中学数学教学中化归思想方法
孔祥丽
摘要：中学数学课程改革的一个主要特点是数学课程更加关注人的发展，关注学生数学素养的提高。因此引导学生领悟和掌握以数学知识为载体的化归思想方法既是提高自身素养、建立科学的数学观念的基础;也是发展数学，应用数学的重要保证。化归思想方法作为中学数学中最基本的思想方法一直倍受重视，但对中学数学教学中化归思想方法应用的研究相对较少，还没有形成比较成熟的研究模式或理论体系，与此有关的研究大多是结合具体数学问题来进行探讨，很多问题只停留在理论探讨上或经验的描述上。
本研究在分析文献的基础上，对化归思想方法及相关概念给出界定;对重庆市中学数学教师就三个方面的问题(1.中学数学教师对化归思想方法的了解掌
握情况。2.中学数学教师的教学理念。3.化归思想方法在教学中的应用情况。) 进行了抽样问卷调查和访谈。其中对化归思想方法在教学中的应用情况从备课、教学中的应用、复习课中对知识点的化归整合三个方面进行分析。
综合问卷调查和访谈结果，可得出以下结论:
1中学数学教师对化归思想方法的了解掌握情况方面:所有中学数学教师对化归思想方法有不同程度的了解，但情况不容乐观。
2.中学数学教师的教学理念方面:普遍认同数学教学是为了学生的发展;
认同数学思想方法在数学教学中的价值;但是仍然有一部分中学数学教师将数学教学的目的放在数学应试上。
3.化归思想方法在教学中的应用情况方面:在备课、教学、复习三个环节中，化归思想方法的应用并不是很多;但对化归思想方法在问题解决，知识整合方面的理论价值有一定共识。
通过上述分析结果对中学数学教学中融入化归思想方法有以下启示:能够从化归思想方法的角度分析教材内容，同时深入教材提炼总结化归思想方法;制定出长期的合理的计划，通过渗透阶段、突破阶段、应用阶段在教学实践中使学生逐渐形成化归思想。此外中学数学教师在教学中真正了解和应用化归思想方法，就要做到主动迎接数学课程改革的挑战和形成终身学习的意识;完善新课程改革下的中学数学教学评价体系;对中学教师减负;完善培训和师范教育中的课
程设置。
关键词:中学数学化归思想方法数学教学
一、问题的提出
1.1研究背景
1.1.1课程改革不断深入需要高度重视数学思想方法的教学
随着科技的发展，数学与其他学科间的相互渗透空前加强，数学的广泛应用
不仅形成了一大批新的应用数学学科，而且在与计算机的结合中，形成了数字技术，数学这种基础理论和基础应用已在社会发展中不可替代。现在很多行业都要用到数学，数学成为每个人必需的文化素养，数学大众化的时代已经到来。传统的数学课程与教学模式、教学目的、教学内容、教学手段等受到很大程度上的冲击。在这种背景下世界各国纷纷开始对以往数学教育发展历程做出了总结也提出了适应社会发展的数学教育纲要和数学课程改革计划。其中改革的一个主要特点便是数学课程更加关注人的发展，关注学生数学素养的提高。“而数学思想方法是铭记在人们头脑中永恒作用的数学观点和文化，数学的精神和态度，它使人思维敏捷，表达清楚，工作有条理，使人实事求是，锲而不舍，使人更好的理解，领略和创造现代社会文明。”①因此引导学生领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法既可提高自身素养，也是建立科学的数学观念、发展数学、应用数学的重要保证。
1.1.2理论与实践的现实诉求需要研究化归思想方法
(1)理论上的思考
首先数学思想方法作为一种思维工具既有利于数学的研究也促进数学理论
应用于实践。
其次化归思想方法统领着众多数学思想方法，化归思想方法是数学中最基本
的思想方法，它着眼于揭示联系实现转化，在迁移转化中达到问题的规范化。其它各种思想方法大多渗透有化归思想。如数形结合的思想---一将“形”的问题转化为“数”的问题，也可将“数”的问题转化为“形”的问题;函数与方程思想---一将不等式问题转化为方程、函数问题，将方程问题转化为函数问题等等; 分类讨论思想--一将整体转化为部分，先求得局部的解决，再进而求得整体的解决。以及各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法都是转化的手段。
化归思想方法无处不在、无处不有，它既是各种思想方法的基础又是各种思想方
法的灵魂，所以化归思想方法常称为解决问题的“常规方法”。
(2)实践上的需要
①教学大纲和课程标准对数学思想方法的认识
我国数学教学大纲对数学思想方法的认识也是一个从高到低的过程:大体
可分为四个阶段:
第一阶段：1978年以前教学大纲中没有提及到数学思想方法
第二阶段：1978年一1990年年教学大纲中提到对于数学思想方法要“渗透”、“相当渗透”
第三阶段：1990年以后教学大纲中提到对于数学思想方法要“掌握” 第四阶段：2001年以后《数学课程标准》中提到“帮助他们在自主探索和合作
交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。”
从以上表述词可以看出在第一阶段1978年以前人们还没有认识到数学思想方法
对数学的学习和问题解决的指导意义。在第二阶段:1978年、1980年、1986年、1990年四次修订大纲几乎都是同样的提法:“把集合、对应等思想适当渗透到教
材中去，这样，有利于加深理解有关教材，同时也为进一步学习做准备”。由此
可见数学思想方法开始受到重视。在第三个阶段:1992年，1996年，2000年三
次大纲的修订对数学思想方法都作了类似的处理:基础知识是指:初中数学中的
概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。从大纲对数学思想方法的表述来看，数学思想方法越来越受到数学教育家和
教育主管部门的重视，数学思想方法是数学基础知识的一部分，掌握数学思想与
掌握具体数学知识同等重要，已经成为人们的普遍认识。在第四个阶段，2001
年后随着《数学课程标准》的制定，将数学思想方法与基本的数学知识和技能放
在同一高度。
②化归思想方法是解决问题最基本的方法和手段，不仅仅在数学教学和学习中有
重要的意义，在学生的成长中也有十分重要的地位和价值，主要体现在以下三个
方面:
首先化归思想方法有利于培养学生的创新意识。
创新意识是创新活动的内在动力，没有创新意识就不存在创新活动。创新意
识也是学生积极学习，发挥潜能的必备条件。数学课程的教学从根本上讲是通过数学基本知识的学习，发展学生智力，培养其能力。化归思想方法的学习使学生掌握其中蕴含的基本规律从而具备相应的数学创新意识和能力。
其次化归思想方法有利于学生完善数学认知结构和提高迁移能力。
“认知结构是一个人的全部观念内容和组织特点或一个人在某个知识领域的全部观念和组织特点。”①数学的认知结构是一种逻辑结构，是由学生所学的
数学基础知识及各知识点之间的相互联系所构成。化归思想方法也是数学知识结构中的核心要素之一。学生的认知结构是从所学的数学知识结构转化而来。而在这种转化过程中都是以原有的知识结构为基础，通过化归思想方法，同化或顺应而完成。在这一过程中促进了学生认知结构的完善和发展。数学教育的目的不仅是学生获得数学知识更重要的是学生形成良好的认知结构及形成有序的，起基础作用的，有着生长点和开放面的知识结构。数学学习中的迁移是指提高学生数学概括学习和并列结合学习的一种能力，通过化归思想方法的学习可提高学生的迁移能力。“奥苏贝尔认为在一般的课堂学习中，并不存在孤立的“一个课题”和“另一个课题”的学习。学习“一个课题”是学习“另一个课题”的准备和前提，学习“另一个课题”不是孤立的，而是在同“一个课题”的联系中学习。因此，无论在接受学习或解决问题中，凡有已形成的认知结构影响新的认知功能的地方，就存在着迁移。”②因此化归思想方法作为对数学知识的提炼概括和本质认识也是数学问题解决，数学学习和教学的基本思想。化归思想方法的应用可使学生所学的数学知识不再是零散的知识点，对数学问题的解决也不再是机械的模仿。化归思想方法对学生进行有意义数学学习，形成有序的知识链，把数学知识内化为自身的认知结构及提高迁移能力有着极其重要的作用。
再次化归思想方法有利于发展学生思维能力和培养学生正确的世界观有重要作用。化归思想方法作为中学数学中的一种重要的思想方法对培养学生的思维能力和数学品质方面有重要的作用。日本数学教育家米山国藏曾经提出:“在初中、高中接受的数学知识在毕业进入社会后，几乎没什么应用，所以通常是出校门不到一两年就很快忘掉。然而，不管以后他们从事什么业务工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学精神、数学思维方法、研究方法、推理方法等却随时发生作用，使他们受益终身。”因此学习数学的目的不仅仅是为了考试，无论将来从事什么
工作，最重要的是要学到数学的精神与思想方法，而数学知识在工作中则是第二位的。这与我国古代教育家提出的“授之以鱼，不如授之以渔”的思想是一致的。此外化归思想方法其哲学基础是唯物辩证法。化归的实质是通过事物之间的联系和矛盾运动，将问题化归为已解决的问题。数学内部的逻辑联系:数学知识的纵向，横向联系，条件与结论之间的必然联系以及方法与方法之间的联系为化归思想方法的应用提供了可能。在实施新课程中化归思想方法是培养学生正确世界观理想素材。
(3)化归思想方法有利于数学问题的解决
据不完全统计，所有与化归思想方法相关的文献中，探讨化归思想方法与数
学问题解决的文献占到多半以上。特别是《数学方法论一问题解决的理论》(王子兴著，中南工业大学出版社1997)《数学方法与解题研究》(戴再平等著，高等教育出版社1996)等专著中对化归思想方法与数学问题解决作出了系统分析。总结这些文献可以得出化归思想方法有利于数学问题的解决的结论。具体总结如下:
问题解决是指学生对所学数学知识在新的，不熟悉的情景中应用的过程。
在这一过程中学生经历了探索思考，逻辑的推理等思维过程，其核心是学生数学的思考。数学问题可分为规范性问题和非规范性问题两类。其中规范性问题是指运用已有模式寻求问题的解决。非规范性问题是指通过一系列的化简转化成为规范性问题进而套用模式进行解决。在中学数学教材中几乎所有问题都是规范性问题。数学问题的解决不是解数学题或解数学应用题而是还应包括问题的提出和解决过程及学生的交流和反思过程。
解决任何一个数学问题的过程都是一个“转化与化归”的过程:复杂转化为
简单、模糊转化为清晰、未知转化为己知;一个领域内的问题转化和化归为另一个领域内的问题;实际问题化归为数学模型等等。因此在中学数学解题教学中，已学的知识点总是作为问题解决的基础，所有的计算题也终将化归为最简单的加减乘除。
在传统的数学教学中，总会出现这样一个怪圈:教师例题讲了不少，学生对相关数学题也练习了不少，但学生对问题的解答总是停留在模仿型解题的阶段，只要
条件稍稍一变就不知所措，常此以往学生一直不能形成较强解决问题的能力，更谈不上创新能力的形成。因此一些学生升入中学后会出现学习成绩下降。究其原因虽然是由于环境的变化、思维模式的变化，但更重要的是学生此时不能很好的调整学习方法。在课堂上教师对数学问题的解答只停留在就题论题阶段;学生的练习也停留在机械重复的强化训练阶段。这样的教学、学习模式既浪费了时间和精力又束缚了学生思维的自由发展，其实授之以“渔”比授之以“鱼”更为重要。因此在数学课堂教学中我们一定要重视培养学生的化归能力。化归思想应用于课堂教学，可以增大容量，提高学生应变能力，提高课堂45分钟的效益.学生对数学问题的解答会举一反三，触类旁通。解题能力和效率会得到较大的提高。可使学生能深刻体会所学知识点的作用，原有知识是现有知识的逻辑关系，解题所学知识点的再现。因此，在数学问题解决探索的教学中重点是让学生真正领悟隐含于数学问题解决探索中的化归思想方法。以下以解方式方程为例来具体说明。如分式方程的解答过程就是不断化归的过程。先将分式方程化归为整式方程;在对整式方程化归为简单的一元一次方程。
2.2.2化归思想方法的内涵
（1）现在讨论化归思想方法的涵义。要认识化归思想方法的内涵。首先得对化归思想、化归方法有一个清楚的了解。化归思想是指对问题做细致分析的基础上，通过对已学知识的回忆开启思维大门，借助旧知识，旧经验来处理新问题，即将未知问题化为已知问题、将较难问题化为容易问题、将繁琐问题化为简单问题以及化高维为低维、化数为形、化抽象为具体、化实际问题为数学问题等等的一种解题思想。化归思想包含三个要素:要化归的对象、化归的目标和化归的方法。
(2)概念界定混乱
化归思想方法在不同的文章和专著中表述不统一，主要出现了以下几种:
“化归思想”、“转化与化归”、“转化的思想”“化归方法”等。此外“数学思想”、“数学方法”、“数学知识”也没有形成精确的定义。只有在《数学思想方法及其教育价值》一文中给出了相关定义及其之间的关系。
(3)研究者比较单一
国内专业研究“化归思想方法”这一问题的学者较少。专著也不是很多。
很多书中对化归思想方法只是以一章的篇幅作以概括性的论述。研究者主要以中学教师为主。虽然中学教师对此问题论述较多，但都没有从理论上去认识这个问题，都是经验之谈。而且大多是以“化归的定义”加“例题”的模式展开，实为解题方法的介绍。
(4)对化归思想方法的消极面认识不够
几乎所有文章中都回避了归思想方法的消极面这个问题，只有在文献《“化归“当论》中提到这一问题。化归思想方法在科学研究中取得了巨大成功，但这种成功恰恰掩盖了以旧方法处理新事物的化归思想在方法上的局限性和在观念上的保守性。在教学中如何认识化归思想方法的这种保守与创新，在问题解决中如何处理“化不归”的现象等等问题值得进一步思考。
2.2化归思想方法的内涵及其相关概念的界定
由于以前文献中对这一思想方法在不同的文章和专著中有不同的表述，本文
采用“化归思想方法”这一表述，理由是虽然化归思想里包含有化归方法的含义，但化归方法又是作为一个独立的概念，是所有数学问题解决的方式，途径。
2.2.1相关概念的界定
首先我们明晰数学思想、数学方法、数学知识、数学思想方法的异同。这四
种概念虽然在不同的文章中提到，却不能像数学中的概念那样给出明确的定义，只能给出一种解释或界定。综合来说比较一致的认识是:
“数学思想”就是人们对数学知识和方法形成的规律性的理性认识、基本看法，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。在数学学习中被反复运用，是用数学解决问题的指导思想。中学数学中最常用到的数学思想有:化归思想，字母代换思想、方程与函数思想等。
二、文献梳理与分析中发现存在的几个问题
(1)对中学教师如何理解化归思想方法研究不够
虽然所有文献中都提到化归思想方法在中学数学教学中有着极其重要的作
用，但对于目前中学数学教学实际来看，课堂教学中缺乏对化归思想方法的理性认识，中学教师如何认识化归思想方法，在教学中应用情况如何等问题几乎没有化归方法是数学解决问题的一般方法，其基本思想是:人们在解决数学问题
时，常常是将待解决问题A，通过某种手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对较易解决或已有固定解决程式的问题，且通过对问题B的解决可得到原问题A的解答。如在初中数学中解方程的化归方法有以下几种:(1)加减消元法:(2) 代入法;(3)降次法;(4)待定系数法;(5)换元法;6)配方法。
现在我们给出化归思想方法的基本含义。
化归思想方法:是以可变的观点对所要解决的数学问题进行变形，即在解决
数学问题时，不是对问题直接解答，而是采取迂回的战术，通过变形把要解决的问题，化归为某个已经解决的问题，从而求得原问题的解决。一般化归思想方法运用的模式是:
待解决问题已已解决问题题
{{
得到解答解答已解决问题
2.2.3化归思想方法应用的原则与策略
2.2.
3.1在数学的学习中不能对数学问题进行盲目的化归，应遵循以下四个原(1)熟悉性原则:将生疏问题化为熟悉问题，熟悉问题以建立起了标准解
答模式。
例2 解方程2274731
X Y XY X Y
++++=
2
XY=
解由①-5?②，得2224421
X Y XY X Y
++++=，即
2
()4()210
X Y X Y
+++-=
令X Y Z
+=，则24210
Z Z
+-=解得
13
Z=
27
Z=-
原方程组的解就可化归为以下两个方程组的解:
3
X Y
+=7
X Y
+=-
2
XY=2
XY=
解以上两个方程组就可得原方程组的解。
(2)简单性原则:将复杂问题从结构形式，问题处理方式上化归为简单问题。
例3 若,αβ互为不相等的实数，且2310αα-+=，2310ββ-+= 求22
1111αβ+++ 分析：由方程解的定义可对已知条件化归为: ,αβ是方程2310X X -+=的两个不等实数根；因此问题可化归为：2211113311αβ
αβ+=+++ 解由已知条件可知,αβ是方程2310X X -+=的两个不等实数根
根据韦达定理，3,1αβαβ+==
又因为2310αα-+=，2310ββ-+=
所以213αα+= 213ββ+=
221111313333111αβαβαβαβ
++=+===?++ (3)直观性原则:将抽象问题化归为具体问题，使数量关系更易把握，问题中各种数量间的关系更加明确。
例4有一个三位数，个位比十位多1，十位比百位少4，百位比个位和十位之和 多2，若将百位上的数和个位上的数调换位置所得新的三位数和原三位数之和是 727，求这个三位数。
分析这是一道文字题，首先需要做的就是将题中所给条件转化为数学语言，使 问题更加直观。
解设个位为x ，则根据题意十位数是(x-1)，百位数是「x+(x-1)+2」;所以原三位数是100[X+(x-l)+2]+10(x-l)+x 新的三位数是IOOx+10(x-1)+「x+(x-1)+2」，有已知条件:100[x+(x-l)+2]+10(x-l)+x+IOOx+10(x-l)+[x+(x-l)+2]=727 解以上关于x 的方程可得x=2
所求三位数是512
(4)和谐统一原则:将要解决的问题化归为在形式上和谐，在量、形等方 面趋于统一，使问题的条件与结论表现的更加清楚，以利于问题解决。 例5 求值
分析将分母化归为相同的代数式，即先通分再求值
==-3.2应用化归思想方法的策略。
化归思想方法作为解决数学问题的重要思想方法除了遵循基本原则之外，还 应明确几种常用的化归策略，因为当看到一个待解决的问题时却常常面临不知如 何选择恰当的化归手段化为已解决的问题，这时就应熟练应用化归策略将待解决 问题进行有效化归。
(1)映射策略:根据数学内部之间的联系，凡具有这种映射对应关系的两
个数学问题关系结构是同构的(同构是指在数学对象之间定义的一类映射，它 能揭示出在这些对象的属性或者操作之间存在的关系。)，其中一个正确就意 味着另一个也正确。常用的映射有:
①欧氏平面到有序实数对集合上的映射。在中学数学中这样的映射关系有以 下几种:
点A ?数对（a,b ）
直线m ?方程0Ax By c ++=
圆?方程22220(40)X Y DX EY F D E F ++++=+-
这一过程中实质是将几何问题化归为代数问题，所用的化归方法称之为解
析法，如两直线交点问题化归为解方程组的问题;判断两条直线垂直问题化归为 判断两直线的斜率是否互为倒数等。
②平面直角坐标系到复数集上的映射
这种映射所用的化归方法称之为复数法，就是把几何问题映射为复数问题。 其中基本的映射关系有：
几何点Z(a,b) ? Z x yi =+
过点12,Z Z 的直线?121()Z Z Z Z λ-=-
以0Z 为中心的半径r 的圆?0Z Z r -=
(2)语义转化策略:数学一个显著的特点就是形式化，学习数学就是学习一
种有特定含义的形式化语言。同一数学形式可表示不同的语义，相同数学语义的 内容也可用不同的数学语言形式表示。在中学数学中较为常见的语义转化有代数
与几何即“数”与“形”的语义相互转化，其实质是“通过对同一数学对象进行 代数释意和几何释意的互补，实现“数”与“形”的语义转换。” 例“绝对值a b -既表示a 与b 差的绝对值，又表示数轴上a 点到b 点的距离; 通过语义转化使一个问题转化为一个较简单明了的问题。
例如7 解方程
32(120X X +-=
分析这是一个关于X 的一元三次方程，但通过观察可以看出22=
X =-2X X +
解以上两个简单方程可得出原方程的解。
(3)特殊化与一般化策略:当待解决问题比较难，一时难以找到解决方法时， 通常的做法是先解决它的特殊情况，然后再把这种过程推广到一般情况中。其化 归过程为一般?特殊?一般。一般化是与特殊化相反的一个过程。其化归过程为:先将待解决问题转化为更为一般的新问题来解决，最后在将这个新问题特 殊化就得到问题的解。
例如8 在直角△ABC 中，∠C=90o ，a,b,c 为三边长，求证(3)n n n a b c n +≥ 分析先从特殊，具体的入手来验证所要证明的结论，
当3n =时，因为
333332222()()()0a b c a b c a b a a c b b c +-=+-+=-+-
所以333a b c +
当4n =时，因为
44444222222222()()()0a b c a b c a b a a c b b c +-=+-+=-+-
所以444a b c +
从以上特例可以看出这道题的证明方法:
222222222()()()0n n n n n n n n n n a b c a b c a b a a c b b c -----+-=+-+=-+-
所以(3)n n n a b c n +≥
(4)分解策略:分解就是将待解决的问题分解成几个承前启后，互相呼应的小
问题或将图形分离成易于分析讨论的若干个互相契合的图形。①通过对小问题或简单图形寻找化归途径最后得到问题的解决。
例如10 解方程132
-+-=
X X
分析：去掉绝对值，将问题分解成三个方程:
当X﹥3时，(1)(3)2
-+-=①
X X
当1≤X≤3时，(1)(3)2
---=②
X X
当X﹤1时，(1)(3)2
X X
----=③
由方程①解得X=3，而X﹥3，所以方程①无解
由方程②中可知所有在1≤X≤3的解都为方程②的解
由方程③解得X=3，而X﹤1，所以方程③无解
5.2思考与建议
5.2.1中学数学教师在教学中真正了解和应用化归思想方法，就要做到主动迎接
数学课程改革的挑战和形成终身学习的意识
新课程的实施关键不仅仅是教材的改革，知识的更新，教育手段的现代化。
更为关键的是教师教学理念的改变，学校教育的对象是可塑性大、模仿性强的青
少年，教师要全新的认识每一个学生，要用科学的、合乎理性的、合乎自然的眼
光来看待、评价每一个学生。21世纪的教育理念主要是教师不仅是知识的传播者、提问者、引导者，同时也是学生的聆听者、欣赏者、关怀者和学生的榜样。因此教师要在“认识教育的未来性、生命性和社会性的基础上，形成新的教育价
值观、教育质量观和教学观、课程观和师生观。”①
终身教育是“指是人们充分地开发和利用各种各样的教育资源，在漫长一
生中所接受的各种训练和培养的总和，是指人们在一生中都应当和需要受到各种
教育培养。”②这一理念是1965年，法国人保罗·郎格朗在联合国教科文组织
召
开的国际成人教育促进会上的总结报告中提出“教育并非终止与儿童期和青年期。它应伴随人的一生而持续地进行。教育应当借助这种方式，满足个人和社会
的永恒要求。”。自20世纪中叶以来，这一理念受到全世界的广泛关注和支持。首先教师职业的特点是有高度综合性，创造性。这就决定教师必需有终身学习的
意识。作为21世纪的教师必须具备较高的教育科学素养和较强的教育教学科研能力。因此只有通过终身学习，才能促进自身不断的完善和发展，成为一名高素质
的教师，不被时代所淘汰。“进行终身教育者必须成为终身学习者。”其次大变革
的时代，新的理念、新的知识、新的技术的不断出现给教师带来了新的挑战，因此
刘西萍.
王波涛.
在新课程环境下教师的终身学习训与研究[J〕.湖北教育学院学报，
浅谈终身教育与教师终身学习[J〕.现代企业教育，2008年·12月
2004年9月
·下期
①②
终身学习势在必行。“教师不仅要帮助别人学会“认知、做事、构同、生存”的基本能力，也要使自己在飞速发展、日新月异的社会发展中不断地探索，学会更
新自己的教育观念，调整自己的知识结构，优化自己的思维方式，改革自己的教
学方法，以尽快使自己适应发展变化了的社会环境。”①因此教师接受终身教育对转变教学理念，在教学中化归思想方法的应用意义重大。
5.2.2中学数学教学中融入化归思想方法的合理性建议
学生只有掌握化归思想方法才能更好的解决数学问题，提高数学素养，培养
数学能力。但这需要一个长期的认识，理解过程。通过几节课达到这一目的是不
可能的。学生在学习数学的基本知识时首先要在教师的启发下对化归思想方法产
生感性认识，只好在经过反复理解，使用的基础上进一步验证达到理性认识。重
视和加强化归思想的教育过程中教师的作用至关重要。中学数学教师不仅要有扎
实数学功底，还应有较好的化归思想方法素养。教师在教学和学习中要深入掌握
化归思想方法的内容和实质;能够在高等数学的观点下看待中学数学;能够将数学知识和数学思想方法有机的联系起来;在教学中做到以下几个方面:
一、从化归思想方法的角度分析教材内容，同时深入教材提炼总结化归思想方法
中学数学知识分为数学知识和数学思想方法。数学知识就是教材内容:概念，定理，法则，公理等组成。而化归思想方法则是以教材内容为载体，是对数学内
容的一种本质认识，是处理解决问题的一种方式，途径，手段。“化归思想方法作为数学思想方法是前人探索真理过程中的积累，但数学教材并不是探索过程的
真实记录。化归思想方法是教材体系的灵魂，它支配着整个教材。使教学概念，命题，问题的解决相互紧扣，从而组成一个完整的联合体系。”②在中学数学教学中教师比较容易把握课本中数学知识的教学，但对于隐藏于数学知识中的化归
思想方法则比较困难。不论是概念的形成过程，还是公式、定理、法则的推导过
程，或是问题解决过程，几乎处处都蕴含着化归思想方法。因此这就要求教师善
于挖掘蕴含在数学知识中的化归思想方法，让学生在教学的各个环节能够切实感
受到化归思想方法的存在和发挥的作用。
(1)对教材进行逻辑分析和历史分析。在逻辑分析时要把握“教材的体系和
脉络，地位和作用，重点和难点外还要按照知识-一方法-一思想的顺序，从知识
中挖掘方法，从方法中提炼思想。”③为了让学生领悟，理解，掌握，运用化归思想方法就需要通过精心的教学设计和课堂上的教学活动过程。只有重视教学设计，有计划的渗透化归思想方法，学生才能积极主动的参与，才能更好的掌握。
(2)数学教学更多的为解题教学。波利亚曾经说过“数学教学的首要任务就
是加强解题训练。”解题训练不是题海战术，在解题教学中要充分发挥化归思想方法对发现解题的途径和转化的作用，突出化归思想方法对数学问题解决的指导
作用。教师帮助学生挖掘题目的各个侧面，能够举一反三;培养学生的数学才能和教会他们思考问题的方法和手段。同时要引导学生对数学题的反思的基础上总
结和归纳解题方法。
二、制定出长期的合理的计划，在教学实践中使学生逐渐形成化归思想
对中学生来说，由于受到身心发展的水平、思维能力，认知水平等多方面因
素的影响，化归思想的形成是一个长期的缓慢过程。这就需要教师在用化归思想
方法的角度分析教材内容的基础上，通过渗透阶段，突破阶段，应用阶段三个阶
段的学习，“一来提高了学生的兴趣和关注程度，二来又使其容易理解和掌握相关知识，并且会使化归思想深深地印在其脑海中，相信会使他们终生受益。”①能力至关重要。在评价体系中除了评价学生基础知识和基本技能的理解和掌握情
况外，应更多的关注考察学生数学思维的合理性和灵活性。注重评价的过程性，激励性，个性化。评价的最终目的是注重学生的全面发展，在评价内容上注重
进认知领域的评价，重视情感领域的评价。
中学数学教学评价是一个非常复杂的体系，《九年义务教育数学课程标准
(实验稿)》提到的只是一些基本理念，在操作层面上具体的方法还不是很多。在
实际的教学改革中会遇到各种问题，只要我们以全新的评价观为依据，不断地探
索与研究建立更加完善的评价机制，促进学生的全面发展。
5.2.4对教师减负
在对教师的访谈中几乎所有的教师表示每天的工作量都在H个小时以上，
除了教学外还有备课和批改作业，政治学习、业务学习、集体备课等，此外每参
加一项活动，都要写体会，做总结。所有教师都面临中考升学率的考验，社会，家
长对教师期望值都很高。“讲到学生“重负”时，曾提到学生的书包有多么沉重。然而，教师的重负则不只是书堆、作业堆，更重的还有精神压力的沉重，时间、精力的超重。”①教师除了工作几乎没有其他时间自己进行相关知识的学习。化归思想方法虽然于中学数学教学联系紧密，但因为工作量太大并没有教师对此专
「1去学习。教师减负是一个沉重而不容忽视的话题。素质教育的推行需要一支高
素质的教师队伍。中学数学教师就需要时间和精力来学习、思考和实践素质教育。
教师“减负”其实质就是是否能够真正推行素质教育的问题。教师的“减负”与
学生的“减负”是相辅相成的，只有减了教师的负，才能减轻学生的负。
5.2.5完善培训课程
教师的业务培训时教师接受再教育的一种重要方式，培训中应针对实际教学
中出现的问题给于一定的帮助，除了新的教学理念外，更应关注数学思想方法
培训。化归思想方法作为隐性的数学知识在中学数学教学中有极其重要的作用。中学数学教师能否很好的掌握这一思想方法，教师的业务培训是一条非常重要的
途径。因此完善培训机制任重而道远。
5.2.6师范教育课程设置
温家宝总理2007年9月9日在北京师范大学讲到师范大学和一般大学不同
点时指出:“一是一般大学的学生可‘独善其身’，而师范大学的学生则要‘兼善
天下’。二是师范大学造就的应是堪为人师的教育家，要学为人师，行为世范。”这
①卓能.浅谈教师“减负”〔J〕.中国教师，20能年04期
三、辩证的看待化归思想方法，克服化归思想方法的负面影响
化归思想方法虽然是中学数学中最为重要的思想方法，但我们却常常忽略
化归思想方法在观念上的“保守性”的特征以及在方法上的“以局部研究代替整
体”、“以旧方法处理新事物”的局限性。化归思想方法在解题中的知道作用也掩
盖了化归的消极方面。在历史上曼德布罗特面对英国海岸线问题，发现无论如何
也化归不成一个传统的几何问题三角形和光滑曲线形加以研究，于是经过多年的
研究，“分形几何”问世。这件事促使人们对化归思想方法的反思，从而认识到它的消极方面。在中学数学教学中这种化不归的问题也常常存在。在解数学问题
时学生通常不能灵活运用所学知识，而是生搬硬套一些解题方法。中学数学教师
要明确化归思想方法是集保守与创新于一身。在教学中应抑制其保守的、消极的
一面，而发扬其创新的精神。
5.2.3完善新课程改革下的中学数学教学评价体系
化归思想方法之所以在中学数学中虽然理论价值及其重要，但实际应用不
多，其中一个最根本的原因就是评价体系的不健全。中学数学教学的评价反映着数学教育的价值取向和数学教育的价值观念，长期以来受应试教育的影响，以学生的考试成绩作为对教师学生的评价依据。“应试目的在很大程度上取代了数学课程的本来目的，在这个基础上建立了一种观念:数学教学评价就是考试评价，评价教学质量以升学率为标准，评价学生的数学素质以考分为标准。”①完善中学数学教学评价是数学课程改革的重要环节，《九年义务教育数学课程标准(实验稿)》指出“:评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学;应建立评价目标多元，评价方法多样的评价体系。对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们的学习过程;要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。”这就需要我们在理论和实践中多加研究与探索，逐步建立起适应新课程需要的数学教学评价体系。数学思想方法作为中学数学的一种策略性知识，与具体知识相比数学思想是更高层次的东西。比如化归思想方法是数学的思维方法与实践方法的概括;也是将知识转化成能力的桥梁，对全面提高数学
①邓薇构，建以学生发展为核心的数学教学评价体系[J〕.当代教育科学，20能年第18期
段讲话，深刻揭示了教师专业的深刻内涵。在我国现在90%的初中和小学教师、80%的高中教师来自师范院校，师范毕业生的素质直接影响着中小学的教育质量。
师范院校对中学数学教师的培养责任重大。其培养师资力量的好坏直接关系着我
国基础教育课程改革的成效。师范生的培养质量与师范院校的教育内容和课程结
构有着直接的关系。在数学专业课程设置上要适应基础教育“转轨”的需要.教
育部《基础教育改革纲要(试行)》中明确指出:“师范院校和其他承担基础教育师资培养任务的高等学校应根据基础教育课程改革的目标与内容，调整培养目标，
专业设置，课程结构，改革教育方法”
5.3进一步研究展望
为了进一步推进在教学中化归思想方法的应用研究，完善中学化归思想方法在数学知识和解题的教学中的策略、对化归思想方法如何实施评价检测、化归思想方法育人功能等体系，笔者提出如下一些选题，愿与有志于进行化归思想方法研究的朋友一同探讨:
(1)化归思想方法的概念界定及内涵及外延体系;
(2)化归思想方法在数学问题解答中的功能研究;
(3)化归思想方法的素质教育意义;
(4)试论化归思想方法与其他思想方法之间的关系;
(5)学生在数学学习中化归思想方法思想的形成发展体系研究;
(6)如何在评价系统中加入对化归思想方法的评价检测
(7)学生对化归思想方法形成的心理机制研究;
(8)化归思想方法教学功能探讨;
(9)化归思想方法在教学中目标体系、操作体系、评价体系的研究
(10)试论化归思想方法是数学文化的核心要素;
(11)发展学生化归思想方法，对夯实数学文化底蕴的重要作用。
浅谈化归思想方法在数学教学中的应用 内容摘要：所谓化归法，是指通过数学内部的联系和矛盾运用，在转化中实现问题的规范化，即将待解问题转化为规范问题，从而使原问题得到解决的一种方法.这里的规范问题是指已经具有确定的解决方法和程序的问题，即运用原有知识已能解决的问题.而将一个问题化为规范问题的过程叫做问题的规范化.因此，简而言之，所谓化归就是问题的规范化、模式化。“化归”方法很多，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 关键词：化归法简述运用操作实现化归 随着数学课程改革的深入，教师们已经认识到学生学习方法转变的必要性。数学教学是教师按照学生的认识规律和新课标特点，通过最优途径，指导学生掌握科学的学习方法，并获得具有选择和运用恰当有效学习方法的能力。重视方法指导是坚持“以学生为主体”和培养学生创新素养这一现代教育观念的体现，它能使学生主动参与认识过程，既能调动学生的积极性，又能向教师提出改进教法的反馈信息，有效发挥教法和学法的整体功能，最大限度地使用好教材。在数学方法论中有一种重要的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 一．化归法简述 在学习数学的各个环节中，解题的训练占有十分重要的地位。它既是掌握所学数学知识的必要手段，也是培养和提高数学能力的重要途径。解题的实质就是把数学的一般原理运用于题目的条件或条件的推论而进行的一系列推理，直到求出题目解答为止的过程。这一过程是一种复杂的思维活动的过程。解决问题的过程，实际是转化的过程，即对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。如抽象转化为具体，未知转化为已知，立体转化为平面，高次转化为低次，多元转化为一元，超越运算转化为代数运算等等。这就是数学方法论中的一种新的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，假设有一个数学问题甲，一下子不能直接求解，于是人们将甲问题的求解化为乙问题的求解，然后通过乙问题的求解返回去得出甲问题的求解，这就是化归的基本想法。利用化归法解决问题的过程可以简单地用以下框图表示：
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使 之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将 难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归， 如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问 题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 1.转化与化归的原则 （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验来解决. （2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂 问题的目的，或获得某种解题的启示和依据. （3）直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决. （4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解. 2.常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况 转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有 效策略，同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有： （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. （2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、 不等式问题转化为易于解决的基本问题. （3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径. （4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的. （5）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. 随着国家经济的发展,科技的发达,人才的需求,中国教育的改革,数学新课标 的出现,在对学生的知识与技能,数学思想及情感与态度等方面的要求,学生在数 学的学习方法也应该要相应改变了,要满足社会的需要.化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转 化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化 的过程,同时在生活中许许多多的事情也需要往已知的方面转化,把事情简单化, 这对以后学生的能力与德育方面有很大的帮助.化归与转化的思想是解决数学问 题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆
化归思想在初中数学解题中的应用 向阳乡初级中学 周红林 【摘要】化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。本文从化归的功能，化归的原则，化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，力求比较全面地体现化归思想在初中数学解题中的作用和地位。 【关键词】化归思想 化归的原则 教学策略 化归思想要点 新课程标准指出：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”从中我们可以看出新课程标准下的数学教学更加突出培养学生的数学思想的重要性，而数学思想同样离不开数学方法的支持。 数学是一门演绎推理的学科。它的任一分支在其内容展开过程中，都有形或无形地存在着如下的结论链： 从中我们可以发现，在解决某一个具体问题时，不必都从原始概念开始，而只要把待解决的问题转化为结论链中的某一环节即可。所以，初中数学中，化归思想的运用尤为突出，本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。
一、化归思想的涵义和作用 化归思想，又称转换思想或转化思想，是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。 二、化归思想的基本原则 数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。 为更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则，化归思想的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则。 ⒈熟悉化原则 熟悉化就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”。学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程。奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容。在教学的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也就是在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起桥梁。这样有利于学生解决问题。 ⒉简单化原则 简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的易于确定
浅谈化归思想在数学解题中的应用 摘要：化归思想在数学解题中应用非常的广泛。化归原则，即化未知为已知,化繁为简,化难为易。在我们的解题过程中，如果能做到对化归思想运用自如，那么我们将会节约许多资源，化归方法有三大基本要素：化归对象、化归目标、化归方法。在使用化归的过程中关键在于要掌握化归的方法。要掌握化归的精髓，就要采取具体问题与活动多次练习体会的方法，逐步形成化归思想，逐步建立化归方法的认知结构。 Abstract: The Reduction of thinking in mathematical problem solving application is very extensive. Naturalization principle, that of the unknown is known, based simplify of Aesthetic. In our problem solving process, if you can do on the Idea with ease, then we will be saving a lot of resources, Naturalization method has three basic elements: Naturalization object, Naturalization goal of Transformation. The key is to master the use of Naturalization Naturalization. To grasp the essence of Naturalization, it is necessary to take specific issues and activities repeatedly practice experience, and gradually form the Idea, and gradually establish the cognitive structure of Transformation. 关键字：化归思想数学解题思维形成化归思想 化归原理其实是很浅显易懂有非常实用的方法，有人曾提出这样一个问题：“假如在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎么做？”有人回答：“用水龙头放出来的水把水壶灌满，再点燃煤气灶，把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这个答案并对问题进行了修改，追问道：“如果其他条件不变，只是壶里已经灌满了水，那你有打算怎么做？”这时那人很有信心的回答：“点燃煤气灶，把壶放到煤气灶上。”可是这一回答并没有使提问者感到满意，因为，在后者看来，更恰当地回答是：“只有物理学家才会这样做，而数学家则会倒去壶中的水，并声称他已经把后一问题化归为先前已经得到解决的问题了。” 华归的一般模式是： 所以说，化归可理解为：由未知到已知，由难到易，又复杂到简单的转化。下面我们来看化归方法在具体数学问题中的应用。 例1由于求解一元一次方程的问题是十分容易的，因此，为了求解二元一次方程组（或n 元一次方程组），我们就可采取消元的方法——这事实上是将求解二元（n元）一次方程组的问题化归为求解一元一次方程的问题，即：
浅谈化归思想方法在数学教学中的应用 墨红镇中学李慧连内容摘要：所谓化归法，是指通过数学内部的联系和矛盾运用，在转化中实现问题的规范化，即将待解问题转化为规范问题，从而使原问题得到解决的一种方法.这里的规范问题是指已经具有确定的解决方法和程序的问题，即运用原有知识已能解决的问题.而将一个问题化为规范问题的过程叫做问题的规范化.因此，简而言之，所谓化归就是问题的规范化、模式化。“化归”方法很多，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 关键词：化归法简述运用操作实现化归 随着数学课程改革的深入，教师们已经认识到学生学习方法转变的必要性。数学教学是教师按照学生的认识规律和新课标特点，通过最优途径，指导学生掌握科学的学习方法，并获得具有选择和运用恰当有效学习方法的能力。重视方法指导是坚持“以学生为主体”和培养学生创新素养这一现代教育观念的体现，它能使学生主动参与认识过程，既能调动学生的积极性，又能向教师提出改进教法的反馈信息，有效发挥教法和学法的整体功能，最大限度地使用好教材。在数学方法论中有一种重要的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 一．化归法简述 在学习数学的各个环节中，解题的训练占有十分重要的地位。它既是掌握所学数学知识的必要手段，也是培养和提高数学能力的重要途径。解题的实质就是把数学的一般原理运用于题目的条件或条件的推论而进行的一系列推理，直到求出题目解答为止的过程。这一过程是一种复杂的思维活动的过程。解决问题的过程，实际是转化的过程，即对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。如抽象转化为具体，未知转化为已知，立体转化为平面，高次转化为低次，多元转化为一元，超越运算转化为代数运算等等。这就是数学方法论中的一种新的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，假设有一个数学问题甲，一下子不能直接求解，于是人们将甲问题的求解化为乙问题的求解，然后通过乙问题的求解返回去得出甲问题的求解，这就是化归的基本想法。利用化归法解决问题的过程可以简单地用以下框图表示：
浅谈化归思想在中学数学中的应用 发表时间：2010-11-08T15:05:44.580Z 来源：《中小学教育》2010年第11期供稿作者：苏炳堂 [导读] 数与数之间的转化遵循着一些原则，例如具体化原则、简单化原则、和谐统一化原则等等。 苏炳堂广西柳州市第一中学545007 在中学数学中，化归思想不仅是一种重要的数学思想，也是一种最基本的思维策略。化归思想在中学数学中有着很广泛的应用，其关键就在于把原问题转化和归结。对于具体的数学问题，如何实行化归和选择有效的化归手段并没有固定的模式，中学数学常见的化归基本形式有以下三种： 一、数与数之间的转化 数与数之间的转化是中学数学中最常用的一种化归形式，通过转化可以使得原问题简单化、具体化、熟悉化，从而使问题迎刃而解。在中学数学中很多化归都是数与数之间的转化，例如变形所给出的方程求解，数学解法在于不断将高层次的解法化归为较低层次的解法，这就是我们常说的把问题“初等化”。 例1、关于x的方程cos2x+sinx+a=0在（0，π）内有解，求a的取值范围。 分析：假设由题意把x看作未知数，那么那就是一个复合的方程，很难下手，但若考虑以sinx为未知数，再由1-cos2x=sin2x，则问题转化为常见的一元二次方程了，原问题即可解决。所以由1-cos2x=sin2x，原式可化为：a=sin2x-sinx-1即a=（sinx- ）2- 。因为x∈（0，π），所以0 转化与化归思想的应用 题型一 特殊与一般的转化 例1 已知函数f (x )＝a x a x ＋a (a >0且a ≠1)，则f ????1100＋f ????2100＋…＋f ????99100的值为________． 答案 99 2 解析 思维升华 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果． (1)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列， 则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝________. (2)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋ x )f (x )，则f ???? 52＝________. 答案 (1)4 5 (2)0 题型二，常量与变量的转化 例2， 对任意的|m |≤2，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负，则x 的取值范围为________. 变式练习：设f (x )是定义在R 上的单调增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为___________．(－∞，－1]∪[0，＋∞) 探究提高 在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的. 题型三 函数、方程、不等式之间的转化 例3 若f (x )是定义在R 上的函数，对任意实数x 都有f (x ＋3)≤f (x )＋3和f (x ＋2)≥f (x )＋2，且f (1)＝1，则f (2 014)＝________. 答案 2 014 解析 (2)∵f (x ＋1)≤f (x ＋3)－2≤f (x )＋3－2＝f (x )＋1， f (x ＋1)≥f (x ＋4)－3≥f (x ＋2)＋2－3≥f (x )＋4－3＝f (x )＋1， ∴f (x )＋1≤f (x ＋1)≤f (x )＋1. ∴f (x ＋1)＝f (x )＋1. ∴数列{f (n )}为等差数列． ∴f (2 014)＝f (1)＋2 013×1＝2 014. (1)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范 围是________． 答案 (1)(－∞，－8] 2．关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题： ( A ) ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假． 命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 题型四 数与形的转化 例4．(2014·天津)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________． 答案 (0,1)∪(9，＋∞) 解析 设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|， 在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示． 化归思想方法在解题中的应用 汕头金平职业技术学校李顺生 摘要：化归，指的是转化与归结．即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题，从而最终解决原问题的一种思想。近几年高考，随着试题由知识立意向能力立意的转变，不断加大化归思想的考查力度。如此，重视化归思想在高中数学教学中的应用显得尤其重要。 关键词：新课程解题渗透化归数学思想 近几年高考试题十分重视数学思想方法的考查，特别是考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只能满足于解出来，只有做到对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。 在中学数学中，化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略。所谓的化归，指的是转化与归结。即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题，从而最终解决原问题的一种思想。 化归应遵循一定的原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利运用熟知的知识、经验和问题来解决。（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过以简单问题的解决，达到复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困 化归思想方法 马明 一位日本的数学教育家曾经提出：无论科技工作者，教育工作者，或是社会的其他人才，最重要的是要有数学的精神与思想方法，而数学知识则是第二位的。这与我国古代教育家提出的“授之以鱼，不如授之以渔”的思想实质上是一致的。 在具体的数学思想方法中，“化归思想”又是世界数学家们都十分重视的数学思想方法，因为，在解决问题的过程中，数学家往往不是直接对问题展开攻击，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个已经解决的问题，或容易解决的问题。匈牙利著名数学家P·罗莎曾用以下比喻十分生动地说明了化归思想的实质。她写道：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，现在的任务是要烧水，你应当怎样去做？”正确的回答是：“在水壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”接着，罗莎又提出第二个问题：“假设所有的条件都不变，只是水壶中已有了足够的水，这时你应该怎样去做？”对此，人们往往回答说：“点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”但罗莎却认为这并不是最好的回答，因为，“只有物理学家才会这样做，而数学家则会倒去壶中的水，并且声称我已经把后一问题化归成先前的问题了，而先前的问题 我已回答。” “把水倒掉”——这是多么简洁的回答呀！比喻有点夸张，但它的确表明了数学家思考与解决问题的一个特点，与其他应用科学家相比，他们更善于使用化归思想。 下面还是让我们用一些例题来说明。 例1 鸡兔同笼，笼中有头50，有足140，问鸡、兔各有几只？ 分析化归的实质是不断变更问题，这里可以先对已知成分进行变形。每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚，这是问题中不言而喻的已知成分。现在对问题中的已知成分进行变形：“一声令下”，要求每只鸡悬起一只脚，又要求每只兔悬起两只前脚。那么，笼中仍有头50，而脚只剩下70只了，并且，这时鸡的头数与足数相等，而兔的足数与兔的头数不等——有一头兔，就多出一只脚，现在有头50，有足70，这就说明有兔20头，有鸡30头。 以上是从变更题设条件来寻找化归方法的。下例则是从变更任务来实现化归目的。 例2 有18瓶牛奶分放在4×6=24个方格内，每格只能放一瓶，在数牛奶瓶时要求横数的瓶数为偶数，竖数的瓶数也为偶数，这件事能办到吗？ 图1 浅谈中学数学中的化归思想 作者：中原中学刘继华 不断地变换你的问题，我们必须一再地变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成 功地找到某些有用的东西为止。 ————波利亚 化归是解决数学问题的一种重要思想方法．化归的思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，并学会用它分析问题、处理问题，有着十分重要的意义．匈牙利著名数学家路莎˙彼得以生动的比喻对这种思维方式作了如下风趣的描述：有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答；但是，他又追问道：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你又应当怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是，提问者指出，这一回答并不能使他满意，因为，更好的回答应当是：“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称我把后一问题化归为前面所说的问题了。” 路莎˙彼得在这里说的就是化归方法。在数学教育中，化归思想是“问题解决”的一种重要手段和方法。 —、化归方法的基本思想 1、化归方法的含义：把待解决和未解决的问题，通过转化，或再转化，将原问题归结为一个已经能解决的问题，或者归结为一个比较容 易解决的问题甚至为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决．我们就把这种将未知转化归结为已知的解决数学问题的基本方法称之为化归方法． 2、化归方法是辨证思维在方法论上的反映 数学中充满着矛盾，有着极其丰富的辨证内容，例如，数学概念中一与多、正与负、常量与变量、有限与无限以及数学运算中的加与减、乘与除、乘方与开方、微分与积分等都表现为矛盾的对立统一的形式． 化归方法正是根据客观事物是普遍联系、永恒发展和矛盾的对立统一及其相互转化的观点，来实现问题解决的，它着眼于揭示联系实现转化．因此说化归方法是辨证思维在方法论上的反映． 3、化归方法的作用 我们知道整个中学数学内容，始终贯穿着数学知识和数学方法这两条线．中学数学问题的解决过程常常表现为不断发现问题、分析问题直到归结转化为熟悉的或已能解决的问题的过程，化归方法是中学数学中的重要数学方法之一． 例如 (1代数中解一般方程(或不等式的基本思路是多元向一元、高次向低次的化归；分式方程向整式方程的化归，无理方程向有理方程的化归． 高三数学思想、方法、策略专题 第三讲 转化与化归思想 一．知识探究： 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。 1．转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。 2．常见的转化方法 （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题； （2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题； （3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化； （4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题； （5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径； （6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径； （7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题； （8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化； （9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的； （10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集A C U 获得原问题的解决。 3．化归与转化应遵循的基本原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决； （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据； （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律； （4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决； 化归思想在初中数学解题中的应用 数学是一门演绎推理的学科。它的任一分支在其内容展开过程中，都有形或无形地存在着如下的结论链： 从中我们可以发现，在解决某一个具体问题时，不必都从原始概念开始，而只要把待解决的问题转化为结论链中的某一环节即可。所以，初中数学中，化归思想的运用尤为突出，本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。 一、化归思想的涵义和作用 化归思想，又称转换思想或转化思想，是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。 二、化归思想的基本原则 数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。 ⒈化陌生的问题为熟悉的问题 熟悉化就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”。学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程。奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容。在教学的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也就是在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起桥梁。这样有利于学生解决问题。 ⒉化简单问题为容易问题 简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的易于确定解决方案的问题，从而使问题获解。中学数学受多年应试教育的影响，有些问题被复杂化了，而学生对于这类问题却又相当头疼，所以通过化归，将问题变为比较简单的形式、关系结构，或者通过问题的简单化，获得解决复杂问题的思路，往往更容易让学生接受。 ⒊化抽象问题为具体直观问题 具体化就是把比较抽象的问题转化为比较具体、直观的问题，以便形象地把握问题所涉及的各个对象之间的关系，使问题易于求解。新课程标准提出：数学教学要紧密联系生活实际，注重探索和合作，由具体到抽象。但绝不是只要让学生直观感受,满足于具体的现象而忽视问题的本质。对于抽象的关系,可以让学生对一些具体的关系进行观察、比较、分析、归纳,逐步提高他们的思维的能力。 ⒋从一般到特殊，从特殊再到一般。 极端化原则就是运用极端化位置或状态的特性引出一般位置或状态下的特性，从而获得解决问题的思路。这也是我们常说的从一般到特殊再到一般。 ⒌条件和结论的和谐统一。 所谓“和谐”指的是配合得适当和匀称。和谐化原则就是在对问题进行化归时，要注意把条件和结论的表现形式转化为更具数、式与形内部固有的和谐统一特点的形式，以帮助我们去确定解决问题的方法。 三、化归思想的要点 1、化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、选择好方法。 化归思想典型例题剖析 【例1】如图3－1－1，反比例函数y=－8x 与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点． （1）求 A 、B 两点的坐标； （2）求△AOB 的面积． 解：⑴解方程组82 y x y x ?=-???=-+? 得121242;24x x y y ==-????=-=?? 所以A 、B 两点的坐标分别为A （－2，4）B(4，－2 （2）因为直线y=－x+2与y 轴交点D 坐标是(0， 2）， 所以11222,24422 AOD BOD S S ??=??==??= 所以246AOB S ?=+= 点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标． 【例2】解方程：22(1)5(1)20x x ---+= 解：令y= x —1，则2 y 2—5 y +2=0． 所以y 1=2或y 2=12 ，即x —1＝2或x —1=12 ． 所以x ＝3或x=32 故原方程的解为x ＝3或x=32 点拨：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未·知项的都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 的一元二次方程，问题就简单化了． 【例3】如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角 线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长． 解：过 D 作DE ⊥AC 交BC 的延长线于E ，则得AD=CE 、 AC=DE ．所以BE=BC+CE=8． 因为 AC ⊥BD ，所以BD ⊥DE ． 因为 AB=CD ， 所以AC ＝BD ．所以GD=DE ． 在Rt △BDE 中，BD 2＋DE 2=BE 2 所以BD BE=4 2 ，即AC=4 2 . 点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决． 专题三：转化与化归思想 【考情分析】 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中。数学问题解答题离不开转化与化归，它即是一种数学思想又是一种数学能力，高考对这种思想方法的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点。 预测2012年高考对本讲的考查为： （1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等。 （2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等。 （3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。 （4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。 【知识交汇】 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程。 1．转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。 2．常见的转化方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式。常见的转化方法有： （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题； （2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题； （3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化； （4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题； （5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径； （6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径； （7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题； （8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化； 浅谈转换与化归思想 转化思想是数学中的一种基本却很重要的思想。深究起来，转化两字中包含着截然不同的两种思想，即转换和化归。这两者其实表达了不同的思想方法，可以说是思维方式与操作方法的区别。 一、 转换思想 （1）转换思想的内涵 转换思想是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化，能跳出现有领域的局限，联系相关领域，并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。要做到这一点，对思维能力的要求相对更高，必须对各个领域分别都有透彻的了解，更必须对各领域之间的联系有较多的研究，在关键时刻才能随心所欲地运用。 （2）转换思想在同一学科中的应用 转换思想可以是在同一学科的不同知识模块之间的变换，在解决问题时改变解题方向。象数学学科中，数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。 比如，函数、方程、不等式是代数中的三大重要问题，而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其他模块的各类问题。不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决，或者是二次方程根的分布，也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。再比如，数列问题用函数观点来解释，那更是我们数学课堂中一再强调的问题了。 看这样一个问题： 已知：11122=-+-a b b a ，求证：12 2=+b a 。 [分析] 这是一个纯粹的代数证明问题，条件的变形是比较艰难的，所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点 令人望而生畏。 再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式，稍加联系，我们完全可以想到：21a -、21b -、122=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现，它们呈现出完全类似的规律性。 [解答]由题意1≤a 、1≤b ，则可设αsin =a ，αcos =b ，πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα 化简得1cos cos sin sin =+αααα 所以0sin ≥=αa ，0cos ≥=αb 则 1cos sin 2 222=+=+ααb a [小结] 本题的解决了是发现了不同知识模块中的类似规律，加以利用得到新的思路，本题的题设和结论中都没有出现 三角函数的形式，最终却必须引进三角函数加以解决，思维已经具有跳跃性，对一般学生来说解决起来还是比较棘手的。 转换思想对思维要求确实很高，但这一点还是能够做到的。因为各学科都有对知识模块的介绍，同时也有对各知识模块之间横向纵向的对比联系的研究。典型的例子就是数与形之间的思维转换，因为学生已经在初中老师的指导下 化归思想在初中数学解题中的应用 向阳乡初级中学 周红林 【摘要】化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。本文从化归的功能，化归的原则，化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，力求比较全面地体现化归思想在初中数学解题中的作用和地位。 【关键词】化归思想 化归的原则 教学策略 化归思想要点 新课程标准指出：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”从中我们可以看出新课程标准下的数学教学更加突出培养学生的数学思想的重要性，而数学思想同样离不开数学方法的支持。 数学是一门演绎推理的学科。它的任一分支在其内容展开过程中，都有形或无形地存在着如下的结论链： 从中我们可以发现，在解决某一个具体问题时，不必都从原始概念开始，而只要把待解决的问题转化为结论链中的某一环节即可。所以，初中数学中，化归思想的运用尤为突出，本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。 一、化归思想的涵义和作用 化归思想，又称转换思想或转化思想，是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。 二、化归思想的基本原则 数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。 为更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则，化归思想的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则。 ⒈熟悉化原则 熟悉化就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”。学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程。奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容。在教学的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也就是在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起桥梁。这样有利于学生解决问题。 ⒉简单化原则 简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的易于确定转化与化归思想的应用
化归思想方法在解题中的应用
化归思想方法
浅谈中学数学中的化归思想(精)
转化与化归思想
化归思想在初中数学解题中的应用
-化归思想典型例题分析(含答案)
转化与化归思想
转换与化归思想
化归思想在初中数学解题中的应用
相关主题
文本预览