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新高一数学衔接课专题四一元二次函数(导学案)

专题四一元二次函数（导学案）

【学习目标】

1、理解二次函数的概念，掌握二次函数的表示形式；

2、会用待定系数法求二次函数的解析式；

3、掌握二次函数的图像和性质。【学习重点】

二次函数的概念和解析式【学习难点】

二次函数的图像和性质

课前自测

1、二次函数y=-(x-1)2

+3的图象的顶点坐标是（） A ，（-1，3） B ，（1，3） C ，（-1，-3） D ，（1，-3） 2、把二次函数y=x 2

-2x-1配方成顶点式为（）

A ，y=（x-1）2

B ，y=（x-1）2

-2 C ，y=（x+1）2

+1 D ，y=（x+1）2

-2

3、二次函数y=x 2+bx+c 的图象上有两点（3，-8）、（-5，-8），此抛物线的对称轴是直线（） A ，x=4 B ，x=3 C ，x=-5 D ，x=-1

4、已知点A ()1,1y 、B ()

2,2y -、C ()3,2y -在函数()2

122

+=x y 上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（）。 A 、321y y y >>

B 、132y y y >>

C 、213y y y >>

D 、312y y y >>

5、二次函数2

y ax bx c =++的图象如下图, 则方程2

ax bx c ++=的解为；当x 为时，2

0ax bx c ++>;

当x 为时，2

0ax bx c ++<．

6.抛物线y=2x 2+6x+5的对称轴是直线x=________________.

7.将抛物线y=x 2

向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是________________。

【要点回顾】 1、概念

形如______________________________的函数叫做关于____的二次函数，用配方法可化成_____________________________ 2、表示形式

（1）一般式：____________________________________;

（2）顶点式：____________________________________________________; （3）交点式（两根式）：_______________________________________; 3、三个“二次”的关系

【典例精析】

题型一二次函数的图像和性质

例1、求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随x 的变化情况，并画出其图象．

（1）y ＝x 2－2x －3；（2）y ＝1＋6 x －x 2．

题型二求二次函数解析式

例2、求下列二次函数解析式：

①已知某二次函数的图象过()()()1,10,2,7,1,4-三点，求这个函数的解析式。

②已知抛物线2289y x x =-+-的顶点是A ，若二次函数2y ax bx c =++ 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0,0），C （3,0）两点。

③已知抛物线2y ax bx c =++的顶点是A （-1,4）且经过点（1,2）。

题型三二次函数最值问题

例3、对于二次函数2

41y x x =-+，分别在下列自变量取值范围内，求出函数的最大值、

最小值。

()()()1 34; 2 01; 3 05x x x ≤≤≤≤≤≤

【课后巩固】

1．选择题：

（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）（A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2 （C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x

（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2 （）

（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的（C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 2．填空题（1）二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝，n ＝．（2）已知二次函数y ＝x 2+(m －2)x －2m ，当m ＝时，函数图象的顶点在y 轴上；当

m ＝时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝时，函数图象经过原点．（3）函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标

为；当x ＝时，函数取最值y ＝；当x 时，y 随着x 的增大而减小．

3、根据下列条件，求二次函数的解析式。

(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1) ；

(3)、已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．

(4)、已知二次函数y=ax 2

+bx+c 的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点

（3，-6），求a 、b 、c 。 4、对于二次函数2

()46f x x x =-+，分别在下列自变量取值范围内，求出函数的最大值、最小值。()()()1 11; 2 14; 3 34x x x -≤≤-≤≤≤≤

高中数学二次函数分类讨论经典例题

例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围；（2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围（4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。

解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1(?吗？），即.4 21-++++≥+????? ?????≥+-+<+-<≥≥m m m m m m m m m m f f （3）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，原命题等价于 ???<<0)3(0)1(f f 即? ??<++++<++++0142)3(690142)3(21m m m m 得.421-0)4(0g m 或,0 )4(0???>)(恒成立，求实数a 的取值范围。解：（1）0)()(恒成立?.)]([min a x f >又当]1,1[-∈x 时， 5)1()]([min -=-=f x f ，所以).5,(--∞∈a 【评注】“有解”与“恒成立”是很容易搞混的两个概念。一般地，对于“有解”与“恒成立”，有下列常用结论：（1）a x f >)(恒成立?a x f >min )]([；（2）a x f <)(恒成立?a x f )(有解?a x f >max )]([；（4）a x f <)(有解?.)]([min a x f < 分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，首先应搞清二次项系数a 是否为零，如果)(,0x f a ≠的最大值与二次函数系数a 的正负有关，也与对称轴

人教版--高一数学必修4全套导学案

第二章平面向量 2.1 向量的概念及表示【学习目标】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量； 2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别； 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。【学习重难点】重点：平行向量的概念和向量的几何表示；难点：区分平行向量、相等向量和共线向量；【自主学习】 1.向量的定义：__________________________________________________________; 2.向量的表示：（1）图形表示：（2）字母表示： 3.向量的相关概念：（1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________ （2）零向量：___________________，记作：_____________________ （3）单位向量：________________________________ （4）平行向量：________________________________ （5）共线向量：________________________________ （6）相等向量与相反向量：_________________________ 思考：（1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正：（1）零向量是唯一没有方向的向量；（2）平面内的向量单位只有一个；（3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量； b c，则a和c是方向相同的向量；（4）向量a和b是共线向量，//

新高一数学衔接课专题一因式分解教案

专题一因式分解(2课时）教学目标：使学生掌握因式分解的几种典型方法（提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法，配方法，求根法）重点：十字相乘法分解因式难点：灵活选择适当方法分解因式教学方法：启发法，讨论法学法指导：带领学生复习初中因式分解的相关知识，为高中知识的学习做好铺垫。讲练结合。教具：多媒体教学过程：一、知识前测（通过做题回顾初中所学习的因式分解的方法） 1.完成下列因式分解，并思考所用的方法。因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法、配方法、拆(添)项法等等．一、公式法我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222() 2a b a a b b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c a c ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b a b b +=+++；（5）两数差立方公式 33223() 33a b a a b a b b -=-+- 二、分组分解法 2(1)9x -2(2)69x x -+2(3)36xy xyz -+2(5)32 x x -+y b x b y a x a 2222)4(+++例1因式分解： 33 (1) 8 (2) 12527x b +-34(3)381a b b -76(4)a ab -