浅谈化归思想的运用
引言：
有学者指出：“数学中许多计算方法之灵巧，证明方法之美妙，究其思路，往往就是利用了各种转化。”利用化归思想，常常可以另辟蹊径，解决新问题，获得新知识。
数学教育的任务，是让学生学习和掌握数学科学。因此，数学教育不能只谈教育，不谈数学。一个数学教师，必须具备丰富的数学知识，掌握数学技能，更重要的是理解数学的本质，掌握数学思想方法。只在这样，学生才能受到数学科学的熏染，了解数学科学体系，体会数学科学精髓。
从20世纪90年代以来，重视数学科学思想方法的教学已经成为中国数学教育的一大特色。继承和发扬这一优势，是21世纪数学教育工作者的一项重要任务。
一、数学思想方法的叙述
数学思想方法是一种指导思想和普遍使用的方法，数学本身作为一种科学，具有严谨性，逻辑性，简洁性，可靠性等特点。对数学思想方法的研究有益于数学本身的研究。数学思想方法一词，自世纪年代以来，在数学数学教育范围内开始使用，使用率在增高，在其他学科也有使用。数学思想方法贯穿在数学课程标准中把它作为教育的目标，在前言中要求教师/应激发学生的积极性，帮助学生在学习的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能数学思想方法。把它作为学生学习的目标，通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来生活和进一步发展所必需的重要的知识包括数学事实，数学活动经验以及基本的数学思想方法和必要的应用技能等。
数学思想方法最早见著于古希腊数学家欧几里德的几何原本，在我国则是伟大数学家刘徽所著的九章算术。早在世纪年代初，徐利治教授在大学数学系开设/数学方法论课程以来，关于数学思想方法的研究不断深入。数学教育界一直比较本顺合著的数学思想方法张宙等的现代数学思想注重数学思想方法的教学研究，也进行了一些教改实验。如上海市黄浦数学方法论研究小组历时三年半的/关于数学思想方法训练序的研究，以及在全国二十多个市开展的/教育方式实验研究，从不同侧面探讨了数学思想方法教学，取得显著成绩。
数学思想方法作为数学教育的重要内容，己日益引起人们的注意，这与教育
越来越重视学生的能力培养与素质提高有着密切的关系。但是，数学思想方法教学的重要性并没有引起老师们足够的重视，长期以来，数学教学受/传道授业解惑的传统教学观念影响很深，以传授知识为目标的教学观点和模式是相继沿袭中形成的，加上历史的长期沉淀以及各种因素的牵联，变得相当稳固，在数学教学过程中只注重知识的传授，忽视知识发生过程中的数学思想方法的教学现象比较普遍。很多数学教师都不能明确的说出到底在自己所教授的知识中涉及了哪些数学思想方法，导致教师自己对题目本身的理解不透，分析不清，只能就题论题，造成学生陷于题海不能自拔。数学思想方法具有普遍性，掌握好数学思想，比掌握好形式化的数学知识更加重要，学生在未来的生活和工作中将终生受益。数学实践表明中学数学教育的现代化，主要不是内容的现代化，而是数学思想方法及教学手段的现代化。加强数学思想方法的教学是实现数学教育现代化的关键，数学思想方法教学在人的能力培养和素质提高方面具有重要作用。
二、化归思想的概述
对于化归思想，匈牙利女数学家罗莎·彼得 (Rozsa Peter)在她的《无穷的玩艺》中有一个精彩的比喻：摆在你面前的有水龙头、水壶、煤气灶和火柴，任务是烧开水。你将怎么办？毋庸置疑，答案是打开水龙头，把水壶注满水并放到煤气灶上，然后划着火柴，点燃煤气灶烧开即可。罗莎又提出：如果水壶里已经注满了水，你又将怎么办？她说，一般人的回答是把水壶放到煤气灶上，然后划着火柴，点燃煤气灶烧开即可。罗莎说数学家的回答是，把水壶里的水倒掉，并声称自己把这一问题化归为最初提出的问题了。罗莎最后说数学家思维的独到之处，就是善于运用这种化归的思想。一个幽默、形象的比喻揭去了数学化归思想神秘的面纱，巧妙地让人领悟了化归思想方法的本质。
化归方法的含义。所谓化归，可以理解为转化和归结的意思。化归方法是指数学家们把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类己经能解决或者比较容易解决的问题中，最终获得原问题的解答的一种手段和方法。或简单的说，化归就是问题的规范化模式化。
化归方法包括三个要素化归对象化归目标和化归途径。化归对象，即把什么东西进行化归化归目标，即化归到何处去化归途径，即如何进行化归。
化归方法的途径:分解与组合所谓分解，就是把一个复杂的问题分解成若干个较
简单或较熟悉的问题，从而使原问题得以解决。分解有时并不能单独解决问题，为了使化归过程完全实现，还要结合组合，即把所给出的问题与有关的其他问题作综合的研究，使原问题得以解决。
恒等变形就是把一个解析式变换成另一个和它恒等的解析式。数学中的配方因式分解等恒等变换，都起到将复杂难未知的问题化归为简单易己知问题的作用。
化归，是运用某种方法和手段，把有待解的较为生疏或较为复杂的问题转化归结为所熟悉的规范性问题来解决的方法。化归是数字中最基本的思想方法，在数学问题解决中应用十分广泛，因而可以视为数学活动中的一个普遍的方法原则，称为化归原则。
人们在研究和运用数学的长期实践中，获得了大量的成果，也积累了丰富的经验，许多问题的解决已经形成了固定的方法模式和约定俗成的步骤。人们把这种有既定解决方法和程序的问题叫做规范问题，而把一个生疏或复杂的问题转化为规范问题叫做规范化，或称为化归。
例如，对于一元二次方程，人们已经掌握了求根公式和韦达定理等理论，因此求解一元二次议程的问题是规范问题，而把分式方程、无理方程、超越方程通过换元等方法转化为一元二次方程的过程就是问题的规范化。其中换元法是实现规范规范化的手段，具有转化归结的作用，可以称之为化归的方法。
规范问题具有确定性、相对性和发展性的特征。对于规范问题，人们不仅可以运用已知的理论和技术达成问题的解决，而且已经掌握了固定的步骤和程序，这就是确定性。所谓相对性，是指对于数学研究工件者以及不同层次的学习者，规范问题的范围并不相同。例如，对于初学定积分的人，只有基本积分分式提供的积分问题属于规范问题，而对于继续学习重积分、曲线积分和曲面积分来说，求解定积分则可视为规范问题。事实上，人们也总是把各种积分化归为定积分来解决，因此规范问题具有相对性。随着数学的发展，各种数学理论在不断创新，规范问题的范围也在不断扩大，因此规范问题又具有发展性。
化归原则的核心是实现问题的规范化，也就是把一个生疏的，复杂的问题化为熟悉的、简单的问题，以便利用已知的理论、方法和程序实现问题的解决。因此熟悉化和简单化是化归的基本基本方向。
第三章化归与转化思想：
在教学研究中，使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为转化思想。体现在数学解题中，就是将原问题进行变形，使之转化为我们所熟悉的或已解决的或易于解决的问题，就这一点来说，解题过程就是不断转化的过程。化归与转化的一般原则是：①化归目标简单化原则；②和谐统一性原则（化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系方面趋于统一的方向进行，使问题的条件与结论表现得更均匀和恰当。）；③具体化原则；④标准形式化原则（将待解问题在形式上向该类问题的标准形式化归。标准形式是指已
经建立起来的数学模式。如二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）；椭圆方程）；
⑤低层次化原则（解决数学问题时，应尽量将高维空间的待解问题化归成低维空间的问题，高次数的问题化归成低次数的问题，多元问题化归为少元问题解决。这是因为低层次问题比高层次问题更直观、具体、简单）。化归与转化的策略有：①已知与未知的转化（已知条件常含有丰富的内容，发掘其隐含条件，使已知条件朝着明朗化的方向转化，如综合法；对于一个未知的新问题，通过联想，寻找转化为已知的途径，或从结论人手进行转化，如分析法）。②正面与反面的转化（在处理某一问题，按照习惯思维方式从正面思考而遇到困难，甚至不可能时，用逆向思维的方法去解决，往往能达到突破性的效果）。③数与形的转化（数形结合其实质是将抽象的数学语言与直观的图形相结合，可以使许多概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求）。④一般与特殊的转化。⑤复杂与简单元的转化（把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决，这是数学解题的一条重要原则）。
高中数学涉及最多的是转化思想，如超越方程代数化、三维空间平面化、复数问题实数化等，为了实现转化，相应地产生了许多的数学方法，如消元法、换元法、图象法、待定系数法、配方法等。通过这些数学方法的使用，使学生充分领略数学思想在数学领域里的地位与作用。
第四章化归思想的基本思想
化归原则的结构中蕴涵着三个基本要素，即化归的对象、目标、和方法。化归的对象就是待解问题中需要变更的成分，化归的目标是所要达到的规范问题。
所谓化归的方法，就是规范化的手段、措施和技术。例如，求有理函数的积分，一般要化为部分分式求解，这里被积有理函数是化归的对象，部分分式是化归的目标，而把有理函数表为部分分式之和时通常采用的待定系数法就是化归的方法。在化归的三要素中，化归方法是实现化归的关键，这是显而易见的。
唯物辩证法指出，客观事物是发展变化的，不同事物间存在着种种联系，各种矛盾无不在一定的条件下互相转化。化归正是人们对这种联系和转化的一种能动的反映。从哲学的高度看，化归原则着眼于揭示矛盾实现转化转化，在迁移化中达到问题的规范化。因此，化归原则实质上是转化矛盾的原则，它的“运动→转化→解决矛盾”的基本思想具有思想具有深刻的辩证性质。
第五章化归方法的运用
在化归原则中，实现化归的方法是多种多样的。按照应用范围的广度来划分，数学中的化归方法分为三类，这就是多维化归方法、二维化归方法和单维化归方法。
一、多维化归方法这是指跨越多种数学分支，广泛适用于数学各学科的化归方法。例如，换元法、恒等变换法、反证法、构造法、待定系数法、数学归纳法等。它们既适用于几何、三角等初等数学的各个分支，又适用于高等数学各个学科，其应用十分广泛，因而属于多维化归方法。
二、二维化归方法这是指能沟通两个不同数学分支学科的化归方法，是两个分支学科之间的转化。例如，解析法、三角代换法、向量法等都可以沟通两个数学分支学科，以便发挥两个学科的理论和方法的优势实现问题的解决，因而都是二维化归方法。
三、单维化归方法这是指只适用于某一学科的化归方法，是本学科系统内部的转化。例如，得数法、代入法、加减法、判别式法、曲线系法、坐标变换法等都是单维化归方法。
例设
2
,
,
2
2=
+
+
∈x
y
x
R
y
x且
，求6
7
M
2-
+
=x
y的最值。
分析求M的最值是二元函数的极值问题，考虑用恒等变换化归为一元二次函数的极值问题。
由
2
2
2=
+
+x
y
x
得到
)2
)(
1
(
2
2
2≤
+
-
=
-
+
=
-x
x
x
x
y
故
.1 2≤
≤
-x
于是
6
7)2
(-
+
+
-
-=x
x
x
M
2)3
(
5-
-
-=x
故当x=1时M有最大值1，当x=-2时有最小值-20.
四、数学中的语义转化实现的化归运用
语义转化实现化归是数学教学中的一种基本思想。学生运用所掌握的基础知识,利用合理的语义转化方式实现化归,可以巧妙地解答数学中的各类复杂问题。
二、实现语义转化的几种途径
1. 抓住“| | ”的多义性进行合理的语义转化
符号“| | ”有三种不同的含义(绝对值,复数模,两点间距离) ,但也有内在的联系。所以我们在解题时可利用“| | ”的不同含义间的相互联系,巧妙转化问题,会收到意想不到的效果。
例1. 已知A = { ( x, y) | | x | +| y | ≤1} , B = { ( x, y) | x2 + y2 ≤1} , C = { ( x, y) | | x | ≤1, | y | ≤1} 求A, B , C之
间的关系。分析:对于此问题,一时难以下手:若从绝对值的含义出发, 将需进行多种讨论, 很繁琐且容易出错。我们不妨另辟途径,进一步分析“| | ”的语义,便可轻松准确地将已知条件转化为等价的图形语言。如下图:
由图1, 2, 3很容易得到, A, B , C的关系为A∪B∪C (如图4) 。
例2. 已知| z | = 1,且z 5 + z = 1,求z
分析:由题目已知条件,如果令z = x + y i,假设虽然简单,但下一步计算会遇到平方及五次方
的计算,较繁。这时我们考虑| z | = 1,不妨将其转化为z 的三角形式,问题将会迎刃而解。
解:设z = cos α + i sin α,得( cos α + i sin α) 5 + ( cos α + i sin α) = 1,
即: co s5α + i sin5α + cos α + i sin α - 1 = 0. 由复数相等的条件(化虚为实) 可变形为: cos5α +co s α - 1 = 0且sin5α + sin α = 0.
即: co s5α = 1 - cos α( 1) 且sin5α = - sin α( 2) 由( 1) 2 + ( 2) 2 可解得: cos α =1/2, sin α = ±23.
此题通过语义转换,利用复数的三角形式,根据棣莫佛定理来处理高次问题, 从而达到了降次的目的; 并且实现了复数与三角函数的联系,进行了化虚为实的巧妙转换。
综合例1和例2,是在对“| | ”理解的基础上再利用“| | ”的多层含义进行合理的语义转换,实现了代数、几何间的互相转化,化虚为实,化繁为简。
帮我找一点单维化归，二维化归，和多维化归的例子嘛！这样把前面的概念再改一改例题加上去应该就可以了吧。