第八章 组合变形及连接部分的计算 习题解
[习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m l 8.0=，kN F 5.21=，
kN F 0.12=，试求危险截面上的最大正应力。
解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压
性能相同，故只计算最大拉应力：
式中，z W ，y W 由14号工字钢，查型钢表得到3
102cm W z =，3
1.16cm W y =。故
MPa Pa m
m N m m N 1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.2363
63363max
=?=???+?????=--σ [习题8-2] 受集度为 q 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 030=α，如图所示。已知该梁材料的弹性模量 GPa E 10=；梁的尺寸为
m l 4=，mm h 160=，mm b 120=；许用应力MPa 12][=σ；许用挠度150/][l w =。试校核梁的强度和刚度。
解：（1）强度校核
)/(732.1866.0230cos 0m kN q q y =?== （正y 方向↓）
)/(15.0230sin 0m kN q q z =?== （负z 方向←）
)(464.34732.181
8122m kN l q M y zmaz ?=??== 出现在跨中截面
)(24181
8122m kN l q M z ymaz ?=??== 出现在跨中截面
)(51200016012061
61322mm bh W z =??==
)(3840001201606
1
61322mm hb W y =??==
最大拉应力出现在左下角点上：
y
y z z W M W M max
max max +
=
σ MPa mm
mm N mm mm N 974.1138400010251200010464.33
636max
=??+??=σ
因为 MPa 974.11max =σ，MPa 12][=σ，即：][max σσ<
所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。
（2）刚度校核
=
m w m 0267.0150/4][0202.0==<=。即符合刚度条件，亦即刚度安全。
[习题8-3] 悬臂梁受集中力F 作用如图所示。已知横截面的直径mm D 120=，mm d 30=，材料的许用应力MPa 160][=σ。试求中性轴的位置，并按照强度条件求梁的许可荷载[F]。
解：
F F F y 866.030cos 0== （正y 方向↓）
F q F z 5.030sin 0== （负z 方向←）
)(732.12866.0m N F F l F M y zmaz ?=?== 出现在固定端截面，上侧受拉 )(25.0m N F F l F M z ymaz ?=?== 出现在固定端截面，外侧受拉
)34(64]41641[2641442244d D d d d D I z -=?+?-=
π
πππ 4448822419)3034120(6414.3mm =?-= )2(64
64126414444d D d D I y -=?-=
π
ππ 44410094119)302120(64
14
.3mm =?-=
9816577.18822419
10094119
732.1tan max max =?=?=F F I I M M z y y z θ
'001363223.639816577.1arctan ===θ，即：中性轴是过大圆的圆心，与y 轴的正
向成'
1363的一条直线（分布在二、四象限）。
F F F M M M y z 23222
max 2max max =+=+= （沿F 作用线方向）
)(14704060
8822419
2/3mm D I W z z ===
MPa mm mm N F W M z 16014704010233max max ≤??==σ
kN N F 763.1111763=≤
kN F 763.11][=
[习题8-4] 图示一楼梯木料梁的长度m l 4=，截面为m m 1.02.0?的矩形，受均布荷载作用，m kN q /2=。试作梁的轴力图和弯矩图，并求横截面上的最大拉应力与最大压应力。
解：以A 为坐标原点，AB 方向为x 轴的正向。过Ａ点，倾斜向下方向为y 轴的正向。
)/(12
1
230sin 0m kN q q x =?
== （负x 方向：↙） )/(32
3
230cos 0m kN q q y =?
== （正y 方向：↘） A 、B 支座的反力为：kN X A 4=，kN R Y B A 32== ＡＢ杆的轴力：4)4()(-=--=x x q x N x
ＡＢ杆的弯矩：222
3322132)(x x x q x x M y -=-
= x 0 1 2 3 4 N -4 -3
-2 -1 0 M
2.598
3.464
2.598
AB 杆的轴力图与弯矩图如图所示。
2
3222.01.0)4(2.01.06
1)866.0464.3()()()(m kN
x m m kN x x A x N W x M x z t ?--???-=-=σ )4(50)866.0464.3(15002
x x x ---= x x x 50200129951962
+--= 200524612992
-+-=x x （)kPa
令
052462598)
(=+-=x dx
x d t σ，得：当m x 019.2=时，拉应力取最大值： MPa kPa t 097.5)(5.5096200019.25246019.212992max ≈=-?+?-=σ
2
3222.01.0)4(2.01.06
1)866.0464.3()()()(m kN
x m m kN x x A x N W x M x z c ?--???--=--=σ )4(50)866.0464.3(15002x x x ----=
x x x 50200129951962+-+-=
200514612992
--=x x 令
051462598)
(=-=x
dx
x d t σ，得：当m x 981.1=时，压应力取最大值： MPa kPa c 297.5)(5.5296200981.15146981.112992max -≈-=-?-?=σ
[习题8-5] 图示一悬臂滑车架，杆AB 为18号工字钢，其长度为
m 。试求当荷载
作用在AB 的中点D 处时，杆内的最大正应力。设工字钢的自重可略去不计。
解：18号工字钢
，
，AB 杆系弯压组合变形。
A
F W M BC c 0
max
30cos --=中
σ
0=∑A M ：02
30sin 0=?
-?l
F l F BC ，kN F BC 25= )(25.162
6.25.025230sin 0m kN l F M BC ?=??=?
=中 MPa Pa m
N
m m N c 9.9410)07.783.87(106.3023
10251085.11025.166243343
max -=?+-=??
?-???-=-σ [习题8-6] 砖砌烟囱高m h 30=，底截面m m -的外径m d 31=，内径m d 22=，自重
kN P 20001=，受m kN q /1=的风力作用。试求：
（1）烟囱底截面上的最大压应力；
（2）若烟囱的基础埋深m h 40=，基础及填土自重按kN P 10001=计算，土壤的许用压应力MPa 3.0][=σ，圆形基础的直径D 应为多大？
注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。 解：烟囱底截面上的最大压应力：
=
=
土壤上的最大压应力
：
即
即
解得：
m
[习题8-7] 螺旋夹紧器立臂的横截面为b a ?和矩形，如图所示。已知该夹紧器工作时承受的夹紧力kN F 16=，材料的许用应力MPa 160][=σ，立臂厚mm a 20=，偏心距mm e 140=。试求立臂宽度b 。 解：立柱是拉弯构件。最大拉应力为： )61(6
122max b
e b a F ab Fe ab F t +=+=
σ )140
61(20160002
b b ?+=
)8401(8002b b +=
正应力强度条件：
][max σσ≤t 160)840
1
(800
2≤+b
b
0420052=--b b
解得：mm b 356.67=
[习题8-8] 试求图示杆内的最大正应力。力F 与杆的轴线平行。
解：（1）求T 形截面的形心位置
形心在y 轴上，0484282
22
2=+?+?-=
a a a a a a y C （2）把力F 先向y 轴平移，产生一个Fa a F M y 22-=?-=；
然后，再把F 向z 轴平移，又产生一个Fa a F M z 22-=?-=。 故，T 形截面的杆件是拉伸与双向弯曲的组合变形构件。
（3）判断最大拉应力与最大压应力出现的位置
由y M 、z M 的方向（正负号）可知，A 点处拉应力最大，B 点处压应力最大。 （4）计算最大拉应力 422322332]4)2()4(12
1
[]8)2(4121[
a a a a a a a a a I z =?+??+?+??=
z
A
z y A y A t I y M I z M A F +
+=
=σσmax 2
2442572.02641513222112212a
F
a F a a aF a a aF a F ≈=?+?+=
（5）计算最大压应力
z
A z y
B y B c I y M I z M A F -
-==σσmax
2
2442258.0661********.0212a
F
a F a a aF a a aF a F -≈-=?-?-=
故杆内的最大正应力是：2max 572
.0a
F
A t ==σσ。 [习题8-9] 有一高为m 2.1、厚为m 3.0的混凝土墙，浇筑于牢固的基础上，用作挡水用的小坝。试求：
（1）当水位达到墙顶时，墙底处的最大拉应力和最大压应力（高混凝土的密度为
33/1045.2m kg ?）；
（2）如果要求混凝土中没有拉应力，试问最大许可水深h 为多大？
解：（1）求墙底处的最大拉应力和最大压应力
沿墙长方向取m 1作为计算单元，则墙的重力为：
)(6436.88.945.2)2.113.0(kN G =????= （↓）
作用在墙底处的水压力为：
)/(76.1112.18.91m kN h q =??=??=γ
墙底处的弯矩：
)(8224.22.13
1
)2.176.1121(m kN M ?=????=
混凝土墙为压弯构件，墙底的应力为：
MPa kPa m m kN m
kN W M A G z c 217.0972.2163.016
18224.213.06436.8322
max -=-=???-?-=--
=σ（右） MPa kPa m m kN m kN W M A G z t 159.0348.1593.016
18224.213.06436.83
22max ==???+?-=+-
=σ（左）
（2）求混凝土中没有拉应力时的水深h
作用在墙底处的水压力为：
)/(8.918.91m kN h h h q =??=??=γ
墙底处的弯矩：
)(3
9.431)
8.921(3
m kN h h h h M ?=????=
09.108812.283.016
139.413.06436.83323
2
max =+-=???+?-=+-=h m m
kN h m
kN W M A G z t σ 09.108812.283=+-h )(642.0m h =
故当m h 642.0=时，混凝土中不出现拉应力。
[习题8-10] 受拉构件形式状如图，已知截面尺寸为mm mm 540?，承受轴向拉力
kN F 12=。现拉杆开有切口，如不计应力集中影响，当材料的MPa 100][=σ时，试确定
切口的最大许可深度，并绘出切口截面的应力变化图。
解：在切口处，杆件发生拉弯组合变形。
偏心距x x e 5.0)5.020(20=--=。把F 向剩余截面的形心平移后，产生的力矩：
)(65.012mm kN x x Fe M z ?=?==
最大拉应力出现在切口的上缘，即剩余截面的下缘：
GPa mm x mm xkN mm x kN W M A F z z t 1.0][)40(56
1
6)40(512322max =≤-???+-=+=
σσ 5.0)
40(36)40(122
≤-+-x x
x 2)40(5.036)40(12x x x -≤+-
072)40(24)40(2≥----x x x ，化简后，取：
06401282=+-x x
解得mm x 25.5= （最大值）
切口截面中性轴以下区域的应力：
)
(0626054.00690647.0)25.540(512
125.56)
25.540(5122GPa y y I y M A F z z +=-???+-=+=
σ )(605.62065.69)(0626054.00690647.0MPa y GPa y +=+= ]375.17,0[∈y
切口截面中性轴以上区域的应力：
2)25.540(512
1
25.56)25.540(512-???--=-=
y I y M A F z z σ
)(605.62065.69)(0626054.00690647.0MPa y GPa y -=-= ]375.17,0[∈y
切口截正应力的变化情况如下图所示：
[习题8-11] 一圆截面杆受偏心力作用，偏心距mm e 20=，杆的直径为mm 70，许用应力
][σ为MPa 120。试求杆的许可偏心拉力值。
解：杆为拉弯组合变形构件。最大拉应力为：
][3243
2max σππσ≤+=+=
d F
e d F W M A F z t
][3243
2max σππσ≤+=+=
d F
e d F W M A F z t )
(481.1408695.1404807014.320327014.34/120324][3
32
22
32kN N mm mm mm mm N d M d F ≈=??+?=+≤ππσ 即：)(481.140max kN F =。
[习题8-12] 图示一浆砌块石挡土墙，墙高m 4，已知墙背承受的土压力kN F 137=，并且
与铅垂线成夹角0
7.45=α，浆砌石的密度为3
3
/1035.2m kg ?，其他尺寸如图所示。试取
m 1长的墙体作为计算对象，
试计算作用在截面AB 上A 点和B 点处的正应力。又砌体的许用压应力][c σ为MPa 5.3，许用拉应力为MPa 14.0，试作强度校核。 解：沿墙长方向取m 1作为计算单元。分块计算砌
体的重量：
kN m kN m P 272.55/8.935.2)416.0(331=????=
kN m kN m P 696.73/8.935.2)146.12
1
(332=?????=
竖向力分量为：
0217.45cos F P P F v ++=
)(651.2247.45cos 137696.73272.550kN =++=
各力对AB 截面形心之矩为：
AB 之中点离A 点为：m 1.1，1P 的偏心距为)(8.03.01.11m e =-=
2P 的偏心距为)(0333.01.1)3
6
.16.0(2m e =-+
= y F 的偏心距为)(729.01.1)2.68cos 12.2(03m e =-?-=
x F 的力臂为)(15.05.14m e =-= 4
32211e P e P e P e P M x y +--=
17.45sin 137729.07.45cos 1370333.0696.738.0272.5500?+?-?-?=
)(061.70m kN ?= 砌体墙为压弯构件
MPa kPa m m kN m kN W
M A F z v A 189.0966.1882.2161061.7012.2651.224322
-=-=???-?-=--
=σ
MPa kPa m m kN m
kN W M A F z v B 0153.0262.152.216
1061.7012.2651.224322
-=-=???+?-=+-
=σ 因为 ][||c A σσ<，][||c B σσ<，所以砌体强度足够。
[习题8-13] 试确定图示十字形截面的截面核心边界。
解：
惯性矩与惯性半径的计算（习题8-13)
b h
竖矩形 0.2 0.6 0.0036 平矩形
0.6 0.2 0.0004 ∑
0.004 0.0167
平矩形 0.2 0.6 0.0036 竖矩形
0.6 0.2 0.0004 ∑
0.004
0.0167
截面核心边界点坐标的计算(习题8-13)
Z I y
I 2y
i 2
z
i
[习题8-14] 试确定图示各截面的截面核心边界。
[习题8-14（a ）]
解：惯性矩与惯性半径的计算
)(10996152.254014.364
1
80080012141043mm I I z y ?=??-??=
= )(41109454014.34
1
80080022mm A =??-?=
)(102882406.7411094
10996152.22410
22mm A I i i y
z
y
?=?===
截面核心边界点坐标的计算(习题8-13)
中性轴编号
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 中性轴的截距
y a
0.4 0.3 0.4 ∞ -0.4 -0.3 -0.4 ∞ z a
0.4 ∞ -0.4 -0.3 -0.4 ∞ 0.4 0.3 对应的核心边界上的点
1
2
3
4
5
6
7
8
核心边界上点
y z y a i 2-=ρ
-0.042 -0.056 -0.042 0.000 0.042 0.056 0.042 0.000
的坐标值（m) y
z y a i 2
-=ρ
-0.042 0.000 0.042 0.056 0.042 0.000 -0.042 -0.056
截面核心边界点坐标的计算(习题8-13)
截面核心边界点坐标的计算
中性轴编号
①
②
③
④
中性轴的截距
400 ∞ -400 ∞ ∞ -400 ∞ 400 对应的核心边界上的点
1
2
3
4
核心边界上点
y
z y a i 2
-=ρ
72882 -182 0 182 0
的坐标值（m)
z
y
z a i 2-
=ρ
72882 0 182 0 -182
[习题8-14（b ）]
解：计算惯性矩与惯性半径
)(1025.610050121
2001001214733mm I y ?=??-??=
)(105625.15010012
1
1002001214733mm I z ?=??-??=
)(15000100502001002mm A =?-?=
)(416715000
1025.627
2
mm A I i y
y
=?==
)(104215000
105625.127
2
mm A I i z z
=?==
y
a z
a
2
z i 2y
i
截面核心边界点坐标的计算(习题8-14b)
中性轴编号
① ② ③ ④
中性轴的截距
50
∞ -50 ∞
∞ -100 ∞ 100 对应的核心边界上的点
1
2
3
4
核心边界上点
y
z y a i 2
-=ρ
1042 -21 0 21 0
的坐标值（m)
z
y
z a i 2-
=ρ 4167 0 42 0 -42
[习题8-14（c ）]
解：（1）计算惯性矩与惯性半径 半圆的形心在Z 轴上， )(8514
.33200
434mm R z c =??==
π 半圆的面积：
)(6280020014.35.05.02
2
2
mm R A =??==π
半圆形截面对其底边的惯性矩是
8
1284
4R d ?=ππ，用平行轴定理得截面对形心轴
c y 的惯性矩：π
ππππ9882)34(844224R R R R R I C
y -=?-=
)(175********
.392008820014.344
4mm =??-?=
)(1028.6820014.38484
4
mm R I C
z ?=?==π
)(278862800
175062987
22mm A I i C y y
==
=
)(1000062800
1028.6282
mm A I i C
z z
=?== （2）列表计算截面核心边缘坐标
y
a z
a
2
z i 2y
i
截面核心边界点坐标的计算(习题8-14b)
中性轴编号
①
②
③ ④
中性轴的截距
100 ∞ -100 ∞
∞
-85 ∞ 115 对应的核心边界上的点
1
1
2
3
核心边界上点
y
z y a i 2
-=ρ
10000 -100 0 100 0
的坐标值（m)
z
y
z a i 2-
=ρ 2788 0 33 0 -24
[习题8-15] 曲拐受力如图所示，其圆杆部分的直径mm d 50=。试画出表示A 点处应力状态的单元体，并求其主应力及最大切应力。 解：A 点所在的截面经受弯扭组合变形。 ).(448.014.02.3m kN T -=?-= )(288.009.02.3m kN M ?-=?-= 332d
M W M z A πσ==
MPa mm mm N 480.235014.310288.0323
36=????=
MPa mm mm N W T P
A 262.185014.316
110448.0336-=????-==
τ A 点处应力状态的单元体如图所示。坐标面应力为： X （23.48,-18.262）,Y(0,0),Z(0,18.262,0)
22
max 22
x z x z
x τσσσσσ+??
? ??-++=
)(45.33710.2174.11)262.18(248.23248.232
2
MPa =+=-+??
? ??+=
2
z i 2y
i y
a z
a
22
min 22
x z x z
x τσσσσσ+??
? ??--+=
)(97.9710.2174.11)262.18(248.23248.232
2
MPa -=-=-+??
? ??-= 故，MPa 45.331=σ，02=σ，MPa 97.93-=σ )(71.21)
97.9(45.332
3
1max MPa =--=
-=
σστ
[习题8-16] 铁道路标圆信号板，装在外径mm D 60=的空心圆柱上，所受的最大风载
2/2m kN q =，MPa 60][=σ。试按第三强度理论选定空心柱的厚度。
解：忽略风载对空心柱的分布压力，只计风载对信号板的压力，则信号板受风力
空心柱固定端处为危险截面，其弯矩：
扭矩：
=
mm
[习题8-17] 一手摇绞车如图所示。已知轴的直径mm d 25=，材料为Q235钢，其许用应力MPa 80][=σ。试用第四强度理论求绞车的最大起吊重量P 。
解：轴是弯扭组合变形构件。 竖向平面的弯矩：
)(15.04
6
.0max m kN P P M M C z ?=?=
= )(15.015.0max m kN P P T ?=?=
)(834.972514.31015.03232
11015.036
3
6max MPa P P d P W M z =???=?==πσ
)(917.4825
14.31015.016163
63max max MPa P P d T W T P =???===πτ 第四强度的相当应力：
P P P r 422.129)917.48(3)834.97(322224=+=+=τσσ
第四强度理论：][4σσ≤r
80422.129≤P
)(618.0kN p ≤ P P 618.0max =
[习题8-18] 图a 所示的齿轮轮传动装置中，第II 轴的受力情况及尺寸如图b 所示。轴上大齿轮1的半径mm r 851=，受周向力1t F 和径向力1r F 作用，且11364.0t r F F =；小齿轮2的半径mm r 322=，受周向力2t F 和径向力2r F 作用，且22364.0t r F F =。已知轴工作时传递功率kW P 5.73=，转速min /2000r n =，轴的材料为合金钢，其许用应力MPa 150][=σ。试按第三强度理论计算轴的直径。
解：)(351.02000
5
.73549.9549
.9m kN n N T k ?=?== )(969.101032351.0322kN m
m kN r T F t =??==
- )(993.3969.10364.0364.022kN F F t r =?==
)(129.41085351.0311kN m
m kN r T F t =??==
- )(503.1129.4364.0364.011kN F F t r =?==
第八章组合变形构件的强度习题 一、填空题 1、两种或两种以上基本变形同时发生在一个杆上的变形,称为（）变形。 二、计算题 1、如图所示的手摇绞车，最大起重量Q=788N，卷筒直径D=36cm,两轴承间的距离l=80cm,轴的许用应力[]σ=80Mpa。试按第三强度理论设计轴的直径d。 2、图示手摇铰车的最大起重量P=1kN，材料为Q235钢，[σ]=80 MPa。试按第三强度理论选择铰车的轴的直径。 3、图示传动轴AB由电动机带动，轴长L=1.2m,在跨中安装一胶带轮，重G=5kN,半径R=0.6m,胶带紧边张力F1=6kN,松边张力F2=3kN。轴直径d=0.1m，材料许用应力[σ]=50MPa。试按第三强度理论校核轴的强度。 4、如图所示，轴上安装有两个轮子，两轮上分别作用有F=3kN及重物Q，该轴处于
平衡状态。若[σ]=80MPa。试按第四强度理论选定轴的直径d。 5、图示钢质拐轴，AB轴的长度l AB=150mm, BC轴长度l BC=140mm，承受集中载荷F 的作用，许用应力[σ]=160Mpa，若AB轴的抗弯截面系数W z=3000mm3，。试利用第三强度理论，按AB轴的强度条件确定此结构的许可载荷F。(注：写出解题过程) 6、如图所示，由电动机带动的轴上，装有一直径D=1m的皮带轮，皮带紧边张力为2F=5KN，松边张力为F=2.5KN，轮重F P=2KN，已知材料的许用应力[σ]=80Mpa，试按第三强度理论设计轴的直径d。 7、如图所示，有一圆杆AB长为l，横截面直径为d，杆的一端固定，一端自由，在自由端B处固结一圆轮，轮的半径为R，并于轮缘处作用一集中的切向力P。试按第三强度理论建立该圆杆的强度条件。圆杆材料的许用应力为[σ]。
组合变形练习题 一、选择 1、应用叠加原理的前提条件是：。 A：线弹性构件； B：小变形杆件； C：线弹性、小变形杆件； D：线弹性、小变形、直杆； 2、平板上边切h/5，在下边对应切去h/5，平板的强度。 A：降低一半； B：降低不到一半； C：不变； D：提高了； 3、AB杆的A处靠在光滑的墙上，B端铰支，在自重作用下发生变形， AB杆发生变形。 A：平面弯曲 B：斜弯； C：拉弯组合； D：压弯组合； 4、简支梁受力如图：梁上。 A：AC段发生弯曲变形、CB段发生拉弯组合变 形 B：AC段发生压弯组合变形、CB段发生弯曲变形 C：两段只发生弯曲变 形 D：AC段发生压弯组合、CB段发生拉弯组合变形 5、图示中铸铁制成的压力机立柱的截面中，最合理的是。
6、矩形截面悬臂梁受力如图，P2作用在梁的中间截面处，悬臂梁根部截面上的最大应力为：。 A:σ max =(M y 2+M z 2)1/2/W B：σ max =M y /W y +M Z /W Z C：σ max =P 1 /A+P 2 /A D：σ max =P 1 /W y +P 2 /W z 7、塑性材料制成的圆截面杆件上承受轴向拉力、弯矩和扭矩的联合作用，其强度条件是。 A：σ r3 =N/A+M/W≤|σ| B:σ r3 =N/A+(M2+T2)1/2/W≤|σ| C:σ r3 =[(N/A+M/W)2+(T/W)2]1/2≤|σ| D:σ r3 =[(N/A)2+(M/W)2+(T/W)2]1/2≤|σ| 8、方形截面等直杆，抗弯模量为W，承受弯矩M，扭矩T，A点处正应力为σ，剪应力为τ，材料为普通碳钢，其强度条件为：。 A：σ≤|σ|，τ≤|τ| ； B: (M2+T2)1/2/W≤|σ| ； C：(M2+0.75T2)1/2/W≤|σ|； D：(σ2+4τ2)1/2≤|σ| ； 9、圆轴受力如图。该轴的变形为： A：AC段发生扭转变形，CB段发生弯曲变形 B：AC段发生扭转变形，CB段发生弯扭组合变形 C：AC段发生弯扭组合变形，CB段发生弯曲变形
第十二章 组合变形 习 题 12.1 矩形截面杆受力如图所示。已知kN 8.01=F ，kN 65.12=F ，mm 90=b ， mm 180=h ，材料的许用应力[]MPa 10=σ，试校核此梁的强度。 题12.1图 解：危险点在固定端 max y z z y M M W W σ= + max 6.69[]10MPa MPa σσ=<= 12.2 受集度为q 的均布载荷作用的矩形截面简支梁，其载荷作用面与梁的纵向对称面间的夹角为0 30=α，如图所示。已知该梁材料的弹性模量GPa 10=E ；梁的尺寸为m 4=l ， mm 160=h ，mm 120=b ；许用应力[]M Pa 12=σ；许可挠度[]150 l w = 。试校核梁的强度和刚度。 题12.2图 22zmax 11 cos3088y M q l q l ==?解： 22ymax 11 sin 3088 z M q l q l ==?
22 ymax zmax 2 211 cos30sin 308866 z y q l q l M M bh bh W W σ??= +=+ 26cos30sin 30 ()8ql bh h b =+ 3 2 616210422 ( )8120160100.1600.120 -???=+??? []6 11.971012.0,Pa MPa σ=?==强度安全 44 z 3 5512sin 30384384z y q l q l W EI Ehb ?== 4 4 3 5512cos30384384y y z q l q l W EI Ehb ?== max W == = []4 0.0202150 m w m =<=刚度安全。 12.3 简支于屋架上的檩条承受均布载荷kN/m 14=q ， 30=?，如图所示。檩条跨长 m 4=l ，采用工字钢制造，其许用应力[]M Pa 160=σ，试选择工字钢型号。 14 kN/m q = 题12.3图 解： cos ,sin y z q q q q ??== 22 max max ,8 8 y z z y q l q l M M = = max max max []y z z y M M W W σσ=+≤
第八章 组合变形及连接部分的计算 习题解 [习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m l 8.0=，kN F 5.21=， kN F 0.12=，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压 性能相同，故只计算最大拉应力： 式中，z W ，y W 由14号工字钢，查型钢表得到3 102cm W z =，3 1.16cm W y =。故 MPa Pa m m N m m N 1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.2363 63363max =?=???+?????=--σ [习题8-2] 受集度为 q 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 030=α，如图所示。已知该梁材料的弹性模量 GPa E 10=；梁的尺寸为 m l 4=，mm h 160=，mm b 120=；许用应力MPa 12][=σ；许用挠度150/][l w =。试校核梁的强度和刚度。
解：（1）强度校核 )/(732.1866.0230cos 0m kN q q y =?== （正y 方向↓） )/(15.0230sin 0m kN q q z =?== （负z 方向←） )(464.34732.181 8122m kN l q M y zmaz ?=??== 出现在跨中截面 )(24181 8122m kN l q M z ymaz ?=??== 出现在跨中截面 )(51200016012061 61322mm bh W z =??== )(3840001201606 1 61322mm hb W y =??== 最大拉应力出现在左下角点上： y y z z W M W M max max max + = σ MPa mm mm N mm mm N 974.1138400010251200010464.33 636max =??+??=σ 因为 MPa 974.11max =σ，MPa 12][=σ，即：][max σσ< 所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。 （2）刚度校核 =
组合变形 基 本 概 念 题 一、选择题 1. 偏心压缩时，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到 形心的距离e 和中性轴到形心距离d 之间的关系是（ ）。 A ．e = d B ．e ＞d C ．e 越小，d 越大 D ．e 越大，d 越小 2.三种受压杆件如图所示，设 杆1、杆2和杆3中的最大压应力(绝 对值)分别用1max σ、2max σ、 3max σ表示，则（ ）。 A ．1max σ=2max σ=3max σ B ．1max σ＞2max σ=3max σ C ．2max σ＞1max σ=3max σ D ．2max σ＜1max σ=3max σ 题2图 3.在图示杆件中，最大压应力发生在截面上的（ ）。 A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点 题3图 题4图 4. 铸铁杆件受力如图4所示，危险点的位置是（ ）。 A ．①点 B ．②点 C ．⑧点 D ．④点 5. 图示正方形截面直柱，受纵向力P 的压缩作用。则当P 力作用点由A 点移至B 点时柱内最大压应力的比值()max A σ﹕()max B σ为( )。 A ．1﹕2 B ．2﹕5 C ．4﹕7 D ．5﹕2 6. 图示矩形截面偏心受压杆件发生的变形为（ ）。 A ．轴向压缩和平面弯曲组合 B ．轴向压缩，平面弯曲和扭转组合 C ．轴向压缩，斜弯曲和扭转组合 D ．轴向压缩和斜弯曲组合 -41-
题5图 题6图 7. 图所示悬臂梁的横截面为等边角钢，外力P 垂直于梁轴，其作用线与形心轴 y 垂直，那么该梁所发生的变形是（ ）。 A ．平面弯曲 B ．扭转和斜弯曲 C ．斜弯曲 D ．两个相互垂直平面(xoy 平面和xoz 平面)内的平面弯曲 题7图 8. 图示正方形截面杆受弯扭组合变形，在进行强度计算时，其任一截面的危 险点位置有四种答案，正确的是( )。 A ．截面形心 B ．竖边中点A 点 C ．横边中点B 点 D ．横截面的角点D 点 题8图 题9图 9. 图示正方形截面钢杆，受弯扭组合作用，若已知危险截面上弯矩为M ，扭 矩为T ，截面上A 点具有最大弯曲正应力σ和最大剪应力τ，其抗弯截面模量为W 。关于A 点的强度条件是（ ）。 A ．σ≤[σ]，τ≤[τ] B ．W T M 2122)(+≤[σ] C ．W T M 2122)75.0(+≤[σ] D ．2122)3(τσ+≤[σ] 10. 折杆危险截面上危险点的应力状态是图中的（ ）。 -42-
- 1 - 第八章组合变形构件的强度习题答案 一、填空题 1、组合 二、计算题 1、解：317888010157.610(N m m 4M =???=??3 36 78810141.8410(N m m 2 T =? ?=?? 3 3 80 0.10.1r d d
σ = = ≤ 解得 d ≥30mm 2 、解：(1 轴的计算简图 画出铰车梁的内力图： 险截面在梁中间截面左侧, P T P M 18. 02. 0max
== (2 强度计算第三强度理论:( ([]σπσ ≤+= += 2 2 3 2 2 3 18. 02. 032 P P d W T M Z r [] (
( ( ( mm m d 5. 320325. 010 118. 01012. 010 8032 10 118. 01012. 032 3 2 3 2 3 6 3 2 3 2
3 ==??+????= ??+??≥ πσπ 所以绞车的轴的最小直径为32.5mm 。 3、解： - 2 - m kN 8. 1? m kN 2. 4? （1）外力分析，将作用在胶带轮上的胶带拉力F 1、F 2向轴线简化，结果如图b ．传动轴受竖向主动力： kN 1436521=++=++=F F G F ，此力使轴在竖向平面内弯曲。附加力偶为： ((m kN 8. 16. 03621?=?-=-=R F F M e ，此外力偶使轴发生变形。 故此轴属于弯扭组合变形。（2）内力分析 分别画出轴的扭矩图和弯矩图如图（c ）、（d ）危险截面上的弯矩m kN 2. 4?=M ，扭矩m kN 8. 1?=T （3）强度校核
组合变形 1试分别求出图示不等截面杆的绝对值最大的正应力，并作比较。 解题思路： （1）图（a ）下部属偏心压缩，按式（12-5）计算其绝对值最大的正应力，要正确计算式中 的弯曲截面系数； （2）图（b ）是轴向压缩，按式（8-1）计算其最大正应力值； （3）图（a ）中部属偏心压缩，按式（12-5）计算其绝对值最大的正应力，要正确计算式中 的弯曲截面系数。 答案：2a 34)(a F =σ，2 b )(a F =σ，2 c 8)(a F =σ 2某厂房一矩形截面的柱子受轴向压力1F 和偏心荷载2F 作用。已知kN 1001=F ， kN 452=F ，偏心距mm 200=e ，截面尺寸mm 300,mm 180==h b 。 （1）求柱内的最大拉、压应力；（2）如要求截面内不出现拉应力，且截面尺寸b 保持不变，此时h 应为多少？柱内的最大压应力为多大？ 解题思路： （1）立柱发生偏心压缩变形（压弯组合变形）； （2）计算立柱I-I 截面上的内力（轴力和弯矩）； （3）按式（12-5）计算立柱截面上的最大拉应力和最大压应力，要正确计算式中的弯曲截 面系数；
（4）将b 视为未知数，令立柱截面上的最大拉应力等于零，求解b 并计算此时的最大压应 力。 答案：（1）MPa 648.0max t =σ，MPa 018.6max c =σ （2）cm 2.37=h ，MPa 33.4max c =σ 3旋转式起重机由工字钢梁AB 及拉杆BC 组成，A 、B 、C 三处均可简化为铰链约束。起重 荷载kN 22P =F ，m 2=l 。已知MPa 100][=σ，试选择AB 梁的工字钢型号。 解题思路： （1）起重荷载移动到AB 跨中时是最不利情况； （2）研究AB 梁，求BC 杆的受力和A 支座的约束力。AB 梁发生压弯组合变形； （3）分析内力（轴力和弯矩），确定危险截面； （4）先按弯曲正应力强度条件（12-27）设计截面，选择AB 梁的工字钢型号； （5）再按式（10-2）计算危险截面的最大应力值，作强度校核。 答案：选16.No 工字钢 4图示圆截面悬臂梁中，集中力P1F 和P 2F 分别作用在铅垂对称面和水平对称面内，并且垂直 于梁的轴线。已知N 800P1=F ，kN 6.1P2=F ，m 1=l ，许用应力MPa 160][=σ，试确定截面直径d 。 解题思路： （1）圆截面悬臂梁发生在两个互相垂直平面上的平面弯曲的组合变形； （2）分析弯矩y M 和z M ，确定危险截面及计算危险截面上的y M 和z M 值； （3）由式（10-15）计算危险截面的总弯矩值； （4）按弯曲正应力强度条件（12-27）设计截面，确定悬臂梁截面直径d 。 答案：mm 5.59≥d 5功率kW 8.8=P 的电动机轴以转速min /r 800=n 转动，胶带传动轮的直径mm 250=D
10 组合变形 1、 斜弯曲，弯扭，拉（压）弯，偏心拉伸（压缩）等组合变形的概念； 2、危险截面和危险点的确定,中性轴的确定； 如双向偏心拉伸, 中性轴方程为 3、危险点的应力计算，强度计算，变形计算、。 4、截面核心。 10.1、定性分析图10.1 示结构中各构件将发生哪些基本变形 ? 图 10.1 [解]（a ）AD 杆时压缩、弯曲组合变形，BC 杆是压缩、弯曲组合变形；AC 杆不发生变形。 （b ）AB 杆是压弯组合变形，BC 杆是弯曲变形。 （c ）AB 是压缩弯曲组合变形，BC 是压弯组合变形。 （d ）CD 是弯曲变形，BD 发生压缩变形，AB 发生弯伸变形，BC 发生拉弯组合变形。 10.2 分析图10.2中各杆的受力和变形情况。 解题范例
图 10.2 [解] (a)力可分解成水平和竖直方向的分力,为压弯变形。 (b)所受外力偶矩作用,产生弯曲变形。 (c)该杆受竖向集中荷载,产生弯曲变形. (d)该杆受水平集中荷载,偏心受压,产生压缩和弯曲变形。 (e)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:弯曲。 (f)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:压弯组合。 (g)AB段:斜弯曲，BC段:弯纽扭合。 10.3分析图10.3 示构件中 (AB、BC和CD) 各段将发生哪些变形?
图10.3 [解] AB 段发生弯曲变形，BC 段发生弯曲、扭转变形；CD 段发生拉伸、双向弯曲变形。 10.4一悬臂滑车架如图 10.4 所示，杆AB 为18号工字钢（截面面积30.6cm 2 ，Wz=185cm 3 ），其长度为l =2.6m 。试求当荷载F=25kN 作用在AB 的中点处时，杆内的最大正应 力。设工字钢的自重可略去不计。 图 10.4 [解] 取AB 为研究对象，对A 点取矩可得NBCY F 12.5kN = 则 32 25 = =NBCX NAB F F 分别作出AB 的轴力图和弯矩图: kN 32 25 kN.m NBCX
组合变形 1. 偏心压缩杆，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到形心的距离e 和中性轴到形心的距离d 之间的关系有四种答案： (A) e d =； (B) e d >； (C) e 越小，d 越大； (D) e 越大，d 越大。 答：C 2. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应力（绝对值）分别为max1σ、max 2σ和 max 3σ，现有下列四种答案： (A)max1max 2max 3σσσ==； (B)max1max 2max 3σσσ>=； (C)max 2max1max 3σσσ>=； (D)max1max3σσσ<=max2。 答：C 3. 重合）。立柱受沿图示a-a (A)斜弯曲与轴向压缩的组合； (B)平面弯曲与轴向压缩的组合； (C)斜弯曲； (D)平面弯曲。 答：B 4. (A) A 点； (B) B 点； (C) C 点； (D) D 点。 答：C 5. 图示矩形截面拉杆，中间开有深度为/2h 的缺口，与不开口的拉杆相比，开口处最大正应力将是不开口杆的 倍： (A) 2倍； (B) 4倍； (C) 8倍； (D) 16倍。 答：C
6. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应力（绝对值）分别为max1σ、max 2σ和max 3σ，现有下列四种答案： (A)max1max 2max3σσσ<<； (B)max1max 2max3σσσ<=； (C)max1max3max 2σσσ<<； (D)max1max 3max 2σσσ=<。 答：C 7. 正方形等截面立柱，受纵向压力F 移至B 时，柱内最大压应力的比值max max A B σ σ(A) 1:2； (B) 2:5； (C) 4:7； (D) 5:2。 答：C 8. 图示矩形截面偏心受压杆，其变形有下列四种答案：(A)轴向压缩和平面弯曲的组合； (B)轴向压缩、平面弯曲和扭转的组合； (C)缩和斜弯曲的组合； (D)轴向压缩、斜弯曲和扭转的组合。 答：C 9. 矩形截面梁的高度100mm h =，跨度1m l =。梁中点承受集中力F ，两端受力130kN F =，三力均作用在纵向对称面内，40mm a =。若跨中横截面的最大正应力与最 小正应力之比为5/3。试求F 值。 解：偏心距10mm 2 h e a =-= 跨中截面轴力 N 1F F = 跨中截面弯矩max 14Fl M Fe = -（正弯矩），或 max 14 Fl M Fe =- （负弯矩）
组合变形 一、判断题 1.斜弯曲区别与平面弯曲的基本特征是斜弯曲问题中荷载是沿斜向作用的。( ) 2.斜弯曲时，横截面的中性轴是通过截面形心的一条直线。( ) 3.梁发生斜弯曲变形时，挠曲线不在外力作用面内。( ) 4.正方形杆受力如图1所示，A点的正应力为拉应力。( ) 图 1 5. 上图中，梁的最大拉应力发生在B点。( ) 6. 图2所示简支斜梁，在C处承受铅垂力F的作用，该梁的AC段发生压弯组合变形，CB段发生弯曲变形。( ) 图 2 7.拉（压）与弯曲组合变形中，若不计横截面上的剪力则各点的应力状态为单轴应力。( ) 8.工字形截面梁在图3所示荷载作用下，截面m--m上的正应力如图3（C）所示。( )
图 3 9. 矩形截面的截面核心形状是矩形。( ) 10.截面核心与截面的形状与尺寸及外力的大小有关。( ) 11.杆件受偏心压缩时，外力作用点离横截面的形心越近，其中性轴离横截面的形心越远。( ) 12.计算组合变形的基本原理是叠加原理。（） 二、选择题 1.截面核心的形状与（）有关。 A、外力的大小 B、构件的受力情况 C、构件的截面形状 D、截面的形心 2.圆截面梁受力如图4所示，此梁发生弯曲是（） 图 4 A、斜弯曲 B、纯弯曲 C、弯扭组合 D、平面弯曲 三、计算题 1.矩形截面悬臂梁受力F1=F，F2=2F，截面宽为b，高h=2b，试计算梁内的最大拉应力，并在图中指明它的位置。
图 5 2.图6所示简支梁AB上受力F=20KN，跨度L=2.5m，横截面为矩形，其高h=100mm,宽b=60mm，若已知α=30°，材料的许用应力[σ]=80Mpa,试校核梁的强度。 3.如图7所示挡土墙，承受土压力F=30KN，墙高H=3m，厚0.75m，许用压应力[σ]ˉ=1 Mpa，许用拉应力[σ]﹢=0.1 Mpa，墙的单位体积重量为 ，试校核挡土墙的强度。 图 6 图 7 4.一圆直杆受偏心压力作用，其偏心矩e=20mm,杆的直径d=70mm,许用应力[σ]=120Mpa,试求此杆容许承受的偏心压力F之值。 5.如图8所示,短柱横截面为2a×2a的正方形,若在短柱中间开一槽,槽深为a,问最大应力将比不开槽时增大几倍?
材料力学组合变形习题
L 1AL101ADB （3） 偏心压缩时，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点 到形心之距离ｅ和中性轴到形心距离ｄ之间的关系有四种答案： （A ） ｅ＝ｄ； （B ） ｅ＞ｄ； （C ） ｅ越小，ｄ越大； （D ） ｅ越大，ｄ越小。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（C ） 1BL102ADB （3） 三种受压杆件如图。设杆１、杆２和杆３中的最大压应力（绝对值）分别用 max1σ、max 2σ和max3σ表示，现有下列四种答案： （A ）max1σ＝max 2σ＝max3σ； （B ）max1σ＞max 2σ＝max3σ； （C ）max 2σ＞max1σ＝max3σ； （D ）max 2σ＜max1σ＝max3σ。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（C ） 1BL103ADD （1） 在图示杆件中，最大压应力发生在截面上的哪一点，现有四种答案： （A ）Ａ点； （B ）Ｂ点； （C ）Ｃ点； （D ）Ｄ点。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（C ）
（A ）max1σ＜max 2σ＜max3σ； （B ）max1σ＜max 2σ＝max3σ； （C ）max1σ＜max3σ＜max 2σ； （D ）max1σ＝max3σ＜max 2σ。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（C ） 1AL108ADB （3） 图示正方形截面直柱，受纵向力Ｆ的压缩作用。则当Ｆ力作用点由Ａ点移至Ｂ点 时柱内最大压应力的比值()max A σ／()max B σ有四种答案： （A ）１：２； （B ）２：５； （C ）４：７； （D ）５：２。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（C ） 1AL109ADC （2） 一空间折杆受力如图所示，则ＡＢ杆的变形有四种答案： （A ）偏心拉伸； （B ）纵横弯曲； （C ）弯扭组合； （D ）拉、弯、扭组合。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。
组合变形 、判断题 1?斜弯曲区别与平面弯曲的基本特征是斜弯曲问题中荷载是沿斜向作用的。() 2.斜弯曲时，横截面的中性轴是通过截面形心的一条直线。() 3.梁发生斜弯曲变形时，挠曲线不在外力作用面内。() 4?正方形杆受力如图1所示，A点的正应力为拉应力。() 5.上图中，梁的最大拉应力发生在B点。() 6.图2所示简支斜梁，在C处承受铅垂力F的作用，该梁的AC段发生压弯组合变形，CB段发生弯曲变形。() 7.拉(压)与弯曲组合变形中，若不计横截面上的剪力则各点的应力状态为单轴应力。() 8.工字形截面梁在图3所示荷载作用下，截面m--m上的正应力如图3 (C)所示。
() 4
图3 9. 矩形截面的截面核心形状是矩形。() 10. 截面核心与截面的形 状与尺寸及外力的大小有关。 () 11?杆件受偏心压缩时，外力作用点离横截面的形心越近，其中性轴离横截面的 形心越远。() 12.计算组合变形的基本原理是叠加原理。() 二、选择题 1.截面核心的形状与()有关。 A 、外力的大小B 、构件的受力情况 C 、构件的截面形状 D 、截面的形心 2?圆截面梁受力如图4所示，此梁发生弯曲是() A 、 斜弯曲 B 、 纯弯曲 C 、弯扭组合 ⑹ ⑹ 血
D、平面弯曲 三、计算题 1?矩形截面悬臂梁受力F仁F, F2=2F,截面宽为b,高h=2b，试计算梁内的最大拉应力，并在图中指明它的位置。 2?图6所示简支梁AB上受力F=20KN跨度L=2.5m,横截面为矩形，其高h=100mm, 宽b=60mm,若已知a =30；材料的许用应力[c]=80Mp试校核梁的强度。 3.如图7所示挡土墙，承受土压力F=30KN墙高H=3m,厚0.75m，许用压应力 [c] - =1 MP许用拉应力[丹二Mpa,墙的单位体积重量为m问沪,试校核挡土墙的强度。 4
第8章 组合变形 。 8.1 组合变形的概念 前面几章我们研究了等直杆的拉伸（压缩）、剪切、扭转和弯曲这四种基本变形时的强度和刚度问题。但在工程实际中，还会遇到许多上述两种或两种以上的基本变形所组合成的变形，这种变形称为组合变形。例如，如图8-1所示钻床的立柱在P 作用下将发生拉伸和弯曲变形；如图8-2所示的带轮轴，力T 及轴承反力使其弯曲，而力偶矩0m 和1m 使轴扭转，带轮轴的变形是弯曲与扭转的组合变形。 图8-1 图8-2 构件组合变形时的强度计算，在构件变形较小且服从胡克定律的条件下，可运用叠加原理，首先将作用在构件上的外力进行适当的简化，然后通过平移或分解，使每一组外力只产生一种基本变形，分别计算出各种基本变形引起的应力，最后将它们叠加起来，便得到原有载荷作用下截面上的应力，并进行强度计算。 下面介绍工程中最常见的弯拉（压）和弯扭两种组合变形的强度计算。 8.2 弯曲与拉伸（压缩）组合变形时的强度计算 如图8-3(a)为一左端固定而右端自由的矩形截面悬臂梁，在其自由端作用一力P ，力P 的位于梁的纵向对称面内且与梁的轴线成一夹角α（见），力P 沿x 、y 方向可分解为两个分力x P 、y P （见图8-3（b ））, x P 使梁产生轴拉伸变形，y P 使梁产生弯曲变形，因此梁在力P 的作用下的变形为拉伸与弯曲组合变形。下面对其进行强度计算。
图8-3 如图8-3（b ）所示，将力沿杆的轴线和轴线的垂直方向分解为两个分力。 αcos P P x = αsin P P y = 在轴向力x P 的单独作用下，杆件发生拉伸变形，杆上各截面的轴力都相等，αcos P P N x ==,与轴力N 相对应的拉伸正应力N σ呈均匀分布，如图8-3（f ）即 A N N = σ 在横向力y P 的单独作用下，杆发生弯曲变形。杆上固定端截面具有最大弯矩 αsin max Pl l P M y ==，与弯矩max M 相对应的弯曲正应力W σ沿截面高度呈线性分布，在上、下边 缘处绝对值最大，如图8-3（g ）即 z W W M max = σ 由于上述两种应力都是正应力，故可按代数和进行叠加。当N W σσ>时，其应力分布如图8-3（e ） 所示。 危险截面的上、下边缘的正应力分别为 z W M A N max max += σ z W M A N max min -=σ 由上可见，危险截面上边缘各点的拉应力最大，是危险点。对于塑性材料，因许用拉应力和许用压应力相同。故可建立强度条件 []σσ≤+= W M A N max max （8-1） 对于脆性材料，因其许拉应力 []拉 σ和许用压应力[]压 σ不同，故应分别建立强度条件
10 组合变形 1、斜弯曲，弯扭，拉（压）弯，偏心拉伸（压缩）等组合变形的概念； 2、危险截面和危险点的确定,中性轴的确定； 如双向偏心拉伸, 中性轴方程为 p p o o 22 y z z y 1z y0 i i ++?= 3、危险点的应力计算，强度计算，变形计算、。 4、截面核心。 10.1、定性分析图10.1 示结构中各构件将发生哪些基本变形? 图10.1 解题范例
[解]（a）AD杆时压缩、弯曲组合变形，BC杆是压缩、弯曲组合变形；AC杆不发生变形。 （b）AB杆是压弯组合变形，BC杆是弯曲变形。 （c）AB是压缩弯曲组合变形，BC是压弯组合变形。 （d）CD是弯曲变形，BD发生压缩变形，AB发生弯伸变形，BC发生拉弯组合变形。 10.2分析图10.2中各杆的受力和变形情况。 图10.2 [解] (a)力可分解成水平和竖直方向的分力,为压弯变形。 (b)所受外力偶矩作用,产生弯曲变形。 (c)该杆受竖向集中荷载,产生弯曲变形.
(d)该杆受水平集中荷载,偏心受压,产生压缩和弯曲变形。 (e)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:弯曲。 (f)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:压弯组合。 (g)AB段:斜弯曲，BC段:弯纽扭合。 10.3分析图10.3 示构件中(AB、BC和CD) 各段将发生哪些变形? 图10.3 [解] AB段发生弯曲变形，BC段发生弯曲、扭转变形；CD段发生拉伸、双向弯曲变形。 10.4一悬臂滑车架如图10.4 所示，杆AB为18号工字钢（截面面积30.6cm2，Wz=185cm3），其长度为l=2.6m。试求当荷载F=25kN作用在AB的中点处时，杆内的最大正应力。设工字钢的自重可略去不计。 B l/2 F 20kN 300 C D A l 图10.4 [解]取AB为研究对象，对A点取矩可得 NBCY F12.5kN = 则3 2 25 = = NBCX NAB F F
习题 [8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m l8.0 =，kN F5.2 1 =，kN F0.1 2 =，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力： y z y y z z W l F W l F l F W M W M 2 1 1 max 2+ + ? = + = σ 式中， z W， y W由14号工字钢，查型钢表得到3 102cm W z =，3 1. 16cm W y =。故 MPa Pa m m N m m N 1. 79 10 1. 79 10 1. 16 8.0 10 0.1 10 102 2 8.0 10 5.2 3 6 3 6 3 3 6 3 max = ? = ? ? ? + ? ? ? ? ? = - - σ [8-2]矩形截面木檩条的跨度m l4 =，荷载及截面尺寸如图所示，木材为杉木，弯曲许用正应力MPa 12 ] [= σ，GPa E9 =，许可挠度200 / ] [l w=。试校核檩条的强度和刚度。
图 习题?-2 8 解：（1）受力分析 )/(431.13426cos 6.1cos '0m kN q q y ===α )/(716.03426sin 6.1sin '0m kN q q z ===α (2)内力分析 )(432.14716.081 8122max ,m kN l q M z y ?=??=== )(864.24432.18 1 8122max ,m kN l q M y z ?=??=== （3）应力分析 最大的拉应力出现在跨中截面的右上角点，最大压应力出现在左下角点。 z z y y W M W M max ,max ,max + = + σ 式中，32 232266*********mm hb W y ≈?== 32 24693336 1601106mm bh W z ≈?== MPa mm mm N mm mm N 54.1046933310864.232266710432.13 636max =??+??=+ σ （4）强度分析 因为MPa 54.10max =+σ，MPa 12][=σ，即][max σσ<+，所以杉木的强度足够。 （5）变形分析 最大挠度出现在跨中，查表得： z y cy EI l q w 38454 = ，y z cz EI l q w 38454 =
《材料力学》第8章组合变形及连接部分的计算习题解第八章组合变形及连接部分的计算习题解 [习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知，F,2.5kN， l,0.8m1F,1.0kN，试求危险截面上的最大正应力。 2 解:危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压 性能相同，故只计算最大拉应力: 33WW,102cmW式中，，由14号工字钢，查型钢表得到，。故 W,16.1cmyzzy 333，2.5，10N，0.8m1.0，10N，0.8m6,,，,79.1，10Pa,79.1MPa max,,63632，102，10m16.1，10m [习题8-2] 受集度为的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称q 0面间的夹角为，如图所示。已知该梁材料的弹性模量;梁的尺寸 为 ,,30E,10GPa [,],12MPa[w],l/150，，;许用应力;许用挠度。l,4mh,160mmb,120mm 试校核梁的强度和刚度。
1 解:(1)强度校核 0 (正y方向?) q,qcos30,2，0.866,1.732(kN/m)y 0q,qsin30,2，0.5,1(kN/m) (负z方向?) z 1122 出现在跨中截面 M,ql,，1.732，4,3.464(kN,m)zmazy88 1122 出现在跨中截面 M,ql,，1，4,2(kN,m)ymazz88 11223 W,bh,，120，160,512000(mm)z66 11223 W,hb,，160，120,384000(mm)y66 最大拉应力出现在左下角点上: MMymaxzmax ,,，maxWWzy 663.464，10N,mm2，10N,mm,,，,11.974MPa max33512000mm384000mm ,,11.974MPa,,[,]因为，，即: [,],12MPa maxmax 所以满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。 (2)刚度校核 = 2
8-1 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m，，，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端 = = 返回 8-2 受集度为的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵 向对称面间的夹角为，如图所示。已知该梁材料的弹性模量； 梁的尺寸为m，mm，mm；许用应力；许可挠度 。试校核梁的强度和刚度。 解： = ，强度安全
， = =刚度安全。 返回 8-3(8-5)图示一悬臂滑车架，杆AB为18号工字钢，其长度为m。试 求当荷载作用在AB的中点D处时，杆内的最大正应力。设工字钢的自重可略去不计。 解：18号工字钢，，AB杆系弯压组合变形。 ，， == ==
返回 8-4(8-6)砖砌烟囱高m，底截面m-m的外径m，内径m， 自重kN，受的风力作用。试求： （1）烟囱底截面上的最大压应力； （2）若烟囱的基础埋深m，基础及填土自重按计算，土壤的 许用压应力，圆形基础的直径D应为多大？ 注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。 解：烟囱底截面上的最大压应力： == 土壤上的最大压应力：
即 即 解得：m 返回 8-5(8-8)试求图示杆内的最大正应力。力F与杆的轴线平行。 解：，z为形心主轴。 固定端为危险截面，其中： 轴力，弯矩， = A点拉应力最大 == B点压应力最大
== 因此 返回 8-6(8-9) 有一座高为1.2m、厚为0.3m的混凝土墙，浇筑于牢固的基础上，用作挡水用的小坝。试求： （1）当水位达到墙顶时墙底处的最大拉应力和最大压应力（设混凝土 的密度为）； （2）如果要求混凝土中没有拉应力，试问最大许可水深h为多大？ 解：以单位宽度的水坝计算： 水压： 混凝土对墙底的压力为： 墙坝的弯曲截面系数： 墙坝的截面面积： 墙底处的最大拉应力为：
99 组合变形 1. 偏心压缩杆，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到形心的距离e 和中性轴到形心的距离d 之间的关系有四种答案： (A) e d =； (B) e d >； (C) e 越小，d 越大； (D) e 越大，d 越大。 答：C 2. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应力（绝对值）分别为max1σ、max 2σ和 max 3σ，现有下列四种答案： (A)max1max 2max3σσσ==； (B)max1max 2max3σσσ>=； (C)max 2max1max3σσσ>=； (D)max1max3σσσ<=max2。 答：C 3. 重合）。立柱受沿图示a-a (A)斜弯曲与轴向压缩的组合； (B)平面弯曲与轴向压缩的组合； (C)斜弯曲； (D)平面弯曲。 答：B 4. (A) A 点； (B) B 点； (C) C 点； (D) D 点。 答：C 5. 图示矩形截面拉杆，中间开有深度为/2h 的缺口，与不开口的拉杆相比，开口处最大正应力将是不开口杆的 倍： (A) 2倍； (B) 4倍； (C) 8倍； (D) 16倍。 答：C
100 6. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应力（绝对值）分别为max1σ、max 2σ和max 3σ，现有下列四种答案： (A)max1max 2max3σσσ<<； (B)max1max 2max3σσσ<=； (C)max1max3max 2σσσ<<； (D)max1max3max 2σσσ=<。 答：C 7. 正方形等截面立柱，受纵向压力F 移至B 时，柱内最大压应力的比值max max A B σ σ(A) 1:2； (B) 2:5； (C) 4:7； (D) 5:2。 答：C 8. 图示矩形截面偏心受压杆，其变形有下列四种答案：(A)轴向压缩和平面弯曲的组合； (B)轴向压缩、平面弯曲和扭转的组合； (C)缩和斜弯曲的组合； (D)轴向压缩、斜弯曲和扭转的组合。 答：C 9. 矩形截面梁的高度100mm h =，跨度1m l =。梁中点承受集中力F ，两端受力130kN F =，三力均作用在纵向对称面内，40mm a =。若跨中横截面的最大正应力与最 小正应力之比为5/3。试求F 值。 解：偏心距10mm 2 h e a =-= 跨中截面轴力 N 1F F = 跨中截面弯矩max 14Fl M F e = -（正弯矩） ，或 m a x 14 Fl M F e =-（负弯矩）
10 组合变形 1、 斜弯曲，弯扭，拉（压）弯，偏心 拉伸（压缩）等组合变形的概念； 2、危险截面和危险点的确定,中性轴的确定； 如双向偏心拉伸, 中性轴程为 p p o o 22y z z y 1z y 0i i + + ?= 3、危险点的应力计算，强度计算，变形计算、。 4、截面核心。 10.1、定性分析图10.1 示结构中各构件将发生哪些基本变形? 解题范例
图10.1 [解]（a）AD杆时压缩、弯曲组合变形，BC杆是压缩、弯曲组合变形；AC杆不发生变形。 （b）AB杆是压弯组合变形，BC杆是弯曲变形。 （c）AB是压缩弯曲组合变形，BC是压弯组合变形。 （d）CD是弯曲变形，BD发生压缩变形，AB发生弯伸变形，BC发生拉弯组合变形。 10.2分析图10.2中各杆的受力和变形情况。 图10.2 [解](a)力可分解成水平和竖直向的分力,为压弯变形。
(b)所受外力偶矩作用,产生弯曲变形。 (c)该杆受竖向集中荷载,产生弯曲变形. (d)该杆受水平集中荷载,偏心受压,产生压缩和弯曲变形。 (e)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:弯曲。 (f)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:压弯组合。 (g)AB段:斜弯曲，BC段:弯纽扭合。 10.3分析图10.3 示构件中(AB、BC和CD) 各段将发生哪些变形? 图10.3 [解] AB段发生弯曲变形，BC段发生弯曲、扭转变形；CD段发生拉伸、双向弯曲变形。 10.4一悬臂滑车架如图10.4 所示，杆AB为18号工字钢（截面面积30.6cm2，Wz=185cm3），其长度为l=2.6m。试求当荷载F=25kN作用在AB的中点处时，杆的最大正应力。设工字钢的自重可略去不计。 l/2 F 20kN 300 C D A l 图10.4 [解]取AB为研究对象，对A点取矩可得 NBCY F12.5kN = 则3 2 25 = = NBCX NAB F F 分别作出AB的轴力图和弯矩图: kN
第12章组合变形的强度计算 主要知识点：（1）弯曲与拉伸（压缩）组合变形的强度计算； （2）弯曲与扭转组合变形的强度计算。 1. 试判断图中杆AB、BC和CD各产生哪些基本变形？ 答：如图12-1a所示，将力F平移到B点，可知图中杆AB 产生弯曲变形； 如图12-1b所示，将力F平移到C点，可知杆BC产生 压缩和弯曲组合变形; 如图12-1c所示，杆CD产生（横力）弯曲变形。 a) b) c) 图12-1 2. 若在正方形截面短柱的中间处开一个槽，如图所示，使横截面面积减少为原截面面积的一半。试求最大正应力比不开槽时增大几倍？ 解：正方形短柱截面不开槽时最大正应力 2 04a F A F= = σ 正方形短柱截面开槽时，BC段受偏心压缩，偏心距e=0.5a， 抗弯截面系数3/3a W Z =，最大正应力 2 3 2 1 max 2 3 5.0 2a F a a F a F W Fe A F Z = ? + = + = σ max σ/8 = σ，所以开槽后最大正应力比不开槽时增大7倍。 3.如图所示的支架，已知载荷F=45kN，作用在C处，支架材料的许用应力 [] a MP 160 = σ，试选择横梁AC的工字钢型号。 解：（1）外力分析 作ABC梁的受力图，如图12-3a所示。 平衡方程 30 sin ,0 ) (0 1 = ? - ? = ∑ = AC F AB F F M B n i i A
图12-3 解得kN F B 120=。由受力图可知，梁的AB 段为拉伸与弯曲的组合变形，而BC 段为弯曲变形。 (2)内力分析，确定危险截面的位置 AB 段受到拉力，kN F F B N 10430cos 0==，作出图12-3b 所示轴力图。 梁的AB 段、BC 段剪力均为常数，弯矩图均为斜直线，算得m kN M B ?-=45，作出图12-3c 所示弯矩图。故危险截面是B -截面，即B 截面左侧。 危险截面上的轴力kN F N 104=、弯矩m kN M B ?-=45 (3)应力分析，确定危险点的位置 危险截面上拉伸正应力A F N =1σ，弯曲正应力y I M Z max 2=σ（见图12-3d ）。根据危险截面上的应力分布规律可知，危险点在危险截面的上侧边缘。其最大应力值为 Z N W M A F max max +=σ (4)强度计算 因危险点的应力为单向应力状态，所以其强度条件为 []σσ≤?+?=+=Z Z N W A W M A F 33max max 104510104a MP 160= (a) 因上式中有截面面积A 和抗弯截面系数W Z 两个未知量，故要用试凑法求解。用这种方法求解时，可先不考虑轴力N F 的影响，仅按弯曲强度条件初步选择槽钢的型号，然后再按(a)式进行校核。由 []a Z Z P W W M 63max max 101601045?=≤?==σσ 得336328110 1601045cm m W Z =??≥。查表得22a 工字钢3309cm W Z =，代入(a)式进行校核