].SetEN(3) ;F[8].p[0]=4 ;F[8].p[1]=2 ;F[8].p[2]=5 ; F[9].SetEN(3) ;F[9].p[0]=2 ;F[9].p[1]=3;F[9].p[2]=11 ;
素描几何体——十二面体 教学目标： 要求学生掌握物体的基本造型个性、理解物体的结构和基本透视。 教学重点： 物体的形状个性、结构、透视 教学难点： 物体的分面、透视 教学过程： 一、石膏十二面体是隶属于石膏几何形体训练的其中一个内容，它的特点为：块面齐整、造型简练、明暗表现清楚的几大特点，所以在素描练习中具有重要的地位，下面就它的结构特点和素描画法做一个简单的介绍。 二、结构特点 这节课所介绍的多面体的基本形为五边形，而多面体则由十二个五边形所组成，每个五边形的各条边均与其他的五边形相连，形成一个完整的多面体，结构清楚、明暗效果直接明了，让画者很容易的区分黑白灰的层次感觉，便于绘画练习。 三、素描画法 十二面体的素描画法具体分为一下几个步骤： 第一步，考虑画面的构图，也就是说把十二面体在纸上画多大，画在什么位置上。 第二步，用直线画出大的形状。这个步骤画的时候用线不要太重，以便于后边几个步骤中能够进行修理。
第三步画出具体形状。在进行这个步骤的绘画练习时，要把你所能看到的五边形全部绘画出来，但同时要注意，由于角度的不同，所看到的五边形也发生了很大的变化，既各边的长短在视觉上有了很大的差异。 第四步是画出明暗效果，在十二面体的明暗表现时，由于它的块面特点，所以较为容易区分，不必要再先铺设大的色块，直接表现即可。但是再画的时候要注意每一个五边形，由于距离光线的远近不同，五边形本身也就会出现明暗的深浅变化，一般离光近的一边重，其它边要逐渐变浅。
第五步是进行画面上的调整，在这个环节，要求画者要根据画面应有的效果去对画面进行修正，也就是说要添加一些细节部分，去除掉一些繁琐的内容。这样一幅十二面体的素描就画了出来。
正多面体与平面展开图 By Laurinda..201604开始总结，网络搜集 正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体正四面体正六面体 正八面体正十二面体 正二十面体
正方体展开图 相对的两个面涂上相同颜色，正方体平面展开图共有以下11种。
邻校比我们学校早了几天举行段考，拿他们的数学卷子提供给学生充做模拟考，其中有一题作图题，不好做，它要求将右图，一个由正方形和等腰直角三角形组成的五边形，以两条线切割，重组成一个等面积的等腰直角三角形。 这题让学生和我「奋战」了几节课，却总是画不成。理论上它是可以成立的，因为等腰直角三角形可以和一个正方形等面积，而且由商高定理可以知道，存在一个正方形A，它的面积等于任意两个正方形B、C的面积和。只要A的边长是这两个正方形B、C的边长平方和的正平方根即可。而正方形当然可以等积于一个等腰直角三角 形。 但是如何以两条直线完成这道题呢? 今天(5/19)，我利用周休继续思考这道题，终于完成了，做法如左。
多面体之Euler's 公式(V - E + F = 2) V =顶点数( number of vertices) ; E = 边数(number of edges) ; F = 面数(number of faces) 正四面体(Tetrahedron) V=4,E=6,F=4, 4 - 6 + 4 = 2 正六面体(Cube) V=8,E=12,F=6, 8 - 12 + 6 = 2 正八面体(Octahedron) V=6,E=12,F=8, 6 - 12 + 8 = 2 正十二面体(Dodecahedron) V=20,E=30,F=12, 20 - 30 + 12 = 2 正二十面体(Icosahedron) V=12,E=30,F=20,12 - 30 + 20 = 2
正十二面体：从制作到理解 常文武 正十二面体是一种以正五边形为面的多面体。 这种不寻常的别致多面体数学内涵非常丰富。柏拉 图曾认为我们的宇宙就是正十二面体的。虽然这只 是一个美丽的错误，但是正十二面体对于普通大众 至今仍充满神秘色彩。 制作正十二面体 为了探究正十二面体，有必要亲手制作一个。 显然，纸模型是最方便的实现方式。 制作正十二面体纸模型的方法很多，这里用组合折纸的方式制作。通过组合拼接而成的结构便于在需要的时候重新调整各面相对位置。 材料：宽度4CM -5CM 的平行长纸带100CM 步骤1 制作一个正五边形的纸带结 用长约8倍宽度的纸带打个结，轻拉两端至最紧，压平（图2左）。数学上可以严格证明这个结是正五边形。 图 2 正五边形结及108°折叠 步骤2 制作插合正十二面体所需的零件 用长约3倍宽度的纸带折叠一道折痕，使其形成的内角 正好符合五边形纸带结的顶角（图2右）。 折叠后的纸带重叠区域有一个36°为底角的等腰三角 形。现在请将它的两腰以外的纸带贴着边折到背后，然后再 把底边以外的部分剪去（图3）。 打开重新将两侧翼藏在夹层内，并且让它们在内部彼此勾起来，压平。我们得到了一个有108°顶角的等腰三角形（图4左）。 图 1古罗马正十二面体青铜器 图 3 修剪多余的纸
图4三角形内部构造以及内嵌五边形的折痕 折叠找到每一腰所对角的角分线与该腰的交点，将相应锐角折到这个点。可以证明，这两道折痕与三角形三边围成一个正五边形（图4右）。 至此我们就完成了第一个插接件。 请再做11个这样的零件。 步骤3 插合正十二面体 眼：两锐角前端是榫头，两腰靠近顶点的缝隙 是卯眼。插合时有一定规则，为了保证这个规 则不被破坏，我们给每个插接件上标注一些记 号。 作标记的规律：在每片插接件的里侧左下 角标为红点榫头，左腰缝隙标为红点卯眼；相 应地，右下角为蓝点榫头，右腰缝隙为蓝点卯 眼（图5上左）。 插合时只要保证榫头插入同色的卯眼（图 5上右），就可以顺利完成一个完美的十二面体 （图5下）。 图 5 正十二面体的插合过程
神奇的数学折纸（2）：正十二面体着色，从头再来(常文武) 作者简介：常文武复旦大学数学博士，上海市普陀区现代教育技术中心跨学科高级教师，全国首批英特尔未来教育骨干教师。多次参加亚洲数学技术大会（ATCM）并出访美国、欧洲等地。2013年起潜心研究折纸在数学中的应用，连续在《科学》等杂志上发表10多篇论文，两度参加上海科学艺术展。2014、2015年连续两年受澳门中华教育会邀请向澳门数学教师传授折纸，2014年出版《动手动脑玩转数学》一书。前文《神奇的数学折纸：正十二面体，从制作到理解(常文武) 》谈及正十二面体的制作和四种着色方案。现在进一步研究着色方案的完备性。我们将证明这些着色方案已经无一遗漏了。对正十二面体有了一定的具象经验，我们就可以抽象一点来看这个问题。图1是一个平面化的正十二面体。想象一个用橡皮绳拉出的正十二面体笼状结构，图1中五边形外轮廓正是其中一个撑开的正五边形洞。换个说法，将笼子的一个五边形洞拉大到可以摊平到桌面的地步，正十二面体就平面化了。那就要记住这个最大的正五边形轮廓也代表一个面。 给定四种颜色，如何用它们来给这个五边形网的每一个洞眼着色呢？ 我们制定一个“先两头再中间”的顺序：也就是先把
最里面的以及最外面的两个洞眼涂色（这两块在原立体结构中位于平行相对的位置，下文称为打对），接着涂靠近中心的一圈五个洞眼，最后处理剩下的五个洞眼。图2显示我们给中心涂色为红色，轮廓（代表相对的被拉大的洞眼）涂色为蓝色。这只是一种着色方案，您也可以根据喜好换任何的两种不同颜色。但是注意，这两个打对的洞眼必须是不同色的！ 为何它们必须不同颜色呢？且听我细细道来。 如果我们把同色(比如蓝色)赋给两头的洞眼，那么因为其余10个网眼要么与中心网眼相邻，要么与外轮廓代表的洞眼相邻，它们就都不可再用蓝色了。所以，涂其它10个面只能靠3种颜色了。这显然导致有一色要用4次或更多次。可是每个圈上最多只能放两个同色块(否则在该圈内同色相邻)，于是4个同色块必须按“2-2”格局分属两个圈。即便如此仍不可避免带来问题。因为内圈两个隔开的同色色块会排除了外圈四个区块不得取该色，这就使2-2分配格局不可能实现了,见图3。以上论证过程不但确立了“打对不同色，同色不打对”的原则，而且还可得到一个推论：任何颜色不用四次。 这是因为，如果某一色使用达到4次，第一次用该色块就排除了与它相邻的5块。考虑到同色不打对，仅剩外圈的5个位置。该圈里要放3个同色块是不可能不撞色的。
[探讨]正二十面体的坐标取值 编辑:523066680@https://www.doczj.com/doc/b96573305.html, from: https://www.doczj.com/doc/b96573305.html, 红皮书中举了个绘制正二十面体的例子,部分代码如下 （参见“2.10 创建多边形表面模型的一些提示”） An Example: Building an Icosahedron: #define X .525731112119133606 #define Z .850650808352039932 static GLfloat vdata[12][3] = { {-X, 0.0, Z}, {X, 0.0, Z}, {-X, 0.0, -Z}, {X, 0.0, -Z}, {0.0, Z, X}, {0.0, Z, -X}, {0.0, -Z, X}, {0.0, -Z, -X}, {Z, X, 0.0}, {-Z, X, 0.0}, {Z, -X, 0.0}, {-Z, -X, 0.0} }; static GLuint tindices[20][3] = { {1,4,0}, {4,9,0}, {4,5,9}, {8,5,4}, {1,8,4}, {1,10,8}, {10,3,8}, {8,3,5}, {3,2,5}, {3,7,2}, {3,10,7}, {10,6,7}, {6,11,7}, {6,0,11}, {6,1,0}, {10,1,6}, {11,0,9}, {2,11,9}, {5,2,9}, {11,2,7} }; int i; glBegin(GL_TRIANGLES); for (i = 0; i < 20; i++) { /* color information here */ glVertex3fv(&vdata[tindices[i][0]][0]); glVertex3fv(&vdata[tindices[i][1]][0]); glVertex3fv(&vdata[tindices[i][2]][0]); } glEnd(); ======================================== #define X .525731112119133606 #define Z .850650808352039932 原版以及中文版关于这两个常量的注释： The strange numbers X and Z are chosen so that the distance from the origin to any of the vertices of the icosahedron is 1.0. 我们为X 和Y 选择了两个似乎很奇怪的数，其用意在于使原点到这二十面体的每个顶点的距离均为1.0。 至于这两个常量怎么来的，只能自己查了。 在wikipedia找到了完整的注释，以及更多的扩展图形 英文的解释要全面的多 https://www.doczj.com/doc/b96573305.html,/wiki/Icosahedron 中文对照（页面未完善） https://www.doczj.com/doc/b96573305.html,/wiki/正二十面體 若以正二十面体的中心为原点， 各顶点的坐标分别为 (0,±1,±Φ) (±1,±Φ,0) (±Φ,0,±1) 在此Φ = (1+√5)/2，即黄金分割数。 因此，这些顶点能组成一些黄金矩形。
第 1 页 共 4 页 第 五节 正十二二十面体与碳－60 在学习完正四面体、正方体、正八面体以后，我们再来学另两种正多面体——正十二面体与正二十面体，以及用它们完美组合而成的碳－60的空间模型。 【讨论】在平面上，我们用单位正方形，可紧密地铺 满一个无限平面；用单位正六边形也是可以紧密地铺满一 个平面的；那么单位正三角形可以吗？由于一个六边形可 分割成六个完全相同的正三角形，显然，单位正三角形也 是可以的；再来看正五边形，它的每个顶点是108°（不是360°的约数），如右图5-1所示，它在平面不可能铺满而不留任何空隙。在空间正多面体中，共一顶点的棱至少 3条，共一顶点的夹角之和应小于360（如正方体270o ，正八 面体240o），因此正六边形不能在空间构成一个每个面是正六 边形的正多面体，那么五边形是否可以构成正多面体呢？由于 3×108o＜360o，因此就存在可能性。如右图5-2所示，这就由正五边形构成的正多面体——正十二面体。请看例题1。 【例题1】如图5-2所示是十二面体烷的空间构型，写出它的化学式并计算它的一氯取代物和二氯取代物的数目。 【分析】在前几节，我们曾探讨了空间多面体中点、线、面的关系。在正十二面体中，每个面是正五边形，三条棱共一顶点，因此顶点数应为12×5/3=20，而棱数应为12×5/2=30。既然是空间正多面体，它的每个顶点必须是等价的，一氯取代物只可能是一种。我选定一个顶点，与它最近的顶点是3个（共棱），然后是6个，然后依次是6个，3个，1个，故二氯取代物有5种。 【解答】化学式C 20H 20，1种一氯取代物，5种二氯取代物。 【讨论】继续讨论上文的话题，当用正方形（90o）构成空 间正多面体时，共顶点的也只可以是三条棱，故只有一种正多 面体—正方体；当用正三角形（60o）构成空间正多面体时，共 顶点的棱可以是三条、四条、五条，三条时是正四面体，四条时是正八面体，五条时就是最后一个正多面体——正十二面体。如图5-3所示，这就是由正三角形构成的空间正二十面体。请看例题2。 【例题2】晶体硼的基本结构单元是由硼原子组成的正二十面体（如图5-3所示），每个三角形均为正三角形，每个顶点为一硼原子。则每一个此基本单元由 个原子组成；该单元中有2个原子为10B （其余为11B ），那么该结构单元有 种不同类型。 【分析】如同例题1，先根据20个正三角形计算顶点数为20×3÷5=12； 图5-1 图5-3 图5-2