2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)
曲
线
22
1
x x
y x +=-渐近线的条数为
( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2)设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f =
( )
(A) 1(1)(1)!n n --- (B)(1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -
(3)设函数()f t 连续，则二次积分
2
220
2cos d ()d f r r r π
θ
θ=?
?
( )
(A)
2
22
d ()d x x y y +?
(B)
2
220
d ()d x f x y y +?
(C) 222
d ()d y x y x +?
(D)
2
220
1d ()d y f x y x +?
(4)已知级
数11
(1)
n n
α∞
=-∑绝对收敛，级数
21(1)n
n n
α
∞
-=-∑条件收敛，则 ( )
(A) 102α<≤
(B) 112α<≤ (C) 3
12
α<≤ (D)3 22α<< (5)设1100c α?? ?= ? ???,2201c α??
?= ? ?
??
,3311c α?? ?=- ? ??? ,4411c α-?? ?= ? ??? ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量
组线性相关的为( )
(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα
(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -?? ?
= ? ???
.若123(,,)P ααα=，
1223(,,)Q αααα=+，则1
Q AQ -= ( )
(A) 100020001?? ? ? ???
(B) 100010002??
? ? ??? (C) 200010002?? ? ? ??? (D)200020001??
? ? ???
(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布，则{}
221P X Y +≤= ( ) (A)
14 (B) 12 (C) 8π (D)4
π
(8)设1234,,,X X X X 为来自总体2(1,)N σ(0)σ>的简单随机样本，则统计量12
34|2|
X X X X -+-的分布为 ( )
(A) N （0,1） (B) t(1) (C) 2(1)χ (D)(1,1F ） 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. (9)()
1cos sin 4
lim tan x x
x x π
-→
=
(10)设函数(
),1
21,1
x f x x x ?≥?=?-
x e
dy dx ==
(11)设连续函数(,)z f x y =
满足0x y →→=则()0,1d |z =
(12)由曲线4
y x
=
和直线y x =及4y x =在第一象限中围成的平面图形的面积为 (13)设A 为3阶矩阵，3A =，*A 为A 的伴随矩阵。若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ,则*BA =
(14)设A 、B 、C 是随机事件，A 与C 互不相容，1()2P AB =,1
()3
P C =,则(|)P AB C = 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．
指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)
求极限2
22cos 4
0lim x x
x e e x -→-
(16)计算二重积分d d x e xy x y ??，其中D
是以曲线y y =
及y 轴为边界的无界区域.
(17)某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生
产甲、乙两种产品的产量分别为x （件）和y （件），且这两种产品的边际成本分别为202
x
+（万元/件）与6y +（万元/件）。
（Ⅰ）求生产甲、乙两种产品的总成本函数(,)C x y （万元）；
（Ⅱ）当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本；
（Ⅲ）求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.
(18)证明：2
1ln cos 1(11)12
x x x x x x ++≥+-<<-
(19)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+= （Ⅰ）求()f x 的表达式； （Ⅱ）求曲线220()()d x
y f x f t t =-?的拐点.
(20)设10010
101,001000
10a a A a a
β???? ???- ??
?== ??? ???????
（Ⅰ）计算行列式A ；
（Ⅱ）当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.
(21)已知10
10
111001A a a ?? ?
?
= ?
- ?-??
，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2，
（Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）求正交变换x Qy =将f 化为标准形. （22）
设二维离散型随机变量
、的概率分布为
（Ⅰ）求{}2P X Y =； （Ⅱ）求Cov(,)X Y Y -.
（23）设随机变量X 与Y 相互独立，且服从参数为1的指数分布. 记{}max ,U X Y =，
{}min ,V X Y =
（Ⅰ）求V 的概率密度()V f v ； （Ⅱ）求()E U V +.
2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题解析
一、 选择题 （1）【答案】C
【分析】本题考查渐近线的概念与求法. 【详解】水平渐近线：
因为22
lim lim 11
x x x x
y x →∞→∞+==-，所以该曲线只有一条水平渐近线； 铅直渐近线：
函数221x x
y x +=-的定义域为1x ≠±，又因为22
11lim lim 1x x x x y x →→+==∞-，22111
lim lim 12
x x x x y x →-→-+==-，所以该曲线只有一条铅直渐近线； 斜渐近线：
因为22
lim lim 11
x x x x
y x →∞→∞+==-，所以该曲线没有斜渐近线。 故应选(C). (2) 【答案】A
【分析】考查导数定义或求导公式。本题既可以用导数定义求，也可求出导函数再代入点。
【详解】法一：由题设知(0)0f =
而0
()(0)
(0)lim
x f x f f x
→-'=
2200
(1)(2)
()
(2)
()
lim
lim
x x nx x nx x x e e e n x e e n x
x
→→-----==
210
lim(2)
()(1)(1)!x nx n x e e n n -→=--=--
法二：因为22()(2)()(1)2()x x
nx x x
nx f x e e e n e e e n '=--+--
2(1)(2)
x x nx e e ne +
+--
所以1(0)1(1)(2)
((1))(1)(1)!n f n n -'=----=--，故应选（A ）
（3）【答案】B
【分析】考查不同坐标系下交换二次积分的次序。写出对用的二重积分积分域D 的不等式，画出草图，即可完成。
【详解】 由题意知积分区域D 不等式是
0,2cos 22
r π
θθ≤≤
≤≤，从而积分区域D 是由
2cos r θ=，2r =，（02
π
θ≤≤
）围成，即
22(1)1x y -+=，2222x y +=围成的第一象限的区
域，如图所示 。 所以
2
220
2cos ()d f r rdr π
θ
θ?
?
2
2
()D
f x y dxdy =
+??
22
2
4220
2()x x x dx f x y dy --=+??
故应选（Ｂ）。 （4）【答案】D
【分析】本题考查绝对收敛与条件收敛的概念与级数敛散的判定。
【详解】由级数
1
1(1)
n
i n n α=-∑绝对收敛知，正项级数1
1
n
i n n α=收敛，因为
12
1
1()n n n n
n
α
α-=
→∞，所以级数11
2
1n
i n
α-
=∑
收敛，故112α-
>，即3
2
α<； 又级数21(1)n
i n
α∞
-=-∑条件收敛，所以021α<-≤，解得12α≤<；
综上可得
3
22
α<<。故应选（D ）。 （5）【答案】C
【分析】 考查向量组线性相关的判定.三个三维向量构成的向量组既可以用行列式是否为零来判是否线性相关，又可以利用矩阵的秩来讨论。本题利用行列式判定快速、直接。
【详解】 因为12311
2
3
01(,,)0
11c c c c ααα=-=-； 12411
2
4
01(,,)0
11c c c c ααα-==；
1341340
11(,,)0
110c c c ααα-=-=； 234342
3
4
2
34
4
11001
(,,)1
111
01()c c c c c c c c c ααα--=-==++。 由于1234,,,c c c c 为任意常数，所以134,,ααα线性相关。故应选（C ）。 （6）【答案】B
【分析】考查矩阵的运算。将Q 用P 表示，即100110001Q P ??
?= ? ???
，然后代入计算即可。 【详解】由于123(,,)P ααα=，所以1223100(,,)110001Q P αααα??
?=+= ? ???
，则 1
111100100110110001001Q P P ----????
? ?
==- ? ? ? ?????
，故
11100100110110001001Q AQ P AP --???? ? ?
=- ? ? ? ?????
100100100100110010110010001002001002???????? ????? ?=-= ????? ? ????? ?????????
故应选（B ）。
（7）【答案】D
【分析】考查均匀分布的概念、随机变量独立的概念、二维随机变量概率的计算。
【详解】X 与Y 都服从区间[0,1]上的均匀分布，所以X 与Y 的概率密度函数分别为，
1,01()0X x f x ≤≤?=?
?，其它 , 1,01
()0Y y f y ≤≤?=??，其它
又因为随机变量X 与Y 相互独立，所以随机变量X 与Y 的联合概率密度函数为：
1,0,1
(,)()()0,X Y x y f x y f x f y ≤≤?==?
?其他
，
所以2222
1
{1}(,)4
D
x y P X Y f x y dxdy dxdy π
+≤+≤=
==
????（其中D 是22
1x y +≤在第一象
限部分）
故应选（D ）。 （8）【答案】B
【分析】本题考查统计量的分布，只需记住常用的统计量的分布即可得到答案。
【详解】因为1234,,,X X X X 为来自总体2
(1,)(0)N σσ>，所以
212~(0,2)
X X N σ-
，
~(0,1)N ，
234~(2,2)
X X N σ+
，
~(0,1)N
，
222342
(2)~(1)2X X χσ+-=，所
以
~(1)t ，即
1234(1)2X X t X X -+-。故应选（B ）。
二、填空题
（9）【分析】考查未定式的极限、洛必达法则。将幂指函数写成指数形式。
【详解】法一：4
4
1
ln tan sin cos lim
lim 1
cos sin sin cos cos sin 4
lim(tan )
x x x x x x x x x
x x
x x e e
ππ
π
→
→----→
==
4
1
lim
(sin cos )sin cos x x x x x
e
e π→
-+==法二：11cos sin cos sin 44
lim(tan )
lim[1(tan 1)]
x x
x x
x x x x π
π
--→
→
=+-
24
4
tan 1sec lim
lim
cos sin sin cos x x x t x x x x e
e e ππ
→→----====（10）
1(ln 1)x e
x e
dy
x dx
e
=='
=-= 【分析】本题主要考查复合函数求表达式及复合函数求导数。先利用分析法得到
(())y f f x =的表达式，再求导数，或直接根据分段函数的定义用复合函数求导法求导数。
【详解】
法一：由于1
ln ()121,x f x x x ?≥?=?
<-??
，所以
1
,1
()22,1x f x x x ?>?'=??
，1()2f e =，1()2f e e '=，1()22f '=
从而
{}11
[()]'()[()]()()()2x e x e
dy
f f x f x f f e f e f f e dx
e
=='''''=====
法二：()1(())2()1,()1
f x y f f x f x f x ?≥?==?
-
()1f x x e
所以2
222
(())1,12()1,2(21)1,1x e x e y f f x x e f x x e x x ?≥??≥??
===≤
--
2
2
1(ln(ln )ln 2),2ln 1,143,1x x e x x e x x ?-≥???=-≤
从而
1(ln 1)x e
x e
dy
x dx
e
=='
=-= （11）(0,1)
2dz
dx dy =-。
【分析】本题考查全微分的概念与多元函数连续的定义。 【详解】
由于00x y →→=，，所以0
1
lim[(,)22]0x y f x y x y →→-+-=
又由于函数(,)z f x y =连续，从而(0,1)1f =。 令0,1x x y y =+?=+?，则
0lim
x x y y →?→→?→==
从而[(0,1)(0,1)]2f x y f x y o +?+?-=?-?+ 故由全微分的定义知：(0,1)
2dz
dx dy =-。
（12）【分析】本题考查定积分应用.画出草图,求出交点,代公式计算即可.
【详解】 画出草图如右下图所示 ,可求得曲线4
y x
= 和直线y x =及4y x =的交点分别为(2,2)，(1,4)所以
2
2
1
2
011
43(4)()(4ln )4ln 2
22x
S x x dx x dx x x =-+-=+-=??。
（13）*
27BA =-
【分析】考查伴随矩阵的性质与矩阵行列式的性质与运算。 【详解】由于
3B A =-=-，2
*9A A ==，所以*27BA =-。
（14）3/4
【分析】本题考查事件的概率、条件概率、 互不相容的概念。
【详解】由条件概率的定义，()
(|)()
P ABC P AB C P C =
，因为,A C 互不相容，所以
AC =?，ABC =?，故()0P ABC =，()()()()P ABC P AB P ABC P AB =-=，从而
原式1
()3
211()4
13
P AB P C ===--。
三、解答题 （15）【分析】本题是未定式的极限、主要考查等价无穷小代换、洛必达法则或泰勒公式。
【详解】 法一：22
22cos 22cos 22cos 4
4
00(1)lim lim
x x x
x
x
x x e e e e x x
--+-→→--=
2
22cos 24
40
0(1)
22cos lim
lim x
x
x x e x x
x x
-+→→--+== 320022sin 1cos lim
lim 46x x x x x
x x
→→--== 1
12
=
法二：2
2
22cos 22cos 22cos 44
00(1)lim lim x x x
x
x
x x e e e e x
x
--+-→→--=
2
22cos 24
40
0(1)
22cos lim
lim x
x
x x e x x
x x
-+→→--+== 242
440221())
12!4!lim 12
x x x x o x x →-+-++==
（
（16）【分析】考查无界区域上二重积分的计算。 【详解】
由题意知
1
1
lim lim x
x x
a a a a D
e xydxdy dx dy e dx ++→→==????
11
221
0011lim (1)lim[(1)2]22x x
x a
a a
a a x e dx x e xe dx ++
→→=
-=-+??
1100111(12lim )[12lim(1)]222
x x a
a a a xe dx x e ++→→=-+=-+-=?
（17）【分析】本题考查微积分在经济中的用应。主要涉及的知识点、边际的概念及经济意义、成本函数的概念、条件极值。
【详解】（Ⅰ）由题意知
(,)202
x
x
C x y '=+，对x 积分得 2
(,)20()4
x C x y x y ?=++ 从而 (,)()y C x y y ?''=，由题设()6y y ?'=+，故2
1()62
y y y C ?=+
+ 综上可得：221
(,)20642
x C x y x y y C =++++。 因为固定成本为10000（万元）即(0,0)10000C =（万元），求得10000C =，所以求
生产甲乙两种产品的总成本函数为221
(,)2061000042x C x y x y y =++++（万元） （Ⅱ）即求221
(,)2061000042
x C x y x y y =++++在条件50x y +=下的最小值。 法一：构造拉格朗日函数
(,)(50)L C x y x y λ=++-
解方程组12002
60
500x
y L x L y L x y λλλ?'
=++=??
'=++=??'
=+-=??
可得驻点(,)(24,26)x y =。 由于实际问题必存在最小值，且有唯一驻点，所以当24x =，26y =时，即甲乙两种的产量分别为24、26时，可以使总成本最小。最小总成本是(24,26)11118C =（万元）
法二：因为50x y +=，所以50y x =-，所以成本函数化为
221
(,)206(50)(50)1000042
x Z C x y x x x ==++-+-+
2
336115504
x x =
-+ 则3
362
Z x '=
-，可求得驻点24x =，此时26y =。 由于实际问题必存在最小值，且有唯一驻点，所以当24x =，26y =时，即甲乙两种的产量分别为24、26时，可以使总成本最小。最小总成本是(24,26)11118C =（万元）
（Ⅲ）当总产量为50件时且总成本最小时24x =，26y =边际成本(24,26)32x
C '=，表示在总产量为50件时，甲产品为24件时，这时改变甲产品一个单位的产量，成本会发生32万元的改变。
（18）【分析】证明函数不等式，由于不等式的形状为()()f x g x ≤，故用最大最小值法完成。
【详解】令2
1()ln cos 1,1112
x x f x x x x x +=+---<<-，则 2
11112()ln
()sin ln sin 11111x x x f x x x x x x x x x x x
++'=++--=+---+--- 222222
22(1)4
()cos 1cos 10,(11)1(1)(1)x f x x x x x x x +''=+--=-->-<<---
从而()f x '单调递增，又因为(0)0f '=，所以当10x -<<时，()0f x '<；当01x <<时，
()0f x '>，从而(0)0f =是()f x 在区间(1,1)-内的最小值，从而当11x -<<时，恒有
()(0)f x f ≥，即21ln cos 1012x x x x x ++--≥-，亦即2
1ln cos 1,1112
x x x x x x ++≥+-<<-
（19）【分析】（Ⅰ）求出方程()()2()0f x f x f x '''+-=的通解代入方程()()2x
f x f x e
'+=确定任意常数即可，或方程()()2x
f x f x e '+=两端求导数与()()2()0f x f x f x '''+-=解
出();f x （Ⅱ）将（Ⅰ）中得到的函数表达式代入220
()()x
y f x f t dt =-?
，然后利用常规方
法求得拐点。
【详解】（Ⅰ）法一：()()2()0f x f x f x '''+-=的特征方程为220λλ+-=，解得
122,1λλ=-=,所以212()x x f x C e C e -=+；
将212()x
x f x C e
C e -=+代入'()()2x f x f x e +=，得21222x x x C e C e e --+=，所以
10C =，21C =，故()x f x e =。
法二：方程()()2x
f x f x e '+=两端求导数得
()()2x
f x f x e '''+=
将上式代入()()2()0f x f x f x '''+-=，可得()x
f x e =。
（Ⅱ）由于2
2
x
x t y e
e dt -=?
，从而
2
2
21x
x t y xe e dt -'=+?
2
2
2
22
2
220
2422(12)2x
x
x
x
t x
t x
t y e e dt x e e dt x x e e dt x ---''=++=++?
?
?
从而定义域内y ''为零或不存在点只有0x =，而 当0x >时，22
2(12)0x x e +>，因为2
0t e
->，所以2
0x
t
e dt ->?，20x >，所以0y ''>
当0x <时，2
2
2(12)0x x
e +>，因为2
0t e
->，所以2
0x
t e dt -
，20x <，所以0y ''<
又(0)0y =，所以(0,0)是曲线220
()
()x
y f x f t dt =-?
的拐点。
（20）【分析】考查行列式的计算、线性方程组解的存在性定理。（Ⅰ）按第一列展开；（Ⅱ）对增广矩阵进行初等航变换化为阶梯型求出a ，进一步化为行最简形求通解。
【详解】（Ⅰ）
4100
100001001101001001
01001
a a a a A a a a a a a
a =
=-=-
（Ⅱ）对增广矩阵进行初等行变换，有
2
3
21
00
110011
001
10101010101()001000
100
1
000100010
01a a
a a a a A
b a a a a a a a a a ??????
??????---?
??
??
?=→→??????
???
??
?
----??????
4
21001
0101001
00
001a a a
a a a ????-??→??
??---?? 因为线性方程组Ax b =有无穷多解，所以4
2
10
a a a ?-=??--=??，解得1a =-。 将增广矩阵进一步化为行最简形，有
1100110
01
00110101
011()00110001100000000000A b --????
????----?
???→→????
--????
????
从而可知导出组的基础解系为(1,1,1,1)T η=，非齐次方程的特解为*(0,1,0,0)T
η=-，
所以通解为(1,1,1,1)(0,1,0,0)T T
x k =+-，其中k 为任意常数。
（21）【分析】考查矩阵秩的概念与求法及其性质、特征值与特征向量的求法。（Ⅰ）利用秩的性质得到矩阵A 的秩为2，再利用初等行变换将A 化为阶梯型即可求出a ；（Ⅱ）求出矩阵B 的特征值与全部线性无关的特征向量，将他们正交化、单位化可得到正交矩阵Q 。
【详解】（Ⅰ）由于()()T r A r A A =，而二次型的秩为2，即()2T
r A A =，故()2r A =。
对矩阵A 作初等行变换化为阶梯型，有
1
11011010
110110111000101001010001A a a a a a a ?????? ? ? ?
? ? ?
=→→ ? ? ?
-++ ? ? ?-++??????
从而()21r A a =?=-。此时
二次型矩阵101101020201101010221011111224011T
B A A ??
-????????????==-=????
??--????--??????
--??
（Ⅱ）由于2
2
2(2)0
0220222
24224
E B λλλλλλλλ-----=
--=-------- 22
02
2(2)(6)2
4
4λλλλλλ-=
--=-----
所以矩阵B 的特征值为1230,
2,6λλλ===
解方程组(0)0E B X -=，得其基础解系为1(1,1,1)T
α=-，即矩阵B 属于特征值0λ=的线性无关的特征向量为1α；
解方程组(2)0E B X -=，得其基础解系为2(1,1,0)T
α=-，即矩阵B 属于特征值0λ=的线性无关的特征向量为2α；
解方程组(6)0E B X -=，得其基础解系为3(1,1,2)T α=，即矩阵B 属于特征值0λ=的线性无关的特征向量为3α。
由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，所以123,,ααα相互正交，再将
123,,ααα单位化得：
11)T β=
-，
21,0)T β=-，
32)T β= 令(
)123,,0
Q βββ==，则Q 是正交矩阵，则在正交变换x Qy =下，二次型f 化为标准型为2
2
2326f y y =+。
（22）【分析】考查离散型随机变量分布律的性质、联合概率分布，数字特征。（Ⅰ）根据概率性质及所给条件写出(,)X Y 联合概率分布，即可求出；（Ⅱ）(,)Cov X Y Y -的计算，注意(,)()()()Cov X Y Y E XY E X E Y DY -=--。 【详解】（Ⅰ）由题设知{}20P XY ==，
而 {}{}{}21,22,1P XY P X Y P X Y ====+==
由概率性质可知{}1,20P X Y ==≥，{}2,10P X Y ==≥，从而 {}{}1,22,10P X Y P X Y ======
又{}{}12,2412P X Y P XY =====，{}{}11,113
P X Y P XY =====
显然由表及概率性质可得0b =，c =
14，0d =，112e =，进而得到14
a =。 从而{}{}{}11
20,02,1044
P X Y P X Y P X Y ====+===
+= （Ⅱ）(,)(,)(,)(,)()Cov X Y Y Cov X Y Cov Y Y Cov X Y D Y -=-=- ()()()E XY E X E Y DY =-- 而 11120122363EX =?
+?+?=，111
0121333
EY =?+?+?=
1112()01204123123E XY =?
+?+?+?=，222211*********
EY =?+?+?= 所以22
(,)()()()[()(())]Cov X Y Y E XY E X E Y E Y E Y -==---
22521[1]3333
=
-?--=- 因为(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =-=，所以0XY ρ=
（23）【分析】考查了随机变量独立的概念、概率密度的概念及求法、随机变量的数字特征
等知识点。（Ⅰ）先求分布函数，进而得到概率密度；（Ⅱ）求出随机变量U 的概率密度，利用数学期望的公式分别计算,EV EU 。
【详解】（Ⅰ）由已知条件知，随机变量X 和Y 的概率密度分别为
,0()0,0
x e x f x x -?>=?≤?，,0()0,0y e y f y y -?>=?≤?
所以随机变量X 和Y 的分布函数分别为
1,0()0,0x X e x F x x -?->=?
≤?， 1,0
()0,0
y Y e y F y y -?->=?≤? 从而min(,)V X Y =的分布函数为
{}{}()min(,)1min(,)V F v P X Y v P X Y v =≤=->
{}
{}{},1,1X Y P X v Y v P X v P Y v =->>=->>独立
1(1())(1())X Y F v F v =---
21(),0
0,0
v e v v -?->=?≤?
故随机变量V 的概率密度22,0
()()0,0
v V V e v f v F v v -?>'==?≤?
（Ⅱ）max(,)U X Y =的分布函数为
{}{}{}{},()max(,),X Y U F u P X Y u P X u Y u P X u P Y u =≤=≤≤=
≤≤独立
2(1),0
0,0
u e u u -?->=?≤?
所以U 的密度函数为222,0()()0,0
u u U U e e u f u F u u --?->'==?≤?
又201()()22
v V E V vf v dv ve dv +∞
+∞
--∞
=
==
?
? 20
3()()(22)2
u u U E U uf u dv u e e du +∞
+∞
---∞
=
=-=
?
? 所以()()()2E U V E U E V +=+=
全国硕士研究生入学统一考试数学一考试大纲 高等数学一、函数、极限、连续 考试内容：函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和 无穷大量的概念 及其关系无穷 小量的性质及无 穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个 准则：单调有界 准则和夹逼准则 两个重要极限:， 函数连续的 概念函数间断 点的类型初等 函数的连续性 闭区间上连续函 数的性质 考试要求 1．理解函数的概 念，掌握函数的 表示法，会建立 应用问题的函数 关系. 2．了解函数的有 界性、单调性、 周期性和奇偶 性． 3．理解复合函数 及分段函数的概 念，了解反函数 及隐函数的概 念． 4．掌握基本初等 函数的性质及其 图形，了解初等 函数的概念. 5．理解极限的概 念，理解函数左 极限与右极限的 概念以及函数极 限存在与左、右 极限之间的关 系． 6．掌握极限的性 质及四则运算法 则. 7．掌握极限存在 的两个准则，并 会利用它们求极 限，掌握利用两 个重要极限求极 限的方法． 8．理解无穷小 量、无穷大量的 概念，掌握无穷 小量的比较方 法，会用等价无 穷小量求极限． 9．理解函数连续 性的概念（含左 连续与右连续）， 会判别函数间断 点的类型． 10．了解连续函 数的性质和初等 函数的连续性， 理解闭区间上连
续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 二、一元函数微分学 考试内容：导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高 阶导数一阶微 分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则函 数单调性的判别 函数的极值函 数图形的凹凸 性、拐点及渐近 线函数图形的 描绘函数的最 大值和最小值 弧微分曲率的 概念曲率圆与 曲率半径 考试要求 1.理解导数和微 分的概念，理解 导数与微分的关 系，理解导数的 几何意义，会求 平面曲线的切线 方程和法线方 程，了解导数的 物理意义，会用 导数描述一些物 理量，理解函数 的可导性与连续 性之间的关系． 2．掌握导数的四 则运算法则和复 合函数的求导法 则，掌握基本初 等函数的导数公 式．了解微分的 四则运算法则和 一阶微分形式的 不变性，会求函 数的微分． 3．了解高阶导数 的概念，会求简 单函数的高阶导 数． 4．会求分段函数 的导数，会求隐 函数和由参数方 程所确定的函数 以及反函数的导 数. 5．理解并会用罗 尔(Rolle)定理、 拉格朗日 (Lagrange)中值 定理和泰勒 (Taylor)定理， 了解并会用柯西 中值定理． 6．掌握用洛必达 法则求未定式极 限的方法． 7．理解函数的极 值概念，掌握用 导数判断函数的 单调性和求函数 极值的方法，掌 握函数最大值和
2017年考研数学三真题及解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1 ．若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则 （A ）12ab = （B ）1 2 ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x f x ax ax a +++→→→-=== ，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11 22 b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ） （A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,) 【详解】 2(3)32z y x y xy y xy y x ?=---=--?，232z x x xy y ?=--?， 解方程组2 2320320z y xy y x z x x xy y ??=--=??????=--=???，得四个驻点．对每个驻点验证2 AC B -，发现只有在点11(,)处满足 230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ） 3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则 （A ） (1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2 ()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2 ()f x 是单调增加函数．也就得到 () ()2 2 (1)(1)(1)(1)f f f f >-?>-，所以应该选（C ） 4． 若级数 21 1sin ln(1)n k n n ∞ =??--??? ?∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2- 【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ???????? --=---+=++ ? ? ? ? ????? ???? 显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时， 级数的一般项是关于1 n 的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．
全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数2 ()ln(2)x f x t dt = +? 则()f x '的零点个数（ ） ()A 0. ()B 1. ()C 2. ()D 3. （2）函数(,)arctan x f x y y =在点(0,1)处的梯度等于（ ） ()A i . ()B i -. ()C j . ()D j -. （3）在下列微分方程中，从123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为 通解的是（ ） ()A 440y y y y ''''''+--=. ()B 440y y y y ''''''+++=. ()C 440y y y y ''''''--+=. ()D 440y y y y ''''''-+-=. （4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ） ()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛. ()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛. （5）设A 为n 阶非零矩阵E 为n 阶单位矩阵若3 0A =，则（ ） ()A E A -不可逆，E A +不可逆. ()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆. ()D E A -可逆，E A +不可逆. （6）设A 为3阶非零矩阵，如果二次曲面方程(,,)1x x y z A y z ?? ? = ? ??? 在正交变换下的标准方程 的图形如图，则A 的正特征值个数（ ） ()A 0. ()B 1. ()C 2. ()D 3. （7）随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F X ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（ ）
2019年考研数学—真题及答案解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。 （1）当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k = （A ）1. （B ）2. （C ）3. （D ）4. （2）设函数(),0, ln ,0,x x x f x x x x ?≤?=?>??则0x =是()f x 的 A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点. C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点. （3）设{}n u 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是 A.1m n n u n =∑ B.() 1 11m n n n u =-∑ C.111m n n n u u =+??- ?? ?∑ D.()22 11 m n n n u u +=-∑ （4）设函数()2,x Q x y y = .如果对上半平面()0y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有() (),,0C P x y d x Q x y d y +=?，那么函数(),P x y 可取为 A.2 3x y y -. B.231x y y -. C.11x y -. D.1x y - . （5）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3 阶单位矩阵。若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形为 A.222123y y y ++. B.222 123y y y +- C.222123y y y -- D.222123y y y --- （6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，他们的方程()1231,2,3i i i i a x a y a z d i +++= 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则
1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1) 设商品的需求函数为1005Q P =-,其中,Q P 分别表示为需求量和价格,如果商品需 求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是_________. (2) 级数21 (2)4n n n x n ∞ =-∑的收敛域为_________. (3) 交换积分次序 1 (,)dy f x y dx =?_________. (4) 设A 为m 阶方阵,B 为n 阶方阵,且0 ,,0A A a B b C B ?? === ??? ,则C =________. (5) 将,,,,,,C C E E I N S 等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词SCIENCE 的 概率为__________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设2()()x a x F x f t dt x a = -?,其中()f x 为连续函数,则lim ()x a F x →等于 ( ) (A) 2 a (B) 2 ()a f a (C) 0 (D) 不存在 (2) 当0x →时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量? ( ) (A) 2 x (B) 1cos x - 1 (D) tan x x - (3) 设A 为m n ?矩阵,齐次线性方程组0Ax =仅有零解的充分条件是 ( ) (A) A 的列向量线性无关 (B) A 的列向量线性相关 (C) A 的行向量线性无关 (D) A 的行向量线性相关 (4) 设当事件A 与B 同时发生时,事件C 必发生,则 ( ) (A) ()()()1P C P A P B ≤+- (B) ()()()1P C P A P B ≥+- (C) ()()P C P AB = (D) ()()P C P A B =U (5) 设n 个随机变量12,,,n X X X L 独立同分布,2 11 1(),,n i i D X X X n σ===∑
全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上． （1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在x 连续，则 (A) 12 ab =． (B) 12 ab =- ． (C) 0ab =． (D) 2ab =． 【答案】A 【详解】由0 11lim 2x b ax a + →-==,得1 2 ab =. （2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则 (A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-. 【答案】C 【详解】2() ()()[]02 f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6． (C) 4． (D)2 ． 【答案】D 【详解】方向余弦12 cos ,cos cos 33 = ==αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可. （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则
2015 年全国硕士研究生入学统一考试英语一试题 Section 1 Use of English Directions: Read the following text. Choose the best word(s) for each numbered blank and mark [A], [B], [C] or [D] on ANSWER SHEET 1. (10 points) Though not biologically related, friends are as related as fourth cousins, sharing about 1% of genes. That is 1 a study published from the University of California and Yale University in the Proceedings of the National Academy of Sciences, has 2 . The study is a genome-wide analysis conducted 3 1932 unique subjects which 4 pairs of unrelated friends and unrelated strangers. The same people were used in both 5 .While 1% may seem 6 , it is not so to a geneticist. As James Fowler, professor of medical genetics at UC San Diego, says, Most people do not even 7 their fourth
全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分．把答案填在题中横线上．） （1）曲线ln y x =上与直线1x y +=垂直的切线方程为 ． 【答案】1y x =- 【考点】导数的几何意义 【难易度】★ 【详解】 解析：由11 )(ln == '='x x y ，得1x =, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10-?=-x y ， 即 1-=x y . （2）已知()x x f e xe -'=，且(1)0f =，则()f x = ． 【答案】 2 1ln 2 x 【考点】不定积分的换元法 【难易度】★★ 【详解】 解析：令t e x =，则t x ln =，于是有 t t t f ln )(='， 即 .ln )(x x x f = ' 积分得2ln 1()ln (ln )ln 2x f x dx xd x x C x = ==+??. 利用初始条件(1)0f =, 得0C =，故所求函数为()f x = 2 1ln 2 x . （3）设L 为正向圆周2 2 2x y +=在第一象限中的部分，则曲线积分x y y x L d 2d -?的值 为 ． 【答案】 π2 3 【考点】第二类曲线积分的计算；格林公式 【难易度】★★★ 【详解】 解析：正向圆周22 2 =+y x 在第一象限中的部分，可表示为 . 2 0:, sin 2,cos 2π θθθ→ ?? ?==y x
于是 θθθθθπ d ydx xdy L ]sin 2sin 22cos 2cos 2[220 ?+?=-?? =.2 3sin 220 2πθθππ = + ? d （4）欧拉方程)0(02d d 4d d 222 >=++x y x y x x y x 的通解为 ． 【答案】22 1x C x C y += ，其中12,C C 为任意常数 【考点】欧拉方程 【难易度】★★ 【详解】 解析：令t e x =，则 dt dy x dt dy e dx dt dt dy dx dy t 1= =?=-， ][11122222222dt dy dt y d x dx dt dt y d x dt dy x dx y d -=?+-=， 代入原方程，整理得 0232 2=++y dt dy dt y d ， 解此方程，得通解为 .22 1221x c x c e c e c y t t += +=-- （5）设矩阵210120001A ????=?? ???? ，矩阵B 满足**2ABA BA E ＝＋，其中* A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则 B = ． 【答案】 19 【考点】抽象型行列式的计算；伴随矩阵 【难易度】★★ 【详解】 解析：方法1：已知等式两边同时右乘A ，得 A A BA A ABA +=**2， 而3=A ，于是有 A B AB +=63， 即 A B E A =-)63(， 再两边取行列式，有 363==-A B E A ，
2006年考研数学（三）真题 一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '= ,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则 {}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121 ,,,,2 x n f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样 本，其样本方差为2S ，则2____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <
2017年考研数学（二）考试大纲（原文） 2017数学二考试大纲 考试科目：高等数学、线性代数 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试试卷 试卷满分为150分，考试试卷为180分钟 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试。 三、试卷内容结构 高等数学约78% 线性代数约22% 四、试卷题型结构 单项选择题 8小题，每小题4分，共32分 填空题 6小题，每小题4分，共24分 解答题（包括证明题） 9小题，共94分 高等数学 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限于右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限： ， 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念. 4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系. 6.掌握极限的性质及四则运算法则. 7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限. 9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型. 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质. 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛
2020年全国硕士研究生招生考试（数学一）参考答案及解析 1.D 解析：A 选项可知22 20 ( (1))'1~x t x e dt e x -=-? ； B 选项32 (ln(1)'ln(1~x dt x =? ； C 选项sin 2220 ( sin )'sin cos ~x t dt x x x =? ； D 选项1-cos 40 ( )'sin ~ =? . 2.C 解析：当()f x 在0x =处可导时,有()f x 在0x =处连续，()()0 0lim 0x f f x ?==，且()00()0() lim =lim x x f x f f x x x →→-存在设为a ,则有，()()0 0lim lim lim lim 0 0.x x x x f x f x f x a x x x x x =??? 3.A 函数(,)f x y 在点（0,0）处可微，,则有 ()(()()( )()(()()(0,0,0,00,0,0,0 ,0,0 ,0 li lim m x y x y f f f x y f x y x y f f f x y x y x y ??抖---抖抖--抖= = 即有(,)lim x y → 4.A 5.B 解析：矩阵A 经初等列变换化成B ，根据左行右列，应该选B . 6.C 解析：由于两直线相交，故两直线的方向向量无关，即21αα，无关，由因为两直线上有两点 组成的向量与两直线的方向向量共面，故03 22 1 322 13 221=---c c c c b b b b a a a a ，故选C .
7.D ()()()()()()()()[()()]()()[()()]()()[()()]111 1111000041241241212(512)()() p AB p ABC p AB p ABC p BC p ABC p A p AB p AC p ABC p B p AB p BC p ABC p C p BC p AC p P ABC P ABC P AB A C BC =-+-+-=---+---+---??= ---+--++-- ???=++ 8.B 100100 1 1 1 100502i i i i E X EX ====? =∑∑ 100 100 1111 10025 22i i i i D D X X ====??=∑∑ ()100100115050555011555i i i i X x P P ==???? --????-????==Φ??? ?????????????∑∑剟 9.-1 1)21 (21) 1()1ln(lim 2 222 -=+--= --+→x x x x x x e x x x 10. 解析：1dy dx t = ，223 d y dx t = -221 t d y dx =?= 11.n am + 解析：n am dx x f x f a dx x f +=''-'-= ?? +∞ +∞ )]()([)(. 12.e 4 解析：()()()()()2 22 3 33 2,e d ,e ,,1e ,1e 3e 1,14e. xy xt xx y x y y x x yx yx f x y t f x y x f x x f x x x f = ⅱ==ⅱ=+ⅱ=ò ； ； ；
三类数学试卷最大的区别在对于知识面的要求上：数学一最广，数学三其次，数学二最低。 考试内容： 数学一： ①高等数学(函数、极限、连续、一元函数微积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数的微积分学、无穷级数、常微分方程);②线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);③概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其概率分布、二维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。 数学二： ①高等数学(函数、极限、连续、一元函数微积分学、常微分方程);②线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量)。 数学三： ①微积分(函数、极限、连续、一元函数微积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);②线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);③概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其概率分布、随机变量的联合概率分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。 适用专业： 数学(一)适用的招生专业为： (1)工学门类的力学、机械工程、光学工程、仪器科学与技术、治金工程、动力工程及工程热物理、电气工程、电子科学与技术、信息与通信工程、控制科学与工程、计算机科学与技术、土木工程、水利工程、测绘科学与技术、交通运输工程、船舶与海洋工程、航空宇航科学与技术、兵器科学与技术、核科学与技术、生物医学工程等一级学科中所有的二级学科、专业。
(2)管理学门类中的管理科学与工程一级学科中所有的二级学科、专业。 数学(二)适用的招生专业为： 工学门类的纺织科学与工程、轻工技术与工程、农业工程、林业工程、食品科学与工程等一级学科中所有的二级学科、专业。 数学(一)、数学(二)可以任选其一的招生专业为： 工学门类的材料科学与工程、化学工程与技术、地质资源与地质工程、矿业工程、石油与天然气工程、环境科学与工程等一级学科中所有的二级学科、专业。 数学(三)适用的招生专业为： (1)经济学门类的理论经济学一级学科中所有的二级学科、专业。 (2)经济门类的应用经济学一级学科中的二级学科、专业：统计学、数量经济学、国民经济学、区域经济学、财政学(含税收学)、金融学(含保险学)、产业经济学、国际贸易学、劳动经济学、国防经济 (3)管理学门类的工商管理一级学科中的二级学科、专业：企业管理(含财务管理、市场营销、人力资源管理)、技术经济及管理、会计学、旅游管理。 (4)管理学门类的农林经济管理一级学科中所有的二级学科、专业。。
2016年考研数学（三）真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则a =______，b =______. (2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) 0，则2f u v ?= ??. % (3) 设?? ???≥ -<≤-=21,12121,)(2 x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=?. (4) 二次型2 132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 . (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______. (6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(2 2σμN ,1,,21n X X X 和 2 ,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则 12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==?? -+-????=??+-?????? ∑∑. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2 ) 2)(1() 2sin(||)(---= x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) ( 1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ ] … (8) 设f (x )在( , +)内有定义，且a x f x =∞ →)(lim ， ?????=≠=0 ,00 ,)1()(x x x f x g ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点. (D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 x )|，则 (A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. ` (D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ]
和小林一起备考英语2 2020年全国硕士研究生招生考试 英语(二) Section I Use of English Directions: Read the following text. Choose the best word(s) for each numbered blank and mark A, B, C or D on the ANSWER SHEET. (10 points) Being a good parent is what every parent would like to be. But defining what it means to be a good parent is undoubtedly very 1 , particularly since children respond differently to the same style of parenting. A calm, rule-following child might respond better to a different sort of parenting than, 2 , a younger one. 3 , there's another sort of parent that's easier to 4 : a patient parent. Children of every age benefit from patient parenting. Still, 5 every parent would like to be patient, this is no easy 6 . Sometimes, parents get exhausted and are unable to maintain a 7 style with their kids. I understand this. You're only human, and sometimes your kids can 8 you just a little too far. And then the 9 happens: You lose your patience and either scream at your kids or say something that was too 10 and does nobody any good. You wish that you could 11 the clock and start over. We've all been there. 12 , even though it's common, it's vital to keep in mind that in a single moment of fatigue, you can say something to your child that you may 13 for a long time. This may not only do damage to your relationship with your child but also 14 your child's self-esteem. If you consistently lose your 15 with your kids, then you are modeling a lack of emotional control for your kids. We are all becoming increasingly aware of the 16 of modeling patience for the younger generation. This is a skill that will help them all throughout life. In fact, the ability to maintain emotional control when 17 by stress is one of the most significant of all life ' s skills. Certainly, it's 18 to maintain patience at all times with your kids. A more practical goal is to try to be as calm as you can when faced with 19 situations involving your children. I can promise you this: As a result of working toward this goal, you and your children will benefit and 20 from stressful moments feeling better physically and emotionally.
是k cx 等价无穷小，则(A) 1,4k c == (B) 1,4k c ==- (C) 3,4k c == (D) 3,4k c ==- (2) 已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =,则2330()2() lim x x f x f x x →-= (A) ' 2(0)f - (B) ' (0)f - (C) ' (0)f (D) 0 (3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 (A) 若 1n n u ∞ =∑收敛，则 21 21 ()n n n u u ∞ -=+∑收敛 (B) 若 21 21()n n n u u ∞ -=+∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 (C) 若 1n n u ∞ =∑收敛，则 21 21 ()n n n u u ∞ -=-∑收敛 (D) 若 21 21 ()n n n u u ∞ -=-∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 (4) 设4 ln(sin )I x dx π=? ,40 ln(cot )J x dx π =?,40 ln(cos )K x dx π =? 则I ,J ,K 的大 小关系是 (A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << (5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3 行得单位矩阵记为11001 10001P ?? ?= ? ???，2100001010P ?? ? = ? ??? ，则A = (A)12P P (B)112P P - (C)21P P (D) 1 21P P - (6) 设A 为43?矩阵,1η, 2η , 3η 是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，1k ,2k 为任意常数，则Ax β=的通解为 (A) 23 121()2 k ηηηη++-
全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题 一、选择题:1—8小题．每小题4分，共32分． 1 ．若函数10 (),0x f x ax b x ?->?=??≤? 在0x =处连续，则 （A ）1 2ab = （B ）12 ab =- （C ）0ab = （D ） 2ab = 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ） （A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,) 3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则 （A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 4． 若级数211 sin ln(1)n k n n ∞ =?? --??? ?∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2- 5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 （A ）T E αα-不可逆 （B ）T E αα+不可逆 （C ）2T E αα+不可逆 （D ）2T E αα-不可逆 6．已知矩阵200021001A ?? ?= ? ???，210020001B ?? ?= ? ???，100020002C ?? ? = ? ??? ，则 （A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似 7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B U 与
2011年考研数学试题（数学一） 一、选择题 1、 曲线()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是（ ） （A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0） 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是 ()()()()234 12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知 (1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，则幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的 收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）(0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑=== n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤； {}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ， 说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛，可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≥。 因此，幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数收敛，2 x =时幂级数发散。可知收敛域为 [)0,2。 3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z = 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ） （A ） 0)0(1 )0(>''>f f ， (B) 0)0(1)0(<''>f f ， (C) 0)0(1 )0(>''
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