浅谈转换与化归思想
转化思想是数学中的一种基本却很重要的思想。深究起来，转化两字中包含着截然不同的两种思想，即转换和化归。这两者其实表达了不同的思想方法，可以说是思维方式与操作方法的区别。
一、 转换思想
（1）转换思想的内涵
转换思想是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化，能跳出现有领域的局限，联系相关领域，并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。要做到这一点，对思维能力的要求相对更高，必须对各个领域分别都有透彻的了解，更必须对各领域之间的联系有较多的研究，在关键时刻才能随心所欲地运用。
（2）转换思想在同一学科中的应用
转换思想可以是在同一学科的不同知识模块之间的变换，在解决问题时改变解题方向。象数学学科中，数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。
比如，函数、方程、不等式是代数中的三大重要问题，而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其他模块的各类问题。不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决，或者是二次方程根的分布，也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。再比如，数列问题用函数观点来解释，那更是我们数学课堂中一再强调的问题了。
看这样一个问题： 已知：11122=-+-a b b a ，求证：12
2=+b a 。 [分析] 这是一个纯粹的代数证明问题，条件的变形是比较艰难的，所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点
令人望而生畏。
再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式，稍加联系，我们完全可以想到：21a -、21b -、122=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现，它们呈现出完全类似的规律性。
[解答]由题意1≤a 、1≤b ，则可设αsin =a ，αcos =b ，πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα
化简得1cos cos sin sin =+αααα
所以0sin ≥=αa ，0cos ≥=αb
则 1cos sin 2
222=+=+ααb a
[小结] 本题的解决了是发现了不同知识模块中的类似规律，加以利用得到新的思路，本题的题设和结论中都没有出现
三角函数的形式，最终却必须引进三角函数加以解决，思维已经具有跳跃性，对一般学生来说解决起来还是比较棘手的。
转换思想对思维要求确实很高，但这一点还是能够做到的。因为各学科都有对知识模块的介绍，同时也有对各知识模块之间横向纵向的对比联系的研究。典型的例子就是数与形之间的思维转换，因为学生已经在初中老师的指导下
对代数与几何分别有了研究，高中时不但分别进行了深化，更把两门学科合而为一，更多地注重两者之间的对比联系的研究。高中的《平面解析几何》的实质就是用“解析法”即“代数的方法”解决几何问题，已经体现了几何到代数的转换，比如介绍某些代数形式的几何表示（绝对值、不等式、方程的几何意义），引入几何图形中圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线）的方程，都是为培养思维在数与形之间的跳跃作了准备。再比如物理学科中有“电场”与“磁场”的分别研究，也有对“电磁场”的综合研究。所以学生在同学科内部的思维转换应该能够做到游刃有余。
（3）转换思想在不同学科中的应用
转换思想也可以是在同一学习领域的不同学科之间进行跳跃性变换，解决问题时采用不同的思维方式。比如解决数学问题时，可以在代数与几何之间的互相转换，另外，物理中的行程问题、化学中的浓度问题都可以转换到数学模型来解决。
化学中典型的浓度问题：
a 克糖溶于水中形成
b 克糖水，其浓度为
b
a ；若加入m 克溶质糖，虽然溶质溶液的质量同时增加，但可以得到加糖后的浓度m
b m a ++必然要大于原来溶液的浓度b a 。这个结论完全可以由数学学科中《不等式》部分的知识加以证明： 根据实际情况：0>>a b ，0>m ，
)
()()(m b b m a b m b b am ab bm ab b a m b m a +-=+--+=-++， 因为 0>>a b ，0>m ， 所以0)()()(>+-=+--+=-++m b b m a b m b b am ab bm ab b a m b m a 即b
a m
b m a >++ 同样，物理中的匀加速运动：
物体初始速度为0v 米/秒，加速度为a 米/秒2，则经过t 秒后的即时速度为202
1at t v v t +=。这公式稍加变形就是数学中的函数t v t a v t 02
)21(+=，当0=a 时，它是一次函数，图象为一条直线，当0≠a 时，它是二次函数，图象为一条抛物线，完全可以脱离物理，用研究函数的方法来研究物体的即时速度t v 什么时刻最大，是怎样变化的。
可以说，转换思想最重要的作用应该就是在不同学科之间的跳跃性思维，这也是目前高中学生比较薄弱的环节，比如数学、物理、化学，虽然学生们分别学习了三门学科，但对它们的联系却缺少研究，所以学科渗透类问题都是比较令学生头疼的，也是应用题总显得那么高深莫测的原因，更使理论与实际应用脱离，学不能致用。由此，高中新课程改革中把课程整合放在了很重要的地位。
二、 化归思想 （1）化归思想的内涵
化归思想相对转换来说，是在解决问题时改变问题的形式，用一些技巧性的处理方法和手段把问题变得更显化明了、更熟悉常见、更和谐统一，但并没有改变问题所属的领域。
化归思想包括三要素：化归的对象、化归的原则、化归的方法。所以掌握化归思想必须：抓住化归的对象也就是当前需要解决的问题；化归时应遵循简单化、熟悉化、和谐化的基本原则；中学常用的化归方法有①恒等变换法：包括分解法、配方法、代定系数法等；②映射反演法：包括换元法、对数法、坐标法、仿射法等。
（2）实施化归的关键
为了有效地实施化归，我们首先必须实现问题的“规范化”，即掌握一些“常规性问题”。 这里“常规性问题”就是指我们课堂上所说的具有确定的解题方法和解题程序的问题，或者可以说是模式型问题。然后再把其他问题“规范化”，一般我们采用的化归方向是：化未知为已知、化难为易、化繁为简、化一般为特殊、化抽象为具体、正难则化反、化新知识到旧知识、化不熟悉到熟悉等等。
1．在《三角函数》中，对于角α有六个三角函数αsin 、αcos 、αtan 、αcot 、αsec 、αcsc 。但我们研究其中众多的公式时并不需要同时研究六个，只需要研究αsin 、αcos 、αtan 三个就可以，其余三个可以利用它们之间的倒数关系进行化归；在解题时的“切割化弦”思想也是把后四个函数都化为αsin 、αcos 来解决。
2．在《立体几何》中，点、线、面之间的复杂关系是让人很头疼的 ，我们也采用了化归的思想使得需要考虑的问题更少更简单。下面是立体几何中常用几种的化归方法。
方法一：位置关系互化。
正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1是我们研究的典型空间图形之一，它内部各种面对角线、体对角线与各表面、对角面形成的线线距离、线面距离、面面距离我们都作了深入研究，所以涉及到正方体中的各种距离问题我们就尽量向上述距离问
题化归。
方法二：化高维到低维。
例：如右图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，∠BCA=900，点
D 1、F 1分别是棱A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，
求异面直线BD 1与AF 1所成的角。
[分析]本题中的直线BD 1与AF 1是三维空间内的异面直线，常用的化归方法就是把直线经过平移变为二维空间内两条相交直线，即在平面内求两直线所成角。
作法：如右图，沿平面BCB 1C 1补出一个与ABC-A 1B 1C 1完全全等的图形，最终构成一个正方体
ABCE-A 1B 1C 1E 1，取B 1E 1的中点G 1，连接BG 1，则AF 1∥BG 1。
所以，异面直线BD 1与AF 1所成的角即为平面BD 1G 1内两条相交直线BD 1与BG 1所成角∠D 1BG 1，
然后在△D 1BG 1中求此角。
这是把三维空间内的问题降维化归到二维平面内的问题来解决，是立体几何中常用的化归思想。
当然，我们既然总是说“转化”，那就意味着转换与化归在本质区别的同时也是紧密联系的，既有宏观上学科之间的转化，也有微观上学科内部各模块之间的转化。化归在各个学科内部，在各模块内部都有体现和运用，在模块内部应用更是有多向性、层次性、重复性，是操作细节方面的问题，但却为思维跳跃性的转换提供了基础和经验，因此不能割裂看待。
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使 之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将 难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归， 如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问 题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 1.转化与化归的原则 （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验来解决. （2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂 问题的目的，或获得某种解题的启示和依据. （3）直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决. （4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解. 2.常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况 转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有 效策略，同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有： （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. （2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、 不等式问题转化为易于解决的基本问题. （3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径. （4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的. （5）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. 随着国家经济的发展,科技的发达,人才的需求,中国教育的改革,数学新课标 的出现,在对学生的知识与技能,数学思想及情感与态度等方面的要求,学生在数 学的学习方法也应该要相应改变了,要满足社会的需要.化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转 化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化 的过程,同时在生活中许许多多的事情也需要往已知的方面转化,把事情简单化, 这对以后学生的能力与德育方面有很大的帮助.化归与转化的思想是解决数学问 题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆
浅谈化归思想方法在数学教学中的应用 内容摘要：所谓化归法，是指通过数学内部的联系和矛盾运用，在转化中实现问题的规范化，即将待解问题转化为规范问题，从而使原问题得到解决的一种方法.这里的规范问题是指已经具有确定的解决方法和程序的问题，即运用原有知识已能解决的问题.而将一个问题化为规范问题的过程叫做问题的规范化.因此，简而言之，所谓化归就是问题的规范化、模式化。“化归”方法很多，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 关键词：化归法简述运用操作实现化归 随着数学课程改革的深入，教师们已经认识到学生学习方法转变的必要性。数学教学是教师按照学生的认识规律和新课标特点，通过最优途径，指导学生掌握科学的学习方法，并获得具有选择和运用恰当有效学习方法的能力。重视方法指导是坚持“以学生为主体”和培养学生创新素养这一现代教育观念的体现，它能使学生主动参与认识过程，既能调动学生的积极性，又能向教师提出改进教法的反馈信息，有效发挥教法和学法的整体功能，最大限度地使用好教材。在数学方法论中有一种重要的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 一．化归法简述 在学习数学的各个环节中，解题的训练占有十分重要的地位。它既是掌握所学数学知识的必要手段，也是培养和提高数学能力的重要途径。解题的实质就是把数学的一般原理运用于题目的条件或条件的推论而进行的一系列推理，直到求出题目解答为止的过程。这一过程是一种复杂的思维活动的过程。解决问题的过程，实际是转化的过程，即对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。如抽象转化为具体，未知转化为已知，立体转化为平面，高次转化为低次，多元转化为一元，超越运算转化为代数运算等等。这就是数学方法论中的一种新的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，假设有一个数学问题甲，一下子不能直接求解，于是人们将甲问题的求解化为乙问题的求解，然后通过乙问题的求解返回去得出甲问题的求解，这就是化归的基本想法。利用化归法解决问题的过程可以简单地用以下框图表示：
化归思想在初中数学解题中的应用 向阳乡初级中学 周红林 【摘要】化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。本文从化归的功能，化归的原则，化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，力求比较全面地体现化归思想在初中数学解题中的作用和地位。 【关键词】化归思想 化归的原则 教学策略 化归思想要点 新课程标准指出：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”从中我们可以看出新课程标准下的数学教学更加突出培养学生的数学思想的重要性，而数学思想同样离不开数学方法的支持。 数学是一门演绎推理的学科。它的任一分支在其内容展开过程中，都有形或无形地存在着如下的结论链： 从中我们可以发现，在解决某一个具体问题时，不必都从原始概念开始，而只要把待解决的问题转化为结论链中的某一环节即可。所以，初中数学中，化归思想的运用尤为突出，本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。
一、化归思想的涵义和作用 化归思想，又称转换思想或转化思想，是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。 二、化归思想的基本原则 数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。 为更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则，化归思想的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则。 ⒈熟悉化原则 熟悉化就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”。学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程。奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容。在教学的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也就是在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起桥梁。这样有利于学生解决问题。 ⒉简单化原则 简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的易于确定
化归思想典型例题剖析 【例1】如图3－1－1，反比例函数y=－8x 与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点． （1）求 A 、B 两点的坐标； （2）求△AOB 的面积． 解：⑴解方程组82 y x y x ?=-???=-+? 得121242;24x x y y ==-????=-=?? 所以A 、B 两点的坐标分别为A （－2，4）B(4，－2 （2）因为直线y=－x+2与y 轴交点D 坐标是(0， 2）， 所以11222,24422 AOD BOD S S ??=??==??= 所以246AOB S ?=+= 点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标． 【例2】解方程：22(1)5(1)20x x ---+= 解：令y= x —1，则2 y 2—5 y +2=0． 所以y 1=2或y 2=12 ，即x —1＝2或x —1=12 ． 所以x ＝3或x=32 故原方程的解为x ＝3或x=32 点拨：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未·知项的都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 的一元二次方程，问题就简单化了． 【例3】如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角 线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长． 解：过 D 作DE ⊥AC 交BC 的延长线于E ，则得AD=CE 、 AC=DE ．所以BE=BC+CE=8． 因为 AC ⊥BD ，所以BD ⊥DE ． 因为 AB=CD ， 所以AC ＝BD ．所以GD=DE ． 在Rt △BDE 中，BD 2＋DE 2=BE 2 所以BD BE=4 2 ，即AC=4 2 . 点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．
浅谈化归思想在数学解题中的应用 摘要：化归思想在数学解题中应用非常的广泛。化归原则，即化未知为已知,化繁为简,化难为易。在我们的解题过程中，如果能做到对化归思想运用自如，那么我们将会节约许多资源，化归方法有三大基本要素：化归对象、化归目标、化归方法。在使用化归的过程中关键在于要掌握化归的方法。要掌握化归的精髓，就要采取具体问题与活动多次练习体会的方法，逐步形成化归思想，逐步建立化归方法的认知结构。 Abstract: The Reduction of thinking in mathematical problem solving application is very extensive. Naturalization principle, that of the unknown is known, based simplify of Aesthetic. In our problem solving process, if you can do on the Idea with ease, then we will be saving a lot of resources, Naturalization method has three basic elements: Naturalization object, Naturalization goal of Transformation. The key is to master the use of Naturalization Naturalization. To grasp the essence of Naturalization, it is necessary to take specific issues and activities repeatedly practice experience, and gradually form the Idea, and gradually establish the cognitive structure of Transformation. 关键字：化归思想数学解题思维形成化归思想 化归原理其实是很浅显易懂有非常实用的方法，有人曾提出这样一个问题：“假如在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎么做？”有人回答：“用水龙头放出来的水把水壶灌满，再点燃煤气灶，把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这个答案并对问题进行了修改，追问道：“如果其他条件不变，只是壶里已经灌满了水，那你有打算怎么做？”这时那人很有信心的回答：“点燃煤气灶，把壶放到煤气灶上。”可是这一回答并没有使提问者感到满意，因为，在后者看来，更恰当地回答是：“只有物理学家才会这样做，而数学家则会倒去壶中的水，并声称他已经把后一问题化归为先前已经得到解决的问题了。” 华归的一般模式是： 所以说，化归可理解为：由未知到已知，由难到易，又复杂到简单的转化。下面我们来看化归方法在具体数学问题中的应用。 例1由于求解一元一次方程的问题是十分容易的，因此，为了求解二元一次方程组（或n 元一次方程组），我们就可采取消元的方法——这事实上是将求解二元（n元）一次方程组的问题化归为求解一元一次方程的问题，即：
九、化归与转化思想专题 上海市向东中学 刘成宏 经典例题 【例1】若动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图像分别交于N M ,两点，求 MN 的最大值． 分析: 动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图像分别交于N M ,两点, 横坐标相同，那么MN 就转化为N M ,两点纵坐标之差，即x x MN cos sin -=求最值． 解: x x MN cos sin -==)4 sin(2π - x 最大值为2． 【例2】设点)0,(m M 在椭圆 112 162 2=+y x 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点. 当MP 的模最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围． 解：设),(y x P 为椭圆上的动点，由于椭圆方程为 112 162 2=+y x ，故44≤≤-x ． 因为()y m x MP ,-=，2222312)4(4 1 12241m m x m mx x -+-=++-= ． 依题意可知，当4=x 取得最小值．而[]4,4x ∈-， 故有44≥m ，解得1≥m ． 又点M 在椭圆的长轴上，即44≤≤-m . 故实数m 的取值范围是]4,1[∈m ． 【例3】设R y x ∈,且x y x 6232 2 =+，求2 2 y x +的范围. 分析:设2 2 y x k +=，再代入消去y ，转化为关于x 的方程有实数解时求参数k 范围的问题.其中要注意隐含条件，即x 的范围. 解:方法一、由02362 2 ≥=-y x x 得20≤≤x . 设2 2 y x k +=，则2 2 x k y -=，代入已知等式得：0262 =+-k x x ， 即x x k 32 12 +- =，其对称轴为3=x .
专题三：转化与化归思想 【考情分析】 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中。数学问题解答题离不开转化与化归，它即是一种数学思想又是一种数学能力，高考对这种思想方法的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点。 预测2012年高考对本讲的考查为： （1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等。 （2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等。 （3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。 （4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。 【知识交汇】 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程。 1．转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。 2．常见的转化方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式。常见的转化方法有： （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题； （2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题； （3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化； （4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题； （5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径； （6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径； （7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题； （8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；
浅谈化归思想方法在数学教学中的应用 墨红镇中学李慧连内容摘要：所谓化归法，是指通过数学内部的联系和矛盾运用，在转化中实现问题的规范化，即将待解问题转化为规范问题，从而使原问题得到解决的一种方法.这里的规范问题是指已经具有确定的解决方法和程序的问题，即运用原有知识已能解决的问题.而将一个问题化为规范问题的过程叫做问题的规范化.因此，简而言之，所谓化归就是问题的规范化、模式化。“化归”方法很多，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 关键词：化归法简述运用操作实现化归 随着数学课程改革的深入，教师们已经认识到学生学习方法转变的必要性。数学教学是教师按照学生的认识规律和新课标特点，通过最优途径，指导学生掌握科学的学习方法，并获得具有选择和运用恰当有效学习方法的能力。重视方法指导是坚持“以学生为主体”和培养学生创新素养这一现代教育观念的体现，它能使学生主动参与认识过程，既能调动学生的积极性，又能向教师提出改进教法的反馈信息，有效发挥教法和学法的整体功能，最大限度地使用好教材。在数学方法论中有一种重要的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 一．化归法简述 在学习数学的各个环节中，解题的训练占有十分重要的地位。它既是掌握所学数学知识的必要手段，也是培养和提高数学能力的重要途径。解题的实质就是把数学的一般原理运用于题目的条件或条件的推论而进行的一系列推理，直到求出题目解答为止的过程。这一过程是一种复杂的思维活动的过程。解决问题的过程，实际是转化的过程，即对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。如抽象转化为具体，未知转化为已知，立体转化为平面，高次转化为低次，多元转化为一元，超越运算转化为代数运算等等。这就是数学方法论中的一种新的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，假设有一个数学问题甲，一下子不能直接求解，于是人们将甲问题的求解化为乙问题的求解，然后通过乙问题的求解返回去得出甲问题的求解，这就是化归的基本想法。利用化归法解决问题的过程可以简单地用以下框图表示：
转化与化归思想方法,就就是在研究与解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使 之转化，进而得到解决得一种方法、一般总就是将复杂得问题通过变换转化为简单得问题, 将难解得问题通过变换转化为容易求解得问题,将未解决得问题通过变换转化为已解决得问题、 转化与化归思想在高考中占有十分重要得地位，数学问题得解决,总离不开转化与化归,如 未知向已知得转化、新知识向旧知识得转化、复杂问题向简单问题得转化、不同数学问题 之间得互相转化、实际问题向数学问题转化等、各种变换、具体解题方法都就是转化得手段,转化得思想方法渗透到所有得数学教学内容与解题过程中、 1、转化与化归得原则 (1)熟悉化原则:将陌生得问题转化为熟悉得问题,以利于我们运用熟知得知识、经验来解决、 (２)简单化原则:将复杂问题化归为简单问题, 通过对简单问题得解决，达到解决复杂问题 得目得，或获得某种解题得启示与依据、 (3)直观化原则:将比较抽象得问题化为比较直观得问题来解决、 （4)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题得反面,设法从问题得反面去探讨,使问题获解、 2、常见得转化与化归得方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况 转化到另一种情形,也就就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化就是解决问题得 有效策略,同时也就是成功得思维方式、常见得转化方法有: (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题、 (2）换元法:运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂得函数、方程、不等式问题转化为易于解决得基本问题、 (3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式（图形)关系,通过互相变换获得 转化途径、 （4）等价转化法:把原问题转化为一个易于解决得等价命题,达到化归得目得、 (5)特殊化方法:把原问题得形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后得问题、结论适合原问题、 随着国家经济得发展,科技得发达，人才得需求,中国教育得改革,数学新课 标得出现,在对学生得知识与技能,数学思想及情感与态度等方面得要求，学生在数学得学习方法也应该要相应改变了,要满足社会得需要、化归与转化思想得实 质就是揭示联系,实现转化、除极简单得数学问题外,每个数学问题得解决都就是通过转化为已知得问题实现得、从这个意义上讲,解决数学问题就就是从未知向 已知转化得过程,同时在生活中许许多多得事情也需要往已知得方面转化,把事情简单化,这对以后学生得能力与德育方面有很大得帮助、化归与转化得思想就是 解决数学问题得根本思想，解题得过程实际上就就是一步步转化得过程、数学
浅谈化归思想在中学数学中的应用 发表时间：2010-11-08T15:05:44.580Z 来源：《中小学教育》2010年第11期供稿作者：苏炳堂 [导读] 数与数之间的转化遵循着一些原则，例如具体化原则、简单化原则、和谐统一化原则等等。 苏炳堂广西柳州市第一中学545007 在中学数学中，化归思想不仅是一种重要的数学思想，也是一种最基本的思维策略。化归思想在中学数学中有着很广泛的应用，其关键就在于把原问题转化和归结。对于具体的数学问题，如何实行化归和选择有效的化归手段并没有固定的模式，中学数学常见的化归基本形式有以下三种： 一、数与数之间的转化 数与数之间的转化是中学数学中最常用的一种化归形式，通过转化可以使得原问题简单化、具体化、熟悉化，从而使问题迎刃而解。在中学数学中很多化归都是数与数之间的转化，例如变形所给出的方程求解，数学解法在于不断将高层次的解法化归为较低层次的解法，这就是我们常说的把问题“初等化”。 例1、关于x的方程cos2x+sinx+a=0在（0，π）内有解，求a的取值范围。 分析：假设由题意把x看作未知数，那么那就是一个复合的方程，很难下手，但若考虑以sinx为未知数，再由1-cos2x=sin2x，则问题转化为常见的一元二次方程了，原问题即可解决。所以由1-cos2x=sin2x，原式可化为：a=sin2x-sinx-1即a=（sinx- ）2- 。因为x∈（0，π），所以0 转化与化归思想的应用 题型一 特殊与一般的转化 例1 已知函数f (x )＝a x a x ＋a (a >0且a ≠1)，则f ????1100＋f ????2100＋…＋f ????99100的值为________． 答案 99 2 解析 思维升华 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果． (1)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列， 则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝________. (2)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋ x )f (x )，则f ???? 52＝________. 答案 (1)4 5 (2)0 题型二，常量与变量的转化 例2， 对任意的|m |≤2，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负，则x 的取值范围为________. 变式练习：设f (x )是定义在R 上的单调增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为___________．(－∞，－1]∪[0，＋∞) 探究提高 在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的. 题型三 函数、方程、不等式之间的转化 例3 若f (x )是定义在R 上的函数，对任意实数x 都有f (x ＋3)≤f (x )＋3和f (x ＋2)≥f (x )＋2，且f (1)＝1，则f (2 014)＝________. 答案 2 014 解析 (2)∵f (x ＋1)≤f (x ＋3)－2≤f (x )＋3－2＝f (x )＋1， f (x ＋1)≥f (x ＋4)－3≥f (x ＋2)＋2－3≥f (x )＋4－3＝f (x )＋1， ∴f (x )＋1≤f (x ＋1)≤f (x )＋1. ∴f (x ＋1)＝f (x )＋1. ∴数列{f (n )}为等差数列． ∴f (2 014)＝f (1)＋2 013×1＝2 014. (1)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范 围是________． 答案 (1)(－∞，－8] 2．关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题： ( A ) ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假． 命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 题型四 数与形的转化 例4．(2014·天津)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________． 答案 (0,1)∪(9，＋∞) 解析 设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|， 在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示． 化归与转化的思想方法（教案） 课题：化归与转化的思想方法专题 延寿一中吴东鹏 一、教学目标： 1、知识目标：⑴理解并掌握化归与转化的思想方法； ⑵用哲学观点认识化归与转化的思想方法。 2、能力目标：⑴能运用“化归与转化的思想方法”解决具体条 件下的数学问题； ⑵培养学生观察、分析、处理问题的能力，提高 思维品质； ⑶形成运动变化，对立统一的观点。 3、情感目标：在解题中，让学生体会熟悉化,简单化,和谐化,直 观化,正难则反的数学妙味. 二、教学重点、难点 教学重点：对“化归与转化的思想方法”的理解及运用 教学难点：“化归与转化的思想方法”的运用 三、教法、学法指导 教法：四环递进教学法 学法指导：⑴培养敏锐的洞察能力，类比能力； ⑵找准目标模型，将待解决问题转化为目标模型； ⑶学会用化归与转化的思想方法处理高中数学的 问题； 四、教学过程 1、知识整理 提出问题：结合以前解有关化归与转化题目方面的经验或体会，能否谈谈化归与转化的思想方法： ⑴、在运用已学知识解答一类问题时，不同问题要求运用不同知识，这就要求人们运用类比法，找准某一数学模型为目标模型，通过恰当的手段把问题化归为目标模型，再运用目标模型的内在数学规律，使问题获解，其思维程序是客观问题经抽象数学化→数学问题，经类比化归，找准目标模型把问题转化成模型→数学模型，经求解，运用模型→得解。 ⑵、实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，也可以变换问题的外部形式，从宏观上可以实现学科间的化归，也可以调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题，在解题中可以多次使用化归，使问题逐次达到规范化、模式化。 ⑶、解题的过程就是化归的过程，不断地改变你的问题，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些能用的东西，解决问题为止。 2、范例选讲 例1：设4()42x x f x =+，求122006()()()200720072007 f f f +++L 解：1144()(1)4242 a a a a f a f a --+-=+++Q 4442424 a a a =+++? 浅谈中学数学中的化归思想 作者：中原中学刘继华 不断地变换你的问题，我们必须一再地变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成 功地找到某些有用的东西为止。 ————波利亚 化归是解决数学问题的一种重要思想方法．化归的思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，并学会用它分析问题、处理问题，有着十分重要的意义．匈牙利著名数学家路莎˙彼得以生动的比喻对这种思维方式作了如下风趣的描述：有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答；但是，他又追问道：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你又应当怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是，提问者指出，这一回答并不能使他满意，因为，更好的回答应当是：“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称我把后一问题化归为前面所说的问题了。” 路莎˙彼得在这里说的就是化归方法。在数学教育中，化归思想是“问题解决”的一种重要手段和方法。 —、化归方法的基本思想 1、化归方法的含义：把待解决和未解决的问题，通过转化，或再转化，将原问题归结为一个已经能解决的问题，或者归结为一个比较容 易解决的问题甚至为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决．我们就把这种将未知转化归结为已知的解决数学问题的基本方法称之为化归方法． 2、化归方法是辨证思维在方法论上的反映 数学中充满着矛盾，有着极其丰富的辨证内容，例如，数学概念中一与多、正与负、常量与变量、有限与无限以及数学运算中的加与减、乘与除、乘方与开方、微分与积分等都表现为矛盾的对立统一的形式． 化归方法正是根据客观事物是普遍联系、永恒发展和矛盾的对立统一及其相互转化的观点，来实现问题解决的，它着眼于揭示联系实现转化．因此说化归方法是辨证思维在方法论上的反映． 3、化归方法的作用 我们知道整个中学数学内容，始终贯穿着数学知识和数学方法这两条线．中学数学问题的解决过程常常表现为不断发现问题、分析问题直到归结转化为熟悉的或已能解决的问题的过程，化归方法是中学数学中的重要数学方法之一． 例如 (1代数中解一般方程(或不等式的基本思路是多元向一元、高次向低次的化归；分式方程向整式方程的化归，无理方程向有理方程的化归． 高三数学思想、方法、策略专题 第三讲 转化与化归思想 一．知识探究： 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。 1．转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。 2．常见的转化方法 （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题； （2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题； （3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化； （4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题； （5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径； （6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径； （7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题； （8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化； （9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的； （10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集A C U 获得原问题的解决。 3．化归与转化应遵循的基本原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决； （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据； （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律； （4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决； 浅谈转换与化归思想 转化思想是数学中的一种基本却很重要的思想。深究起来，转化两字中包含着截然不同的两种思想，即转换和化归。这两者其实表达了不同的思想方法，可以说是思维方式与操作方法的区别。 一、 转换思想 （1）转换思想的内涵 转换思想是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化，能跳出现有领域的局限，联系相关领域，并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。要做到这一点，对思维能力的要求相对更高，必须对各个领域分别都有透彻的了解，更必须对各领域之间的联系有较多的研究，在关键时刻才能随心所欲地运用。 （2）转换思想在同一学科中的应用 转换思想可以是在同一学科的不同知识模块之间的变换，在解决问题时改变解题方向。象数学学科中，数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。 比如，函数、方程、不等式是代数中的三大重要问题，而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其他模块的各类问题。不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决，或者是二次方程根的分布，也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。再比如，数列问题用函数观点来解释，那更是我们数学课堂中一再强调的问题了。 看这样一个问题： 已知：11122=-+-a b b a ，求证：12 2=+b a 。 [分析] 这是一个纯粹的代数证明问题，条件的变形是比较艰难的，所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点 令人望而生畏。 再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式，稍加联系，我们完全可以想到：21a -、21b -、122=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现，它们呈现出完全类似的规律性。 [解答]由题意1≤a 、1≤b ，则可设αsin =a ，αcos =b ，πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα 化简得1cos cos sin sin =+αααα 所以0sin ≥=αa ，0cos ≥=αb 则 1cos sin 2 222=+=+ααb a [小结] 本题的解决了是发现了不同知识模块中的类似规律，加以利用得到新的思路，本题的题设和结论中都没有出现 三角函数的形式，最终却必须引进三角函数加以解决，思维已经具有跳跃性，对一般学生来说解决起来还是比较棘手的。 转换思想对思维要求确实很高，但这一点还是能够做到的。因为各学科都有对知识模块的介绍，同时也有对各知识模块之间横向纵向的对比联系的研究。典型的例子就是数与形之间的思维转换，因为学生已经在初中老师的指导下 化归与转化思想 一．利用换元法进行转化 1．若 ,42x ππ<<求函数3tan 2tan y x x =的最大值。 2．在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213 x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值． 3．奇函数f(x)的定义域R ，且在[0+∞）上是增函数，当0≤θ≤π/2时，是否存在实数 m, 使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)对所有θ∈〔0，π/2〕的均成立？若存在，求出适合条件的所有实数m;若不存在，说明理由． 二．正难则反的转化 4．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目， 则重点项目A 和一般项目B 至少有一个被选中的不同选法种数是( ) A ．15 B ．45 C ．60 D ．75 5．已知非空集合A={x| 2 x -4mx+2m+6=0，x ∈R}，若 A ∩R-≠,求实数m 的取值范围(R- 表示负实数集, R+表示正实数集). 三．利用构造法进行转化 6．已知a b e >>。 证明b a a b < 7．已知函数2 2 ()ln (1).1x f x x x =+-+ (1) 求函数()f x 的单调区间; （2）若不等式1(1) n a e n ++≤对任意的N*n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数）. 求a 的最大值. ? 四．空间问题平面化的原则 8．如图，设正三棱锥S-ABC 的底面边长为a ，侧面等腰三角形的顶角 为0 30，过A 作与侧棱SB,SC 都相交的截面AEF ，求这个截面周长的 最小值。 五．等与不等的转化 9．若f(x)是定义在R 上的函数，对任意实数x 都有f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2，且f(1)=1，则 f(2 010)= . 六．常量与变量的转化 10．设f （x ）是定义在R 上的单调增函数，若f （21ax x --）≤f （2-a ）对任意 a ∈［-1，1］恒成立，求x 的取值范围. 11．已知函数247(),[0,1]2x f x x x -=∈- （1）求()f x 的单调区间和值域； （2）设1a ≥，函数32 ()32,[0,1]g x x a x a x =--∈，若对于任意的1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈，使得01()()g x f x =成立，求a 取值范围。 “化归”思想在小学数学教学中的运用 一、“化归”思想的内涵 “化归”思想，是世界数学家们都十分重视的一种数学思想方法，从字面意思上讲，“化归”理解为“转化”和“归结”两种含义，即不是直接寻找问题的答案，而是寻找一些熟悉的结果，设法将面临的问题转化为某一规范的问题，以便运用已知的理论、方法和技术使问题得到解决。而渗透化归思想的核心，是以可变的观点对所要解决的问题进行变形，就是在解决数学问题时，不是对问题进行直接进攻，而是采取迂回的战术，通过变形把要解决的问题，化归为某个已经解决的问题。从而求得原问题的解决。化归思想不同于一般所讲的“转化”或“变换”。它的基本形式有：化未知为已知，化难为易，化繁为简，化曲为直。 匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上。”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气，再把水壶放上去。”但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答：‘只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了’”。 “把水倒掉”，这就是化归，这就是数学家常用的方法。翻开数学发展的史册，这样的例子不胜枚举，著名的哥尼斯堡七桥问题便是一个精彩的例证。 二、“化归”思想在小学数学教学中的渗透 1、数与代数----在简单计算中体验“化归” 例１：计算48×53＋47×48 机械地应用乘法分配律公式进行计算，学生不容易真正理解。将48这一数化归成物，即看到了相同的数48，想起了红富士苹果，以物红富士苹果代替数48，相同的数48是化归的对象，红富士苹果是实施化归的途径，于是48×53＋47×48就转化成求53个苹果与47个苹果之和的问题是化归的目标。 48×53＋47×48 ＝48×(53＋47) ＝48×100 ＝4800，得到问题的解决。 例2：解方程5x－x=4 x是化归的对象，把未知数x化归成物红富士苹果，红富士苹果是实施化归的途径，于是方程5x－x=4 转化为5个苹果－1个苹果＝4的问题是化归的目标。 5x－x=4 得4x=4 x=4÷4 x=1 通过以图片中的红富士苹果代替抽象的字母x，问题得以解决，同时学生对字母表示数从广义上得以理解。 教学正负数加减法运算是教材的重点和难点，学生对：“（１）同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加，（２）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，较大的绝对值减去较小的绝对值”。不容易真正理解和掌握，原因是“绝对值”的概念及名词对小学生来说是陌生的。转化与化归思想的应用
人教新版化归与转化的思想方法(教案)
浅谈中学数学中的化归思想(精)
转化与化归思想
转换与化归思想
化归与转化思想
“化归”思想在小学数学教学中的运用
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