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正弦定理精品教案详案

正弦定理

一、教学内容分析：

本节课是高一数学第五章《三角比》第三单元中解斜三角形的第一课时，它是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，是解决生产、生活实际问题的重要工具，正弦定理揭示了任意三角形的边角之间的一种等量关系，它与后面的余弦定理都是解三角形的重要工具。

本节课的主要任务是通过引入三角形新的面积公式，推导出正弦定理，并让学生初步掌握正弦定理的基本应用。

二、学情分析：

对高一的学生来说，一方面已经学习了平面几何、解直角三角形、任意角的三角比等知识，具有一定的观察分析、解决问题的能力；但另一方面对新旧知识间的联系、理解、应用往往会出现思维障碍，思维灵活性、深刻性受到制约，特别是对于本校的同学，这方面的能力比较薄弱。根据以上特点，教师需要恰当引导，提高学生学习主动性，注意前后知识间的联系，引导学生直接参与分析问题、解决问题。

三、设计思路：

由于学生的总体基础比较薄弱，因此，在上课之前，针对《正弦定理》课内内容学生不太容易理解的地方，我作了一个学情调查，将其中的公式推导要应用的关键知识以题目的形式出给学生做，用以诊断学生学习正弦定理的知识方法基础，然后分析梳理为课堂教学服务。

在课堂教学方面，首先通过一个实际生活的例子引入，在现实的测绘工作中，经常会碰到解斜三角形的问题，那么，在斜三角形中，边和角之间有没有特殊的关系可以给我们利用呢？借鉴前面利用坐标研究三角的方法，用坐标法来对任意三角形进行研究，得到三角形新的面积公式，通过对三角形面积公式的变形，得到正弦定理，但不对比值的意义作深入的探讨（放在第二节课进行）。定理研究完毕以后，引导学生利用正弦定理来解决具体问题，并发现，正弦定理可以解决解三角形的两类问题：（1）已知三角形两角和一边，求其它边和角；（2）已知三角形两边和一边对角，求其它边和角。

四、教学目标：

一、知识与技能：

理解三角形的面积公式，初步掌握正弦定理及其证明；会初步运用正弦定理解三角形；培养数学应用意识。

二、过程与方法：

1、通过实际问题，激发学生的学习兴趣；

2、采用坐标法来研究任意三角形，并感受其解决问题的优越性，感受数学推理的严谨性；

3、通过应用分析、问题解决来培养学生良好的学习思维习惯，增强学生学习的自信心。

三、情感、态度与价值观：

通过知识之间的联系与推理使学生明白事物之间的普遍联系与辩证统一性。

四、教学重点与难点

教学重点：正弦定理的探索与证明；正弦定理的基本应用。

教学难点：正弦定理的探索与证明；正弦定理在解三角形时的应用思路。

教学过程：

一、情景引入：

开场白：今天我们来研究三角形。初中我们曾经学习过解直角三角形，通常依据直角三角形中边角的特殊关系来求解。但在解决实际问题中，往往会碰到关于解斜三角形的问题。如：

某林场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点A 和B 。某日两个观测点的林场人员分别观测到C 处出现火情。在A 处观测到火情发生在北偏西040方向，在B 处观测到火情在北偏西060方向。已知B 在A 的正东方向10千米处，请你帮忙确定火场C 距离A 、B 多远？

这个实际问题可以转化为一个数学问题：

在三角形ABC 中，已知AB=10，0013030，，A B ∠=∠=求AC 和BC 的长？这就是一个解斜三角形的问题。

师：思考一下，我们用以前的知识该怎么求呢？生：-------------------

师：我们可以通过作垂线，构造直角三角形的问题来解。但是，有没有更好的方法，可以直接求解呢？这就是我们今天要研究的内容-------------正弦定理。二、新授课

我们在角的范围扩大后，将角放在坐标系中进行研究，对任意角三角比重新进行了定义，奠定了整个三角内容的基础。今天，我们同样将三角形放在坐标系中进行研究，看能否给我们一些惊喜？如图所示建立直角坐标系：

我们先定一下点A 、B 、C 的坐标.

A （0，0）

B （c ，0） c c o s A s i n A

（，）b b 问：点C 的坐标如何确定？

生：点C 在角A 的终边上，根据任意角三角比的定义， CosA=x/b ，sinA=y/b 所以：x=bcosA ，y=bsinA

师：从这里看一看出，不管角A

我们来看看点C 的纵坐标，它的大小等于点C 到x 问：大家发现没有，对于三角形ABC 来说，CD 有没有什么几何含义？生：它是三角形ABC 边AB 上的高。

师：我们看一下，这个三角形的底边AB 长为c ，高可以表示成bsinA ，知道了三角形的底边和高，可

以求出什么？

生：三角形的面积。

师：请说出三角形的面积表达式：生：ABC 1

S b csin A 2

? 师：（操作几何画板，变动三角形形状）我们来看一下，当三角形变化时，点C 的纵坐标的形式会不

会发生变化？生：不会

师：那就是说，这个面积公式可以适用于任意三角形。

师：我们知道，一个三角形含有6个元素，三条边，三个角，这个表达式含有几个元素？生：三个，两条边，一个角。师：边和角有什么关系吗？生：角是两边的夹角。

师：你能用一句话来表达一下这个面积公式吗？

生：三角形的面积等于：三角形的两边与它们的夹角的正弦值的乘积的一半。

师：我们现在是用b,c ，A 这三个元素来表示的，那么，同样的，你还能用其他的边角来表示吗？生：ABC 111

S b csin A a csin B a bsin C 222

?=?=? 师：用一句话来描述一下这个公式？

生：三角形的面积 = 任意两边与他们夹角的正弦的积的一半

师：这是一个非常漂亮的公式，我们看看，它将任意三角形的三条边，三个角和三角形的面积在一个式子里面联系在了一起。从今以后，我们求三角形的面积又多了一个选择。

师：我们通过这个公式还可以看出，任意三角形的边角之间有一种特殊的等量关系，我们把等式中的S 和

去掉看看：b csin A a csin B a bsinC ?=?=? 师：我们看看这个式子，等式中每条边都出现了2次，每个角出现了1次，总的来说还是很复杂。我

们能否将它们进行等价变形，让边角之间的关系变得更加明确、更加简单一点？

思路1：等式的左、中、右同除以abc 又会得到什么呢？生：

sin sin sin A B C

a b c

我们把这个等式取倒数，可以写成：sin sin sin a b c

A B C

思路2：

我们将这个连等式变化成2个等式：bcsinA=acsinB,acsinB=absinC

即：bsinA=asinB,csinB=bsinC ，要使2个等式的形式完全相同，并且能够练习在一起。再变形：可以得到b/sinB=a/sinA,c/sinC=bsinB

所以可以得到：

sin sin sin a b c

A B C

我们来看一下，这个连等式将三角形的6个元素完美的结合在了一起，比起前面的表达式，它显得非常的简洁，非常的美。为什么说它非常美呢？大家看看它的结构，有什么特点？

生：各边与其对角的正弦严格对应，体现了数学的对称美. 问：哪位同学能用文字语言把它描述一下？

生：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

师：我们初中学过，在任意三角形ABC 中，大边对大角，这个两等式可以看做大边对大角的一个升级版，大边对大角的正弦，小边对小角的正弦，他们的比值相等。

不研究不知道，一研究吓一跳，小小的一个三角形蕴含了这么多的奥秘！

说明：这就是我们今天要学的正弦定理。为什么要写成这种形式呢？因为这个比值是一个常数，有它特定的意义，我们在下一节课再进行研究。

师：我们再来研究一下这个连等式。我们可以将它分解成几个等式？

生：三个：sin sin sin sin sin sin

，，a b a c b c

A B A C B C

===

师：我们来看一下，每个等式含有4个元素。对于每个等式来说，如果用方程的观点来看，如果要求出其中一个元素，需要知道几个元素？

生：知道三个。

师：三个方程，每个含有四个量，知其三求其一。

练习：（1）下列哪些三角形的x 可以用正弦定理来求解?如果可以，应该如何求？（不必求出x 的值）

由此，我们可以归纳出正弦定理可以解决某些三角形的求解问题：

（1）已知两角及任意一边；（2）已知两边及其中一边的对角.

(5)

(6)

(4)

(3)

（2）应用正弦定理解决引例问题；

4、归纳小结

请大家梳理一下我们今天学的内容：

生：我们今天利用坐标系对三角形进行研究，发现了：

1、三角形面积公式：

ABC 111

S b csin A a csin B a bsin C 222?=

?=?=?

即：三角形的面积等于三角形任意两条边与它夹角的正弦的积的一半。 2、正弦定理

sin sin sin a b c

A B C

，它是解三角形的工具之一。即：在三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等。 3、正弦定理可以解决以下两种类型的三角形：

（1）已知两角及任意一边；（2）已知两边及其中一边的对角.

5、作业：练习卷

1正弦定理和余弦定理-教学设计-教案

教学准备教学目标 1. 知识目标：理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形；技能目标：理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性情感态度价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； /难点教学重点2. 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学用具 3. 多媒体标签 4. 正弦定理教学过程讲授新课在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角根据锐BC=a,AC=b,AB=c, ABC．与边的等式关系。如图11-2，在Rt中，设角三角函数中正弦函数的定义，有 . ，又，则，中，ABC从而在直角三角形．

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：，根上的高是CDABC1（证法一）如图．1-3，当是锐角三角形时，设边AB CD=据任意角三角函数的定义，有，则. . 同理可得，从而

是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后ABC类似可推出，当自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ] 理解定理[）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同1 （；使一正数，即存在正数k，，

等价于2（），，。从而知正弦定理的基本作用为：；①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 . 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。．评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 2（1）题。）、（页练习第第随堂练习[]511

苏教版高中数学必修五正弦定理教案

第 1 课时： §1.1 正弦定理（1）【三维目标】：一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程； 2.能解决一些简单的三角形度量问题（会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题）；能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题； 3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力．二、过程与方法让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。三、情感、态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。【教学重点与难点】：重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。【学法与教学用具】： 1. 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： sin sin sin a b c A B C == ，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题 1.在直角三角形中的边角关系是怎样的？ 2.这种关系在任意三角形中也成立吗？ 3.介绍其它的证明方法二、研探新知 1.正弦定理的推导（1）在直角三角形中：c a A = sin ,1sin ,sin ==C C B B ，即 =c A a sin ，=c B b sin ，=c C c sin ∴A a sin =B b sin =C c sin 能否推广到斜三角形？（2）斜三角形中证明一：（等积法，利用三角形的面积转换）在任意斜△ABC 中，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111 sin sin sin 222 ABC S ab C ac B bc A ?= ==，每项

正弦定理应用教案

正弦定理应用教案【篇一：正弦定理、余弦定理应用举例教案】第7讲正弦定理、余弦定理应用举例【考查要点】利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．【基础梳理】 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型。如测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))． (2)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如b点的方 (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 3、解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 4、解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．【例题分析】一、基础理解 a．．3 m c． m 2

解：如图．答案 b 例4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船 a．5海里 b．3海里 c．10海里 d．海里 5里)，于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．答案 c 0.5 二、测量距离问题例1、如图所示，为了测量河对岸a，b两点间的距离，在这岸 [分析] 在△bcd中，求出bc，在△abc中，求出ab. 例2、如图，a，b，c，d 都在同一个与水平面垂直的平面内， b、d为两岛上的试探究图中b、d间距离与另外哪两点间距离相等，然后求b， d的距离．故cb是△cad底边ad的中垂线，所以bd＝ba. 2＋同理，bd(km)．故b、d km. 2020 三、测量高度问题 [分析] 过点c作ce∥db，延长ba交ce于点e，在△aec中解得x＝10(33) m．故山高cd为10(33 ) m. 总结：(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．， cd cdx ab解：在△abc中，ab＝5，ac＝9，∠bca＝sin∠acb 9同理，在△abd中，ab＝5，sin∠bad 10 abbd∠adb＝， sin∠bdasin∠bad 22解得bd故bd的长为22 总结：要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理．点，ad＝10，ac＝14，dc＝6，求ab的长．解：在△adc中，ad＝10，ac ＝ 14，dc＝6，【篇二：《正弦定理》教学设计】

2018年必修五《正弦定理》教案

§1.1.2 正弦定理一、知识与技能 1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 2通过三角函数、正弦定理等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力．二、过程与方法让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。三、教学重点与难点：重点：正弦定理的探索及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。【授课类型】：习题拔高课四、教学过程一、知识回顾 1正弦定理的内容是什么？二、例题讲解例 1试推导在三角形中 A a s i n =B b sin =C c sin =2R 其中R 是外接圆半径. 证明如图所示，∠A ＝∠D ∴R CD D a A a 2sin sin === 同理B b sin R 2=，C c sin R 2= ∴ A a sin = B b sin =C c sin =2R a b c O B C A D

例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===? 解：∵213 60sin 1sin sin ,sin sin 0=?==∴=b B c C C c B b ，C B C B c b ,,60,0<∴=> 为锐角， 0090,30==∴B C ∴222=+=c b a 例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===? 解2 3245sin 6sin sin ,sin sin 0=?==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴<

高中数学_方程的根与函数的零点教学设计学情分析教材分析课后反思

§3.1.1 方程的根与函数的零点一、导入新课(直接导入) 教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点。 1、先观察下列三个一元二次方程的根与其相应的函数的图象： ①方程2 230x x --=与函数2 23y x x =--； ②方程2 210x x -+=与函数2 21y x x =-+； ③方程2 230x x -+=与函数2 23y x x =-+；教师引导学生解方程，画函数图象（教师在黑板画出第一个函数图象），并引导学生发现方程的根与函数图象和x 轴交点坐标的关系。容易知道，①中方程的两个根为121;3x x =-=，函数图象与x 轴有两个交点（-1,0）,(3,0), ②中方程的两个实数根为121x x ==，函数图象与x 轴有一个交点（1,0），③中方程无实数根，函数图象与x 轴无交点。在上面的三个例子中，我们发现：方程有根，函数图象与x 轴就有交点，并且方程的根与函数图象与x 轴的交点横坐标相等。 2、那这个结论对一般的一元二次方程及其相应的函数也成立吗？（学生同桌之间交流完成下表） 0>V 0=V 0

函数（2b a -+V ，0）（ 2b a --V ，0）（2b a -，0）无交点学生自行验证上述结论，结论成立。 3、这个结论对一般的方程及其相应的函数也成立吗？函数y=f(x)与x 轴的交点在x 轴上，交点的纵坐标为0，那么，横坐标就是0= f(x)的解，也就是方程f(x)= 0的根。若方程有根，则说明所求的横坐标存在，即函数图象与x 轴的交点存在，且方程的根与函数图象与x 轴的交点横坐标相等。结论依然成立。二、构建概念由上述结论可知，函数图象与x 轴的交点可以把函数图象和方程联系起来，这样的点他还有一个特别的名字：零点。那么，怎样用数学语言来描述零点呢？请看课本第87页的定义：定义（教师板书）：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)= 0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。说明：1、零点不是点，而是实数； 2、零点就是方程的根。我们结合所学的零点一起来描述一下刚刚的结论：方程f(x)= 0有根 ?函数y=f(x)图象与x 轴有交点 ?函数y=f(x)有零点三、例题演练求下列方程的零点 3 2)3()4)(3)(2)(1()2(8 )1(23+-=----=-=x x y x x x x y x y 四、诱导启发 1、通过上面的学习，同学们都有哪些求函数零点的方法呢？（①求相应方程的根，②利用函数图象求交点） 2、若一个函数图象不能直接画出，它相应的方程也不易求根，我们又有什么方法来求得它的零点呢？请同学们看课本例二。例2、求函数f (x)=ln 26x x +-的零点的个数。（不易求根，不易画图）学生会觉得非常困难，激发学生的好奇心和好胜心，并加以引导。同学们，我们先把这个题目放在一边，来观察函数2 23y x x =--的图象（之前已在黑板上画出）。我们发现2 23y x x =--在区间[-2,1]上有零点，计算f (-2)·f (1)在区间[2,4]上呢？

正弦定理教案

课题：§2.1.1正弦定理教学目标： 1．知识目标:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2. 能力目标:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 3．情感目标：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教材版本：北师大必修5 教学课时：1 教学过程：一、新课引入：如左图，在ABC Rt ?中，有 s i n ,s i n ,s i n 1 a b A B C c c ===。经过变形有,,sin sin sin a b c c c c A B C ===，所以在ABC Rt ?中有：c C c B b A a ===sin sin sin 思考：在其他任意三角形中是否也有 s i n s i n s i n a b c A B C ==等式成立呢，这个时候 ?sin sin sin ===C c B b A a 观察下图，无论怎么移动B ’,都会有角B ’=B,所以在C AB '?中，c B b B b ==sin sin '， c

C 是ABC Rt ?，C AB ' ?外接圆的直径。所以对任意ABC ?，均有R C c B b A a 2s i n s i n s i n ===(R 为ABC ?外接圆的半径) 这就是我们这节课所探讨的内容：正弦定理二、新课讲解 (一)正弦定理及变形： R C c B b A a 2sin sin sin === 定理变形：⑴C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== ⑵R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === ⑶C B c b C A c a B A b a sin :sin :,sin :sin :,sin :sin :=== (二)定理应用例1、在△ABC 中，BC ＝3，A ＝45°，B ＝60°，求AC ，AB,c 解：【分析】由三角形内角和定理得 B A C --=0180 由正弦定理A BC B AC C AB sin sin sin = = 得A B BC AC sin sin = ,A C BC AB sin sin = 【点评】：已知两角一边，通过正弦定理求剩下的三个量：两边一角。例2、已知：△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A 、C 及c. 解：【分析】根据正弦定理，得 sin A ＝asin B b ＝3sin 45°2 ＝32， ∵b