必背经典结论---提高数学做题速度！ 立体几何（必背经典结论） 之 正四面体性质（李炳璋提供） 【***】由于时间仓促，难免有误，若有错误，请及时指正！谢谢！！！ 设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 （1）对棱间的距离为a 2 2 （正方体的边长）/ 对棱中点连线段 的长 d= 2 a ；(此线段为对棱的距离， 若一个球与正四面体的6条 棱都相切，则此线段就是该球的直径。) （2） 正四面体的高 a 3 6 （正方体体对角线l 32=） （3） 正四面体的体积为3 12 2a （正方体小三棱锥 正方体V V V 314=-） （4） 正四面体的全面积 S 全= 2a ； （5） 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1 （正方体体对角线正方体体对角线：l l 2 1 61=）
（6）外接球的半径为 a 4 6 （是正方体的外接球，则半径正方体体对角线l 2 1 =） （7）内切球的半径为 a 12 6 （是正四面体中心到四个面的距离，则半径正方体体对角线l 6 1 =） （8）相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3 （9）侧棱与底面所成的角为β=1 arccos 3 （10）对棱互相垂直。 （11）正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体。 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°， OA=a ,OB=b ,OC=c .则 A B C D O H
（1）不含直角的底面ABC 是锐角三角形； （2）直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心； （3）体积 V= 16a b c ； （4）底面面积S △ABC （5）S 2△BOC =S △BHC ·S △ABC ； （6）S 2△BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2 △ABC （7） 22221111 OH a b c =++; （8）外接球半径 （9）内切球半径 r=AOB BOC AOC ABC S S S S a b c ????++-++
近年来，无论是高考，还是全国竞赛，涉及空间结构的试题日趋增多，成为目前的热点之一。本文将从最简单的五种空间正多面体开始，与大家一同探讨中学化学竞赛中与空间结构有关的内容。 第一节 正方体与正四面体 在小学里，我们就已经系统地学习了正方体，正方体（立方体或正六面体）有六个完全相同的正方形面，八个顶点和十二条棱，每八个完全相同的正方体可构成一个大正方体。正四面体是我们在高中立体几何中学习的，它有四个完全相同的正三角形面，四个顶点和六条棱。那么正方体和正四面体间是否有内在的联系呢？请先让我们看下面一个例题吧： 【例题1】常见有机分子甲烷的结构是正四面体型的，请计算分子中碳氢键的键角（用反三角函数表示） 【分析】在化学中不少分子是正四面体型的，如CH 4、CCl 4、NH 4＋、 SO 42－…… 它们的键角都是109o28’，那么这个值是否能计算出来呢？ 如果从数学的角度来看，这是一个并不太难的立体几何题，首先我们把它抽象成一个立体几何图形（如图1-1所示），取CD 中点E ，截取面ABE （如图1-2所示），过A 、B 做AF ⊥BE ，BG ⊥AE ，AF 交 BG 于O ，那么 ∠AOB 就是所求的键角。我们只要找 出AO （=BO ）与AB 的关系，再用余弦定理，就能圆满地解决例题1。当然找出AO 和AB 的关系还是有一定难度的。先把该题放下，来看一题初中化学竞赛题： 【例题 2】CH 4分子在空间呈四面体形状，1个C 原子与4 个H 原子各共用一对电子对形成4条共价键，如图 1-3所示为一 个正方体，已画出1个C 原子(在正方体中心)、1个H 原子(在正 方体顶点)和1条共价键(实线表示)，请画出另3个H 原子的合适 位置和3条共价键，任意两条共价键夹角的余弦值为 ① 【分析】由于碳原子在正方体中心，一个氢原子在顶点，因 为碳氢键是等长的，那么另三个氢原子也应在正方体的顶点上， 正方体余下的七个顶点可分成三类，三个为棱的对侧，三个为面 对角线的对侧，一个为体对角线的对侧。显然三个在面对角线对 侧上的顶点为另三个氢原子的位置。 【解答】答案如图1-4所示。 【小结】从例题2中我们发现：在正四面体中八个顶点中不 相邻的四个顶点（不共棱）可构成一个正四面体，正四面体的棱 长即为正方体的棱长的2倍，它们的中心是互相重合的。 【分析】回到例题1，将正四面体ABCD 放入正方体中考虑，设正方体的边长为1，则AB 为面对角线长，即2，AO 为体对角线长的一半，即3/2， 图1-1 图1-2 图1-3 图1-4
单元（章节）课题结构素描 本节课题十二面体结构画法 三维目标 知识与技能：要求学生掌握物体的基本造型个性、理解物体的结构和基本透视 过程与方法：通过示范与讲解，在听讲中理解其结构与画法，在实践中进一步掌握画法。 情感、态度价值观：在学习中提升绘画技能，在实践中树立信心。 提炼的课题 十二面体由于块面较多，结构复杂，对学生来说比较难，特别是在造型与观察中存在形体不准，观察方法单一。 教学重难点[来源学科网ZXXK] 教学重点：物体的形状个性、结构、透视。 教学难点：物体的分面、透视。 教学过程 导入[来源学科网 ZXXK] [来源学。科。网] 示范与讲解 一、十二面体的特点 石膏十二面体是隶属于石膏几何形体训练的其中一个内容，它的特点为：块面齐整、造型简练、明暗表现清楚的几大特点，所以在素描练习中具有重要的地位，下面就它的结构特点和素描画法做一个简单的介绍[来源:Z#xx#https://www.doczj.com/doc/1c8708341.html,] 二、结构特点[来源学#科#网Z#X#X#K] 这节课所介绍的多面体的基本形为五边形，而多面体则由十二个五边形所组成，每个五边形的各条边均与其他的五边形相连，形成一个完整的多面体，结构清楚、明暗效果直接明了，让画者很容易的区分黑白灰的层次感觉，便于绘画练习。（如图）
[来源学+科+网] [来源:https://www.doczj.com/doc/1c8708341.html,] [来源:https://www.doczj.com/doc/1c8708341.html,] [来源:Z*xx*https://www.doczj.com/doc/1c8708341.html,] 三、结构画法（示范与讲解） 十二面体的素描画法具体分为一下几个步骤： 第一步，考虑画面的构图，也就是说把十二面体在纸上画多大，画在什么位置上。 第二步，用直线画出大的形状。这个步骤画的时候用线不要太重，以便于后 边几个步骤中能够进行修理。（如图） 第三步画出具体形状。在进行这个步骤的绘画练习时，要把你所能看到的五边形全部绘画出来，但同时要注意，由于角度的不同，所看到的五边形也发生了很大的变化，既各 边的长短在视觉上有了很大的差异。 组织学生开展实践操作。
正四面体 常用性质： 1、正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等。 它有4个面，6条棱，4个顶点。正四面体是最简单的正多面体。 2、正四面体属于正三棱锥，但是正三棱锥只需要底面为正三角形，其他三个面是全等的等腰三角形就可以，不需要四个面全等且都是等边三角形。因此，正四面体是特殊的正三棱锥。 3、基本性质：正四面体是一种柏拉图多面体，正四面体与自身对偶。 正四面体的重心、四条高的交点、外接球、内切球球心共点，此点称为中心。 正四面体的对边相互垂直。正四面体的对棱相等。 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 3 。 4、相关数据当正四面体的棱长为a时，一些数据如下： （中心把高分为1:3两部分} 2体积： 3 12 对棱中点的连线段的长： 2，两邻面夹角满足 1 cos 3 α=。 若将正四面体放进一个正方体内，则该正方体棱长为 2，其实，正四面体的棱切球 即为次正方体的内切球。 5、建系方法1.设有一正四面体D-ABC棱长为a 以AB边为y轴A为顶点ABC所属平面为xOy面建系四个顶点的坐标依次为 其他性质： 正四面体有一个在其内部的内切球和七个与四个面都相切的旁切球，其中有三个旁切球球心在无穷远处。 正四面体有四条三重旋转对称轴，六个对称面。 正四面体可与正八面体填满空间，在一顶点周围有八个正四面体和六个正八面体。 正四面体体积占外接球体积的2*3^0.5/9*π，约12.2517532%。 内切球体积占正四面体体积的π*3^0.5/18，约30.2299894%。 两条高夹角：2ArcSin(√6/3)=ArcCos(-1/3)=≈1.91063 32362 49(弧度)或109°28′16″39428 41664 889。这一数值与三维空间中求最小面有关,也是蜂巢底菱形的钝角的角度. 侧棱与底面的夹角：ArcCos(√3/3) 正四面体的对棱相等。具有该性质的四面体符合以下条件： 1．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱的中点的连线垂直于这两条棱。 2．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱中点的三条连线相互垂直。 3．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四条中线相等。 化学中CH4,CCl4,SiH4等物质也是正四面体结构。正四面体键角是109度28分，约为109.47°。
展开图如下所示： 若以正二十面体的中心为原点，各顶点的坐标分别为Φ,0,±1)}，在此Φ = (1+
正十二面体是正二十面体的对偶多面体。 建立模型的基本过程如下： void CTestView::ReadPoint()//点表 { double a=180;//长方形的宽 double b=a*(1+sqrt(5))/2;//黄金分割的矩形的长 double half=0.5; //第一个长方形的各个顶点 P[0].x=half*a;P[0].y=0;P[0].z=half*b; P[1].x=-half*a;P[1].y=0;P[1].z=half*b; P[2].x=half*a;P[2].y=0;P[2].z=-1/2.0*b; P[3].x=-1/2.0*a;P[3].y=0;P[3].z=-half*b; //第二个长方形的各个顶点 P[4].x=half*b;P[4].y=-half*a;P[4].z=0; P[5].x=half*b;P[5].y=half*a;P[5].z=0; P[6].x=-half*b;P[6].y=half*a;P[6].z=0; P[7].x=-half*b;P[7].y=-half*a;P[7].z=0; //第三个长方形的各个顶点 P[8].x=0;P[8].y=-half*b;P[8].z=half*a; P[9].x=0;P[9].y=-half*b;P[9].z=-half*a; P[10].x=0;P[10].y=half*b;P[10].z=half*a; P[11].x=0;P[11].y=half*b;P[11].z=-half*a; } void CTestView::ReadFace()//面表 { //面的边数、面的顶点编号 F[0].SetEN(3) ;F[0].p[0]=0 ;F[0].p[1]=5 ;F[0].p[2]=10 ; F[1].SetEN(3) ;F[1].p[0]=5 ;F[1].p[1]=2 ;F[1].p[2]=11 ; F[2].SetEN(3) ;F[2].p[0]=11 ;F[2].p[1]=3 ;F[2].p[2]=6 ; F[3].SetEN(3) ;F[3].p[0]=6 ;F[3].p[1]=1 ;F[3].p[2]=10 ; F[4].SetEN(3) ;F[4].p[0]=7 ;F[4].p[1]=1 ;F[4].p[2]=6 ; F[5].SetEN(3) ;F[5].p[0]=1 ;F[5].p[1]=0 ;F[5].p[2]=10 ; F[6].SetEN(3) ;F[6].p[0]=8 ;F[6].p[1]=0 ;F[6].p[2]=1 ; F[7].SetEN(3) ;F[7].p[0]=0 ;F[7].p[1]=4 ;F[7].p[2]=5 ; F[8].SetEN(3) ;F[8].p[0]=4 ;F[8].p[1]=2 ;F[8].p[2]=5 ; F[9].SetEN(3) ;F[9].p[0]=2 ;F[9].p[1]=3;F[9].p[2]=11 ;
正四面体蕴藏正方体中 我们在立体几何的学习中，探讨得最多的空间图形是正方体。例如，我们考虑两直线之间的相交（垂直）、平行、异面关系；两平面之间的相交（垂直）、平行关系；两异面直线之间的距离；两平行平面之间的距离；两相交平面之间的二面角等等，都可以借助正方体形象、直观、简洁地引入、刻画、研究。而正方体本身所具有的简洁美、对称美、和谐美也留给我们深刻的印象。因而，我们最熟悉的空间图形是正方体，我们最容易把握的空间图形也是正方体。正四面体是另一个我们探讨得很多的空间图形，正四面体同样体现了数学的简洁美、对称美、和谐美。但相比较而言，正四面体中的直线之间的平行关系；平面之间的垂直、平行关系；两平行平面之间的距离等等，都不很直观、典型。正四面体中几何元素之间尽管和谐，但有时候也不容易把握。 我们说我们对正方体比对正四面体更熟悉、更容易把握的一个更重要的理由是，正方体中蕴藏着正四面体。例如，如图3的正方体EBFA-CGDH 中，蕴藏着两个典型的正四面体，正四面体D-ABC 和正四面体H-EFG 。从而就为我们利用较熟悉的正方体认识较不熟悉的正四面体带来了可能。一般而言，单纯地利用正四面体本身的点、线、面、体这些几何量之间的某些关系进行研究，技巧性更强，推导更繁杂，更容易出错。而借助正方体来研究正四面体，计算量更少，几何量之间的关系更加简明、直观，做完后我们的把握更大。下面我们举一些例子进行说明。 例1 (2003年高考理科数学新课程卷选择题最后一题）：一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为 （ ） A.3π B.4π C.33π D.6π B A B Q E C 图1 图2 图3 分析1：如图1所示,正四面体D-ABC 的棱长为a ,中心为O 点,D 在底面ABC 上的射影为P 点,连接OA 、OB 、OC,显然，O 到平面ABC 、BCD 、ABD 、ACD 的距离 都等于OP ，且ABC D V -=4ABC O V -，即3 1 ?ABC S ??DP=4?ABC S ??OP ，即DP=4 OP 。
第 1 页 共 4 页 高中化学竞赛辅导专题讲座——三维化学 近年来，无论是高考，还是全国竞赛，涉及空间结构的试题日趋增多，成为目前的热点之一。本文将从最简单的五种空间正多面体开始，与大家一同探讨中学化学竞赛中与空间结构有关的内容。 第一节 正方体与正四面体 在小学里，我们就已经系统地学习了正方体，正方体（立方体或正六面体）有六个完全相同的正方形面，八个顶点和十二条棱，每八个完全相同的正方体可构成一个大正方体。正四面体是我们在高中立体几何中学习的，它有四个完全相同的正三角形面，四个顶点和六条棱。那么正方体和正四面体间是否有内在的联系呢？请先让我们看下面一个例题吧： 【例题1】常见有机分子甲烷的结构是正四面体型的，请计算分子中碳氢键的键角（用反三角函数表示） 【分析】在化学中不少分子是正四面体型的，如CH 4、CCl 4、NH 4＋、 SO 42－……它们的键角都是109o28’，那么这个值是否能计算出来呢？ 如果从数学的角度来看，这是一个并不太难的立体几何题，首先我们把它抽象成一个立体几何图形（如图1-1所示），取 CD 中点E ，截取面ABE （如图1-2所示），过A 、 B 做AF ⊥BE ，BG ⊥AE ，AF 交BG 于O ，那么 ∠AOB 就是所求的键角。我们只要找出AO （=BO ）与AB 的关系，再用余弦定理，就能圆满地解决例题1。当然找出AO 和AB 的关系还是有一定难度 的。先把该题放下，来看一题初中化学竞赛题： 【例题2 】CH 4分子在空间呈四面体形状，1个C 原 子与4个H 原子各共用一对电子对形成4条共价键，如 图1-3所示为一个正方体，已画出1个C 原子(在正方体 中心)、1个H 原子(在正方体顶点)和1条共价键(实线表 示)，请画出另3个H 原子的合适位置和3条共价键，任 意两条共价键夹角的余弦值为 ① 【分析】由于碳原子在正方体中心，一个氢原子在顶点，因为碳氢键是等长的，那么另三个氢原子也应在正方 体的顶点上，正方体余下的七个顶点可分成三类，三个为 棱的对侧，三个为面对角线的对侧，一个为体对角线的对 侧。显然三个在面对角线对侧上的顶点为另三个氢原子的 位置。 【解答】答案如图1-4所示。 【小结】从例题2中我们发现：在正四面体中八个顶点中不相邻的四个顶点（不共棱）可构成一个正四面体， 图1-1 图1-2 图1-3 图1-4
正四面体与正方体 在实践中，正方体是最常见的多面体；在理论上，所有的多面体都可看作是由正方体演变而来. 我们认定了正方体是多面体的“根基”. 我们在思考： （1）正方体如何演变出正四面体？ （2）正方体如何演变出正八面体？ （3）正方体如何演变出正三棱锥？ （4）正方体如何演变出斜三棱锥？ 【考题1】 （正四面体化作正方体解） 四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A.3π B.4π C.3π3 D.6π 【说明】 本题如果就正四面体解正四面体，则问题就不是一个小题目了，而是有相当计算量的大题. 此时的解法也就沦为拙解. 【拙解】 正四面体棱长为?2底面ABC 是边长为2的正三角形△ABC 的 高线BD =2 3·2=26 （斜高VD =26）?△ABC 的边心距HD =31·26=?6 6正四面体V —ABC 的高 .332)66()26( 2222=-=-=HD VD VH 正四面体外接球的半径为高的43 ，即R =43·.2 3332= 故其外接球的表面积为3π. 答案是A. 【联想】 1、2、3的关系 正四面体的棱长为 2，这个正四面体岂不是由棱长为1的 正方体的6条“面对角线”围成？ 为此，在棱长为1的正方体B —D 1中， （1）过同一顶点B 作3条面对角线BA 1、BC 1、BD ； （2）将顶点A 1，C 1，D 依次首尾连结.
则三棱锥B —A 1C 1D 是棱长为2的正四面体.于是正四面体问题可化归为对应的正方体解决. 【妙解】 从正方体中变出正四面体 以2长为面对角线，可得边长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，这个正方体的体对角线长为3，则其外接球的半径为23，则其外接球的表面积为S =4πR 2=4π (2 3)2＝3π 以 2为棱长的正四方体B —A 1C 1D 以1为棱长的正方体有共同的外接球，故其外接球的表面积也为 S =3π. 【寻根】 正方体割出三棱锥 在正方体中割出一个内接正四面体后，还“余下”4个正三棱锥. 每个正三棱锥的体积均为1/6，故内接正四面体的体积为1/3 . 这5个四面体都与正方体“内接”而“共球”. 事实上，正方体的内接四面体（即三棱锥）共有 12C 48 =58个. 至此可以想通，正方体为何成为多面体的题根.
素描几何体——十二面体 教学目标： 要求学生掌握物体的基本造型个性、理解物体的结构和基本透视。 教学重点： 物体的形状个性、结构、透视 教学难点： 物体的分面、透视 教学过程： 一、石膏十二面体是隶属于石膏几何形体训练的其中一个内容，它的特点为：块面齐整、造型简练、明暗表现清楚的几大特点，所以在素描练习中具有重要的地位，下面就它的结构特点和素描画法做一个简单的介绍。 二、结构特点 这节课所介绍的多面体的基本形为五边形，而多面体则由十二个五边形所组成，每个五边形的各条边均与其他的五边形相连，形成一个完整的多面体，结构清楚、明暗效果直接明了，让画者很容易的区分黑白灰的层次感觉，便于绘画练习。 三、素描画法 十二面体的素描画法具体分为一下几个步骤： 第一步，考虑画面的构图，也就是说把十二面体在纸上画多大，画在什么位置上。 第二步，用直线画出大的形状。这个步骤画的时候用线不要太重，以便于后边几个步骤中能够进行修理。
第三步画出具体形状。在进行这个步骤的绘画练习时，要把你所能看到的五边形全部绘画出来，但同时要注意，由于角度的不同，所看到的五边形也发生了很大的变化，既各边的长短在视觉上有了很大的差异。 第四步是画出明暗效果，在十二面体的明暗表现时，由于它的块面特点，所以较为容易区分，不必要再先铺设大的色块，直接表现即可。但是再画的时候要注意每一个五边形，由于距离光线的远近不同，五边形本身也就会出现明暗的深浅变化，一般离光近的一边重，其它边要逐渐变浅。
第五步是进行画面上的调整，在这个环节，要求画者要根据画面应有的效果去对画面进行修正，也就是说要添加一些细节部分，去除掉一些繁琐的内容。这样一幅十二面体的素描就画了出来。
正四面体的性质：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积 S 全 2a ； (2)体积 3 a ； (3)对棱中点连线段的长 d= 2 a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) (4)相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3 (5)对棱互相垂直。 (6)侧棱与底面所成的角为β=1arccos 3 (7)外接球半径 a ； (8)内切球半径 r= 12 a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则 ①不含直角的底面ABC 是锐角三角形； ②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心； ③体积 V= 1 6 a b c ； ④底面面积S △ABC ⑤S 2 △BOC =S △BHC ·S △ABC ； ⑥S 2 △BOC +S 2 △AOB +S 2 △AOC =S 2 △ABC ⑦ 2222 1111 OH a b c =++; ⑧外接球半径 ⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABC S S S S a b c ????++-++ 四面体的性质探究 如果从面的数目上来说，四面体是最简单的多面体。 一．四面体性质 A B C D O H
A B D C O S 1 S 2 S 3 S 4 1．四面体的射影定理：如果设四面体ABCD 的顶点A 在平面BCD 上的射影为O ，△ABC 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，△BCD 的面积为S 3，△ABD 的面积为S 4，二面角A-BC-D 为θ1-3 ，二面角A-DC-B 为θ 2-3 ，二面 角A-BD-C 为θ3-4 ，二面角C-AB-D 为θ1-4 ，二面角C-AD-B 为θ2-4 ，二面角B-AC-D 为θ 1-2 ，则 S 1 = S 2cos θ1-2 + S 3cos θ1-3 + S 4cos θ1-4 S 2 = S 1cos θ1-2 + S 3cos θ2-3 + S 4cos θ2-4 S 3 = S 1cos θ1-3 + S 2cos θ2-3 + S 4cos θ3-4 S 4 = S 1cos θ 1-4 + S 2cos θ 2-4 + S 3cos θ 3-4 2．性质2(类似余弦定理) S 12 = S 22 + S 32 +S 42 - 2S 2S 3 cos θ2-3 - 2S 2S 4 cos θ2-4 - 2S 3S 4 cos θ3-4 S 22 = S 12 + S 32 +S 42 - 2S 1S 3 cos θ1-3 - 2S 1S 4 cos θ1-4 - 2S 3S 4 cos θ3-4 S 32 = S 12 + S 2 2 +S 42 - 2S 1S 2 cos θ1-2 - 2S 1S 4 cos θ1-4 - 2S 2S 4 cos θ2-4 S 42 = S 12 + S 22 +S 32 - 2S 1S 2 cos θ1-2 - 2S 1S 3 cos θ 1-3 - 2S 2S 3 cos θ 2-3 特别地，当cos θ1-2 = cos θ 1-4 = cos θ 2-4 = 0，即二面角C-AB-D 、 C-AD-B 、B-AC-D 均为直二面角（也 就是AB 、AC 、BC 两两垂直）时，有S 32 = S 12 + S 22 +S 42 ， 证明：S 32 = S 3S 1cos θ1-3 + S 3S 2cos θ 2-3 + S 3S 4cos θ 3-4 = S 1 S 3cos θ 1-3 + S 2 S 3cos θ 2-3 + S 3 S 4cos θ 3-4 = S 1（S 1 - S 2cos θ 1-2 + S 4cos θ 1-4 ）+S 2（S 2 - S 1cos θ 1-2 + S 4cos θ 2-4 ）+ S 4（S 4 - S 1cos θ1-4 + S 2cos θ 2-4 ） = S 12 + S 22 +S 42 - 2S 1S 2 cos θ 1-2 - 2S 1S 4 cos θ1-4 - 2S 2S 4 cos θ 2-4 二．正四面体的性质 设正四面体的棱长为 a ，则这个正四面体的 (1)全面积 S 全 2a ； (2)体积 V= 3 12 a ； (3)对棱中点连线段的长a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) (4)相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3 (5)对棱互相垂直。 (6)侧棱与底面所成的角为β=1 arccos 3 (7)外接球半径 a ； (8)内切球半径 r= 12 a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高).
正多面体与平面展开图 By Laurinda..201604开始总结，网络搜集 正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体正四面体正六面体 正八面体正十二面体 正二十面体
正方体展开图 相对的两个面涂上相同颜色，正方体平面展开图共有以下11种。
邻校比我们学校早了几天举行段考，拿他们的数学卷子提供给学生充做模拟考，其中有一题作图题，不好做，它要求将右图，一个由正方形和等腰直角三角形组成的五边形，以两条线切割，重组成一个等面积的等腰直角三角形。 这题让学生和我「奋战」了几节课，却总是画不成。理论上它是可以成立的，因为等腰直角三角形可以和一个正方形等面积，而且由商高定理可以知道，存在一个正方形A，它的面积等于任意两个正方形B、C的面积和。只要A的边长是这两个正方形B、C的边长平方和的正平方根即可。而正方形当然可以等积于一个等腰直角三角 形。 但是如何以两条直线完成这道题呢? 今天(5/19)，我利用周休继续思考这道题，终于完成了，做法如左。
多面体之Euler's 公式(V - E + F = 2) V =顶点数( number of vertices) ; E = 边数(number of edges) ; F = 面数(number of faces) 正四面体(Tetrahedron) V=4,E=6,F=4, 4 - 6 + 4 = 2 正六面体(Cube) V=8,E=12,F=6, 8 - 12 + 6 = 2 正八面体(Octahedron) V=6,E=12,F=8, 6 - 12 + 8 = 2 正十二面体(Dodecahedron) V=20,E=30,F=12, 20 - 30 + 12 = 2 正二十面体(Icosahedron) V=12,E=30,F=20,12 - 30 + 20 = 2
<<正四面体>>课堂实录 成都航天中学 邓成兵 （一）情景引入: 师：正四面体是最为简约而又优美的多面体，它有4个顶点、4个面、6条相等的棱，它 是一种特殊的正三棱锥——底面边长等于侧棱长。在历年的高考数学试题中，多次出现正四面体的有关计算问题，主要有三种类型：（1）正四面体的计算；（2）正四面体与正方体的计算；（3）正四面体与球的计算。下面请同学们展示一下你们得到的正四面体有关性质.首先哪位同学上台展示你们小组的成果: （二）、知识碰闯； 万天平(学生):我们组得到的性质如下： ①、它们6条棱均相等； ②、相邻棱的夹角为0 60；（①、②这两条性质比较简单就不用证明） ③、相对棱的两条异面直线垂直（对棱垂直） ④、对棱的中点是这两条棱的公垂线且长为a 22（以下把正四面体的边长设 为a ）。
⑤、相邻的两个面的二面角相等且余弦值为 1 ⑥、侧棱与底面所成的角相等且余弦值为 3 3 容易知道侧棱与底面所成的角相等，∠PAO 为PA 与底面ABC 所成的角。可求AO= 3 a 3，PA=a ，PO ⊥面ABC 即PO ⊥AO ；在R t ΔPAO 中,cos ∠PAO= 3 3 PO AO = ⑦、相邻两个面中平行与交线的中位线与棱的交点所成的四边形为正方形。 （由于时间关系，同学们下来做）例1：已知S-ABC 为正四面体，且E 、F 、G 、H 分别为四 面体的四个面的中心； （1）、求证：四面体EFGH 为正四面体； （2）、求 ABC S FHG E S :--表表S （3）、求 ABC S FHG E V :--V 廖红菊（学生）：我们组得到的性质是： ⑧、正四面体的外接球的半径与正四面体棱长的关系是：a 4 6 R = 分别取BC 、PA 的中点D 、E ，连结DE ，则DE 为PA 、BC 的公垂线段，且与高1PO 的交点O 是外接球的球心，连结AO 、AD 。
一、设计目的 设计一个程序使得运行后生成一个旋转的正方体和一个可旋转的正四面体，旋转过程中伴随着颜色的变化。 二、算法描述 运用多个glV ertex3f函数赋予颜色，以及运用多个选择语句，实现消息转变。根据题目要求，分别选择正方体和正四面体，分别作左上右下旋转和水平逆时针（从上方看）旋转。正方体的六个面采用不同的颜色，正四面体的三个可见面则采用多色分布镶嵌。 程序要运用多个函数有： GLvoid ReSizeGLScene(GLsizei width, GLsizei height)（调整和初始化GL窗口）； int InitGL(GLvoid)（初始化）； int DrawGLScene(GLvoid)（GL场景绘制）； GLvoid KillGLWindow(GLvoid)（选择正确方式选择窗口或关闭窗口）；AdjustWindowRectEx(&WindowRect, dwStyle, FALSE, dwExStyle);（调整窗口大小来创建合适的窗口）； int WINAPI WinMain( HINSTANCE hInstance, HINSTANCE h PrevInstance, LPSTR lpCmdLine, int nCmdShow)（主函数） 三、程序代码 #include
正十二面体：从制作到理解 常文武 正十二面体是一种以正五边形为面的多面体。 这种不寻常的别致多面体数学内涵非常丰富。柏拉 图曾认为我们的宇宙就是正十二面体的。虽然这只 是一个美丽的错误，但是正十二面体对于普通大众 至今仍充满神秘色彩。 制作正十二面体 为了探究正十二面体，有必要亲手制作一个。 显然，纸模型是最方便的实现方式。 制作正十二面体纸模型的方法很多，这里用组合折纸的方式制作。通过组合拼接而成的结构便于在需要的时候重新调整各面相对位置。 材料：宽度4CM -5CM 的平行长纸带100CM 步骤1 制作一个正五边形的纸带结 用长约8倍宽度的纸带打个结，轻拉两端至最紧，压平（图2左）。数学上可以严格证明这个结是正五边形。 图 2 正五边形结及108°折叠 步骤2 制作插合正十二面体所需的零件 用长约3倍宽度的纸带折叠一道折痕，使其形成的内角 正好符合五边形纸带结的顶角（图2右）。 折叠后的纸带重叠区域有一个36°为底角的等腰三角 形。现在请将它的两腰以外的纸带贴着边折到背后，然后再 把底边以外的部分剪去（图3）。 打开重新将两侧翼藏在夹层内，并且让它们在内部彼此勾起来，压平。我们得到了一个有108°顶角的等腰三角形（图4左）。 图 1古罗马正十二面体青铜器 图 3 修剪多余的纸
图4三角形内部构造以及内嵌五边形的折痕 折叠找到每一腰所对角的角分线与该腰的交点，将相应锐角折到这个点。可以证明，这两道折痕与三角形三边围成一个正五边形（图4右）。 至此我们就完成了第一个插接件。 请再做11个这样的零件。 步骤3 插合正十二面体 眼：两锐角前端是榫头，两腰靠近顶点的缝隙 是卯眼。插合时有一定规则，为了保证这个规 则不被破坏，我们给每个插接件上标注一些记 号。 作标记的规律：在每片插接件的里侧左下 角标为红点榫头，左腰缝隙标为红点卯眼；相 应地，右下角为蓝点榫头，右腰缝隙为蓝点卯 眼（图5上左）。 插合时只要保证榫头插入同色的卯眼（图 5上右），就可以顺利完成一个完美的十二面体 （图5下）。 图 5 正十二面体的插合过程
神奇的数学折纸（2）：正十二面体着色，从头再来(常文武) 作者简介：常文武复旦大学数学博士，上海市普陀区现代教育技术中心跨学科高级教师，全国首批英特尔未来教育骨干教师。多次参加亚洲数学技术大会（ATCM）并出访美国、欧洲等地。2013年起潜心研究折纸在数学中的应用，连续在《科学》等杂志上发表10多篇论文，两度参加上海科学艺术展。2014、2015年连续两年受澳门中华教育会邀请向澳门数学教师传授折纸，2014年出版《动手动脑玩转数学》一书。前文《神奇的数学折纸：正十二面体，从制作到理解(常文武) 》谈及正十二面体的制作和四种着色方案。现在进一步研究着色方案的完备性。我们将证明这些着色方案已经无一遗漏了。对正十二面体有了一定的具象经验，我们就可以抽象一点来看这个问题。图1是一个平面化的正十二面体。想象一个用橡皮绳拉出的正十二面体笼状结构，图1中五边形外轮廓正是其中一个撑开的正五边形洞。换个说法，将笼子的一个五边形洞拉大到可以摊平到桌面的地步，正十二面体就平面化了。那就要记住这个最大的正五边形轮廓也代表一个面。 给定四种颜色，如何用它们来给这个五边形网的每一个洞眼着色呢？ 我们制定一个“先两头再中间”的顺序：也就是先把
最里面的以及最外面的两个洞眼涂色（这两块在原立体结构中位于平行相对的位置，下文称为打对），接着涂靠近中心的一圈五个洞眼，最后处理剩下的五个洞眼。图2显示我们给中心涂色为红色，轮廓（代表相对的被拉大的洞眼）涂色为蓝色。这只是一种着色方案，您也可以根据喜好换任何的两种不同颜色。但是注意，这两个打对的洞眼必须是不同色的！ 为何它们必须不同颜色呢？且听我细细道来。 如果我们把同色(比如蓝色)赋给两头的洞眼，那么因为其余10个网眼要么与中心网眼相邻，要么与外轮廓代表的洞眼相邻，它们就都不可再用蓝色了。所以，涂其它10个面只能靠3种颜色了。这显然导致有一色要用4次或更多次。可是每个圈上最多只能放两个同色块(否则在该圈内同色相邻)，于是4个同色块必须按“2-2”格局分属两个圈。即便如此仍不可避免带来问题。因为内圈两个隔开的同色色块会排除了外圈四个区块不得取该色，这就使2-2分配格局不可能实现了,见图3。以上论证过程不但确立了“打对不同色，同色不打对”的原则，而且还可得到一个推论：任何颜色不用四次。 这是因为，如果某一色使用达到4次，第一次用该色块就排除了与它相邻的5块。考虑到同色不打对，仅剩外圈的5个位置。该圈里要放3个同色块是不可能不撞色的。
[探讨]正二十面体的坐标取值 编辑:523066680@https://www.doczj.com/doc/1c8708341.html, from: https://www.doczj.com/doc/1c8708341.html, 红皮书中举了个绘制正二十面体的例子,部分代码如下 （参见“2.10 创建多边形表面模型的一些提示”） An Example: Building an Icosahedron: #define X .525731112119133606 #define Z .850650808352039932 static GLfloat vdata[12][3] = { {-X, 0.0, Z}, {X, 0.0, Z}, {-X, 0.0, -Z}, {X, 0.0, -Z}, {0.0, Z, X}, {0.0, Z, -X}, {0.0, -Z, X}, {0.0, -Z, -X}, {Z, X, 0.0}, {-Z, X, 0.0}, {Z, -X, 0.0}, {-Z, -X, 0.0} }; static GLuint tindices[20][3] = { {1,4,0}, {4,9,0}, {4,5,9}, {8,5,4}, {1,8,4}, {1,10,8}, {10,3,8}, {8,3,5}, {3,2,5}, {3,7,2}, {3,10,7}, {10,6,7}, {6,11,7}, {6,0,11}, {6,1,0}, {10,1,6}, {11,0,9}, {2,11,9}, {5,2,9}, {11,2,7} }; int i; glBegin(GL_TRIANGLES); for (i = 0; i < 20; i++) { /* color information here */ glVertex3fv(&vdata[tindices[i][0]][0]); glVertex3fv(&vdata[tindices[i][1]][0]); glVertex3fv(&vdata[tindices[i][2]][0]); } glEnd(); ======================================== #define X .525731112119133606 #define Z .850650808352039932 原版以及中文版关于这两个常量的注释： The strange numbers X and Z are chosen so that the distance from the origin to any of the vertices of the icosahedron is 1.0. 我们为X 和Y 选择了两个似乎很奇怪的数，其用意在于使原点到这二十面体的每个顶点的距离均为1.0。 至于这两个常量怎么来的，只能自己查了。 在wikipedia找到了完整的注释，以及更多的扩展图形 英文的解释要全面的多 https://www.doczj.com/doc/1c8708341.html,/wiki/Icosahedron 中文对照（页面未完善） https://www.doczj.com/doc/1c8708341.html,/wiki/正二十面體 若以正二十面体的中心为原点， 各顶点的坐标分别为 (0,±1,±Φ) (±1,±Φ,0) (±Φ,0,±1) 在此Φ = (1+√5)/2，即黄金分割数。 因此，这些顶点能组成一些黄金矩形。
第 1 页 共 4 页 第 五节 正十二二十面体与碳－60 在学习完正四面体、正方体、正八面体以后，我们再来学另两种正多面体——正十二面体与正二十面体，以及用它们完美组合而成的碳－60的空间模型。 【讨论】在平面上，我们用单位正方形，可紧密地铺 满一个无限平面；用单位正六边形也是可以紧密地铺满一 个平面的；那么单位正三角形可以吗？由于一个六边形可 分割成六个完全相同的正三角形，显然，单位正三角形也 是可以的；再来看正五边形，它的每个顶点是108°（不是360°的约数），如右图5-1所示，它在平面不可能铺满而不留任何空隙。在空间正多面体中，共一顶点的棱至少 3条，共一顶点的夹角之和应小于360（如正方体270o ，正八 面体240o），因此正六边形不能在空间构成一个每个面是正六 边形的正多面体，那么五边形是否可以构成正多面体呢？由于 3×108o＜360o，因此就存在可能性。如右图5-2所示，这就由正五边形构成的正多面体——正十二面体。请看例题1。 【例题1】如图5-2所示是十二面体烷的空间构型，写出它的化学式并计算它的一氯取代物和二氯取代物的数目。 【分析】在前几节，我们曾探讨了空间多面体中点、线、面的关系。在正十二面体中，每个面是正五边形，三条棱共一顶点，因此顶点数应为12×5/3=20，而棱数应为12×5/2=30。既然是空间正多面体，它的每个顶点必须是等价的，一氯取代物只可能是一种。我选定一个顶点，与它最近的顶点是3个（共棱），然后是6个，然后依次是6个，3个，1个，故二氯取代物有5种。 【解答】化学式C 20H 20，1种一氯取代物，5种二氯取代物。 【讨论】继续讨论上文的话题，当用正方形（90o）构成空 间正多面体时，共顶点的也只可以是三条棱，故只有一种正多 面体—正方体；当用正三角形（60o）构成空间正多面体时，共 顶点的棱可以是三条、四条、五条，三条时是正四面体，四条时是正八面体，五条时就是最后一个正多面体——正十二面体。如图5-3所示，这就是由正三角形构成的空间正二十面体。请看例题2。 【例题2】晶体硼的基本结构单元是由硼原子组成的正二十面体（如图5-3所示），每个三角形均为正三角形，每个顶点为一硼原子。则每一个此基本单元由 个原子组成；该单元中有2个原子为10B （其余为11B ），那么该结构单元有 种不同类型。 【分析】如同例题1，先根据20个正三角形计算顶点数为20×3÷5=12； 图5-1 图5-3 图5-2