第8章 狭义相对论力学基础
思考题
8-1伽利略相对性原理与狭义相对论的相对性原理有何相同之处？又有何不同之处？ 答：二者相同之处在于都认为，对于力学规律一切惯性系都是等价的．即无法用力学实验证明一个惯性系是静止的还是做匀速直线运动．所不同之处在于伽利略相对性原理仅限于力学规律，而狭义相对论的相对性原理则指出，对于所有的物理规律（不仅仅力学），一切惯性系都是等价的．
8-2假设光子在某个惯性系中的速率为c ，那么，是否存在这样一个惯性系，光子在这个惯性系中的速率不等于c ？
答：由洛伦兹速度变换公式可知，如果光子在一个惯性系中的速率为c ，那么，对于任一个惯性系，光子在这个惯性系中的速率c c
c
1c 2
=-
-=
'u u υ，
因此不存在使光子在其中速率不等于c 的惯性系．
8-3物体速度可以达到光速吗？有这样的观点说光速是运动物体的极限速度，该观点正确吗？
答：从＂相对论的速度相加定律＂可以得出结论：一切物体的运动速度都不能超过光速，光速是物质运动（信号或能量传播）速度的极限．
8-4根据相对论的理论，实物粒子在介质中的运动速度是否有可能大于光在该介质中的传播速度？
答：相对论只给出真空中的光速是一切物质运动的极限速度．由于光在任何介质中的传播速度都小于c ，所以实物粒子在介质中的运动速度有可能大于光在介质中的传播速度．
8-5在同一惯性系中，两个不同时发生的事件满足什么条件才可以找到另一惯性系使它们成为同时的事件？在一个惯性系中两个不同地点发生的事件又要满足什么条件才可以找到另一惯性系使它们成为同一地点发生的事件？
答：在同一惯性系中，两个不同时发生（21t t ≠）的事件若找到另一惯性系使它们成为
同时的2
1t t '='事件，那么应有2
22
2
22
21
2
1c
1c
c
1c
u x u t u x u t -
-=
-
-
，即满足)(c
122
12x x u t t -=
-
在一个惯性系中两个不同地点（21x x ≠）发生的事件若可以找到另一惯性系使它们成为
同一地点（2
1x x '='）发生的事件，应满足2
2222
211c
1c
1u ut x u ut x -
-=
-
-，即)(1212t t u x x -=-．
8-6同时性的相对性是什么意思？为什么会有这种相对性？如果光速是无限大，是否还会有同时性的相对性？
答：同时性的相对性是指同时性与参考系的选择有关．在一参考系中同时发生的两事件，在另一相对运动的参考系上看却不一定同时发生．同时性具有相对性的根本原因是光速不变原理．(举例说明：在S '系的M '发出一光信号，传到距离相等的A '、B '两点．S '系中观测信号经时间c
M B c
M A t ''=''=
'?同时到达A '、B '点．在S 系看，光从M '点发出以速率c 传
向A '、B '的这段时间内，A '应者着光线走了一段距离，B '却背着光线走了一段距离，因此，
S 系中的人看到光信号先到达A '，后到达B '点，不再同时到达．如果光速无限大，则点发
出的光信号传到A '、B '点不需要时间，在S 系看，S '系还没有移动，光就到达了A '、B '点，同时性达到了统一．)即如果光速无限大，同时性的相对性遭到了破坏．
8-7 如果光速较小或无限大，“同时”的相对效应会怎样？ 答：狭义相对论是用光速不变原理作为比较时间先后的客观依据．
8-8狭义相对论时钟延缓效应是相对效应。惯性系∑上看到固定于∑'上的时钟变慢；反过来，惯性系∑'上看到固定于∑上的时钟变快。这种说法正确吗？
答：狭义相对论时钟延缓效应是指在运动参考系（运动时钟）测得的两事件经历的时间间隔t ?比在静止参考系（静止时钟）中测得的时间间隔0t ?大
2
2c
11u -
倍．因此如果惯性系
∑上看到固定于∑'上的时钟变慢，那么惯性系∑'上看到固定于∑上的时钟同样也要变慢．
8-9在S '惯性系中，在0='t 的时刻，一细棒两端的坐标分别为2
1x x ''和，则棒长为
12
x x '-'，求此棒在实验室坐标系S
中的长度．如果利用洛伦兹变换式x u t x ''+=
，则
21x x ''-=
问，问题出现在哪里，并解释之．
答：由于S 系相对于细棒是运动的，在S 系中测量细棒的长度时，必须同时测量棒两端
的坐标12x x 和，即12t t =，而在S '系中测量棒两端的坐标12x x ''和并不要求同时，即12t t '≠'，而题中使用了012
='='t t 的假定，这样12x x ''和在S '系中同时不同地，在S 系中一定不同时，所以导出错误的结果．
8-10在宇宙飞船上，有人拿着一个立方形物体．若飞船以接近光速的速度背离地球飞行，分别从地球上和飞船上观察此物体，他们观察到物体的形状是一样吗？
答：他们观察到的形状不一样，飞船上的观察者由于相对于物体静止，物体的形状仍然是正方形．而地球上的观察者要受到长度收缩的测量结果和＂实际看＂两方面因素的影响，当物体在运动时，视觉形象为＂旋转了一个角度＂，而非单纯由长度收缩效应造成的相对论测量图像．
8-11一个粒子的动能等于它的静止能量时，它的速率是多少？
答：由相对论动能公式2
02k c c m m E -=和质量公式2
20c
1υ
-
=
m m 及题意
2
0c m E k =联立解得c 2
3=
υ
8-12经典力学的动能定理和相对论力学的动能定理有什么相同和不同之处？
答：相同出处在于都认为动能是物体因运动而具有的能量，而且都以12k k E E A -=的形式表明物体动能的增量与外力对其所做功等值．不同之处在于经典力学中2
2
1υm E k =，其
中质量m 是常量；相对论力学中2
02
c m mc
E k -=，其中0m 是物体静止时的质量，运动质
量m 是随其运动速度变化的量，02
0E c m =称静止能量，E mc
=2
称为相对论总能量，由此
可见，相对论认为物体的动能是其总能量与静止能量之差．
8-13在什么条件下，Pc E =的关系才成立？
答：由能量和动量关系式2
220224202c c c P E P m E +=+=可知，只有当静止质量0
0=E 时，Pc E =的关系才成立．
8-14讨论下列物理量在经典力学和相对论力学中有何区别：长度、时间、质量、速度、动量、动能．
答：经典力学中长度、时间、质量都不随物体的运动状态或惯性系的改变而改变．但相对论中，上述三个量随运动状态或惯性系的改变而改变．经典力学中速度遵从伽利略变换，相对论中速度遵从洛伦兹变换；经典力学中动量仅与物体速度成正比，而相对论论中动量表达式为2
20c
1υ
υ-
=
m P ，可见不再与速度成简单的正比关系了．经典力学中动能与速率的平方
成正比，而相对论中动能等于物体总能量和静能量之差．
8-15作用于物体上的外力，是否会因为惯性系的不同而不同？分别从经典力学与相对论力学的角度讨论．
答：在惯性系中，力的定义是被作用物体的动量随时间的变化率，即
t
P F d d =
在经典力学中，动量υm P =，其中质量m 是常量．故
ma t
m
t
P F ===
d d d d υ
因为加速度a 在所有惯性系中相等，所以力ma F =是个不变量，即与惯性系的选择无关．
在相对论力学中，m 是个随惯性系的不同而变化的量．故
t
m t
m
t
P F d d d d d d υ
υ+==
式中，m ，υ都是与惯性系选择有关的量，故力也因惯性系的不同而不同．
习题
8-1一根直棒在S 系中观察，其静止长度为l ，与x 轴的夹角为θ，试求它在S '系中的长
度和与x '轴的夹角．
解： 2
22
21cos 1c
u l c
u x x -
=-?='?θ
在S '系中棒的长度为
)cos 1()()(2
22
2
2
c
u l y x l θ
-='?+'?='
l '与x '轴的夹角为
])
cos 1(tan arctan[
]1cos sin arctan[
2
22
2
2c
u c
u l l θ
θθ
θθ-=-
=' 8-2静止时边长为a 的正立方体，当它以速率u 沿与它的一个边平行的方向相对于S '系运动时，在S '系中测得它的体积将是多大？
解：沿运动方向长度收缩，在S '系中测得与运动方向平行的边长为
2
21c
u a a -='
另两条边长与运动方向垂直，其长不变，在S '系中测得的体积为
2
2
3
2
1c
u a a a V -
='='
8-3在地面上运动员用10 s 跑完了100 m 的路程，问：在以0.8 c 的飞船上观察，运动员跑的时间和长度各是多少？
解：地球S 系：
m 100=?x ，s 10=?t
S '系中：
m 100.4c
c 8.0110
c 8.0100c
19
22
2
2?≈-
?-=
-
?-?=
'?u t u x x
s 6.16c
)c 8.0(1100
c
c 8.010c
1c
2
2
2
2
22
≈-
?-=
-
?-
?=
'?u x
u t t
8-4一个粒子在参考系S '中的运动速度为x υ'，参考系S '相对于参考系S 的运动速度
u c
=，求粒子在参考系S 中的运动速度．
解：根据题意，c =u ，代入洛伦兹速度变换公式中，有
c c
c 1c 2
='+
+'=
x x
x υυυ
可见，通过爱因斯坦速度变换公式，不可能使一个物体的运动速度超过光速，因此光速c 是一切物体运动的极限速度．
8-5求匀速运动介质中的光速．
解： 光速不变原理是指真空中光速对所有惯性系相同，现在讨论介质中的光速．设S '系内充满折射率为n 的均匀介质，则光在S '系内相对于介质的速率为c/n ．如果S '系以速率u 相对于S 系沿x 方向匀速运动，光相对于S 系的速率是多大呢？由式洛伦兹速度逆变换
x
x
x u u υυυ'+
+'=
2
c
1得
])c
)(11(c )1(1[c ]
)c (
c 1)[c (
c 1c c
12
22
2
???+-+-
+=???-+-
+=+
+='+
+'=
u n u n n n
n
u n
u u n
n
u u n u u x
x
x υυυ
略去括号内2
)c
(u
项及更高次项，有
u n
n
x )11(c 2
-
+=
υ
若S '系相对于S 系的运动方向与上述情形相反，则有
u n
n x )11(c 2
-
-=
υ
8-6处于恒星际站上的观察者测得两个宇宙火箭各以0.99 c 的速率沿相反方向离去，问自一火箭测得另一火箭的速率．
解：以恒星际站为参考系S ，以沿x 轴正方向运动火箭A 为参考系S '．相对于S 系，则有c 99.0==A u υ，另一沿x 轴负方向运动火箭B 的运动速度c 99.0-=B υ．以A 为参考系S '中测得B 的速度为
c 95 -0.999c)]
99.0(c
c 99.0[
1c 99.00.99c -c
12
2
≈-?--=
-
-='x
x x
u u
υυυ
这就是在火箭A 上测得的B 的速度．同样也可得在火箭B 上测得的A 的速度为
c 95 0.999='x
υ 8-7证明：在某个惯性系中是同时同地发生的两事件，在所有其它惯性系中也一定是同时同地发生的两事件．
解：设在惯性系S 观察到A 、B 两事件，分别在a 、b 处同时发生，a 、b 两点相距
a b x x x -=?
两事件发生的时间间隔 A B t t t -=?
在K '系（相对于S 系沿x 轴以速度u 运动的坐标系），测量这两个事件的时间间隔为
A
B t t t '-'='? 测量这两地的距离为 a b
x x x '-'='? 根据洛伦兹变换可得
2
22
2
22
22
2
22
1111c
u x x c
u c
u t t c
u x c
u t c
u x c
u t t t t a b A B a
A b
B A
B -
-?
-
-
-=
-
--
-
-
='-'='?
2
22
22
22
21)(111c
u t t u c
u x x c
u ut x c
u ut x x x x A B a b A a B b a b
-
--
-
-=
-
--
-
-='-'='?
题设：A B t t =且a b x x =,故必有：A
B t t '='，且a b
x x '='． 8-8在地面上A 处发射一炮弹后，经s 1046
-?在B 处又发射一炮弹，A 、B 相距800 m ，
问：
(1) 在什么样的参考系中将测得上述两个事件发生在同一地点？ (2) 试找出一个参考系，在其中测得上述两个事件同时发生．
解：(1) 设在地面参考系S 中， A 、B 两事件发生的地点与时间分别为2121,,,t t x x ，在另
一S '系（S '相对于S 系以u 沿x 轴正向运动）中分别为212
1,,,t t x x ''''．由洛伦兹变换可知： 2
2111
c
1u ut x x -
-='，2
2222
c
1u ut x x -
-='
根据题意有2
1x x '='，则 m/s 1000.28
1
212?=--=
t t x x u
(2) 由洛伦兹变换可知
2
21
2
11c
1c
u x u t t -
-=
'，2
22
2
12
c
1c
u x u t t -
-
='
根据题意有2
1t t '='，则 m/s 1050.4)(8
1
2122
?=--=
x x t t c u
因c u >，所以找不到这样的参考系．
8-9测得高能宇宙射线中μ子的平均寿命s 1067.25
1-?≈τ，实验室中产生的μ子的平
均寿命s 1020.26
2-?≈τ．已知实验室中产生的μ子的运动速率远小于c ，计算宇宙射线中
μ子的运动速率．
解：由于实验室中产生的μ子的运动速率远小于光速，因此实验室参考系可视为相对于μ子为静止的参考系，2τ是μ子衰变寿命的静止时间0t ?．对于高速运动的宇宙射线中的μ子而言，实验室参考系是运动的参考系，因此1τ是μ子的衰变寿命的运动时间．由时间延缓公式可得
2
20c
1u t
t -
=??
式中u 是宇宙射线中μ子的运动速率．由此得
c 997.0)
10
67.21020.2(
1c )(1c 2
5
62
0≈??-=??-=--t
t u
8-10在S 系中观察到两个事件同时发生在x 轴上，它们之间距离为1 m ．在S '系中观察这两个事件之间的距离是2 m ．求在S '系中这两个事件的时间间隔．
解：由于在S 系中0=?t ，m 1=?x ，运用洛伦兹坐标变换有
m 1c
12
2=-
?=
'?u x x
从而得
2
)(
1c x x u '
??-=
再利用洛伦兹变换可得在S '系中这两个事件的时间间隔为
s
10
77.5)
2
1(
110
32 )
(
1c
c
c
1c
9
2
8
2
2
2
2
2
-?=-?='
??-'?=
'?=
-?-
?=
'?x x x x u u x
u t t
8-11在用乳胶片研究宇宙射线时，发现了一种被称为±
π介子的不稳定粒子，质量约为电子质量的273.27倍，固有寿命为s 10
603.28
-?．如果±
π介子产生后立即以0.920 0 c 的速
度做匀速直线运动，问它能否在衰变前通过17 m 的路程？
解：设实验室参考系为S 系，，随同±
π介子一起运动的惯性系为S '系，根据题意，S '系相对于S 系的运动速度为0.920 0c ，即0c 0.920=u ．±
π介子S '系的固有寿命为
s 10
603.28
-?，而从实验室参考系（即S 系）观测±
π介子的寿命为
s 10
642.6)
0 920.0(1s
10
603.218
2
8
2
20
--?≈-?=
-
=
c
u ττ
在衰变前可以通过的路程为
m 17m 32.18m 10
642.6c 0 920.08
>=??==-τu s
因此±
π介子在衰变前可以通过17 m 路程．
也可以通过长度收缩效应来讨论这个问题．在±
π介子参考系（S '系）中观测，粒子不动，而实验室相对于它以0.920 0c 的速度运动，在±π介子的固有寿命期间实验室运动的距离为
m 17m 32.18m 10
642.6c 0 920.08>=??==-τu s
但从±
π介子观测，实验室空间的路程是要收缩的，也就是从±
π介子参考系（S '系）观测，空间路程)m 17(0=l 要收缩为
m 6.663m 9 391.000.17c
12
20≈?≈-
=u l l
实验室运动的距离m) 179.7(='l 大于m 6.663，所以±
π介子在衰变前可以通过17 m 路程，与上面讨论的结论一致．
8-12飞船经过地球时，相对地球的速率0.99u c =，飞船飞行了5a (年)后停靠到空间站，随即掉头，以相同的相对速率返回，再次经过地球时又经历了5a ．若以地球上的观察者来看，飞船来回经历的时间是多少？停靠及掉头过程中的加速度不计．
解：在飞往空间站过程中，计时始终在飞船中同一地点，因此所测时间a 50=τ是固有时间，按时间延缓式，地面上测得的相应时间τ为
a 4.35a )
99.0(1512
2
20
≈-=
-
=
c
u ττ
同理，从空间站返回，从地面上测得的时间也是τ．因此飞船往返，在飞船上经历的时
间为a 10，在地面上看来经历的时间是a 8.70．
8-13把电子从速率10.90c υ=增加到20.99c υ=时，电子的质量增加了多少？能量增加了多少？
解：由质量与速度关系
2
20c
1υ
-
=
m m
得电子质量的增加为
2
2
1
022
2
0c
1c
1υυ-
-
-
=
?m m m
把已知数据kg 10
11.931
0-?=m ，c 90.01=υ，c 99.02=υ代入上式得
kg 10
4.37kg )9
.01199
.011(
10
11.930
2
2
31
--?≈--
-??=?m
由质能关系知，电子能量的增量为
J
1093.3 J
)103(10
37.4c
13
2
830
2
--?≈???≈?=?m E
8-14把一个静止质量为0m 的粒子，从静止加速到的0.1 c 速度时，需外力对粒子做多少功？又从0.8 c 加速到0.9 c ，需外力做功多少？
解：粒子的静能为 2
00c m E =
粒子由静止被加速到0.1c 的速度，此时粒子的总能量
2
22
02
1c
1c c
υ
-
=
=m m E
外力所做的功，等于粒子能量的改变．
2
02
022
2
02
02111c
005.0 c c
c)1.0(1c c c m m m m m E W ≈--
=
-=?=
同理
202
2
2
02
2
2
02
22
322c
63.0 c
c)8.0(1c c
c)9.0(1c c c m m m m m E W ≈-
-
-
=
-=?=
8-15最强的宇宙射线具有50 J 的能量，如果这一射线是由一个质子形成的，这样一个质子的速度和光速相差多少？
解：由2
22
0c
1c υ
-
=
m E 可得
2
6
202
2E
c c m =
-υ
由于c ≈υ，2c c ≈+υ，所以有 2
6
20E
c )-2c (c m ≈υ
最后得
m/s
10
36.1 50
2)
103()10
67.1(2E
c -c 15
2
5
8227
2
5
2
0--?≈????≈
=
m υ
8-16太阳发出的能量是由质子参与一系列反应产生的，其总结果相当于下述热核反应：
11110
1
11142
1H H H H H e 2e
+++→
+
已知一个质子（H 1
1）的静质量是kg 10
6726.127
P -?=m ，一个氦核（4
2H e ）的静质量是
kg
10
6425.627
He -?=m ．一个正电子（e 0
1）的静质量是kg 10
0009.027
e -?=m ．
(1) 这一反映释放多少能量？
(2) 这一反应的释能效率多大？ (3) 消耗1k g 质子可以释放多少能量？ (4) 目前太阳辐射的总功率为W 10
9.326
?=P ，它一秒钟消耗多少千克质子？
(5) 目前太阳约含有质子．假设它继续以上述所求速率消耗质子，这些质子可供消耗多长时间？
解：(1) 释放的能量为
J
10
15.4 J
)103(10)0009.026425.66726.14( c 12
2
827
2
--?≈????--?≈?=?m E
(2) 释能效率为
0.69%)
103(10
6726.1410
15.4 c
42
8
27
12
2
P ≈?????≈
?=
--m E η
(3) 消耗kg 1质子可以释放的能量为
J 10
6.20 10
6726.1410
15.4
14
27
12
?≈???--
(4) 一秒钟消耗的质子质量为
kg 10
6.2910
6.20103.9
11
14
26?≈??
（5）消耗的时间为
a 10
7.56s 10 38.210
6.2910
5.1
10
18
11
30?≈?≈??
8-17 -π介子是一种不稳定的粒子,从它产生(事件1)到它衰变为-
μ介子(事件2)经历的
时间即是它的寿命,已测得静止-
π介子的平均寿命s 10
28
0-?=τ.某加速器产生的-
π介子
以速率0.98u c =相对于实验室运动.求-
π介子衰变前在实验室中通过的平均距离.
解: -
π介子以速率c 98.0=u 相对于实验室运动，在实验室中计算其寿命时,必须涉及时间延缓效应，对于实验室中的观察者来说，运动-
π介子的寿命τ为
s 10
052.10s )
98.0(110
218
2
8
2
20
--?≈-?=
-
=
c
u ττ
因此, -
π介子衰变前在实验室中通过的距离d '为
m 55.2910
052.1010398.08
8
≈????≈='-τu d
8-18某一宇宙射线中的介子的动能2
k
07E
M c
=，其中0M 是介子的静止质量．求在实
验室中观察到它的寿命是它固有寿命的多少倍？
解： 02
0200k 8c c 7E M M E E E =+=+=
2
202
22
0c
1c
1c u E u M E -
=
-
=
8c
112
20
=-
=
u E E ，02
20
8c
1τττ=-
=
u
8-19一被加速器加速的电子，其能量为eV 100.39
?．试问： ⑴ 这个电子的质量是其静质量的多少倍？ ⑵ 这个电子的速率为多少？
解：(1) 由相对论质能关系式2
c m E =和MeV 512.0c 200==m E 可得
3
6
92
00
1086.510
512.010
0.3c
?≈??≈
=
=
m E E E m m
(2) 由相对论质速关系式2
20c
1u m m -
=
可解得 c 999.0)
(
1c 2
0≈-=
m m υ
8-20一电子以0.99c υ=的速率运动，试求： ⑴ 电子的总能量是多少？
⑵电子的经典力学的动能与相对论动能之比是多少？（电子静止质量
kg 10
11.931
0-?=m ）
解：(1) 电子的总能量
J 10
8.5 99
.01)
103(10
11.9 c
1c c
13
2
2
831
2
22
02
--?≈-???≈
-
=
=υ
m m E
(2) 电子的经典力学的动能为J 10
01.42
114
2
k o -?≈=υ
e m E
相对论动能为J 10
99.4c
]1c
11[
c c 13
2
2
22e 2k -?≈--
=-=e m u m m E
二者之比为
10
04.82
k
k o -?≈E E
8-21太阳单位时间内垂直射到地球大气层边缘单位面积上的能量约为
s)J/(m
104.12
3
??．已知太阳到地球的平均距离为m 10
5.111
?．求每秒钟太阳因辐射而失
去的质量．
解：单位时间内太阳辐射的总能量
J 10
4J )10
5.1(4π 104.126
211
3
?≈????≈?E
由质能关系，每秒钟太阳因辐射而失去的质量为
kg 10 4.4kg 10
910 4c
9
16
262
?≈??=
?=?E m
8-22原子核的结合能．已知质子和中子的质量分别为
u 28 007.1P
=M u 66 008.1n
=M
两个质子和两个中子组成一氦核He 2
4，实验测得它的质量为u 50 001.4=A
M ，试求形成
一个氦核时释放出来的能量．（kg 10
660.1u 127
-?=）
解：两个质子和两个中子组成氦核之前，总质量为
u 88 031.4)u 66 008.1u 28 007.1(222n
P
=+?=+=M
M
M
氦核质量小于质子和中子的总质量，这差额A M M M -=?称为原子核的质量亏损．对于
He 24
核
kg 10
660.138 030 .0u 38 030.027
-??==-=?A
M
M M
根据质能关系式得到的结论：物质的质量与能量之间有一定的关系，当系统质量改变M ?时，一定有相应的能量改变2
Mc E ?=?.由此可知，当质子和中子组成原子核时，将有大量的能量放出，该能量就是原子核的结合能．所以形成一个氦核时所释放的能量为
J 10
0.4539J 10
910
660.138 030 .011
16
27
--?=????=?E
结合成1mol 氦核(即4.002g 氦核)时所释放的能量为
J 10
2.733J 10
9 453 0. 10
022 .612
11
23
?=???=?-E
相当于燃烧100吨煤所发出的热量．
8-23有研究表明中微子的静止质量可能不为零，因此它们的运动速率就将不等于光速，而且不同能量的中微子其速率也不一样．若假设中微子的静质量为0m ，其能量为E ．求证：
υ=
并写出此时中微子的动量应等于多少？
证：根据质能关系，有 2
22
02
c
1c c υ
-
=
=m m E
则 2
2
02
2)c (
c
1E
m =-
υ
即 2
2
0)
c (1c E
m -=υ
根据公式2
c
E m P υ
υ==，可得此时中微子的动量为
2
2
0)
c (1c
E
m E P -=
例题8-1 地面参考系S 中，在m 100.16
?=x 处、t = 0.02 s 时刻爆炸了一颗炸弹．如果有一沿x 轴正方向以u = 0.75c 速率运动的飞船，试求在飞船参考系S '中的观察者测得这颗炸弹爆炸的空间和时间坐标．如果按伽利略变换，结果又如何？
解：由洛伦兹变换式（8-2a ）可求出在飞船参考系S '中的观察者测得这颗炸弹爆炸的空间和时间坐标分别为
68
6
6
2
8
-5.2910 m
0.75110
0.02 s 0.0265 s
x u t x
t '=
≈
≈???-
-'=
≈
≈
0<'x ，说明在S '系中观测，炸弹爆炸地点在x '上原点的负侧；t t ≠'说明在两惯性系中测
得的爆炸时间不同.
若按伽利略变换式（8-1a ）计算，则有
s
02.0m
10-3.50m )02.010
375.0101(6
8
6
=='?=???-?≈-='t t ut x x
显然，按照伽利略变换和按照洛伦兹变换计算所得的结果不同，特别是按洛伦兹变换
t t ≠'，这与伽利略变换所得的结果完全不同．这说明在本题所述条件下（u = 0.75c ）
，用伽利略变换计算误差太大，因此必须按照洛伦兹变换计算．
例题8-6 带电π介子（π
π
+
-
或）静止时的平均寿命是s 10
6.28
-?，某加速器射出的带
电π介子的速率为s /m 104.28
?，试求：
⑴ 在实验室中测得这种粒子的平均寿命；
⑵ 上述π介子衰变前在实验室中通过的平均距离．
解：⑴ 设实验室固定在S 参考系上，π介子固定在S '参考系上．由于π介子相对于S 系的速率c u 0.8s /m 104.28
=?=，故在实验室中测得π介子的平均寿命为
s 10
33.4s )
8.0(110
6.2118
2
8
02
2--?≈-?=
?-
=
?t c
u t
⑵ π介子衰变前在实验室中通过的平均距离为
m 10.4m 10
33.410
4.28
8
≈???≈?=-t u l
例题8-8 在6 000 m 的高空大气层中产生了一个π介子，以速率c 998.0=υ飞向地球．假
设该介子在其自身的静止系中的寿命等于其平均寿命s 1026
-?．试分别从下面两个角度，即地球上的观察者和相对π介子静止的参考系中的观察者，来判断π介子能否到达地球．
解：⑴ 以地球为参考系
对于地球上的观察者，由于时间延缓效应，π介子寿命延长了，由式（8-8）可得π介子衰变前经历的时间为
s 10
16.3s 998
.0110
2115
2
6
2
20
2
20
--?≈-?≈
-
=
-
=
?c
c
u t υ
ττ
在这段时间内飞行的距离9 460 m d t υ=?≈，因6000 m d >，故该π介子能到达地球．
⑵ 以π介子为参考系
在相对π介子静止的参考系中，π介子是静止的，地球则以速率υ接近π介子，在时间0τ内，地球向π介子运动0599 m d υτ'==的距离．由式（8-9）可得，相对于地球静止的厚度为06 000 m d =的大气层，在以π介子为参考系上的观察者看来其厚度仅为
06 000379 m d d '=≈?
≈
可见0d d ''>，故π介子能够到达地球．
本题若按经典理论计算，一个静止寿命s 10
26
0-?=τ的π介子，即使它以真空光速
m/s 1038
?=c 运动，它一生也只能通过m 600m 10
210
3-6
8
=???=τ
c 的距离，是无法
到达地球的．而用狭义相对论计算表明高空的π介子是可以到达地球的，与实验中确实能接收到来自高空的π介子的结果相符．
例题8-9 热核反应
23411
1
2
H H H e n
+
→
+
中，各种粒子的静止质量如下：
氘核（H 2
1）kg 10
6 343.327D -?=m 氚核（H 3
1）kg 10
9 004.527
T -?=m
氦核（He 4
2）kg 10
5 642.627
He -?=m
中子（n 10）kg 10
9 674.127
n -?=m
求这一热核反应释放的能量．
解： 这一热核反应的质量亏损为
kg
10
1 031.0 kg 10)]9 674.15 642.6(-)9 004.56 343.3[( )
(-) (27
27
n He T D --?=?++=++=?m m m m m
相应释放的能量为
2
27
16
12
0.031 110910
J 2.79910
J
E m c
--?=?=???=?
1 kg 的这种燃料所释放的能量为
J
10
3.35J 10
5 348.8102.79914
27
12T
D ?≈??=
+?--m m E
这一数值是1 kg 优质煤燃烧所释放热量的7
1015.1?倍，即一千多万倍！
例题8-11 已知两个质点A 、B 静止质量均为0m ，若质点A 静止，质点B 以2
06c m 的动能向A 运动，碰撞后合成一个粒子，无能量释放．求合成粒子的静止质量．
解：本题是相对论动力学问题，需综合应用质能关系、动量守恒定律、能量守恒定律及动量与能量之间的关系．
两个粒子的能量分别为
2
0,0c m E E A A ==，2
02
02
0k ,,076c m c
m c
m E E E B B B =+=+=
由能量守恒定律知，合成后粒子的总能量为
2
08c
m E E E B A =+=
根据相对论质量与能量关系2
Mc E =得合成后粒子的质量
08m M = 则合成粒子的静止质量
2
20
2
20
181c
m c
M M
υ
υ
-
=-
= ①
由动量守恒定律A B =+P P P ，因0=A P ，故B P M P ==υ，则复合粒子的速率
M
P B =
υ
对质点B 运用相对论能量与动量关系2
2
224
0B B E P c m c =+可得
4
202
24
2049c m c
P c
m B +=
即
22
02
48c m P B =
则 2
2
2
202
22
4
36448c m c m M
P B =
=
=
υ
代入式①得
00
4m M
=
一：填空 1、以速度v 相对于地球作匀速直线运动的恒星所发射的光子，其相对于地球的速度的大小为______． C 2. 狭义相对论中，一质点的质量m 与速度v 的关系式为______________；其动能的表达式为______________． () 201c v m m -= 202c m mc E k -= 3. 当粒子的动能等于它的静止能量时，它的运动速度为____________________ /2v = 4. 匀质细棒静止时的质量为m 0，长度为l 0，当它沿棒长方向作高速的匀速直线运动时，测得它的长为l ，那么，该棒的运动速度v ＝_________，该棒所具有的动能E k ＝_______________ 。 v =222000(/1)k E mc m c m c l l =-=- 5. 已知惯性系S ＇相对于惯性系S 系以 0.5 c 的匀速度沿x 轴的负方向运动，若从S ＇系的坐标原点O ＇沿x 轴正方向发出一光波，则S 系中测得此光波在真空中的波速为________ c 二：选择 1. 一火箭的固有长度为L ，相对于地面作匀速直线运动的速度为1v ，火箭上有一个人从火箭的后端向火箭前端上的一个靶子发射一颗相对于火箭的速度为2v 的子弹．在火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是：(c 表示真空中光速) (A) 21v v +L ． (B) 2v L ． (C) 12v v -L ． (D) 211) /(1c L v v - ． B 2. 关于同时性的以下结论中，正确的是 (A) 在一惯性系同时发生的两个事件，在另一惯性系一定不同时发生． (B) 在一惯性系不同地点同时发生的两个事件，在另一惯性系一定同时发生．
第五章 相对论基础 5.1 若某量经洛仑兹变换后不发生变化，则称该量为洛仑兹不变量。试证明222t c x -为洛仑兹不变量，即 222222t c x t c x '-'=-。 5.2 一艘飞船以c v 6.0=的速率沿平行于地面的轨道飞行。站在地面上的人测得飞船的长度为l ，求此飞船发射前在地面上时的长度0l 。 5.3 两个事件先后发生于惯性系甲中的同一地点，其时间间隔为s 4.0，而在惯性系乙中测得这两个时间发生的时间间隔为s 5.0，求乙两惯性系之间的相对运动速率。 5 .4一艘太空飞船经地球飞往相对地球静止的某空间站，空间站上的时钟已与地球上的时钟校正同步。飞船经过地球时，飞船上的时钟也与地球上的时钟具 有相同的读数。假设飞船沿直线轨道驶向空间站，飞行距离为 m 9109?，飞船经过空间站时，发现飞船上的时钟比空间站上的时钟慢了s 3.0钟，试求飞船的飞行速率。 5.5S '系相对S 系以速度c v 6.0=沿x 轴运动，两系坐标轴相互平行，两系原 点在0='=t t 时重合。在S '系中位于x '轴上的m x 300='处，s t 7102-?='时发生 一事件，求这一事件在S 系中的时空坐标。 5.6S '系相对S 系以恒速率沿x 轴运动，在S 系中同一时刻发生的两事件，沿x 轴相距m 2400。而在S '系中的观测者测得这两事件的空间间隔为m 3000，试求这两事件在S '系中的测得的时间间隔是多少？
5.7静长度为0l 的车厢，以恒定的速率v 沿直线向前运动。一光信号从车厢的后端A 发出，经前端B 的平面镜反射后回到后端。 (1) 在地面上的人看来，光信号经过多少时间1t ?到达B 端？从A 发出经B 反射后回到A 端所需时间t ?是多少？ (2) 在车厢内的人看来，光信号经过多少时间1 t '?到达B 端？从A 发出经B 反射后回到A 端所需时间t '?是多少？ 5.8两根静长度均为0l 的棒A 、B ，沿棒的平行轴线方向做相向匀速运动。A 棒上的观测者看到两棒的左端先重合，相隔时间t ?后，两棒的右端才重合。问： (1) B 棒上的观测者看到两棒的端点以怎样的次序重合？ (2) 两棒的相对速度多大？ (3) 对于看到两棒以大小相等、方向相反的速度运动的观测者来说，两棒的端点以怎样的次序重合？ 5.9 1968年，Farley 等人在实验中测得μ介子的速度为c v 996 6.0=，其平 均寿命为61015.26-?=τ秒。已知μ介子在静止参照系中的平均寿命为 60102.2-?=τ秒。试问这个实验在多大劲度上与相对论的预言相符合？ 5.10 π介子在静止参照系中的平均寿命为8 0105.2-?=τ秒，在实验室内测得某一π介子在它一生中行进的距离为m 375。求此π介子相对实验室参照系的运动速度。 5.11位于恒星际站上的观测者测得两枚宇宙火箭以c 99.0的速率沿相反方向离去，问在一火箭上的观测者测得的另一火箭的速度率
第五章狭义相对论 一、单选题(本大题共27小题，总计81分) 1.(3分)(1)对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点、同一时刻的两个事件，对于相对该惯性系作匀速直线运动的其它惯性系中的观察者来说，它们是否同时发生？ (2)在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事件，它们在其它惯性系中是否同时发生？ 关于上述两个问题的正确答案是［］ A、(1)同时，(2)不同时 B、(1)不同时，(2)同时 C、(1)同时，(2)同时 D、(1)不同时，(2)不同时 2.(3分)关于同时性的以下结论中，正确的是［］ A、在一惯性系同时发生的两个事件，在另一惯性系一定不同时发生 B、在一惯性系不同地点同时发生的两个事件，在另一惯性系一定同时发生 C、在一惯性系同一地点同时发生的两个事件，在另一惯性系一定同时发生 D、在一惯性系不同地点不同时发生的两个事件，在另一惯性系一定不同时发生 3.(3分)在惯性系中，一粒子具有动量及总能量（表示真空中光速），则在系中测得粒子的速度最接近于［］ A、 B、 C、 D、 4.(3分)在狭义相对论中，下列说法中哪些是正确的［］ (1) 一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真空中的光速； (2) 质量、长度、时间的测量结果都是取决于物体对观察者的相对运动状态； (3) 在一惯性系中发生于同一时刻，不同地点的两个事件在其他一切惯性系中也是同时发生的； (4)惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对运动的时钟时，会看到这个钟比与他相对静止的相同的时钟走得慢些． A、(1)，(3)，(4) B、(1)，(2)，(4) C、(1)，(2)，(3)
D、(2)，(3)，(4) 5.(3分)设某微观粒子的总能量是它的静止能量的倍，则其运动速度的大小为(以表示真空中的光速)［］ A、 B、 C、 D、 6.(3分)质子在加速器中被加速，当其动能为静止能量的4倍时，其质量为静止质量的［］ A、4倍 B、5倍 C、6倍 D、8倍 7.(3分)粒子在加速器中被加速，当其质量为静止质量的3倍时，其动能为静止能量的［］ A、2倍 B、3倍 C、4倍 D、5倍 8.(3分)在惯性参考系中，有两个静止质量都是的粒子A和B，分别以速度沿同一直线相向运动，相碰后合在一起成为一个粒子，则合成粒子静止质量的值为 (表示真空中光速) ［］ A、 B、 C、 D、 9.(3分)边长为的正方形薄板静止于惯性系的平面内，且两边分别与轴平行．今有惯性系以（为真空中光速）的速度相对于系沿轴作匀速直线运动，则从系测得薄板的面积为［］ A、 B、 C、 D、 10.(3分)系与系是坐标轴相互平行的两个惯性系，系相对于系沿轴正方向匀速运动．一根刚性尺静止在系中，与成角．今在系中观测得该尺与轴成角，则系相对于系的速度（用表示）是［］ A、
第4章 狭义相对论 一、基本要求 1．掌握运动时间延缓和运动长度收缩原理； 2．理解质速关系和质能关系。 二、基本内容 （一）本章重点和难点： 重点：狭义相对论时空观中运动时间延缓和运动长度收缩。 难点：相对论动力学中质能关系。 （二）知识网络结构图： ???? ? ? ? ???????=?? ????)(2mc （E ）质能关系运动质量变大质速关系相对论动力学运动长度收缩运动时间延缓相对论运动学光速不变原理爱因斯坦相对性原理基本原理 （三）容易混淆的概念： 1.静止长度和运动长度 静止长度0l ，也称固有长度，即观察者和被测物体在同一参照系所测长度；运动长度l ，即观察者和被测物体不在同一参照系所测长度。 2. 静止时间和运动时间 静止时间0τ，也称固有时，即观察者和被测事件在同一参照系所测时间；运动时间τ，即观察者和被测事件不在同一参照系所测时间。 3.总能量、静能量和动能 总能量E 由爱因斯坦质能关系式,等于动质量和光速的平方的乘积；静能量0E 等于静质量和光速的平方的乘积；动能k E 即总能量与静能量之差。 （四）主要内容： 1．经典力学的相对性原理：
一切彼此相对作匀速直线运动的诸惯性系中的力学规律是一样的。即力学规律的数学形式都是相同的。 2．狭义相对论基本原理： （1）爱因斯坦相对性原理：物理定律在所有惯性参考系内都是等价的。 （2）光速不变原理：在所有惯性系中，光在真空中的速度恒等于c 。 3．洛伦兹变换： 若S S 、'分别为两惯性系，S 系相对S '系以v 沿x 轴运动，在0='=t t 时两系重合，则一质点（或一事件）在S 系中的时空坐标（x 、y 、z 、t ）与在S '系中的时空坐标（x '、y ' 、z '、t '）之间的关系为洛伦兹时空变换。 （1）洛伦兹时空变换 同一事件在S 系中时空坐标（x 、y 、z 、t ）与在S '系中的时空坐标（x '、y ' 、z '、 t '）之间的关系为： ? ?? ??? ? ?? ???? ='='--='--= 'z z y y c v vt x x c v x c v t t 2 22 )(1)(1 逆变换为： ?????? ???????' ='=-+'=-+ =z z y y c v vt x x c v x c v t t 2 2 2)(1)(1 （2）洛伦兹速度变换 某质点相对于S 系速度u ，与相对S '系速度u '之间的关系为：
第5章 狭义相对论基础 5-1 设K′系以1.8×108m/s 的速度相对于K 系沿x 轴正向运动，某事件在K′系中的时空坐标为（3×108m ，0m ，0m ，2s ）。试求该事件在K 系中的时空坐标。 解 根据洛仑兹变换 2 x y y z z ux t t ? ? ???'=? '?=? '?'+???? 计算得该事件在K 系中的时空坐标（8.25×108m ，0m ，0m ，3.25s ）。 5-2 在惯性系K 中，有两个事件同时发生在x 轴上相距3 1.010m ?处，从惯性系K ′观测到这两个 事件相距3 2.010 m ?，试问从K ′测到此两事件的时间间隔是多少？ 解 根据洛仑兹变换，有 (1) (2) u x t x t ??- ''?? 依题设条件，31.010x =?Δ m ，0s t ?=，3 '，由(1)解得 u = 代入(2) 26 57710s u x t .-?- '?-? 负号表示在K '系中观测，' 22()x x 处的事件先发生。 5-3 在正负电子对撞机中，电子和正电子以0.9c υ=的速率相向运动，两者的相对速率是多少？ 解 取地球为K 系，电子为K '系，并沿x 轴负方向运动，正电子为研究对象，根据洛仑兹速度变换 公式，有 1x x x u 'u c υυυ-= - 09(09) 099409(09)1.c .c .c .c .c c --= =--
5-4 一光源在K ′系的原点'O 发出一光线，其传播方向在''y x 平面内且与'x 轴夹角为'θ。试求在K 系中测得的此光线的传播方向，并证明在K 系中此光线的速度仍是c 。 解 已知'cos x c υθ'=，'sin y c υθ'=。根据洛仑兹速度变换，有 2''1x x x u u c υυυ+=+cos cos 1c u u c θθ'+= ' + ，1y x υ +1c +在K 系中与x 轴的夹角为 arctan y x υθ=而光的速度为 c υ == 5-5 若从一惯性系中测得宇宙飞船的长度为其固有长度的一半，宇宙飞船相对于该惯性系的速率是多少？ 解 根据相对论的长度收缩效应，l l =有 u = 5-6 一根直杆位于K 系中Oxy 平面。在K 系中观察,其静止长度为0l ,与x 轴的夹角为θ,试求它在K ′系中的长度和它与'x 轴的夹角。 解 设在K 系中，直杆两端的坐标分别为（0,0）和()00cos ,sin l l θθ。由于长度收缩发生在运动方 向，且0cos x l θ?=为x 方向的固有长度 所以 0cos x l '?= 0sin y l θ'?= 在K'系中，直杆的长度为 l l 直杆与'x 轴的夹角为 1222arctan =arctan tan 1/y u x c θθ-??'???'=-?? ?'??????? 5-7 设K′系以恒定速率相对于K 系沿x （x ′）轴运动。在惯性系K 中观察到两个事件发生在同一地点，其时间间隔为4.0s ，从另一惯性系K′中观察到这两个事件的时间间隔为6.0s ，试问K′系相对于K 系的速度为多少？ 解 由题意知在K 系中的时间间隔为固有时，即0 4.0s τ=而 6.0s τ=，根据时间延缓效应的关
狭义相对论基础习题解答 一 选择题 1. 判断下面几种说法是否正确 ( ) (1) 所有惯性系对物理定律都是等价的。 (2) 在真空中，光速与光的频率和光源的运动无关。 (3) 在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向传播的速度都相同。 A. 只有 (1) (2) 正确 B. 只有 (1) (3) 正确 C. 只有 (2) (3) 正确 D. 三种说法都正确 解：答案选D 。 2. (1)对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点、同一时刻的两个事件，对于相对该惯性系作匀速直线运动的其它惯性系中的观察者来说，它们是否同时发生？ (2)在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事件，它们在其它惯性系中是否同时发生？ 关于上述两个问题的正确答案是：( ) A. (1) 同时， (2) 不同时 B. (1) 不同时， (2) 同时 C. (1) 同时， (2) 同时 D. (1) 不同时， (2) 不同时 解：答案选A 。 3．在狭义相对论中，下列说法中哪些是正确的？( ) （1） 一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真空中的光速. （2） 质量、长度、时间的测量结果都随物体与观察者的相对运动状态而改变 （3） 在一惯性系中发生于同一时刻，不同地点的两个事件在其他一切惯性系中也是同时发生的. （4） 惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对运动的时钟时，会看到这时钟比与他相对静止的相同的时钟走得慢些。 A. (1)，(3)，(4) B. (1)，(2)，(4) C. (1)，(2)，(3) D. (2)，(3)，(4) 解：同时是相对的。 答案选B 。 4. 一宇宙飞船相对地球以0.8c 的速度飞行，一光脉冲从船尾传到船头。飞船上的观察者测得飞船长为90m ，地球上的观察者测得光脉冲从船尾发出和到达船头两个事件的空间间隔为 ( ) A. 90m B. 54m C. 270m D. 150m 解： ?x ′=90m, u =0.8 c , 87 90/(310)310s t -'?=?=?
第五章 狭义相对论基础 §5.1伽利略相对性原理 经典力学的时空观 一.伽利略（牛顿力学）相对性原理 对力学规律而言，所有的惯性系都是等价的或在一个惯性系中，所作的任何理学实验都不能够确定这一惯性系本身是静止状态，还是匀速直线运动。 力学中不存在绝对静止的概念，不存在一个绝对静止优越的惯性系。 二.伽利略坐标变换式 经典力学时空观 设当O 与O '重合时0t t ='=作为记 时的起点 同一事件：K 系中)t ,z ,y ,x ( K '系中)t ,z ,y ,x ('''' 按经典观念：???????='='='-='t t z z y y vt x x 或???? ???' ='='=' +'=t t z z y y t v x x ??? ??'='=+'=?????='='-='?'='=z z y y x x z z y y x x u u u u v u u u u u u v u u t d dt ,t t 或Θ 所谓绝对时空： 1、时间：时间间隔的绝对性与同时的绝对性，即t t ,t t ='?='?。时间是与参照系无 关的不变量。 2、空间：若有一把尺子，两端坐标分别为 K 中：)t ,z ,y ,x (P ),t ,z ,y ,x (P 22221111
K '中：) t ,z ,y ,x (P ),t ,z ,y ,x (P 22221111''''''''' 有222222z y x r ,z y x r '?+'?+'?='??+?+?=? 由,t t =' 得r r '?=?，即：长度（空间间隔）是与参照系无关的不变量或长度（空间间 隔）的绝对性。 a a ρρ='即?????='='='z z y y x x a a a a a a 且认为m m ,F F ='='ρ ρ 因此：在K '中，有a m F ''='ρρ，得K 中a m F ρρ= 由牛顿的绝对时空以及“绝对质量”的概念，得到牛顿相对性原理。 总结：牛顿定律在所有惯性系都具有相同的表述形式，即牛顿定律在伽利略变换下是协变的，牛顿力学符合力学相对性原理。 §5.2狭义相对论基本原理与光速不变 一.引子：相对论主要是关于时空的理论 局限于惯性参考系的理论称为狭义相对论，推广到一般参考系和包括引力场在内的理论称为广义相对论。 牛顿力学的困难： 例子：○ 1打排球，发点球 ○2超新星爆发过程中光线传播引起的疑问，如“蟹状星云”有较为祥实的记载。“客 星”最初出现于公元1054年，历时23天，往后慢慢暗下来，直到1056年才隐没。 按牛顿观点： 1500v ?km.s -1 5000l ?光年 会持续25年，能看到超新星开始爆发时发出的强光，其实不然 ○ 3电动力学的例子
一、简答题 ： 1. 给出相对论性动量表达式，是说明在什么情况下，牛顿定律仍然适用？ 答：2 0)(1c v v m v m p -= = ，在狭义相对论中，m 是与速度有关的，成为相对论性质量，而0m 是质点相对某惯性系静止时的质量，为静质量。从动量关系式可以看出，当质点的速率小于光速，c v <<，这样相对论性质量近似等于静质量，0m m =，这表明，在该种情况下，牛顿力学仍然使用。 2. 给出质能关系，爱因斯坦如何阐明该式的深刻意义的？ 答：质能关系：2 mc E =，表示的是质点运动时具有的总能量，包括两部分，质点的动能k E 及其静动能20c m 。 3. 给出相对论性动量和能量的关系，说明在什么条件下，cp E =才成立？ 答：相对论性动量和能量的关系为：222 02c p E E +=，如果质点的能量0E E >>,在这种情况下则有 cp E =。 4. 经典电磁理论中，电磁波的波长和频率满足c =λν，从狭义相对论来看，说明这个关系是否仍然成立？ 答：由狭义相对论动量和动能的关系：222 02c p E E +=，200c m E =，对于光子有00=m ，所以有 pc E =，而νh E =，所以有λ h c hv c E p === ，所以c =λν仍然成立。 二、填空题： 1.坐标轴相互平行的两惯性系 S 、S’，S 相对沿 ox 轴正方向以 v 匀速运动，在 S’ 中有一根静止的刚性尺，测得它与 ox’ 轴成 30° 角，与 ox 轴成 45 °角， 则v 应为 。 '0'00x 000'0x L =L sin 30,cos30223 y x L L L L L L L v == ====?= 解： 2. 质子在加速器中被加速，当其动能为静止能量的 4 倍时， 其质量为静止质量的 倍。 2220045k o E E E mc c m c m m =-=-=?=解：
班级___________ 学号_________ 姓名______________ 第五章狭义相对论基础(17)* 1.电子的静质量M 0=9.1×10-31kg ，经电场加速后具有0.25兆电子伏特的动能，则电子速率V 与真空中光速C 之比是：（ C ） (A)0.1 (B)0.5 (C)0.74 (D)0.85 解:兆电子伏特 25.0=k E kg M 31 010 1.9-?= 2 02 c M Mc E K -= 2 201c u M M - = 2、静止质量均为m 0的两个粒子，在实验室参照系中以相同大小的速度V=0.6C 相向运动（C 为真空中光速），碰撞后粘合为一静止的复合粒子，则复合粒子的静质量M 0等于：（ B ） (A)2 m 0 (B)2.5 m 0 (C)3.3 m 0 (D)4 m 0 解:2 0202 22c M c m E mc E k =+== 2 02 2c M mc =∴ 02 2005.2122m c v m m M =- = = 3、已知粒子的动能为E k ，动量为P ，则粒子的静止能量为:（A ） (A)(P 2C 2－E 2k )/(2E k ) (B) (P 2C 2＋E 2k )/(2E k ) (C)(PC －E K )2/(2 E k ) (D)(PC ＋E K )2/(2E k ) 解:0E E E k += 2 02 2 2 E c p E +=
4、相对论中质量与能量的关系是：2mc E =；把一个静质量为M 0的粒子从静止加速到V ＝0.6C 时，需作功: 2 0202 2202 02 25.01c m c m c v c m c m mc A =-- = -= 5、某一观察者测得电子的质量为其静止质量的2倍，求电子相对于观察者运动的速度:c v 2 3= 。 解:2 201c v m m - = 2 201m m c v - = 6、当粒子的速率由0.6C 增加到0.8C 时，未动量与初动量之比是P 2:P 1＝16:9，未动能与初动能之比是E k2:E k1＝8:3 2 201c v v m p - = 2 02 2202021c m c v c m c m mc E k -- = -= 7、在惯性系S 中测得相对论粒子动量的三个分量为：Px=Py=2.0×10-21kg.m/s ，Pz=1.0×10-21kg.m/s ，总能量E=9.4×106ev ，则该粒子的速度为:c v 6.0= 8、试证：一粒子的相对论动量可写成 式中E 0（=m 0C 2 ）和E k 各为粒子的静能量和动能。 证明:0E E E k += (1) 2 02 2 2 E c p E += (2) 解得: C E E E p k k o 2 /12) 2(+= C E E E p k k o 2 /12 ) 2(+=
狭义相对论基础习题解答 一选择题 1. 判断下面几种说法是否正确( ) (1) 所有惯性系对物理定律都是等价的。 (2) 在真空中，光速与光的频率和光源的运动无关。 (3) 在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向传播的速度都相同。 A. 只有(1) (2) 正确 B. 只有(1) (3) 正确 C. 只有(2) (3) 正确 D. 三种说法都正确 解：答案选D 。 2. (1) 对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点、同一时刻的两个事件，对于相对该惯性系作匀速直线运动的其它惯性系中的观察者来说，它们是否同时发生？ (2) 在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事件，它们在其它惯性系中是否同时发生？ 关于上述两个问题的正确答案是：( ) A. (1) 同时，(2) 不同时 B. (1)不同时，(2)同时 C. (1) 同时，(2) 同时 D. (1)不同时，(2)不同时 解：答案选A 。 3．在狭义相对论中，下列说法中哪些是正确的？( ) ( 1) 一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真空中的光速. ( 2) 质量、长度、时间的测量结果都随物体与观察者的相对运动状态而改变 ( 3) 在一惯性系中发生于同一时刻，不同地点的两个事件在其他一切惯性系中也是同时发生的. ( 4) 惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对运动的时钟时，会看到这时钟比 与他相对静止的相同的时钟走得慢些。 A. (1) ，(3) ，(4) C. (1) ，(2) ，(3) 解：同时是相对的。答案选B 。 4. 一宇宙飞船相对地球以 B. (1) ，(2) ，(4) D. (2) ，(3) ，(4) 0.8c 的速度飞行，一光脉冲从船尾传到船头。飞船上的 观察者测得飞船长为90m，地球上的观察者测得光脉冲从船尾发出和到达船头两个事件的空间间隔为( ) A. 90m B. 54m C. 270m D. 150m 87 解：x′=90m, u=0.8 c, t 90/(3 108) 3 10 7s
第五章狭义相对论基础 内容： 1．经典力学的时空观；迈克耳逊–莫雷实验，长度收缩，时间延缓，同时的相对性，狭义相对论的时空观。质量与速度的关系；相对论动力学基本方程；相对论动量和能量。 2．狭义相对论的基本原理； 3．洛仑兹坐标变换式； 4．相对运动； 重点与难点： 1．经典力学的时空观 2．迈克耳逊–莫雷实验。 3．狭义相对论的基本原理； 3．质量与速度的关系； 4．相对论动量和能量。 5．相对论动力学基本方程 要求： 1．了解爱因斯坦狭义相对论的两个基本假设。 2．了解洛伦兹坐标变换。了解狭义相对论中同时的相对性以及长度收缩和时间延缓。了解 伽利略的绝对时空观和爱因斯坦狭义相对论的时空观及其二者的差异。 3．理解狭义相对论中质量和速度的关系、质量和能量的关系。 相对论包括狭义相对论和广义相对论两部分内容．狭义相对论提出了新的时空观，建立了物体高速运动所遵循的规律，揭示了时间和空间、质量和能量的内在联系．广义相对论提出了新的引力理论，开始了有关引力本质的探索．本章仅介绍狭义相对论的运动学以及相对论动力学的主要结论． §5-1 伽利略变换与力学相对性原理 为了理解相对论时空观的变革，首先回顾一下牛顿力学的时空观． 一、伽利略变换与绝对时空观 要描述某一个事件，应该说明事件发生的地点和时间．这就需要确定一个参考系，并在其中使用一定的尺和钟，用以确定事件发生的空间坐标和时间坐标，即用x、y、z来表示事件发生的空间位置，用t来表示事件发生的时刻． 设有分别固定在两个惯性参考系上的两个直角坐标系S和S'，如图5-1所示，相应的坐标轴相互平行，S'系相对于S系以恒定速度v沿x轴正方向运动．现在要讨论的问题是：如果在S系上的观测者测得某一事件P发生的位置和时刻分别为x、y、z和t，而在S'系上观测者测得同一事件P发生的位置和时刻分别为x'、y'、z'和t'，那么x、y、z、t 和x'、y'、z'、t'之间的关系如何呢？
第五章相对论 第一节狭义相对论的基本原理 基础知识 1．下列说法中正确的是( ) A电和磁在以太这种介质中传播 B相对不同的参考系，光的传播速度不同 C.牛顿定律仅在惯性系中才能成立 D.时间会因相对速度的不同而改变 2．爱因斯坦相对论的提出，是物理学思想的一场重大革命，他( ) A.否定了牛顿的力学原理 B.提示了时间、空间并非绝对不变的属性 C.认为时间和空间是绝对不变的 D.承认了“以太”是参与电磁波传播的重要介质 3．爱因斯坦狭义相对论的两个基本假设： (1)爱因斯坦的相对性原理：_____________________________． (2)光速不变原理：_____________________________________． 4．下列哪些说法符合狭义相对论的假设( ) A在不同的惯性系中，一切力学规律都是相同的 B．在不同的惯性系中，一切物理规律都是相同的 C.在不同的惯性系中，真空中的光速都是相同的 D．在不同的惯性系中，真空中的光速都是不同的 5．在一惯性系中观测，两个事件同时不同地，则在其他惯性系中观测，它们( ) A．一定同时 B．可能同时 C.不可能同时，但可能同地 D．不可能同时，也不可能同地 6．假设有一列很长的火车沿平直轨道飞快匀速前进，车厢中央有一个光源发出了一个闪光，闪光照到了车厢的前后壁，根据狭义相对论原理，下列说法中正确的是( ) A地面上的人认为闪光是同时到达两壁的 B车厢里的人认为闪光是同时到达两壁的 C．地面上的人认为闪光先到达前壁 D．车厢里的人认为闪光先到达前壁 能力测试 7．关于牛顿力学的适用范围，下列说法正确的是( ) A.适用于宏观物体 B.适用于微观物体 C.适用于高速运动的物体 D.适用于低速运动的物体 8．下列说法中正确的是( ) A.相对性原理能简单而自然的解释电磁学的问题 B.在真空中，若物体以速度v背离光源运动，则光相对物体的速度为c-v C在真空中，若光源向着观察者以速度v运动，则光相对于观察者的速度为c+v D．迈克耳逊一莫雷实验得出的结果是：不论光源与观察者做怎样的相对运动，光速都是一样的 9．地面上的A、B两个事件同时发生，对于坐在火箭中沿两个事件发生地点连线，从A到B方向飞行的人来说哪个事件先发生( ) A．两个事件同时发生 B．A事件先发生 C．B事件先发生 D．无法判断 10．关于电磁波，下列说法正确的是( ) A.电磁波与机械波一样有衍射、干涉现象，所以它们没有本质的区别 B.在一个与光速方向相对运动速度为u的参考系中，电磁波的传播速度为c+u或c-u C电磁场是独立的实体，不依附在任何载体中 D．伽利略相对性原理包括电磁规律和一切其他物理规律 11．一列火车以速度v相对地面运动，如果地面上的人测得，某光源发出的闪光同时到达车厢的前壁和后壁(如图5-1-1)．那么按照火车上人的测量，闪光先到达前壁还是后壁?火车上的人怎样解释自己的测量结果? 12．如图5-1-2所示，在地面上M点，固定一光源，在离光源等距的A、B两点上固定有两个光接收器，今使光源发出一闪光，问 (1)在地面参考系中观察，谁先接收到光信号?
狭义相对论基础 学 号 姓 名 一.选择题： 1.（本题3分）4359 (1). 对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点、同一时刻的两个事件，对于相对于该惯性系作匀速直线运动的其它惯生系中的观察者来说，它们是否同时发生？ (2)在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事件，它们在其它惯性系中是否同时发生？ 关于上述两个问题的正确答案是： [A] (A)（1）同时， （2）不同时； (B)（1）不同时， （2） 同时； （C ）（1）同时， （2） 同时； （D ）（1）不同时， （2） 不同时； 2.（本题3分）4352 一火箭的固有长度为L ，相对于地面作匀速直线运动的速度为v 1，火箭上有一个人从火箭的后端向火箭前端上的靶子发射一颗相对于火箭的速度为v 2的子弹，在火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是： [B] （A ） 2 1v v L + （B ） 2 v L （C ） 2 1v v L - （D ） 2 11) /(1c v v L - 3.(本题3分)4351 宇宙飞船相对于地面以速度v 作匀速直线运动，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过?t （飞船上的钟）时间后，被尾部的接收器收到，则由此可知飞船的固有长度为 [A ] （A ）t c ?? (B) t v ?? (C) 2 )/(1c v t c -??? (D) 2 ) /(1c v t c -?? 4.(本题3分)5355 边长为a 的正方形薄板静止于惯性系K 的XOY 平面内，且两边分别与X 、Y 轴平行，今有惯性系K ˊ以0.8c （c 为真空中光速）的速度相对于K 系沿X 轴作匀速直线运动，则从K '系测得薄板的面积为： [ B ] （A ）a 2 （B ）0.6a 2 （C ）0.8a 2 （D ）a 2 /0.6 5．（本题3分）4356 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行，如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度应是： [C] （A ）（1/2）c （B ）（3/5）c （C ）（4/5）c （A ）（9/10）c 6．（本题3分）5614
对狭义相对论力学中的几个重要概念和规律的再认识 摘要：本文在狭义相对论基本原理的基础上，详细阐述了相对论力学中的基本概念与其变换关系和基本规律，并分析了这些概念和规律在经典力学和狭义相对论力学中的区别和联系。通过对基本知识内容的分析对比，能够清楚认识到经典力学向狭义相对论力学在过渡阶段的概念和规律的混淆问题，有助于正确理解和把握狭义相对论的基本原理和内容，便于今后进行相关知识的学习和研究。 关键词：洛伦兹变换；速度；质量；相对性原理；光速不变原理
目录 引言 (1) 1狭义相对论的基本原理 (1) 1.1 相对性原理 (1) 1.2 光速不变性原理 (2) 2基本概念和规律 (2) 2.1 洛仑兹变换 (2) 2.2 速度的合成及其变换 (4) 2.3 质量及其变换 (6) 2.4 力及其变换 (7) 2.5 动量、能量及其变换 (8) 3 小结 (11) 参考文献： (11) 致谢： (11)
引言 在19世纪末期，当时众多的物理学家们都认为经典物理学的框架已经建设完成，只需要填补和装修即可而陶醉时，但是三大发现（黑体辐射、光电效应等）又为物理学提出新的问题。而这些问题正在猛力地冲击着经典力学中的速度、质量、动量和能量等基本物理概念，使经典物理学中包含了质量守恒、能量守恒等守恒定律面临着严酷的考验。同时，光电效应与黑体辐射等实验的结果又不能被经典物理学所解释。 为了解决这些经典力学所不能解释的问题，许多物理学家们已经做了很多的工作。在1905年，爱因斯坦另辟蹊径，运用丰富的科学知识和深刻的哲学思想提出了与众不同的时空理论—狭义相对论。当时，众多的物理学家们都以能读懂相对论原理而自豪。爱因斯坦建立的狭义相对论对物理学的发展提供了理论依据，并且深入到高能粒子物理的范围，成为了研究高速粒子运动的不可或缺的理论依据，并取得了丰硕的研究成果。它成为了近代物理的一大基石。同时，它被广泛应用于宇宙学，天体物理学，量子力学，和其他学科。然而，因为科学技术发展的限制、认知的不足，爱因斯坦的两个原则性的问题被遗留下来，没有得到解决。直到2009年，俄罗斯物理学家和我国物理学家华棣先生先后发表了新的相对论，弥补了百年前爱因斯坦遗留下的问题，完善了相对论原理。1狭义相对论的基本原理 到了十九世纪后期，在实验中证实了著名的物理学家麦克斯韦的“电磁场理论”的真实性。当时，在物理界有两个不同的观点，但后来物理学家们发现这是与实验结论相背的。于是洛伦兹提出一个假设：所有物质在以“以太”的形式运动时，都会发生沿运动方向的收缩现象。但是，爱因斯坦的研究从另一个方向开始，认为：想要解决一切的困难，那么必须完全摒弃牛顿所建立的绝对时空的概念，并提出了两个基本的假设。由于这两条基本假设在理论上是自洽的，并与大量的实验结果相吻合。因此，只能称之为假设。 否认宇宙中存在着特殊的物质“以太”，同时也排除存在着处于特殊优越地位的惯性系。那么，各个惯性系都应该存在平等、等价的地位，这就是狭义相对论的出发点，也是总思想。这一思想就成为了第一条基本原理。同时，以此原理为基础在处理具体问题时，爱因斯坦又假定了在各个惯性系中的真空光速是个不变量，这就是光速不变原理。 1.1 相对性原理 所有惯性参考系统对任何物理规律（力学的、电学的等等）都是等价的。也就是说，在实验室进行任何物理实验都无法确定实验室是“绝对静止”呢，还是“绝对地”
第8章 狭义相对论力学基础 思考题 8-1伽利略相对性原理与狭义相对论的相对性原理有何相同之处？又有何不同之处？ 答：二者相同之处在于都认为，对于力学规律一切惯性系都是等价的．即无法用力学实验证明一个惯性系是静止的还是做匀速直线运动．所不同之处在于伽利略相对性原理仅限于力学规律，而狭义相对论的相对性原理则指出，对于所有的物理规律（不仅仅力学），一切惯性系都是等价的． 8-2假设光子在某个惯性系中的速率为c ，那么，是否存在这样一个惯性系，光子在这个惯性系中的速率不等于c ？ 答：由洛伦兹速度变换公式可知，如果光子在一个惯性系中的速率为c ，那么，对于任一个惯性系，光子在这个惯性系中的速率c c c 1c 2 =- -= 'u u υ， 因此不存在使光子在其中速率不等于c 的惯性系． 8-3物体速度可以达到光速吗？有这样的观点说光速是运动物体的极限速度，该观点正确吗？ 答：从＂相对论的速度相加定律＂可以得出结论：一切物体的运动速度都不能超过光速，光速是物质运动（信号或能量传播）速度的极限． 8-4根据相对论的理论，实物粒子在介质中的运动速度是否有可能大于光在该介质中的传播速度？ 答：相对论只给出真空中的光速是一切物质运动的极限速度．由于光在任何介质中的传播速度都小于c ，所以实物粒子在介质中的运动速度有可能大于光在介质中的传播速度． 8-5在同一惯性系中，两个不同时发生的事件满足什么条件才可以找到另一惯性系使它们成为同时的事件？在一个惯性系中两个不同地点发生的事件又要满足什么条件才可以找到另一惯性系使它们成为同一地点发生的事件？ 答：在同一惯性系中，两个不同时发生（21t t ≠）的事件若找到另一惯性系使它们成为
课堂互动 三点剖析 1.经典的相对性原理，狭义相对论的两个基本假设 经典的相对性原理：力学规律在任何惯性系中都是相同的. 狭义相对论的两个基本假设： （1)狭义相对性原理：在不同的惯性系中，一切物理规律都是相同的. （2)光速不变原理：真空中的光速在不同的惯性系中都是相同的. 2.“同时”的相对性 在狭义相对论的时空观中认为：同时是相对的，即在一个惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在另一个惯性系中不一定是同时的. 各个击破 【例1】判断是否正确：伽利略的相对性原理和爱因斯坦相对性原理是相同的. 解析：伽利略相对性原理适用低速，爱因斯坦的相对论适用于高速. 答案：错. 类题演练1 牛顿的经典力学只适用于_____________和_____________. 答案：宏观低速 【例2】考虑几个问题： （1)如图5-1-1所示，参考系O′相对于参考系O静止时，人看到的光速应是多少？ 图5-1-1
（2)参考系O′相对于参考系O以速度v向右运动，人看到的光速应是多少？ （3)参考系O相对于参考系O′以速度v向左运动，人看到的光速又是多少？ 解析：根据狭义相对论理论，光速是不变的，都应是c. 答案：三种情况都是c. 类题演练2 为光速不变原理提供有力证据的实验是什么实验？ 答案：麦克耳孙——莫雷实验. 【例3】试说明“同时”的相对性如图5-1-2所示，火车以v匀速直线运动，车厢中央有一闪光灯发出光信号，光信号到车厢前壁为事件1，到后壁为事件2；地面为S系，列车为S′系. 图5-1-2 在S′系中，A以速度v向光接近，B以速度v离开光，事件1与事件2同时发生. 在S系中，光信号相对车厢的速度v′1=c-v,v′2=c+v,事件1与事件2不是同时发生.即S′系中同时发生的两个事件，在S系中观察却不是同时发生的.因此，“同时”具有相对性. 类题演练3 地面上A、B两个事件同时发生，对于坐在火箭中沿两个事件发生地点连线从A到B飞行的人来说哪个事件先发生？ 答案：B事件先发生
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狭义相对论基础习题解答 一选择题 1. 判断下面几种说法是否正确 ( ) (1) 所有惯性系对物理定律都是等价的。 (2) 在真空中，光速与光的频率和光源的运动无关。 (3) 在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向传播的速度都相同。 A. 只有 (1) (2) 正确 B. 只有 (1) (3) 正确 C. 只有 (2) (3) 正确 D. 三种说法都正确 解：答案选D 。 2. (1)对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点、同一时刻的两个事件，对于相对该惯性系作匀速直线运动的其它惯性系中的观察者来说，它们是否同时发生？ (2)在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事件，它们在其它惯性系中是否同时发生？ 关于上述两个问题的正确答案是：( ) A. (1) 同时， (2) 不同时 B. (1) 不同时， (2) 同 时 C. (1) 同时， (2) 同时 D. (1) 不同时， (2) 不 同时 解：答案选A 。 3．在狭义相对论中，下列说法中哪些是正确的？( ) （1）一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真空中的光速. （2）质量、长度、时间的测量结果都随物体与观察者的相对运动状态而改变 （3）在一惯性系中发生于同一时刻，不同地点的两个事件在其他一切惯性系中也是同时发生的. （4）惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对运动的时钟时，会看到这时钟比与他相对静止的相同的时钟走得慢些。 A. (1)，(3)，(4) B. (1)，(2)，(4) C. (1)，(2)，(3) D. (2)，(3)，(4) 解：同时是相对的。 答案选B 。
6.1相对论的基本原理和时空理论 认为时空和质量的测量有绝对意义,与观测者所处的参考系无关,这种绝对时空和绝对质量观念是经典力学的“公理”基础,其集中反映便是伽俐略变换.但从19世纪末年起,人们发现这种观念与电磁现象和高速运动的实验事实不符. 在迈克尔孙等人光速测量实验的基础上,爱恩斯坦于1905年创立了狭义相对论.这一理论的两个基本假设是: 相对性原理——物理定律在所有惯性系都有相同的形式； 光速不变原理——真空中的光速在所有惯性系沿任何方向都是常数c,与光源的运动无关. 间隔不变性间隔不变性是相对性原理与光速不变原理的数学表述.设惯性系中,任意两事件的空时坐标为和 ,定义两事件的间隔为 (6.1)在另一惯性系中,这两事件的空时坐标为,,间隔为 (6. 2)
惯性系概念要求空时坐标变换必须是线性变换,即,,而当两个惯性系的相对速度时,这两个惯性系将等同于一个惯性系.因而对任何两个惯性系,应当有 (6.3) 洛伦兹变换设惯性系以速度沿惯性系的x轴正向运动,两参考系相应坐标轴平行,时两参考系的原点重合(一个事件),由(6.3)式,可导出任一事件的空时坐标从系到系的变换——洛伦兹变换 ,,, (6.4) 其中 , (6.5)将(6.4)式中的换为,可得逆变换.当, (6.4)过渡到伽俐略变换. 因果律与相互作用的最大传播速度洛伦兹变换表明,时空的测量有相对意义,即测量结果与观测者所处的参考系有关,这是相对论时空观的一个方面.另一方面,是认为事物发展变化的因果关系有绝对意义,即因果关系不因参考系的变换而改变,从时间次序来说,就是在一个惯性系中,作为结果的事件必定发生在作为原因的事件之后,变换到任何其它惯性系,都必须保持这一时间次序.从这一要求出发,由