习 题
[8-1] 14 号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知
l 0.8m ， F 1 2.5kN ，
F 2 1.0kN ，试求危险截面上的最大正应力。
解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因
钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力：
l
M z M y F
1
2
F 1l
F 2l
max
W y
W z
W y
W z
式中， W z ， W y 由 14 号工字钢，查型钢表得到 W z 102cm 3 ， W y 16.1cm 3 。 故
3 2.5 103N 0.8m 1.0 10 3 N 0.8m
79.1 10 6
Pa
MPa
max
6 m 3
16.1 10 6 m 3
79.1
2 102 10
[8-2]
矩形截面木檩条的跨度
l
4m ，荷载及截面尺寸如图所示，木材为杉木，
弯曲许用正应力
[
]
12MPa
， E
9GPa ，许可挠度 [ w]
l / 200 。试校核檩条的
强度和刚度。
0.11m 0.16m
1.6kN / m
z
A
C
B
l
26034' y
习题8
2图
解：（ 1）受力分析
q y q cos
1.6 cos260 34' 1.431( kN / )
m q z q sin
1.6 sin 26034 ' 0.716( kN / m)
(2) 内力分析
M
y ,max
1 q z l 2
1 0.716 4
2 1.432(kN m)
8 8 M
z,max
1
q y l 2
1 1.43
2 42 2.864(kN m)
8
8
（ 3）应力分析
最大的拉应力出现在跨中截面的右上角点， 最大压应力出现在左下角点。
M y, max
M z,max
max
W y
W z
式中， W y
hb 2 160 1102
322667 mm 3
6 6
W z
bh 2 110 160 2 469333mm 3
6
6
1.432 10 6 N mm
2.864 10 6 N mm
10.54MPa
max
469333mm 3
322667 mm 3
（ 4）强度分析
因为
max 10.54MPa ，[ ] 12MPa ，即
max
[ ] ，所以杉木的强度足够。
（ 5）变形分析
最大挠度出现在跨中，查表得：
5q y l 4 5q z l 4 w
cy
， w cz
384EI z
384EI y
式中， I y hb 3160 110 317746667 (mm4 )
1212
I z bh 3110160337546667 mm4
1212
w
cy
5q y l 451.431N / mm40004 mm4
14.12mm 384EI z3849103 N / mm237546667mm4
w
cz
5q z l 450.716N / mm40004 mm4
14.94.mm 384EI y3849103 N / mm217746667mm4
w c w cy2w cz214.12 214.94220.56(mm)（6）刚度分析
因为 w max w c20.56(mm) ，[ w]l4000
，即 w max[ w] ，200
20(mm)
200
所以，从理论上讲，变形过大，不符合刚度要求。
但是，因为w max[ w]20.5620 2.8%5% ，所以从工程的角度来说，
[w]20
误差在允许的范围，所以可以认为刚度符合要求，不需重新设计杉木的截
面尺寸。
[8-5]砖砌烟囱高 h30m，底截面m m的外径d13m ，内径 d22m ，自重P12000kN ，受 q1kN / m 的风力作用。试求：
（1）烟囱底截面上的最大压应力；
（2）若烟囱的基础埋深h0 4m ，基础及填土自重按 P11000kN 计算，土壤的许用压应力 [ ] 0.3MPa，圆形基础的直径 D 应为多大？
注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。
解：烟囱底截面上的最大压应力：
==
土壤上的最大压应力：
即
即
解得：m
[8-6]一弓形夹紧器如图所示。弓形架的长度l1150mm ，偏心距e60mm，截面为矩形 b h 10mm 20mm，弹性模量E1200GPa。螺杆的长度l2100mm，直径 d 2 8mm ，弹性模量 E2 220GPa 。工件的长度 l 3 40mm ，直径 d310 mm，弹性模量 E3180GPa 。当螺杆与工件接触后，再将螺杆旋进1.0mm以村紧工件。
试求弓形架内的最大正应力，以及弓形架两端A、 B 间的相对位移AB 。
弓形架
A y
l2螺杆
b
z
l1
工件h
l3
B
e
习题8 6图
弓形架
F A
F
l 3l1 l 2工件
螺杆
F
B
F
e
受力分析图
解：（ 1）求弓形架内的最大正应力
这是一次超静定问题。变形协调方程为：
AB23
......(a)
物理方程为l 2 F l 2l3F l 3；
E2 A2E3 A3
AB
Fe3
2
Fl1( Fe)l1
e 。......(b) 3E1 I y E1 A1E1 I y
其中AB 可用叠加法求解。其求解过程如图所示。
Fe 3 F
弓形架
3E 1I y
弓形架
弓形架
A
A
Fe A
A
弓形架
D
F
F
Fl 1 D
l 1
E 1 A 1
l 1
F
F
C
B
B
B
B
C
Fe
e
e
e
e
Fe 3
F
(Fe)l 1 e
3E 1I y
E 1I y
在弯矩作用下 A 、 B 两点的相对位移，可由简支梁 CD （支座反力为 0）查表求得：
AB,M C C
e
D
e
Fe l
1 e Fe l 1 e Fel 1 3 （ ）
3E 1I y 6E 1 I y 2E 1 I y
AB,M D
D
e
D
e
Fe l
1
e
Fe l 1 e Fel 1 3 （ ）
3E 1 I y
6E 1 I y 2E 1I y
AB,M
AB,M C AB,M D
Fl 1 e Fl 1 e Fl 1 e （ ）
2EI y 2EI y
EI y
(b)代入 (a)得：
Fe 3 2
Fl 1 ( Fe)l 1 e Fl 2
Fl 3
3E 1 I y E 1 A 1 E 1 I y
E 3 A 3
E 2 A 2
2e 3
l 1
e 2 l 1
l 2
l 3
) F
(
E 1 A 1 E 1 I y
E 2 A 2
3E 1 I y E 3 A 3
( 2e 3
l 1
e 2
l 1 E 1l 2
E 1l
3 ) FE 1 3I y
A 1
I y E 2 A 2 E 3 A 3
( 2e 3
l 1 3e 2
l 1
E 1l 2 E 1l
3 )F E 1
3I y
A 1 3I y
E 2 A 2 E 3 A 3
( l
1
2e 3 3e 2l 1
E 1l 2
E 1l
3
)FE 1
A 1
3I y
E 2 A 2
E 3 A 3
[ l
1
e 2 (2e 3l 1 ) E 1 l 2
E 1 l 3 ]F
E 1
A 1
3I y
E 2 A 2 E 3 A 3
F
E 1
e 2 (2e 3l 1 ) E 1
l 2
E 1
l 3
l 1 A 1
3I y E 2 A 2 E 3 A 3
式中， I y
1 bh 3 1 10 203
2
104 (mm 4 )
12
12
3
F
200 103 N / mm 2 1mm
60 2 mm 2 (2 60
3 150)mm 200
100mm
200
40mm
150mm
200mm 2
3 2 10
4 mm 4
220 3.14 42 mm 2
180 3.14 52 mm 2
3
1894N
弓形架内的最大正应力是拉应力，出现在横截面的左边缘。
t ,max
F
M y A W y
F
6Fe
F 6e
t ,max
bh bh 2
(1
) bh
h
1894N
(1 6 60mm ) 10 20mm 2 20mm
179.93MPa
180MPa
AB
Fe 3 2 Fl 1 ( Fe)l
1
e
3E 1 I y E 1 A 1 E 1 I y
AB
2Fe 3
Fl 1
3Fe 2l 1
3E 1 I y E 1 A 1
3E 1 I y
AB
2Fe 3
3Fe 2 l 1
Fl 1
3E 1I y
E 1 A 1
AB
Fe 2 (2e 3l 1 )
Fl 1
3E 1I y
E 1 A 1
AB 1894 N 602 mm 2 (2
60 3 150)mm 1894N 150mm
3
2
2
4
4 200 103 N / mm
2
200mm
2
3 200 10 N / mm 10 mm
3
0.9787mm
0.98mm
[8-14]
一手摇绞车如图所示。已知轴的直径 d 25mm ，材料为 Q235钢，其许
用应力 [ ] 80MPa 。试用第四强度理论求绞车的最大起吊重量
P 。
z
F Az
P
F Bz
0.5F
0.15P
O
x
D
A
C
B
F
F Ay
F By
y
0.15P
D
A
C B
T 图
M y
0.15P
D
A
C
B
0.06P
0.12P
M z
解：轴是弯扭组合变形构件。 把外力向轴平移后得如图所示的受力图。 支座反力
F Az F Bz 0.5P
0.5F 0.15P
F 0.3P
在 xoy 平面内，M B0
F 1 F Ay0.60
0.3P F Ay0.60
F Ay0.5P
F y0
F F By F Ay0
F By F Ay F 0.5P 0.3F 0.2P
轴的扭矩图与弯矩图如图所示。从内力图可知，C截面是危险截面。由第四强度理论可得：
22
222
23 2M0.75T
(M y M z )0.75T
[ ]
r 4
d3 / 32
W
(0.15P) 2(0.06P) 20.75(0.15P)280106
3.14 0.0253 / 32
(0.15P) 2(0.06P) 20.75(0.15P)280106
3.14 0.0253 / 32
0.2073 P
680 106
1.533210
P 591.684( N ) 0.59(kN )
[8-17]边长a5mm 的正方形截面的弹簧垫圈，外圈的直径 D60mm。在开口
处承受一对铅垂力 F 作用，如图所示。垫圈材料的许用应力[]300MPa ，试按第三强度理论，计算垫圈的许可荷载。
a 5mm
5
5
C
D 60mm
D B
R
F
?
z
A F
解：垫圈任一横截面上的内力有：
T
M PR sin ( 下侧受力 )
T PR(1 cos )
d1D d11
( 60 50) 27.5( )
R
22)(D d)mm
2244
当1800时，M0， T2PR
0，
max T
。hb2
由 h / b 5 / 5 1 查表得：0.208。于是
2 27.5 10 3
max0.20855109P1(下边缘中点处的切应力)
r 32
4 20 4 (5
5 P1
53106)2[ ]
0.208
z 5
y
5
2
55P 1 106 300 106
0.208 125
11P 1
300
0.104 25
300 0.104 25
P 1
11
70.91( N )
当
900 时， M
PR ， T PR
M
6M 6 27.5 10 3 6
( 下边缘的正应力 )
W z
bh 2
5 5 2 10
9
P
2
1.32 10 P 2
27.5 10 3
9 P 2 1.058 10 6
P 2 ( 下边缘中点处的切应力 )
max
55
10
0.208
r 3
2
4 2 (1.32 106 P 2 ) 2 4 (1.058 106 P 2 ) 2 [ ]
(1.32 106 P 2 ) 2 4 (1.058 106 P 2 )2 300 106
1.692 106 P 2 300 106 1.692 106 P 2 300 106
P 2 177.3( N )
从上以计算可知，垫圈的许可荷载由
1800 截面的内力条件决定，
[ P] 70.91( N )
[8-18]
直径 d 20mm 的折杆，A 、D 两端固定支承， 并使折杆 ABCD 保持水平（B 、
C 为直角），在 BC 中点 E 处承受铅垂荷载 F ，如图所示。若 l 150mm ，材料的
许用应力 [ ] 160MPa ，弹性模量 E
200GPa ，切变模量 G 80GPa ，试按第
三强度理论确定结构的许可荷载。
D
A
l
A
F
F
M B F B
C
M C
BC
B M B
E
E
l
l
F B
B
F C
习题 8
18 图
解：（ 1）受力分析
以 AB 和 BC 为研究对象，它们的受力图如图所示。 由结构与荷载的对称性可知：
F B F C
F
；M B
M C
。
2
B 截面的变形协调条件为：
由 BC 杆计算得出的 B 截面的转角，等于由 AB 杆计算得出的 B 截面扭转角。
B,BC
(F )B,BC (M B )
B,BC
(M C )
B,AB
(M B )
2
M B 2l M C 2l M B l
F （ 2l ） 16EI 3EI 6EI
GI P
圆形截面： I P
2I G 80 ， G
0.4E 代入上式得：
，
0.4
E
200
4Fl 2 2M B l 2M C l M B l 16 EI 3EI 6EI 0.4E 2I
Fl 2M B
2M B M B 4
3 6 0.8
Fl 4M B 2M B
5M B
4
6
6
4
Fl9M B
44
Fl
M B
9
Fl
M C
9
(2)计算许可荷载
危险截面在 A（或 D）截面。其内力分量为：
M F B l
Fl
（上侧受拉）2
Fl
T M B
9
对于弯扭组合变形圆杆，由第三强度理论，可得强度条件：
r 324 2(M )24(
T
)2
W z W P
I z d 42d3I P d 42d3
圆形截面的 W z
64d ； W P
d / 234d
。
d / 23216即： W z2W P，于是：
M T2M2T2( Fl )2( Fl )2
)2)29
[ ]
r 3(4(
W z d 3 W z2W z
32
( Fl )2( Fl )2
29
d 3
[ ]
32
0.512Fl
d 3 [ ]
32
F
d 3 32l [ ] 3.14 203 mm 3
160 N / mm 2 1635.417(N ) 1.64kN
0.512 0.512 32 150mm
[ F ] 1.64kN
[8-25]
一托架如图所示。已知外力 F 35kN ，铆钉的直径 d 20mm ，铆钉与
钢板为搭接。试求最危险的铆钉剪切面上切应力的数值及方向。
225
F
225
F
Sx1
75
F
75
r 1
4
F
Sx2
75
75
r 2
75
75
习题 8 25图
解：（ 1）在 F 力作用下，因为每个铆钉直径相等，故每个铆钉上所受的力
（2）在
力偶作用下，四个铆钉上所受的力应组成力偶与
之平衡。
（1）
（2）
联解式（ 1）、（ 2）得
F S max F Sx21F Sy2131.528.75 232.7( kN)
tan
F
sx31.5
F
sy
3.6
8.75
arctan 3.674.4760（m ax与y轴正向的夹角）
[8-26]跨长 l 11.5m 的临时桥的主梁，由两根50b 号工字钢相叠铆接而成（图b）。梁受均布载荷 q 作用，能够在许用正应力[] 165MPa 下工作。已知铆钉直径 d23mm，许用切应力[ ] 95 MPa，试按剪切强度条件计算铆钉间的最大间距 s。
解：（ 1）由正应力强度条件计算q
M max ql2 max
W z [ ]
8W z
8W z [ ]
q
2
l
查型钢表， 50b 号工字钢的I z48560cm4，h50cm，A129cm 2，b160mm
I z C(48560 252129) 2258370(cm4 )
W z
I
z C2583703
) y
max
5167.4(cm
50
8W z[ ]8 5167.4 103 165
q
211500 2
51.576( N / mm) 51.576kN / m
l
[q] 51.576kN / m
（2）按剪切强度条件计算铆钉间的最大间距s 在支座侧，横截面的中性轴处切应力最大。
QS*z max
max
I z C b
ql51.576 11.5
296.562(kN )
式中， Q
2
2
S z*max 129 253225(cm 3 )
296562 N3225000 mm2
max25837010 4160mm4 2.314MPa 根据剪应力互等定理，作用在水平面上的、由铆钉承受的切应力等于横截面上中性轴处的切应力。在s 长度上的剪力由 2 个铆钉承担，则有
s
s
max
sb
铆[ ]
2A铆
2A铆[ ]21 3.1423295
4213( ) 160 2.314mm
b max
s max213(mm)
[ 习题8-29]矩形截面木拉杆的榫头如图所示。已知轴向拉力 F 50kN ，截面宽度 b250mm，木材的顺纹许用挤压应力[bs ]10MPa，顺纹许用切应力[ ]1MPa。试求接头处所需的尺寸l 和a。
解：剪切面的面积为：A s bl ，挤压面积为：A b ab 。
若上块的榫头发生剪切破坏，则剪力等到于左边的F。抗剪强度条件为：
剪切面挤压面
b
F b b
a l a
l l
Q F
[ ]
A bl
bl F50000 N50000mm2。
[]1N / mm2
250mm l 50000mm2
l 200mm
[l ] 200mm
挤压强度条件为：
F b F
bs[ bs ]
A b ab
ab F50000 N5000mm2
[bs ]
10N / mm2
a 250mm5000mm2 a 20mm
[a] 20
8-1 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m，，，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端 = = 返回 8-2 受集度为的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向 对称面间的夹角为，如图所示。已知该梁材料的弹性模量； 梁的尺寸为m，mm，mm；许用应力；许可挠度 。试校核梁的强度和刚度。 解： = ，强度安全
， = =刚度安全。 返回 8-3(8-5)图示一悬臂滑车架，杆AB为18号工字钢，其长度为m。试求 当荷载作用在AB的中点D处时，杆内的最大正应力。设工字钢的自重可略去不计。 解：18号工字钢，，AB杆系弯压组合变形。 ，， == ==
返回 8-4(8-6)砖砌烟囱高m，底截面m-m的外径m，内径m，自 重kN，受的风力作用。试求： （1）烟囱底截面上的最大压应力； （2）若烟囱的基础埋深m，基础及填土自重按计算，土壤的 许用压应力，圆形基础的直径D应为多大？ 注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。 解：烟囱底截面上的最大压应力： == 土壤上的最大压应力：
即 即 解得：m 返回 8-5(8-8)试求图示杆内的最大正应力。力F与杆的轴线平行。 解：，z为形心主轴。 固定端为危险截面，其中： 轴力，弯矩， = A点拉应力最大 == B点压应力最大
== 因此 返回 8-6(8-9) 有一座高为1.2m、厚为0.3m的混凝土墙，浇筑于牢固的基础上，用作挡水用的小坝。试求： （1）当水位达到墙顶时墙底处的最大拉应力和最大压应力（设混凝土的密 度为）； （2）如果要求混凝土中没有拉应力，试问最大许可水深h为多大？ 解：以单位宽度的水坝计算： 水压： 混凝土对墙底的压力为： 墙坝的弯曲截面系数： 墙坝的截面面积： 墙底处的最大拉应力为：
第八章组合变形构件的强度习题 一、填空题 1、两种或两种以上基本变形同时发生在一个杆上的变形,称为（）变形。 二、计算题 1、如图所示的手摇绞车，最大起重量Q=788N，卷筒直径D=36cm,两轴承间的距离l=80cm,轴的许用应力[]σ=80Mpa。试按第三强度理论设计轴的直径d。 2、图示手摇铰车的最大起重量P=1kN，材料为Q235钢，[σ]=80 MPa。试按第三强度理论选择铰车的轴的直径。 3、图示传动轴AB由电动机带动，轴长L=1.2m,在跨中安装一胶带轮，重G=5kN,半径R=0.6m,胶带紧边张力F1=6kN,松边张力F2=3kN。轴直径d=0.1m，材料许用应力[σ]=50MPa。试按第三强度理论校核轴的强度。 4、如图所示，轴上安装有两个轮子，两轮上分别作用有F=3kN及重物Q，该轴处于
平衡状态。若[σ]=80MPa。试按第四强度理论选定轴的直径d。 5、图示钢质拐轴，AB轴的长度l AB=150mm, BC轴长度l BC=140mm，承受集中载荷F 的作用，许用应力[σ]=160Mpa，若AB轴的抗弯截面系数W z=3000mm3，。试利用第三强度理论，按AB轴的强度条件确定此结构的许可载荷F。(注：写出解题过程) 6、如图所示，由电动机带动的轴上，装有一直径D=1m的皮带轮，皮带紧边张力为2F=5KN，松边张力为F=2.5KN，轮重F P=2KN，已知材料的许用应力[σ]=80Mpa，试按第三强度理论设计轴的直径d。 7、如图所示，有一圆杆AB长为l，横截面直径为d，杆的一端固定，一端自由，在自由端B处固结一圆轮，轮的半径为R，并于轮缘处作用一集中的切向力P。试按第三强度理论建立该圆杆的强度条件。圆杆材料的许用应力为[σ]。
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列 组合重点知识 高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识 高中数学排列组合公式大全 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2) (n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).
排列(Pnm(n为下标，m为上标)) Pnm=n (n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标，m为上标)) Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m 高中数学排列组合公式记忆口诀 加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。 两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。 排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。 不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。 关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。 高中数学排列组合重点知识 1.计数原理知识点 ①乘法原理：N=n1 n2 n3 nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+ +nM (分类) 2. 排列(有序)与组合(无序) Anm=n(n-1)(n-2)(n-3) (n-m+1)=n!/(n-m)! Ann =n! Cnm = n!/(n-m)!m!
习 题 [8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m l 8.0=，kN F 5.21=，kN F 0.12=，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因 钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力： 式中，z W ，y W 由14号工字钢，查型钢表得到3102cm W z =，31.16cm W y =。故 [8-2] 矩形截面木檩条的跨度m l 4=，荷载及截面尺寸如图所示，木材为杉木，弯曲许用正应力MPa 12][=σ，GPa E 9=，许可挠度200/][l w =。试校核檩条的强度和刚度。 解：（1）受力分析 (2)内力分析 （3）应力分析 最大的拉应力出现在跨中截面的右上角点，最大压应力出现在左下角点。 式中，32 23226676 1101606mm hb W y ≈?== （4）强度分析 因为MPa 54.10max =+σ，MPa 12][=σ， 即][max σσ<+，所以杉木的强度足够。 （5）变形分析 最大挠度出现在跨中，查表得： z y cy EI l q w 38454 =，y z cz EI l q w 38454 = 式中，)(17746667121101601243 3mm hb I y ≈?== （6）刚度分析
因为)(56.20max mm w w c ==，)(202004000200][mm l w ===，即][max w w >， 所以，从理论上讲，变形过大，不符合刚度要求。 但是，因为%5%8.220 2056.20][][max <=-=-w w w ，所以从工程的角度来说，误差在允许的范围，所以可以认为刚度符合要求，不需重新设计杉木的截面尺寸。 [8-5] 砖砌烟囱高m h 30=，底截面m m -的外径m d 31=，内径m d 22=，自重kN P 20001=，受m kN q /1=的风力作用。试求： （1）烟囱底截面上的最大压应力； （2）若烟囱的基础埋深m h 40=，基础及填土自重按kN P 10001=计算，土壤的许用压应力MPa 3.0][=σ，圆形基础的直径D 应为多大？ 注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。 解：烟囱底截面上的最大压应力： = = 土壤上的最大压应力 ： 即 即 解得： m
组合变形练习题 一、选择 1、应用叠加原理的前提条件是：。 A：线弹性构件； B：小变形杆件； C：线弹性、小变形杆件； D：线弹性、小变形、直杆； 2、平板上边切h/5，在下边对应切去h/5，平板的强度。 A：降低一半； B：降低不到一半； C：不变； D：提高了； 3、AB杆的A处靠在光滑的墙上，B端铰支，在自重作用下发生变形， AB杆发生变形。 A：平面弯曲 B：斜弯； C：拉弯组合； D：压弯组合； 4、简支梁受力如图：梁上。 A：AC段发生弯曲变形、CB段发生拉弯组合变 形 B：AC段发生压弯组合变形、CB段发生弯曲变形 C：两段只发生弯曲变 形 D：AC段发生压弯组合、CB段发生拉弯组合变形 5、图示中铸铁制成的压力机立柱的截面中，最合理的是。
6、矩形截面悬臂梁受力如图，P2作用在梁的中间截面处，悬臂梁根部截面上的最大应力为：。 A:σ max =(M y 2+M z 2)1/2/W B：σ max =M y /W y +M Z /W Z C：σ max =P 1 /A+P 2 /A D：σ max =P 1 /W y +P 2 /W z 7、塑性材料制成的圆截面杆件上承受轴向拉力、弯矩和扭矩的联合作用，其强度条件是。 A：σ r3 =N/A+M/W≤|σ| B:σ r3 =N/A+(M2+T2)1/2/W≤|σ| C:σ r3 =[(N/A+M/W)2+(T/W)2]1/2≤|σ| D:σ r3 =[(N/A)2+(M/W)2+(T/W)2]1/2≤|σ| 8、方形截面等直杆，抗弯模量为W，承受弯矩M，扭矩T，A点处正应力为σ，剪应力为τ，材料为普通碳钢，其强度条件为：。 A：σ≤|σ|，τ≤|τ| ； B: (M2+T2)1/2/W≤|σ| ； C：(M2+0.75T2)1/2/W≤|σ|； D：(σ2+4τ2)1/2≤|σ| ； 9、圆轴受力如图。该轴的变形为： A：AC段发生扭转变形，CB段发生弯曲变形 B：AC段发生扭转变形，CB段发生弯扭组合变形 C：AC段发生弯扭组合变形，CB段发生弯曲变形
排列组合n选m，组合算法——0-1转换算法（巧妙算法）C++实现 知识储备 排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示计算公式： 注意：m中取n个数，按照一定顺序排列出来，排列是有顺序的，就算已经出现过一次的几个数。只要顺序不同，就能得出一个排列的组合，例如1,2,3和1,3,2是两个组合。 组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。 计算公式： 注意：m中取n个数，将他们组合在一起，并且顺序不用管，1,2,3和1,3,2其实是一个组合。只要组合里面数不同即可 组合算法 本算法的思路是开两个数组，一个index[n]数组，其下标0~n-1表示1到n个数，1代表的数被选中，为0则没选中。value[n]数组表示组合
的数值，作为输出之用。 ? 首先初始化，将index数组前m个元素置1，表示第一个组合为前m 个数,后面的置为0。? 然后从左到右扫描数组元素值的“10”组合，找到第一个“10”组合后将其变为?“01”组合，同时将其左边的所有“1”全部移动到数组的最左端。一起得到下一个组合（是一起得出，是一起得出，是一起得出）重复1、2步骤，当第一个“1”移动到数组的n-m的位置，即m个“1”全部移动到最右端时；即直到无法找到”10”组合,就得到了最后一个组合。 组合的个数为： 例如求5中选3的组合： 1 1 1 0 0 --1,2,3? 1 1 0 1 0 --1,2,4? 1 0 1 1 0 --1,3,4? 0 1 1 1 0 --2,3,4? 1 1 0 0 1 --1,2,5? 1 0 1 0 1 --1,3,5? 0 1 1 0 1 --2,3,5? 1 0 0 1 1 --1,4,5? 0 1 0 1 1 --2,4,5? 0 0 1 1 1 --3,4,5 代码如下：
第八章 组合变形及连接部分的计算 习题解 [习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m l 8.0=，kN F 5.21=， kN F 0.12=，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压 性能相同，故只计算最大拉应力： 式中，z W ，y W 由14号工字钢，查型钢表得到3 102cm W z =，3 1.16cm W y =。故 MPa Pa m m N m m N 1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.2363 63363max =?=???+?????=--σ [习题8-2] 受集度为 q 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 030=α，如图所示。已知该梁材料的弹性模量 GPa E 10=；梁的尺寸为 m l 4=，mm h 160=，mm b 120=；许用应力MPa 12][=σ；许用挠度150/][l w =。试校核梁的强度和刚度。
解：（1）强度校核 )/(732.1866.0230cos 0m kN q q y =?== （正y 方向↓） )/(15.0230sin 0m kN q q z =?== （负z 方向←） )(464.34732.181 8122m kN l q M y zmaz ?=??== 出现在跨中截面 )(24181 8122m kN l q M z ymaz ?=??== 出现在跨中截面 )(51200016012061 61322mm bh W z =??== )(3840001201606 1 61322mm hb W y =??== 最大拉应力出现在左下角点上： y y z z W M W M max max max + = σ MPa mm mm N mm mm N 974.1138400010251200010464.33 636max =??+??=σ 因为 MPa 974.11max =σ，MPa 12][=σ，即：][max σσ< 所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。 （2）刚度校核 =
组合变形 基 本 概 念 题 一、选择题 1. 偏心压缩时，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到 形心的距离e 和中性轴到形心距离d 之间的关系是（ ）。 A ．e = d B ．e ＞d C ．e 越小，d 越大 D ．e 越大，d 越小 2.三种受压杆件如图所示，设 杆1、杆2和杆3中的最大压应力(绝 对值)分别用1max σ、2max σ、 3max σ表示，则（ ）。 A ．1max σ=2max σ=3max σ B ．1max σ＞2max σ=3max σ C ．2max σ＞1max σ=3max σ D ．2max σ＜1max σ=3max σ 题2图 3.在图示杆件中，最大压应力发生在截面上的（ ）。 A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点 题3图 题4图 4. 铸铁杆件受力如图4所示，危险点的位置是（ ）。 A ．①点 B ．②点 C ．⑧点 D ．④点 5. 图示正方形截面直柱，受纵向力P 的压缩作用。则当P 力作用点由A 点移至B 点时柱内最大压应力的比值()max A σ﹕()max B σ为( )。 A ．1﹕2 B ．2﹕5 C ．4﹕7 D ．5﹕2 6. 图示矩形截面偏心受压杆件发生的变形为（ ）。 A ．轴向压缩和平面弯曲组合 B ．轴向压缩，平面弯曲和扭转组合 C ．轴向压缩，斜弯曲和扭转组合 D ．轴向压缩和斜弯曲组合 -41-
题5图 题6图 7. 图所示悬臂梁的横截面为等边角钢，外力P 垂直于梁轴，其作用线与形心轴 y 垂直，那么该梁所发生的变形是（ ）。 A ．平面弯曲 B ．扭转和斜弯曲 C ．斜弯曲 D ．两个相互垂直平面(xoy 平面和xoz 平面)内的平面弯曲 题7图 8. 图示正方形截面杆受弯扭组合变形，在进行强度计算时，其任一截面的危 险点位置有四种答案，正确的是( )。 A ．截面形心 B ．竖边中点A 点 C ．横边中点B 点 D ．横截面的角点D 点 题8图 题9图 9. 图示正方形截面钢杆，受弯扭组合作用，若已知危险截面上弯矩为M ，扭 矩为T ，截面上A 点具有最大弯曲正应力σ和最大剪应力τ，其抗弯截面模量为W 。关于A 点的强度条件是（ ）。 A ．σ≤[σ]，τ≤[τ] B ．W T M 2122)(+≤[σ] C ．W T M 2122)75.0(+≤[σ] D ．2122)3(τσ+≤[σ] 10. 折杆危险截面上危险点的应力状态是图中的（ ）。 -42-
字符串的排列组合算法合集 全排列在笔试面试中很热门，因为它难度适中，既可以考察递归实现，又能进一步考察非递归的实现，便于区分出考生的水平。所以在百度和迅雷的校园招聘以及程序员和软件设计师的考试中都考到了，因此本文对全排列作下总结帮助大家更好的学习和理解。对本文有任何补充之处，欢迎大家指出。 首先来看看题目是如何要求的（百度迅雷校招笔试题）。一、字符串的排列 用C++写一个函数, 如 Foo(const char *str), 打印出 str 的全排列,如 abc 的全排列: abc, acb, bca, dac, cab, cba 一、全排列的递归实现 为方便起见，用123来示例下。123的全排列有123、132、213、231、312、321这六种。首先考虑213和321这二个数是如何得出的。显然这二个都是123中的1与后面两数交换得到的。然后可以将123的第二个数和每三个数交换得到132。同理可以根据213和321来得231和312。因此可以知道——全排列就是从第一个数字起每个数分别与它后面的数字交换。找到这个规律后，递归的代码就很容易写出来了： view plaincopy #includeiostream?using?namespace?std;?#includeassert.h?v oid?Permutation(char*?pStr,?char*?pBegin)?{?assert(pStr?pBe
gin);?if(*pBegin?==?'0')?printf("%s",pStr);?else?{?for(char *?pCh?=?pBegin;?*pCh?!=?'0';?pCh++)?{?swap(*pBegin,*pCh);?P ermutation(pStr,?pBegin+1);?swap(*pBegin,*pCh);?}?}?}?int?m ain(void)?{?char?str[]?=?"abc";?Permutation(str,str);?retur n?0;?}? 另外一种写法： view plaincopy --k表示当前选取到第几个数，m表示共有多少个数?void?Permutation(char*?pStr,int?k,int?m)?{?assert(pStr); ?if(k?==?m)?{?static?int?num?=?1;?--局部静态变量，用来统计全排列的个数?printf("第%d个排列t%s",num++,pStr);?}?else?{?for(int?i?=?k;?i?=?m;?i++)?{?swa p(*(pStr+k),*(pStr+i));?Permutation(pStr,?k?+?1?,?m);?swap( *(pStr+k),*(pStr+i));?}?}?}?int?main(void)?{?char?str[]?=?" abc";?Permutation(str?,?0?,?strlen(str)-1);?return?0;?}? 如果字符串中有重复字符的话，上面的那个方法肯定不会符合要求的，因此现在要想办法来去掉重复的数列。二、去掉重复的全排列的递归实现 由于全排列就是从第一个数字起每个数分别与它后面的数字交换。我们先尝试加个这样的判断——如果一个数与后面的数字相同那么这二个数就不交换了。如122，第一个数与后面交换得212、221。然后122中第二数就不用与第三个数交换了，但对212，它第二个数
§9.1 组合变形概述 前面研究了杆件在拉伸（压缩）、剪切、扭转和弯曲四种基本变形时的强度和刚度问题。但在工程实际中，许多构件受到外力作用时，将同时产生两种或两种以上的基本变形。例如建筑物的边柱，机械工程中的夹紧装置，皮带轮传动轴等。 我们把杆件在外力作用下同时产生两种或两种以上的基本变形称为组合变形。常见的组合变形有： 1.拉伸（压缩）与弯曲的组合； 2.弯曲与扭转的组合； 3.两个互相垂直平面弯曲的组合（斜弯曲）； 4.拉伸（压缩）与扭转的组合。 本章只讨论弯曲与扭转的组合。 处理组合变形问题的基本方法是叠加法，将组合变形分解为基本变形，分别考虑在每一种基本变形情况下产生的应力和变形，然后再叠加起来。组合变形强度计算的步骤一般如下： (1) 外力分析将外力分解或简化为几种基本变形的受力情况； (2) 内力分析分别计算每种基本变形的内力，画出内力图，并确定危险截面的位置； (3) 应力分析在危险截面上根据各种基本变形的应力分布规律，确定出危险点的位置及其应力状态。 (4) 建立强度条件将各基本变形情况下的应力叠加，然后建立强度条件进行计算。 §9.2 弯扭组合变形强度计算 机械中的转轴，通常在弯曲和扭转组合变形下工作。现以电机为例，说明此种组合变形的强度计算。图10-1a所示电机轴，在轴上两轴承中端装有带轮，工作时，电机给轴输入一定转矩，通过带轮的皮带传递给其它设备。带紧边拉力为F T1，松边拉力为F T2，不计带轮自重。
图10-1 (1) 外力分析将作用于带上的拉力向杆的轴线简化，得到一个力和一个力偶，如图10-1(b)，其值分别为 力F使轴在垂直平面内发生弯曲，力偶M1和电机端产生M2的使轴扭转，故轴上产生弯曲和扭转组合变形。 (2) 内力分析画出轴的弯矩图和扭矩图，如图10-1(c)、(d)所示。由图知危险截面为轴上装带轮的位置，其弯矩和扭矩分别为
排列组合公式/排列组合计算公式 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 ！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r 举例： Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？ A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。 上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积） Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？ A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。 上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每
名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？ 解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法． （2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法． 点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算． 例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？ 解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出： ∴ 符合题意的不同排法共有9种． 点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型． 例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果． （1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？ （2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？ （3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？ （4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？ 分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析． （1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）． （2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法． （3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积． （4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法． 例４证明． 证明左式
组合变形 1试分别求出图示不等截面杆的绝对值最大的正应力，并作比较。 解题思路： （1）图（a ）下部属偏心压缩，按式（12-5）计算其绝对值最大的正应力，要正确计算式中 的弯曲截面系数； （2）图（b ）是轴向压缩，按式（8-1）计算其最大正应力值； （3）图（a ）中部属偏心压缩，按式（12-5）计算其绝对值最大的正应力，要正确计算式中 的弯曲截面系数。 答案：2a 34)(a F =σ，2 b )(a F =σ，2 c 8)(a F =σ 2某厂房一矩形截面的柱子受轴向压力1F 和偏心荷载2F 作用。已知kN 1001=F ， kN 452=F ，偏心距mm 200=e ，截面尺寸mm 300,mm 180==h b 。 （1）求柱内的最大拉、压应力；（2）如要求截面内不出现拉应力，且截面尺寸b 保持不变，此时h 应为多少？柱内的最大压应力为多大？ 解题思路： （1）立柱发生偏心压缩变形（压弯组合变形）； （2）计算立柱I-I 截面上的内力（轴力和弯矩）； （3）按式（12-5）计算立柱截面上的最大拉应力和最大压应力，要正确计算式中的弯曲截 面系数；
（4）将b 视为未知数，令立柱截面上的最大拉应力等于零，求解b 并计算此时的最大压应 力。 答案：（1）MPa 648.0max t =σ，MPa 018.6max c =σ （2）cm 2.37=h ，MPa 33.4max c =σ 3旋转式起重机由工字钢梁AB 及拉杆BC 组成，A 、B 、C 三处均可简化为铰链约束。起重 荷载kN 22P =F ，m 2=l 。已知MPa 100][=σ，试选择AB 梁的工字钢型号。 解题思路： （1）起重荷载移动到AB 跨中时是最不利情况； （2）研究AB 梁，求BC 杆的受力和A 支座的约束力。AB 梁发生压弯组合变形； （3）分析内力（轴力和弯矩），确定危险截面； （4）先按弯曲正应力强度条件（12-27）设计截面，选择AB 梁的工字钢型号； （5）再按式（10-2）计算危险截面的最大应力值，作强度校核。 答案：选16.No 工字钢 4图示圆截面悬臂梁中，集中力P1F 和P 2F 分别作用在铅垂对称面和水平对称面内，并且垂直 于梁的轴线。已知N 800P1=F ，kN 6.1P2=F ，m 1=l ，许用应力MPa 160][=σ，试确定截面直径d 。 解题思路： （1）圆截面悬臂梁发生在两个互相垂直平面上的平面弯曲的组合变形； （2）分析弯矩y M 和z M ，确定危险截面及计算危险截面上的y M 和z M 值； （3）由式（10-15）计算危险截面的总弯矩值； （4）按弯曲正应力强度条件（12-27）设计截面，确定悬臂梁截面直径d 。 答案：mm 5.59≥d 5功率kW 8.8=P 的电动机轴以转速min /r 800=n 转动，胶带传动轮的直径mm 250=D
排列组合公式/排列组合计算公式 排列P------和顺序有关 组合C -------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列" 把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!).
k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n为下标，m为上标)） Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n 分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n为下标，m为上标)） Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m 2008-07-08 13:30 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 ！-阶乘，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r 举例： Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？ A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。 上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积） Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？ A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。 上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？ 解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．
第八章 组合变形构件的强度 8．1概 述 到现在为止，我们所研究过的构件，只限于有一种基本变形的情况，例如拉伸(或压缩)、剪切、扭转和弯曲。而在工程实际中的许多构件，往往存在两种或两种以上的基本变形。例如图8—1a 中悬臂吊车的横梁AB ，当起吊重物时，不仅产生弯曲，由于拉杆BC 的斜向力作用，而且还有压缩(图8—lb)。又如图8—2a 所示的齿轮轴，若将啮合力P 向齿轮中心平移、则可简化成如图8—2b 所示的情况。载荷P 使轴产生弯曲变形；矩为C m 和D m 的两个力偶则使轴产生扭转变形。这些构件都同时存在两种基本变形，前者是弯曲与压缩的组合；后者则是弯曲与扭转的组合。在外力作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况，就称为组合变形。
由于我们所研究的都是小变形构件，可以认为各载荷的作用彼此独立，互不影响，即任一载荷所引起的应力或变形不受其他载荷的影响。因此，对组合变形构件进行强度计算，可以应用叠加原理，采取先分解而后综合的方法。其基本步骤是：(1)将作用在构件上的载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每组载荷作用下，只产生一种基本变形；(2)分别计算构件在每种基本变形情况下的应力；(3)将各基本变形情况下的应力叠加，然后进行强度计算。当构件危险点处于单向应力状态时，可将上述应力进行代数相加；若处于复杂应力状态，则需求出其主应力，按强度理论来进行强度计算。 本章将讨论弯曲与拉伸(或压缩)的组合以及弯曲与扭转的组合构件的强度问题。 8．2 弯曲与拉伸 (或压缩) 的组合 在外力作用下，构件同时产生弯曲和拉伸(或压缩)变形的情况，称为弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形。图8—1所示悬臂吊的横梁同时受到横向载荷和纵向载荷的作用，这是弯曲与拉伸(或压缩)组合构件的一种受力情况。在工程实际中，常常还遇到这样一种情况，即载荷与杆件的轴线平行，但不通过横截面的形心，此时，杆件的变形也是弯曲与拉伸(或压缩)的组合，这种情况通常称为偏心拉伸(或压缩)。载荷的作用线至横截面形心的垂直距离称为偏心距。例如图8—3a 中的开口链环和图8—4a 中的厂房柱子，如果将其上的载荷P 向杆件横截面的形心平移，则作用于杆件上的外力可视为两部分：一个轴向力P 和一个矩为Pe M =0 的力偶(图8—3b 、8—4b)。轴向力P 将使杆件产生轴向拉伸(或压缩)；力偶将使杆件产生弯曲。由此可见，偏心拉伸(或压缩)实际上就是弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形。 现在讨论弯曲与拉伸(或压缩)组合变形构件的应力和强度计算。 设一矩形截面杆，一端固定，一端自由(图8—5a)，作用于自由端的集中力P 位于杆的纵对称面Oxy 内，并与杆的轴线x 成一夹角?。将外力P 沿x 轴和y 轴方向分解，得到两个分力(图8—5b)： ?cos P P x = ?sin P P y = 其中，分力x P 为轴向外力，在此力的单独作用下，杆将产生轴向拉伸，此时，任一横
排列组合公式/排列组合计算公式 排列A------和顺序有关 组合 C -------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列" 把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示. A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号
c(n,m) 表示. c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝A(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为 c(m+k-1,m). 排列（Anm(n为下标，m为上标)） Anm=n×（n-1）....（n-m+1）；Anm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Ann（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；An1（n为下标1为上标）=n
组合变形 1. 偏心压缩杆，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到形心的距离e 和中性轴到形心的距离d 之间的关系有四种答案： (A) e d =； (B) e d >； (C) e 越小，d 越大； (D) e 越大，d 越大。 答：C 2. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应力（绝对值）分别为max1σ、max 2σ和 max 3σ，现有下列四种答案： (A)max1max 2max 3σσσ==； (B)max1max 2max 3σσσ>=； (C)max 2max1max 3σσσ>=； (D)max1max3σσσ<=max2。 答：C 3. 重合）。立柱受沿图示a-a (A)斜弯曲与轴向压缩的组合； (B)平面弯曲与轴向压缩的组合； (C)斜弯曲； (D)平面弯曲。 答：B 4. (A) A 点； (B) B 点； (C) C 点； (D) D 点。 答：C 5. 图示矩形截面拉杆，中间开有深度为/2h 的缺口，与不开口的拉杆相比，开口处最大正应力将是不开口杆的 倍： (A) 2倍； (B) 4倍； (C) 8倍； (D) 16倍。 答：C
6. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应力（绝对值）分别为max1σ、max 2σ和max 3σ，现有下列四种答案： (A)max1max 2max3σσσ<<； (B)max1max 2max3σσσ<=； (C)max1max3max 2σσσ<<； (D)max1max 3max 2σσσ=<。 答：C 7. 正方形等截面立柱，受纵向压力F 移至B 时，柱内最大压应力的比值max max A B σ σ(A) 1:2； (B) 2:5； (C) 4:7； (D) 5:2。 答：C 8. 图示矩形截面偏心受压杆，其变形有下列四种答案：(A)轴向压缩和平面弯曲的组合； (B)轴向压缩、平面弯曲和扭转的组合； (C)缩和斜弯曲的组合； (D)轴向压缩、斜弯曲和扭转的组合。 答：C 9. 矩形截面梁的高度100mm h =，跨度1m l =。梁中点承受集中力F ，两端受力130kN F =，三力均作用在纵向对称面内，40mm a =。若跨中横截面的最大正应力与最 小正应力之比为5/3。试求F 值。 解：偏心距10mm 2 h e a =-= 跨中截面轴力 N 1F F = 跨中截面弯矩max 14Fl M Fe = -（正弯矩），或 max 14 Fl M Fe =- （负弯矩）
排列定义从n 个不同的元素中，取r 个不重复的元素，按次序排列，称为从n 个中取r 个的无重排列。排列的全体组成的集合用P(n,r) 表示。排列的个数用 P(n,r) 表示。当r=n 时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为P(n,r),P(n,r) 。 组合定义从n 个不同元素中取r 个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n 个中取r 个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r) 表示，组合的个数用C(n,r) 表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r) 。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词( 特别是逻辑关联词和量词) 准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1) 加法原理和分类计数法 1．加法原理
2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类 （即分类不漏） （2）乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n 步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9 组成数字不重复的六位数 集合A 为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！ 集合B 为数字不重复的六位数的集合。 把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3 个数的全排列，即3！这时集合B 的元素与A的子集存在一一对应关系，则 S（A）=S（B）*3！ S（B）=9！/3！