第14章 狭义相对论力学基础
1、 狭义相对论的两个基本假设
（1）爱因斯坦相对性原理：物理定律在所有的惯性系中都具有相同的表达形式。或对于一切物理学规律所有惯性系都是等价的。
（2）光速不变原理： 真空中的光速是常量，它与光源或观察者的运动无关。 2、时间延缓效应：（固有）原时0τ ：同一地点发生的两个事件的时间间隔。2
2
1c u
ττ-=
3、长度收缩效应：（固有）原长度0L ：相对物体静止时测得的长度。2
2
01c
u L L -=
4、洛伦兹变换式：
2222
2
1;1c u x c u t t c u
t u x x -?-?=
'?-?-?=
'? 2
22221;1c
u x c u
t t c u t u x x -'?+'?=
?-'?+'?=?
5、 狭义相对论动力学基础
（1）质量：2
0)(1c
v m m -=
（2）动量：
2
0)/(1c v v m p -=
（3）能量：物体静止时的能量 2
00E m c =；相对论中的动能 220k E mc m c =-
物体运动时的总能
22
0k mc E m c =+ 第13章 波动光学基础
1、 获得相干光的方法：（1）分波面; （2）分振幅。
2、光程与光程差：∑i
i i r n λ
δ
π2=?Φ 3、杨氏双缝干涉实验（分波面）：
λk D
dx
r r δ±=≈
-=12明纹中心；()21212λk D dx r r δ+±=≈
-=暗纹中心（,......3,2,1,0=k ） 相邻条纹中心间距：d
λD x =?
4、薄膜干涉（分振幅）：（1）等厚干涉：a.劈尖干涉 ()?
?
??????=+???==+=暗条纹中心明条纹中心,3,2,1,0,212,3,2,1,22k λk k λk λd δ 空气劈尖任意相邻明条纹对应的厚度差：2
1λ
d d k k =-+
任意相邻明条纹(或暗条纹)之间的距离L 为：θ
λθλθd d L k k 2sin 2sin 1≈=-=+
b. 牛顿环 ()?
???????=+???==+=暗条纹中心明条纹中心,3,2,1,0,212,3,2,1,22k λk k λk λd δ R r d 22
= ()暗条纹明条纹???==???=-=,2,1,0,3,2,1,212k kR r k R k r λλ c. 迈克耳逊干涉仪： M 1平移?d 时 2
λN d =?（2）等倾干涉：增反膜增透膜（例13.9）
5、惠更斯—菲涅耳原理：次波相遇产生相干叠加。
8、光的偏振概念：a 自然光;b 线（完全）偏振光; c 部分偏振光;d 振动面；
马吕斯定律 I ＝I 0cos 2
α I 0为完全偏振光，α为完全偏振光的振动方向与偏振片的偏振化方向之间夹角。 布儒斯特定律 tani b =n 2/n 1 （i b 为起偏角）2
πγi b =+
6、单缝衍射： ()亮度介于最明最暗之间
中央明纹中心
明条纹中心
暗条纹中心
,...3,2,12
sin 0sin ,3,2,1,212,3,2,1,22sin =≠=????
?
???=+±???=±=k λ
k φa φa k λ
k k λk φa 中央明纹宽度a λ
f x 221
=
光学仪器分辨率：λ
D R 22.11= 7、光栅衍射: 光栅衍射明条纹位置满足：(a+b)sin ? =k λ ；k=0,±1, ±2, ±3 · · ·
缺级现象 ,......
3,2,12
2sin ,......
3.2,1,0sin )(=''±==±=+k λk φa k λk φb a 时缺级为：(),......3,2,1=''+=k k a b a k 第6章 机械振动基础
1.简谐振动的定义：（1）)cos(φt ωA x += 原点：平衡位置：即∑=0F
处；
（2）加速度：x ωa 2-=；（3）合力kx F -= 2.简谐振动速度、振动加速度： )sin(φt ωA ωdt dx υ+-== )cos(22
2
φt ωA ωdt
x d a +-==
3.谐振动角频率.振幅.初相位的确定：（1）简谐振动动力学微分方程：022
2
=+x ωdt x d 弹簧m k ω=2单摆l g ω=2
（2）振幅.初相位的确定：22
02
0ωυx A += φA ωυφA x sin cos 00-== 或0
0tan x ωυφ-=
4.谐振动旋转矢量：
5.谐振动能量：22211cos ()2
2
p
E kx kA t ω?==+ 222211sin ()22
k E mv m A t ωω?==+总能量： 22
1kA E E E K P =+= 6.两同方向同频率谐振动合成：)cos(111φt ωA x += )cos(222φt ωA x += )cos(21φt ωA x x x +=+=
其中)cos(212212221φφA A A A A -++= ；
11221122
sin sin tan cos cos A A A A ?????+=
+
第7章 机械波
1.机械波产生的条件： 波面和波线： 横波与纵波:
2.描述波的物理量：波速（由媒质决定）；周期频率（由波源决定）；πγω2= ;波长λ：ut λ=
3.平面简谐波的波函数：??
??
??+??
? ??=??
????+??
? ?
?=002cos cos φλx T
t πA φu x t ωA y 4.波的能量和能流密度：平面简谐波传播能量的特点：媒质质元中的动能与势能同相位；u ωA ρu ωI 222
1==
5.惠更斯原理：
6.波的干涉：相干波源：频率相同、振动方向相同、相位差恒定。)cos(:);cos(:222020111010φt ωA y S φt ωA y S +=+=
21112;2)(22A A A πk r r λπφφ+=±=--
-=?Φ加强； 12112;;)12)(22A A A πk r r λ
πφφ-=+±=---=?Φ减弱（ 7.驻波：半波损失：波反射时从波疏媒质到波密媒质。8.多普勒效应：
第8章 热力学
1.概念：准静态过程；体积功；气体的摩尔定体热容、摩尔定压热容；循环效率；制冷系数等。
2.热力学第一定律：A E E Q +-=)(12 规定：为吸热。为放热；0000;00 Q Q A dV A dV
3.热力学第一定律在理想气体等值过程的应用：理想气体状态方程：RT νPV = a.等温：1
2ln
V V RT νA Q E dT T T ===?=. b.定体：
)()(2
1212T T C νT T R i
ν
E Q A dV V V -=-=?=== c.定压：V
P V P P P V P C C γR C C T T C νQ T T C νE T T R νV V P A dP =+=-=-=?-=-==绝热系数其中:)();();()(;012121212
d.绝热：准静态绝热过程方程)(;0;01211T T C νE A Q dQ T P TV PV V γγγγ--=?-======---常数。特点：常数；常数； 4.循环： a.正循环：1
2110
T T ηQ Q Q A ηA Q --===
=卡诺吸
放吸
净净净
b.逆循环：2
120
T T T ωQ Q Q A Q ωA Q Q Q -=
=
=
==卡诺吸
放吸
净吸净
吸放净--
§14.1 ～14. 3 14.1 狭义相对论的两条基本原理为相对性原理；光速不变原理。 14.2 s ′系相对s 系以速率v=0.8c ( c 为真空中的光速）作匀速直线运动，在S 中观测一事件发生在m x s t 8103,1×==处，在s ′系中测得该事件的时空坐标分别为 t =′x 1×108 m 。 分析：洛伦兹变换公式：)t x (x v ?=′γ，)x c t (t 2v ?=′γ其中γ=，v =β。 14.3 两个电子沿相反方向飞离一个放射性样品，每个电子相对于样品的速度大小为0.67c ， 则两个电子的相对速度大小为：【C 】 （A ）0.67c （B ）1.34c （C ）0.92c （D ）c 分析：设两电子分别为a 、b ，如图所示：令样品为相对静止参考系S ， 则电子a 相对于S 系的速度为v a = -0.67c （注意负号）。令电子b 的参考系为 动系S '（电子b 相对于参考系S '静止），则S '系相对于S 系的速度v =0.67c 。 求两个电子的相对速度即为求S '系中观察电子a 的速度v'a 的大小。 根据洛伦兹速度变换公式可以得到：a a a v c v v 21v v ??=′，代入已知量可求v'a ，取|v'a |得答案C 。 本题主要考察两个惯性系的选取，并注意速度的方向（正负） 。本题还可选择电子a 为相对静止参考系S ，令样品为动系S '（此时，电子b 相对于参考系S '的速度为v'b = 0.67c ）。那么S '系相对于S 系的速度v =0.67c ，求两个电子的相对速度即为求S 系中观察电子b 的速度v b 的大小。 14.4 两个惯性系存在接近光速的相对运动，相对速率为u （其中u 为正值） ，根据狭义相对论，在相对运动方向上的坐标满足洛仑兹变换，下列不可能的是：【D 】 （A ）221c u /)ut x (x ??=′； （B ）22 1c u /)ut x (x ?+=′ （C ）221c u /)t u x (x ?′+′=； （D ）ut x x +=′ 分析：既然坐标满足洛仑兹变换（接近光速的运动），则公式中必然含有22 11c v ?=γ，很明显答案A 、B 、C 均为洛仑兹坐标变换的公式，答案D 为伽利略变换的公式。此题的迷惑性在于（B ），因为S '和S 系的选取是相对的，只是习惯上将动系选为S '，仅仅是字母符号的不同。 14.5 设想从某一惯性系K 系的坐标原点O 沿X 方向发射一光波，在K 系中测得光速u x =c ，则光对另一个惯性系K'系的速度u'x 应为【D 】
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 第13章狭义相对论 第 13 章狭义相对论一、选择题 1. 狭义相对论的相对性原理告诉我们 [ ] (A) 描述一切力学规律, 所有惯性系等价(B) 描述一切物理规律, 所有惯性系等价 (C) 描述一切物理规律, 所有非惯性系等价 (D) 描述一切物理规律, 所有参考系等价 2. 在伽利略变换下, 经典力学的不变量为 [ ] (A) 速度 (B) 加速度 (C) 动量 (D) 位置坐标 3. 在洛仑兹变换下, 相对论力学的不变量为 [ ] (A) 加速度 (B) 空间长度 (C) 质点的静止质量 (D) 时间间隔 4. 相对论力学在洛仑兹变换下 [ ] (A) 质点动力学方程不变 (B) 各守恒定律形式不变(C) 质能关系式将发生变化(D) 作用力的大小和方向不变 5. 光速不变原理指的是 [ ] (A) 在任何媒质中光速都相同 (B) 任何物体的速度不能超过光速 (C) 任何参考系中光速不变 (D) 一切惯性系中, 真空中光速为一相同值 6. 著名的迈克尔逊──莫雷实验结果表明 [ ] (A) 地球相对于以太的速度太小, 难以观测(B) 观测不到地球相对于以太的运动 (C) 观察到了以太的存在 (D) 狭义相对论是正确的 7. 在惯性系 S 中同时又同地发生的事件 A、 B，在任何相对于 S 系运动着的惯性系中测量: [ ] (A) A、 B 可能既不同时又不同地发生 (B) A、 B 1/ 13
第6章狭义相对论 要求掌握§1—§3和§6，其中重点是§2和§3。基本要求、重点如下。 1．历史背景和实验基础 ① 经典时空理论主要特征：绝对时间和空间，时空独立性，伽利略变换； ② 对麦克斯韦方程可变性的几种观点，以太； ③ 麦克尔逊－莫雷实验：目的，实验中的假定，实验装置，结果及意义。 2． 狭义相对性基本原理 ① 相对性原理与光速不变原理 ② 间隔不变性2'2S S = ③ 洛伦兹变换?????? ???????--===--=22 2'''22'11c v x c v t t z z y y c v vt x x 3．时空理论 ① 同时的相对性； ② 运动尺度收缩220c v l l l -=，固有长度，收缩是相对的； ③ 运动时钟延缓, 221c v t -?=?τ，固有时间，延缓也是相对的； 4.速度变换公式???????222'2 22'2'11111c v u c v u u c v u c v u u c v u v u u x z z x y y x x x --=--=--= 5．相对论力学
① 运动质量2 20 1c v m m -= ② 物体的动量 v m P = ③ 物体的能量 2mc W =，动量00(m m W W T -=-=）2c ④ 能量动量和质量之间的关系式：40222c m c P W += （对于光子，ω ====W k P Pc W m ,,,00） ⑤ 运动定律 dt P d F =（在相对论中a m F ≠），dt dW v F =? 105．从狭义相对论理论可知在不同参考系观测，两个事件的 （ 3 ） ①空间间隔不变 ②时间间隔不变 ③时空间隔不变 ④时空间隔可变 106．狭义相对论的相对性原理是 （ 4 ） ①麦克尔逊实验的结果 ②洛仑兹变化的直接推论 ③光速不变原理的表现形式 ④物理学的一个基本原理 107．狭义相对论光速不变原理的内容是 （ 4 ） ①光速不依赖光源的运动速度 ②光速的大小与所选参照系无关 ③光速是各向同性的 ④以上三条的综合 108．用狭义相对论判断下面哪一个说法不正确 （ ） ①真空中的光速是物质运动的最大速度 ②光速的大小与所选参照系无关 ③真空中的光速是相互作用的极限速度 ④光速的方向与所选的参照系无关 109．在一个惯性参照系中同时同地地两事件在另一惯性系中 （ ） ①为同时不同地的两事件 ②为同时同地的两事件 ③为不同时同地的两事件 ④为不同时不同地的两事件 110．在一个惯性参照系中观测到两事件有因果关系，则在另一参照系中两事件（ ） ①因果关系不变 ②因果关系倒置 ③因 ④无因果关系 111．设一个粒子的静止寿命为810 -秒，当它以c 9.0的速度飞行时寿命约为 （ ） ① 81029.2-?秒②81044.0-?秒③81074.0-?秒④8 1035.1-?秒 112．运动时钟延缓和尺度收缩效应 （ ）
第3章 刚体力学基础 一、基本要求 1．理解质点及刚体转动惯量、角动量的概念，并会计算质点及刚体（规则形状刚体）的转动惯量、角动量； 2．理解刚体绕定轴转动的转动定律，并应用它来求解定轴转动刚体力矩和角加速度等问题； 3．会计算力矩的功、刚体的转动动能、刚体的重力势能，会应用机械能守恒定律解答刚体定轴转动问题； 4．掌握刚体的角动量定理和角动量守恒定律，并会分析解决含有定轴转动刚体系统的力学问题(质点与刚体碰撞类问题等)。 二、基本内容 （一）本章重点和难点： 重点：刚体绕定轴转动定律及角动量守恒定律。 难点：刚体绕定轴转动系统的角动量守恒定律及其应用。 (二) 知识网络结构图： ?????? ???????????????????角动量守恒定律定轴转动定律基本定律转动动能角动量冲量矩转动惯量力矩基本物理量 （三）容易混淆的概念： 1.转动惯量和质量 转动惯量反映刚体转动状态改变的难易程度，即刚体的转动惯性大小的量度；质量反映质点运动状态改变的难易程度，即质点的惯性大小的量度。
2.平动动能和转动动能 平动动能是与质量和平动速度的平方成正比；转动动能是与转动惯量和角速度的平方成正比。 （四）主要内容： 1．描述刚体定轴转动的角位置θ，角位移θ?、角速度ω和角加速度α（β）等物理量 t t d d ,d d ωαθω== 角量与线量的关系： 2n t ωαω θr a r a r v r s ==== 2．转动惯量--转动质点对转轴的转动惯量，等于转动质点的质量m 成以质点到转轴的距离r 的平方。2J m r =? （1）质量连续分布的刚体： ?=m r J d 2 线分布：dl dm ?=λ λ-质量线分布刚体，单位长度的质量。 面分布：dS dm ?=σ σ- 质量面分布刚体，单位面积的质量。 体分布：dV dm ?=ρ ρ 质量体分布刚体，单位体积的质量。 （2）质量离散分布刚体的转动惯量：2 i J m r =?∑ （3）平行轴定理 2 C J J md =+ 3．刚体绕定轴转动的转动定律—刚体的合外力矩等于转动惯量乘以角加速度。 t J J M d d ω α== i i i M M r F ==?∑∑ 力矩：F r M ?= 力对轴的力矩大小：θsin rF M =
第十三章 狭义相对论基础 §13－1伽利略变换与经典力学时空观 一． 伽利略变换 1． 时空坐标变换 0=t 时,'O ,O 重合, ut x 'x -=,t 't = 2． 速度变换 u v 'v x x -=,y y v 'v =,z z v 'v = 3.加速度对伽利略变换保持不变 a 'a = 二． 牛顿力学运动学的特点（绝对时空观） 1． 时间间隔的测量是绝对的，即两事件的时间间隔在不同的惯性系中是相同的； 2． 空间间隔的测量是绝对的，即：两点的空间间隔在一同的惯性系中是相同的。 三． 牛顿力学动力学的特点 1．m 与v 无关，'m m =； 2．'a a =; 3. )'a 'm 'F ,ma F ('F F === 4. 伽利略相对性原理：力学规律对一切惯性系都是等价的。（1632年，船舱内实验） §13－2 迈克尔逊－莫雷实验 一． 问题的提出 1． Maxwell eqs 对伽利略变换不协变 180 01099821 -??== s m .c εμ u c 'c ±= 2． 以太之迷 以太：传播电磁波的弹性媒质； 以太参照系：和宇宙框架连接的绝对静止参照系 01 εμ= c 是相对于以太的 u S 'S O ' O x z ' x ' z y 'y
二． 迈克尔逊－莫雷实验(1887) 1． 实验目的：寻找绝对参照系－以太参照系 2． 指导思想及实验方法： ① 承认以太参照系存在； ② 初步近似：太阳参照系－以太参照系； ③ 速度变换满足伽利略变换； 计算结果：40.N ≈? 3． 实验精度及结果 精度：0.01； 结果：0=N ?！ ＊ 推导: ＊ 迈克尔逊－莫雷实验的零结果，使同时代的科学家目瞪口呆，震惊不已。 ＊ 物理学晴朗的天空中漂来了一朵乌云！（1987年还有人做，精度提高了50倍） 三． 实验的意义： 1． 否定了以太参照系的存在，暗示－电磁学规律对不同参照系有相同形式； 2． 否定了经典速度变换法则，揭示－光速不变。 §13-3爱因斯坦假设 洛仑兹变换 一． 爱因斯坦假设 1． 相对性原理：物理学定律有所有惯性系中都是相同的； 2． 光速不变原理：在所有的惯性参照系中，真空中的光速具有相同的量值c 。 二． 洛仑兹变换 1． 结论： 正变换 ?→? 逆变换 2 2 2 21111ββββ-+= ==-+= ??????????→?--===--= ???????-→'x c u 't t 'z z 'y y ' ut 'x x x c u t 't z 'z y 'y ut x 'x " u "u 必须记牢、会用；式中：c u =β 2． 推证 要求：
第十三、十四章 相对论 班号 学号 姓名 日期__________________ ???????????????????????????????????????????????????????????? 一、选择题 1．（1）对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点、同一时刻的两个事件，对于相对该惯性系作匀速直线运动的其他惯性系中的观察者来说，它们是否同时发生？ （2）在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事件，它们在其他惯性系中是否同时发生？ 关于上述两个问题的正确答案是 （A ）（1）同时，（2）不同时； （B ）（1）不同时，（2）同时； （C ）（1）同时，（2）同时； （D ）（1）不同时，（2）不同时。 （ ） 2．火车以恒定速度通过隧道，火车与隧道的静长相等。从地面上观察，当火车的前端b 到达隧道的前端B 的同时，有一道闪电击中了隧道的后端A 。问：这闪电能否在火车的后端a 留下痕迹？ （A ）能够； （B ）不能； （C ）火车上观察者观察到能够，隧道上观察者观察到不能； （D ）隧道上观察者观察到能够，火车上观察者观察到不能。 （ ） 3．K 系与K '系是坐标轴相互平行的两个惯性系，K '系相对K 系沿Ox 轴正方向匀速运动。一根刚性尺静止在K '系中，与x O ''轴成?30角。今在K 系中观察得该尺与Ox 轴成?45角，则系K '相对K 系的速度是 （A ）c 32； （B ）c 3 1； （C ）c 32； （D ）c 31。 （ ） 4．一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行，如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度应是 （A ）c 21=v ； （B ）c 53=v ； （C ）c 54=v ； （D ）c 10 9=v 。 （ ） 5．在狭义相对论中，下列说法中那些是正确的？ （1）一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真空中的光速。 （2）质量、长度、时间的测量结果都是随物体与观察者的相对运动状态而改变的。 （3）在一惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事件在其他一切惯性系中也是同时发生的。 （4）惯性系中的观察者观察一个相对于他作匀速运动的时钟时，会看到这个时钟比相对于他静止的相同的时钟走得慢些。 （A ）（1）、（3）、（4）； （B ）（1）、（2）、（4）； （C ）（1）、（2）、（3）； （D ）（2）、（3）、（4）。 （ ） 选择题2图
衡水学院 理工科专业 《大学物理B 》 刚体力学基础 习题 命题教师:郑永春 试题审核人:张郡亮 一、填空题(每空1分) 1、三个质量均为m 的质点,位于边长为a 的等边三角形的三个顶点上。此系统对通过三角形中心并垂直于三角形平面的轴的转动惯量J 0＝__ ma 2 _,对通过三角形中心且平行于其一边的轴的转动惯量为J A ＝__ 12 ma 2 _,对通过三角形中心与一个顶点的轴的转动惯量为J B ＝__ 2 1ma 2 。 2、两个质量分布均匀的圆盘A 与B 的密度分别为ρA 与ρB (ρA >ρB ),且两圆盘的总质量与厚度均相同。设两圆盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为J A 与J B ,则有J A < J B 。 3、 一作定轴转动的物体,对转轴的转动惯量J ＝3、0 kg ·m 2,角速度ω0＝6、0 rad/s.现对物体加一恒定的制动力矩M ＝－12 N ·m,当物体的角速度减慢到ω＝2、0 rad/s 时,物体已转过了角度?θ＝__ 4、0rad 4、两个滑冰运动员的质量各为70 kg,均以6、5 m/s 的速率沿相反的方向滑行,滑行路线间的垂直距离为10 m,当彼此交错时,各抓住一10 m 长的绳索的一端,然后相对旋转,则抓住绳索之后各自对绳中心的角动量L ＝__2275 kg·m 2·s 1 _;它们各自收拢绳索,到绳长为5 m 时,各自的速率υ ＝__13 m·s 1_。 5、有一质量均匀的细棒,可绕垂直于棒的一端的水平轴转动。如将此棒放在水平位置,然后任其下落,则在下落过程中的角速度大小将 变大 ,角加速度大小将 变小 。 二、单项选择题(每小题2分) ( A )1、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上,下列说法正确的就是: A 、这两个力都平行于轴作用时,它们对轴的合力矩一定就是零; B 、这两个力都垂直于轴作用时,它们对轴的合力矩一定就是零; C 、当这两个力的合力为零时,它们对轴的合力矩也一定就是零; D 、当这两个力对轴的合力矩为零时,它们的合力也一定就是零。 ( C )2、一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上,滑轮的转动惯量为J ,绳下端挂一物体。物体所受重力为P ,滑轮的角加速度为α.若将物体去掉而以与P 相等的力直接向下拉绳子,滑轮的角加速度α将 A 、不变; B 、变小; C 、变大; D 、如何变化无法判断。 ( C )3、关于刚体的转动惯量,下列说法中正确的就是 A 、只取决于刚体的质量,与质量的空间分布与轴的位置无关; B 、取决于刚体的质量与质量的空间分布,与轴的位置无关; C 、取决于刚体的质量、质量的空间分布与轴的位置; D 、只取决于转轴的位置,与刚体的质量与质量的空间分布无关。 ( C )4、一人造地球卫星到地球中心O 的最大距离与最小距离分别就是R A 与R B .设卫星对应的角动量分别就是L A 、L B ,动能分别就是E KA 、E KB ,则应有 A 、L B > L A ,E KA = E KB ; B 、L B < L A ,E KA = E KB ; C 、L B = L A ,E KA < E KB ; D 、L B = L A , E KA > E KB . ( C )5、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动,如图1射来两个质量 相同,速度大小相同,方向相反并在一条直线上的子弹,子弹射入圆盘并且留在盘内, 则子弹射入后的瞬间,圆盘的角速度ω O M m m
习题5 5-1.如图，一轻绳跨过两个质量为 m 、半径为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端 分别挂着质量为2m 和m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定 滑轮的转动惯量均为 mr 2 / 2，将由两个定滑轮以及质量为 2m 和m 的重物组成 的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳的力。 解：受力分析如图，可建立方程： 广 2mg T 2 2ma ① T1 mg ma ② J (T 2 T)r J ③ (T T 1)r J ④ 虹 a r , J mr 2/2 ⑤ 联立，解得：a 1g, T 4 上，设开始时杆以角速度 °绕过中心O 且垂直与桌面的轴转动，试求： （1）作 用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 解：（1）设杆的线密度为: d f dmg gd x, 微元摩擦力矩：d M g xd x , （2）根据转动定律 M J J 马, t 有： 0 Mdt Jd dt 1 . -mglt 1 [2 —m l 0, . . t _oL 4 12 3 g 或利用： M t J J 0,考虑到 0, J 1 | 2 一 ml , 12 有：t ol 。 11 a mg 5-2.如图所示，一均匀细杆长为 l ,质量为m ,平放在摩擦系数为 的水平桌面 一小质元dm dx,有微元摩擦力: 考虑对称性, l_ M 2 2 有摩擦力 矩： gxdx 1
5-3.如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量 可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为 R，其转动惯量为MR2/2，试求该物体由静止开始下落的过程中， 下落速度与时间的关系。 解：受力分析如图，可建立方程： r mg T ma ① * TR J ② —, 1 ~2 — k a R , J — mR —-③ 2 2mg Mmg 联立，解得：a ------------ — , T ----------- —, 考虑到a四，.?. v dv 「旦—dt,有：v dt 0 0 M 2m M 2m 5-4.轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为M /4，均匀分布在其边缘上，绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为M /4的重物，如图。已知滑轮对O 轴的转动惯量J MR2 /4 ,设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？ 解一： 分别对人、滑轮与重物列出动力学方程 Mg T1Ma A人 T2M 4g M 心 a B物 4 T1R T2R J滑轮 由约束方程：a A a B R 和J MR2/4,解上述方程组 得到a —. 2 解二： 选人、滑轮与重物为系统，设 U为人相对绳的速度，V为重
一、简答题 ： 1. 给出相对论性动量表达式，是说明在什么情况下，牛顿定律仍然适用？ 答：2 0)(1c v v m v m p -= = ，在狭义相对论中，m 是与速度有关的，成为相对论性质量，而0m 是质点相对某惯性系静止时的质量，为静质量。从动量关系式可以看出，当质点的速率小于光速，c v <<，这样相对论性质量近似等于静质量，0m m =，这表明，在该种情况下，牛顿力学仍然使用。 2. 给出质能关系，爱因斯坦如何阐明该式的深刻意义的？ 答：质能关系：2 mc E =，表示的是质点运动时具有的总能量，包括两部分，质点的动能k E 及其静动能20c m 。 3. 给出相对论性动量和能量的关系，说明在什么条件下，cp E =才成立？ 答：相对论性动量和能量的关系为：222 02c p E E +=，如果质点的能量0E E >>,在这种情况下则有 cp E =。 4. 经典电磁理论中，电磁波的波长和频率满足c =λν，从狭义相对论来看，说明这个关系是否仍然成立？ 答：由狭义相对论动量和动能的关系：222 02c p E E +=，200c m E =，对于光子有00=m ，所以有 pc E =，而νh E =，所以有λ h c hv c E p === ，所以c =λν仍然成立。 二、填空题： 1.坐标轴相互平行的两惯性系 S 、S’，S 相对沿 ox 轴正方向以 v 匀速运动，在 S’ 中有一根静止的刚性尺，测得它与 ox’ 轴成 30° 角，与 ox 轴成 45 °角， 则v 应为 。 '0'00x 000'0x L =L sin 30,cos30223 y x L L L L L L L v == ====?= 解： 2. 质子在加速器中被加速，当其动能为静止能量的 4 倍时， 其质量为静止质量的 倍。 2220045k o E E E mc c m c m m =-=-=?=解：
一个质量为m 的质点沿着一条由cos sin r a ti b tj ωω=+定义的空间曲线运动，其中a ,b 及ω皆为常数，求此质点所受的对原点的力矩. 解：d d sin cos r t a ti b tj ωωωω==-+v 22d d (cos sin )a t a ti b tj r ωωωω==-+=-v 2F ma m r ω==-，通过原点0τ= 20M r F m r r ω=?=-?= 长0.40m l =、质量 1.00kg M =的匀质木棒，可绕水平轴O 在竖直平面内转动，开始时棒自然竖直悬垂，现有质量8g m =的子弹以200m/s =v 的速率从A 点射入棒中，A 点与O 点的距离为34l ，如图所示。求：⑴ 棒开始运动时的角速度；⑵ 棒的最大偏转角。 解：⑴ 由角动量守恒定律： 2 233434l Ml l m m ωω???=+ ??? v ，得： ()()38.9rad/s 39161627m m M m l M m l ω===++v 4v ⑵ 由机械能守恒定律： 222133[()](1cos )(1cos )23424 Ml l l l m Mg mg ωθθ+=-+-得： 222 239854cos 110.07923(23)(1627)M m l m M m g M m M m gl ωθ+=-=-=-+++v ， 94.5θ=? 0241 一轴承光滑的定滑轮，质量为M ＝2.00 kg ，半径为R ＝0.100 m ，一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m ＝5.00 kg 的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为2 2J MR =，其初角速度ω0＝10.0 rad/s ，方向垂直纸面向里．求：(1) 定滑轮的角加速度的大小和方向；(2) 定滑轮的角速度变化到ω＝0时，物体上升的高度；(3) 当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向． 0562 质量m ＝1.1 kg 的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对轴的转动惯量J ＝ 22mr (r 为盘的半径)．圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质 量m 1＝1.0 kg 的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v 0＝0.6 m/s 匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动． 0155 如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假 设定滑轮质量为M 、半径为R ，其转动惯量为22MR ，滑轮轴光滑．试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系． 0157 一质量为m 的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示．轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r ，整个装置架在光滑的固定轴承之上．当物体从静止释放后，在时间t 内下降了一段距离S ．试求整个轮轴的转动惯量(用m 、r 、t 和S 表示)． A B T 'm a T F m g 0
第13章狭义相对论题目无答案 一、选择题 1. 狭义相对论的相对性原理告诉我们 [ ] (A) 描述一切力学规律, 所有惯性系等价 (B) 描述一切物理规律, 所有惯性系等价 (C) 描述一切物理规律, 所有非惯性系等价 (D) 描述一切物理规律, 所有参考系等价 2. 在伽利略变换下, 经典力学的不变量为 [ ] (A) 速度(B) 加速度(C) 动量(D) 位置坐标 3. 在洛仑兹变换下, 相对论力学的不变量为 [ ] (A) 加速度(B) 空间长度 (C) 质点的静止质量(D) 时间间隔 4. 相对论力学在洛仑兹变换下 [ ] (A) 质点动力学方程不变(B) 各守恒定律形式不变 (C) 质能关系式将发生变化(D) 作用力的大小和方向不变 5. 光速不变原理指的是 [ ] (A) 在任何媒质中光速都相同 (B) 任何物体的速度不能超过光速 (C) 任何参考系中光速不变 (D) 一切惯性系中, 真空中光速为一相同值 6. 著名的迈克尔逊──莫雷实验结果表明 [ ] (A) 地球相对于以太的速度太小, 难以观测 (B) 观测不到地球相对于以太的运动 (C) 观察到了以太的存在 (D) 狭义相对论是正确的 7. 在惯性系S中同时又同地发生的事件A、B，在任何相对于S系运动着的惯性系中测量: [ ] (A) A、B可能既不同时又不同地发生 (B) A、B可能同时而不同地发生 (C) A、B可能不同时但同地发生 (D) A、B仍同时又同地发生 8. 在地面上测量，以子弹飞出枪口为事件A, 子弹打在靶 上为事件B, 则在任何相对于地面运动着的惯性系中测量 [ ] (A) 子弹飞行的距离总是小于地面观察者测出的距离 (B) 子弹飞行的距离可能大于地面观察者测出的距离 T13-1-8图
第二章 刚体力学基础 自学练习题 一、选择题 4-1．有两个力作用在有固定转轴的刚体上： （1）这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； （2）这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零； （3）当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零； （4）当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零； 对上述说法，下述判断正确的是：（ ） （A ）只有（1）是正确的； （B ）（1）、（2）正确，（3）、（4）错误； （C ）（1）、（2）、（3）都正确，（4）错误； （D ）（1）、（2）、（3）、（4）都正确。 【提示：（1）如门的重力不能使门转动，平行于轴的力不能提供力矩；（2）垂直于轴的力提供力矩，当两个力提供的力矩大小相等，方向相反时，合力矩就为零】 4-2．关于力矩有以下几种说法： （1）对某个定轴转动刚体而言，内力矩不会改变刚体的角加速度； （2）一对作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零； （3）质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩的作用下，它们的运动状态一定相同。 对上述说法，下述判断正确的是：（ ） （A ）只有（2）是正确的； （B ）（1）、（2）是正确的； （C ）（2）、（3）是正确的； （D ）（1）、（2）、（3）都是正确的。 【提示：（1）刚体中相邻质元间的一对内力属于作用力和反作用力，作用点相同，则对同一轴的力矩和为零，因而不影响刚体的角加速度和角动量；（2）见上提示；（3）刚体的转动惯量与刚体的质量和大小形状有关，因而在相同力矩的作用下，它们的运动状态可能不同】 3．一个力(35)F i j N =+v v v 作用于某点上，其作用点的矢径为m j i r )34(??? -=，则该力对 坐标原点的力矩为 （ ） （A ）3kN m -?v ； （B ）29kN m ?v ； （C ）29kN m -?v ； （D ）3kN m ?v 。 【提示：(43)(35)430209293 5 i j k M r F i j i j k k k =?=-?+=-=+=v v v v v v v v v v v v v 】 4-3．均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴 转动，如图所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆 到竖直位置的过程中，下述说法正确的是：（ ） （A ）角速度从小到大，角加速度不变； （B ）角速度从小到大，角加速度从小到大；
图3-1 大 学 物 理 习 题 3．刚体力学基础 一、选择题 1．有些矢量是相对于一定点（或轴）而确定的，有些矢量是与定点（或轴）的选择无关的。下列给出的各量中，相对于定点（或轴）而确定的物理量是： A ．矢径 B ．位移 C ．速度 D ．动量 E ．角动量 F ．力 G ．力矩 （ ） 2．在下列关于转动定律的表述中，正确的是： A ．对作定轴转动的刚体而言，内力矩不会改变刚体的角加速度； B ．两个质量相等的刚体，在相同力矩的作用下，运动状态的变化情况一定相同； C ．同一刚体在不同力矩作用下，必然得到不同的角加速度； D ．作用在定轴转动刚体上的力越大，刚体转动的角加速度越大； E ． 刚体定轴转动的转动定律为βJ M =，式中β,,J M 均对同一条固定轴而言的， 否则该式不成立。。 （ ） 3．工程技术上的摩擦离合器是通过摩擦实现传动的装置，其结构如图3-1所示。轴向作用力可以使A 、B 两个飞轮实现离合。当A 轮与B 轮接合通过摩擦力矩带动B 轮转动时，则此刚体系统在两轮接合前后 A ．角动量改变，动能也改变； B ．角动量改变，动能不变； C ．角动量不变，动能改变； D ．角动量不变，动能也不改变。 （ ） 4．一人张开双臂手握哑铃坐在转椅上，让转椅转动起来，若此后无外力矩作用，则当此人收回双臂时，人和转椅这一系统的
A ．转速加大，转动动能不变； B ．角动量加大； C ．转速和转动动能都加大； D ．角动量保持不变。 （ ） 5．有a 、b 两个半径相同，质量相同的细圆环，其中a 环的质量均匀分布，而b 环的质量分布不均匀，若两环对过环心且与环面垂直轴的转动惯量分别为a J 和b J ，则 A ．b a J J >； B ．b a J J <； C ．b a J J =； D ．无法确定a J 与b J 的相对大小。 （ ） 6．在下列关于守恒的表述中，正确的是 A ．系统的动量守恒，它的角动量也一定守恒； B ．系统的角动量守恒，它的动量也必定守恒； C ．系统的角动量守恒，它的机械能也一定守恒； D ．系统的机械能守恒，它的角动量也一定守恒； E ．以上表述均不正确。 （ ） 7．如图3-2所示，一悬线长为l ，质量为m 的单摆和一长度为 l 、质量为m 能绕水平轴自由转动的匀质细棒，现将摆球和细棒 同时从与竖直方向成θ角的位置由静止释放，当它们运动到竖直 位置时，摆球和细棒的角速度之间的关系为 A ．ω1>ω2 ； B ．ω1=ω2； C ．ω1<ω2 。 ( ) 8．如图3-3所示，圆盘绕光滑轴O 转动，若同时对称地射来两颗质量相同，速度大小相同，方向相反且沿同一直线运动的子弹。射入后两颗子弹均留在盘内， 则子弹射 图 3-2
第十五章 狭义相对论 15－1 有下列几种说法： (1) 两个相互作用的粒子系统对某一惯性系满足动量守恒，对另一个惯性系来说，其动量不一定守恒； (2) 在真空中，光的速度与光的频率、光源的运动状态无关； (3) 在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速率都相同. 其中哪些说法是正确的？ ( ) (A) 只有(1)、(2)是正确的 (B) 只有(1)、(3)是正确的 (C) 只有(2)、(3)是正确的 (D) 三种说法都是正确的 分析与解 物理相对性原理和光速不变原理是相对论的基础.前者是理论基础，后者是实验基础.按照这两个原理，任何物理规律(含题述动量守恒定律)对某一惯性系成立，对另一惯性系也同样成立.而光在真空中的速度与光源频率和运动状态无关，从任何惯性系(相对光源静止还是运动)测得光速均为3×108 m·s -1 .迄今为止，还没有实验能推翻这一事实.由此可见， (2)(3)说法是正确的，故选(C). 15－2 按照相对论的时空观，判断下列叙述中正确的是( ) (A) 在一个惯性系中两个同时的事件，在另一惯性系中一定是同时事件 (B) 在一个惯性系中两个同时的事件，在另一惯性系中一定是不同时事件 (C) 在一个惯性系中两个同时又同地的事件，在另一惯性系中一定是同时同地事件 (D) 在一个惯性系中两个同时不同地的事件，在另一惯性系中只可能同时不同地 (Ｅ) 在一个惯性系中两个同时不同地事件，在另一惯性系中只可能同地不同时 分析与解 设在惯性系Ｓ中发生两个事件，其时间和空间间隔分别为Δt 和Δx ，按照洛伦兹坐标变换，在Ｓ′系中测得两事件时间和空间间隔分别为 221ΔΔΔβx c t t -- ='v 和 21ΔΔΔβ t x x --='v 讨论上述两式，可对题述几种说法的正确性予以判断：说法(A)(B)是不正确的，这是因为在一个惯性系(如Ｓ系)发生的同时(Δt ＝0)事件，在另一个惯性系(如Ｓ′系)中是否同时有两种可能，这取决于那两个事件在Ｓ 系中发生的地点是同地(Δx ＝0)还是不同地(Δx≠0).说法 (D)(Ｅ)也是不正确的，由上述两式可知：在Ｓ系发生两个同时(Δt ＝0)不同地(Δx ≠0)事件，在Ｓ′系中一定是既不同时(Δt ′≠0)也不同地(Δx ′≠0)，但是在Ｓ 系中的两个同时同地事件，在
第14章 相对论基础习题 14.1一观察者测得运动着的米尺长为0.5m ，问此米尺以多大的速度接近观察者？ 解：米尺的长度在相对静止的坐标系中测量为1m ，当米尺沿长度方向相对观察者运动时，由于“长度收缩”效应，观察者测得尺的长度与相对运动的速度有关。 设尺的固有长度为L ，由长度收缩效应2 2' 1c L L υ - =，得 1 8 2 2's m 10 6.21-??=- =L L c υ 14.2一张正方形的宣传画边长为5m ，平行地贴在铁路旁边的墙上，一高速列车以18s m 102-??的速度接近此宣传画，问若是高速列车上的乘客测量该画的边长为多少？ 解：由题意得，在垂直于相对运动的方向上，画的高度不变，在平行于相对运动的方向上，长度变短。由长度收缩效应公式 m 7.312 2' =- =c L L υ 乘客测量的尺寸为2m 7.35?。 14.3 从地球上测得，地球到最近的恒星半人马座'S 星的距离为m 103416?.。某宇宙飞船以速率υ=0.99c 从地球向该星飞行，问飞船上的观察者将测得地球与该星间的距离为多大？ 解：飞船上的观察者认为地球与'S 星的距离是运动的，故长度收缩。 即
m 10 1.6115 2 2 0?=-=c l l υ 14.4如果地面上的观察者测得彗星的长度等于随彗星运动的观察者所测得的一半，求彗星相对于地面的速率是多少？ 解：根据长度缩短公式，有2 2 01c v l l -=，又已知 2 10 = l l 所以 18s m 106.22/3-??==c υ 14.5 一根米尺静止在'S 系中，与o ’x ’轴成 30角，如果在S 系中测得米尺与 ox 轴成 45角，S ‘相对于S 的速率（沿ox 轴正向运动）必须是多少？S 系测得的米尺的长度是多少？ 解：设米尺在'S 系中的长度为0l ，坐标为()00,y x ，在S 系中长度为l ，坐标为()y x ,。在S 系中看来，米尺仅在x 方向缩短21β-倍，y 方向上长度不变。故有 m 5.030sin 00＝ l y y == m 5.045 0＝y yctg x == 所以 m 707.02 2 =+=y x l 由 2 2 1c x x υ -=，并将0y x =，003y x =代入上式，得 c 32= υ 14.6 一个在实验室中以0.8c 的速率运动的粒子，飞行3m 后衰变，实验室中的观察者测量，该粒子存在了多长时间？由一个与该粒子一起运动的观察者来测量，这粒子衰变前存在多长时间？ 解：在实验室（S 系）测量，该粒子存在的时间为 s 10 25.110 38.038 8 -?=??= = ?υ s t
刚体力学基础 大家好，这周三就要进行大物期中考试了。 不知道大家准备得怎么样。俗话说，春困、夏乏，恐怕大家平时上大物也没少打过盹，作物理怕是牵着梦的手，跟着感觉走。今天我们 一、刚体概念 前一节课，于卓群同学已经带大家复习了这本书的一二章，也就是质点力学部分，相信这一部分大家还是相当熟悉的，毕竟高中三年都谁没被该死的小滑块折磨得不要不要的。 质点力学的研究是建立在质点这个经典的理想模型之上的，对质点的研究大概可以追溯到伽利略，质点的定义大家都知道吧（质点是有质量但不存在体积的理想化模型，在物体大小形状不起作用的时候，我们就可以将物体看成质点）。但是我们但是我们都清楚，很多情况下物体本身在运动中并不能忽略。 所以今天，我们引入一个新的模型——刚体。 刚体模型的引入要比质点晚得多，要到17世纪。（有欧拉、拉格朗日、科瓦列夫斯卡娅。科瓦列夫斯卡娅：历史上第一位女数学博士）这几个人都是数学家，所以刚体力学不难才怪。 刚体的定义：是指在运动中和受力后不发生形变的物体。 大家知道，有没有不发生形变的物体呀所以刚体是一个不存在的理想化模型。
这里提醒大家一句，学习这部分的时候大家一定要认真。大家知道下学期要学《理论力学》。这门课的挂科率大家都懂的。里面会少不了涉及刚体动力学的知识。所以，大家这节课要认真听。争取把平时上课睡觉落下的东西补回来。二、刚体动力学的研究 在动力学的框架下只有两种理想模型那就是——质点和质点系，质点大家都熟悉，其他而不能看作质点的物体，我们可以将其看成质点系，包括弹性体呀、流体、还有这节课要讲的刚体。 质点系有三大性质 (1)质点系的总动量的改变与内力无关； (2)质点系的角动量的改变与内力无关； (3)质点系的机械能的改变与保守力无关。 由于刚体的特点是不能发生形变，所以刚体还可以定义作一个质量连续分布、质点间距离保持不变的特殊质点系。 在后面的推导中这是一个最基本思路。 三、刚体运动学 说实话，刚体的运动其实是一个很复杂的问题，一方面是因为他的运动形式多：平动、定点转动、定轴转动等等。还有各种运动形式的叠加，就算是最简单
第13章狭义相对论 一、选择题 1. 狭义相对论的相对性原理告诉我们 [ ] (A) 描述一切力学规律, 所有惯性系等价 (B) 描述一切物理规律, 所有惯性系等价 (C) 描述一切物理规律, 所有非惯性系等价 (D) 描述一切物理规律, 所有参考系等价 2. 在伽利略变换下, 经典力学的不变量为 [ ] (A) 速度(B) 加速度(C) 动量(D) 位置坐标 3. 在洛仑兹变换下, 相对论力学的不变量为 [ ] (A) 加速度(B) 空间长度 (C) 质点的静止质量(D) 时间间隔 4. 相对论力学在洛仑兹变换下 [ ] (A) 质点动力学方程不变(B) 各守恒定律形式不变 (C) 质能关系式将发生变化(D) 作用力的大小和方向不变 5. 光速不变原理指的是 [ ] (A) 在任何媒质中光速都相同 (B) 任何物体的速度不能超过光速 (C) 任何参考系中光速不变 (D) 一切惯性系中, 真空中光速为一相同值 6. 著名的迈克尔逊──莫雷实验结果表明 [ ] (A) 地球相对于以太的速度太小, 难以观测 (B) 观测不到地球相对于以太的运动 (C) 观察到了以太的存在 (D) 狭义相对论是正确的 7. 在惯性系S中同时又同地发生的事件A、B，在任何相对于S系运动着的惯性系中测量: [ ] (A) A、B可能既不同时又不同地发生 (B) A、B可能同时而不同地发生 (C) A、B可能不同时但同地发生 (D) A、B仍同时又同地发生 8. 在地面上测量，以子弹飞出枪口为事件A, 子弹打在靶 上为事件B, 则在任何相对于地面运动着的惯性系中测量 [ ] (A) 子弹飞行的距离总是小于地面观察者测出的距离 (B) 子弹飞行的距离可能大于地面观察者测出的距离
第二章 质点运动学 基础知识总结 ⒈基本概念 2 2)(dt r d dt v d a dt r d v t r r )()()(t a t v t r （向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件： 000,,v v r r t t ） ⒉直角坐标系 ,,???222z y x r k z j y i x r r 与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 r z r y r x /,/, /. v v v v v k v j v i v v z y x z y x ,,???222 与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 v v v v v v z y x /,/,/. a a a a a k a j a i a a z y x z y x ,,???222 与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 ./,/,/a a a a a a z y x 2 22222,,,,dt z d dt dv a dt y d dt dv a dt x d dt dv a dt dz v dt dy v dt dx v z z y y x x z y x ),,(),,(),,(z y x z y x a a a v v v z y x ⒊自然坐标系 ||,,?);( v v dt ds v v v s r r 2222 2,,,??v a dt s d dt dv a a a a n a a a n n n )()()(t a t v t s ⒋极坐标系 22,??,? v v v v r v v r r r r r dt d r v dt dr v r , ⒌相对运动 对于两个相对平动的参考系 ',0't t r r r （时空变换） 0'v v v （速度变换）