安徽省皖南八校届高三第二次联考(数学理)WORD版
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安徽皖南八校2012届高三第二次联考 数学(理科)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1、 复数
22i
i
+-表示复平面内的点位于 A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限
2、已知集合1
{1,1},{|0,}23
x M N x x Z x +=-=<∈-,则M N 等于
A 、{1,0,1}-
B 、{0,1}
C 、{1,1}-
D 、{1}
3、若变量,x y 满足约束条件223y x y x x ≤??
≥-??≤?
,则目标函数2z x y =-的最大值为
A 、9-
B 、0
C 、9
D 、15
4、已知函数22()log (2)f x x x a =-+的值域为[0,)+∞,则正实数a 等于 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
5、双曲线22
1(0,0)x y m n m n
-=>>的离心率为2,有一个焦点与抛物线24y mx =的焦点重合,则n 的值为
A 、1
B 、4
C 、8
D 、12 6、据报道,德国“伦琴”(ROSAT )卫星将在2011年10月23日某时落在地球的某个地方,砸中地球人
的概率约为1
3200
,为了研究中学生对这件事情的看法,某中学对此事进行了问卷调查,共收到2000份有
效问卷,得到如下结果。 对卫星撞地球的态度 关注但不担心 关注有点担心 关注且非常关心 不关注
人数(人) 1000 500 x 300
则从收到的2000份有效问卷中,采用分层抽样的方法抽取20份,抽到的关注且非常担心的问卷份数为 A 、2 B 、3 C 、5 D 、10
7、25(2)(1)x x +-中7x 的系数与常数项之差的绝对值为 A 、5 B 、3 C 、2 D 、0
8、设向量,a b 满足:3||2,,||222
a a
b a b =?=+=,则||b 等于
A 、12
B 、1
C 、3
2
D 、2
9、已知某几何体的三视图如右图所示,其中,正(主)视图, 侧(左)视图均是由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接三 角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为
A 、
2132π+ B 、4136π+ C 、2166π+ D 、2132
π+ 10、设sin ()x f x x =,则满足()()666
n n f f πππ
<+的最小正整数
n 是
1
1 正(主)视图
1
1
?
?
?
侧(左)视图
俯视图
A 、7
B 、8
C 、9
D 、10
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11、观察下列等式:33233323333212(12),123(123),1234(1234),+=+++=+++++=+++…,根据以上规律, 3333333312345678+++++++=________________。(结果用具体数字作答) 12、极点到直线1
2()sin()
4
R ρρπ
θ=
∈+的距离为_____
13、在一次演讲比赛中,10位评委对一名选手打分的茎叶图如下所示
,若去掉一个最高分和一个最低分,得到一组数据(18)i x i ≤≤,在如图
所示的程序框图中,x 是这8个数据中的平均数,则输出的2S 的值为_______
14、已知函数23410(2)
()log (1)6(2)
x x x f x x x ?-+-≤?=?-->??,若2(6)(5)f a f a ->,则实
数a 的取值范围是________
15、对于函数()2cos ,[0,]f x x x π=-∈与函数2
1()ln 2
g x x x =
+有下列命题: ①无论函数()f x 的图像通过怎样的平移所得的图像对应的函数都不会是奇函数; ②函数()f x 的图像与两坐标轴及其直线x π=所围成的封闭图形的面积为4; ③方程()0g x =有两个根;
④函数()g x 图像上存在一点处的切线斜率小于0;
⑤若函数()f x 在点P 处的切线平行于函数()g x 在点Q 处的切线,则直线PQ
的斜率为1
2π
-,其中正确的命题是________。(把所有正确命题的序号都填上)
三、解答题(本大题共6小题,共75分)
16、(本题满分12分)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ,满足2a c b +=
, 且2cos28cos 5B B =-,(1)求角B 的大小;
(2)若2a =,求△ABC 的面积。
17、(本题满分12分)已知轴对称平面五边形ADCEF (如图1),BC 为对称轴,ADCD ,
否 是 222()S S x x =+- 输入i x 8?
i ≥ 开始
输出2
S 20
S =1
i i =+
结束 1
i =
2
2
8
S S = 7 8 8 8 0 2
A B
C D A B
C
D
AD = AB =1,CD =BC = 3,将此图形沿BC 折叠成直二面角,
连接AF 、DE 得到几何体(如图2) (1)证明:AF//平面DEC ;
(2)求二面角E —AD —B 的正切值。 18、(本题满分13分)今年夏季酷暑难熬,某品牌饮料抓住这一时机举行夏季促 销活动,若瓶盖中印有“中奖2元”字样,则可以兑换2元现 金,如果这种饮料每瓶成本为2元,投入市场按每瓶3元销售, “中奖2元”综合中奖率为10℅.
(1)求甲够买饮料3瓶,至少有2瓶中奖的概率;
(2)若该厂生产这种饮料20万瓶,假设全部售出,则盈利的期望值是多少?
19、(本题满分12分)已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,133,39.a S == (1)求数列{}n a 通项公式;
(2)若在n a 与1n a +之间插入n 个数,使得这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列, 求证:1211d d ++ (158)
n d +<。
20、(本题满分13分)已知函数2
1()ln (1)().2
f x a x x a x a R =+
-+∈ (1)当01a <<时,求函数()f x 的单调区间;
(2)已知命题P :()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立,若命题P 成立的充要条件是{|}a a t ≤,求实数t 的值。
21、(本题满分13分)已知椭圆C :2
214
x y +=,直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,0OA OB ?=(其中
O 为坐标原点)。
(1) 试探究:点O 到直线AB 的距离是否为定值,若是,求出该定值,若不是,请说明理由; (2) 求||||OA OB ?的最小值。
皖南八校2012届高三第二次联考 数学(理科)参考答案、解析及评分细则
1.A
2.D
3.D
4.B
5.C
6.A
7.A
8.B
9.C 10.C 11.1296 12.1
,2
C P μ== 13.15 14.()1,6- 15.②⑤ 提示:
1.A
i i i i i i 5453)2)(2()2(222+=+-+=-+,故它所表示复平面内的点是)5
4
,53(. 2.D {}1,0=N ,{}
1=∴N M . 3.D 画出满足不等式组的可行域,易得目标函数过
直线),的交点即(与直线6-323x y x -==时取最大值,故15max =z
4.B ()2,11,11122
2
==-∴-≥-+-=+-a a a a x a x x 则.
5.D 抛物线焦点(,0)F m 为双曲线一个焦点,∴2
m n m +=,又双曲线离心率为2, ∴14n
m
+
=,即3n m =,所以24m m =,可得4,12m n ==.
6.A 非常担心的同学有2000-300-1000-500=200,故2
2000
200
20=
?.
7.A 常数项为4
20
5
2
2
2
=
?
?C
C,7x系数为1
)1
(5
5
2
-
=
-
?C
C,∴常数项与7x系数的差为5
8.B 1
,8
3
4
22
2
2
2
=
∴
=
+
+
=
+
?
+
=
+b
b
b
b
a
a
b
a
9.C 由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥,下部分是半球,所以根据三视图中的数据可得
6
1
6
2
1
1
1
2
1
3
1
)
2
2
(
3
4
2
13
+
=
?
?
?
?
+
?
?
=
π
π
V
10.C 要使
()
()
1
sin
sin sin
66
66
()()
1
666
6666
n n
n
n n
f f
n n n
πππ
π
πππ
ππππ
??+
+
?
??
=<+==
+
+
成立,只要比较函数
sin
6
y x
π
=上的整点与原点连线的斜率即可,函数sin
6
y x
π
=上的横坐标为正数的整点分别为
1331133
(1,),(2,),(3,1),(4,),(5,),(6,0),(7,),(8,),(9,1),(10,),
2222222
---
-
可得
3
1013
2
90910020
--
--
=-<=-
--
,所以最小正整数9.
n=
11.1296 观察前3个等式发现左边的等式分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和,等式右边分别是这几个数的和的平方,因此可得
()2
333333332 1234567812345678361296
+++++++=+++++++==.
12.
2
2
由
1
2sin cos11
sin()
4
x y
ρρθρθ
π
θ
=?+=?+=
+
,故
2
2
=
d.
13.15 若去掉一个最高分和一个最低分后得到的8个数据为78,80,82,82,86,86,88,90,则
()
1
788082828686889084
8
x=+++++++=,2
361644441636
15
8
s
+++++++
==.
14.()1,6-()a
a
x
f5
-62>
∴
为单调递增函数,.
15.②⑤ 函数向左平移
2
π
个单位所得的为奇函数,故①错;函数()f x 的图象与坐标轴及其直线π=x 所围成的封闭图形的面积为dx x ?
2
0cos 22π
)(=4,故②对;函数21()ln 2g x x x =
+的导函数1
()2g x x x
'=+≥,
所以函数()g x 在定义域内为增函数,故③与④错;同时要使函数()f x 在点P 处的切线平行于函数()g x 在
点Q 处的切线只有()()=2f x g x ''=,这时1
01
22
P Q π(,),(,),所以12PQ k π=-,⑤正确. 16.解:(Ⅰ)∵2cos2B =8cos B -5, ∴2(2cos 2B -1)-8cos B +5=0.
∴4cos 2B -8cos B +3=0,即(2cos B -1)(2cos B -3)=0.
解得cos B =
12或cos B =3
2
(舍去). ∵0
3
π
. ……………………………………………………………………6分 (Ⅱ)法一:∵a +c =2b .∴2
2
2
222
12cos 222
a c a c a c
b B a
c ac +??
+- ?+-??=
==, 化简得a 2+c 2-2ac =0,解得a =c .
∴△ABC 是边长为2的等边三角形.
∴△ABC 的面积等于3…………………………12分 法二:∵a +c =2b , ∴ sin A +sin C =2sin B =2sin 3
π
= 3. ∴sin A +sin(
23π
-A )=3, ∴sin A +sin 23πcos A -cos 23
π
sin A = 3.
化简得
32sin A +32
cos A =3,∴sin(A +6π)=1. ∵0 π . ∴A = 3π,C =3 π ,又∵a=2 ∴△ABC 是边长为2的等边三角形. ∴△ABC 的面积等于3.……………………………………………………………12分 17.解:(Ⅰ) 以B 为坐标原点,分别以射线BF 、BC 、BA 为x 轴、 y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的坐标系.由已知与平面几何知识得,3333 (0,0,1),(1,0,0),(0, ,),(,,0)2222 A F D E , ∴33(1,0,1),(,0,)22AF DE =-=-,∴2 3 AF DE =,∴AF ∥DE , 又DCE AF DCE DE 平面且平面??, AF ∴∥DEC 平面…………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得F E D A 、、、四点共面,31 (1,0,1),(0, ,)22 AF AD =-=,设n ⊥平面ADEF ,(,,)n x y z =,则(1,0,1)(,,)0 31 30(0, ,)(,,)022 x y z x z y z x y z -?=?-=??????+=?=????,不妨令1y =-,故(3,1,3)n =-,由已知易得平面ABCD 的一个法向量为1(1,0,0)n =, ∴121cos ,7n n <>= ,∴二面角E-AD-B 的正切值为23 3 .…………………………12分 18.解:(Ⅰ)设甲购买该饮料3瓶,至少有2瓶中奖的概率为P ,则 ()()()028.01.01.011.03 332 23=?+-?=C C P .……………………………………6分 (Ⅱ)设售出一瓶这种饮料盈利为ξ,则1,1ξ-可取,且(1)0.1P ξ=-=,(1)0.9P ξ== 故ξ的分布列为: 故20万瓶的盈利期望值为:(10.110.9)2016E ξ=-?+??=(万元) ………………13分 19.解:(Ⅰ)39,331==S a ,1≠∴q () 391-133=-∴q q 012,13122=-+=++∴q q q q 3=∴q 故n n a 3=………………………………………………………………6分 ξ -1 1 P 0.1 0.9 (Ⅱ) 3n n a =,则113n n a ++=,由题知: 1(1)n n n a a n d +=++,则231 n n d n =+. 由上知: 1123 n n n d +=, 所以212111231232323n n n n T d d d += ++???+=++???+??? 231 1231 3232323n n n T ++=++???+???, 所以231 2111111()33233323n n n n T ++=+++???+-? 111 111()1115529313223124313 n n n n n -++?? -?? ++??=+?-=-??-, 所以55258838 n n n T += -.…………………………………………12分 20.解:()()()()()x a x x x a x a x a x x a x f --=++-=+-+='1112 (Ⅰ)当10< x ()a ,0 a ()1,a 1 ()∞+,1 ()x f ' + 0 - 0 + ()x f 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数()x f 的单调递增区间是()()+∞,1,,0a ,单调递减区间是()1,a ………………6分 (Ⅱ)由于()a f --=2 1 1,显然0>a 时,()01 0的极小值、也是最小值即是()a f --=2 1 1,此时只要()01≥f 即可,解得21- ≤a ,∴实数a 的取值范围是??? ? ? ∞21--,. P ∴成立的充要条件为?? ? ? ? ∞21--,.故2 1 -=t .……………………13分 21.(Ⅰ)点O 到直线AB 的距离是定值. 设1122(,),(,)A x y B x y , ①当直线AB 的斜率不存在时,则由椭圆的对称性可知,12x x =,12y y =-. ∵0OA OB ?=,即12120x x y y +=,也就是22110x y -=,代入椭圆方程解得:1125 ||||5 x y == . 此时点O 到直线AB 的距离125 ||5 d x == . ………………………2分 ②当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y kx m =+, 与椭圆:C 2 214 x y +=联立, 消去y 得:2 2 2 (14)8440k x kmx m +++-=, 122 814km x x k +=-+,21224414m x x k -=+, ………………………3分 因为OA OB ⊥,所以12120x x y y +=, 所以22 1212(1)()0k x x km x x m ++++=, ………………………4分 代入得:2222 2 22 448(1)01414m k m k m k k -+-+=++, 整理得22 54(1)m k =+, ………………………5分 O 到直线AB 的距离225 5 1 m d k = = +. 综上所述,点O 到直线AB 的距离为定值 25 5 . ………………………6分 (Ⅱ)(法一:参数法)设11(,)A x y ,22(,)B x y ,设直线OA 的斜率为(0)k k ≠,则OA 的方程为y kx =, OB 的方程为1 y x k =-, 解方程组22 1 4y kx x y =???+=??,得2 12 221 2414414x k k y k ?=??+??=?+? , 同理可求得2222222444444k x k y k ?=??+??=?+? , 故22 2 12222 1(1)1||1||4(14)(4) k OA OB k x x k k k +?=++=++……………9分 令2 1(1)k t t +=>,则22 21 44994994t OA OB t t t t ?==+--++, 令22991125 ()49()(1) 24 g t t t t t =- ++=--+>,所以254()4g t <≤,即8 25 OA OB ≤?<………………………………………………………………11分 当0k =时,可求得2OA OB ?=,故8 25 OA OB ≤?≤,故OA OB ?的最小值为85,最大值为 2. ……………………………………………………………………13分 法二:(均值不等式法)由(Ⅰ)可知,O 到直线AB 的距离2255 1 m d k = = +. 在Rt OAB ?中,22 ||||||||OA OB d OA OB ?= +,故有 22 ||||25 5 ||||OA OB OA OB ?= +, 即2 224 (||||)(||||)5 OA OB OA OB ?= +, ………………………9分 而2 2 ||||2||||OA OB OA OB +≥?(当且仅当||||OA OB =时取等号) 代入上式可得:2 2248 (||||)(||||)||||55 OA OB OA OB OA OB ?=+≥?, 即8 ||||5 OA OB ?≥ ,(当且仅当||||OA OB =时取等号). ………………11分 故OA OB ?的最小值为8 5 . (13) 分 法三:(三角函数法)由(Ⅰ)可知,如图,在Rt OAB ?中,点O 到直线AB 的距离25 ||5 OH = . 设OAH θ∠=,则BOH θ∠=,故||||sin OH OA θ=,|| ||cos OH OB θ = (9) 分 θH θB A O 所以,2 8 || 5||||sin cos sin 2OH OA OB θθθ?==,…………11分 显然,当22πθ=,即4πθ=时,OA OB ?取得最小值,最小值为8 5 . …………13分 皖南八校2012届高三第二次联考 数学(理科) 参考答案、解析及评分细则 2.A 2.D 3.D 4.B 5.D 6.A 7.A 8.B 9.C 10.C 11.1296 12.2 2 13.15 14.()1,6- 15.②⑤ 提示: 10.A i i i i i i 5 4 53)2)(2()2(222+=+-+=-+,故它所表示复平面内的点是)5 4,53(. 11.D {}1,0=N ,{} 1=∴N M . 12.D 画出满足不等式组的可行域,易得目标函数过 直线),的交点即(与直线6-323x y x -==时取最大值,故15max =z 13.B ()2,11,11122 2 ==-∴-≥-+-=+-a a a a x a x x 则. 14.D 抛物线焦点(,0)F m 为双曲线一个焦点,∴2 m n m +=,又双曲线离心率为2, ∴14n m + =,即3n m =,所以24m m =,可得4,12m n ==. 15.A 非常担心的同学有2000-300-1000-500=200,故22000 200 20=? . 16.A 常数项为4205222=??C C ,7x 系数为1)1(50 502-=-?C C ,∴常数项与7x 系数的差为5 17.B 1,83422 222 =∴=++=+?+=+b b b b a a b a 18.C 由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥,下部分是半球,所以根据三视图中的数据可得 6 1621112131)22(34213+=????+??= ππV 10.C 要使 ()()1sin sin sin 6666()()16666666 n n n n n f f n n n πππππππππππ??++ ???=<+==++成立,只要比较函数 sin 6 y x π =上的整点与原点连线的斜率即可,函数sin 6 y x π =上的横坐标为正数的整点分别为 1331133 (1,),(2,),(3,1),(4,),(5,),(6,0),(7,),(8,),(9,1),(10,),2222222 --- - 可得3 1013 290910020 - ---=-<=---,所以最小正整数9.n = 11.1296 观察前3个等式发现左边的等式分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和,等式右边分别是这几个数的和的平方,因此可得 ()2 3333333321234567812345678361296+++++++=+++++++==. 13. 2 2 由12sin cos 11sin() 4 x y ρρθρθπ θ=?+=?+=+,故2 2= d . 13.15 若去掉一个最高分和一个最低分后得到的8个数据为78,80,82,82,86,86,88,90,则 ()17880828286868890848x = +++++++=,2361644441636 158 s +++++++= =. 15.()1,6- ()a a x f 5-62 >∴为单调递增函数, . 15.②⑤ 函数向左平移 2 π 个单位所得的为奇函数,故①错;函数()f x 的图象与坐标轴及其直线π=x 所围成的封闭图形的面积为dx x ? 2 0cos 22π )(=4,故②对;函数21()ln 2g x x x = +的导函数1 ()2g x x x '=+≥, 所以函数()g x 在定义域内为增函数,故③与④错;同时要使函数()f x 在点P 处的切线平行于函数()g x 在 点Q 处的切线只有()()=2f x g x ''=,这时1 01 22 P Q π(,),(,),所以12PQ k π=-,⑤正确. 17.解:(Ⅰ)∵2cos2B =8cos B -5, ∴2(2cos 2B -1)-8cos B +5=0. ∴4cos 2B -8cos B +3=0,即(2cos B -1)(2cos B -3)=0. 解得cos B = 12或cos B =3 2 (舍去). ∵0 3 π . ……………………………………………………………………6分 (Ⅱ)法一:∵a +c =2b .∴2 22 22212cos 222 a c a c a c b B a c ac +??+- ?+-??= ==, 化简得a 2+c 2-2ac =0,解得a =c . ∴△ABC 是边长为2的等边三角形. ∴△ABC 的面积等于3…………………………12分 法二:∵a +c =2b , ∴ sin A +sin C =2sin B =2sin 3 π = 3. ∴sin A +sin( 23π -A )=3, ∴sin A +sin 23πcos A -cos 23 π sin A = 3. 化简得 32sin A +32