圆锥曲线问题的三个易错点
解决圆锥曲线的有关问题是高考的重要内容之一，在平时的学习中只有加深对概念、公式和方法的理解，才能自觉地辨析正误，增强了防错的能力，提高解题的效率.现举例供大
家参考.
易错点一：忽视定义中的隐含条件致误
例1.已知动点(,)P x y
满足|3411|x y =+-，则点P 的轨迹是（ ）.
A.直线
B.抛物线
C.双曲线
D.椭圆
错解辨析：
由已知条件|3411|x y =+-
可得15=表示(,)P x y 到定点为（1,2）的距离等于到直线3411x y +-＝0的距离，故表示抛物线，选B.
策略：以上解法利用圆锥曲线的定义解题，忽视了（1，2）点就在直线3x+4y-11=0上，故正确选项应为A.我们在利用圆锥曲线的统一定义解题时，一定要避免忽视定义中的隐含条件致误.
易错点二：忽视直线存在性的检验致误
例2.已知双曲线2
2
12y x -=,过(1,1)P 能否作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点？
错解辨析：设能作直线l 满足条件，设A （11y x ，），B （22y x ，），则有22
11
12y x -=，22
2212y x -=，化简得()212121212y y x x x x y y ++=--，P AB 的中点为 （1，1）222121=+=+∴y y x x ，，，得1212
2AB y y k x x -==-，直线l 的方程为12(1)y x -=-，即存在直线l ，其方程为12-=x y .以上解法忽视了对直线l 的存在性的检验，把直线12-=x y 代入双曲线方程中得03422=+-x x ，其判别式()032442
策略:在解决有关直线与圆锥曲线的问题时，一定要注意验证判别式?，初学者往往会因为先入为主，求出直线的方程不去检验而导致解题错误，真可谓功亏一篑！
易错点三：忽视曲线的范围致误
例3已知1F 、2F 是双曲线20
162
2y x -=1的左、右焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点1F 的距离等于9，求点P 到焦点2F 的距离.
错解辨析：双曲线的实轴长为8，由12||||||8PF PF =－
，即2|9||8PF =－，得2||1,PF =或17.上述解法忽视了圆锥曲线(双曲线)的范围，由4,6a c ==,故2||2PF c a ≥-=,因此2||1PF =不合题意,故2||17PF =.
策略:把以上问题一般化，设双曲线)0,0( 122
22>>=-b a b
y a x ，21,F F 是其左右焦点，由10||PF a ex =+，20||PF a ex =-，又注意到0x a ≥或0x a ≤-,故00,a ex a c a ex a c -≥+-≤-,得2||PF c a ≥-.我们在解决有关圆锥曲线（或二元二次方程）有关的问题时，一定要注意x ,y 的取值范围，往往会因为忽视曲线的范围不自觉地导致解题错误.
圆锥曲线中的易错题型剖析 江苏省沛县中学 郭雯雯 我们在高三复习中，经常精选解法有误的题目让学生辨析，也经常故意设计解法的典型错误进行“错在哪里？”的训练．下面是圆锥曲线的错解辨析题组，从中可见其教法． 一．发下讲义，在讲义中精选了五个题目及解答． 例1.设一动点到点(1,0)F 和它到直线5x =的距离之比为33 ，求动点的 轨迹方程． 解法1：由圆锥曲线的统一定义知，此动点的轨迹为椭圆，直线5x =是准线，(1,0)F 为焦点．故有2 5,a c =1c =,2222 5,4,a b a c ∴==-=从而所求 轨迹方程为 2 2 1.5 4 x y + = 解法2：有题设条件知，所求轨迹为椭圆． 33 就是离心率e 的值．即 3,3 e = 又2 2 2 3,,1,3, 2.3 c c e c a b a c a a = ∴ = =∴= =-= 故所求轨迹方程为 2 2 1.3 2 x y + = 例2.过点()0,B b -作椭圆222 2 1(0) x y a b a b + =>>的弦，求弦长的最大值． 解：设 () ,M x y 使椭圆上任一点，则弦 B M 长的平方为 ()2 2 2 2 2 2 2.BM x x b x y by b =++=+++由 222 2 1x y a b + =，得()22 2 2 2 ,a x b y b = -代入
上式得2222 2 2 222 222 12,10,a a b a BM y by a b BM b b b ??-=-+++-=<∴ ??? 有最大 值． 2max BM ()2 22224 42 2 2 2 241441a a b b b a a a b c a b ??-+- ?? ?= = = -??- ? ? ? ()2 22 ,c a b BM =-∴ 的最大值为 2 a c ()22 .c a b = - 例3.过定点()2,0A 的直线与抛物线2 y x = 交与不同的两点,M N ,求线段 M N 中点的轨迹方程． 解：由题意，列方程组 2 (2) y k x y x =-??=? 消去y 得：220x kx k -+= 设(,)p x y 是轨迹上任意一点，,M N 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则有 12 2 2 x x k x += =，即2k x =， 又p 在直线(2)y k x =-上，∴ 2 24y x x =- 故所求的轨迹方程为224y x x =- 例4.试求出过点()0,1A 且和抛物线24y x =仅有一个交点的直线方程？ 解：设所求直线方程为1y kx =+ 由题意有方程组21 4y kx y x =+??=?消去x 整理得2440ky y -+= ()2 41616(1) k k ?=--=-，令0?=，则1k = 所以所求直线方程为1y x =+ 例5.求底边和顶角大小均为定值的三角形的定点的轨迹． 解：设A B C 的底边2B C a =，顶角为α，以B C 所在边为x 轴，以B C 的
高二数学圆锥曲线知识整理 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：? ?????>=0e ,e d |PF ||P ，其中 F 为定点，d 为P 到定直线的距离，如图。 因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当0
圆锥曲线中的存在性问题 一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标（x0, y0） （2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题： 22 例1：已知椭圆C : x+ y=1（a b0）的离心率为3，过右焦点F的直线l与C相交于A, B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（1）求a, b的值 uuur uuur uuur （2）C上是否存在点P，使得当l绕F旋转到某一位置时，有 OP = OA + OB成立？若存 在，求出所有的P的坐标和l的方程，若不存在，说明理由 解：（1）e = c = 3a:b:c = 3: 2 :1 a3
则a = 3c ,b = 2c ，依题意可得： F (c ,0) ，当l 的斜率为1时 l :y = x - c x - y - c = 0 d O - l = = 解得： c = 1 22 a = 3, b = 2 椭圆方程为： +=1 32 (2)设P ( x 0 , y 0 ) ， A (x 1, y 1),B (x 2, y 2) 当l 斜率存在时，设l :y = k (x -1) 联立直线与椭圆方程： y =k (x - 1) 消去y 可得： 2x 2+3y 2=6 (3k 2 +2)x 2 -6k 2x +3k 2 -6=0 uuur uuur uuur Q OP =OA +OB x 0 =x 1 +x 2 y 0 =y 1+y 2 x 1+x 2= 62k y 1+ y 2 =k (x 1+x 2)-2k = 6k 3 3k 2+2 -2k 4k 3k 2+ 2 4k P 3k 62k +2,-3k 42k +2 因为P 在椭圆上 23k 2+2+3-3k 2+2=6 72k 4 +48k 2 =6(3k 2 + 2)2 24k 2 (3k 2 +2)=6(3k 2 +2)2 24k 2= 6(3k 2+ 2) k = 2 当 k = 2 时， l : y =2 ( x -1) ， P , - 32 2,- 2 当k =- 2时，l : y =- 2(x -1)，P 3, 2 32 2, 2 当斜率不存在时，可知l :x =1 ，A 1,2 3 l :x =1 A 1, 3 ,B 1,-2 3 3 ，则P (2,0)不在椭圆上 2x 2+3k 2(x -1)2 = 6 ，整理可得：
圆锥曲线 一、椭圆 1、定义:平面内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹称为椭圆. 即:|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 22 10x y a b a b +=>> ()22 22 10y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 ()2 2101c b e e a a ==-<<ｅ越小，椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁 ?
二、双曲线 １、定义：平面内与两个定点1F ,2F 的距离之差的绝对值等于常数(小于12F F )的点的轨迹称为双曲线.即:|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。 这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 2、双曲线的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 22 10,0x y a b a b -=>> ()22 22 10,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥,x R ∈ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==+ 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称 离心率 ()2 211c b e e a a ==+>,e 越大,双曲线的开口越阔 渐近线方程 b y x a =± a y x b =± 三、抛物线
高中数学易错点及数学圆锥曲线公式 大全 在每年的高考中,有关圆锥曲线的试题约占全卷总分的13%，是相当重要的考点。下面我整理了《高中数学圆锥曲线公式大全》，欢迎阅读。 高中数学圆锥曲线公式大全 1.焦半径公式，P为椭圆上任意一点，则│PF1│= a + eXo │PF2│= a - eXo F1 F2分别为其左，右焦点 2.通径长 = 2b?/a 3.焦点三角形面积公式 S⊿PF1F2 = b?tanθ/2 θ为∠F1PF2 这个可能有点难理解，不过结合第一定义可以较快的推，双曲线
的也是同样方法 4.左准点Q 自己取的名字方便叙述，准线与X轴的焦点 过左焦点F1的任意一条线与椭圆交与A ，B 那么一定有：X轴平分∠AQB 在右边也是一样 1.通径就不说了 2.焦半径公式有8个，很难打符号的，不过可以根据极坐标方程来直接解答，比焦半径公式还快一些 3.焦点三角形面积公式 S⊿PF1F2 =b?cotθ/2 左右支都是它 y?=2px p>0过焦点的直线交它于AX1,Y1,BX2,Y2两点 1.│AB│=X1 + X2 + p =2p/sin?θ θ为直线AB的倾斜角 2. Y1*Y2 = -p? ， X1*X2 = p?/4 3.1/│FA│ + 1/│FB│ = 2/p 4.结论：以AB 为直径的圆与抛物线的准线线切
5.焦半径公式：│FA│= X1 + p/2 = p/1-cosθ 直线与圆锥曲线 y= Fx 相交于A ，B，则 │AB│=√1+k? * [√Δ/│a│] 圆锥曲线包括椭圆圆为椭圆的特例，抛物线，双曲线。 圆锥曲线二次曲线的统一定义： 到定点焦点的距离与到定直线准线的距离的商是常数e离心率的点的轨迹。当e>1时，为双曲线的一支，当e=1时，为抛物线，当0 有途网我建议还是先研究书本的基本概念，掌握相关公式，图形特点，利用这些概念解决题目，之后再做习题。 高中数学主要考点及易错点整理 高中数学易错点 不等式 1.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三
圆锥曲线的方程与性质 1．椭圆 （1）椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或122 22=+b x a y （0a b >>）（焦点在y 轴 上）。 注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中2 2 2 b a c =-； ②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2 x 和2y 的分 母的大小。例如椭圆 22 1x y m n +=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 （2）椭圆的性质 ①范围：由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里； ②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。 所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心； ③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令 0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -， 2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
专题24圆锥曲线证明（原卷版） 易错点1：忽视定义中的隐含条件致误； 易错点2：忽视直线存在性的检验致误； 易错点3．忽视斜率不存在致误； 易错点2．忽视截距为0致误； 易错点4：忽视曲线的范围致误 ； 易错点5：缺乏对圆锥曲线定义的深刻理解致误。 题组一：两直线的斜率关系 1.(2015年新课标2卷）已知椭圆C ：2229(0)x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； 2.(2016年新课标3卷）已知抛物线C ：22y x = 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点，若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ. 3．已知o 为坐标原点，抛物线2y x 与直线(1)y k x 相交于A,B 两点．求证：OA ⊥OB. 4．双曲线2 2 :13 y C x -=，过原点的直线l 交双曲线于A 、B ，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率为PA k 、PB k ，证明：PA PB k k ?为定值. 5.已知抛物线E ：2x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 的斜率为k ，与抛物线E 交于A,B 两点， 抛物线在点A,B 处的切线分别为21,l l ，两条切线的交点为D ，证明：0 90∠=ADB 题组二：点与圆的位置关系 6.(2017年新课标3卷）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上. 7.设抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，经过x 轴正半轴上点(2,0)M 的直线l 交Γ于不同的两点A 和B .求证：原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部. 题组三：两参数的相关关系 8.(2018年新课标3卷）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C: x 24＋y 23 ＝1交于A ，B 两点．线段AB 的中点为M(1,m)(m>0)，证明：k<- 12. 9.直线(,)y kx m k m =+∈R 与双曲线2 2 13 y x -=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，求k 与m 满足的关系.
圆锥曲线知识点总结 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
圆锥曲线的方程与性质 1．椭圆 （1）椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或1 22 22=+b x a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。 注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b a c =-； ②在22221x y a b +=和22 221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置， 只要看2 x 和2 y 的分母的大小。例如椭圆22 1x y m n + =（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 （2）椭圆的性质 ①范围：由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±， y b =±所围成的矩形里； ②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点
(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。 所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心； ③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ?中，2||OB b =， 2||OF c =，22||B F a =，且2222222||||||OF B F OB =-，即222c a b =-； ④离心率：椭圆的焦距与长轴的比c e a = 叫椭圆的离心率。∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a +=。 2．双曲线 （1）双曲线的概念
课时达标检测（四十九） 圆锥曲线中的定点、定值、存在 性问题 [一般难度题——全员必做] 1．(2018·郑州质检)已知动圆M 恒过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切． (1)求圆心M 的轨迹方程； (2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点． 解：(1)由题意得，点M 与点(0,1)的距离始终等于点M 到直线y ＝－1的距离，由抛物 线的定义知圆心M 的轨迹是以点(0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，则p 2 ＝1，p ＝2.∴圆心M 的轨迹方程为x 2＝4y . (2)设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (－x 2，y 2)，联立????? x 2＝4y ， y ＝kx －2，消去y 整理得x 2－4kx ＋8＝0， ∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8. k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 214－x 224x 1＋x 2 ＝x 1－x 24，直线AC 的方程为y －y 1＝x 1－x 24(x －x 1)． 即y ＝y 1＋x 1－x 24(x －x 1)＝x 1－x 24x －x 1(x 1－x 2)4＋x 214＝x 1－x 24x ＋x 1x 24 ， ∵x 1x 2＝8，∴y ＝x 1－x 24x ＋x 1x 24＝x 1－x 24 x ＋2，即直线AC 恒过定点(0,2)． 2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆E ：x 24 ＋y 2＝1上的非坐标轴上的点，且4k OA ·k OB ＋1＝0(k OA ，k OB 分别为直线OA ，OB 的斜率)． (1)证明：x 21＋x 22，y 21＋y 22均为定值； (2)判断△OAB 的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：(1)证明：依题意，x 1，x 2，y 1，y 2均不为0， 则由4k OA ·k OB ＋1＝0，得4y 1y 2x 1x 2 ＋1＝0， 化简得y 2＝－x 1x 24y 1 ，
第八章 《圆锥曲线》专题复习 一、椭圆方程. 1. 椭圆的第一定义： 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+πφ 2．椭圆的方程形式： ①椭圆的标准方程： i. 中心在原点，焦点在x 轴上： ) 0(12 22 2φφb a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上： )0(12 22 2φφb a b x a y =+ . ②一般方程：)0,0(12 2 φφB A By Ax =+.③椭圆的参数方程： 2 22 2+ b y a x ?? ?==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θππ）. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. 3．椭圆的性质： ①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2 2 21,2b a c c F F -==.⑤准线：c a x 2 ±=或 c a y 2±=.⑥离心率：)10(ππe a c e =.⑦焦半径： i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2φφb a b y a x =+ 上的一点，21,F F 为左、右焦点，则： 证明：由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002 200201φπx a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起 来为“左加右减”. ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2φφb a a y b x =+ 上的一点，21,F F 为上、下焦点，则： ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径： 2 22b d a =；坐标：22(,),(,)b b c c a a - 4．共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12 22 2φφb a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ，方程 t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数，)0φφb a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 5．若P 是椭圆： 12 22 2=+ b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为 2 tan 2θ b （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2 cot 2θ ?b . 1020 ,PF a ex PF a ex =+=-1020 ,PF a ey PF a ey =+=-asin α,)α)
圆锥曲线易错点分析 (广东省陆丰市启恩中学林敏燕516500) 圆锥曲线是高中数学的重要内容，在每年的高考中都占有较大的比例，然而其中也有许多知识点容易搞混或用错，本文将一些常见的错误分类展示出来，希望同学们在高三复习时引起重视. 1 概念不清 在历年的高考试题中,考查圆锥曲线的概念是一个必考点.圆锥曲线的定义,圆锥曲线的焦点坐标,准线方程,离心率,焦距等等,这些是要记忆的知识点,不能混淆. 例1已知双曲线22 39 x y -=，则双曲线右支上的点P到右准线的距离与点P到右焦点的距离之比等于 B. C. 2 D. 1 2 解析：依题意可知3 2 9 3 ,32 2= + = + = =b a c a，2 3 3 2 = = = a c e，故选C. 例1已知圆1 :2 2 1 = +y x O，圆: 2 O0 9 10 2 2= + - +x y x都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。 错解：圆O2：0 9 10 2 2= + - +x y x 即为16 )5 (2 2= + -y x 所以圆O2的圆心为)0,5( 2 O,半径4 2 = r, 而圆1 :2 2 1 = +y x O的圆心为)0,0( 1 O,半径1 1 = r, 设所求动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r 则1 | | 1 + =M O r且4 | | 2 + =M O r 所以3 | | | | 2 1 = -M O M O 即3 )5 (2 2 2 2= + - - +y x y x 化简得0 64 9 80 162 2= + - -y x x 即1 4 4 9 ) 2 5 (2 2 = - - y x 为所求动圆圆心的轨迹方程。
高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质：
注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为：
（2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；
二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
圆锥曲线中的存在性问题 、基础知识 1在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数） 存在，并用代数形式进行表示。 再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素， 则假设成 立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1 ）点：坐标 x 0,y 0 （2 ）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3 ）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必 要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2 ）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素 作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素， 则可将核心变量参与到条件中， 列出关于该变量与辅助变 量 的方程（组），运用方程思想求解。 、典型例题: 于A,B 两点，当I 的斜率为1时，坐标原点 0到I 的距离为 在，求出所有的 P 的坐标和I 的方程，若不存在，说明理由 解：（1） e C 2 3 a : b : c '3^2 :1 a 3 2 2 例1 :已知椭圆C :笃每 1 a a b 0的离心率为 过右焦点F 的直线I 与C 相交 （1 ）求a,b 的值 （2） C 上是否存在点P ，使得当I 绕F 旋转到某一位置时，有 0P 成立？若存
则a , 3c, b ,2c，依题意可得：F c,0，当I的斜率为1时 d o 解得: 、、3,b 椭圆方程为: X2 2 y 2 (2)设P x o,y o ,X i,y i ,B X 2,y2 当l斜率存在时，设 X o X1 X2 联立直线与椭圆方程: 3k2 2 x2 6k2x X 1 6k2 X 23k2 2 6k2 3k2 2' 6k2 3k2 2 4 2 72 k 48k y o y1 y 2 2 2x 3y 3k2 y1 Y2 k y2 消去 6 X-| x2 y 可得：2x2 3k2 2k 6k3 3k2 2k 2 1 6，整理可得: 4k 3k2 2 4k 3k2 2 因为P在椭圆上 2 6 3k 2 2 2 24 k 3k 3k2 24k2 6 3k2 .2 .2 时，I 3 V2 2，2 当斜率不存在时，可知4,B 3 2,0不在椭圆上 1, 3
64. 熟记下列公式了吗？ [)（）直线的倾斜角，，，102 212112l απααπ∈==--≠≠?? ???k y y x x x x tan ()()()P x y P x y a k 1112221，，，是上两点，直线的方向向量，l l → = （2）直线方程： ()点斜式：（存在）y y k x x k -=-00 斜截式：y kx b =+ 截距式：x a y b +=1 一般式：（、不同时为零）Ax By C A B ++=0 ()（）点，到直线：的距离30000022P x y Ax By C d Ax By C A B l ++==+++ （）到的到角公式：41122112 l l t a n θ=--k k k k l l 122112 1与的夹角公式：tan θ=--k k k k 65. 如何判断两直线平行、垂直？ A B A B A C A C 1221122112=≠??? ?l l ∥ k k l 1212=?l ∥（反之不一定成立） A A B B 1212120+=?l l ⊥ k k 12121·⊥=-?l l 66. 怎样判断直线l 与圆C 的位置关系？ 圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。 67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？ 联立方程组关于（或）的一元二次方程“” 相交；相切；相离??>?=?
第一定义椭圆，双曲线，抛物线?+=>=?-=<=?=???????PF PF a a c F F PF PF a a c F F PF PK 12121212222222 第二定义：e PF PK c a == 0111<?=?e e e 椭圆；双曲线；抛物线 y b O F 1 F 2 a x x a c =2 ()x a y b a b 222 210+=>> () a b c 222=+ ()x a y b a b 222 2100-=>>， ()c a b 222=+
圆锥曲线三大难点解读 山东 王中华 李燕 2006年高考数学试题圆锥曲线部分全面考查曲线定义、简单性质等基础知识，还对最值与定值（定点）、求参数范围（或值）、存在与对称等问题加大了考查力度．本文对各地考题归类整理，并探讨这三大难点的求解策略． 难点一、最值与定值（定点）问题 圆锥曲线的最值与定值（定点）问题一直是高考的一大难点． 最值问题求解策略是：几何法与代数法，前者用于条件与结论有明显几何意义，利用图形性质来解决的类型；后者则将结论转化为目标函数，结合配方法、判别式法、基本不等式及函数的单调性等知识求解． 定值（定点）问题求解策略是：从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点（值）与变量无关．也可以在推理、计算过程中消去变量，直接得到定点（或定值）． 例1 （江西卷理21）如图1，椭圆2222:1(0) x y Q a b a b +=>>的右焦点(0)F c ，，过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A B ，两点，P 是线段AB 的中点． （1）求点P 的轨迹H 的方程； （2）在Q 的方程中，令2 1cos sin a θθ=++， 2sin 0b θθπ? ?=< ?2??≤，确定θ的值，使原点距椭圆Q 的右准线l 最远，此时，设l 与 x 轴交点为D ．当直线m 绕点F 转动到什么位置时，ABD △的面积最大？ 分析：求轨迹方程可用“设而不求”法，考虑AB 的斜率是否存在，注意到AB 与PF 共线，得方程为2 2 2 2 2 0b x a y b cx +-=；在第（2）问中，由2 a 、 2b 不难得到满足要求的1c =，为避免讨论直线m 的斜率是否存在，可设m 的方程为1x ky =+，再利用三角函数求出θ， ABD △的面积用A B ，纵坐标可表示为121 2 S y y =-， 当直线m 垂直于x 轴时，ABD △的面积最大． 点评：本题集轨迹方程、最值问题、动态几何于一身，运用了点差法、分类讨论思想、二次方程根与系数的关系、三角函数的有界性、分离变量法、均值不等式法等，对各种能力的综合要求非常高． 注：与最值相关的试题，还有江西卷理科第9题、北京卷理科第19题、全国卷I 理科第20题、文科第21题、山东卷文科第21题等． 例2 （全国卷Ⅱ理21文22）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A B ，是抛物线上的两动点，且(0)AF FB λλ=>u u u r u u u r ．过A B ，两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ． （1）证明FM u u u u r ·AB u u u r 为定值；
高二数学圆锥曲线知识整理 知识整理 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：? ?? ???>=0e ,e d |PF ||P ，其中F 为定点，d 为P 到定直线的距离，F ?，如图。 因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当0
第八篇 平面解析几何 专题8.10 圆锥曲线的定点、定值、开放问题 【考点聚焦突破】 考点一 定点问题 【例1】 (2019·咸阳二模)已知A (－2，0)，B (2，0)，点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为－3 4. (1)求动点C 的轨迹方程； (2)(一题多解)设直线l 与(1)中轨迹相切于点P ，与直线x ＝4相交于点Q ，判断以PQ 为直径的圆是否过x 轴上一定点. 【答案】见解析 【解析】(1)设C (x ，y ).由题意得k AC ·k BC ＝y x ＋2·y x －2 ＝－3 4(y ≠0). 整理，得x 24＋y 2 3 ＝1(y ≠0). 故动点C 的轨迹方程为x 24＋y 2 3 ＝1(y ≠0). (2)法一 易知直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝kx ＋m . 联立得方程组???? ?y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1.消去y 并整理，得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 依题意得Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0， 即3＋4k 2＝m 2. 设x 1，x 2为方程(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0的两个根，则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2， ∴x 1＝x 2＝－4km 3＋4k 2 . ∴P ? ????－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2 ，即P ????－4k m ，3m . 又Q (4，4k ＋m )， 设R (t ，0)为以PQ 为直径的圆上一点，则由RP →·RQ → ＝0，得????－4k m －t ，3m ·(4－t ，4k ＋m )＝0. 整理，得4k m (t －1)＋t 2－4t ＋3＝0. 由k m 的任意性，得t －1＝0且t 2－4t ＋3＝0，解得t ＝1.
圆锥曲线 一、椭圆 1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 ()2 2101c b e e a a ==-< 二、双曲线 1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于 12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 2、双曲线的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210,0x y a b a b -=>> ()22 2 210,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==+ 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称 离心率 ()2 211c b e e a a ==+>，e 越大，双曲线的开口越阔 渐近线方程 b y x a =± a y x b =± 5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 三、抛物线
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