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题目: 矩阵论在电气工程中的应用指导老师: xxx 学生姓名： xxx 所属院系：电气工程学院
专业：电气工程
学号： xxx
完成日期： 20xx年x月x日
矩阵论在电气工程中的应用
摘 要
电路分析是电气专业领域人员必需的一项能力。该知识具有概念性强、电路分析繁杂求解计算量大的特点。为了解决这个问题，因此引入了矩阵理论，并结合软件对矩阵分析的良好支持，以期达到优化分析电路的目的。本文就矩阵理论中的网络拓扑知识展开，介绍了网络拓扑在电路中的应用，并以给予求解。 关键词 ： 电路分析 矩阵法 网络拓扑 ABSTRACT ：
Circuit analysis is an essential ability of professional personnel in the field of electronic. The concept of strong, complex circuit analysis calculation with the knowledge of the characteristics of large amount. In order to alleviate this problem, so we introduced matrix theory, combined with good support analysis software for matrix, in order to achieve the purpose of optimization of circuit analysis. In this paper, the network topology in matrix theory unfolds, introduces the application of network topology in circuit, and to give the solution. KEY WORDS ：circuit analysis ；matrix method ；network topology 0 前言
矩阵是线性代数里的一个重要概念，在电路网络分析、工程结构分析等方面，矩阵都是一个强自力的工具，因为它能使较复杂的计算过程简化成一系列的四则运算，便于用计算机的算法语言或程序进行描述和解答。当运行这些程序时，能迅速地得到较准确的计算结果。在电子领域基础知识电路分析中，经过理论分析后形成线性方程组，求未知解是电路分析的一项基本技能。而求解线性方程组使用矩阵理论优势十分明显。
例如某电路网孔法求网孔电流ia ，ib ，ic ，其中电阻供电电压为已知网孔方程为：
2
3
3
1
)(a
b
s
R u R R i R i ++-=
33
4
5
5()0a
b
c
R i R R R i R i +++-=- （1）
5
567()0c R
R R R i +++=-
上述方程（1），在求解过程中相对简单，但如果未知量继续增多，则利用初等代数方法求解线性方程组就比较困难，相当繁杂，借助矩阵理论可将方程式变换为如下矩阵形式
u i i i R R R R
R R R R R R
R R R s
c b a ????
??????=????????????????
??
?
?++++++----0017655
55
43
33
32100
矩阵形式方程（2），可表述为为AI=BuS 。（A 表示方程组系数矩阵，I 表示网孔电流列向量，BuS 表示网孔电源列向量） 1、网络拓扑性质的矩阵表示
当电路结构比较简单时直接利用或网络的各种方法，列出必要的方程并不十分困难。但当电路结构比较复杂时，前述方法就显得很不适应。特别是如何在计算机上把输入的数据自动地转换为所需要的方程，就需要利用网络拓扑和矩阵代数的概念去完成这一任务。网络图论又称为网络拓扑学，适应用图的理论（教学领域的一个分支），对电路的结构及其连接性质进行分析和研究。
在网络分析中，列写网络方程的主要问题是如何正确地选择其独立变量，“网络图论”的基本概念为选取这种独立变量提供了理论依据。
网络图论的基本概念包括支路(btanch)，节点(node)，图(graph)，树(tree)，回路(loop)，割集(cut)等。在网络图论中，图所涉及的仅表明网络中各支路的联接情况，而不涉及元件的性质，即它只是用以表示网络的几何结构或拓扑结构的图形。 1.1关联矩阵
关联矩阵描述支路与节点的关联性质。
图1所示有向连通拓扑图有如下特征：节点数n=4，支路数b=5。
关联矩阵中行对应于节点，列对应于支路。取值1、-1表示支路与节点关联，并体现出流出或流入节点，取值0表示不关联。
其中KCL方程：AI=0;KVL方程：U=AV。其中A为关联矩阵；I为支路电流列向量；U为支路电压列向量；V为n-1个独立节点电压列向量。
图1 关联矩阵有向连通拓扑图图
图2 回路有向连通拓扑图
1．2 回路矩阵
回路矩阵：描述支路与回路的关联性质。具有独立回路如图2 所示有向连通拓扑图有如下特征：节点数n=4、支路数b=6；树支数n-1=3，连支数b-(n-1)=3。若选定支路b1、b2、b3 为树支，则b4、b5、b6 为连支。行对应一回路，列对应一支路。
1．3 割集矩阵
割集矩阵：描述支路与割集的关联性质。具有割集状态如图3 所示有向连通拓扑图有如下特征：节点数n=4、支路数b=6;树支数n-1=3，连支数b-(n-1)=3。若选定支路b1、b2、b3 为树支，则b4、b5、b6 为连支。基本割集为单树支割集如3 所示C1，C2，C3。
割集矩阵C 中行对应于基本割集，列对应于支路。KCL：CI=0；KVL：U=CTUx。Ux 为割集电压列向量。
图3 割集矩阵有向拓扑图图4 基本电路结构
1．4 A、B、C 与节点法、回路法的关系
根据关联矩阵A、回路矩阵B、割集矩阵C 基本知识，分析图4 所示电路结构可得如下关系：
（1）标准支路伏安关系：
U
I
Z
I
Z
U sk
sk
k
k k
k
.
.
.
.
-
+
=
（2）矩阵支路伏安关系：
I
U
Y
U
Y
I s
s
b
b b
b
.
.
.
.
-
+
=
（其中Yb 为支路导纳矩阵，等于阻抗的倒数）
（3）支路电压与节点电压关系：
U
A
U m b
T
.
.
=
（4）支路电流关系：
I
A U b b
.
.
=
（5）节点电压关系：
I Y
Y n n n
.
.
=
（其中
A
Y
A
Y T
b
n=
，
U
Y
A
I
A
I s
n b
s
.
.
-
=
）
2 利用节点法求解电路具体实例
图5 电路结构图
2.1 节点法求电路各支路电流、支路电压
（1）图5 所示左图为电路结构，右图为其拓扑图。选定地点作为参考点，对其余节点分别编号为①、②、③；
（2）拓扑图支路分别编号为1、2、3、4、5 并按图中所示选定支路方向。 （3）列出相关矩阵。
??
???
?????--=100100011101001A ????????????????=100000200000300000101Y b
?????
???????????-=01000.U s ?????
???????????-=10000.I s
（4）求解矩阵参数I n .
，Y n
;
210151013b n ?????
?????----==
A
Y A Y T
;102..
.
n
????
?
?????-=-=
U Y A I A
Y
s s b
（5）计算结果。
;
48.004.068.0.
1.
.
.
n ????
??????==?=-I Y U I U Y n n n n n
由此可知：①点电压为0.68V ；②点电压为0.04V ；③点电压为-0.48V 。 2.2 利用MATLAB 实现计算机程序求解
A=［1 0 0 1 0；-1 1 1 0 0；0 -1 0 0 1］；
Yb=［1 0 0 0 0；0 1 0 0 0；0 0 3 0 0；0 0 0 2 0；0 0 0 0 1］； Us=［0 0 0 -1 0］； Is=［0 0 0 0 -1］； Yn=A*Yb*A ’； In=A*Is-A*Yb*Us ； Un=inv （Yn ）*In ； 3 结束语
通过对电路的矩阵论分析，充分展现出了数学所发挥的优势。在实际应用当中，网络拓扑理论既达到了优化电路求解的目的，又实现了数学的学科转移，真正做到了学以致用。实践证明，基于矩阵的网络拓扑分析和电路求解的完美结合，使电路分析趋于简单。
参考文献
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矩阵理论在通信网络中的应用 ——利用幺模矩阵分析最小费用流问题 摘要 将通信网络中节点间的业务看作是一个流，假设一对节点间存在v个流量的业务需求，怎样使得最终达到满足要求且费用最小。通过线性规划建模，利用矩阵理论中完全幺模矩阵以及幺模矩阵的知识，保证求得的最优解为整数解，使得最小费用流问题得以解决。 关键字：最小费用流，完全幺模矩阵，幺模矩阵，整数解 ABSTRACT View the business communication between nodes in the network as a stream, a v of the flow between nodes business needs, how to make the end meet the requirements and minimum cost. The linear programming model, by using matrix theory totally unimodular matrix
and knowledge unimodular matrix, guarantee to obtain the optimal solution for the integer solution, so that the minimum cost flow problem can be solved. Key Words: Minimum Cost Flow ,Totally Unimodular ,Unimodular , integer solution 第一章矩阵理论简介 根据世界数学发展史的记载，矩阵理论概念剩余19世纪50年代，是为了解决线性方程组的需要而诞生的。1855年，英国数学家Caylag在研究线性变换下的不变量时，为了简介、方便而引入了矩阵的概念。矩阵的理论发展非常的迅速，到19世纪末，矩阵理论体系已经基本形成。到20世纪，矩阵理论得到了进一步的发展。目前，它已近发展成为在物理、控制论、经济学、等学科有大量应用的分支。 用矩阵的理论与方法来处理通信网络技术中的各种问题已越来越普遍。在通信工程技术中引进矩阵理论不仅使理论的表达极为简捷，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是不容置疑的，更由于计算机和计算方法的普及发展，不仅为矩阵理论的应用开辟了广阔的前景，也使通信网络技术的研究发生新的变化，开拓了崭新的研究途径，例如网络中的最小费用流问题、最短分离路径对问题、多商品流问题等，无不与矩阵理论发生紧密结合。因此矩阵的理论与方法已成为研究通信工程技术的数学基础。
五邑大学研究生矩阵理论论文
矩阵理论在信号系统中的应用 摘要：在20世纪50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，现代控制理论在上世纪60年代开始形成并得到了迅速的发展。现代控制理论的重要标志和基础就是状态空间方法。现代控制理论用状态空间法描述输入、状态、输出等各种变量间的因果关系。不但反映系统输入与输出的外部特性，而且揭示了系统内部的结果特性，可以研究更复杂而优良的控制算法。现代控制理论及使用于单变量控制系统，有适用于多变量控制系统，既可以用于线性定常系统，又可以用于线性时变系统，还可用于复杂的非线性系统。 本文主要介绍了连续时间线性时不变系统零输入响应运动分析，如何利用数学模型，求解线性定常系统的零输入响应问题。是矩阵理论中约当标准形和对角线标准形在线性系统理论中的一个很典型的应用。 状态与状态变量：系统在时间域中运动信息的集合称为状态。确定系统状态的一组独立（数目最少的）变量称为状态变量。它是能完整地确定地描述系统的时间行为的最少的一组变量。 状态向量：如果n 个状态变量用()1x t 、()2x t 、…()n x t 表示，并把这些状态变量看做是 向量X （t ）的分量，则向量X （t ）称为状态向量，记为()()()()12n x t x t X t x t ????? ?=???????? 或者()()()()12T n X t x t x t x t =???? 状态空间：以状态变量()1x t 、()2x t 、…()n x t 为坐标轴构成的n 维空间。 状态方程：描述系统的状态变量之间及其和系统输入量之间关系的一阶微分方程组 线性系统：满足叠加原理的系统具有线性特性 零输入响应：若输入的激励信号为零，仅有储能元件的初始储能所激发的响应，称为零输入响应。 一、线性系统状态方程： A ：表示系统内部状态关系的系数矩阵 B ：表示输入对状态作用的输入矩阵 从数学的角度上，就是相对于给定的初绐状态x0和外输入u （t ），来求解状态方程的解，即系统响应。解的存在性和唯一条件：如果系统A 、B 的所有元在时间定义区间 []0t t α上均为 t 的实值连续函数，而输入u(t)的元在时间定义区间[]0t t α上是连续 实函数，则其状态方程的解X(t)存在且唯一。 ()()[] ()()0 )0(x t t :)(x t t :0 000≥=+=∈=+=t x Bu A t t t x t Bu A x x x x 时不变时变α
矩阵分析在通信领域的应用学院：电气与电子工程学院 学号：____201606001____ 姓名：___江诚____
矩阵分析在通信领域的应用 【摘要】矩阵是数学的基本概念之一，也是线性代数的核心内容。矩阵广泛运用于各个领域，如数学建模、密码学、化学、通信和计算机科学等，解决了大量的实际问题。本文主要介绍矩阵在通过信领域的应用，如：在保密通信中，应用逆矩阵对通信的信息进行加密；在信息论中，利用矩阵理论计算信源熵、信道容量等；在信息论的信道编码中，利用监督矩阵，生成矩阵，对信道中的信息进行编码，利用错误图样对信道传输的信息进行纠正；此外，矩阵分析在MIMO技术这个模块中也有着很重要的应用，基本可以说矩阵分析是MIMO技术研究的基础。关键词：矩阵;保密通信;信道容量;信道编码;MIMO 1、引言 随着科技快速稳健的发展，通信技术也得到了飞速的发展，人们对通信的要求也不断提高，不仅要求通信的实时性、有效性，还要求通信的保密性。而现实环境中，由于噪声的影响，常常使通信出现异常，这就要求人们对接收到的信号能够更好的实现检错纠错。此外，在频谱资源的匮乏己经成为实现高速可靠传输通信系统的瓶颈。一方面，是可用的频谱有限;另一方面，是所使用 的频谱利用率低下。因此，提高频谱利用率就成为解决实际问题的重要手段。多进多出(MIMO)[1]技术即利用多副发射天线和多副接收天线进行无线传输的 技术，该技术能够很好的解决频谱利用率的问题。然而对以上通信中存在的问题的分析和研究都需要用到矩阵理论的知识，本文把矩阵理论和其在通信领域的应用紧密结合，通过建立一些简单的分析模型，利用矩阵知识将通信领域很多复杂的计算和推导变得简单明了。 2、矩阵在通信领域中的应用 2.1 矩阵在保密通信中的应用[2] 保密通信是当今信息时代的一个非常重要的课题, 而逆矩阵正好在这一领域有其应用。我们可以用逆矩阵[3][4]所传递的明文消息进行加密(即密文消息)，然后再发给接收方,而接收方则可以采用相对应的某种逆运算将密文消息编译成明文。
矩阵论在电路分析中的应用 随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用。当今电子计算机及计算技术的迅速发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于工科研究生来说是必不可少的。全国的工科院校已普遍把“矩阵论”作为研究生的必修课 。 对于电路与系统专业的研究生，矩阵论也显得尤为重要。本文以电路与系统专业研究生的必修课《电网络分析与综合》为例，讲解矩阵论的重要作用。 在电路分析中，对于一个有n 个节点，b 条支路的电路图， 每条支路的电压和电流均为未知，共有2b 个未知量。根据KCL 我们可以列出（b-1）个独立的方程，根据KVL 我们也可以列 出（b-n+1）个独立的方程，根据每条支路所满足的欧姆定律，我们还可以可以列出b 个方程；总共2b 个方程要解出b 个支 路电流变量和b 个支路电压变量。当b 的数值比较大时，传统 的解数学方程组的方法已经不再适用了，因此我们需要引入矩 阵来帮助我们求解电路。 一. 电网络中最基本的三个矩阵 图 1 1. 关联矩阵 在电路图中，节点和支路的关联性质可以用关联矩阵][ij a A =来表示。 选取一个节点为参考节点后，矩阵A 的元素为： ?? ???-+=个节点无关联条支路与第第方向指向节点个节点相关联，且支路条支路与第第方向离开节点个节点相关联，且支路条支路与第第i j i i j i i j a ij 0 1 1 图1中电路图的关联矩阵为 ????????????= 0 1- 0 1- 1- 0 0 1- 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1- 1-0 0 1- 1 0 0 1 A 2. 基本回路矩阵
矩阵论论文 论文题目：矩阵微分在BP神经网络中的应用 姓名: 崔义新 学号: 20140830 院（系、部）: 数学与信息技术学院 专业: 数学 班级: 2014级数学研究生 导师: 花强 完成时间: 2015 年 6 月
摘要 矩阵微分是矩阵论中的一部分，是实数微分的扩展和推广.因此，矩阵微分具有与实数微分的相类似定义与性质.矩阵微分作为矩阵论中的基础部分，在许多领域都有应用，如矩阵函数求解，神经网络等等. BP网络，即反向传播网络(Back-Propagation Network）是一种多层前向反馈神经网络，它是将W-H学习规则一般化，对非线性可微分函数进行权值训练的多层网络. 它使用最速下降法，通过反向传播来不断调整网络的权值和阈值，使网络的误差平方和最小.在其向前传播的过程中利用了矩阵的乘法原理，反传的过程中则是利用最速下降法，即沿着误差性能函数的负梯度方向进行，因此利用了矩阵微分. 关键词:矩阵微分;BP神经网络;
前 言 矩阵微分(Matrix Differential)也称矩阵求导(Matrix Derivative)，在机器学习、图像处理、 最优化等领域的公式推导过程中经常用到.本文将对各种形式下的矩阵微分进行详细的推导. BP （Back Propagation ）神经网络是1986年由Rumelhart 和McCelland 为首的科学家小组提出，是一种按误差逆传播算法训练的多层前馈网络，是目前应用最广泛的神经网络模型之一.BP 网络能学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，而无需事前揭示描述这种映射关系的数学方程.它的学习规则是使用最速下降法，通过反向传播来不断调整网络的权值和阈值，使网络的误差平方和最小.BP 神经网络模型拓扑结构包括输入层（input ）、隐层(hiddenlayer)和输出层(outputlayer). BP (Back Propagation)神经网络，即误差反传误差反向传播算法的学习过程，由信息的正向传播和误差的反向传播两个过程组成.输入层各神经元负责接收来自外界的输入信息，并传递给中间层各神经元；中间层是内部信息处理层，负责信息变换，根据信息变化能力的需求，中间层可以设计为单隐层或者多隐层结构；最后一个隐层传递到输出层各神经元的信息，经进一步处理后，完成一次学习的正向传播处理过程，由输出层向外界输出信息处理结果.当实际输出与期望输出不符时，进入 误差的反向传播阶段. 误差通过输出层，按误差梯度下降的方式修正各层权值，向隐层、输入层逐层反传.周而复始的信息正向传播和 误差反向传播过程，是各层权值不断调整的过程，也是神经网络学习训练的过程，此过程一直进行到网络输出的误差减少到可以接受的程度，或者预先设定的学习次数为止. 1 矩阵的微分 1.1 相对于向量的微分的定义 定义1 对于n 维向量函数，设函数 12 ()(,,,)n f f x x x =X 是以向量X 为自变量的 数量函数，即以n 个变量 x i 为自变量的数量函数. 我们将列向量 1n f x f x ???????? ???????????? 叫做数量函数f 对列向量X 的导数， 记作 1n f x df f f d f x ??? ?????= = =????? ???????? grad X 12T n df f f f d x x x ?? ???=? ?????? X （1.1）
利用矩阵理论详细推导MIMO 信道容量 摘要 多输入多输出(MIMO)技术被认为是现代通信技术中的重大突破之一，以其能极大增加系统容量与改善无线链路质量的优点而受到了越来越多的重视与关注。通信信道容量是信道进行无失真传输速率的上界，因此研究MIMO 的信道容量具有巨大的指导意义。本文把矩阵理论知识与MIMO 技术信道容量中的应用紧密结合，首先建立了MIMO 信道模型，利用信息论理论和矩阵理论详细推导出MIMO 信道容量。并得出重要结论。 关键词： MIMO ；信道容量；奇异值分解 一、 引言 MIMO Multiple Input-Multiple Output)是指在通信链路的发送端与接收端均使用多个天线元的传输系统,它能够将传统通信系统中存在的多径因素变成对用户通信性能有利的因素,从而成倍地提高业务传输速率。矩阵理论在通信，自动控制等工程领域里应用广泛，而通信的难点在于信道的处理，因此，矩阵理论与无线信道的研究是一个很好的切入点。目前，MIMO 技术的信道容量和空时编码，空时复用等技术都离不开矩阵理论的应用。 二、 利用矩阵理论详细推导MIMO 信道容量 1) MIMO 信道介绍 MIMO 是多输入多输出系统，当发送信号所占用的带宽足够小的时候，信道可以被认为是平坦的， 这样，MIMO 系统的信道用一个R T n n ?的复数矩阵H 描述，H 的子元素,j i h 表示从第(1,2,...)R j j n =根发射天线到第(1,2,...)T i i n =根接收天线之间的空间信道衰落系数[1]。如下图所示： 1112121 22212T T R T R R n n n n n n H h h h h h h h h h ??????=???? ???? (2.1) 每个符号周期内，发送信号可以用一个1T n ?的列向量12[]T T i n x x x x x =??????表示，其中i x 表示 在第i 个天线上发送的数据。同时，用一个1R n ?的列向量12[]R T i n y y y y y =??????表示，其中i y 表示在第i 个天线上发送的数据。对于高斯信道,发射信号的最佳分布也是高斯分布[1]。因此,x 的元素是零均 值独立同分布的高斯变量。发送信号的协方差可以表示为： {}H xx R E xx = (2.2) 发送信号的功率可以表示为 ()xx P tr R = (2.3) 接收信号和噪声可以分别用两个1R n ?的列向量y 和n 表示。其中信道噪声是加性噪声，服从循环对称复高斯分布，并且与发射信号x 不相关，假设n 均值为0，功率为2σ。噪声的协方差为： 2 R H nn n R E nn I σ??==?? (2.4) 通过这样一个线性模型，接收信号可以表示为 y Hx n =+ (2.5)
题目: 矩阵论在电气工程中的应用指导老师: xxx 学生姓名：xxx 所属院系：电气工程学院 专业：电气工程 学号：xxx 完成日期：20xx年x月x日
矩阵论在电气工程中的应用 摘要 电路分析是电气专业领域人员必需的一项能力。该知识具有概念性强、电路分析繁杂求解计算量大的特点。为了解决这个问题，因此引入了矩阵理论，并结合软件对矩阵分析的良好支持，以期达到优化分析电路的目的。本文就矩阵理论中的网络拓扑知识展开，介绍了网络拓扑在电路中的应用，并以给予求解。 关键词：电路分析矩阵法网络拓扑 ABSTRACT： Circuit analysis is an essential ability of professional personnel in the field of electronic. The concept of strong, complex circuit analysis calculation with the knowledge of the characteristics of large amount. In order to alleviate this problem, so we introduced matrix theory, combined with good support analysis software for matrix, in order to achieve the purpose of optimization of circuit analysis. In this paper, the network topology in matrix theory unfolds, introduces the application of network topology in circuit, and to give the solution. KEY WORDS：circuit analysis；matrix method；network topology 0 前言 矩阵是线性代数里的一个重要概念，在电路网络分析、工程结构分析等面，矩阵都是一个强自力的工具，因为它能使较复杂的计算过程简化成一系列的四则运算，便于用计算机的算法语言或程序进行描述和解答。当运行这些程序时，能迅速地得到较准确的计算结果。在电子领域基础知识电路分析中，经过理论分析
矩阵论在通信领域中的应用 基于多输入多输出技术（MIMO）信道容量的分析 1 背景分析 频谱资源的匮乏己经成为实现高速可靠传输通信系统的瓶颈。一方面，是可用的频谱有限;另一方面，是所使用的频谱利用率低下。因此，提高频谱利用率就成为解决实际问题的重要手段。多进多出(MIMO)技术即利用多副发射天线和多副接收天线进行无线传输的技术的提出很好地解决了这个问题。 多输入多输出(MIMO)技术能极大增加系统容量与改善无线链路质量的优点。通信信道容量是信道进行无失真传输速率的上界，因此研究MIMO的信道容量具有巨大的指导意义。但是对信道容量的推导分析是一个很复杂的过程，但是应用矩阵的知识进行分析能很好的解决这个问题，本文把矩阵理论知识与MIMO技术信道容量中的应用紧密结合，首先建立了MIMO信道模型，利用信息论理论和矩阵理论建立系统模型详细推导出MIMO信道容量,通过程序仿真反应实际情况，可以更直观正确的得出重要结论，这些结论的得出没有矩阵的知识是很难实现的。 2 问题的提出 基于MIMO的无线通信理论和传输技术显示了巨大的潜力和发展前景。MIMO 技术的核心是空时信号处理，利用在空间中分布的多个天线将时间域和空间域结合起来进行信号处理，有效地利用了信道的随机衰落和多径传播来成倍的提高传输速率，改善传输质量和提高系统容量，能在不额外增加信号带宽的前提下带来无线通信性能上几个数量级的提高。目前对MIMO技术的应用主要集中在以空时编码(STC,Space-Time Codes)为典型的空间分集(diversity)和以BLAST(Bell LAyered Space-Time architecture)为典型的空间复用(multiplexing)两个方面。MIMO作为未来一代宽带无线通信系统的框架技术，是实现充分利用空间资源以提高频谱利用率的一个必然途径。 可问题是，MIMO系统大容量的实现和系统其它性能的提高以及MIMO系统中
可逆矩阵及其在保密通信中的应用 摘 要 本文在可逆矩阵的定义、性质及求法的基础上，讨论了判断可逆矩阵的方法、分块可逆矩阵的求法以及可逆矩阵的一类求法，并通过实例给出了具体应用.介绍了保密通信及可逆矩阵在其中的应用. 关键词 矩阵理论；可逆矩阵；保密通信；伴随矩阵；性质 0 引言 随着科学技术的不断进步，矩阵理论已成为众多高科技邻域不可或缺的组成部分.而逆矩阵是其非常重要并且是较难理解的一部分内容，但在许多线性代数教科书中逆矩阵相关知识点却零零散散，而且忽略了其重要实际应用，以至于让很多人错误地认为逆矩阵没有多大用处.为了能具体地、形象地认识逆矩阵，将抽象的知识具体的表现出来，掌握其本质，更能简单的运用到实际当中.在我们学过的高等代数教材中对可逆矩阵给出了明确的定义，但未对可逆矩阵的求解方法详细的介绍，本文主要讨论可逆矩阵的求解方法及其在保密通信中的应用. 1 可逆矩阵 定义1 在线性代数中，对于任意一个n 阶方阵A ，如果有n 阶方阵B ，使得=AB BA E =，其中E 为n 阶单位矩阵，则称A 是可逆的，且B 是A 的逆矩阵，记作1 A -. 若方阵A 的逆矩阵存在，则称A 为非奇异方阵或可逆矩阵. 可逆矩阵的性质
性质1 若A 是可逆的，则1 A -也可逆，且()1 1 A A A --=. 性质2 若A 、B 是两个同阶可逆矩阵，则AB 也可逆，且()1 11AB B A ---=. 性质3 若可逆矩阵A 的转置矩阵为T A ，则() ()1 1T T A A --=. 性质4 若A 是可逆矩阵，则有1 1A A --=. 可逆矩阵的判定 定理1 初等变换不改变矩阵的可逆性. 证明 设A 经过一次初等行变换得到B ，那么存在一个初等矩阵E ，使得 EA B =.由于初等矩阵可逆，当A 可逆时，EA 也可逆，即B 可逆。另一方面，1A E B -=，当B 可逆时，1E B -可逆，即A 可逆.对列变换的情形可类似的证明. 几个充要条件 定理2 A 可逆?n A I ?. 定理3 A 可逆1 s A P P ?=，i P 是初等矩阵. 证明 设A 可逆，则A 的等价标准形为n I ，即 存在初等矩阵12s 1,2,, ,,,,,t P P P Q Q Q 使得s 211,2t n P P P AQ Q Q I =， 于是1111 1112 s 21n t A P P P I Q Q Q ------= 11 111112 s 21t P P P Q Q Q ------= 故A 可表示成一些初等矩阵的乘积. 定理4 A 可逆?只经过行初等变化为n I . 证明 因为A 可逆?存在 初等矩阵12s ,,,P P P 使得12 s A PP P =?1 11 s 21P P P A E ---=?A 经过 s 次初等变换化成E . 定理5 设A ,B 是两个n 阶矩阵，则AB A B =. 推论1 设12,, ,s A A A 都是n 阶矩阵，则
矩阵论在电路分析中的应用 随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用。当今电子计算机及计算技术的迅速发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于工科研究生来说是必不可少的。全国的工科院校已普遍把“矩阵论”作为研究生的必修课。 对于电路与系统专业的研究生，矩阵论也显得尤为重要。本文以电路与系统专业研究生的必修课《电网络分析与综合》为例，讲解矩阵论的重要作用。 在电路分析中，对于一个有n个节点，b条支路的电路图， 每条支路的电压和电流均为未知，共有2b个未知量。根据KCL 我们可以列出（b-1）个独立的方程，根据KVL我们也可以列出 （b-n+1）个独立的方程，根据每条支路所满足的欧姆定律，我 们还可以可以列出b个方程；总共2b个方程要解出b个支路电 流变量和b个支路电压变量。当b的数值比较大时，传统的解数学方程组的方法已经不再适用了，因此我们需要引入矩阵来帮助我们求解电路。 一. 电网络中最基本的三个矩阵图 1 1.关联矩阵
在电路图中，节点和支路的关联性质可以用关联矩阵][ij a A =来表示。 选取一个节点为参考节点后，矩阵A 的元素为： ?????-+=个节点无关联条支路与第第方向指向节点个节点相关联，且支路条支路与第第方向离开节点个节点相关联，且支路条支路与第第i j i i j i i j a ij 0 1 1 图1中电路图的关联矩阵为 ????????????= 0 1- 0 1- 1- 0 0 1- 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1- 1-0 0 1- 1 0 0 1 A 2. 基本回路矩阵 在电路图中，基本回路和支路的关联性质可以用基本回路矩阵][ij f b B =来表示。当选定电路图中的一个树，额外再增加一个连枝的时候，就会形成一个基本回路。选取基本回路的方向与它所关联的连枝方向一致，矩阵f B 的元素为： ?? ???-+=个回路无关联条支路与第第反方向和基本回路方向相个回路相关联，且支路条支路与第第同方向和基本回路方向相个回路相关联，且支路条支路与第第i j i j i j b ij 0 1 1 图1中电路图的基本回路矩阵为 ???? ??????=1 0 0 1- 1 0 0 0 1 0 1- 1 1- 1 0 0 1 0 1- 1 1-f B 3. 基本割集矩阵 在电路图中，基本割集和支路的关联性质可以用基本割集矩阵][ij f q Q =来表示。当选
矩阵应用简介 The introduction of Matrix application 作者：刁士琦 2015/12/27
摘要 本课题以线性代数的应用为研究对象，通过网络、书籍查询相关知识与技术发展。 全文分为四部分，第一部分是绪论，介绍本课题的重要意义。第二部分是线性代数的发展。第三部分是经典矩阵应用。第四部分是矩阵应用示例。第五部分为结论。 关键词：莱斯利矩阵模型、希尔密码
目录 摘要 (2) 1 引言 (4) 2 矩阵的发展 ............................................................................................ 错误！未定义书签。 3 经典矩阵应用 (4) 3.1矩阵在经济学中的应用 (4) 3.2矩阵在密码学中的应用 (7) 3.3莱斯利矩阵模型 (5) 4 矩阵应用示例 (6) 4.1经济学应用示例 (6) 4.2希尔密码应用示例 (7) 4.3植物基因分布 (7) 6 结论 (8) 参考文献 (9)
1引言 线性代数是以向量和矩阵为对象，以实向量空间为背景的一种抽象数学工具，它的应用遍及科学技术的国民经济各个领域。 2矩阵的发展 1850年，西尔维斯特在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程时，由于无法使用行列式，所以引入了Matrix-矩阵这一词语。现代的矩阵理论给出矩阵的定义就是：由mn 个数排成的m行n列的数表。在此之后，西尔维斯特还分别引入了初等因子、不变因子的概念[5]。虽然后来一些著名的数学家都对矩阵中的不同概念给出了的定义，也在矩阵领域的研究中做了很多重要的工作。但是直到凯莱在研究线性变化的不变量时，才把矩阵作为一个独立的数学概念出来，矩阵才作为一个独立的理论加以研究。 矩阵概念的引入，首先是由凯莱发表的一系列和矩阵相关的文章，将零散的矩阵的知识发展为系统完善的理论体系。矩阵论的创立应归功与凯莱。凯莱在矩阵的创立过程中做了极大的贡献。其中矩阵的转置矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵的定义都是由凯莱给出的。“从逻辑上来说，矩阵的概念应限于行列式的概念，但在历史上却正好相反。”凯莱如是说。1858年，《A memoir on the theory of matrices》系统阐述了矩阵的理论体系，并在文中给出了矩阵乘积的定义。 对矩阵的研究并没有因为矩阵论的产生而停止。1884年，西尔维斯特给出了矩阵中的对角矩阵和数量矩阵的定义。1861年，史密斯给出齐次方程组的解的存在性和个数时引进了增广矩阵和非增广矩阵的术语。同时，德国数学家弗罗伯纽斯的贡献也是不可磨灭的，他的贡献主要是在矩阵的特征方程、特征根、矩阵的秩、正交矩阵、矩阵方程等方面。并给出了正交矩阵、相似矩阵和合同矩阵的概念，指明了不同类型矩阵之间的关系和矩阵之间的重要性质。 3经典矩阵应用 3.1矩阵在经济学中的应用 投入产出综合平衡模型是一种宏观的经济模型,这是用来全面分析某个经济系统内
研究生“矩阵论”课程课外作业 姓 名： 学 号： 学 院： 专 业： 类 别： 上课时间： 成 绩： 矩阵论在人口迁移问题中的应用 摘要 本文根据矩阵论的理论解决实际中的人口迁移问题，做出简单的分析和概括。文中运用方阵函数()f A 的相关基本理论来解决这一实际问题，使得实际问题得到简化解决，最终得出人口迁移问题的最终结论。 1、待解决问题内容： 假设有两个地区—如北方和南方，之间发生人口迁移，每一年北方50%的人口迁移到南方，同时有25%的南方人口迁移到北方，直观上可由下图表示： 问题：这个移民过程持续下去，北方的人会不会全部搬到南方？如果会请说明理由；如果不会，那北方的人最终人口分布会怎样？ 2、基本术语解释 方阵函数()f A ：最简单的方阵函数是矩阵多项式 01()n n B f A a E a A a A ==+++，其中,n n i A C a C ?∈∈。一般运用复变幂级数的和函数定义方阵幂级数和函数—方阵函数。 3、基本理论阐述：
1、Hamilton-Cayley 定理： 设矩阵A 的特征多项式为 ()f λ，则有()0f A =。 设A 的特征多项式为：()1101n n n f a a a λλλλ--=++++ Hamilton-Cayley 定理表明： ()11010n n n f A A a A a A a E --=++++=，即方阵函数可以由1,,,,n n A A A E -的线性组合表示。 方阵函数是多项式()01f A a E a A =++，其中,n n i A C a C ?∈∈。 2、最小多项式的相关理论： 定义1：A 是n 阶方阵， ()f λ是方阵A 的特征多项式。如果有()0f A =，则称()f λ是方阵A 的零化多项式。由Hamilton-Cayley 定理知一个矩阵的零化多项式一定存在。 定义2：在n 阶方阵A 的所有零化多项式中，次数最低的首一多项式，称为A 的最小多项式。 设n n A C ?∈的最小多项式为1212()()()()s t t t s m λλλλλλλ=--- 其中12s t t t t +++=，(,,1,2, ,)i j i j i j s λλ≠≠=，而方阵函数()f A 是收敛的方阵幂级数 0k k k a A ∞=∑的和函数，即 设1011()t t T b b b λλλ--=+++，使 ()()()()l l i i f T λλ= 1,2,,0,1, ,1i i s l t =?? ?=-??，则0()()k k k T A f A a A ∞===∑ 3、运用()f z 在A 上的谱值计算方阵函数()f A 的理论： 设n 阶方阵A 的最小多项式为12 12()()()()s t t t s m λλλλλλλ=---，其中2,,,s λλλ是A 的互不相同的特征根。如果复函数()f z 及其各阶导数()()l f z 在(1,2, ,)i z i s λ==处的导数值，即 均为有限值，便称函数 ()f z 在方阵A 的谱上给定，并称这些值为()f z 在A 上 的谱值。 4、报告正文
矩阵理论(论文) 矩阵理论在通信领域的应用 学生： 学号：
矩阵理论在通信领域的应用 【摘要】矩阵是数学的基本概念之一，也是线性代数的核心内容。矩阵广泛运用于各个领域，如数学建模、密码学、化学、通信和计算机科学等，解决了大量的实际问题。本文主要介绍矩阵在通过信领域的应用，如：在保密通信中，应用逆矩阵对通信的信息进行加密；在信息论中，利用矩阵理论计算信源熵、信道容量等；在信息论的信道编码中，利用监督矩阵，生成矩阵，对信道中的信息进行编码，利用错误图样对信道传输的信息进行纠正；此外，矩阵分析在MIMO技术这个模块中也有着很重要的应用，基本可以说矩阵分析是MIMO技术研究的基础。关键词：矩阵;保密通信;信道容量;信道编码;MIMO 1、引言 随着科技快速稳健的发展，通信技术也得到了飞速的发展，人们对通信的要求也不断提高，不仅要求通信的实时性、有效性，还要求通信的保密性。而现实环境中，由于噪声的影响，常常使通信出现异常，这就要求人们对接收到的信号能够更好的实现检错纠错。此外，在频谱资源的匮乏己经成为实现高速可靠传输通信系统的瓶颈。一方面，是可用的频谱有限;另一方面，是所使用 的频谱利用率低下。因此，提高频谱利用率就成为解决实际问题的重要手段。多进多出(MIMO)[1]技术即利用多副发射天线和多副接收天线进行无线传输的 技术，该技术能够很好的解决频谱利用率的问题。然而对以上通信中存在的问题的分析和研究都需要用到矩阵理论的知识，本文把矩阵理论和其在通信领域的应用紧密结合，通过建立一些简单的分析模型，利用矩阵知识将通信领域很多复杂的计算和推导变得简单明了。 2、矩阵在通信领域中的应用 2.1 矩阵在保密通信中的应用[2] 保密通信是当今信息时代的一个非常重要的课题, 而逆矩阵正好在这一领域有其应用。我们可以用逆矩阵[3][4]所传递的明文消息进行加密(即密文消息)，然后再发给接收方,而接收方则可以采用相对应的某种逆运算将密文消息编译成明文。
西安理工大学 研究生课程论文/研究报告 课程名称：矩阵论 任课教师：XXX 论文/研究报告题目: 矩阵论在机械工程中的应用 完成日期：2013 年10 月22 日 学科：矩阵轮 学号： 姓名：袁XX 成绩：
矩阵论在机械工程中的应用 摘要：矩阵论在机械工程中无论是在设计、制造、运行、试验、测试过程中都有广泛应用。矩阵论使得机械工程的许多计算变得简便。 关键词：矩阵论；机械设计；机械制造、机、电、液复合系统；数控机床；机器人； 引言：机械工程上无论在设计、制造、运行、试验、测璧等过程巾,经常要处理许多变量和变量之间的关系,这些变量间常存在着线性关系,而某些非线性关系的问题,在一定条件下也可以用线性关系近似表示,因而许多问题就涉及求解线性方程组。例如描述液压或机械系统运动微分方程组的求解,各种机械部件强度设计或应力求解,汽轮机、柴油机气缸等部件用有限元素法求解温度场等等.又例如,从一组测量数据 y x i i ,,(i=0,1,2…)去求出表示变量y 与二函数关系的近似公式x a a a n n x x f y +++==....)(10解的问题,可归结为求解以多项式系数 a a a a n ......,,210为未知量的线性方程组;再如,用有限元素法求构件应力分布,就要建立并 求解以节点位移为未知量的线性方程组,这类方程组中也常有几百个未知量,构成大型线性方程组;另外在推导一复杂控制系统的数学模型时,由于其输入和输出的数量可达数百个,使描述系统运动的微分方程组非常复杂综上所述,如果我们利用“矩阵运算”来表达这些大型线性方程组,可以具有符号简单、运算简易、分析方便、求解迅速等优点,因而它已得到了广泛 的应用.本文拟对矩阵论在机械工程中的应用作一简要介。【1】 矩阵论在机械设计过程中的应用 在机械设计过程中矩阵的应用，十分广泛。在机械结构的校核阶段需要对机械结构的强度、刚度、柔度进行设计、校核计算，在运用弹性力学，理论力学等复杂力学知识进行校验时存在许多变量之间的关系，用普通数学方程来表示会显得十分冗杂，并且求解过程也不是很方便，往往通过矩阵来表示他们之间的关系，通过矩阵来求解未知变量。例如：摩擦接触在工程中很普遍,如齿轮传动、摩擦传动等。摩擦的影响给原本就很复杂的接触分析带来了巨大困难,所以,摩擦接触行为的分析,被认为是固体力学中最具挑战性的问题之一，国内外许多学者致力于摩擦接触问题的研究，有人采用增量解法，理论阐述严谨，算例解答合理，具有一定的权威性,许多学者都引用它的算例和分析结果，不足之处是占内存大,迭代求解过程繁琐，计算量大。这也是摩擦接触分析面临的普遍困难，在一定程度上限制了它的工程应用。有人提出三维弹性接触分析的边界元柔度矩阵法来解决这个问题，这种方法计算也是矩阵在机械工程中应用的一大体现，矩阵的应用大大减少了边界元处理的数据量、建模简便、求解精度高而且由于柔度矩阵的使用使得在用计算机进行运算时占用内存少，迭代速度明显提升 【2】。在机械动力学设计过程中，由于要计算各点在每一时刻的位姿，必须引入矩阵来描述各个构建的位姿、速度、加速度。虽然可以通过各种仿真软件来进行仿真，但其内部计算都是通过一系列的矩阵运算、变换来完成的。例如：凸轮一连杆组合机构是纺织、轻工等多种工作机械中应用非常广泛的一种组合机构。它除可以保持原来凸轮机构和连杆机构的基本功能外,还能在运动学、动力学和传动性能等方面获得优良的性能,它能分别或同时准确地实现
“矩阵论”课程研究报告科目：矩阵理论及其应用教师：舒永录 姓名：朱月学号：20140702057t 专业：机械工程类别：学术 上课时间：2014 年9月至2014年12 月 考生成绩： 阅卷评语： 阅卷教师(签名)
相关变量的独立变换 摘要：用矩阵的理论及方法来处理实际生活中或现代工程中的各种问题已 越来越普遍。在工程中引进矩阵理论不仅是理论的表达极为简洁，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是毋庸置疑的。本文将矩阵论的知识用于解决实用机械可靠性设计问题。 正文 一、问题描述 在建立机械系统可靠性模型时，一般总假设个元素间关于强度相互独立。但是实际中，各元素间关于应力和强度又往往是相关的，并且这种相关性有时会对系统的可靠度产生显著影响。对于一些随机变量之间不是完全相关，但也不是完全独立的情况，就要进行相关变量的独立变换。 二、方法简述 设系统的基本变量为),,(21n x x x X ，??，各变量之间相关，则随机变量x 的 n 维正态概率密度函数为[1] )1()()(21exp ||2()(1 2 12 ? ??--???-=---X X T X X n X C X C X f μμπ） 式中 ?? ? ???????????=2321232212131212 ),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(21n X n n n n X n X X x x x x x x x x x x x x x x x x x x C σσσ 称为随机变量X 的协方差矩阵。矩阵中的任意元素),cov(j i x x 是变量i x 与变 量j x 的协方差，|C X |是协方差矩阵的行列式，1 -X C 是协方差矩阵的逆矩阵，X ，X μ及 )X X μ-（是n 维列向量 ?? ? ?? ?????--=-????? ?????=?? ??? ?????=n n X n X n x x X x x μμμμμμ 1111, , X
浅谈矩阵在实际生活中的应用 摘要：从数学的发展来看，它来源于生活实际，在科技日新月异的今天， 数学越来越多地被应用于我们的生活，可以说数学与生活实际息息相关。我们在学习数学知识的同时，不能忘记把数学知识应用于生活。在学习线性代数的过程中，我们发现代数在生活实践中有着不可或缺的位置。在本文中，我们对代数中的矩阵在成本计算、人口流动、加密解密、计算机图形变换等方面的应用进行了探究。 关键词：线性代数矩阵实际应用 Abstract:From the development of mathematics, we can see that it comes from our life. With the development of science and technology, the math is more and more being used in our lives, it can be said that mathematics and real life are closely related. While learning math knowledge we can not forget to apply mathematical knowledge to our life. In the process of learning linear algebra, we found that algebra has an indispensable position in life practice. In this article, we explore the application of the matrix in the costing, population mobility, encryption and decryption, computer graphics transform. Keywords: linear algebra matrix practical application
第27卷第4期 2005年12月 湘潭师范学院学报(自然科学版) Journal of Xiangtan Normal U niversity(N atural Science Edition) Vol.27N o.4D ec.2005 矩阵理论在其他数学学科中的应用 * 邢永丽,陈维兵,阎真真 (中国地质大学信息工程学院,北京100083) 摘 要:讨论矩阵理论在其他数学学科如最优化理论、图论等中的应用,给出若干用阵理论解题的例子,并给出与常规方法相比较的相应评价。 关键词:矩阵理论;矩阵的秩;矩阵的特征值 中图分类号:O1-1 文献标识码:A 文章编号:1671-0231(2005)04-0014-03 数学是科学之母,是众多学科的共同基础。随着计算机的飞速发展和信息时代的到来,在大多研究领域中,人们对定量研究越来越重视。可以说任何一个学科的发展都与定量分析和研究密不可分,而数学在定量研究中起着至关重要的作用。就数学本身而言,作为大学数学的老三高之一的高等代数是理工科专业特别是数学专业最重要的基础课之一。而矩阵理论是高等代数中的核心内容,矩阵理论中的许多思想和方法极大地丰富了数学的代数理论。 随着人们对科学研究的深入,矩阵理论的应用愈来愈广。它在众多学科和领域中发挥着不可替代的作用,如数学分析中多元函数的一阶近似、隐函数存在定理与矩阵理论密切相关;常微分方程中的一阶线性方程组和高阶线性方程理论的建立及其求解方法完全要建立在矩阵理论的基础上;解析几何上对于二次曲线、二次曲面的分类和研究,也必须用到矩阵理论;还有计算方法的许多理论,以及最优化理论中许多问题的提出和求解,图论上对图的定量研究都离不开了矩阵理论。总之,矩阵理论在其它数学学科和研究领域中应用的实例不胜枚举。因此我们不应该独立地学习它,应将其应用到其他的数学课程并同它们有机地结合起来,从而加深对高等代数的理解。而把矩阵理论应用到这些数学学科如最优化、图论等中时,与常规方法相比,往往会有独特的效果,使很多问题变得简单明了。就矩阵理论在最优化理论和图论中的应用举例说明。 1 最优化中的应用 最优化理论与算法是一门重要的数学分支,它所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。而矩阵理论在其中扮演重要角色,特别是最优化中线形规划的单纯形方法是完全基于矩阵理论的。这一节我们仅用矩阵理论来解决一个线性规划问题。1.1 设s ={x |A x \b },其中A 是m @n 矩阵(m >n),A 的秩为n, 证明:x (0)是极点的充要条件是:A 和b 可作以下分解: A = A 1A 2 , b = b 1b 2 , 其中A 1有n 行,且A 1的秩为n,b 1是n 维列向量,使得A 1x (0)=b 1,A 2x (0)\b 2。 分析:一般的最优化教材[1]上的证法基本都是把A 中的元素进行调整,将该问题转化成标准的最优 14 * 收稿日期:2005-04-06 作者简介:邢永丽(1963-),女,河北邯郸人,副教授,研究方向:计算数学。