职高数学一元二次函数练习题
填空题：
1．一元二次函数的顶点坐标为____________，两个根分别为______，______，对称轴方程为 _________________.
2．已知一元二次函数的图象与轴的交点为(－2，0)(1，0)，并且经过(2，4)点，则它的解析式为____________________.
3．不等式＜0的解集为__________________.
选择题：
4．函数的顶点的坐标是( ).
(A)(2，－3) (B)(－2，3) (C)(－2，－3) (D)(2，3)
5．函数的最小值是( ).
(A)3 (B)4 (C)2 (D)－3
6．二次函数＝2(＋5)－2图象的顶点是( ).
(A)(5，2) (B)(－5，－2) (C)(－5，2) (D)(5，－2)
7．设函数＝(－1＜≤1)，那么它是( ).
(A)偶函数，不是奇函数 (B)奇函数，不是偶函数
(C)既是奇函数，又是偶函数 (D)既不是奇函数，又不是偶函数
解答题：
8．求下列函数的定义域：
(1)； (2).
9．用配方法将函数化成的形式，并指出它的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴方程及函数的最大(或最小)值.
10．作函数＝的图象，并根据图象求解以下问题(精确0.1)：
(1)求＝2，＝2.4，＝－1.7时的函数值；
(2)求1.2，(－2.3)；
(3)求对应＝2，＝5.8的值；
(4)求，；
(5)计算上述各值，并与由图象得出的各值作比较.
11．求下列函数图象顶点的坐标、函数的最大值或最小值：
(1)；(2).
12．求函数＝－2－3的图象与轴的交点与顶点的坐标.
13．已知二次函数＝－＋4－3.
(1)指出函数图象的开口方向；
(2)当为何值时，＝0；
(3)求函数图象顶点的坐标和对称轴.
14．当为何值时，函数的图象与轴不相交.
15．已知下列二次函数，分别求＞0，＜0时的取值范围：
(1)； (2).
16．求下列函数的定义域：
(1)； (2).
17．当在什么范围内取值时，方程＋2(－1)＋3－11＝0.
(1)有实数根； (2)没有实数根.
18．已知函数，(0)＝－10，(1)＝0，(－5)＝0，求这个函数.
19．已知函数，(3)＝0，(－1)＝0，(－2)＝0，求这个函数.
20．若一次函数满足[]＝2＋1，求.
答案、提示和解答：
1．(1，1)；＝0，＝2；＝1.
2．＝＋－2.
3．{|－1＜＜3}.
4．C. 5．A. 6．B. 7．D.
8．(1)；(2)[－2，6].
9．解：.∵，∴函数图象开口向下，顶点坐标为(－2，8)，对称轴方程为＝－2，函数的最大值为8.
10．(1)＝2，＝4；＝2.4，≈5.8；＝－1.7，≈2.9；
(2)(1.2)≈1.4，(－2.3)≈5.3；
(3)＝2时，＝1.4或＝－1.4，＝5.8时，＝2.4或＝－2.4；
(4)，；
(5)略.
11．(1)顶点坐标(2，－7)，＝－7；
(2)顶点坐标(1，5)，＝5.
12．与轴交点(－1，0)，(3，0)，顶点坐标(1，－4).
13．(1)曲线开口向下；
(2)＝1，＝3；
(3)顶点坐标(2，1)，对称轴＝2.
14．＞.
15．(1)当时，＞0，当时，＜0；
(2)当时，＜0，当时，＞0. 16．(1)；
(2).
17．(1)－3≤≤2；
(2)＜－3或＞2.
18．.
19．.
20．或.
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例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。
解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1(
2019 高一数学二次函数知识点归纳为了帮助考生们了解更多高中知识点，查字典数学网分享了高一数学二次函数知识点归纳，供您参考! I. 定义与定义表达式 一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax A2+bx+c (a , b, c为常数，a0,且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0 时，开口方向向下，IaI 还可以决定开口大小，IaI 越大开口就越小，IaI 越小开口就越大.) 则称y 为x 的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II. 二次函数的三种表达式 一般式：y=axA2+bx+c(a ，b，c 为常数，a0) 顶点式：y=a(x-h)A2+k[ 抛物线的顶点P(h，k)] 交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[ 仅限于与x 轴有交点A(x? ，0) 和 B(x?，0) 的抛物线] 注：在3 种形式的互相转化中，有如下关系： h=-b/2ak=(4ac-bA2)/4ax? ，x?=(-bbA2-4ac)/2a III. 二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=xA2 的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 IV. 抛物线的性质 1. 抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x=-b/2a 。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0） 2. 抛物线有一个顶点P,坐标为 P（-b/2a , （4ac-bA2）/4a） 当-b/2a=0 时，P在y轴上；当=bT-4ac=0时，P在x轴上。 3. 二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小。 当a0 时，抛物线向上开口；当a0 时，抛物线向下开口。 |a| 越大，则抛物线的开口越小。 4. 一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。当a 与 b 同号时（即ab0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab0），对称轴在y 轴右。 5. 常数项c 决定抛物线与y 轴交点。抛物线与y 轴交于（0 ，c） 6. 抛物线与x 轴交点个数 =b A2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。 =b A2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 =bA2-4ac0 时，抛物线与x 轴没有交点。X 的取值是虚数（x=-bbA2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i ，整个式子除以2a） V. 二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y=axA2+bx+c ， 当y=0 时，二次函数为关于x 的一元二次方程( 以下称方程) ，
[A 基础达标] 1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋5(0≤x <5)的值域为( ) A ． (0，5] B ．[0，5] C ．[5，9] D ．(0，9] 解析：选D.f (x )＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9(0≤x <5)，当x ＝2时，f (x )最大＝9；当x >0且x 接近5时，f (x )接近0，故f (x )的值域为(0，9]． 2．已知函数y ＝x 2－6x ＋8在[1，a )上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤3 B ．0≤a ≤3 C ．a ≥3 D ．10时，f (x )的对称轴为x ＝12a ，在????－∞，12a 上是递减的，由题意(－∞，2)?? ???－∞，12a ， 所以2≤12a ，即a ≤14 ，综上，a 的取值范围是????0，14. 4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (－2)＜f (0)＜f (2) B ．f (0)＜f (－2)＜f (2) C ．f (2)＜f (0)＜f (－2) D ．f (0)＜f (2)＜f (－2) 解析：选D.函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )．可知函数f (x )图像的对称轴为x ＝12 ，又函数图像开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大，故选D. 5．设二次函数f (x )＝－x 2＋x ＋a (a <0)，若f (m )>0，则f (m ＋1)的值为( )
高一数学 必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (18) 一、选择题（本大题共9小题，共45.0分） 1. 若a >b ，则下列正确的是( ) A. a 2>b 2 B. ac >bc C. ac 2>bc 2 D. a ?c >b ?c 2. 不等式?2x 2+x +3≤0的解集是( ) A. {x|?1≤x ≤3 2} B. {x|x ≤?1或x ≥3 2} C. {x|x ≤?3 2或x ≥1} D. {x|?3 2≤x ≤1} 3. 下列各函数中，最小值为2的是( ) A. y =x +1 x B. y =sinx +1 sin x ，x ∈(0,π 2) C. y =2√x 2+2 D. y =x ?2√x +3 4. 下列四个结论中正确的个数是( ) (1)对于命题p:?x 0∈R 使得x 02?1≤0，则?p:?x ∈R 都有x 2?1>0； (2)已知X ～N(2,σ2)，则P(X >2)=0.5 (3)已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为y ?=2x ?3； (4)“x ≥1”是“x +1 x ≥2”的充分不必要条件． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知集合A ={y |y =1 2}，B ={x|x 2<4}，则A ∪B = A. (0,2) B. (?2,2) C. (?1,+∞) D. (?2,+∞) 6. 函数f(x)=?x 2+3x ?2a ，g(x)=2x ?x 2，若f(g(x))≥0对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取 值范围为 A. (?∞,?2] B. (?∞,?1] C. (?∞,0] D. (?∞,1] 7. 已知函数f(x)=xe x +1 2x 2+x +a ，g(x)=xlnx +1，若存在x 1∈[?2,2]，对任意x 2∈[1 e 2,e]， 都有f (x 1)=g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A. [?3?1 e ?2e 2,e ?3?2e 2] B. (?3?1 e ?2e 2,e ?3?2e 2) C. [e ?3?2e 2,3 2] D. (e ?3?2e 2,3 2) 8. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a =4，A =π 3，则该三角形面积的最 大值是( ) A. 2√2 B. 3√3 C. 4√3 D. 4√2
高中数学-二次函数的性质与图象练习课时过关·能力提升 1函数y=x2-2x+m的单调递增区间为() A.(-∞,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,1] D.[-2,+∞) 解析因为二次函数的图象开口向上,且对称轴为x=1, 所以单调递增区间为[1,+∞). 答案B 2函数f(x)=x2-mx+4(m>0)在(-∞,0]上的最小值是() A.4 B.-4 C.与m的取值有关 D.不存在 解析因为函数f(x)的图象开口向上,且对称轴x=>0, 所以f(x)在(-∞,0]上为减函数, 所以f(x)min=f(0)=4. 答案A 3二次函数y=4x2-mx+5的对称轴为x=-2,则当x=1时,y的值为() A.-7 B.1 C.17 D.25 解析由已知得-=-2,解得m=-16, 故y=4x2+16x+5.当x=1时,y=4×12+16×1+5=25. 答案D 4已知二次函数f(x)=x2-ax+7,若f(x-2)是偶函数,则a的值为()
A.4 B.-4 C.2 D.-2 解析由已知得f(x-2)=(x-2)2-a(x-2)+7=x2-(a+4)x+2a+11. 因为f(x-2)是偶函数, 所以其图象关于y轴对称, 即=0,所以a=-4. 答案B 5已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是() 答案D 6已知函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是() A.[1,+∞) B.[1,2) C.[1,2] D.(-∞,2] 解析由于y=x2-2x+3=(x-1)2+2,其图象如图所示,且f(0)=3,f(1)=2,f(2)=3.结合图象可知m的取值 范围是[1,2]. 答案C 7已知二次函数f(x)=ax2+bx-1(a≠0).若f(x1)=f(x2)(x1≠x2),则f(x1+x2)等于() A.- B.- C.-1 D.0 解析由f(x1)=f(x2)可得f(x)图象的对称轴为x=, 故=-,即x1+x2=-,
高中数学教学论文：浅谈二次函数在高中阶段的应用 在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。 一、进一步深入理解函数概念 初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射？：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为？（x）= ax2+ bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题： 类型I：已知？（x）= 2x2+x+2，求？（x+1） 这里不能把？（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。 类型Ⅱ：设？（x+1）=x2－4x+1，求？（x） 这个问题理解为，已知对应法则？下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。 一般有两种方法： （1）把所给表达式表示成x+1的多项式。 ？（x+1）=x2－4x+1=（x+1）2－6（x+1）+6，再用x代x+1得？（x）=x2－6x+6 （2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。 令t=x+1，则x=t-1 ∴（t）=（t-1）2－4（t-1）+1=t2－6t+6从而？（x）= x2－6x+6 二、二次函数的单调性，最值与图象。 在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－b2a ]及[－b2a ，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。 类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
高一数学第二单元一二次函数知识点及测试题 一次函数二次函数知识点： 一、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx （k为常数，k≠0） 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数） 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1．作法与图形：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）
2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。 3．k，b与函数图像所在象限： 当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b＞0时，直线必通过一、二象限； 当b=0时，直线通过原点 当b＜0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 （2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ② （3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最后得到一次函数的表达式。
第1课 二次函数在闭区间上的最值 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。 一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，求)(x f 在][n m x ，∈上的最大值与最小值。 分析：将)(x f 配方，得顶点为???? ? ?--a b ac a b 4422，、对称轴为a b x 2-= 当0>a 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上)(x f 的最值： （1）当[]n m a b ，∈-2时，)(x f 的最小值是 a b ac a b f 4422 -= ?? ? ??-， )(x f 的最大值是)()(n f m f 、中的较大者。 （2）当),(2m a b -∞∈- 时，)(x f 在[]n m ，上是增函数则)(x f 的最小值是)(m f ，最大值是)(n f （3）当),(2+∞∈-n a b 时，)(x f 在[]n m ，上是减函数则)(x f 的最大值是)(m f ，最小值是)(n f 当0 成都市东湖中学九上数学《二次函数专题之化斜为直问题》专练 运用数学思想：①转换思想（坐标与线段的相互转换）②方程思想（几何问题代数化，代数问题方程化）－、基本图形在直角坐标系中： (1) (2) 二、典题练习 1、如图1，抛物线y＝ax2－3ax＋b经过A（一1，0）C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．求此抛物线的解析式； （1）如图2，过点E（1，一1），作EF⊥x轴于点F，将ΔAEF绕平面内某点旋转180后得ΔMNQ（点M、N、Q分别与点A、E、F对应）使点M、N在抛物线上，求M、N坐标。 AM=_________ MB=_________ AB=AM?________=MB?________ 1 = PB AP , P的坐标________ 2 1 = PB AP ，P的坐标________ n PB AP =，P的坐标________ 2、如图，已知抛物线y ＝x 2 一4与x 轴交于A 、B 两点，直线y ＝2 1 x ＋b 交抛物线与D 、E 两点. ①若ED ＝30，求b 的值； ②若ED 交y 轴于P 且PE:PD ＝1:2，求b 的值； ③若ED 交x 轴于M 且S ΔPOD :S ΔPAD ＝1:3，求b 的值。 三、巩固练习 1、ΔABO 中，点A 、B 的坐标分别为（2，0）（1，3），若点C 在第一象限，且BC 平行且等于OA ，抛物 线y ＝cx 2 ＋bx ＋c 经过O 、A 、C 三点，点D 是抛物线的顶点．求此抛物线的解析式； （1）在平面内是否存在这样一点Q ，将线段AD 绕点Q 旋转180后得到线段MN ，使点M 在x 轴上，点N 在该抛物线上，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 二次函数 1．解析式、待定系数法 若()2 f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值． 变式1：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则 A ．1,4,11a b c ==-=- B ．3,12,11a b c === C ．3,6,11a b c ==-= D ．3,12,11a b c ==-= 变式2：若()()2 23,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称，则c =_______． 变式3：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x ，且 2212269 x x += ，试问该二次函数的图像由()()2 31f x x =--的图像向上平移几个单位得到？ 2．图像特征 将函数()2 361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像． 变式1：已知二次函数()2 f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则122x x f +?? = ??? A ．2b a - B ．b a - C ． c D ．244ac b a - 变式2：函数()2 f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关 系是 A ．()()()110f f f <-< B ．()()()011f f f <-< C ．()()()101f f f <<- D ．()()()101f f f -<< 变式3：已知函数()2 f x ax bx c =++的图像如右图所示， 请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________． 3．）单调性 已知函数()2 2f x x x =-，()()2 2[2,4]g x x x x =-∈． (1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2) 求()f x ，()g x 的最小值． 变式1：已知函数()2 42f x x ax =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是 A ．3a ≥ B ．3a ≤ C ．3a <- D ．3a ≤- x y O 二次函数 一、考纲要求 1、掌握二次函数的概念、图像特征 2、掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上 的最值 3、掌握二次函数、二次方程、二次不等式（三个二次）之间的紧 密关系，提高解综合问题的能力。 二、高考趋势 由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着紧密的联系，加上三次函数的导数是二次函数，因此二次函数在高中数学中应用十分广泛，一直是高考的热点，特别是借助二次函数模型考查考生的代数推理问题是高考的热点和难点，另外二次函数的应用问题也是2010年高考的热点。 三、知识回顾 1、二次函数的解析式 （1）一般式： （2）顶点式： （3）双根式： 求二次函数解析式的方法： ○1已知时，宜用一般式○2已知时，常使用顶点式○3已知时，用双根式更方便 2、 二次函数的图像和性质 二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f 的图像是一条抛物线，对称轴的方程为 顶点坐标是（ ） 。 （1）当0>a 时，抛物线的开口 ，函数在 上递减，在 上递增，当a b x 2- =时，函数有最 值为 （2）当0x f ， 当 时，恒有 ()0. 二、二次函数（命题人：华师附中 郭键） 1．（人教A 版第27页A 组第6题）解析式、待定系数法 若()2 f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值． 变式1：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则 A ．1,4,11a b c ==-=- B ．3,12,11a b c === C ．3,6,11a b c ==-= D ．3,12,11a b c ==-= 变式2：若()()2 23,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称，则c =_______． 变式3：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x ，且2212269 x x +=，试问该二次函数的图像由()()231f x x =--的图像向上平移几个单位得到？ 2．（北师大版第52页例2）图像特征 将函数()2 361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像． 变式1：已知二次函数()2 f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则122x x f +??= ??? A ．2b a - B ．b a - C ． c D ．244ac b a - 变式2：函数()2 f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是 A ．()()()110f f f <-< B ．()()()011f f f <-< C ．()()()101f f f <<- D ．()()()101f f f -<< 变式3：已知函数()2f x ax bx c =++的图像如右图所示， 请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________． 3．（人教A 版第43页B 组第1题）单调性 x y O 函数性问题专题—动点问题 函数及其图象是初中数学中的主要内容之一，也是初中数学与高中数学相联系的纽带．它与代数、几何、三角函数等知识有着密切联系，中考命题中既重点考查函数及其图象的有关基础知识，同时以函数为背景的综合性问题也是命题热点之一，多数省市作压轴题．因此，在中考复习中，关注这一热点显得十分重要．以函数为背景的综合性问题往往都可归结为动点性问题，我们把它归纳为以下七种题型（附例题） 一、因动点而产生的面积问题 例1：如图10，已知抛物线P ：y =ax 2 +bx +c (a ≠0 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下： (1 求A 、B 、C 三点的坐标； (2 若点D 的坐标为(m ，0 ，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围； (3 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM =k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围. 若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2、(3小题换为下列问题解答(已知条件及第(1小题与上相同，完全正确解答只能得到5分： (2 若点D 的坐标为(1，0 ，求矩形DEFG 的面积 . 例2：如图1，已知直线 12 y x =-与抛物线2 164 y x =- +交于A B ，两点． （1）求A B ，两点的坐标； （2）求线段A B 的垂直平分线的解析式； （3）如图2，取与线段A B 端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线A B 动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．图2 图1 图10 第-2-页共4页 例3：如图1，矩形ODEF 的一边落在矩形ABCO 的一边上，并且矩形ODE F ∽矩形ABCO ，其相似比为1 : 4，矩形ABCO 的边 AB=4,BC=4 二次函数综合问题例谈 二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题. 1. 代数推理 由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质. 1.1 二次函数的一般式c bx ax y ++=2 )0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数. 例1 已知f x ax bx ()=+2 ，满足1≤-≤f ()12且214≤≤f ()，求f ()-2的取值范围. 分析：本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1≤-≤f ()12和 4)1(2≤≤f 当成两个独立条件，先用()1-f 和()1f 来表示b a ,. 解：由()b a f +=1，()b a f -=-1可解得： ))1()1((2 1 )),1()1((21--=-+= f f b f f a （*） 将以上二式代入f x ax bx ()=+2 ，并整理得 ()()??? ? ??--+???? ??+=2)1(2122x x f x x f x f , ∴ ()()()1312-+=f f f . 又∵214≤≤f ()，2)1(1≤-≤f , ∴ ()1025≤≤f . 高一数学二次函数试题 一．选择题（共23小题） 1．如果函数f （x）=x2+bx+c对任意实数t都有f（2+t）=f（2﹣t），那么（） A．f（2）＜f（1）＜f （4）B．f（1）＜f（2）＜f （4） C．f（2）＜f（4）＜f （1） D．f（4）＜f（2）＜f （1） 考点：二次函数的图象；二次函数的性质． 专题：压轴题；数形结合． 分析：先从条件“对任意实数t都有f （2+t）=f （2﹣t）”得到对称轴，然后结合图象判定函数值的大小关系即可． 解答：解：∵对任意实数t都有f （2+t）=f （2﹣t） ∴f（x）的对称轴为x=2，而f（x）是开口向上的二次函数故可画图观察 可得f（2）＜f（1）＜f（4）， 故选A． 点评：本题考查了二次函数的图象，通过图象比较函数值的大小，数形结合有助于我们的解题，形象直观． 2．二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=1，图象与x轴的两个交点中，一个交点的横坐标x1∈（2，3），则有 （） A．a bc＞0 B．a+b+c＜0 C．a+c＞b D．3b＜2c 考点：二次函数的图象；二次函数的性质． 专题：计算题． 分析：由二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=1，可以知道a＜0，b=﹣2a，交点的横坐标x1∈（2，3），可得到，从而可得答案． 解答：解：∵二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向下， ∴a＜0，又对称轴为x=1， ∴x=﹣=1， ∴b=﹣2a； ∴f（x）=ax2﹣2ax+c． 又与x轴的两个交点中，一个交点的横坐标x1∈（2，3），a＜0， ∴即：， ∴， ∴a+c＞﹣2a=b．C符合． 又a＜0，b=﹣2a＞0，c＞0， ∴abc＜0，排出A， ∵二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=1， ∴f（1）=a+b+c＞0，排出B，f（﹣1）=f（3）， 图象与x轴的两个交点中一个交点的横坐标x1∈（2，3）， ∴f（﹣1）=f（3）＜0，而f（﹣1）=a﹣b+c=﹣b+c＜0， ∴3b＞2c，排出D． 故选C． 点评： 本题考查了二次函数图象与性质，关键在于准确把握题目信息的意图，合理转化，特别是分析与应用是难点．属于中档题． 3．（2011?厦门模拟）已知函数，这两个 函数图象的交点个数为（） A．1B．2C．3D．4 考点：二次函数的图象；一次函数的性质与图象． 专题：综合题． 分析：本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数y=f（x）的图象与函数y=3x的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案． 解答：解：在同一坐标系下，画出函数y=f（x）的图象与函数y=3x的图象如下图： §4.1 二次函数的图像 教学目的：理解二次函数的图像中a,b,c,h,k 的作用；领会二次函数图像移动的方法 教学重点：二次函数的图像中a,b,c,h,k 的作用 教学难点：领会二次函数图像移动的方法 教学方法：逐层推进 教学过程： 一．复习引入 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点 (1) y = (x+2)2-1， (2) y = - (x -2)2+2 ， (3) y = a (x+h)2+k 二．问题探索 探索问题1： 2y x =和2(0)y ax a =≠的图像之间有什么关系？ 实践探究1：在同一坐标系中做出下列函数的图像; 2y x =; 22y x =; 212y x = 观察发现1: １.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图像可由的y=x 2图像各点纵坐标变为原来的a 倍得到. ２.a 决定了图像的开口方向: a>o 开口向上，a<0开口向下. 3. a 决定了图像在同一直角坐标系中的开口大小:|a|越小图像开口就越大 巩固性训练一 下列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为 (4),(2),(3),(1). 21()4f x x =; 21()2f x x =; 2 1()3 f x x =-; 2()3f x x =- 探索问题2： 2(0)y ax a =≠ 和 2(),(0)y a x h k a =++≠的图像之间有什么关系？ 实践探究2：在同一坐标系中做出下列函数的图像： 22y x = ； 22(1)y x =+； 22(1)3y x =+- 观察发现2： 二次函数y=a(x+h)2+k (a ≠0),a 决定了二次函数图像的开口大小及方向； 而且“a 正开口向上，a 负开口向下”；｜a ｜越大开口越小； h 决定了二次函数图像的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”； k 决定了二次函数图像的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”。 巩固性训练二： １.将二次函数y=3x 2的图像平行移动,顶点移到（－３，２），则它的解析式为 Y=3(x+3) 2+2 。 2.二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数g(x)=x 2+1，f(x) 图像的顶点为(3,2)，则f(x)的表达式为 Y=(x-3) 2+2 。 探索问题3： 2(0)y ax a =≠，和2(0)y ax bx c a =++≠的图像之间有什么关系？ 观察发现3：一般的，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠， 通过配方就可以得到它的恒等形式： 2(),(0)y a x h k a =++≠。 从而知道，由2(0)y ax a =≠ 的图像经过平移就可以得到2(0)y ax bx c a =++≠。 高一数学二次函数与一元二次方程教案 高邮市送桥中学 知识目标:（1）会用判别式的符号解释二次函数图象与x 轴交点及一元二次方程的根。 （2）理解解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间。 能力目标：体验并理解函数与方程相互转化的数学思想培和数形结合的数学思想。 情感目标：培养学生积极探索，主动参与，大胆创新，勇于开拓的精神 教学过程: 一、引入 等式2 0ax bx c ++=()0a ≠是关于x 的一元二次方程，关系式2 y ax bx c =++()0a ≠则 是关于自变量x 的二次函数。今天我们将进一步研究它们之间的关系。 二、新授 观察思考： 1、 几个具体的一元二次方程及其对应的二次函数，如 ①方程2230x x --=与函数2 23y x x =--； ②方程2 210x x -+=与函数2 21y x x =-+； ③方程2 230x x -+=与函数223y x x =-+。 研讨探究 问题：一元二次方程的根与二次函数图象和x 轴交点坐标有什么关系 ？ 探究点一：二次函数图象与一元二次方程根的关系。 ⑴以①为例（幻灯片） 结论：一元二次方程2230x x --=的判别式?＞0 ?一元二次方程2 230x x --=有两个 不相等的实数根?对应的二次函数2 23y x x =--的图象与x 轴有两个交点为（3，0），（–1，0）。 （2）再研究②③，能得类似的结论吗？ 结论：一元二次方程2210x x -+=判别式?=0一元二次方程2 210x x -+=?有两 等根?对应的二次函数2 21y x x =-+的图象与x 轴有唯一的交点为（1，0）。 一元二次方程判别式2230x x -+=?﹤0 ?一元二次方程2 230x x -+= 方程无实数根?对应的二次函数2 23y x x =-+的图象与x 轴没有交点。 联想发散 2、一元二次方程2 0ax bx c ++=（a ＞0）根的个数及其判别式与二次函数 2y ax bx c =++（a ＞0）图象与x 轴的位置之间有什么联系？） A B C D O x y 高中数学学习材料 金戈铁骑整理制作 1．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图1所示,下列五个代数式ab 、ac 、a-b+c 、b 2- 4ac 、2a+b 中,值大于0的个数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 2．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，下列结论： ①0 O M A N B C y x C 、D 两点在抛物线y ＝－x 2＋6x 上．设OA ＝m (0＜m ＜3)，矩形ABCD 的周长为l ，则l 与m 的函数解析式为 ． 9．已知抛物线22b x x y ++=经过点1()4a -，和1()a y -，，则1y 的值是 ． 10、若二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点在第一象限，且经过点 （0，1），（-1，0），则S=a+b+c 的变化范围是 ( ) (A) 0成都市东湖中学九上数学《二次函数专题之化斜为直问题》专练
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