圆锥曲线中的热点问题

圆锥曲线中的热点问题

一、离心率问题

例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，

顶点B 的坐标为(0，b )，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C .

(1)若点C 的坐标为????

43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．

【离心率问题的求解策略】

①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．

②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于a ，b ，c 的平方关系消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．

【跟踪训练】

1．若F (c ，0)是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >b >0)的右焦点，过F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两

条渐近线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△OAB 的面积为12a 2

7，则该双曲线的离心率e ＝

________． 2．已知F 为抛物线

y 2＝2px (p >0)的焦点，抛物线的准线与双曲线

x 2a 2－y 2

b 2

＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于A 、B 两点．若△AFB 为直角三角形，则双曲线的离心率为________． 3．设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若在其右准线上存在点P ，

使线段PF 1的中垂线过点F 2，则该椭圆的离心率的取值范围是________．

4．已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞

c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，

b －

c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的最小值不小于

32

(a

－c )，则椭圆的离心率的取值范围为________．

二、圆锥曲线中的最值、范围问题

例2 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e ＝1

2，点P 为椭圆

上的一个动点，△PF 1F 2面积的最大值为4 3.

(1)求椭圆的方程；

(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，且AC →·BD →

＝0，求|AC →|＋|BD →

|的取值范围．

【最值、范围问题的求解策略】

(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决．

(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：

①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；

③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．

【跟踪训练】

1已知点A (0，2)及椭圆x 24

＋y 2

＝1上任意一点P ，则P A 的最大值为________．

2．已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则m ＋PC 的最小值为________．

3．若直线y ＝kx 交椭圆x 24＋y 2

＝1于A 、B 两点，且AB ≥10，则k 的取值范围为________．

4．已知椭圆方程为x 216＋y 2

12

＝1，若M 为右准线上一点，A 为椭圆的左顶点，连结AM 交椭

圆于点P ，则PM

AP

的取值范围是________．

5．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4且过点(2，－2)．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ， 求OE →·OF →

的取值范围．

6．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，其焦点F 到准线的距离为1

2

.

(1)试求抛物线C 的方程；

(2)设抛物线C 上一点P 的横坐标为t (t ＞0)，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ，若MN 是C 的切线，求t 的最小值．

三、圆锥曲线中的定点、定值问题

例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，离心率为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左顶点为

A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．若直线PQ 的斜率为

2

2

时，PQ ＝2 3.

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)试问以MN 为直径的圆是否经过定点(与直线PQ 的斜率无关)？请证明你的结论．

【定点、定值问题的求解策略】

(1)定点问题多为两类，一是证明直线过定点，应根据已知条件建立直线方程中斜率k 或截距b 的关系式，此类问题中的定点多在坐标轴上；二是证明圆过定点，此类问题应抓住圆心，利用向量转化相应条件，从而找出相应参数满足的条件，确定定点．

(2)定值问题，涉及面较多，解决此类问题以坐标运算为主，需建立相应的目标函数，然后代入相应的坐标运算结果即可得到．

(3)无论定点或定值问题，都可先用特殊值法求出，然后再验证即可，这样可确定代数式的整理方向和目标．

【跟踪训练】

1．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F (1，0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点．

(1)求抛物线C 的方程；

(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－1

2

，求证：直线AB 过x 轴上一定点．

2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 2

5＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为

F .设过点T (t ，m )的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，其中m >0，y 1>0，y 2<0.

(1)设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹； (2)设x 1＝2，x 2＝1

3

，求点T 的坐标；

(3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)．

3．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E .

(1)求E 的方程；

(2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且OA →·OB →

＝－16，求证：直线AB 恒过定点．

4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3

2，直线l ：y

＝－1

2x 与椭圆E 相交于A ，B 两点，AB ＝210，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直

线AC ，BD 相交于点P ，直线AD ，BC 相交于点Q .

(1)求椭圆E 的标准方程； (2)求证：直线PQ 的斜率为定值．

5．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3

2

，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作

圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .

(1)求椭圆C 的方程；

(2)求TM →·TN →

的最小值，并求此时圆T 的方程；

(3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：OR ·OS 为定值．

四、圆锥曲线中的探索性问题

例4 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，右顶点为A ，且AF ＝1.

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，是否存在点M (t ，0)使MP →·MQ →

＝0成立？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．

【探索性问题的求解策略】

(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．

(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．

【跟踪训练】

1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F 2(2，0)，点P ?

???1，－153在椭圆C 上．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)是否存在斜率为－1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得F1M＝F1N(F1为椭圆的左焦点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

2. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2

a2＋y2

b2＝1(a>b>0)的离心率为

2

2，右顶点为A，直线BC

过原点O，与椭圆交于B，C两点，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：x＝a ＋1于点E、F.

(1)若点B(2，3)，求△ABC的面积；

(2)若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k1、k2.

①试探究：k1·k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；

②求△AEF的面积的最小值．

2015高考数学一轮题组训练：9-9圆锥曲线的热点问题

第9讲 圆锥曲线的热点问题 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．(2014·南京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C 的方程为________． 解析 由题意，得????? c ＝2， b 2 a ＝1， a 2＝ b 2＋ c 2， 解得??? a ＝2， b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2 2＝1. 答案 x 24＋y 2 2＝1 2．直线y ＝k x ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________． 解析 由??? y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0，若k ＝0，则y ＝2，若k ≠0， 若Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，因此直线y ＝k x ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或1. 答案 1或0 3．(2014·济南模拟)若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝3x 无交点，则离心率e 的取值范围是________． 解析 因为双曲线的渐近线为y ＝± b a x ，要使直线y ＝3x 与双曲线无交点，则直线y ＝3x 应在两渐近线之间，所以有b a ≤3，即 b ≤3a ，所以b 2≤3a 2， c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，e 2≤4，所以1

4．已知双曲线方程是x 2 －y 2 2＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点， 并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________． 解析 设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由 x 21－y 212＝1，x 22－y 22 2 ＝1，得 k ＝ y 2－y 1x 2－x 1 ＝2(x 2＋x 1)y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线 方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件． 答案 4x －y －7＝0 5．(2014·烟台期末考试)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2 ＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________． 解析 由题意可设直线l 的方程为y ＝m ，代入x 24－y 2 ＝1得x 2＝4(1＋m 2)，所以x 1＝4(1＋m 2)＝21＋m 2，x 2＝－21＋m 2，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2，所以|AB |＝41＋m 2≥4，即当m ＝0时，|AB |有最小值4. 答案 4 6．(2014·西安模拟)已知双曲线x 2 －y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双 曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2 →的最小值为________． 解析 设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，则有y 23＝x 2 －1，y 2＝3(x 2－1)，P A 1→·PF 2→＝(－1－x ， －y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2 －x －5＝4? ?? ??x －182－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，P A 1→·PF 2 →取得最小值－2. 答案 －2 7．(2014·宁波十校联考)设双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝________.

圆锥曲线的切线问题

圆锥曲线的切线问题 圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路 1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数 y =f (x) ，利用导数法求出函数y =f (x) 在点(x 0 , y ) 处的切线方程，特别是焦点在y 轴 上常用此法求切线；思路 2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式?= 0 ，即可解出切线方程，注意关于x （或y）的一元二次方程的二次项系数不为 0 这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法. 类型一 导数法求抛物线切线 例1 【2017 课表1，文 20】设A，B为曲线C：y= x 4 （1）求直线A B的斜率； 上两点，A与B的横坐标之和为 4． （2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线A B平行，且A M⊥B M，求直线A B的方程． 类型二椭圆的切线问题 2

5 + = > > 例 2（2014 广东 20）（14 分）已知椭圆C : x a 2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的一个焦点为( 5, 0) ， b 2 离心率为 . 3 （1） 求椭圆 C 的标准方程； （2） 若动点 P (x 0 , y 0 ) 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨 迹方程. 类型三 直线与椭圆的一个交点 例 3.【2013 年高考安徽卷】已知椭圆 C : x a 2 y 2 b 2 1(a b 0) 的焦距为 4 ， 且过点 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设Q (x 0 , y 0 )(x 0 y 0 ≠ 0) 为椭圆C 上一点，过点Q 作 x 轴的垂线，垂足为 E .取点 A (0, 2 2) ,连接 AE ，过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D .点G 是点 D 关于 y 轴的对称点， 作直 线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 【解析】（1）因为椭圆过点 P ( 2，3) ∴ 2 + 3 = 1 a 2 b 2 且a 2 = b 2 + c 2 P ( 2，3) . 2 2

高考数学圆锥曲线专题复习

圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.

2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定.

圆锥曲线大题十个大招——轨迹问题

招式八：轨迹问题 轨迹法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则2 2 2 ON MO MN -=。设),(y x M ,则 2 222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(2 2 2 2 2 =++-+-λλλx y x （1） 当1=λ时，方程为4 5 = x ，表示一条直线。 （2） 当1≠λ时，方程化为2 2 22 222) 1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 ◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 1(20)O -，，2(20)O ，. 由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以 22 1212(1)PO PO -=-. 设()P x y ， ，则 2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， y x Q M N O

即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) 评析： 1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。 2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 例2、已知动圆过定点,02p ?? ??? ，且与直线2p x =-相切，其中0p >.求动圆圆心C 的轨迹的方程； 【解析】如图，设M 为动圆圆心，,02p ?? ??? 为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线， 垂足为N ，由题意知：MF MN = 即动点M 到定点F 与定直线2 p x =- 的距离相等， 由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ?? ??? 为焦点， 2 p x =- 为准线，所以轨迹方程为2 2(0)y px P =>； ◎◎ 已知圆O 的方程为 x 2+y 2=100,点A 的坐标为（-6，0），M 为圆O 上任一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，求点P 的方程。 【解析】由中垂线知，PM PA =故10==+=+OM PO PM PO PA ，即P 点的轨迹为以A 、 O 为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P 点的方程为 12516 25)3(2 2=++y x ,02p ?? ??? 2 p x =-

圆锥曲线中的轨迹问题(含解析)

圆锥曲线中的轨迹问题 一、单选题 1．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ） A ．一条直线 B ．一个圆 C ．一个椭圆 D ．曲线的一支 2．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方体表面上的一个动点，且总有 1PC BD ⊥，则动点P 的轨迹所围成图形的面积为（ ） A ．3 B ．32 C ． 32 D ．1 3．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上，且1 3 AM = ，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．直线 二、填空题 4．已知分别过点(1,0)A -和点(1,0)B 的两条直线相交于点P ，若直线PA 与PB 的斜率之积为-1，则动点P 的轨迹方程是________. 5．动圆经过点(3,0)A ，且与直线:3l x =-相切，求动圆圆心M 的轨迹方程是____________. 三、解答题 6．圆C 过点()60A ， ，()1,5B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上. （1）求圆C 的方程；

（2）P 为圆C 上的任意一点，定点()8,0Q ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程. 7．若平面内两定点(0,0)O ，(3,0)A ，动点P 满足||1 ||2 PO PA =. （1）求点P 的轨迹方程； 8．点(,)M x y 与定点(3,0)F 的距离和它到直线25:3 l x = 的距离之比是常数3 5，求点 M 的轨迹方程. 9．在圆:C 223x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当P 在 圆上运动时，线段PD 上有一点M ，使得DM =， （1）求M 的轨迹的方程； 10．已知点()1,0F ，点P 到点F 的距离比点P 到y 轴的距离多1，且点P 的横坐标非负，点()1,M m (0m <)； （1）求点P 的轨迹C 的方程；. （2）过点M 作C 的两条切线，切点为A ，B ，设AB 的中点为N ，求直线MN 的斜率.

圆锥曲线大题专题训练答案和题目

圆锥曲线大题专题训练 1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 （Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解： （Ⅰ）由题意知，(A a ． 因为OA t =，所以2 2 2a a t +=．由于0t > 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为 1c t +=． 又因点A 在直线BC 上，故有 1a c +=，将（1）代入上式，得1a c =， 解得2c a =+ （Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-． 所以直线CD 的斜率为定值． 2．设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点． （I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求 四边形ABCD 面积的最小值． 2.解：（I ）设切点2 004x Q x ?? ???，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-． 即2 04 24x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上． 所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，． 由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >．

高中数学圆锥曲线轨迹问题题型分析

有关圆锥曲线轨迹问题 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为 122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数 )0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则2 2 2 ON MO MN -=。设),(y x M ,则 2222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x （1） 当1=λ时，方程为4 5 = x ，表示一条直线。 （2） 当1≠λ时，方程化为2 222 222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 ◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点） ，使得PM =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 1(20)O -，，2(20)O ，.

圆锥曲线的双切线问题初探

圆锥曲线的双切线问题初探 蓝 婷 深圳市第二高级中学； 广东深圳 518055 【摘要】：本文以高考题为载体，在一个引理的基础上给出了一个关于圆锥曲线双切线问题的定理，并总结出了解决圆锥曲线的双切线问题的一套统一的简洁方法，充分体现定理的妙处。 【关键词】：圆锥曲线 ； 双切线 ； 切点弦方程 一、研究背景 圆锥曲线是高考数学中的必考问题，圆锥曲线以切线为背景与导数相结合的问题长期被高考命题者所青睐。我们发现，这类问题的标准答案使用的传统方法解答过程一般较为复杂，并且在高强度的高考环境下，考生不得不将有限的时间浪费在繁杂的运算中。笔者在这个问题的研究中试图寻求一种简单统一的方法，将此类问题的运算量降低，从而达到简化解题过程的目的。 二、定理证明 为了简捷且更具一般性和代表性，我们将圆锥曲线(包含圆)统一写成最一般的形式：220Ax By Cx Dy Exy F +++++=，下面给出定理的证明。 引理：设()00,P x y 是圆锥曲线220Ax By Cx Dy Exy F +++++=上一点，则与该圆锥曲线切于点P 的直线方程为：000000( )()()0222 x x y y y x x y Ax x By y C D E F ++++++++=。 证明：在圆锥曲线方程2 2 0Ax By Cx Dy Exy F +++++=两边求导，可得： 220Ax Byy C Dy Ey Exy '''+++++=，所以：22Ax Ey C y Ex By D ++'=- ++ 则切线方程为：0000002()2Ax Ey C y y x x Ex By D ++-=- -++ 得：000000()(2)(2)()y y Ex By D Ax Ey C x x -++=-++- 化简：220000000000002222222Ax By Cx Dy Ex y Ax x By y Cx Dy Cx Dy Ex y Exy ++++=+++++++ 因为()00,P x y 在圆锥曲线上，所以：220000002222220Ax By Cx Dy Ex y F +++++=

文科圆锥曲线专题练习及问题详解

文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ?是底角为30的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为0 30的等腰三角形， ∴322c a = ，∴e =3 4 ， ∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以2 2 2 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点 P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=

圆锥曲线中的热点问题真题与解析

圆锥曲线中的热点问题 A 级 基础 一、选择题 1．(2017·全国卷Ⅰ改编)椭圆C ：x 23＋y 2 m ＝1的焦点在x 轴上，点 A ， B 是长轴的两端点，若曲线 C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则实数m 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．[1，3) C ．(0，3) D ．(0，1] 2．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A ．1－3 2 B ．2－ 3 C.3－12 D.3－1 3．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A ．2 B.1 2 C.14 D.18 4．(2019·天津卷)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ， 且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 5．(2019·安徽六安一中模拟)点P 在椭圆C 1：x 24＋y 2 3＝1上，C 1 的右焦点为F 2，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋6x －8y ＋21＝0上，则|PQ |－|PF 2|的最小值为( )

A ．42－4 B ．4－4 2 C ．6－2 5 D ．25－6 二、填空题 6．(2019·广东六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、 右焦点为F 1、F 2，在双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→ |，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________． 7．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴，y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________． 8．(2019·浙江卷)已知椭圆x 29＋y 2 5＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆 上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________． 三、解答题 9．已知曲线C ：y 2＝4x ，曲线M ：(x －1)2＋y 2＝4(x ≥1)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)若OA →·OB →＝－4，求证：直线l 恒过定点； (2)若直线l 与曲线M 相切，求PA →·PB →(点P 坐标为(1，0))的最大值． 10．(2019·惠州调研)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率

二轮复习：圆锥曲线中的探索性问题(教师版)

内部资料仅供学习严禁外传违者必究

引发成长动力 个性化教学辅导教案 学生姓名 年 级学 科授课老师日 期上课时间 课 题圆锥曲线中的探索性问题 教学目标1、定值、定点问题； 2、定直线问题； 3、定圆问题； 4、探索性问题复习检查 问题定位 题型一　定值、定点问题 例1　已知椭圆C ： 经过点(0，)，离心率为，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点． (1)求椭圆C 的方程； (2)若直线l 交y 轴于点M ，且 ，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由． 答案 解答破题切入点　(1)待定系数法． (2) 通过直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y 后可得点A ，B 的横坐标的关系式，然后根据向量关系式.把λ，μ用点A ，B 的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k 无关即证明了其为定值，否则就不是定值． 1

知人善教 激发兴趣 塑造能力 题型二　定直线问题 2 例2　在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x＝2py(p>0)相交于A，B 两点．Array (1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值； (2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程； 若不存在，请说明理由． 答案 解答破题切入点　假设符合条件的直线存在，求出弦长；利用变量的系数恒为零求解．解　方法一　(1)依题意，点N的坐标为N(0，－p)， 可设A(x，y)，B(x，y)， 1122 直线AB的方程为y＝kx＋p， 2

2020高考专题复习—圆锥曲线

一、2020年高考虽然推迟，但是一定要坚持多练习，加油！ 二、高考分析 1、分值、题型、难度设置 圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，分值约占14﹪，即20分左右，题型一般为二小一大，例如，2005年高考为一道选择题，一道填空题一道解答题。小题基础灵活，解答题一般在中等以上，一般具有较高的区分度。 考试内容：椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单的几何性质，椭圆的参数方程。 主要题型：（1）定义及简单几何性质的灵活运用；（2）求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）；（3）直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦及斜率、对称问题），确定参数的取值范围；（4）在导数、不等式、函数、向量等知识网络交汇点上的问题。 2、命题方向 解析几何内容多，范围广，综合度高，其特点是：数形结合，形象思维，规律性强，运算量大，综合性好。主要考察运算能力，逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的综合能力。 涉及函数、方程、不等式、三角、向量和导数等方面的内容，以及数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法。 要注意一些立意新，角度好，有创意的题目，特别要关注在向量和解析几何交汇点上的命题趋势，两者通过坐标自然融合，既考查基

础知识、基本方法，又平淡之中见功夫，强化区分功能，突出对能力的考查，从不同的思维层次上考察能力，有较好的思维价值。 三、 专题复习 2.1考查直线和圆锥曲线方程等有关基础知识和基本方法，要特别重视圆锥曲线定义的灵活应用，反映思维品质。 例1．1)如图，在正方体ABCD D C B A -111的侧 面1AB 内有 动点P 到直线AB 与直线11C B 距离相等，则动点P 所在的曲线的形状为： （ ） 1 11 A B 1 (A) (B) 1A B 1 A 1 B (C) B A B 1 (D) 分析：本题主要考查抛物线定义，线面垂直关系及点到直线的距离等概念，情景新，角度好，有创意，考查基础知识和基本方法。 ∵11C B ⊥面1AB ，1PB ∴即为点P 到直线11C B 的距离，故动点P 的轨迹应为过B B 1中点的抛物线，又点1A 显然在此抛物线上，故选C 。 2)已知F 1、F 2是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作 正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A ．324+ B ．13- C ． 2 1 3+ D ．13+ 2.2 求曲线的方程，考查坐标法的思想和方法，从不同思维层次上反映数学能力。

圆锥曲线轨迹方程经典例题

轨迹方程经典例题 一、轨迹为圆： 1、 长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程： 已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为 2 1 ，求点M 的轨迹方程; 2、 线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。 （2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。 （1）求圆心的P 的轨迹方程； （2）若P 点到直线x y =的距离为 2 2 ，求圆P 的方程。 3如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 4在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 5（2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. （1） 求动圆圆心的轨迹C 的方程； （2） 已知点)0,1(-B ，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点Q P ,，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明 直线l 过定点。 二、椭圆类型： 3、 定义法：点M(x ,y )与定点F(2，0)的距离和它到定直线8=x 的距离之比为2 1 ，求点M 的轨迹方程.

圆锥曲线中的热点问题(总结的非常好)

第3讲圆锥曲线中的热点问题 【高考考情解读】1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中． 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法： 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离． (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法： 将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时， 直线与双曲线相离． ②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点． (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法： 将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①当a≠0时，用Δ判定，方法同上． ②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点． 2．有关弦长问题 有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算． (1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2 |x2－x1|或|P1P2|＝1＋1 k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形： |x2－x1|＝(x1＋x2)2－4x1x2， |y2－y1|＝(y1＋y2)2－4y1y2.

高三数学解答题难题突破 圆锥曲线的切线问题

高三数学解答题难题突破 圆锥曲线的切线问题 【题型综述】 圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数)(x f y =，利用导数法求出函数)(x f y =在点),(00y x 处的切线方程，特别是焦点在y 轴上常用此法求切线；思路2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x （或y ）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式0=?，即可解出切线方程，注意关于x （或y ）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法. 【典例指引】 类型一 导数法求抛物线切线 例1 【2017课表1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =2 4 x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4． （1）求直线AB 的斜率； （2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程． 类型二 椭圆的切线问题 例2（2014广东20）（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程. 类型三 直线与椭圆的一个交点 例3.【2013年高考安徽卷】已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为4，且过点P . （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点A ,连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 【解析】（1）因为椭圆过点P ∴ 22 231a b += 且222 a b c =+ ∴ 2 8a = 2 4b = 2 4c = 椭圆C 的方程是22 184 x y + = （2）

圆锥曲线之轨迹问题例题习题(精品)

x 专题：圆锥曲线之轨迹问题 一、 临阵磨枪 1?直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些 几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含 x,y 的等式就得到曲线 的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。 2?定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线 的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。 3?坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随 着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的， 或是可分析的, 这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标， 根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方 程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。 4. 参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现 （或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间 等）的制约，即动点坐标（x, y ）中的x, y 分别随另一变量的变化而变化， 我们可以把这个变 量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程， 只要消去参变量即可。 5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可 通过解方程组得出交点含参数的坐标， 再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。 二、 小试牛刀 1. _________________________________________________________________________ 已知M （-3,0），N （ 3,0） PM PN 6,则动点P 的轨迹方程为 ______________________________ 析：Q MN PM PN ???点P 的轨迹一定是线段 MN 的延长线。 故所求轨迹方程是 y 0（x 3） 圆所引的切线长相等，则动点 P 的轨迹方程为 __________________________ 析：???圆O 与圆o 外切于点M （2,0） ?两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等, 故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为 x 2 2 2 x y 一 3.已知椭圆 — 亍1（a b 0） ,M 是椭圆上一动点，F i 为椭圆的左焦点，贝U 线段MF i a b 的中点P 的轨迹方程为 _____________________________ 析：设P （x, y ） M （x °,y °）又F , （ c,0）由中点坐标公式可得: 2 2.已知圆0的方程为x 2 2 y 2，圆0的方程为x 2 y 8x 10 0 ,由动点P 向两

圆锥曲线综合 切线问题

【例1】 抛物线2y x =上的点到直线24x y -=的最短距离是（ ） A ． 35 5 B ． 45 5 C ． 135 20 D ． 95 20 【例2】 若曲线22y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则切线l 的方程为（ ） A ．430x y ++= B ．490x y +-= C ．430x y -+= D ．420x y --= 【例3】 与直线240x y -+=平行的抛物线2y x =的切线方程是 ； 【例4】 过点(01)P ， 且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线方程为_______________________． 【例5】 已知过定点A (2,0)的直线和抛物线2 14 y x = 有且只有一个交点，求满足条件的直线方程． 【例6】 已知圆O ：222x y +=交x 轴于,A B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，离心率为 2 2 的椭圆，其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点，连结PF ，过原点O 作直线PF 的垂 典例分析 板块三.切线问题

线交直线2x =-于点Q ． ⑴求椭圆C 的标准方程； ⑵若点P 的坐标为(1,1)，求证：直线PQ 与圆O 相切． ⑶试探究：当点P 在圆O 上运动时（不与,A B 重合），直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是，请证明；若不是，请说明理由． 【例7】 如图，P 是抛物线C ：2 12 y x = 上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q ． ⑴若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； ⑵若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求ST ST SP SQ + 的取值 范围． 【例8】 已知椭圆22 122:1(0)y x C a b a b +=>>的右顶点为(10)A ，，过1C 的焦点且垂直长轴 的弦长为1． ⑴求椭圆1C 的方程； ⑵设点P 在抛物线22:()C y x h h =+∈R 上，2C 在点P 处的切线与1C 交于点M ，N ．当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求 h 的最小值． 是双曲线上不同的两个动点． ⑴ 求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程 ⑵ 若过点()0,h 的两条直线1l 和2l 与轨迹E 都只有一个交点，且12l l ⊥，求h 的值．

“圆锥曲线平行弦中点轨迹问题”说题

圆锥曲线平行弦中点轨迹问题”说题 说题”是近年来涌现出的一种新型教学研究模式 简单地讲：说题是执教者或受教育者在精心做题的基础上，阐述对习题解答时所采用的思维方式，解题策略及依据，进而总结出经验性解题规律. “说题”使教研活动更入微了，可以说是教研活动的一次创新 般说来，说题应从以下几个方面进行分析：数学思想 与数学方法，命题变化的自然思维，小结、归纳与应用，题多解、发散思维，常规变式，多种变式、融会贯通，从特殊到一般寻找规律.要求数学教师不但对题目进行深层次的 挖掘，说出题目的本质、新意、特色，还要说出题目的编制、演变过程以及该题目的潜在价值 面是本人的一次说题研究，在此抛砖引玉供各位参考、说问题 背景 问题来源于2005 年上海市普通高等学校春季招生考试 数学试卷第22 题： 1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（-2，-2）的 椭圆的标准方程； (2)已知椭圆C的方程是x2a2+y2b2=1 (a>b>0), 设 斜率为k的直线I，交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M.证

明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上； 3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找 出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心. 二、说问题立意 1.考查椭圆的标准方程和性质；中心对称等； 2.考查数 学思想有：从特殊到一般思想；数形结合思想；分类讨论思 想；数学方法：判别式法；函数与方程转化等；引导将双 曲线问题与相应的椭圆问题开展类比研究的思想方法.3.通 过研究椭圆的平行弦的中点轨迹，对直线与曲线位置关系研究方法有更深刻的理解；这是将知识、方法、思想、能力素质融于一体的命题，也看出高校选拔人才对学生的直觉思维能力、逻辑推理能力、运算能力和自主探索能力等提出了较高的要求. 、说问题解法 解法1（1）略（2）设直线I的方程为y=kx+m,与椭圆C的交点A（x1, y1 )、B (x2, y2),则有y=kx+m, x2a2+y2b2=1，解得( b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0. ???△ >0，二m2vb2+a2k2，即-b2+a2k2vmvb2+a2k2.则 x1+x2=-2a2kmb2+a2k2，y1+y2=kx1+m+kx2+m=2b2mb2+a2k2. ??? AB 中点M 的坐标为(-a2kmb2+a2k2 , b2mb2+a2k2 ).