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2020年全国硕士研究生入学统一考试数学二答案及解析

2020年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题参考答案及解析

一、选择题1-8题，每小题4分，共32分。下列每题给出的4个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。 1. 当0x +

®时，下列无穷小量中最高阶的是 ( ). （A ）

(1)-⎰

t e dt （B

）0

ln(1+⎰x dt （C ）sin 20

sin ⎰

t dt （D

）1cos 0

-⎰

【答案】（D ）

【解析】2

0(e 1)11

lim lim ,33+

→→--==⎰

t x x x dt

e x x

可知2301(e 1),0;

-→⎰:x t dt x x

ln(12lim

lim ,52+

+→→==⎰x

x x dt

可知5

202ln(1,0;5+→⎰:

dt x x

sin 220

32000sin sin(sin x)cosx cos 1

lim

lim lim ,

333+++→→→⋅===⎰x

x x x t dt

x x x

可知sin 2301sin ,0;

3x t dt x x +

→⎰:

1cos 0

00lim

lim lim x x x x +

-→→→===⎰

可知

1cos 50

,0,-+→⎰

x x

对比可知

1cos 0

-⎰

的阶数最高，故选（D ）.

2....第二类间断点的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（C ）

【解析】()f x 可能的间断点有1,0,1,2x x x x =-===，由于1

lim ln |1|x x ?

+=-?，

1lim

0(1)(2)

x x x e

e x -?

¹--，可知-1lim ()x f x ®=?，则1x =-为()f x 的第二类（无穷）间断

点；11

lim ()lim

(2)2x x x e x f x x x e

-==--，又由于()f x 在0x =处无定义，可知0x =为()f x 的第一类（可去）间断点；11

ln(1)

lim ,lim 0(1)(2)

x x x x x e e x +

-+=+ス--，则1

lim ()x f x +

®=?，则1x =为()f x 的第二类（无穷）间断点；11

21ln(1)

lim

,lim

021

x x x

x e x x e -+=ス--，则

lim ()x f x ®=?，则2x =为()f x 的第二类（无穷）间断点.综上所述，()f x 的第二类间断

点有3个，故选（C ）.

=ò

（）.

（A ）24p （B ）28p （C ）4p （D ）

【答案】（A ）

【解析】1

100

200

2(arcsin (arcsin 4

p ===ò

，故选（A ）.

4.设2

()

()ln(1),...,(0)n f x x x f =-=（）.

（A ）!2n n -

-（B ）!2n n -（C ）(2)!n n --（D ）(2)!

n n -

【答案】（A ）.

【解析】由ln(1)x -的麦克劳林公式可知

2422

32()()()22n n n n x x x x f x x x o x x o x n n ++骣骣鼢珑鼢=----+=-++++珑鼢鼢珑桫桫L L

n x 的系数为12n -

-，则()

!(0)2

n n f n =--，故选（A ）.

5.关于函数...给出以下结论

①(0,0)1f

x ¶=¶①

2(0,0)1f x y ¶=抖①(,)(0,0)lim (,)0x y f x y ®=①00limlim (,)0y x f x y =

正确的个数是（）

（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 【答案】（B ）

【解析】(,0)f x x =可知(0,0)

x ¶=¶，故①正确.

不论0,0xy x

?还是0y =时，都有

(,)(0,0)

lim (,)0x y f x y ®=，故①正确.

lim (,)0x f x y ®=，进而00

limlim (,)0y

f x y =，可知①正确，

当0y =时，00(,0)(,0)(,0)lim lim 1

x x x f x x f x x x x

f x x x D 瓺?+D -+D -¢===D D

当0,0y x 构时，00(,)(,)()(,)lim lim x x x f x x y f x y x x y xy

f x y y

x x D 瓺?+D -+D -¢===D D

当0,0y x

?时，00(,)(0,)(0,)lim lim

x x x f x y f y x y y

f y x x D 瓺?D -D ?¢==D D 不存在，则

(0,)(0,0)

(0,0)lim

x x xy y f y f f y

®ⅱ-ⅱ=不存在，故①错误，故正确的有3个，选（B ）

6.设函数()f x 在区间[2,2]-上可导，。。。则（）. （A ）

(2)1(1)f f ->-（B ）(0)(1)f e f >-（C ）2(1)(1)f e f >-（D ）3

(2)

(1)f e f >-

【答案】（B ）

【解析】由()()0f x f x ¢

>>可知()1()f x f x ¢>，也即()

10()

f x f x ¢->.则函数ln ()f x x -单调递增，进而有ln ()()()f x x

x F x e

e f x --==单调递增. 经检验，(0)(1)F F >-，即

(0)

(1)

f e f >-，故选（B ）.

7.设四阶矩阵()ij A a =不可逆，12a 的。。。，*A 为A 的伴随矩阵，则*

0A x =的通解为（）.

（A ）112233x k a k a k a =++ （B ）112234x k a k a k a =++ （C ）112334x k a k a k a =++ （D ）122334x k a k a k a =++ 【答案】（C ）

【解析】先求*

A 的秩()r A ，为此，需要先求()r A ，由于A 不可逆，可知()3r A £.又由于

120A ¹，则A 中存在3阶非零子式，则()3r A £，综上，有()3r A =，进而有*()1r A =.

则*0A x =的基础解中含有3个向量，而*

||0A A A E ==，可知A 的列向量均为*

A x =的解. 因此，在A 的列向量中找出3个线性无关的向量，就是*

0A x =的基础解系，又由于

120A ¹，可知134(,,)a a a 中存在3阶非零子式，则134,,a a a 线性无关. 因此134,,a a a 为

*0A x =的基础解系，*0A x =的通解可表示为112334k a k a k a ++，故选（C ）.

8.设A 为3阶矩阵，12,a a 为A 属于特征值...，3a 为A 属于特征值为-1的特征向量，则

1100010001P AP -骣÷ç÷ç÷ç÷=-ç÷ç÷ç÷÷ç桫

的可逆矩阵P 为（）. （A ）1323(,,)a a a a +-（B ）1223(,,)a a a a +-

（C ）1332(,,)a a a a +-（D ）1232(,,)a a a a +-

【答案】（D ）.

【解析】由特征向量的性质可知，122,a a a +为1的两个线性无关的特征向量，3a -为-1

的特征向量令1232(,,)P a a a a =+-，则有1100010001P AP -骣÷ç÷ç÷ç÷=-ç÷ç÷ç÷÷ç桫

，故选择（D ）. 二、填空题：9-14小题，每小题2分，共24分。请将解答写在答题纸指定位置上。

设

ln(

y t

⎧=

⎪

⎨

⎪⎩

，则

________.

d y

【答案】-

【解析】由参数方程求导公式可得：

dx t

d y t

===

骣÷

ç÷-

ç÷

===-

代入即得

d y

10.

________

dy=

蝌

【答案】21)

【解析】原式=

1112

3332

0000

122

(1)(1)1)

399

dx x x dx x

===+=+=

蝌蝌.

11.设。。。，则

(0,)

________

【答案】(1)dx dy

p--

【解析】由一阶微分形式不变性可知：

1cos()()

[sin()]

1[sin()]1[sin()]

ydx xdy x y dx dy

dz d xy x y

xy x y xy x y

+++?

=++=

++++++

，代

入可知

(0,)

0(1)()

(1)

dx dy dx dy

dz dx dy

++-+

==--.

12.斜边长为2a的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，。。。，则该平板一侧所受的水压力为________.

【答案】

3g a r .

【解析】由条件知，薄板在深度为x 处的宽度为2()a x -，则压力

2()3

g F gx a x dx a r r =

. 13.设()y y x =满足20y y y ⅱ?++=，。。。则

()________y x dx +?

=ò

【答案】1

【解析】特征方程为2

210l

l ++=，解得121l l ==-.则微分方程的通解为

12x x y C e C xe --=+，由于(0)0,(0)1y y ¢==，解得120,1C C ==，则()x y x xe -=，故

()1y x dx +?

=ò

14.行列式

011011________1101

a a a

--=--.

【答案】2

(4)a a -.

【解析1】

0110110010110020011011

001

1100

002a

a a a a a a a

a a a

a a

a a a

---=

---

1442

0010020

2001

0(1)01401

020

02a a a a

a a

a a a a

a a a

a a

+==+-=-

【解析2】令0011001111001100B 骣-÷ç÷ç÷ç÷-ç÷ç÷=ç÷ç÷-÷ç÷ç÷ç÷ç-桫

，容易验证22200220000220022B 骣-÷ç÷ç÷ç÷-ç÷ç÷=ç÷ç÷-÷ç÷ç÷ç÷ç-桫

，424B B =，则B 的特征值只能为0,2或-2. 由于()2r B =，B 为实对称矩阵，则0的重数为4()2r B -=，又由于()0tr B =，可知B 的剩余两个特征值必然是2与-2，则B 的特征值为0,0,2,-2，则原式2

(4)aE B a a =-=-.

三、解答题：15-23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本题满分10分）求。。。的斜渐近线方程.

【解析】lim 111()lim lim lim (1)1x x

x x x

x x x x f x x x e e x x x

骣÷ç-÷ç÷

ç桫-+?ギ+ギ+?骣÷ç====÷ç÷ç桫++，

1111lim [()]lim lim (1)1x x x x x x x x f x e x e x x e x x +---?ギ+ギ+?轾轾骣犏÷ç犏-=-=-÷ç犏÷ç犏桫++犏臌臌

ln (ln 1)

1111lim lim 1x x x x x x x x x e e e x e +--++?ギ+?

轾轾犏犏=-=-犏犏臌臌

易知1lim ln 1=lim ln 1-1=lim 1-0111x x x x

x x x x

?ギ+ギ+?轾骣骣骣鼢?珑?犏++=鼢?珑?鼢?珑

?犏桫桫桫+++臌，则

lim [()]lim ln 11x x x f x e x e x x x --?ギ+?骣÷ç-=+÷ç÷ç桫+，令1t x

=，则 11120ln(1)1lim ln 1lim 12

x t x t t e x x e e x t +---??®骣-+÷ç+==÷ç÷ç桫+，则斜渐近线方程为 11

y e x e --=+

. 16.(本题满分10分)已知函数()f x 连续。。。求()g x ¢

并证明()g x ¢在0x =处连续. 【解析】当0x ¹时，令xt u =，可得0

()()()x

f u du u

g x f u d x

骣÷ç==÷ç÷ç桫ò

；

当0x =时，1

(0)(0)(0)g f dt f ==ò

由于0()lim

1x f x x ®=，且()f x 连续，可知00()

(0)lim ()lim 0x x f x f f x x x ==?.

则0(),0()0,0x f u du x g x x x ìïïïï¹=íïïï=ïî

ò，由于()f x 连续，则0()()x f u du f x ¢轾=犏犏臌ò，则0x ¹时，有0

()()()x

xf x f u du

g x x

=ò

0x =时，有0

2000()()(0)()1(0)lim lim lim 022x

x x x f u du g x g f x g x x x -¢

====-ò，则02()(),0()1,02x xf x f u du x x g x x ìïï-ïï¹ïï¢=íïïï=ïïïîò而

()()()()11

lim ()lim

lim lim

1(0)22x x

xf x f u du f u du f x g x g x

x -

ⅱ==-=-

==蝌

可知()g x ¢

在0x =处连续.

17.（本题满分10分）求函数3

(,)8f x y x y xy =+-的极值.

【解析】先求一阶偏导数得到驻点：2230,240,f x y x

f y x y ì¶ïï=-=ïï¶ïí

¶ïï=-=ïï¶ïî

解得驻点有11(0,0),,

,612骣÷

ç÷ç÷ç桫

再求二阶偏导数：222226,1,48,f x x f x y f y y ìï¶ïï=ï¶ïïïï¶ï=-íï抖ïïïï¶ï=ïï¶ïî

对于(0,0)点：0,1,0,A B C ==-=由于2

0,AC B -<可知(0,0)点不是极值点

对于11,612骣÷ç÷ç÷ç桫点：1,1,4,A B C ==-=由于20AC B ->且0A >，可知11,612骣÷ç÷ç÷ç桫点为极小值点，极小值111

,612216

f 骣÷ç=-÷ç÷ç

桫. 18.（本题满分10分）()f x 的定义域为。。。，求()f x ，

并求曲线1(),,22

y f x y y ===及y 轴所围成区域绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积

【解析】令x 为

得：2112()f f x x x 骣÷ç+=÷ç÷ç桫

12()f x x f x 骣+÷ç+=÷ç÷ç桫

联立可解得：()f x =.

先求得()y f x =

的反函数x =

再由旋转体体积公式得2

V y p p =

. 19.（本题满分10

分）计算二重积分D

I s =。。。。及X 轴所围成.

【解析】先将积分式化为极坐标：原式sec cos D

rdrd r drd r q q q q =

=蝌蝌，将直线1,2x x ==化为极坐标得

sec ,2sec r r q q ==，则定限可得：

原式2sec 34

sec 03

sec sec 2d r dr d p p

q q

q q q =

=蝌?，由分部积分法可得

334

440

sec

sec tan sec tan |tan sec tan

sec sec sec ln sec tan sec ln(1sec d d d d d d d d p p p p

p p p p p p q q q q q q q q

q q q q q q q

q q q q q q

=-==

蝌?

蝌?蝌

解得

sec ln(12

d p q q =

+ò

，则原式3

ln(14

20.（本题满分11分）设。。。证明

（1）存在(1,2)x Î，使得2

()(2)f e x x x =- （2）存在(1,2)h Î，使得2(2)ln 2f e h h =?

【证明】（1）令()(2)()F x x f x =-，显然()F x 在[1,2]上连续，(1,2)内可导，且

(1)(2)0F F ==，则由罗尔中值定理可知，(1,2)x $?，使得()0F x ¢

=，即

(2)()()0f f x x x ¢-+=，其中2()f e x x ¢=，化简即得2

()(2)f e x x x =-.

（2）令()ln g x x =，显然()f x 与()g x 均在[1,2]上连续，(1,2)内可导，且(1,2)x Î时，

()0g x ¢¹，则由柯西中值定理可知，(1,2)h $?，使得

(2)(1)()

(2)(1)()f f f g g g h h ¢-=¢-，其中

1(1)(1)0,(),()f g g f e h h h h ⅱ====，代入即得2

(2)1(2)

f e

h h

，即2(2)ln 2f e h h =?. 21.（本题满分11分）设()f x 可导，()0(0)f x x ¢>?，。。。，曲线上任意一点M 的切线交

x 轴于T ，MP 垂直x 轴于P 点，且()y f x =，MP 与x 轴所围成的面积与MTP D 面积比为3:2，求曲线方程. 【答案】3

y Cx =

【解析】设曲线上任一点M 的坐标为(,())x f x ，由题知过点M 的切线方程为

()()()Y f x f x X x ¢-=-，令0Y =得T 点的坐标为(),0()f x x f x 骣÷

ç÷-ç÷÷ç¢桫，则

()||,||()()

f x TP MP f x f x ==¢，故MTP D 的面积为2()2()f x f x ¢.曲线()y f x =，直线MP 与x

轴所围成的曲边三角形的面积为

()x

f t dt ò

，由题意知，

2()3

()

2()

f t dt

f x f x =

¢ò，则有

()

4()3()

f x f t dt f x =¢ò

①，①式两边同时对x 求导得

222

2()[()]()()4()3[()]f x f x f x f x f x f x ⅱ?-=¢，化简得22

4[()]6[()]3()()f x f x f x f x ⅱⅱ=-，即23()()2[()]0f x f x f x ⅱ

?-=，令()p f x ¢=可得()dp dp dy dp

f x p dx dy dx dy

ⅱ===，则方程化为2320dp yp p dy -=，解得231p C y =，则2

1dy C y dx

=，进而解得13123y C x C =+，

由于(0)0f =，则有13

13y C x =，即3y Cx =，其中C 为大于零的常数.

22.（本题满分11分）设有二次型222123123121323(,,)222f x x x x x x ax x ax x ax x =+++++，

经可逆线性变换。。。得22212312312(,,)42g y y y y y y y y =+++. （1）求a 的值

（2）求可逆矩阵P

【解析】（1）123(,,)f x x x 的矩阵为111a a A a a a a 骣÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷÷ç桫

，123(,,)g y y y 的矩阵为110110004B 骣÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷÷ç桫，由于A B ;，故()()2r A r B ==，不难得出12a =-

. （2）分别用配方法将123(,,)

f x x x 与123(,,)

g y y y 化为标准形得 22321231233(,,)()224x x f x x x x x x 骣÷ç=--+-÷ç÷ç桫，令

321122333,),22x x z x z x x z x =--=-=，得

222212123123,(,,)()4f z z g y y y y y y =+=++，令1122332,2,z y y z y z y =+==，可得

212g z z =+，则有122212z Px z P y f z z

g ==+，令

11121111222110000201010001010P P P --骣骣÷çç--÷çç÷çç÷çç骣çç÷ççç÷ççç÷ç琪ç÷==-=ççç÷ççç÷çç÷ç÷÷ççç÷桫çç÷ç麋÷÷ç÷ç÷÷çç÷

ç÷ç桫桫

，则线性变换x Py =可以把123(,,)f x x x 变换成123(,,)g y y y .

23.（本题满分11分）设A 为2阶矩阵，=,P a Aa （），其中a 是非零向量且不是A 的特征向量.（1）证明P 为可逆矩阵

（2）若2

60A a Aa a +-=，求1P AP -并判断A 是否相似于对角矩阵.

【解析】（1）由于a 不为A 的特征向量，可知,a Aa 不成比例，即,a Aa 线性无关，也即(,)P a Aa =可逆.

（2）由于2

6A a a Aa =-，可知: 2

0606(,)(,6)(,)1111AP Aa A a Aa a Aa a Aa P 骣骣鼢珑鼢==-==珑鼢鼢珑--桫桫，则 10611P AP -骣÷ç÷=ç÷÷ç-桫，令0611B 骣÷ç÷=ç÷÷ç-桫

，可知A 相似于B ， 26

||6(3)(2)11E B l l l l l l l --==+-=+--+，则B 有两个不同的特征值2,-3，也

即A 有两个不同特征值2,-3，故A 可相似对角化.

2020年考研数学二(数学302)真题试题及答案解析

绝密☆启用前 2020年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案解析（科目代码：302）考生注意爭项 1.答題前，考生须在试題册指定位置上填?*??Λ和考生编号；在答题卡指定位豈上填写报考单位、考生?Λ4∏考生编号，并涂写考生编号信息点。 2.考生须把试.題册上的“试卷条形码”粘贴条取下，粘贴在各题卡的“试卷条形码粘贴位置”框中。不按规定粘貼条形码而影响试.卷结果的，责任由考生自负。 3.选择題的答案必须涂写在暮题卡相应題号的选项上，非选择逖的咨案必须芳写在答題纸指定位置的边框区域内。超出答題区域写的答案无效：在草稿纸、试題册上答题无效。字迹工整、笔迹清（以下信息考生必须认真填写） 5.考试结束，将答题卡和试遜册按规定交回。

8 Qarcsin 仮. π2 B.—— 一、选择题：（1?8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求，请将选项前的字母填在答题纸上）】.当Λ→0*,下列无穷小的阶数最高的是（〉 2屈5）=册壯訓第二类间断点个数为＜〉 A. 1 B. 2 C. 3 2020年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试 B. JA 卜√φ )

π D.- 8 4?函数f(x) = x2 In(I-x),当n≥3时./(^(O)= < 〉n? A. ------- n-2 n? B.—— W-2 5?对函数∕g）n -Vw y = 0 ,给出以下结论 .r = 0 汀②竺（0.0） ?x? =1：? IiIn /(χ,y)=0:④Iimlim f(x9y) =0 正确的(0 0) ∕(Λ?)>0.则 < )

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学二答案及解析

2020年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题参考答案及解析一、选择题1-8题，每小题4分，共32分。下列每题给出的4个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。 1. 当0x + ®时，下列无穷小量中最高阶的是 ( ). （A ） 2 (1)-⎰ x t e dt （B ）0 ln(1+⎰x dt （C ）sin 20 sin ⎰ x t dt （D ）1cos 0 -⎰ 【答案】（D ）【解析】2 2 3 2 0(e 1)11 lim lim ,33+ + →→--==⎰ x t x x x dt e x x 可知2301(e 1),0; 3+ -→⎰:x t dt x x 5 02 2 ln(12lim lim ,52+ +→→==⎰x x x dt x x 可知5 202ln(1,0;5+→⎰: x dt x x sin 220 32000sin sin(sin x)cosx cos 1 lim lim lim , 333+++→→→⋅===⎰x x x x t dt x x x 可知sin 2301sin ,0; 3x t dt x x + →⎰: 1cos 0 5 00lim lim lim x x x x + ++ -→→→===⎰ 可知 1cos 50 ,0,-+→⎰ : x x x 对比可知 1cos 0 -⎰ 的阶数最高，故选（D ）. 2....第二类间断点的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（C ）

【解析】()f x 可能的间断点有1,0,1,2x x x x =-===，由于1 lim ln |1|x x ? +=-?， 11 1lim 0(1)(2) x x x e e x -? ¹--，可知-1lim ()x f x ®=?，则1x =-为()f x 的第二类（无穷）间断点；11 1 lim ()lim (2)2x x x e x f x x x e -==--，又由于()f x 在0x =处无定义，可知0x =为()f x 的第一类（可去）间断点；11 1 1 ln(1) lim ,lim 0(1)(2) x x x x x e e x + + -+=+ス--，则1 lim ()x f x + ®=?，则1x =为()f x 的第二类（无穷）间断点；11 2 21ln(1) lim ,lim 021 x x x x e x x e -+=ス--，则 2 lim ()x f x ®=?，则2x =为()f x 的第二类（无穷）间断点.综上所述，()f x 的第二类间断点有3个，故选（C ）. 3. 1 =ò （）. （A ）24p （B ）28p （C ）4p （D ） 8p 【答案】（A ）【解析】1 100 2= 2 1 1 200 2(arcsin (arcsin 4 p ===ò ，故选（A ）. 4.设2 () ()ln(1),...,(0)n f x x x f =-=（）. （A ）!2n n - -（B ）!2n n -（C ）(2)!n n --（D ）(2)! n n - 【答案】（A ）. 【解析】由ln(1)x -的麦克劳林公式可知 2422 32()()()22n n n n x x x x f x x x o x x o x n n ++骣骣鼢珑鼢=----+=-++++珑鼢鼢珑桫桫L L

2022年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案

2022年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案（江南博哥） 1[单选题] A.①② B.①④ C.①③④ D.②③④ 正确答案：C 参考解析： ③④是定义正确，②举一个反例a(x)=x，b(x)=-x，②错误，①由于当x趋向于0时候，a(x)/b(x)=1，分子分母同时平方，还是等于1，所以①正确。 2[单选题] A. B.1/3 C.

D.2/3 正确答案：D 参考解析： 3[单选题]设函数f(x)在x=x0处有2阶导数,则 A. B. C. D. 正确答案：B 参考解析： A举反例，y=x3，在x=0处的倒数等于0，A错误，D选项的前提条件是f(x)在x=x0出三阶可导，C选项举反例，y=x4，x=0处倒数=0，D错误 4[单选题] A.

B. C. D. 正确答案：C 参考解析： 5[单选题] A.(-1,1) B.(-1,2) C.(-∞,1) D.(-∞,2) 正确答案：A 参考解析：

6[单选题] A. B. C. D. 正确答案：D 参考解析： 7[单选题] A.I1

8[单选题] A. B. C. D. 正确答案：B 参考解析： A选项成立，则两个矩阵的秩相等，不能推出特征值相同，C选项是充分而非必要条件。C成立，可推出A的特征值为1，-1，0，但是A的特征值为1，-1，0时候，Q不一定为正交。D是合同的关系，两者特征值正负个数相同，不能保证特征值相等，B正确。 9[单选题] A.无解 B.有解 C.有无穷多解或无解 D.有唯一解或无解正确答案：D 参考解析：

2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案

2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案 1.【单项选择题】 A. y=x+e B. y=x+1/e C. y=x D. y=x-1/e 正确答案：B 知识点：第1章>（江南博哥）第1节>第一节函数、极限、连续参考解析： 2.【单项选择题】 A. B. C. D.

正确答案：D 知识点：第1章>第3节>第三节一元函数积分学参考解析： 3.【单项选择题】 A. x n是y n的高阶无穷小 B. yn是x n的高阶无穷小 C. x n与y n是等价无穷小 D. x n与y n是同阶但不等价的无穷小正确答案：B 知识点：第1章>第1节>第一节函数、极限、连续参考解析： 4.【单项选择题】若微分方程y''+ay'+by=0的解在（-∞，+∞）上有界，则（） A. a<0，b>0

B. a<0，b>0 C. a<0，b>0 D. a<0，b>0 正确答案：C 知识点：第1章>第6节>第六节常微分方程参考解析：要使微分方程的解在（-∞，+∞）有界，则a=0，再由△=a2-4b<0，知b>0. 5.【单项选择题】 A. f(x)连续，f'(0)不存在 B. f'(0)连续，f'(x)在x=0处不连续 C. f'(x)连续，f''(0)不存在 D. f''(0)存在，f'(x)在x=0处不连续正确答案：C 知识点：第1章>第2节>第二节一元函数微分学参考解析：

6.【单项选择题】 A. B.

C. D. 正确答案：A 知识点：第1章>第3节>第三节一元函数积分学参考解析： 7.【单项选择题】设函数f(x)=(x2+a)e x，若f(x)没有极值点，但曲线y=f(x)有拐点，则a的取值范围是() A. [0，1) B. [1，+∞) C. [1，2) D. [2，+∞) 正确答案：C 知识点：第1章>第2节>第二节一元函数微分学参考解析： 8.【单项选择题】 A.

2020年全国硕士研究生招生考试数学二解析

2020年全国硕士研究生招生考试数学（二）（科目代码：301）考生注意事项 1、答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位，考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。 2、选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号和选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答案无效。 3、填（书）写必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。 4、考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。以下信息考生必须认真填写）

一.选择题(1~8小题,每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求的•) 1.当工T0+时，下列无穷小量中最高阶的是 / eftin2 八-53 处 A ： / (e 2-l)dt B ：/ 】n(l + V I ) dt c ： I Smt 2 Tt 丄丁 ' ' 11 解析:木题选D 考査的内容主要就是无穷小虽之间的比较，同时也考察了变 ° 限积分洛必达相关知识点。闯必肥呑若存在故归考试中可宜接求导比较会比较方便 A o ♦ TLX (/ (c"-l)衣)二尹一］〜云 (/ In (1 + \ / P) dt) = In(I %V ：ZJ / ff^nr \ f I / sintdt J = Sin(SinZ)2 • cos 工〜 V"Sinhd 寸二［sin(l — CoSa:)］ ' ・sinx'\; ' (% ) 故选 D / / •! 一 co 〈x 莎函数/(X)二才吾罟务的第二类间断点个数为 4:1 B:2 C:3 解析:本题选C 。考查的内容就是第••类间断点的定义与极限的运算方法分母为()的点或者无定义的点有工二Ie = -I ，工二()，工二2 ]%TZ 嗨二芒卍|舊c 着*呑在故浙一类间断点叽(斗詔-宀1 册g 在故*_i 为第二类间断点 1 • Elnl 1卄 Uliln 也土卫二-舟为可去间断点不屈丁•第二类间断点 x -^o (e r — 1) (X —2) ~2： % X 1%(滋松存在故*2为第二类间断点 3.广霁墮血二 JQ \/x(l — X ) 1 TT : 斤 2 解折:木题选爪。考察的定积分的计算令 Ww "(“) 吋？％T" z 4 •已知函数/(©) =X ： Iii(I-X),则当了心3时，严 T (0)= n! C n\ 「(n=2) ! n B ： n-2 解析:本题选4。本題考察高阶导数求法和牛顿二项式展开用法令 U = In(I — X) V = = 2x y = 2 沪二 0 (UVr=cW^ C 淤 -+GrTd t f+CT f0 / (” 一 1)血 Iim ---------- ------- X —dx = cost •

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案（江南博哥） 1[单选题]当x→0+时，下列无穷小量中是最高阶的是()． A. B. C. D. 正确答案：D 参考解析： 2[单选题] A.1 B.2 C.3 D.4 正确答案：C 参考解析：

x=0，x=2，x=1，x=-1为间断点． 3[单选题] A. B. C. D. 正确答案：A 参考解析：

令，则 4[单选题]已知函数f(x)=x2ln(1-x)，当n≥3时,f(n)(0)=()．A. B. C. D. 正确答案：A 参考解析： f(x)=x2ln(1-x)，n≥3．

5[单选题] A.4 B.3 C.2 D.1 正确答案：B 参考解析：

6[单选题]设函数f(x)在区间[-2，2]上可导，且f'(x)>f(x)>0，则 A. B. C. D. 正确答案：B

参考解析：由f'(x)>f(x)>0，x∈[-2，2]知即[lnf(x)一x]'>0．令F(x)=lnf(x)-x，则F(x)在[-2，2]上单调递增．因为-2<-1，所以F(-2)

2020年考研数学二真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2 (B)∫lnx x +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫x e x +∞2dx 【答案】D 。【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 ∫√x 2=2√x|2 +∞=+∞； ∫lnx x +∞2 dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞； ∫1xlnx +∞2 dx =∫1lnx +∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞； ∫x e x +∞2dx =−∫x +∞2de −x =−xe −x |2+∞+∫e −x +∞2dx =2e −2−e −x |2 +∞=3e −2，因此(D)是收敛的。综上所述，本题正确答案是D 。【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2 t 在(-∞,+∞)内 (A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B

【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0 (1+sin t x )x 2t =e lim t→0x 2 t (1+sin t x −1)=e x lim t→0sint t =e x (x ≠0), f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0 e x =1,所以 x =0是 f (x )的可去间断点，选B 。综上所述，本题正确答案是B 。【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0 (α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则 (A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出 f′(x )={αx α−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1x β,x >0，0,x ≤0 再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x =lim x→0+x α−1cos 1 x β={0, α>1,不存在，α≤1， f −′(0)=0 于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos 1 x β=0， lim x→0βx α−β−1sin 1x β={0, α−β−1>0, 不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。选A 综上所述，本题正确答案是C 。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限 (4)设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续，其二阶导函数f ′′(x)的图形如右图所示，

2020年考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnx x +∞2 dx (C)∫1xlnx +∞ 2 dx (D) ∫x e x +∞2 dx 【答案】D 。【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 ∫√x +∞2 dx =2√x|2 +∞ =+∞； ∫lnx x +∞2dx = ∫lnx +∞ 2d(lnx)=1 2(lnx)2| 2 +∞=+∞； ∫1xlnx +∞ 2 dx =∫1 lnx +∞2d(lnx)=ln (lnx)|2 +∞=+∞； ∫x e +∞2dx = −∫x +∞2 de −x = −xe −x |2 +∞ + ∫e −x +∞2 dx =2e −2−e −x |2 +∞=3e −2 ，因此(D)是收敛的。综上所述，本题正确答案是D 。【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0 (1+ sin t x )x 2 t 在(-∞,+∞)内 (A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B 【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0 (1+ sin t x )x 2t

=e lim t→0x 2t (1+sin t x −1) =e x lim t→0sint t =e x (x ≠0), f (x )在x =0处无定义，且lim x→0 f (x )=lim x→0 e x =1,所以 x =0是 f (x )的可去间断点，选B 。综上所述，本题正确答案是B 。【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1 x β,x >0， 0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则 (A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出 f′(x )={αx α−1cos 1 x +βx α−β−1sin 1 x ,x >0， 0,x ≤0 再有 f +′(0)=lim x→0 + f (x )−f (0) x =lim x→0 + x α−1 cos 1x = {0, α>1, 不存在，α≤1， f −′(0)=0 于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0 x α−1cos 1x β =0， lim x→0 βx α−β−1 sin 1x β ={0, α−β−1>0, 不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。选A 综上所述，本题正确答案是C 。

2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】

2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 1．1ln 1y x e x ⎛⎫ =+ ⎪-⎝⎭ 曲线的渐近线方程为（）。 A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝x D ．y ＝x －1/e 〖答案〗B 〖解析〗1ln 11lim lim lim ln 1,1x x x x e y x k e x x x →∞→∞→∞⎛ ⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭===+= ⎪-⎝ ⎭ ()()()11lim lim ln lim ln 11111 lim ln 1lim 11x x x x x b y kx x e x x e x x x x e x e x e →∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛ ⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝ ⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+==⎢⎥--⎣⎦ 所以斜渐近线方程为y ＝x ＋1/e ． 2．函数( )()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩ 的原函数为（）。 A ．( )) ()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪ =⎨⎪+->⎩ B ．( )) ()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪ =⎨⎪+->⎩ C ．( )) ()ln ,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪ =⎨⎪++>⎩ D ．( )) ()ln 1,01sin cos ,0 x x F x x x x x ⎧+≤⎪ =⎨⎪++>⎩

2020年年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题含答案

sin 3 t ⎰ ⎰ ⎰ x t 2 ⎰ ⎰ ( ) → → → 2020 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选选项前的字母填在答题纸指定的位置上. （1）当 x → 0+ 下列无穷小的阶数最高的是（）. （A ） x (e t 2 -1) dt （C ） sin x sin t 2 dt 【答案】（D ）（B ） ⎰ x ln (1+ 1-cos x （D ） t 3 )dt dt 解析： (A) ( ⎰0 (e x 2 -1)dt )' = e x -1 x 2 (x → 0+ ) 3 (B) ( ⎰ ln(1 + t 3 dt )' = ln(1 + x 3 ) x 2( x → 0 +) (C) ( sin x sin t 2dt )' = sin(sin 2 x ) cos x x 2 (x → 0+ ) 0 1-cos x (D) . ( sin 3 tdt )' = sin 3 (1- cos x ) sin x cx 4 (x → 0+ ) 1 （2）函数 f ( x ) = 的第二类间断点个数为（）. （A ）1 (B)2 (C)3 (D)4 【答案】（C ）解析：间断点为 x = -1, 0,1, 2 lim f x = ∞ 为无穷间断点， x →-1 lim f ( x ) = - 1 x 0 2e 为可去间断点 lim f ( x ) = ∞ 为无穷间断点， x 1 lim f ( x ) = ∞ 为无穷间断点， x 2 1 arcsin （3） x = （） x (1- x ) π 2 (A) 4 π 2 (B) 8 π (C) 4 π (D) 8 e x -1 ln 1 + x (e x -1)( x - 2) ⎰

2023年考研数学二真题及其答案解析

2023年全国硕士研究生招生考试数学二试题及其答案解析一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1. 1 ln(e )1 y x x =+- 的斜渐近线为( ) A.e y x =+ B.1e y x =+ C.y x = D.1e y x =- 【答案】B. 【解析】由已知1ln e 1y x x ⎛⎫ =+ ⎪-⎝⎭ ，则 1lim lim ln e ln e 11x x y x x →∞ →∞⎛⎫=+== ⎪-⎝⎭ ， 11lim lim ln e lim ln e 111x x x y x x x x x x →∞→∞ →∞⎡⎤⎡⎤⎛ ⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 1lim ln e ln e 1x x x →∞⎡⎤ ⎛⎫=+- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 1lim ln 1e(1)x x x →∞ ⎡⎤ =+⎢⎥-⎣⎦ 1 lim e(1)e x x x →∞==-，所以斜渐近线为1 e y x =+ .故选B. 2. 函数0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩ 的一个原函数为（）. A ．) ln ,0()(1)cos sin ,0 x x F x x x x x ⎧≤⎪ =⎨⎪+->⎩

B ．) ln 1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪ =⎨⎪+->⎩ C ．) ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪ =⎨⎪++>⎩ D ．) ln 1,0()(1)sin cos ,0 x x F x x x x x ⎧+≤⎪ =⎨⎪++>⎩ 【答案】D. 【解析】由已知0 lim ()lim ()(0)1x x f x f x f +- →→===，即()f x 连续. 所以()F x 在0x =处连续且可导，排除A ，C. 又0x >时，[(1)cos sin ]cos (1)sin cos (1)sin x x x x x x x x x '+-=-+-=-+，排除B. 故选D. 3.设数列{},{}n n x y 满足111111 ,sin ,22 n n n n x y x x y y ++====,当n →∞时( ). A.n x 是n y 的高阶无穷小 B.n y 是n x 的高阶无穷小 C.n x 是n y 的等价无穷小 D.n x 是n y 的同阶但非等价无穷小【答案】B. 【解析】在0, 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 中，2sin x x π>，从而12sin n n n x x x π+=>.又112n n y y +=，从而 111 11 22444n n n n n n n n y y y y x x x x ππππ ++⎛⎫⎛⎫<=<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以1 1 lim 0n n n y x +→∞ +=.故选B. 4. 若0y ay by '''++=的通解在(,)-∞+∞上有界，这（）. A.0,0a b <> B.0,0a b >> C.0,0a b =< D.0,0a b =>

2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学二》真题及详解

2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学二》真题及详解一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 1．曲线1ln 1y x e x ⎛⎫ =+ ⎪-⎝⎭ 的渐近线方程为（）。 A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝x D ．y ＝x －1/e 【参考答案】B 【参考解析】由已知1ln 1y x e x ⎛⎫ =+ ⎪-⎝⎭ ，则可得： 1ln 11lim lim lim ln 11x x x x e y x k e x x x →∞→∞→∞⎛ ⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭===+= ⎪-⎝ ⎭ ()()()11lim lim ln lim ln 11111 lim ln 1lim 11x x x x x b y kx x e x x e x x x x e x e x e →∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛ ⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝ ⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+==⎢⎥--⎣⎦ 所以斜渐近线方程为y ＝x ＋1/e 。 2．函数( )()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩ 的原函数为（）。 A ．( )) ()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪ =⎨⎪+->⎩ B ．( )) ()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪ =⎨⎪+->⎩ C ．( )) ()ln ,01sin cos ,0 x x F x x x x x ⎧≤⎪ =⎨⎪++>⎩

D ．( )) ()ln 1,01sin cos ,0 x x F x x x x x ⎧+≤⎪ =⎨⎪++>⎩ 【参考答案】D 【参考解析】当x ≤0时，可得： ( )(1d ln f x x x C ==++⎰ 当x ＞0时，可得： ()()()()()2 d 1cos d 1dsin 1sin sin d 1sin cos f x x x x x x x x x x x x x x C =+=+=+-=+++⎰⎰⎰⎰ 在x ＝0处，有： (110 lim ln x x C C - →+=，()22 lim 1sin cos 1x x x x C C +→+++=+ 由于原函数在（－∞，＋∞）内连续，所以C 1＝1＋C 2，令C 2＝C ，则C 1＝1＋C ，故 ( )) ()ln 1,0d 1sin cos ,0 x C x f x x x x x C x ⎧+++≤⎪ =⎨⎪+++>⎩⎰ 令C ＝0，则f （x ）的一个原函数为( )) ()ln 1,01sin cos ,0 x x F x x x x x ⎧+≤⎪ =⎨⎪++>⎩。 3．设数列{x n }，{y n }满足x 1＝y 1＝1/2，x n ＋1＝sinx n ，y n ＋1＝y n 2，当n →∞时（）。 A ．x n 是y n 的高阶无穷小 B ．y n 是x n 的高阶无穷小 C ．x n 是y n 的等价无穷小 D ．x n 是y n 的同阶但非等价无穷小【参考答案】B 【参考解析】由题意可知，{x n }，{y n }为单调递减且有界的数列，0≤x n ≤1/2，0≤y n ≤1/2。在（0，π/2）中，2x/π＜sinx ，故x n ＋1＝sinx n ＞2x n /π。且2 1111 2n n n n n y y y y y y ++=⇒ =≤=，所以112 n n y y +≤。故1 11 11 2lim 02444n n n n n n n n n n n y y y y y x x x x x ππππ +→∞+⎛⎫⎛⎫ <=≤≤=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】

2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学二》真题及答案详解

2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学二》真题及答案详解一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 1．曲线1ln 1y x e x ⎛ ⎫ =+ ⎪-⎝⎭ 的渐近线方程为（）。 A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝x D ．y ＝x －1/e 〖参考答案〗：B 〖参考解析〗由已知1ln 1y x e x ⎛⎫ =+ ⎪-⎝⎭ ，则可得： 1ln 11lim lim lim ln 11x x x x e y x k e x x x →∞→∞→∞⎛ ⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭===+= ⎪-⎝ ⎭ ()()()11lim lim ln lim ln 11111 lim ln 1lim 11x x x x x b y kx x e x x e x x x x e x e x e →∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛ ⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝ ⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+==⎢⎥--⎣⎦ 所以斜渐近线方程为y ＝x ＋1/e 。 2．函数( )()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩ 的原函数为（）。 A ．( )) ()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪ =⎨⎪+->⎩ B ．( )) ()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪ =⎨⎪+->⎩ C ．( )) ()ln ,01sin cos ,0 x x F x x x x x ⎧≤⎪ =⎨⎪++>⎩

2022考研数二真题及解析9

2022年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：110小题，每题4分，共40分，以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 当0x + → 等价的无穷小量是( ) A .1- B 1C .1D - (2) 函数11()tan ()() x x e e x f x x e e += -在[],ππ-上的第一类间断点是x =( ) .A 0 .B 1 .C 2π- .D 2 π (3) 如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[][]2,0,0,2-上的图形分别是直径为2的上、下半圆周.设0 ()(),x F x f t dt =⎰ 那么以下结论正确的选项是( ) .A (3)F 3(2)4 F =-- .B (3)F 5 (2)4F = .C (3)F - 3(2)4F = .D (3)F -5 (2)4 F =-- (4) 设函数()f x 在0x =连续，那么以下命题错误的选项是( ) .A 假设0 ()lim x f x x →存在，那么(0)0f = .B 假设0()() lim x f x f x x →+-存在，那么 (0)0f =

.C 假设0 ()lim x f x x →存在，那么(0)f '存在 .D 假设0()() lim x f x f x x →--存在，那么 (0)f '存在 (5) 曲线1 ln(1)x y e x = ++渐近线的条数为( ) .A 0 .B 1 .C 2 .D 3 (6) 设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()(1,2,)n u f n n ==，那么以下结论正确的选项是( ) .A 假设12u u >，那么{}n u 必收敛 .B 假设12u u >，那么{}n u 必发散 .C 假设12u u <，那么{}n u 必收敛 .D 假设12u u <，那么{}n u 必发散 (7) 二元函数(,)f x y 在点(0,0)处可微的一个充分条件是( ) .A [](,)(0,0) lim (,)(0,0)0x y f x y f →-= .B []0 (,0)(0,0)lim 0x f x f x →-=且[]0 (0,)(0,0)lim 0y f y f y →-= .C (,)(,)(0,0)lim 0x y f x y f →-= .D []0 lim (,0)(0,0)0x x x f x f →''-=且 0lim (0,)(0,0)0y y y f y f →''⎡⎤-=⎣⎦ (8) 设函数(,)f x y 连续，那么二次积分 1 sin 2 (,)x dx f x y dy ππ⎰⎰ 等于( ) .A 1 arcsin (,)y dy f x y dx π π+⎰ ⎰ .B 1 0arcsin (,)y dy f x y dx π π-⎰⎰ .C 1arcsin 0 2 (,)y dy f x y dx ππ +⎰⎰ .D 1arcsin 0 2 (,)y dy f x y dx ππ -⎰⎰ (9) 设向量组123,,ααα线性无关，那么以下向量组线性相关的是 ( ) .A 12αα-2331,,αααα-- .B 21αα+2331,,αααα++ .C 1223312,2,2αααααα--- .D 1223312,2,2αααααα+++