1．二次函数的解析式的三种形式： (1)一般式：f(x)=ax 2
+bx+c(a ≠0)。
(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2
+k 其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。
(3)两点式（因式分解）：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2),其中x 1,x 2是抛物线与x 轴两交点的坐标。
2．二次函数f(x)=ax 2
+bx+c(a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴
a
b x 2-=
，顶点坐标
)44,2(2
a
b a
c a b --
（1）a>0时，抛物线开口向上，函数在]2,(a
b --∞上单调递减，在
),2[+∞-
a
b
上单调递增，
a
b
x 2-=
时，a b ac x f 44)(2
min -=
；
（2）a<0时，抛物线开口向下，函数在]
2,(a
b
--∞上单调递增，在),2[+∞-a b
上单调递减，
a
b
x 2-=
时，a b ac x f 44)(2
max -=
。
3．二次函数
f(x)=ax 2
+bx+c(a ≠0)当
042
>-=?ac b 时图象与
x 轴有两个交点
M 1(x 1,0),M 2(x 2,0)
a
x x x x x x M M ?=
-+=-=2122121214)(。
4． 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax 2
+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax 2
+bx+c (a>0) ，
(1)x 1<α,x 2<α ,则
??
?
??><-≥?0)()2/(0ααaf a b ;
(2)x 1>α,x 2>α
,则??
?
??>>-≥?0)()2/(0
ααaf a b
(3)α ?????? ?<-<>>≥?β αβα)2/(0)(0)(0a b f f (4)x 1<α,x 2>β (α <β),则?? ? ??<<≥?0)(0)(0 βαf f (5）若f(x)=0在区间(α,β)内只有一个实根，则有 0))(<(βαf f 5 最值问题：二次函数f(x)=ax 2 +bx+c 在区间[α,β] 上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴 -b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a 的符号对抛物线开口的影 响 6 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间 的关系： ①0 ? +bx+c 的图像与x 轴无交点 ?ax 2 +bx+c=0无实根?ax 2 +bx+c>0(<0)的解集为?或者是R; ②0?=?f(x)=ax 2 +bx+c 的图像与x 轴相切?ax 2+bx+c=0有两个相等的实根?ax 2 +bx+c>0(<0)的解集为?或者是R; ③0?>?f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有两个不同的交点?ax 2 +bx+c=0有两个不等的实根 ?ax 2 +bx+c>0(<0)的解集为(,)αβ()αβ<或 者是(,)(,αβ-∞+∞ （二）考点分析 考点1．求二次函数的解析式 例1．已知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数。 法一：利用一般式 设 f(x)=ax 2 +bx+c(a ≠0)，由题意得： ??? ? ??? =--=+--=++84411 242 a b ac c b a c b a 解得：?????==-=744c b a ∴f(x)= - 4x 2 +4x+7 法二：利用顶点式 ∵f(2)= f(-1) ∴对称轴2 1 2)1(2=-+= x 又最大值是8 ∴可设 )0(8)2 1 ()(2<+-=a x a x f ，由 f(2)= -1可得a= - 4 7 448)2 1 (4)(22++-=+--=∴x x x x f 法三：由已知f(x)+1=0的两根为x 1=2,x 2=-1，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax 2 -ax-2a-1,又 84)12(482 m ax =---=a a a a y 即得 a= - 4 或a=0(舍) ∴f(x)= - 4x 2 +4x+7 例2． 已知二次函数的对称轴为x =截x 轴 上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析式． 解：∵二次函数的对称轴为x = 数为 2 ()(f x a x b =+，又∵()f x 截x 轴上的弦长为4，∴ ()f x 过点(2,0)， ()f x 又过点(0,1)-， ∴4021a b a b +=??+=-?， 122 a b ? =? ??=-? ， ∴ 21 ()(22 f x x =- 考点2．二次函数在区间上的最值问题 例1．已知函数f(x)= - x 2 +2ax+1-a 在0≤x ≤1时有最大值2，求a 的值。 思维分析：一般配方后结合二次函数图象对字母参 数分类讨论 解：f(x)= -(x-a)2 +a 2 -a+1(0≤x ≤1),对称轴x=a 1 a<0时， 121)0()(m a x -=∴=-==a a f x f 2 ≤ a ≤ 1 时 )(2 5 121)()(2m ax 舍得±= =+-==a a a a f x f 30 a>1时， 22)1()(m ax =∴===a a f x f 综上所述：a= - 1或a=2 例2．已知y=f(x)=x 2 -2x+3,当x ∈[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值。 答 案 ： 32,2,12m i n 2m a x +-=+=>t t y t y t 时 2,2,12 1 m in 2m ax =+=≤ 0m in 2m ax =+-=≤ 2,32,02m in 2m ax +=+-=≤t y t t y t 时 例3．已知函数21 sin sin 42 a y x a x =-+-+ 的最大值为2，求a 的值 ． 分析：令sin t x =，问题就转二次函数的区间最 值问题． 解：令sin t x =，[1,1]t ∈-， ∴221 ()(2)24 a y t a a =--+-+，对称轴为 2 a t =， （1）当112a -≤≤，即22a -≤≤时， 2m a x 1 (2)2 4 y a a =-+=，得2a =-或3a =（舍去）． （2）当12a >，即2a >时，函数 221 ()(2)24 a y t a a =--+-+在[1,1]-单调 递增， 由max 111242 y a a =-+-+=，得10 3a =． （3）当12 a <-，即2a <-时，函数 221 ()(2)24 a y t a a =--+-+在[1,1]-单调 递减， 由 max 11 1242 y a a =---+=，得2 a =-（舍去）． 综上可得：a 的值为2a =-或10 3 a =． 考点3．一元二次方程根的分布及取值范围 例1．已知关于x 的二次方程x 2 +2mx+2m+1=0 (1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m 的取值范围。 (2)若方程两根在区间（0，1）内，求m 的范围。 思维分析：一般需从三个方面考虑①判别式Δ②区间端点函数值的正负③对称轴a b x 2- =与区间相对位置。 解：设f(x)=x 2 +2mx+2m+1 (1)由题意画出示意图 21650 56)1(02)1(0 12)0(-<<-??? ? ??>+>=-<+=?m m f f m f （ 2 ） 2 1211 00 )1(0 )0(0- ≤<-????? ???<-<>>≥??m m f f 练习：方程k x x =- 2 3 2 在（- 1，1）上有实根，求k 的取值范围。 宜 采 用 函 数 思 想 ， 求 )11(2 3 )(2<<--=x x x x f 的值域。 )2 5,169[- ∈k 【反思归纳】根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax 2 +bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，主要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负，列出不等式（组）求解。 例 2 ． 已 知 函 数 22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至 少有一个交点，求a 的取值范围． 解法一：由题知关于 x 的方程 22(21)20x a x a --+-=至少有一个非负实 根，设根为12,x x 则 120 x x ≤或 1212 000x x x x ?≥?? >??+>?，得 9 4 a ≤ ≤ ． 解法二：由题知(0)0f ≤或(0)0(21) 020 f a >??--?->? ? ?≥??，得9 4 a ≤≤ ． 二次函数 一、知识梳理： 1、二次函数的解析式： (1)一般式： )0 .( 2≠ + + =a c bx ax y (2)顶点式： )0 .( ) ( 2 ≠ + - =a y x x a y 其顶点为： ),( y x ；a b ac y a b x 4 4 , 2 2 - = - = (3)两根式： ) )( ( 2 1 x x x x a y- - =)0 (≠ a 其 4 2≥ - = ?ac b， 顶点横坐标22 1 0x x x + = 2、二次函数的图象和性质： )0 .( ) (2≠ + + =a c bx ax x f 二次函数 的图 象是对称轴垂直于x轴的抛物线，当0 > a时开 口向上，当 < a时开口向下。 它的定义域： ) , (+∞-∞ 值域：当 > a时为) , 4 4 [ 2 +∞ - a b ac ； 当 < a时为] 4 4 , ( 2 a b ac- -∞ 对称性：对称轴为 a b x 2 - = 单调性：当 > a时，减区间是] 2 , ( a b - -∞ ， 增区间是 ) , 2 [+∞ - a b ； 当 < a时，减区间是) , 2 [+∞ - a b ， 增区间是 ] 2 , ( a b - -∞ 3、掌握二次函数 )0 .( 2≠ + + =a c bx ax y 在 闭区间[m,n]上的最值求法。一、自我检测： 1．函数 4 22+ - =bx x y 为偶函数，则（）A． > b B．0 < b C．0 = b D．R b∈2、．设函数f(x)=? ? ? ≤ + + > 0) x ( c bx x 0), x ( 2 2 ，若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则f(x)的解析式为f(x)=______________,关于x的方程f(x)= x的解的个数为___________． 3、（04春）1 4、若关于 x的不等式 2> - -a ax x的解集为) , (+∞ -∞ ，则实数a的取值范围是__________；若关于x的不等式 3 2- ≤ - -a ax x的解集不是空集，则实数a的取值范围是__________。 4、若 c b a,, 成等比数列，则函数 )0 .( 2≠ + + =a c bx ax y 的图象与x轴交点的个数是（） （A） 0 （B） 1 （C）2 （D）不能确定（B)5、. 若函数 y= 义域为R，求实数m的取值范围是_______ 6．在函数 c bx ax x f+ + =2 ) ( 中，若a，b，c 成等比数列且f（0）＝-4，则f（x）有最________值（填“大”或“小”），且该值为________．（04北京文） 8、函数 8 2 ) (2+ - =x x x f 单调减区间是（） A． [) +∞ ,1 B． (]1,∞- 、 C． ()1,1- D． () +∞ ∞ -, 9、若函数 ()2 )1 (2 2+ - + =x a x x f 在区间)4, (-∞ 上是减函数，则实数 a的取值范围是（） （A） 3- ≤ a（B）2- ≥ a （C） 5 ≤ a（D）5 ≥ a 10、．函数 3 2 ) (2+ - =mx x x f ，当 (]1,- ∞ - ∈ x 时是减函数，当 () +∞ - ∈,1 x 时 是增函数，则)2(f =_________. (B)11、、已知函数 ()5 2+ - =kx x x f 在区间 （1，2）上是增函数，求f(2)的取值范围是_________. 10．函数 3 2 ) (2- - =ax x x f 在区间[1，2] 上存在反函数的充分必要条件是（） A． ]1 (， -∞∈ a B． ) 2[∞ +∈， a C． ) 2[ ]1 (∞ + -∞ ∈， ， a D． ]2 1[，∈ a 12．函数 ) 1( 1 1 ) ( x x x f - - = 的最大值是 （） A．5 4 B． 4 5 C． 4 3 D． 3 4 13、(陕西卷)函数f(x)=1 1+x2 (x∈R)的值域是( ) A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1] 14、函数 ) (x f = )1 1 (3 6 22≤ ≤ - + -x x x 的 最小值是( ) A. 2 3 - B.3 C.-1 D.不存在 15、已知二次函数 ()c bx x x f+ + =2 ，且 ()()3 1f f= - ，则（）（A） ()()1 1- > >f c f （B） ()()1 1f f c> - > （C） ()()1 1f f c< - < （D） ()()1 1- < c f (B)16、函数 ) ( 2 cos cos R x x x y∈ - = 的值域 是_______________ 17、函数 )2 ( 2 2- < + =x x x y 的反函数是 ________________ 18、已知函数f(x )=-x∈[-2，0]，则 f(x)的反函数是（）（07朝 阳文） A．f(x )=-x∈[0，2] B．f(x x∈[-2，0] C．f(x )=x∈[0，2] D．f(x x∈[-2，0] 19．（安徽卷）函数 y=? ? ? < - ≥ , , 2 2x x x x 的反函 数是 A y=?? ? ? ? < - ≥ , , 2 x x x x B． y=? ? ? < - ≥ , , 2 x x x x C． y=?? ? ? ? < - - ≥ , , 2 x x x x D． y=? ? ? < - - ≥ , , 2 x x x x 20、（重庆卷）设P（3，1）为二次函数 2 ()2(1) f x ax ax b x =-+≥ 的图象 与其反函数 ) (1x f f- = 的图象的一个交点，则 （A ） 25,21== b a （B ） 25,21- ==b a （C ） 25,21= -=b a （D ） 25,21- =-=b a (B)21 、 关 于 x 的方程 0)2()1(22=-+-+a x a x 一根比1大,一根 比1小,则有( ) A.1<<-a B.2-a C.12<< -a D.1-a (B)22．（山东卷）当 (12) x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围 是 ． 二、填空 23、已知函数 23()23[,2] 2 f x ax ax =+--在上的最大值为1，求实数a 的值。 27、已知二次函数 c bx x y ++-=2 的图象如图所示，它与x 1，0），与y 轴的交点坐标为（0，3）。 （1）求此二次函数的解析式； （2）根据图象，写出函数值y 自变量x 的取值范围。 一元二次函数的图象 一、 定义： 一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 其中，x 是自变量，a,b,c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。 二、一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ﹙a ≠0﹚的图象(其中a,b,c 均为常数) 1.当a ＞0时 函数图象开口向上； 对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最小值且为﹙4ac －b 2﹚／4a ； 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递减；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递增； 2.当a ＜0时 函数图象开口向下； 对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最大值且为﹙4ac －b 2﹚／4a ； 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递增；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递减； 2.△＝b 2－4ac 当△＞0时，函数图象与x 轴有两个交点； 当△＝0时，函数图象与x 轴只有一个交点； 当△＜0时，函数图象与x 轴没有交点。 (如下图所示) 三、抛物线 c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用 (1) a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样. 例1：画出21 2 y x =- 2y x =- 22y x =-的图象 21 2 y x =- 22y x =- 2y x =- 归纳：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点，当0a >时，抛物 线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0a <时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大。 (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置 例2：画出二次函数21(1)2y x =-+，21 1)2y x =--（的图象，考虑他们的开口方向、 对称轴和顶点。 例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。 解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1( 一元二次方程重要知识点 1. 一元二次方程的定义及一般形式：)0(2≠++=a c bx ax y （1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次） 的方程，叫做一元二次方程。 （2） 一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。其中a 为二次项系数，b 为 一次项系数，c 为常数项。 注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。 2. 一元二次方程的解法 （1）配方法：将方程整理成(x+p)2 =q ，方程的根是x=-p ±q 注：x 2系数是1和不是1时配方注意事项；x 2系数是负数时配方注意事项。 （2）公式法：242b b ac x a -±-=（240b ac -≥） （3）因式分解：十字相乘法：0)(2=+++pq x q p x 0))((=++?q x p x 3.一元二次方程根的判别（2 4b ac ?=-） （1）△＞0，方程有两个不相等的实数根 （2）△＝0，方程有一个实数根或者两个相等的实数根 （3）△＜0，方程没有实数根，方程无解 4.韦达定理（根与系数关系） 一元二次方程ax 2+bx+c ＝0，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系： 1x +2x ＝b a -； 1x .2x ＝c a 5.一元二次方程的应用 ①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元； ③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式 ④“解”就是求出说列方程的解； ⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程 二次函数重要知识点 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 注意 ：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ， 可以为零． 2. 平移规律： [A 基础达标] 1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋5(0≤x <5)的值域为( ) A ． (0，5] B ．[0，5] C ．[5，9] D ．(0，9] 解析：选D.f (x )＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9(0≤x <5)，当x ＝2时，f (x )最大＝9；当x >0且x 接近5时，f (x )接近0，故f (x )的值域为(0，9]． 2．已知函数y ＝x 2－6x ＋8在[1，a )上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤3 B ．0≤a ≤3 C ．a ≥3 D ．10时，f (x )的对称轴为x ＝12a ，在????－∞，12a 上是递减的，由题意(－∞，2)?? ???－∞，12a ， 所以2≤12a ，即a ≤14 ，综上，a 的取值范围是????0，14. 4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (－2)＜f (0)＜f (2) B ．f (0)＜f (－2)＜f (2) C ．f (2)＜f (0)＜f (－2) D ．f (0)＜f (2)＜f (－2) 解析：选D.函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )．可知函数f (x )图像的对称轴为x ＝12 ，又函数图像开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大，故选D. 5．设二次函数f (x )＝－x 2＋x ＋a (a <0)，若f (m )>0，则f (m ＋1)的值为( ) 高中数学-二次函数定区间上最值问题 一、二次函数知识点回顾 （一）二次函数的概念： 一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． （二）二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小； 当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． （三）二次函数基本形式： 1、2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数闭区间上的最值解题思路分析 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 如设： f x a x b xc a ()() =++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 方法思路分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a a c b a 2442，、对称轴为x b a =- 2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上 f x ()的最值： 二次函数 一、课标解读 二、知识清单 知识点1：二次函数定义 1、一般地，形如 （a 、b 、c 是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。 2、二次函数的三种形式 一般式： 顶点式： 交点式： 知识点2：二次函数的图象与性质 1、二次函数的图象是一条 。 2、二次函数的性质 （1）a >0时，抛物线开口向 ，在对称轴 的左侧y 随着x 的增大而 ，在对称轴右侧y 随着x 的增大而 ，抛物线有最 点，当x= 时，y 有最小值 。 （2）a <0时，抛物线开口向 ，在对称轴 的左侧y 随着x 的增大而 ，在对称轴右侧y 随着x 的增大而 ，抛物线有最 点，当x= 时，y 有最大值 。 （3）a 的符号与开口方向； b 和a 的符号与对称轴：b=0，对称轴是 ；b 和a 同号，对称轴在y 轴 侧；b 和a 异号，对称轴在y 轴 侧； c 与y 轴交点：c=0，交点是 ；c>0，交点在y 轴的 半轴上；c<0，交点在y 轴 的 半轴上； ac b 42 -与x 轴交点个数：042 >-ac b ，与x 轴有 个交点；042 =-ac b ， 与x 轴有 个交点；042 <-ac b 与x 轴 交点。 （4）抛物线的平移：抛物线k h x a y +-=2 )(可以由2 ax y =经过平移得到，把抛物线 2ax y =向右或者向左平移|h|个单位，得到2)(h x a y -=，规律是 ；把抛 物线向上或者向下平移|k|个单位，得到抛物线k ax y +=2 ，规律是 ；把抛 物线 2ax y =先向右或者向左平移|h|个单位再向上或者向下平移|k|个单位，得到 k h x a y +-=2)(。 知识点3：用待定系数法求二次函数的解析式 已知三点坐标，选用 ；已知顶点坐标或者对称轴，选用 ；已知与x 轴的交点，选用 。 知识点4：二次函数与一元二次方程之间的关系 （1） 抛物线)0(2 ≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点，则一元二次方程0 2 =++c bx ax 有 实数根；抛物线)0(2 ≠++=a c bx ax y 与x 轴有一个交点，则一元二次方程 02=++c bx ax 有 实数根；抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴无交点，则 一元二次方程02 =++c bx ax 实数根； （2）、)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是 一元二次方程 的解。 知识点5：实际问题与二次函数 利用二次函数解决实际问题，首先要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的等量关系，求出解析式，然后利用函数解析式去解决问题 三、典型例题 知识点1：二次函数定义 例1（2014安徽安庆）下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A 、)0(≠+=k b kx y B 、242 ++=x ax y C 、2 21x y = D 、2 21x y -= 知识点2：二次函数的图象与性质 例2、已知二次函数c ax y +=2 ，当x 分别取)(212,1x x x x ≠时，函数值相等，则当x 取 2,1x x +时，函数值为 （ ） A 、c a + B 、c a - C 、c D 、c - 点拨：抛物线是轴对称图形，纵坐标相同的两点，横坐标互为相反数。 例3、（2014?莱芜）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示．下列结论： ①abc＞0；②2a﹣b ＜0；③4a﹣2b+c ＜0；④（a+c ）2＜b 2 其中正确的个数有（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 点拨：二次函数的图象与系数的关系 知识点3：用待定系数法求二次函数的解析式 高中数学-二次函数的性质与图象练习课时过关·能力提升 1函数y=x2-2x+m的单调递增区间为() A.(-∞,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,1] D.[-2,+∞) 解析因为二次函数的图象开口向上,且对称轴为x=1, 所以单调递增区间为[1,+∞). 答案B 2函数f(x)=x2-mx+4(m>0)在(-∞,0]上的最小值是() A.4 B.-4 C.与m的取值有关 D.不存在 解析因为函数f(x)的图象开口向上,且对称轴x=>0, 所以f(x)在(-∞,0]上为减函数, 所以f(x)min=f(0)=4. 答案A 3二次函数y=4x2-mx+5的对称轴为x=-2,则当x=1时,y的值为() A.-7 B.1 C.17 D.25 解析由已知得-=-2,解得m=-16, 故y=4x2+16x+5.当x=1时,y=4×12+16×1+5=25. 答案D 4已知二次函数f(x)=x2-ax+7,若f(x-2)是偶函数,则a的值为() A.4 B.-4 C.2 D.-2 解析由已知得f(x-2)=(x-2)2-a(x-2)+7=x2-(a+4)x+2a+11. 因为f(x-2)是偶函数, 所以其图象关于y轴对称, 即=0,所以a=-4. 答案B 5已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是() 答案D 6已知函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是() A.[1,+∞) B.[1,2) C.[1,2] D.(-∞,2] 解析由于y=x2-2x+3=(x-1)2+2,其图象如图所示,且f(0)=3,f(1)=2,f(2)=3.结合图象可知m的取值 范围是[1,2]. 答案C 7已知二次函数f(x)=ax2+bx-1(a≠0).若f(x1)=f(x2)(x1≠x2),则f(x1+x2)等于() A.- B.- C.-1 D.0 解析由f(x1)=f(x2)可得f(x)图象的对称轴为x=, 故=-,即x1+x2=-, 高中数学教学论文：浅谈二次函数在高中阶段的应用 在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。 一、进一步深入理解函数概念 初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射？：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为？（x）= ax2+ bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题： 类型I：已知？（x）= 2x2+x+2，求？（x+1） 这里不能把？（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。 类型Ⅱ：设？（x+1）=x2－4x+1，求？（x） 这个问题理解为，已知对应法则？下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。 一般有两种方法： （1）把所给表达式表示成x+1的多项式。 ？（x+1）=x2－4x+1=（x+1）2－6（x+1）+6，再用x代x+1得？（x）=x2－6x+6 （2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。 令t=x+1，则x=t-1 ∴（t）=（t-1）2－4（t-1）+1=t2－6t+6从而？（x）= x2－6x+6 二、二次函数的单调性，最值与图象。 在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－b2a ]及[－b2a ，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。 类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。 二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 二次函数求最值（一般范围类） 例1． 当22x -≤≤时，求函数2 23y x x =--的最大值和最小值． 例2． 当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 例3． 当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 例4． 当1t x t ≤≤+时，求函数215 22 y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题： 二次函数求最值(经济类问题) 例1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z （元）会相应降低且Z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系． （1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？ （2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益Z 与政府补贴款额x 之间的函数关系式； （3）要使该商场销售彩电的总收益w （元）最大，政府应将每台补贴款额x 定为多少？并求出总收益w 的最大值． 例2．凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去. （1）设每间包房收费提高x （元），则每间包房的收入为y 1（元），但会减少y 2间包房租出，请分别写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式. （2）为了投资少而利润大，每间包房提高 x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y （元），请写出y 与x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由. 初三数学知识点总结 1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用围较小；公式法虽然适用围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题： Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根； Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系： 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式： .a c x x a b x x )2(a 2ac 4b b x ) 1(212122,1= -=+-±-=， ； ※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题： (以下等价关系要求会用公式 a c x x a b x x 2121=-=+，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数 ? a b -= 0且Δ≥0 ? b = 0且Δ≥0； （2）两根互为倒数 ? a c =1且Δ≥0 ? a = c 且Δ≥0； （3）只有一个零根 ? a c = 0且a b -≠0 ? c = 0且b ≠0； （4）有两个零根 ? a c = 0且a b -= 0 ? c = 0且b=0； （5）至少有一个零根 ? a c =0 ? c=0； （6）两根异号 ? a c ＜0 ? a 、c 异号； （7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值? a c ＜0且a b -＞0? a 、c 异号且a 、b 异号； （8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值? a c ＜0且a b -＜0? a 、c 异号且a 、b 同号； 第1课 二次函数在闭区间上的最值 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。 一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，求)(x f 在][n m x ，∈上的最大值与最小值。 分析：将)(x f 配方，得顶点为???? ? ?--a b ac a b 4422，、对称轴为a b x 2-= 当0>a 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上)(x f 的最值： （1）当[]n m a b ，∈-2时，)(x f 的最小值是 a b ac a b f 4422 -= ?? ? ??-， )(x f 的最大值是)()(n f m f 、中的较大者。 （2）当),(2m a b -∞∈- 时，)(x f 在[]n m ，上是增函数则)(x f 的最小值是)(m f ，最大值是)(n f （3）当),(2+∞∈-n a b 时，)(x f 在[]n m ，上是减函数则)(x f 的最大值是)(m f ，最小值是)(n f 当0 成都市东湖中学九上数学《二次函数专题之化斜为直问题》专练 运用数学思想：①转换思想（坐标与线段的相互转换）②方程思想（几何问题代数化，代数问题方程化）－、基本图形在直角坐标系中： (1) (2) 二、典题练习 1、如图1，抛物线y＝ax2－3ax＋b经过A（一1，0）C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．求此抛物线的解析式； （1）如图2，过点E（1，一1），作EF⊥x轴于点F，将ΔAEF绕平面内某点旋转180后得ΔMNQ（点M、N、Q分别与点A、E、F对应）使点M、N在抛物线上，求M、N坐标。 AM=_________ MB=_________ AB=AM?________=MB?________ 1 = PB AP , P的坐标________ 2 1 = PB AP ，P的坐标________ n PB AP =，P的坐标________ 2、如图，已知抛物线y ＝x 2 一4与x 轴交于A 、B 两点，直线y ＝2 1 x ＋b 交抛物线与D 、E 两点. ①若ED ＝30，求b 的值； ②若ED 交y 轴于P 且PE:PD ＝1:2，求b 的值； ③若ED 交x 轴于M 且S ΔPOD :S ΔPAD ＝1:3，求b 的值。 三、巩固练习 1、ΔABO 中，点A 、B 的坐标分别为（2，0）（1，3），若点C 在第一象限，且BC 平行且等于OA ，抛物 线y ＝cx 2 ＋bx ＋c 经过O 、A 、C 三点，点D 是抛物线的顶点．求此抛物线的解析式； （1）在平面内是否存在这样一点Q ，将线段AD 绕点Q 旋转180后得到线段MN ，使点M 在x 轴上，点N 在该抛物线上，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为- -?? ???b a ac b a 2442 ，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是 f b a ac b a f x -?? ???=-2442 ，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[] - ?b a m n 2，时 若-< b a m 2，由f x ()在[] m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a <-2，由f x ()在[] m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。 二、例题分析归类： （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1. 函数y x x =-+-2 42在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 练习. 已知232 x x ≤，求函数f x x x ()=++2 1的最值。 2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的 最值”。 例2. 如果函数f x x ()()=-+112 定义在区间[] t t ，+1上，求f x ()的最值。 例3. 已知2 ()43f x x x =--+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最值． 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a >0时??? ???? +<-+≥-=) )((212)())((2 12)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ?? ? ? ? ? ??? <-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f 二次函数 一、考纲要求 1、掌握二次函数的概念、图像特征 2、掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上 的最值 3、掌握二次函数、二次方程、二次不等式（三个二次）之间的紧 密关系，提高解综合问题的能力。 二、高考趋势 由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着紧密的联系，加上三次函数的导数是二次函数，因此二次函数在高中数学中应用十分广泛，一直是高考的热点，特别是借助二次函数模型考查考生的代数推理问题是高考的热点和难点，另外二次函数的应用问题也是2010年高考的热点。 三、知识回顾 1、二次函数的解析式 （1）一般式： （2）顶点式： （3）双根式： 求二次函数解析式的方法： ○1已知时，宜用一般式○2已知时，常使用顶点式○3已知时，用双根式更方便 2、 二次函数的图像和性质 二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f 的图像是一条抛物线，对称轴的方程为 顶点坐标是（ ） 。 （1）当0>a 时，抛物线的开口 ，函数在 上递减，在 上递增，当a b x 2- =时，函数有最 值为 （2）当0x f ， 当 时，恒有 ()0. 一元二次方程知识点一、知识清单梳理 二次函数知识点归纳 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质 （1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0a 时，开口向上；当0 二、二次函数（命题人：华师附中 郭键） 1．（人教A 版第27页A 组第6题）解析式、待定系数法 若()2 f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值． 变式1：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则 A ．1,4,11a b c ==-=- B ．3,12,11a b c === C ．3,6,11a b c ==-= D ．3,12,11a b c ==-= 变式2：若()()2 23,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称，则c =_______． 变式3：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x ，且2212269 x x +=，试问该二次函数的图像由()()231f x x =--的图像向上平移几个单位得到？ 2．（北师大版第52页例2）图像特征 将函数()2 361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像． 变式1：已知二次函数()2 f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则122x x f +??= ??? A ．2b a - B ．b a - C ． c D ．244ac b a - 变式2：函数()2 f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是 A ．()()()110f f f <-< B ．()()()011f f f <-< C ．()()()101f f f <<- D ．()()()101f f f -<< 变式3：已知函数()2f x ax bx c =++的图像如右图所示， 请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________． 3．（人教A 版第43页B 组第1题）单调性 x y O 函数性问题专题—动点问题 函数及其图象是初中数学中的主要内容之一，也是初中数学与高中数学相联系的纽带．它与代数、几何、三角函数等知识有着密切联系，中考命题中既重点考查函数及其图象的有关基础知识，同时以函数为背景的综合性问题也是命题热点之一，多数省市作压轴题．因此，在中考复习中，关注这一热点显得十分重要．以函数为背景的综合性问题往往都可归结为动点性问题，我们把它归纳为以下七种题型（附例题） 一、因动点而产生的面积问题 例1：如图10，已知抛物线P ：y =ax 2 +bx +c (a ≠0 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下： (1 求A 、B 、C 三点的坐标； (2 若点D 的坐标为(m ，0 ，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围； (3 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM =k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围. 若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2、(3小题换为下列问题解答(已知条件及第(1小题与上相同，完全正确解答只能得到5分： (2 若点D 的坐标为(1，0 ，求矩形DEFG 的面积 . 例2：如图1，已知直线 12 y x =-与抛物线2 164 y x =- +交于A B ，两点． （1）求A B ，两点的坐标； （2）求线段A B 的垂直平分线的解析式； （3）如图2，取与线段A B 端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线A B 动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．图2 图1 图10 第-2-页共4页 例3：如图1，矩形ODEF 的一边落在矩形ABCO 的一边上，并且矩形ODE F ∽矩形ABCO ，其相似比为1 : 4，矩形ABCO 的边 AB=4,BC=4 二次函数知识点总结 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 =++（a b c y ax bx c a≠）的函数，叫做二次函数。 ，，是常数，0 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： y ax c =+的性质： 结论：上加下减。 总结： 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： 二次函数图象的平移 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2 245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴 的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 高一数学二次函数试题 一．选择题（共23小题） 1．如果函数f （x）=x2+bx+c对任意实数t都有f（2+t）=f（2﹣t），那么（） A．f（2）＜f（1）＜f （4）B．f（1）＜f（2）＜f （4） C．f（2）＜f（4）＜f （1） D．f（4）＜f（2）＜f （1） 考点：二次函数的图象；二次函数的性质． 专题：压轴题；数形结合． 分析：先从条件“对任意实数t都有f （2+t）=f （2﹣t）”得到对称轴，然后结合图象判定函数值的大小关系即可． 解答：解：∵对任意实数t都有f （2+t）=f （2﹣t） ∴f（x）的对称轴为x=2，而f（x）是开口向上的二次函数故可画图观察 可得f（2）＜f（1）＜f（4）， 故选A． 点评：本题考查了二次函数的图象，通过图象比较函数值的大小，数形结合有助于我们的解题，形象直观． 2．二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=1，图象与x轴的两个交点中，一个交点的横坐标x1∈（2，3），则有 （） A．a bc＞0 B．a+b+c＜0 C．a+c＞b D．3b＜2c 考点：二次函数的图象；二次函数的性质． 专题：计算题． 分析：由二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=1，可以知道a＜0，b=﹣2a，交点的横坐标x1∈（2，3），可得到，从而可得答案． 解答：解：∵二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向下， ∴a＜0，又对称轴为x=1， ∴x=﹣=1， ∴b=﹣2a； ∴f（x）=ax2﹣2ax+c． 又与x轴的两个交点中，一个交点的横坐标x1∈（2，3），a＜0， ∴即：， ∴， ∴a+c＞﹣2a=b．C符合． 又a＜0，b=﹣2a＞0，c＞0， ∴abc＜0，排出A， ∵二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=1， ∴f（1）=a+b+c＞0，排出B，f（﹣1）=f（3）， 图象与x轴的两个交点中一个交点的横坐标x1∈（2，3）， ∴f（﹣1）=f（3）＜0，而f（﹣1）=a﹣b+c=﹣b+c＜0， ∴3b＞2c，排出D． 故选C． 点评： 本题考查了二次函数图象与性质，关键在于准确把握题目信息的意图，合理转化，特别是分析与应用是难点．属于中档题． 3．（2011?厦门模拟）已知函数，这两个 函数图象的交点个数为（） A．1B．2C．3D．4 考点：二次函数的图象；一次函数的性质与图象． 专题：综合题． 分析：本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数y=f（x）的图象与函数y=3x的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案． 解答：解：在同一坐标系下，画出函数y=f（x）的图象与函数y=3x的图象如下图：一元二次函数归纳
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