工程数学积分变换课程设计
一、题目说明
本设计任务主要目的是让学生掌握积分与微分方程、傅里叶变换、拉普拉斯变换等工程数学常见方法，同时结合工程实际问题进行分析和应用。
二、设计内容
1. 基本理论
通过讲解积分的概念及性质，引导学生理解积分与微分之间的关系，掌握积分的基本法则。同时，介绍傅里叶变换与拉普拉斯变换的概念及性质，掌握基本的变换公式。
2. 经典案例分析
结合生产、生活等实际问题，选取经典案例进行分析，例如：
1.电路中的常微分方程分析；
2.信号的傅里叶变换与频谱分析；
3.电路的拉普拉斯变换谱分析。
3. 数学模型求解
通过具体案例，引导学生掌握如何根据实际问题建立数学模型，并结合积分变换方法进行求解。
4. 课程作业
要求学生完成一到两个作业，例如：
1.根据某个实际问题建立数学模型，并分析其中涉及的微分方程，然后
求解出方程的解析式；
2.根据一段信号，计算出信号的傅里叶变换，并解释其频率与幅度的意
义。
三、设计目标
本设计任务的主要目标为：
1.培养学生对线性微分方程与变量分离的掌握能力；
2.培养学生对傅里叶变换和拉普拉斯变换等知识的理解和掌握；
3.提高学生解决实际问题的能力，锻炼学生对数学建模的能力；
4.提高学生的表达和写作能力。
四、设计方法
通过实例分析、概念讲解和数学模型求解的方法，让学生逐步理解积分变换的概念及其应用，并结合实际问题进行练习和作业。
五、设计评价
通过课程设计，学生能够系统地掌握积分变换中的基本理论和方法，也能够将积分变换与实际问题相结合，锻炼解决实际问题的能力和创新思维。同时，要求学生完成的作业可以对他们的数学建模和解决问题能力进行评价。
六、参考文献
1.《工程数学》（第五版），王建林主编，北京：高等教育出版社，
2015年。
2.《傅里叶变换及其应用》（第二版），斯莱洛夫、利昂德尔著，朱前
炜、刘涛译，北京：科学出版社，2008年。
3.《拉普拉斯变换及其应用》（第二版），斯莱洛夫、利昂德尔著，刘志华、刘彦鹏译，北京：高等教育出版社，2014年。
《复变函数与积分变换》教学大纲 课程名称：复变函数与积分变换适用专业：机电工程 学分：3学分学时：69学时主撰人：张建华 一、本课程的性质、地位和作用 本课程是工科类各专业的一门重要的基础理论棵。包括复变函数和积分变换两部分内容。其中复变函数研究复变量复值函数的解析性质、微分和积分、罗朗展开以及保角映射，是实变函数微积分学的推广，具有独特的研究方法。解析函数是复变函数的中心内容；而留数的计算和应用以及保角映射是复变函数特有的课题。积分变换又称运算微积，是通过积分变换把一个函数转化为更容易处理的另一种函数。积分变换包括傅立叶变换和拉普拉斯变换，可以应用它们求解具有初值条件和边值条件的常系数线性微分方程、微分方程组和微分积分方程。 通过本课程的学习，应使学生掌握复变函数的解析性质、求导及积分的方法；能熟练地利用留数计算围道积分和实函数的定积分；掌握将复变函数在奇点展开为罗朗级数的方法；掌握用积分变换求解微分方程的方法；……，从而为工科学生以后学习工程力学、电工学、振动力学、机械控制基础、数字信号与系统、模拟电路等后继课程奠定必要的基础。另外，也将进一步提高学生的辨证思维能力。 二、课程教学的基本要求 通过本课程的学习要求学生系统获得复变函数与积分变换基本知识，切实掌握有关内容的基本概念、基本理论、和基本方法与技巧，并具有比较熟练的运算能力和初步解决实际问题的能力；同时培养学生的抽象思维能力和一定的逻辑推理能力，为学习后继课程奠定坚实的基础。 三、本课程与其他课程的关系 本课程与高等数学有极其密切的关系。如与高等数学中的导数、积分、级数、微分方程等都直接相关。因此，欲学好本课程，必须熟练掌握高等数学中的相关知识。本课程是一门重要的基础理论课，它与工程力学、电子技术、电工、自动控制等后继课程的联系十分密切。因此，掌握本课程的主要内容，对学好上述后继课程会有很大帮助。 四、教学时数分配表
第1次 复变函数（1） 一、填空题。 1. 设(1)(2)(3) (3)(2) i i i z i i +--= ++，则z =__________ 2. 设z =, 3arg()4 z i π -= ,则z=________________ 3. 不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线_______________的内部。 4. 复数i 31-的三角表达式为 二、请计算i +1的值。 三、已知21z z 和是两个复数，证明)Re(2212 2212 21z z z z z z ++=+ 四、下列坐标变换公式写成复数形式； 1） 平移公式：11 11 x x a y y b =+??=+?，
2）旋转公式：1111 cos sin sin cos x x y y x y αα αα=-??=+? 五、指出下列各题中点z 的轨迹或所在范围，并作图。 1）56z -=； 2）21z i +≥； 3)314z z +++=。 4) 3 12 z z -≥- 六、将下列方程（t 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出： 1）(1)z t i =+； 2）t ib t a z sin cos += (b a ,为实常数) 3）2 2i z t t =+ 。 4) it it z ae be -=+
第2次 复变函数（2） 一、填空题 1. 2 4 1lim (12)z i z z →+++=________________ 2. 由映射2 )(z z f =得到的两个二元实函数=),(y x u =),(y x v . 3. 函数z z z f = )( 在0→z 时极限为 4. 已知映射3 z =ω, 则点i z =在该映射下在ω平面的象为 二、对于映射11 ()2w z z =+，求出圆周|z|=4的像。 三、函数1 w z = 把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上怎样的曲线？ 1）2 2 4x y +=； 2） y x =。 3) 1x =。 4) 2 2 (1)1x y -+=.
《积分变换》课程教学大纲 课程编号：0701111012 课程名称：积分变换 英文名称：Integral Transformation 课程类型：公共基础课 总学时：16 讲课学时：16 实验学时： 学分：1 适用对象：康尼学院四年制本科工科类各专业 先修课程：高等数学 一、课程性质、目的和任务 《积分变换》不仅在数学的许多分支中, 而且在自然科学及工程技术、电子信号与系统分析等领域中，均有着广泛的应用。它是一种常用的工具，其主要目的是通过积分变化运算，把一个域中的函数变成另一个域中的函数，将复杂的运算化为简单运算。应用积分变换可求解某些积分方程、微分方程及计算某些积分，尤其适用于求解常系数线性微分方程及微分方程组. 二、教学基本要求 通过对本课程的学习, 使学生了解傅立叶变换和拉普拉斯变换的基本概念和基本性质,能求解一些常见函数对变换, 并能有效地运用这两种变换达到上述目的, 为今后学习有关专业的后继课程奠定必要的数学基础. 三、教学内容及要求 (一)傅立叶(Fourier)变换 教学内容 傅氏积分公式傅立叶变换的概念单位脉冲函数及其傅立叶变换非周期函数的频谱傅立叶变换的性质卷积与卷积定理 学习要求 1. 知道傅氏积分、余弦傅氏积分、正弦傅氏积分的概念, 会用傅氏积分公式求某些函数傅氏积分; 2. 知道傅氏变换、余弦傅氏变换、正弦傅氏变换的概念, 掌握一些简单函数的傅氏变换的求法; 3. 知道单位脉冲函数( 函数)的概念, 掌握其特点、性质; 4. 记住单位脉冲函数、单位阶跃函数、指数衰减函数、三角函数的傅氏变换; 5. 知道傅氏变换的物理意义—频谱; 6. 掌握傅氏变换的基本性质: 线性性、位移性、微分性、积分性、相似性，熟练掌握利用性质求函数的傅氏变换的方法; 7. 知道卷积定理. (二) 拉普拉斯（Laplace）变换 教学内容 拉普拉斯变换及拉普拉斯变换存在定理拉普拉斯变换的性质拉普拉斯逆函数卷积与卷积定理拉普拉斯变换的应用 学习要求 1. 理解拉氏变换的概念, 知道拉氏变换的存在定理; 2. 记住单位脉冲函数、单位阶跃函数、指数衰减函数、正弦函数、余弦函数和幂函数拉氏变换; 3. 掌握拉氏变换的基本性质: 线性性、相似性、位移性、微分性、积分性和延迟性, 并能熟练地运用这些性质求拉氏变换;
第1章 引 言 1.1 课程设计的意义 高等学校的实践教学一般包括课程实验、综合性设计(课程设计)、课外科技活动、社会实践、毕业设计等，基本上可以分为三个层次： 第一，紧扣课堂教学内容，以掌握和巩固课程教学内容为主的课程实验和综合性设计； 第二，以社会体验和科学研究体验为主的社会实践和课外科技活动； 第三，以综合应用专业知识和全面检验专业知识应用能力的毕业设计。 课程实践(含课程实验和课程设计)是大学教育中最重要也最基础的实践环节，直接影响后继课程的学习以及后继实践的质量。由于课程设计是以培养学生的系统设计与分析能力为目标，通过团队式合作、研究式分析、工程化设计完成较大型系统或软件的设计题目的，因此课程设计不仅有利于学生巩固、提高和融合所学的专业课程知识，更重的是能够培养学生多方面的能力，如综合设计能力、动手能力、文献检索能力、团队合作能力、工程化能力、研究性学习能力、创新能力等。 《常微分方程课程设计》（Curriculum Design of the Ordinary Differential Equations ）是一门继《数学实验》和《常微分方程》（ODE ）之后开设的实验性课程，主要是指导性的讲解方程求解的数值方法和软件编程(如MATLAB ，MATHMATIC ，FORTRAN 等)并实现方程的解析解与数值解可视化分析的一个集中实践教学环节。其宗旨在于培养学生运用计算机分析求解方程的能力，了解通过数学模型去解决实际问题的全过程，提高常微分方程课堂教学后的理解和应用效果，同时激发和提高同学们对于具有工程背景的科学研究的热情。 课程设计不仅仅是以实现相应的程序为目标，更重要的是在完成课程设计的过程中逐步培养今后遇到问题而去解决问题的能力，培养从事计算机应用开发所需要的各种能力与素质。因此，在课程设计实施中，不仅需要完成程序并进行测试，还需要撰写相应的课程设计报告。课程设计报告不仅是对课程设计的总结，也是对软件文档写作能力的初步训练。 1.2 课程设计的主要内容和方法 常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具，它在几何、力学、物理、电子技术、自动控制、航天、生命科学、经济等领域都有着广泛的应用。这些应用也为微分方程的进一步发展提出了新的问题，促使人们对微分方程进行更深入的研究，以便适应科学技术飞速发展的需要。 微分方程的首要问题是如何求一个给定方程的同解或特解。到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的初等积分方法。 例如一阶常系数微分方程1dy dt y =+可化为(1)dy y dt +=，两边积分可得通解为1-=t ce y ，其中c 为任意常数。 有些常微分方程可用一些技巧，如分离变量法，积分因子法，常数变异法，降阶法等可化为可积分的方程而求得解析解(显式解)。另外，线性常微分方程的解满足叠加原理，从而其求解可归结为求一个特解和相应齐次微分方程的通解。一阶变系数线性微分方程总可用这
浅谈积分变换的应用 学院：机械与汽车工程学院 专业：机械工程及自动化 年级：12级 姓名：郑伟锋 学号：201230110266 成绩： 2014年1月
目录 1.积分变换的简介 (3) 1.1积分变换的分类 (3) 1.2傅立叶变换 (3) 1.2拉普拉斯变换 (4) 1.3梅林变换和哈尔克变换 (5) 1.3.1梅林变换 (5) 1.3.2汉克尔变换 (6) 2.各类积分变换的应用 (6) 2.1总述 (6) 2.2傅立叶变换的应用 (6) 2.2.1傅立叶变换在图像处理中的应用 (6) 2.2.2傅立叶变换在信号处理中的应用 (7) 2.3拉普拉斯变换的应用 (8) 2.3.1总述 (8) 2.3.2 运用拉普拉斯变换分析高阶动态电路 (8) 参考文献 (9)
1.积分变换的简介 1.1积分变换的分类 通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。已知?(x)，如果 存在（α、b可为无穷）,则称F(s)为?(x)以K(s,x)为核的积分变换。 积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。 1.2傅立叶变换 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。其定义如下 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换
工程数学教学大纲 一、总纲 《工程数学》包括两部分内容：第一部分“积分变换”，提供一点复变函数的基本知识，并为信号的处理和分析提供必备的数学工具，第二部分“概率统计”，提供概率论的一些基本知识，并为数据的处理和分析提供必备的数学工具。 本课程是广播电视大学工科各专业的必修基础课之一（机械、土建只修概率统计）。 二、内容 第一部分复变函数与积分变换 第一章复变函数 1、复数与复变函数 2、可导与解析 3、积分概念与积分公式 4、极点和留数 第二章积分变换 1、付氏级数的复数形式 2、付氏积分与付氏变换 3、付氏变换的性质 4、拉氏变换及其性质 5、常用拉氏变换公式
6、拉氏反变换的求法 第二部分概率与数理统计 第三章概率基础 1、事件与概率 随机现象，随机事件，事件的概率，加法公式。 2、条件概率与独立性 条件概率，乘法公式，独立性。 3、随机变量 概念，概率分布与分布密度。 4、几种常见的分布 二项分布与泊松分布，均匀分布与指数分布，正态分布（正态分布密度，正态分布函数，查表方法）。 5、联合分布与独立性 联合分布，边缘分布，随机变量的独立性。 6、期望与方差 期望值，方差，期望、方差的性质。 7、大数定律与中心极限定理 切比雪夫不等式，大数定律，中心极限定理。 第四章统计推断 1、基本概念 总体、样本，直方图，统计量。 2、参数估计
最大似然估计，无偏估计，区间估计（正态总体已知方差的均值估计）。 3、假设检验（正态总体） 已知方差的均值检验，未知方差的均值检验（t检验），方差的检验（x2检验），两个下态总体的比较。 4、1→1回归 概念，最小二乘估计。 5、检验与预测 平方和分解，F检验，预测。 大纲说明 一、课程的目的和任务 《工程数学》是电大工科各专业（机械和土建只修概率统计）的必修基础课，是为培养适应四个现代化需要的大专层次的应用型工程技术和工程管理人才而设置的目的定为学习电工原理、电路分析、自动控制原理、系统管理工程、工程规划与设计等专业基础课提供必备的基础数学知识和分析方法。 二、课程的基本要求 第一章复变函数 1、理解复变函数的概念。 2、理解复变函数的可导与解析的概念，会求导数。 3、了解复变函数的积分概念，知道柯西公式。 4、掌握函数在极点处的留数计算公式。 重点：解析函数的概念及留数的计算。 教学建议：解析函数只要会判别；能分清可导与解析；简单介绍积分概
《工程数学》课程教学大纲(本科用) （总学时数：48 学分数：3） 本课程包括《复变函数》和《积分变换》两部分。 第一部分《复变函数》 一、课程的性质、任务和目的 复变函数是高等院校工科有关专业的一门必修的基础理论课。通过本课程的学习使学生初步掌握该课程的基础概念、基础理论与基础方法，为学习后课程及进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。在教学的同时，通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题和逻辑推理能力、基础的运算和自学能力，特别注意培养学生具有较强的综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。 二、课程基本内容和要求 复数与复变函数 一）基本内容 基本概念：复数、区域、复球面与无穷远点、复变函数的极限与连续 基本理论：复数的表示、闭区域上连续函数的性质 基本方法：复数的运算法则、复平面上曲线、区域的表示方法 二）教学要求 1、熟练掌握复数的各种表示方法及其运算 2、了解区域、简单曲线的概念，掌握用复数式表达常见区域、简单曲线的方法 3、了解复球面与无穷远点 4、理解复变函数及映射的概念 5、理解复变函数的极限和连续的概念，了解闭区域上连续函数的性质 解析函数 一）基本内容 基本概念：复变函数的导数及复变函数解析、调和函数、常见的初等函数（指数函数、三角函数、双曲函数、
对数函数及幂函数） 基础理论：复变函数解析的充要条件、调和函数和解析函数的关系 基础方法：导数的计算、由解析函数的实（虚）部求其虚（实）部 二）教学要求 1、理解复变函数的导数及复变函数解析的概念 2、掌握复变函数解析的充要条件 3、了解调和函数的概念及其与解析函数的关系，会从解析函数的实（虚）部求其（实）部 4、了解指数函数、三角函数、双曲函数、对数函数及幂函数的定义及它们的主要性质（包括在单值域中 的解析性），会进行有关计算 复变函数的积分 一）基本内容 基本概念：积分的定义、原函数与不定积分 基本理论：柯西积分定理、连续变形原理、柯西积分公式、高阶导数公式 基本方法：复变函数积分的计算 二）教学要求 1、理解复变函数积分定义及性质，会通过两个二元实函数的线积分求复变函数的积分 2、理解柯西积分定理及其在多连通域内的推广 3、掌握柯西积分公式，连续变形原理公式 4、掌握解析函数的高阶导数公式，了解解析函数无限次可导的性质 级数 一）基本内容 基本概念：复数项级数收敛、发散及绝对收敛等概念、幂级数和洛朗级数及其收敛与发散的概念、孤立奇点基本理论：阿贝尔定理、幂级数（洛朗级数）在收敛圆（收敛圆环）内的一些性质、泰勒（洛朗）展开定理基本方法：幂级数（洛朗级数）的收敛范围的确定、圆域（圆环域）内的解析函数的幂级数（洛朗级数）展
微积分教程第二版课程设计 一、课程简介 微积分作为数学重要的分支之一，在科学和工程领域都有着广泛的应用。本课 程旨在帮助学生深入了解微积分的理论和应用，了解微积分的基础概念、技术和工具，提高学习数学的能力和应用能力。本课程针对大一或大二学生，需要具备高中数学的基础。 二、课程目标 •熟悉微积分的基本概念和技术，能够识别和应用微积分的基础知识。 •理解微积分的应用场景，同时掌握微积分的基础技术和应用技巧。 •培养学生的数学思维和独立思考能力，为其今后在学术和职业领域做好准备。 三、课程内容 1. 微积分基础 （1）导数 •定义、求导法则、导数的应用、高阶导数和封闭形式的解法。 （2）积分 •不定积分、定积分和微积分基本定理以及曲线的长度、曲面的面积、物理问题的应用。 2. 微积分拓展 （1）微分方程 •基础概念、一阶微分方程、高阶微分方程、常微分方程和偏微分方程。
（2）多元微积分 •多元函数、偏导数和全微分、多元函数的积分、向量场和曲线积分、曲面积分、微积分基本定理的推广。 （3）级数和一些应用 3. 成绩考核和评价 （1）作业 每周会布置一些练习题，每个人需要提交课堂上讲的某个具体例题的解答。 （2）小组项目 每个小组会被分配一个具体的应用场景，需要研究微积分在该场景中的应用，并制作报告。 （3）期末考试 期末考试会考察分析概念理解和应用能力。 四、参考书目 1.《微积分入门》； 2.《微积分的应用》； 3.《微积分教程》第二版。 以上参考书目均可在图书馆中借阅或购买。 五、教学方式和学生支持 本课程将采用面授、讨论、课堂演示和作业交流等教学方式。另外，学生可以在任课老师的办公室时间与助教或老师面谈，或通过QQ、微信等社交软件进行咨询。
大学数学教程-微积分2课程设计 一、课程简介 本课程是大学数学教程-微积分2的课程设计，主要内容包括：•不定积分的计算方法 •定积分的性质及计算方法 •微积分基本定理及其应用 •函数的级数展开 本课程适合大学数学专业的学生学习，课程时间为16周，每周2个课时。 二、教学目标 1.掌握不定积分的计算方法，能够熟练地对各种形式的函数 进行不定积分的计算； 2.掌握定积分的性质和计算方法，能够熟练地解决面积、体 积、重心等问题； 3.理解微积分基本定理，能够应用微积分基本定理解决实际 问题； 4.了解函数的级数展开的基本概念与方法，并能够应用级数 展开做出一些简单的近似计算。
三、教学重点和难点 本课程的教学重点是微积分基本定理及其应用和函数的级数展开； 教学难点是函数的级数展开。 微积分基本定理和函数的级数展开是微积分中的重要内容，但是对 于一些刚接触微积分的学生而言，这两个知识点可能较难理解。因此，在教学中需要采用生动形象的教学方法，结合实例进行讲解，让学生 通过实际操作和练习，逐渐理解这些概念和方法。 四、教学内容和学时安排 第一周 课程内容 •不定积分及其基本性质 •不定积分的基本计算方法：代换法和分部积分法学时安排 •第1课时：不定积分及其基本性质 •第2课时：不定积分的基本计算方法 第2-3周 课程内容 •定积分及其基本性质 •反常积分及其收敛性
学时安排 •第3-4课时：定积分及其基本性质 •第5-6课时：反常积分及其收敛性 第4-7周 课程内容 •微积分基本定理及其应用 •定积分计算方法：几何意义法、变限积分的求导法、牛顿-莱布尼茨公式等 学时安排 •第7-8课时：微积分基本定理及其应用 •第9-10课时：定积分计算方法 第8-16周 课程内容 •函数的级数展开：泰勒展开、麦克劳林展开 •常微分方程简介及其基本概念 学时安排 •第11-12课时：函数的级数展开 •第13-16课时：常微分方程简介及其基本概念 五、教学方法 本课程采用“课堂教学+实验练习”的教学模式。具体方法如下：
工程数学积分变换教学设计 前言 工程数学中，积分变换是一个非常重要的概念和技能。积分变换可以帮助我们 将一个复杂的函数转换成为另一个形式简单的函数，这对于工程实践中需要使用的数学分析非常有用。因此，在工程数学的教学中，积分变换的教学是必不可少的。 本文将介绍一种基于课堂实践的工程数学积分变换教学设计，通过这种教学设计，可以使学生更好地理解积分变换的概念和技能，提高数学分析的实际应用能力。 教学目标 本文的教学设计旨在帮助学生达到以下目标： 1.理解积分变换的概念和基本原理； 2.掌握积分变换的常用技能和方法； 3.能够将工程实践中的问题转换为数学模型，并成功进行积分变换求解； 4.发展数学分析的实际应用能力。 教学内容 课程概述 本课程将涵盖以下内容： 1.积分变换的概念和基本原理； 2.常用的积分变换方法和技能； 3.基于工程实践的积分变换案例分析。 课程设计 本课程设计包含以下步骤：
第一步：理解积分变换的概念和基本原理 首先，我们将介绍积分变换的概念和基本原理。通过数学公式和实例，让学生 了解积分变换的基本概念，并帮助他们理解积分变换的原理和目的。 第二步：掌握积分变换的常用技能和方法 在了解了积分变换的基本原理之后，我们将进一步介绍积分变换的常用技能和 方法。通过大量的练习和案例分析，让学生掌握积分变换的常用技能和方法，并能够流利地应用到实际问题中。 第三步：基于工程实践的积分变换案例分析 最后，我们将引导学生通过案例分析来应用他们所学的积分变换知识和技能。 案例将选取与工程实践相关的典型问题，例如杆件力学分析、电路分析，让学生将问题转换为数学模型，并成功进行积分变换求解。 教学方法 本课程的教学方法主要包括以下几种： 1.集体讲授：通过课件、板书等形式，向学生介绍积分变换的概念、原 理和常用技能； 2.个性化辅导：针对学生掌握程度不同的问题，进行个性化辅导和指导； 3.案例分析：以工程实践为背景，引导学生将问题转换为数学模型，并 进行积分变换求解，帮助学生将理论转化为实践。 教学评估 为了评估学生的学习效果，本课程将采用以下教学评估方式： 1.平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况等； 2.期末考试：主要考察学生对积分变换的掌握程度和应用能力； 3.课程设计：对基于工程实践的积分变换案例分析的完成情况进行考核。
《复变函数与积分变换》课程教学大纲 一、课程基本信息 二、课程教学目标 本课程的学习可以为学生学习后继课程和解决实际问题提供必要的数学基础。同时，通过各教学环节，逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力，初步抽象概括问题的能力，自学能力以及一定的逻辑推理能力。另外，通过教学使学生了解复变函数与积分变换的一些基本知识，逐步培养利用这些知识解决实际问题的能力。 第一，通过课程学习，提高学生的计算能力，主要是提高学生求解析函数、复积分、留数的计算能力。 第二，通过课程学习，提高学生的自学能力，主要是提高学生自主学习的能力。 第三，通过课程学习，提高学生的分析问题与解决问题的能力，主要是提高学生能利用所学的复变函数与积分变换知识去分析和解决一些实际问题的能力。 三、教学学时分配 《复变函数与积分变换》课程理论教学学时分配表
＊理论学时包括讨论、习题课等学时。 四、教学内容和教学要求 第一章复数与复变函数（7学时） （一）教学要求 1．理解复数的概念，掌握复数的表示方法； 2．掌握复数的四则运算、乘方与开方运算； 3．了解复平面上点集的基本概念，理解区域的概念，了解无穷远点的概念； 4．掌握复变函数的概念，了解复变函数极限与连续性。 （二）教学重点与难点 教学重点：复数的表示方法,复数的四则运算、乘方与开方运算，区域，复变函数的概念。 教学难点：复数的乘方与开方运算，区域，复变函数的极限与连续性。 （三）教学内容 第一节复数 1．复数的概念 2．共轭复数及复数的四则运算 第二节复平面及复数的三角表达式 1．复平面 2．复数的模、辐角及三角表达式 3．复数模的三角不等式 4．利用复数的三角表达式作乘除法 5．复数的乘方和开方 第三节平面点集 1．邻域与开集 2．区域、简单曲线 3．单连通区域与多连通区域 4．无穷远点 第四节复变函数 1．复变函数的概念 2．复变函数的极限和连续性 本章习题要点： 1．复数的模和辐角； 2．复数的三角表达式； 3．利用复数的三角表达式作乘除法、乘方和开方运算。 第二章解析函数（5学时） （一）教学要求 1．理解解析函数的概念，掌握柯西－黎曼条件；
高等工程数学第三版课程设计 简介 高等工程数学是一门非常重要的典型数学课程，在工程学科中起到了举足轻重 的作用。高等工程数学包括微积分、线性代数等数学内容，是后续工程学科的基础。 本文档旨在介绍高等工程数学第三版的课程设计，在此过程中，将针对一些经 典的数学问题，进行一些深度探讨，以期通过实践来加深对于高等工程数学的理解和巩固。 课程设计 1. 极限和连续性 1.1 用极限的定义证明函数在某一点不连续 极限是高等工程数学中的重要概念，学生通过学习极限理论，能够更深入地理 解函数的性质。 本问题思路：构造一个函数f(x)，使它在某一点不连续，用极限的定义证明这一点不连续。 1.2 利用拉格朗日中值定理求极限 拉格朗日中值定理是一种非常实用的数学方法，可以帮助我们在不知道具体数 值的情况下，计算出很多极限和函数值。 本问题思路：给定一个函数f(x)，要求计算limx→0f(x)，用拉格朗日中值定 理求解。
2. 函数与导数 2.1 求平面曲线的切线方程 函数的导数是高等工程数学中的重要概念之一，它能够通过研究函数的变化率，揭示函数的许多特性。 本问题思路：给定一个函数曲线，要求求出某一点处的切线方程。 2.2 求函数的最值及其所在点 函数的最大值和最小值是在很多问题中经常需要计算的量，例如在优化问题中，我们需要找到某个函数的最优值。 本问题思路：给定一个函数f(x)，要求求出它的最大值和最小值及其所在点。 3. 多元函数与二重积分 3.1 三维空间曲面积分 曲面积分是一种非常实用的数学工具，它可以帮助我们计算某个空间图形的面积。 本问题思路：给定一个空间曲面，求解其面积。 3.2 二元函数网格化及重心计算 网格化是将连续的曲面离散化的过程，重心是一个几何中常见的概念，在众多 应用中被广泛使用。 本问题思路：给定一个二元函数f(x,y),将它离散化成n*m个网格，求解网格 的重心。
两种积分变换及其应用 摘要:本文采用付氏变换和拉氏变换两种方法给出几个常用偏微分方程和常微分方程的求解方法,以及两种积分变换的其他应用. 关键词:积分变换方程广义积分 在自然科学和工程技术中,为了把较复杂的运算转化为较简单的运算,人们常常采用所谓变换的方法来达到目的。在工程数学里积分变换能够将分析运算(如:微分,积分)转化为代数运算。正是积分变换的这一特性,使得它在微分方程和其他方程的求解中成为重要方法之一。 所谓积分变换,就是把某函数类A中的函数,经过某种可逆的积分手续 变成另一函数类B中的函数, 称为的像, 称为的原像。在这种变换之下,原来的偏微分方程可以减少自变量的个数,直至变成常微分方程,原来的常微分方程,可以变成代数方程,从而使在函数类B中的运算简化,找出在B中的一个解;再经过逆变换,便得到原来要在A中所求的解,而且是显示解。 1 基本概念 傅氏积分定理若函数在任何有限区间上满足狄利克雷条件,且在无限区间上绝对可积,则有 在的连续点处有 (1) 此式称为傅氏积分公式。 傅氏变换在傅氏积分公式(1)中,记 (2) 则有(3) (2)式称为函数的傅氏变换,记为,(3)式称为函数的傅氏逆变换,记为 利用傅氏变换求解微风方程时,会遇到一些困难,傅氏变换存在的条件是除
满足狄利克雷条件以外,还要在上绝对可积,许多常见的初等函数,例如,常数函数、多项式、正弦与余弦函数等都不满足这个要求。为了解决上述问题,人们转而讨论拉氏变换。 拉氏变换设在上有定义,且积分( 为一复参变量)在的某一区域内收敛,则由此积分所确定的的函数 称为函数的拉氏变换,记为,而称为拉氏逆变换,记为 2 利用积分变换解偏微分方程 例1.求解弦振动方程的哥西问题: 解对(1),(2),(3)的两端关于分别进行傅氏变换,并记 利用原象的导数定理,得到带参数的常微分方程的哥西问题 其解是 于是原定解问题的解为 由逆变换公式,得 例2. 求解半无界弦的振动问题 其中为充分光滑的已知函数. 解对方程两端关于变量作拉氏变换,记 由拉氏变p由像函数的微分性质 得 例4.求微分方程满足的解 解设,这是一个变系数二阶微分方程,两边取拉氏变换,再利用拉氏变换的性质,得 将方程两边取拉氏变换并代入初始条件 即这是关于的一阶线性常微分方程
积分变换-工程数学教学设计 前言 积分变换是工程数学中的一个重要内容，其中主要涉及拉普拉斯变换和傅里叶变换两个部分。本文将探讨在工程数学教学中如何设计积分变换的课程，并提供一些实用的教学方法。 知识点概述 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换是一种基于时间函数的迁移操作。它被广泛应用于工程数学和控制工程领域，例如在电路分析中，它可以转换微分方程为代数方程，从而得到简化的电路模型。 傅里叶变换 傅里叶变换是一种基于频率函数的迁移操作。与拉普拉斯变换不同，它不区分时域和频域，广泛应用于信号处理、图像处理等领域。 教学设计 目标设定 明确教学目标，是制定教学设计的重要一步。在积分变换的教学中，我们的教学目标主要包括： 1.理解积分变换的基本概念和理论； 2.掌握拉普拉斯变换和傅里叶变换的计算方法和应用； 3.能够将微分方程和积分方程转换为代数方程； 4.能够应用积分变换解决实际问题。
教学内容 在明确了教学目标后，我们可以开始设计教学内容。根据教学目标，积分变换 的教学内容主要包括以下几个部分： 1. 拉普拉斯变换 1.1 拉普拉斯变换的定义和性质； 1.2 拉普拉斯变换的计算方法； 1.3 拉普 拉斯变换的应用，例如在电路分析中的应用。 2. 傅里叶变换 2.1 傅里叶变换的定义和性质； 2.2 傅里叶变换的计算方法； 2.3 傅里叶变 换的应用，例如在信号处理中的应用。 3. 积分变换的应用实例 3.1 将微分方程和积分方程转换为代数方程的应用实例； 3.2 应用积分变换 解决实际问题的应用实例。 教学方法 仅仅有了教学目标和教学内容，并不足以保证课程质量。教学方法也至关重要。针对积分变换的教学，我们可以采用以下几种教学方法： 1. 认知导向教学 积分变换涉及的概念和理论较为抽象，学生容易迷失在公式和符号中。因此， 我们可以采用认知导向教学方法，引导学生理解公式和符号背后的物理意义，让学生明确知识的应用价值和意义。
《工程数学二》课程教学大纲 数学与自然科学类、工程基础类、专业基础类、专业类、工程实践与毕业设计（论文）、人文社会科学类；学分学时处（）内为实验学时。 一、课程简介 《工程数学X2》的理论和方法广泛应用于电子信息工程、电气工程、通讯工程、自动化等相关学科，并且已经成为解决众多理论和实际问题的强有力工具，成为了众多工科专业的一门重要的基础理论课程。对于本专业而言，该课程是学习《信号与系统》、《通信原理》、《电磁场与电磁波》等许多相关课程的必须先修课程之一。 《工程数学X2》由复变函数及积分变换两门科目构成，是电子信息工程专业的通识教育核心课程之一。本课程可以为本科生提供数学在工程应用的经典知识，建立进一步专业学习所必需的数学基础理论。通过本课程的学习，使学生获得数学应用中常用的复变函数及积分变换等理论，具有熟练的复数和积分变换域运算能力和应用复数和积分变换域运算方法解决一些实际问题的能力。《工程数学X2》课程同时通过其基本概念的建立，基本理论的证明，基本方法的运用，培养学生的数学思维能力。从而为学习后继课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 二、课程教学目标 《工程数学X2》以培养学生掌握复变函数以及积分变换的基本理论并与训练学生分析工程问题的数学思维相结合，使学生达到能对电子信息领域工程问题中的简单数学问题进行分析与求解，同时也能够应用工程数学的理论对复杂工程问题进行识别、表达，并获得初步有效结论的能力。通过学习，学生能够运用复变函数的基本理论对复数域下的函数进行简单的分析；运用积分变换的基本理论对常系数微积分方程进行求解。讲授过程植入我国数学史上杰出学者（如华罗庚、许宝騄二位先生）的爱国与担当精神。旨在培育学生创新精神，使学生的学习能力提升的同时，精神层面也得到升华。本课程的具体教学目标如下： 1．掌握复数域下的函数以及时域到频域的基本概念，将其应用于信息技术（IT）行业知识和专业知识的学习。①学生能够描述复数、区域、单连通域、多连通域、复变函数以及映射的概念，说 明复平面和复球面的定义；②学生能够描述傅里叶积分、傅里叶变换和拉普拉斯变换的定义；能够 解释傅里叶变换的物理意义。[1.1] 2．掌握复变函数的定义和复变函数微积分的计算方法以及傅里叶变换和拉普拉斯变换的变换方式和常用性质，并用于在工程问题中建立合适的数学模型。①能够表达复数的代数运算、乘积与商、幂与根，解释复变函数的极限、连续性、导数、微分以及积分，理解解析函数的概念、函数解析的充要条件、复变函数中的初等函数的定义及计算方法、积分的存在条件及其计算方法；能够演算复数的代数运算、乘积与商、幂与根，判断复变函数的连续性，计算复变函数的极限、导数、微分以及积分，熟练运用复变函数积分的性质、柯西-古萨基本定理、复合闭路定理、原函数与不定积分、柯西积分
工程数学课程教学大纲 一、课程全然信息 课程代码：110020 课程名称：工程数学Ⅱ 英文名称：Engineering Mathematics Ⅱ 课程类别：专业差不多课 学时：45 学分：2.5 有用对象:我院电子类、运算机类各专业及热能专业 考察方法：测验（日常平凡成就占总成就的百分比30％） 先修课程：高等数学》 二、课程简介 中文简介本课程重要评论辩论复变函数和积分变换，内容重要包含：复数运算、解析函数、初等函数、复变函数的积分理论、级数展开及留数理论、拉普拉斯变换、富里叶变换．经由过程本课程的进修，使学生初步操纵复变函数的全然理论和方法，操纵傅里叶变换与拉普拉斯变换的全然概念与方法，为进修相干专业课及今后实际应用供给须要的差不多。 英文简介Function of Complex Variable and Integral Transforms is a required course for undergraduates in information sciences, mechanical and electrical engineering, computer science and engineering, resources and environmental sciences and light industry and food science. By taking this course, students should grasp the overall knowledge, fundamental principles and usual methods in Function of Complex Variable and Integral Transforms. They should also gain the ability problem solving. This cause includes as follow：Complex Numbers；Analytic Functions；Representation of Analytic Functions；Cauchy’s Theorem and Cauchy’s Integral Formula；The residue Theory；The Fourier Transform；The Laplace Transform and Applications. 三、课程性质与教授教化目标 本课程为电子类、运算机类各专业及热能专业的差不多课。要肄业生操纵复分析及积分变换的方法。为适应诸多专业对复变函数理论的需求，学生必须闇练操纵：1．复变解析函数理论； 2．复变函数的积分理论及留数理论； 3．拉氏变换与富氏变换理论； 学生还应操纵复变函数的一些差不多理论，如罗朗级数理论；*明白得调和函数理论。
工程数学 积分变换（第四版 张元林 编） 课后习题答案编辑者：余小龙 第一章：Fourier 变换 习题一解答 1、证：利用Fourier 积分变换的复数形式，有 ⎰⎰+∞∞--+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)( ⎰⎰∞+∞-∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ωτωτωττπωd e d j f t j )sin )(cos (121 []⎰+∞∞-+-=ωωωωωd t j t jb a )sin (cos )()(21 由于 )()(ωω-=a a ， )()(ωω--=b b ， 所以 ⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=ωωωωωωtd b td a t f sin )(21cos )(21)( ⎰⎰+∞+∞+=ωωωωωωtd b td a sin )(cos )(0。 注：本题也可以由Fourier 积分公式的三角形式得到证明。 2、解：（1）此题亦可写成⎩⎨⎧-=. 0,1)(2t t f .1;1>≤t t 它是一个连续的偶函数，利用Euler 公式和分部积分法，由Fourier 积分公式的复数形式，有 ⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)(⎰⎰+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ωτωττπωd e d t j 102cos )1(1 ωωωττωωτωωττωωτπωd e t j 1 0232sin sin 2cos 2sin 1⎰∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--= =ωωωωωπωd e t j ⎰+∞∞--3)cos (sin 21
=⎰+∞∞-+-ωωωωωωωπd t j t )sin (cos cos sin 23 ωωωω ωωπtd cos cos sin 403⎰+∞-= （2）函数)(t f 为一连续函数，用类似于（1）的方法，有 ⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)(⎰⎰+∞∞-+∞--⎥⎦⎤⎢ ⎣⎡=ωττπωωττd e d e e t j j 02sin 21 ⎰⎰+∞∞-+∞+-⎥⎦⎤⎢ ⎣⎡=ωττπωτωd e d e t j j 0)1(2sin 21 {}()()⎰∞+∞-+∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣ ⎡++--+-=ωωττωπωτωd e j j e t j j 02)1(412cos 22sin )1(21 ⎰+∞ ∞-+-=ωωωπωd e j t j 25221 2 [][]⎰∞+∞-+--+---=ωωωωωωωωωπ d t j t j j j )sin (cos 2)5(2)5(2)5(1 222 ⎰∞+∞-+---++-=ωωωωωωωωωωωπd t j t j t t 2 22224)5(cos 2sin )5(sin 2cos )5(1 ⎰∞ +∞-+-+-=ωωωωωωωπd t t 432625sin 2cos )5(2 (3)可以看出)(t f 为奇函数，且-1,0,1为其间断点。因此，在)(t f 的连续点处，有 ⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-+∞∞--⎥⎦⎤⎢ ⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡= ωτωττπωττπωωωτd e d j f d e d e f t f t j t j j sin )(21)(21)( ⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ωτωτπωτωττπωωd e d j d e d f j t j t j 100sin sin )( ⎰⎰⎰∞++∞∞-+∞∞--=-=+--= 0sin cos 12sin cos 11)sin (cos cos 1ωωωωπωωωωπωωωωωπtd td d t j t j 而在)(t f 的间断点1,0,10-=t 处，左边的)(t f 应以))0()0((2 100-++t f t f 代替。 注：以上三小题，都可利用Fourier 积分公式的三角形式而求得结果。
工程数学积分变换答案 【篇一：复变函数和积分变换是一门内容丰富】 建立和发展和解决实际问题的需要联系密切，其理论和方法被广泛 使用在自然科学的许多领域，是机械、电子工程、控制工程，理论 物理和流体力学，弹性力学等专业理论研究和实际使用中不可缺少 的数学工具。 课程包含2部分内容：向量分析和场论，复变函数论和积分变换。 本课程的目的，是使学生掌握向量分析和场论，复变函数论，积分 变换的基本理论、基本概念和基本方法，使学生在运用向量分析和 场论，复变函数论，积分变换的思想和方法解决实际问题的能力方 面得到系统的培养和训练,为在后 继专业课程和以后的实际工作打下良好的数学基础 向量分析和场论部分 第一章向量和向量值函数分析学时：4 几何向量，几何向量的加法、数乘、数量积、向量积，向量的混合 积和三重向量积，向量值函数的定义，向量值函数的加法、数乘、 复合、数量积运算，向量值函数的极限、连续，向量值函数的导数，向量值函数的体积分、曲线积分、曲面积分，高斯公式，斯托克斯 公式。 第二章数量场学时：2 数量场的等值面，数量场的方向导数、梯度的概念，哈米尔顿算子 的用法。 第三章数量场学时：6
向量场的向量线，向量场的通量，向量场的散度，向量场的环量， 向量场的环量面密度、向量场的旋度，向量场场函数的导数和向量 场的散度、旋度及数量场的梯度之间的关系。 第四章三种特殊形式的向量场学时：4 保守场，保守场的旋度，保守场的势函数，管形场，管形场的向量势，调和场，调和函数。 复变函数和积分变换部分 第一章：复数和平面点集学时：2 复数的直角坐标表示法，三角表示法，指数表示法。复数的模和辐角，复数的四则运算。平面区域，邻域，聚点，闭集，孤立点，边 界点，边界，连通集，区域，单连通区域，多连通区域。 第二章：分析函数学时：6 复变函数的概念，复变函数的几何表示。复变函数的极限，连续性，复变函数可导和分析的概念，复变函数分析的条件，复变初等函数（指数函数，对数函数，幂函数，三角函数）的定义和性质。 第三章：复变函数的积分学时：6 复变函数积分的定义及其性质，柯西定理，复连通区域内的柯西定理，柯西积分公式，分析函数无穷次可导的性质。 第四章：级数学时：6 复数项级数，复数项级数收敛、发散、绝对收敛的概念，收敛圆的 概念和幂级数收敛半径的求法，幂级数在收敛圆内的性质。分析函 数的台劳展式，分析函数的零点，零点的阶数。罗朗展式，分析函 数罗朗展式的求法，利用罗朗展式对孤立奇点进行分类。 第五章：残数学时：2 残数的概念，残数基本定理，残数的求法，利用残数计算积分。