第三章习题答案
1.分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes
公式计算积分
1
,
I=⎰并估计误差。
解：1）用梯形公式有：
()(
)
110.51
[10.5]10.42678
242
f f
⎛
-
≈+=+≈
⎝⎭
⎰
()
()
()
333
3
33
22
0.51
2.6042107.365710
12124
T
b a
E f fηηη
--
---⎛⎫
''
=-=--=⨯≤⨯
⎪
⎝⎭
事实上，
(
)
()()
(
)()()
1
1
0.4309644
10.5
0.510.4267767
2
10.5
0.510.0041877
2
T
f x I
I f f
E f f f
===
-
≈+=
⎡⎤
⎣⎦
-
∴=-+=
⎡⎤
⎣⎦
⎰
⎰
2）Simpson公式
(
)
110.5311
1410.43093 642122
f f f
⎛
-⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
≈++=+=
⎪ ⎪
⎢⎥
⎝⎭⎝⎭
⎣⎦⎝⎭
⎰
[]()()
4
47
44
2
11
1115
22 1.1837710
180218028
S
b a b a
E f fηη--
⎛⎫
--
⎪⎛⎫
--
⎛⎫
=-=--≤⨯
⎪ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
⎪
⎝⎭
3
12
2
()''()
48
T f f
b a
E
事实上，()()()
110.50.51
0.5410.0000304
62
S
E f f f f
-⎡+⎤
⎛⎫
=-++=
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
⎰
3）由Cotes公式有：
()() ()
1
1
1537
270.532123271
90848
1
4.949752
5.2982210.3923029.9332670.43096
180
f f f f f
-⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
≈++++
⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥
⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
⎣⎦
=++++=
⎰
157
32127)
18088
()6
1162
11294522 2.697410945464C E f η--⎛⎫⨯ ⎪⎛⎫=-⨯-
≤⨯ ⎪ ⎪⎝⎭
⎪⎝⎭
7
(6)
945*4
2()
()
8
2C
f b a
E
f
事实上，()0.0000003C E f =
2．证明Simpson 公式()2.8具有三次代数精度。 证明：
()()()()()()3
333
44444224
4
46243b
a
a b a b f x x f a a f f b b
x
b a f x dx b a a b b a f a f f b ++⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-==
=
-⎡+⎤-⎛⎫
=++=
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎰
b a
令，则，，左边右边故该公式的代数精度是。
而当()4
f x x =时
左侧：
()()45515
b b f x dx x dx b a a a ==-⎰⎰ 右侧：
()()()4
44
55432234446268552232
a b b a a b b a f a f f b a b b a a b a b a b ab ⎡⎤+-⎡+⎤-⎛⎫++=+⨯+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦---+-=
左侧不等于右侧。所以Simpson 具有三次代数精度.
3.分别用复化梯形公式和复化公式Simpson 计算下列积分.
(1)21
,804x dx n x =+⎰，（3）,4n =⎰，6,sin 4602=-⎰n d ϕϕπ
解：（1）用复化梯形公式有：
101
88
b a h n --=
==，
()()[]123456721288888881
02(0.0311280.0615380.0905660.117650.142350.164380.18361)0.20.111416
n h T f a f f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝
⎭⎣⎦
=
+⨯+++++++=由复化Simpson 公式有：
()()()()811123135702()146444488881020.0615380.117650.1643840.0311280.0905660.412350.183510.224
0.11157
S f f f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++++++⎢⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+⨯+++⨯++++⎡⎤⎣⎦=()()
12
112,100
x e dx n x
--=⎰
解：删去 解（3）
：
,4n =⎰ 由复化梯形公式有：
()()()()()()(
)
(
)491
2,41
2192357213217.2277
b a h n T f f f f f --=
===⨯++++=++⨯
≈
由复化Simpson 公式有：
()()()()()()(
)
(
)
41
419254376
2
132417.32203
S f f f f f =⨯++++=⨯++≈
（4）解：6,sin 460
2=-⎰n d ϕϕπ
由复化梯形公式：
0356219
.1]36362)0([36)]()(2)([25
,4,3,2,1,,3660
65
1516=⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++==+==-=-=∑∑==πππϕϕππ
f k f f b f f a f h T k kh a n a b h k k k k
由复化Simpson 公式：
035763886.1,035834878.13672365,4,3,2,1,0,2,,32
3145
6215
216664==⎪⎭
⎫
⎝⎛+=
=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=∑
∑=+=+S k f H k h
f h H H T S k k
k k k πππ
ϕϕϕ
4．给定求积节点012113
,,,424
x x x ===试推出计算积分()10f x dx ⎰的插值型求积公式，并
写出它的截断误差。
解：
()1
0120
113424f x dx A f A f
A f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫≈++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎰
10011013224,11133
42441314411133
2424x x A dx x x A dx ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
==-
⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎰⎰
考虑到对称性，有20A A =，于是有求积公式
()1
21311[]34432f x dx f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫≈+
- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎰
由于原式含有3个节点，故它至少有2阶精度。考虑到其对称性，可以猜想到它可能有3阶精度。事实上，对3
f x =原式左右两端相等：
3
3
3
130
213111
[]344324x dx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰
此外，容易验证原式对4
f x =不准确，故所构造出的求积公式有3阶精度。
5．给定积分2
sin I xdx π
=
⎰
。
（1） 利用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过
31
10;2
-⨯ （2） 取同样的求积节点，改用复化Simpson 公式计算时，截断误差是多少？ （3） 如果要求截断误差不超过6
10-，那么使用复化Simpson 公式计算时，应将积分
区间分成多少等分？
解：(1) 33''''
22
()()()()1296n
T
b a E f f f n n πηη-=-
=- ()f x =sin x ,'
''
()cos ,()sin f x x f x x ==-∴3
3
2
2()sin ,0,96962n T
E f n
n πππφη⎡⎤
=
≤∈⎢⎥⎣⎦
当误差3()0.510n
T E f -≤⨯时，n ≥25.6, 所以取n =26。
25h :h=[(0)()2()]
52221
T f f f x n k k π
π
⇒=++∑=则12325{012[sin()sin()sin()...sin()]}25252525252
πππππ
=⨯++++++0.9465= （2）1S 4''''42E []()()()sin()n 180218022n
h f f π
π
ηη=-
=-⨯⨯b-a 11S 44922E []()(26)()710n 18022n 18022n f n ππ
ππ-≤⨯⨯=⇒⨯⨯=⨯则 1S 462(3)E []()10n 18022n
f π
π-≤⨯⨯≤ 7.6=8n n ≥⇒则
6．用Romberg 求积方法计算下列积分，使误差不超过510-。
（1
1
x e dx -；（2）20
sin x xdx π
⎰
；（3
）3
⎰;(4)1
2
04
1dx x +⎰
解（1）：
dx e
x
⎰-1
2
π
112111212422()[0,1]:(0)(1)]0.771743332()[01]:
110.68439656,()0.728069946,
221
0.71351215
33()[01]:
131]0.705895578,()0.442a T f f b H f T T H S T T c H f f T T H =
+=⎛⎫===+= ⎪⎝⎭=-=⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在上用梯形公式，二等分，四等分716982762
,
101052.3,713271669.0141144,
713271674.0141144713272634
.031
34,714200166.0)(21711417571.0]87858381[412]10[)(713272026
.0141144,713287034.0313457111323312242224844484122221142--<⨯=-=---==---==-==+==⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=
=---==-=C R C C R S S C T T S H T T f f f f H d S S C T T S π八等分：，将
计算可以停止。 解（2）：dx x x ⎰π
20sin
956833201
.5)(21,9788642.6242
:]20[)(018385352
.7141144,579736267.63134934802201
.4)(21,869604401.9]232[:
]20[)(03
1
34,0)(21,0)(2:]20[)(0
)]2()0([22:]20[)(4483
41222212422242212111211-=+=-=⎪⎭
⎫
⎝⎛+=
=---=-=-=-=+=-=-=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==+====+=∑
=H T T i f H ，d S S C T T S H T T f f H ，c T T S H T T f H ，b f f T ，a i πππ
ππππππππππππ八等分将四等分将二等分将上用梯形公式得在
283132311
.61
41144,284030929.63134202231497.6)(21,447629792.6484]20[)(266954014
.6141144278695129
.6141
144,2975102.6313442822481688816
7
08132331224222484-=---=-=-=-=+=-=⎪⎭⎫
⎝⎛+=
-=---=-=---=-=-=∑=S S C T T S H T T i f H ，e C C R S S C T T S i πππ
π十六等分将
5
8111626612545524484448316338162322216326432323264
31
0321525512444424383348216228163216161632
15
01614244123433210105.9Y -Z 283185304
.6Y 141Y 144Z ,283185304.6X 141X 144Y 283185304
.6R 141R 144,283185304.6141144283185292
.6141144,283188551.63134278137899.6)(21,293289853.6163216:
]20[)(283185209
.6141_144283185288
.6141144,283185356.6141144283184528
.6141144,283237428.63134262985945.6)(21,323740394.68168]20[)(283266463
.6141144,283202742.6141144--==<⨯=-=---=-=---=-=---=-=---=-=---=-=-=-=+=-=⎪⎭⎫
⎝⎛+=
-=--=-=---=-=---=-=---=-=-=-=+=-=⎪⎭⎫
⎝⎛+=
-=---=-=---=∑∑X C C R S S C T T S H T T i f H ，g X X Y R R X C C R S S C T T S H T T i f H ，f R R X C C R i i πππ
ππππ
π六十四等分将三十二等分将（3）解:⎰+3
21dx x x
20762073
.101
41144,20722396.10313426636719
.10][21
,08893752.10438343:
]3,0[)(20457443
.10141144,20127249.10313444379685
.10)[21,71622377.9]4943[23:
]3,0[)(1517434
.103134,17136992.11)(21,11249037.8233:
]3,0[)(23024947
.14)]0()3([2
3
]30[)(22422248444830412222124222421211211=---==-==+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+==---==-==+==⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==+==⎪⎭
⎫
⎝⎛==+=∑=S S C T T S H T T k f H d S S C T T S H T T f f H c T T S H T T f H b f f T ，a k 八等分将四等分将二等分将上用梯形公式
在
计算可以停止三十二等分将十六等分将56111525512444424383348216228163216161632150
16
1424412343324282248168708816813233110104.1,20759219.1014114420759219
.10141144,20759219.1014114420759223
.10141144,20759091.10313421126074
.10)(21,20025127.10163323163:]30[)(20759364
.10141144,20759393.1014114420759435
.10141144,2075712.1031342222702
.10)(21
,1781732.108316383:
]30[)(20766908
.10141
1442--==<⨯=-=---==---==---==---==-==+==⎪⎭
⎫
⎝⎛+==---==---==---==-==+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+==---=∑∑X Y X X Y R R X C C R S S C T T S H T T i f H ，f R R X C C R S S C T T S H T T i f H ，e C C R i i 解（4）:dx x ⎰
+1
02
14
141585784
.31
41144141594094.3141144,141592502.33134148988495
.3)(21,146800518.348141:]10[)(142117647
.3141144,141568627.33134131176471
.3)(21,162352941.3]4341[21:]10[)(133333333
.33134,1.3)(21,2.321:
]10[)(3
)]0()1([21
:]10[)(1323312242224844483
4122221242224212111211=---==---==-==+==⎪⎭
⎫
⎝⎛+==---==-==+==⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==+==⎪⎭
⎫
⎝⎛==+=∑
=C C R S S C T T S H T T i f H ，d S S C T T S H T T f f H ，c T T S H T T f H ，b f f T ，a i 八等分将四等分将二等分将上用梯形公式在
78168802
81684842234242121334411()[01]:
111
3.14289473,() 3.140941613
81682
41413.141592652, 3.14159266233414141413.141592639, 3.141592666
414141416i e i H f T T H S T T C S S R C C X R R X R =⎛⎫=+==+= ⎪⎝⎭=-==-=--=-==-=-----=∑，十六等分65.881010,--⨯<算可以停止。
7．推导下列三种矩形求积公式：
()()()()()()()()()()()()()()()()()2
2
31;2
2;2
3;224b
a b a b a f f x dx b a f a b a f f x dx b a f b b a f a b f x dx b a f b a ξης'=-+
-'=---'+⎛⎫=-+- ⎪
⎝⎭
⎰⎰⎰ 证明：(1)将()f x 在x a =处Taylor 展开，得
()()'()(),(,).f x f a f x a a x ξξ=+-∈ 两边在[,]a b 上积分，得
()()()()b
b b
a
a
a
f x dx f a dx f x a dx ξ'=+-⎰
⎰⎰
()()()()b
a
b a f a f x a dx η'=-+-⎰
21
()()()(),[,].2
b a f a f b a a b ηη'=-+
-∈ (2)将()f x 在x b =处Taylor 展开，得 ()()()(),(,).f x f b f x b x b ξξ'=+-∈ 两边在[,]a b 上积分，得
()()()()b
b b
a
a
a
f x dx f b dx f x b dx ξ'=+-⎰
⎰⎰
()()()()b
a
b a f b f x b dx η'=-+-⎰
21
()()()(),[,].2
b a f b f b a a b ηη'=---∈ (3)将()f x 在2
a b
x +=
处Taylor 展开，得
2
1()(
)()()()(),[,].22222
a b a b a b a b f x f f x f x a b ξξ++++'''=+-+-∈ 两边在[,]a b 上积分，得
2
1()(
)()()()()22222
b
b
b b a a a a a b a b a b a b f x dx f dx f x dx f x dx ξ++++'''=+-+-⎰⎰⎰⎰ 2
1()()()()()()22222
b b a a a b a b a b a b b a f f x dx f x dx ξ++++'''=-+-+-⎰⎰
3"()
()()().224
a b f b a f b a ς+=-+-
8．如果()''0,f x >证明用复化梯形公式计算积分()b
I f x dx a =⎰所得结果比准确值大，并
说明其几何意义。
证明：复化梯形公式为
1
1
101
(()())[()2()()]22n n n k k k k k h h
T f x f x f a f x f b --+===+=++∑∑
若"()f x 在[,]a b 上连续，则复化梯形公式的余项为
3
1
10
[]["()],(,)12n T
n
n k k k k k h E f I T f x x ηη-+==-=-∈∑ (1) 由于2
"()[,],f x C a b ∈且
1
01010
1min "()"()max "()n k k k k n k n k f f f n ηηη-≤≤-≤≤-=≤≤∑
所以(,)a b η∃∈使
1
1"()"()n k k f f n ηη-==∑
则(1)式成为：
2
[]"()12
T
n b a E f h f η-=-
又因为"()0,f x >所以2[]"()0.12
T
n b a E f h f η-=-< 即用复化梯形公式计算积分()b
a
I f x dx =
⎰
所得结果比准确值大。
其几何意义：曲线()f x 在定义域内是向下凹的，即曲线在曲线上任两点连线的下方。
9．对
()3
0f x dx ⎰构造一个至少具有三次代数精度的求积公式。
解：因为具有4个求积节点的插值型求积公式，至少有三次代数精度。如果在[0,3]上取节
点0，1，2，3，则插值型求积公式为：
3
001122330
()()()()()f x dx A f x A f x A f x A f x =+++⎰
其中系数为 0n
b i
k a i k i
i k
x x A dx x x =≠-=
-∏⎰ 3
33200
0(1)(2)(3)13(6116),(01)(02)(03)68
x x x A dx x x x dx ---=
=--+-=---⎰
⎰
同理求得 123993
,,.888
A A A === 即有：
3
3993
()(0)(1)(2)(3).8888
f x dx f f f f ≈+++⎰
10．判别下列求积公式是否是插值型的，并指明其代数精度：
()()()33
1202f x dx f f ≈+⎡⎤⎣
⎦⎰ 解：插值型求积公式
()()n
b
k k a
k f x dx A f x =≈∑⎰
其中 0n
b i
k a
i k i
i k
x x A dx x x =≠-=-∏⎰
则 3
301002313
,.122212x x A dx A dx --====--⎰⎰
因此，303
()[(1)(2)]2
f x dx f f ≈+⎰是插值型的求积公式。
因其求积公式是插值型的，且存在2个节点，所以其代数精度至少是1。 对于2
()f x x =时， 3
3
20
()9;f x dx x dx ==⎰
⎰
3315
[(1)(2)](14)9.222
f f +=+=≠ 可见它对于2
()f x x =不准确成立，故该求积公式的代数精度是1。
11．构造下列求积公式，并指明这些求积公式所具有的代数精度：
()()()()()
()()()()()()()()()1
010
2
1
010
1
1
101;
200;3.
h
h h
f x dx A f A f f x dx h f f h h f f h f x dx A f h A f x ααββ-≈+''≈+++⎡
⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦≈-+⎰⎰⎰
解（1）：令原式对于()1,f x x =准确成立，于是有
0111
12
A A A +=⎧⎪
⎨=⎪⎩
解之得 0111
,22A A =
=， 于是有求积公式 1011
()(0)(1)22
f x dx f f ≈+⎰
容易验证，它对于2
()f x x =不准确成立，故该求积公式的代数精度是1。
解（2）：令原式对于23()1,,,f x x x x =准确成立，于是有
01101111111
21231
34
αααββαβαβ+=⎧⎪
⎪++=⎪⎪
⎨+=⎪⎪
⎪+=⎪⎩
解之得
01011111
,,,.22
1212
ααββ===
=-于是有求积公式 2
011()[(0)()]['(0)'()].212
h f x dx h f f h h f f h ≈++-⎰
容易验证当4
()f x x =时，501();5
h f x dx h =⎰而
255
1111[(0)()][(0)()]21265
h f f h h f f h h h ''++-=≠（）
可见，它对于4
()f x x =不准确成立，故该求积公式的代数精度是3。 解(3)：令原式对于2
()1,,f x x x =准确成立，于是有
0100A A -A A 011223
11202
3h dx h h A x h A x h ⎧+==⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩⎰解得: 01h 3A =,A =221,3h
h x =
于是有求积公式
13()()().223h
h
h
f x dx hf h hf -≈-+⎰ 容易验证，当3
()f x x =时，()0;h h f x dx -=⎰而 4134()().2239
h hf h hf h -+=-
可见，它对于3
()f x x =不准确成立，故该求积公式的代数精度是2。
12. 利用代数精度方法构造下列两点Gauss 求积公式：
(
)()()()()
()()
00110
1
00110
12x dx A f x A f x f x A f x A f x ≈+≈+⎰⎰
解（1）：令原式对于2
3
()1,,,f x x x x =准确成立，于是有
10011
220011
33001123
2
52729A A A x A x A x A x A x A x ⎧
+=⎪⎪
⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎪⎪+=
⎩
(1)
利用(1)的第1式，可将第2式化为
010122
()35
x x x A +-= (2) 同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得
0101122
()57x x x x A +-= (3) 2
0101122()79
x x x x A +-= (4)
由(2)(3)(4)式消去101(),x x A -得
001001
2
222()5537
2222
()7
759x x x x x x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩
进一步整理
01010101
2
22()537
222()7
59x x x x x x x x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=
⎪⎩
由此解出 0101510
,.219
x x x x =+= 解得：
01010.821161913186,0.289949197925,0.3891110668436,0.27755599823.
x x A A ====
因此所求的两点Gauss 求积公式：
()0.3891110668436(0.821161913186)0.27755599823(0.289949197925).x dx f f ≈+⎰
或依下面的思想：
[
]0101101
01101(1)1105921
105
()()()0921
3535,6363
50150(x x x x x x x x x A x A x A ρω-
+=---+=+-=
=⎧+=⎪⎨⎪+=⎩
⎧+=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩∴⎰⎰⎰
2012222000在0，上构造权函数（x ）g (x) g (x)=13
g (x)=x-5 g (x)=x 令=x 代入：A A
A 50355035)((1506315063
x dx f f ++--=
+
解（2）：令原式对于2
3
()1,,,f x x x x =准确成立，于是有
01001122
001133001122
32527A A A x A x A x A x A x A x +=⎧⎪
⎪+=⎪
⎪
⎨+=⎪⎪
⎪+=⎪⎩
(1) 利用(1)的第1式，可将第2式化为 01012
2()3
x x x A +-=
(2) 同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得
0101122
()35x x x x A +-= (3) 2
0101122()57
x x x x A +-= (4)
由(2)(3)(4)式消去101(),x x A -得
001001
2
22(2)335
2222
()5
537x x x x x x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩
进一步整理
01010101
22()235
222()5
37x x x x x x x x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=
⎪⎩
由此解出 010136
,.357
x x x x =+= 解得：
01010.115587109995,0.741555747146,1.30429030972,0.695709690284.
x x A A ====
因此所求的两点Gauss 求积公式：
1
1.30429030972(0.115587109995)0.695709690284(0.741555747146).f f ≈+⎰
或依下面的思想：
[
]01(2)163
735
63
()()()0
735
x x x x x x x ρω-+
=--=-+=2012222在0，上构造权函数（x ）g (x) g (x)=11
g (x)=x-3
g (x)=x 令x
01111011015153535
x x A x A x ++=
=⎧
+=⎪⎪⎨
⎪+=⎪⎩
⎰⎰00代入：A A
111818()A x dx f f ⎧-=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩∴=⎰
0A
13．分别用三点和四点Gauss －Chebyshev
求积公式计算积分1
I -=⎰
，并估计误差。
解：(1)用三点(2)n =Gauss-Chebyshev 求积公式来计算：
此时，11(6)
2945
()()(2),64
f x f
x x -==-+
1(21),cos (0,1,,),1322
k k k A x k n n n ππ+=
===++
01235cos
cos 0,cos 6
66x x x π
ππ==
==== 由公式可得：
2
4.3689395561973
3
k I π
π
==
=
=
由余项可估计误差为 325
945
|[]| 2.0133510.26!64
E f π
-≤
=
⨯ (2)用四点(3)n =Gauss-Chebyshev 求积公式来计算：
此时，15(8)
2945143
()()(2),644
f x f
x x -==-⨯⨯+
1(21),cos (0,1,,),1422k k k A x k n n n ππ
+=
===++ 0122357cos ,cos ,cos ,cos ,888
8
x x x x πππ
π
====
3
44
k I π
π
==
=
4.368879180569.= 由余项可估计误差为 437
945143|[]| 3.2132710.28!644
E f π
-≤
⨯
⨯=⨯ 14．用三点Gauss Legendre -求积公式计算积分0
cos x I e xdx π
=⎰
，并估计误差。
解：作变换(1),2
x t π
=
+则得
1
1
(1)
2
2
2
1
1
cos cos[(1)]cos
222
2
t t
x
I e xdx e
t dt e e tdt π
πππ
π
ππ
π
+--=
=
+=-⎰
⎰⎰
由三点
Gauss-Legendre 公式：
585()((0)(95995
b
a
f x
dx f f f ≈
-++⎰
(2
25
85[cos(cos(29
99I e e ππ
π
≈-++
28
(0.0570********.650303782451)29
e π
π
≈-
++ 12.06167600229.≈-
其估计误差为：
[]74(6)232(3!)()(),1,17(6!)E f f ξξ=∈-2746
2
3
2(3!)()cos()27(6!)82
e e πξ
ππππξ=⨯⨯-4710-≤⨯,（12ξ=）。其准确值 01cos (1)12.07034631639.2
x I e xdx e ππ
==-+=-⎰
其准确误差等于：3
|12.06167600229(12.07034631639)|8.670314110.----=⨯
第三章习题答案 1.分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes 公式计算积分 1 , I=⎰并估计误差。 解：1）用梯形公式有： ()( ) 110.51 [10.5]10.42678 242 f f ⎛ - ≈+=+≈ ⎝⎭ ⎰ () () () 333 3 33 22 0.51 2.6042107.365710 12124 T b a E f fηηη -- ---⎛⎫ '' =-=--=⨯≤⨯ ⎪ ⎝⎭ 事实上， ( ) ()() ( )()() 1 1 0.4309644 10.5 0.510.4267767 2 10.5 0.510.0041877 2 T f x I I f f E f f f === - ≈+= ⎡⎤ ⎣⎦ - ∴=-+= ⎡⎤ ⎣⎦ ⎰ ⎰ 2）Simpson公式 ( ) 110.5311 1410.43093 642122 f f f ⎛ -⎡⎤ ⎛⎫⎛⎫ ≈++=+= ⎪ ⎪ ⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭ ⎣⎦⎝⎭ ⎰ []()() 4 47 44 2 11 1115 22 1.1837710 180218028 S b a b a E f fηη-- ⎛⎫ -- ⎪⎛⎫ -- ⎛⎫ =-=--≤⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎝⎭ 3 12 2 ()''() 48 T f f b a E 事实上，()()() 1 0.5 10.50.51 0.5410.0000304 62 S E f f f f -⎡+⎤ ⎛⎫ =-++= ⎪ ⎢⎥ ⎝⎭ ⎣⎦ ⎰ 3）由Cotes公式有： ()() () 1 1 1537 270.532123271 90848 1 4.949752 5.2982210.3923029.9332670.43096 180 f f f f f -⎡⎤ ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ≈++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎥ ⎝⎭⎝ ⎭⎝⎭ ⎣⎦ =++++= ⎰ 157 32127) 18088
第三章运算方法与运算器 3.1定点数运算及溢出检测随堂测验 1、定点运算器可直接进行的运算是（) (单选) A、十进制数加法运算 B、定点数运算 C、浮点数运算 D、定点数和浮点数运算 2、设计计算机字长为8位，两个十进制数X = -97 ，Y = 63, [x]补- [y]补的结果为（）（单选） A、01100000 B、11011110 C、负溢出 D、正溢出 3、下列关于定点运算溢出的描述中，正确的是( ) （多选） A、补码数据表时，同号数相加可能发生溢出 B、补码数据表时，异号数相减可能发生溢出 C、参加运算的两个数，当作为有符号数和无符号数进行加法运算时，不可能两者都溢出 D、溢出检测既可用硬件实现，也可用软件实现 4、设Ｘ为被加（减）数，Ｙ为加（减）数，Ｓ为运算结果，均采用补码数据表示，下列关于溢出电路设计的描述中，正确的是（）（多选） A、采用单符号位时，直接用Ｘ、Ｙ和Ｓ的符号位就可设计溢出监测电路 B、采用双符号位时，可直接用Ｓ的双符号位设计溢出检测电路 C、采用单符号位时，可直接用Ｘ、Ｙ最高有效数据位运算后的进位位和Ｓ的进位设计溢出监测电路 D、对无符号数的加／减运算，可利用运算器的进位信号设计溢出检测电路 3.2 定点数补码加、减运算器设计随堂测验 1、如图所示为基于FA的运算器：为了利用一位全加器FA并配合使用控制信号P，当P= 0/1时实现A、B两个数的加法/减法运算，图中空白方框处电路的逻辑功能应该是（）（单选）
A、与门 B、或门 C、异或门 D、非门 2、如图所示为带溢出检测功能的运算器该电路完成的溢出检测功能是（）（多选）
第三章课后习题参考答案 （一）填空题 1．一台计算机的指令系统就是它所能执行的指令集合。 2．以助记符形式表示的计算机指令就是它的汇编语言。 3．按长度分，MCS-51指令有）一字节的、二字节的和三字节的。 4．在寄存器寻址方式中，指令中指定寄存器的内容就是操作数。 5．在直接寻址方式中，只能使用八位二进制数作为直接地址，因此其寻址对象只限于内部RAM 。 6．在寄存器间接寻址方式中，其“间接”体现在指令中寄存器的内容不是操作数，而是操作数的地址。 7．在变址寻址方式中，以 A 作为变址寄存器，以 PC 或 DPTR 作基址寄存器。 8．在相对寻址方式中，寻址得到的结果是程序转移的目的地址。 9．长转移指令LJMP addr16使用的是相对寻址方式。 10．假定外部数据存储器2000H单元的内容为80H，执行下列指令后，累加器A的内容为 80H 。 MOV P2，#20H MOV R0，#00H MOVX A，@Ro 11．假定累加器A的内容为30H，执行指令： 1000H： MOVC A，@A+PC 后，把程序存储器 1031H 单元的内容送累加器A中。 12．假定DPTR的内容为8100H，累加器A的内容为40H，执行下列指令： MOVC A，@A+DPTR
后，送入A的是程序存储器 8140H 单元的内容。 13．假定（SP）＝60H，（ACC）=30H，（B）＝70H，执行下列指令： PUSH ACC PUSH B 后，SP的内容为 62H ，61H单元的内容为 30H ，62H单元的内容为 70H 。 14．假定（SP）＝62H，（61H）＝30H，（62H）＝70H。执行下列指令： POP DPH POP DPL 后，DPTR的内容为 7030H ，SP的内容为 60H 。 15. 假定已把PSW的内容压入堆栈，再执行如下指令： MOV R0，SP ORL @Ro，#38H POP PSW 实现的功能是（修改PSW的内容,使F0、RS1、RS0三位均为1）。 16. 假定（A）=85H，（R0）=20H，（20H）=0AFH，执行指令： ADD A，@R0 后，累加器A的内容为 34H ，CY的内容为 1 ，AC的内容为 1 ，OV的内容为 1 。 17. 假定（A）=85H，（20H）＝0FFH，（CY）=1，执行指令： ADDC A，20H 后，累加器A的内容为 85H ，CY的内容为 1 ，AC的内容为 1 ，OV 的内容为 0 。 18. 假定（A）＝0FFH，（R3）＝0FH，（30H）＝0F0H，（R0）＝40H，（40H）＝00H。执行指令：
证明：如果求积公式（）对函数f （x ）和g （x ）都准确成立，则它对于线性组合af(x)+bg(x) (a,b 均为常数)亦准确成立. 因此，求积公式（）具有m 次代数精度的充分必要条件是：它对任一小于等于m 次的多项均能准确成立，但对某个m+1次多项式不能准确成立. ()()不能成立 对与题设矛盾多项式都能准确成立，次多，即对任意的线性组合亦准确成立也能准确成立，则对若对的线性组合亦准确成立对次的多项式准确成立对于任意小于等于不准确成立，对的线性组合亦准确成立对成立次的多项式于等于根据定义可知：对于小次代数精度 机械求积公式具有机械求积公式也成立 对于线性组合同理可得 机械求积公式都成立 对于证明： 1m 1321321320 000 0)1(,,,,,,1,,,,,1,,,,,1),1,0()(2)()()] ()([)()()]()([) ()() ()() ()() ()()(),(1++++=======∴+? ∴?∴==∴?+∴+=+≈+∴≈≈∴≈≈∴∑∑?∑?∑?∑? ∑?∑x m x x x x x x x x x x m x x x x x m j x x f m m x bg x af x bg x af A x bg A x af A dx x bg x af x bg A dx x bg x af A dx x af x g A dx x g x f A dx x f x g x f m m m m m m j n k k k n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k 直接验证中矩形公式具有一次代数精度，而Simpson 公式则具有3次代数精度。
第一章 绪论 一 本章的学习要求 （1）会求有效数字。 （2）会求函数的误差及误差限。 （3）能根据要求进行误差分析。 二 本章应掌握的重点公式 （1）绝对误差：设x 为精确值，x * 为x 的一个近似值，称e x x **=-为x * 的绝对误 差。 （2）相对误差：r e e x * * *=。 （3）绝对误差限：e x x ε * **==-。 （4）相对误差限：r x x x x εε** ** * -= = 。 （5）一元函数的绝对误差限：设一元函数()()()0,df f x f x dx εε* * * ??==? ??? 则。 （6）一元函数的相对误差限：()()1r df f x dx f εε* ** *??=? ??? 。 （7）二元函数的绝对误差限：设一元函数()()(),0,f f x y f y y εε* **???==? ? ??? 则。 （8）二元函数的相对误差限：()()()1r f f f x y x y f εεε* **** * ??????????=?+? ? ?????????? ? 。
三 本章习题解析 1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，（1）试指出它们有几位有效数字，（2）分别 估计11 23A X X X ** * =及224X A X * * =的相对误差限。 12341.1021,0.031,385.6,56.430x x x x ****==== 解：（1）1x * 有5位有效数字，2x * 有2位有效数字，3x * 有4位有效数字，4x * 有5位有效 数字。 （2）1111123231312123 , ,,,A A A A x x x x x x x x x x x x ???====???由题可知：1A *为1A 的近似值，123,,x x x ***分别为123,,x x x 近似值。 所以 ()()1 1 1 r A A A ε ε** * = ()()() 12 3 11111123A A A x x x A X X X ε εε * * * ****? ???=++ ?????? ????????? ? ? ? ???? ??? ?? 43123131212311111010100.215222x x x x x x x x x **-**-**-***??= ??+??+??=???? () 222222424441,,,X A A x A X x x x x ??= ==-??则有同理有2A *为2A 的近似值，2x *，4x *为2x ，4x 的近似值，代入相对误差限公式： ()()2 2 2 r A A A ε ε** *= ()() 2 4 212224A A X X A X X ε ε * * ***? ???=+??? ??? ?????? ? ? ???? ?? ()33542 224411*********X X X X X * *--***?? ??=??+??=???? 2. 正方形的边长大约为100cm ，怎样测量才能使其面积误差不超过2 1cm ? 解：设正方形的边长为x ，则面积为2S x =， 2ds x dx =，在这里设x *为边长的近似值，S *为
第三章作业 3-1 计算习题 3-1 中各散热器所在环路的作用压力 t g =95℃， t g1=85℃， t g2=80℃，t n =70℃。 解:如图示可知，第一个为并联环路双管管网，第二个为串联环路单管管网 系统供回水温度，t g =95℃， t n =70℃，t g1=85℃， t g2=80℃， 对应的密度为， 3 g kg/m 92.961=ρ， 3 n kg/m 81.977=ρ， 3 g1kg/m 65.968=ρ， 3g2kg/m 83.971=ρ 并联：【双管路各层散热器的进出水温度是相同的，但是循环作用动力相差很大；】 第一楼散热器作用压力： ()()Pa 6.46792.96181.977381.9gh P g h 11=-??==?-ρρ 第二楼散热器作用压力： ()()Pa 3.93592.96181.977681.9gh P g h 22=-??==?-ρρ 第三楼散热器作用压力： ()()Pa 132592.96181.977681.9gh P g h 33=-??==?-ρρ 串联：【单管路各层散热器的循环作用动力是同一个数，但进出水温度越到下层越低】 ()()() ()()()Pa 3.92492.96165.9685.881.965.96883.971681.983.97181.977381.9gH gH gH P g 1g 3g1g22g2n 1h =-??+-??+-??=-+-+=?-ρρρρρρ 3-2 通过水力计算确定习题图 3-2 所示重力循环热水采暖管网的管径。图中立 管Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ各散热器的热负荷与Ⅱ立管相同。只算 I 、II 立管，其余立管只 讲计算方法，不作具体计算，散热器进出水管管长 ，进出水支管均有截止 阀和乙字弯，每根立管和热源进出口设有闸阀。 解:（1）选择最不利环路。有图3-2可知，最不利环路是通过立管I 的最底层散热器I 1（1800w ）的环路，这个环路从散热器I 1顺序经过○1、○2、○3、○4、○5、○6、进入锅炉，再经管段○7、○8、○9、○10、○11、○12进入散热器 I 1。查表可得，【简明供热设计手册 李岱森主编 中国建筑工业出版社 1998_P88页表4—3】△
第三章判断题 T 1 Linux操作系统的源代码是公开的，它是一种“自由软件”。（判断） T 2 MATLAB是一种能用于数值计算的高级程序设计语言。（判断） F 3 Windows系统中，不同文件夹中的文件不能同名（判断） F 4 Windows系统中，可以像删除子目录一样删除根目录。（判断） F 5 Windows系统中，每一个物理硬盘只能建立一个根目录，不同的根目录在不同的物理硬盘中。（判断） T 6 操作系统三个重要作用体现在：管理系统硬软件资源、为用户提供操作界面、为应用程序开发提供平台。（判断） T 7 操作系统通过各种管理程序提供了“任务管理”、“存储管理”、“文件管理”、“设备管理”等多种功能。（判断） T 8 计算机软件通常指的是用于指示计算机完成特定任务的，以电子格式存储的程序、数据和相关的文档。（判断） T 9 软件产品是交付给用户使用的一整套程序、相关的文档和必要的数据。（判断） T 10 软件是以二进位表示，且通常以电、磁、光等形式存储和传输的，因而很容易被复制。T 11 为了延长软件的生命周期，常常要进行软件版本升级，其主要目的是减少错误、扩充功能、适应不断变化的环境。（判断） T 12 在Windows系统中，按下Alt+PrintScreen键可以将桌面上当前窗口的图像复制到剪贴板中。（判断） F [01]. 数据库管理系统是最接近计算机硬件的系统软件。（判断） T [05]. 用Pentium4 的指令系统编写的可执行程序在PentiumⅢ中不一定能被执行；反之，用PentiumⅢ的指令系统编写的可执行程序在Pentium4 中一定能被执行。（判断） F [07]. 所有存储在磁盘中的MP3音乐都是计算机软件。（判断） F [09]. P3是世界著名的项目管理软件。由于使用P3能管理一个大型工程系统的有关资源，因此，它应属于系统软件。（判断） T [10]. 计算机软件包括软件开发和使用所涉及的资料。（判断） T [11]. Windows系统中采用图标（icon）来形象地表示系统中的文件、程序和设备等对象。 F [12]. 自由软件(freeware)不允许随意拷贝、修改其源代码，但允许自行销售。（判断）P111 T [13]. 软件必须依附于一定的硬件和软件环境，否则它可能无法正常运行。（判断） F [14]. 对于同一个问题可采用不同的算法去解决，但不同的算法通常具有相同的效率。（判断） T [17]. 评价一个算法的效率应从空间代价和时间代价两方面进行考虑。（判断） T[18]. 操作系统三个重要作用体现在：管理系统硬软件资源、为用户提供各种服务界面、为应用程序开发提供平台。（判断） 第三章填空题 1 "所谓""软件工程""，是指用_工业化生产_______的方法组织软件的开发。或工业化 第三章选择题 1 PC机开机后，计算机首先执行BIOS中的第一部分程序，其目的是_________。 （单选）P113 A. 读出引导程序，装入操作系统 B. 测试PC机各部件的工作状态是否正常
第三章会计等式与复式记账 一、单项选择题 1、总分类账户与明细分类账户平行登记四要点中的“依据相同”是指（）。 A.总分类账要根据明细分类账进行登记 B.明细分类账要根据总分类账进行登记 C.根据同一会计凭证登记 D.由同一人员进行登记 2、某企业原材料总分类科目的本期借方发生额为25 000元，贷方发生额为24 000元，其所属的三个明细分类账中；甲材料本期借方发生额为8 000元，贷方发生额为6 000；乙材料借方发生额为13 000元，贷方发生额为16 000元；则丙材料的本期借、贷方发生额分别为（）。 A.借方发生额为12 000元，贷方发生额为2 000元 B.借方发生额为4 000元，贷方发生额为2 000元 C.借方发生额为4 000元，贷方发生额为10 000元 D.借方发生额为6 000元，贷方发生额为8 000元 3、甲公司月末编制的试算平衡表中，全部科目的本月贷方发生额合计为120万元，除银行存款外的本月借方发生额合计104万元，则银行存款科目（）。 A.本月借方余额为16万元 B.本月贷方余额为16万元 C.本月贷方发生额为16万元 D.本月借方发生额为16万元 4、下列记账错误中，不能通过试算平衡检查发现的是（）。 A.将某一分录的借方发生额600元，误写成6 000元 B.某一分录的借贷方向写反 C.借方的金额误记到贷方 D.漏记了借方的发生额 5、下列关于试算平衡法的说法，正确的是（）。 A.漏记某项经济业务影响试算平衡 B.包括发生额试算平衡法和余额试算平衡法 C.试算平衡了，账户记录一定正确 D.发生额试算平衡法理论的依据是会计等式 6、企业购入原材料10 000元，已开出支票支付6 000元，另4 000元暂欠。下列会计分录正确的是（）。 A.借：原材料10 000 贷：银行存款10 000 B.借：原材料10 000 贷：应付账款10 000 C.借：原材料10 000 贷：银行存款6 000 应付账款4 000 D.借：原材料10 000 贷：应付票据6 000 应付账款4 000
第三章练习题 一、单选 1、（A）是本—量—利分析最基本的假设，是本—量—利分析的出发点。 A、相关范围假设 B、模型线性假设 C、产销平衡假设 D、品种结构不变假设 2、在各种盈亏临界图中，（B）更符合变动成本法的思路。 A、传统式Ｂ、贡献毛益式Ｃ利量式Ｄ、单位式 ３、在单位盈亏临界图中，产品销售单价线与（A）的交点即为盈亏临界点。 Ａ单位成本线Ｂ单位固定成本线Ｃ单位变动成本线Ｄ利润线 ４、已知Ａ企业为生产和销售单一产品企业，A 企业计划年度销售量为１０００件，销售单价为５０元，单位变动成本３０元，固定成本总额２５０００元，则销售量、单价、单位变动成本、固定成本各因素的敏感程度由高到低排列是（Ｃ） Ａ、单价>销售量>单位变动成本>固定成本 Ｂ、单价>单位变动成本>销售量>固定成本 Ｃ、单价>单位变动成本>固定成本>销售量 Ｄ、单价>销售量>固定成本>单位变动成本 ５、在利量式盈亏临界图中，若横轴代表销售额，则利润线的斜率代表（C） Ａ、单位边际贡献B、变动成本率C、边际贡献率D、单位变动成本 6、某企业只生产一种产品，单位变动成本为36元，固定成本总额4000元，产品单位售价56元，要使安全边际率达到50％，该企业的销售量应达到（A）件。 A、400 B、222 C、143 D、500 7、下列各式中，其计算结果不等于变动成本率的是（B） A 、1－边际贡献率B、1－达到盈亏临界点的作业率 C、单位变动成本/单价×100％ D、变动成本/销售收入×100％ 8、下列措施中只能提高安全边际而不能降低盈亏临界点的是（B） A、提高单价 B、增加销售量 C、降低单位变动成本 D、压缩固定成本开支 9某单位某产品的单价为40元，单位变动成本为30元，固定成本为20000元，目标净利润为26800元，所得税税率为33％，则实现目标净利润的销售量为（A）。 A、6000件 B、5000件 C、4680件 D、5500件 10、下列因素单独变动时，不会导致盈亏临界点随之变动的是（A） A、销售量 B、单位变动成本 C、固定成本 D、单价 11、下列各项指标中，其数值越小，说明企业经营的安全程度越大的是（D） A、安全边际率 B、经营杠杆率 C、边际贡献率 D、达到盈亏临界点作业率 12、某企业只经营一种销量不稳、单位边际贡献大于零、盈亏临界点销售量为1600件的产品。今年预测销售量为1000，1500和2000件的概率分别为0.2，0.5和0.3，则当该产品销售量达到其数学期望值时，企业处于（D） A、保本状态 B、盈亏不确定状态 C、盈利状态 D、亏损状态 13、某一企业的经营状态处于盈亏临界点，则下列说法中，（C）是错误的。 A、在盈亏临界点的基础上，增加销售量，销售收入超过总成本。 B、处于盈亏临界点时，销售收入与总成本相等。 C、此时的销售利润率大于零。 D、销售收入与总成本线的交点，就是盈亏临界点 14、某产品单位售价为10元，单位变动成本为6元，计划销售1000件，欲实现利润500元，则固定成本应控制的水平为（B）
第一章 绪论 一. 填空题 1.* x 为精确值x 的近似值；() **x f y =为一元函数 ()x f y =1的近似值； ()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式： **e x x =-：***r x x e x -= () ()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()() ()' ***1* *r r x f x y x f x εε≈⋅ ()()()()()* *,**,*2**f x y f x y y x y x y εεε∂∂≈⋅+⋅∂∂ ()()()()() * * **,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂ 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。 3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又 取 1.73≈（三位有效数字），则 -21 1.73 10 2 ≤⨯。 4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。 5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。 6、 已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.000021 .
7、 递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0 n n-1y =y =10y -1,n =1,2, 如果取0 1.41y ≈作计算,则计算 到10y 时,误差为81 10 2 ⨯;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、 精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 位和 4 位有效数字。 9、 若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5 。 10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n 的相对误差0.02n 二、计算题 1. 有一个长方形水池,由测量知长为(50±0.01)米,宽为(25±0.01)米,深 为(20±0.01)米,试按所给数据求出该水池的容积,并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式,并求出绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形水池的长为L ，宽为W,深为H ，则该水池的面积为 V=LWH 当L=50,W=25,H=20时，有 V=50*25*20=25000(米3) 此时，该近似值的绝对误差可估计为 ()()()() ()()() =V V V V L W H L W H WH L HL W LW H ∂∂∂∆≈ ∆+∆+∆∂∂∂∆+∆+∆ 相对误差可估计为：()() r V V V ∆∆= 而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足 ()()()0.01,0.01,0.01L W H ∆≤∆≤∆≤ 故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为 ()()()() ()()3 25*20*0.0150*20*0.0150*25*0.0127.5027.50 1.1*1025000 r V WH L HL W LW H V V V -∆≤∆+∆+∆≤++=∆∆= ≤=
第三章处理机的调度与死锁 1．高级调度与低级调度的主要任务是什么？为什么要引入中级调度？ 答：高级调度的主要任务是根据某种算法，把外存上处于后备队列中的那些作业调入内存。低级调度是保存处理机的现场信息，按某种算法先取进程，再把处理器分配给进程。引入中级调度的主要目的是为了提高内存利用率和系统吞吐量。使那些暂时不能运行的进程不再占用内存资源，将它们调至外存等待，把进程状态改为就绪驻外存状态或挂起状态。 2．何谓作业、作业步和作业流？ 答：作业包含通常的程序和数据，还配有作业说明书。系统根据该说明书对程序的运行进行控制。批处理系统中是以作业为基本单位从外存调入内存。 作业步是指每个作业运行期间都必须经过若干个相对独立相互关联的顺序加工的步骤。作业流是指若干个作业进入系统后依次存放在外存上形成的输入作业流；在操作系统的控制下，逐个作业进程处理，于是形成了处理作业流。 3．在什么情况下需要使用作业控制块JCB？其中包含了哪些内容？ 答：每当作业进入系统时，系统便为每个作业建立一个作业控制块JCB，根据作业类型将它插入到相应的后备队列中。JCB 包含的内容通常有： 1) 作业标识 2)用户名称 3)用户账户 4)作业类型（CPU繁忙型、I/O 芳名型、批量型、终端型） 5)作业状态 6)调度信息（优先级、作业已运行） 7)资源要求 8)进入系统时间
9) 开始处理时间 10) 作业完成时间 11) 作业退出时间 12) 资源使用情况等 4．在作业调度中应如何确定接纳多少个作业和接纳哪些作业？ 答:作业调度每次接纳进入内存的作业数，取决于多道程序度。应将哪些作业从外存调入内存，取决于采用的调度算法。最简单的是先来服务调度算法，较常用的是短作业优先调度算法和基于作业优先级的调度算法。 5．试说明低级调度的主要功能。 答：（1）保存处理机的现场信息 （2）按某种算法选取进程 （3）把处理机分配给进程。 6．在抢占调度方式中，抢占的原则是什么？ 答：抢占的原则有：时间片原则、优先权原则、短作业优先权原则等。 7．在选择调度方式和调度算法时，应遵循的准则是什么？ 答：1）面向用户的准则：周转时间短、响应时间快、截止时间的保证、优先权准则。2）面向系统的准则：系统吞吐量高、处理机利用率好、各类资源的平衡利用。 8．在批处理系统、分时系统和实时系统中，各采用哪几种进程（作业）调度算法？ 答：批处理系统的调度算法：短作业优先、优先权、高响应比优先、多级反馈队列调度算法。分时系统的调度算法：时间片轮转法。实时系统的调度算法：最早截止时间优先即EDF、最低松弛度优先即LLF算法。 9．何谓静态和动态优先级？确定静态优先级的依据是什么？ 答：静态优先级是指在创建进程时确定且在进程的整个运行期间保持不变的优先级。动
工程数学复习题 1．00 1102 1 2=-k k 的充分条件是（ C ） （A ） k ＝2 （B ）k ＝0 （C ）k ＝－2 （D ）k ＝3 2．如果1333231 232221 13 1211 ==a a a a a a a a a D ，33 32 31312322212113 121111 1324324324a a a a a a a a a a a a D ---=，那么=1D （ B ） （A ） 8 （B ）－12 （C ）24 （D ）－24 3．已知矩阵33 32 31 232221 13 1211 a a a a a a a a a A =，那么能左乘A （在A 的左边）的矩阵是（ B ） （A ） ⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡3231 22211211b b b b b b （B ）[]1312 11b b b （C ）⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡312111b b b （D ）⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡2221 1211b b b b 4．设A ，B ，C 均为n 阶矩阵，下列运算不是运算律的是（ Ｄ ） （A ） （Ａ+Ｂ）+Ｃ＝（Ｃ+Ａ）+Ｂ （B ） （Ａ+Ｂ）Ｃ＝ＡＣ+ＡＢ （Ｃ） Ａ（ＢＣ）＝（ＡＢ）Ｃ （Ｄ） Ａ（ＢＣ）＝（ＡＣ）Ｂ 5．已知A ，B ，C 均为n 阶矩阵，且ABC ＝I ，则下列结论必然成立的是（C ） （A ）ACB ＝I （B ）BAC ＝I （Ｃ）BCA ＝I （Ｄ）CBA ＝I 6．设有向量组)1,0,0(),0,0,1(21==αα，若β是2,1αα的线性组合，则β可以等于（ B ） （A ）)2,1,0( （B ）)4,0,3(- （Ｃ）)0,1,1( （Ｄ）)0,1,0(- 7．n 维向量组()n s s ≤≤3,...,,21ααα线性无关的充分必要条件是（ D ） （A ）存在一组不全为零的数s k k k ,...,,21，使0...2211≠+++s s k k k ααα； （B ）s ααα,...,,21中任意两个向量都线性无关； （Ｃ）s ααα,...,,21中存在一个向量，它不能由其余向量线性表示； （Ｄ）s ααα,...,,21中任意一个向量都不能由其余向量线性表示； 8．已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（ C ）也线性无关 （A ）14433221,,,αααααααα++++ （B ）14433221,,,αααααααα---- （Ｃ）14433221,,,αααααααα-+++ （Ｄ）14433221,,,αααααααα--++
第二章作业答案（习题二P48） 1. (1) 解：()()2 1max 1 0= =≤≤∞x f x f x ()()4 1 2110101=-==⎰⎰dx x dx x f x f ()()63212 1 102 2 1 102 2=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝ ⎛=⎰⎰dx x dx x f x f 4.解：设()()dx x b ax b a F ⎰-+= 20 2 sin ,π ，令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂024024 122 2 3ππππb a b F b a a F 解得：2 3 24 8,2496π ππ π -= -=b a 5.解：（1）())0(≠≡C C C x f 为常数，且，则()0='x f ，而 ()()()0,=''= ⎰dx x f x f f f b a 这与内积定义中当且仅当0≡f 时，()0,=f f 矛盾。从而此定义不能构成[]b a C ,1 上的内 积。 （2）()()()()()()g f a f a g dx x f x g f g b a ,,=+''=⎰； 对，R ∈∀α有 ()()[]()()()()g f a g a f dx x g x f g f b a ,,αααα=+'' = ⎰； 对()[]b a C x h ,1 ∈∀，有 ()()()[]()()[]()()()h g h f a h a g a f dx x g x f h g f b a ,,,+=++' +=+⎰； 又 ()()[]()0,2 2 ≥+'= ⎰a f dx x f f f b a
若()0,=f f ，则 ()[]()0,02 2 =='⎰a f dx x f b a 且，即()()00=='a f x f 且，故 ()0=x f 从而当且仅当0≡f 时，()0,=f f 。 由内积定义知此定义构成[]b a C ,1上的内积。 9．见书P185答案。 12. （1）解：由()()x x x ==10,1ϕϕ，可设所求多项式为 ()x a a x P 101+=， …1分 ()()()21,,,11,1 01101 02 00=====⎰⎰dx x dx ϕϕϕϕϕϕ ()(),2ln 214arctan ,,31,100102 11⎰⎰-====πϕϕϕxdx f dx x ()2 14arctan ,1 01-=⋅=⎰πϕxdx x f 从而10,a a 满足的正规方程组为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+21 4312 12ln 2 14211010ππa a a a 解之得 2ln 362 3,32ln 22 10+-= +-- =π π a a 所求最佳平方逼近多项式为 ()x x P ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+-++-- =2ln 362332ln 221ππ (3) 解：由()()x x x ==10,1ϕϕ，可设所求多项式为 ()x a a x P 101+=， ()()()2 1 ,,,11,1 001101 200= ====⎰⎰dx x dx ϕϕϕϕϕϕ ()()()5 2 ,,32,,31,1011001 02 11=⋅===== ⎰⎰⎰x d x x f dx x f dx x ϕϕϕϕ 从而10,a a 满足的正规方程组为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ =+=+52312 13 2211010a a a a 解之得5 4 ,15410== a a
（完整版）平法钢筋识图算量基础教程思考练习题答 案 (完整版)平法钢筋识图算量基础教程思考练习题答案《平法钢筋识图算量基础教程》思考与练习题答案第三章第一节思考与练习题参考答案 1、绘制图3-1-18的BJ J1在X或Y方向的剖面图，并标注各部位形状尺寸。 图3-1-18 BJ J1 3、在图3-1-19中填写集中标注空格内的数据。 400 700 300 200 600 图3-1-19 BJ P2练习第三章第二节思考与练习参考答案 1、独立基础底部钢筋的起步距离是__min(s,/2,75)_______ 2、当独立基础底板长度__≥2500mm__时，除外侧钢筋外，底板配筋长度可缩减10%。 3、计算图3-2-11所示DJ J1的X向钢筋的长度和根数(列出计算公式) 图3-2-11 练习X向钢筋长度=x-2c (c是指砼保护层) X向钢筋根数=(y-2*min(200/2,75))/200+1 第三章第三节思考与练习参考答案 1、计算图3-3-16中DJ P5基础底板顶部钢筋的长度和根数。 图3-3-16 DJ P5平法施工图独基顶部受力筋长度=1000+2la 独基顶部受力筋根数=(200+400+200-2*min(120/2,75))/120+1 独基顶部分布筋长度=200+400+200-2*40(两端减砼保护层) 独基顶部分布筋根数=(1000+2la-2*min(200/2,75))/200+1(在受力筋长度范围内布置) 第四章第一节思考与练习参考答案 1、JL04(5B)的含义是____基梁04，5跨，两端外伸_______ 2、在图4-1-25中填空： 250*200 图4-1-25 3、在图4-1-26中填空： 14 图4-1-26 4、在图4-1-27中填空： 架立筋图4-1-27 5、在图4-1-28中填空： 梁端底底部非贯通筋图4-1-28 ___TJB P___ 6、图4-1-19所示的条形基础的代号是：Array图4-1-29 第四章第二节思考与练习参考答案 1、在图4-2-2中填空，基础梁底部贯通筋端部弯折长度 15d 图4-2-2 练习一 2、在图4-2-3中填空，基础梁等截在外伸，底部贯通纵筋端部弯折长度 12d 图4-2-3 练习二 3、在图4-2-4中填空，基础梁底部非贯通纵筋的延伸长度边跨净跨值/3 图4-2-4 练习三 4、在图4-2-5中填空，基础梁顶部贯通筋端部弯折长度 15d 图4-2-5 练习四 5、在图4-2-6中填空，基础梁顶部第二排钢筋锚长 la 图4-2-6 练习五 6、
《高等工程数学》――科学出版社版习题答案： 第一章习题（P26） 1．略 2．在R 4中，求向量a ＝[1,2,1,1]T ,在基 a 1 ＝ [1 , 1, 1, 1]T , a 2 ＝ [1 , 1, －1,－1]T a 3 ＝ [1 , －1, 1, －1]T a 4 ＝ [1 , －1,－1, 1]T 下的坐标。 解：其坐标为：x ＝( 5/4, 1/4, －1/4，－1/4 )T 3．在R 2×2 中，求矩阵12A=03⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ ，在基 111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =00⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ 下的坐标。 解：其坐标为：x ＝( 3, －3, 2，－1 )T 4．试证：在R 2×2 中，矩阵 111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =11⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ 线性无关。 证明：设 k 1B 1+ k 2B 2+ k 3B 3+ k 4B 4=0000⎡⎤ ⎢ ⎥⎣⎦ ，只要证明k 1= k 2 = k 3= k 4 =0即可。余略。
5．已知R 4中的两组基： 和T T T T 1234=[2,1,1,1],=[0,3,1,0],=[5,3,2,1],=[6,6,1,3]ββββ－ 求由基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵，并求向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标。 解：基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵是：2 0561 33611211 013⎡⎤⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ － 向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标是： 6．设R[x]n 是所有次数小于n 的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p(x) = 1+ 2x n －1在基{1，(x －1)，(x －1)2，(x －1)3，….，(x －1)n －1}的坐标。 解：所求的坐标是：（3，11 111 2,...,2,...,2k n n n n C C C ----）T 7．已知T T T T 1212=[1,2,1,0],=[-1,1,1,1],=[2,-1,0,1],=[1,-1,3,7]ααββ， 求V 1＝12212{,}V ={,}span span ααββ与的和与交的基和维数。 解：V 1＋V 2的一组基为T T T 121=[1,2,1,0],=[-1,1,1,1],=[2,-1,0,1]ααβ，所以维数为3 V 1∩V 2的一组基是：123[5,2,3,4]T ββ-+=-，所以维数为1。 8．设T 是n 维线性空间V 上的一个线性变换，对某个ξ∈V ，有T k －1（ξ）≠0， T k （ξ）＝0。试证：21,(),(),...,()k T T T ξξξξ-线性无关。
第六章 7、设X 1，X 2，…X n 为总体 X~N （μ，σ2）的样本，求E[ 2 1 ) (x x n i i -∑=]，D[ 2 1 ) (∑=-n i i x x ]。 解：E[2 1 )(x x n i i -∑=]=（n-1)E[11-n 21)(x x n i i -∑=]=(n-1)σ2 由于 )1(~)(22 1 2 --∑=n X x x n i i σ 所以 D[2 1 ) (∑=-n i i x x ]= ])([ 2 1 2 σ ∑=-n i i x x D =σ22（n-1) 8、设X 1，X 2，…X 5为总体X~N （0，1）的样本， （1）试拟定常数c 1、d 1，使得)(~)()(2 254312211n x x x d x x c χ++++并求出n ； （2）试拟定常数c 2、d 2，使得),(~)() (2 54322 2212n m F x x x d x x c +++。 解：（1）2 12 )(1x x n S n i i -=∑=且总体为X~N （0，1），所以c 1=21，d 1=3 1 由于2χ分布具有可加性，即若X i ~2χ（i=1，……k ），且各样本互相独立，则 )(~1 2 1 ∑∑==k i i k i i n x χ，所以n=2。 （2）由于)2,0(~21N x x +，)3,0(~)(543N x x x ++， )1,0(~2 2 1N x x +， )1,0(~3 5 43N x x x ++且互相独立， 所以221]2[ x x ++2 543]3 [x x x ++)2(~2χ 由于)2(~2 2 22 1χx x +， )1(~3 )(22 543χx x x ++
第三章习题一、选择题： 1.战后科技革命的基本内容不包括：（） A微电子技术 B新能源技术 C人工智能 D生物工程技术 2.农业是国民经济中最古老的部门，与工业相比也是国民经济中比拟落后的部门,手工劳动长期占统治地位。在兴旺资本主义国家，资本主义机器大工业早在19世纪就建立起来了,而农业现代化，直到第二次世界大战之前，只有美国到达了较高水平。战后在科技革命的推动下，西方兴旺国家在20世纪50—70年代的20 多年间，实现了农业现代化，包括：（） A农业全盘机械化、农业化学化、农业良种化和农业工业化 B农业全盘机械化、农业智能化、农业自动化和农业工业化 C农业化学化、农业智能化、农业自动化和农业工业化 D农业自动化、农业工业化、农业一体化和农业智能化 3.工业结构“软化”的趋势也给兴旺资本主义国家带来了一些问题，其中有两个方面的问题最为突出：一是（），二是（）o A产业“空心化”；摩擦性失业 B产业“空心化”；结构性失业 C产业金融化；季节性失业 D产业虚拟化；结构性失业 4.在历史已进入21世纪的今天,仅将信息作为生产力的一个要素是很不够的,它标志着一个新时代的来临。人类已经送走了手工劳动的时代,现在正在送走机械化的时代,迎来电子化的时代;或者说,人类已经告别了农业社会,现在正在告别工业社会，而进入信息社会。信息作为一种生产要素，具有诸多特性，以下哪一项不属于信息的特点：（） A信息有强大的渗透性 B信息具有不对称性 C信息是一种在使用中不受损失并收益递增的生产要素 D信息是一种最具流动性的生产要素 5.战后科技革命的主要特点不包括：（） A全面性和世界性 B革新了机器体系、劳动方式和生活方式 C科技开展和在生产中的应用的到了政府的有利支持 D科学革命和技术革命的非同步开展二、简答题 1.战后科技革命的基本特点有哪些？它对国民经济和世界经济开展产生了哪些影响？ 2.战后科技革命给生产力结构带来了哪些变化？如何认识和理解“科学技术是第一生产力”？