二次函数与实际问题
1、理论应用(基本性质的考查:解析式、图象、性质等）
2、实际应用（拱桥问题,求最值、最大利润、最大面积等）
类型一：最大面积问题
例一：如图在长20０米,宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积y(㎡)与路宽x（m)之间的关系?并求出绿地面积的最大值?
变式练习１：如图，用5０ｍ长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y(㎡)与它与墙平行的边的长x（m)之间的函数关系式？当ｘ为多长时，花园面积最大?
类型二:利润问题
例二:某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.５元．根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时，销售量是500件,而单价每降低１元,就可以多售出2０0件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?
设销售单价为x元，(0＜x≤13.5)元，那么
（1）销售量可以表示为＿_＿__＿＿_________＿___;
（2）销售额可以表示为_＿_____＿_＿＿＿__＿＿＿_＿_;
（3）所获利润可以表示为__＿___＿_____＿____＿；
（4）当销售单价是_＿____＿_元时,可以获得最大利润,最大利润是___＿____＿_
变式训练2.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映：每涨价1元,每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件４0元,如何定价才能使利润最大？
变式训练3:某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后，公司经历从亏损到盈利的过程,如下图的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润y(万元）与销售时间x(月)之间的关系（即前ｘ个月的利润之和y与x之间的关系）.?（1）根据图上信息,求累积利润ｙ（万元)与销售时间ｘ（月）的函数关系式；?(2）求截止到几月末公司累积利润可达到3０万元？?（3)求第8个月公司所获利润是多少万元?
400
300
60 70 Ｏ
y (件) )
变式训练4.某服装公司试销一种成本为每件5０元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价,又不高于每件7０元,试销中销售量y （件)与销售单价x （元)的关系可以近似的看作一次函数（如图）．
(１)求y 与x 之间的函数关系式;
（2)设公司获得的总利润(总利润＝总销售额 总成本）为Ｐ元，求P 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围;根据题意判断：当x 取何值时，P 的值最大?最大值是多少?
类型三：实际抛物线问题
例三：某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图１0所示。
（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴,建立直角坐标系,求该抛物线对应的函数关系式；
（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3ｍ，
车与箱共高4.５ｍ，此车能否通过隧道?并说明理由。
4米，水位上升３米就达到变式练习3:如图是抛物线型的拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽6
4米，若洪水到来时，水位以每小时0.2
警戒水位线ＣD,这时水面宽3 Array５米的速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？
例2图
变式练习4：如图,某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门的地面高度为8米，两侧距地
面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6米,则校门的高度为。
(精确到0.1米)
变式：1如图,排球运动员站在点O处练习发球，将球从Ｏ点正上方２m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(ｍ)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=ａ(x-6）2＋h.已知球网与O点的水平距离为９ｍ,高度为2.４３ｍ，球场的边界距O点的水平距离为18ｍ。
（1）当h＝2.６时,求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)
（２）当ｈ＝２.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由;
(３）若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围。
课后练习：
一，利润问题:
1.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售,增加盈利，尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价１元,商场平均每天可多售出2件．
(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?
(2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多?
二，面积问题:
2，如下图,在一个直角三角形的内部作一个长方形ＡBＣＤ，其中AB和AＤ分别在两直角边上.
(1）设长方形的一边ＡB=xｍ,那么AD边的长度如何表示?
(2)设长方形的面积为y m２,当x取何值时，ｙ的值最大?最大值是多少?
3. 有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m ,跨度为４0m , 现把它的示意图放在平面直角坐标系中， 如图该抛物线的解析式为
。
４.教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度ｙ（m )与水平距离x (m )之间的关系为y =-
1
12
(x －4)2+3,由此可知铅球推出的距离是___＿___＿m ．
５、如图,一小孩将一只皮球从Ａ处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处Ａ距地面的距离OA 为1 m,球路的最高点B (８,9)，则这个二次函数的表达式为___＿_＿,小孩将球抛出了约_＿＿_＿_米(精确到0.1 m ） ．
x
y
A B O
(第5题
)
6、有一个抛物线形的拱形桥洞,桥洞离水面的最大高度为４ m,跨度为10 m.如图所示,把它的图形放在直角坐标系中．
（1） 求这条抛物线所对应的函数关系式; （2） 如图，在对称轴右边1 m 处，桥洞离 水面的高是多少？
二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点 ),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x
7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值围. 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得 到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点 又∵y=x 2－x+m=[x 2－x+（12）2]－ 14+m=（x －12）2+414 m - ∴对称轴是直线x=12，顶点坐标为（12，41 4 m -）． （2）∵顶点在x 轴上方， ∴顶点的纵坐标大于0，即41 4 m ->0 ∴m> 14 ∴m>1 4 时，顶点在x 轴上方． （3）令x=0，则y=m ． 即抛物线y=x 2－x+m 与y 轴交点的坐标是A （0，m ）． ∵AB ∥x 轴 ∴B 点的纵坐标为m ． 当x 2－x+m=m 时，解得x 1=0，x 2=1． ∴A （0，m ），B （1，m ） 在Rt △BAO 中，AB=1，OA=│m │． ∵S △AOB =1 2 OA ·AB=4． ∴ 1 2 │m │·1=4，∴m=±8 故所求二次函数的解析式为y=x 2－x+8或y=x 2－x －8． 【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a ，b ，c 的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处． 例2 已知：m ，n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m 为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积； （3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标． 【分析】（1）解方程求出m，n的值．用待定系数法求出b，c的值． （2）过D作x轴的垂线交x轴于点M，可求出△DMC，梯形BDBO，△BOC的面积，用割补法可求出△BCD的面积． （3）PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能：①EH=3 2EP，②EH=2 3 EP． 【解答】（1）解方程x2－6x+5=0， 得x1=5，x2=1． 由m 一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a 例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。 解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1(二次函数经典例题及答案
二次函数典型例题解析与习题训练
二次函数压轴题题型归纳
高中数学二次函数分类讨论经典例题
2021年中考 二次函数题型分类复习总结