§3 分式线性映射

装订线

§3分式线性映射

((分式线性映射是共形映射中比较简单的但又很重要的一类映射))

1、定义：由分式线性函数

az b

w

cz d

+

=

+

(,,,

a b c d为复常数且0

ad bc

-≠) ……(6.4)

构成的映射，称为分式线性映射。

注意：任何分式线性映射总可以分解成下面函数的复合：

w z b

=+，0i

w zeθ

=，(0)

w rz r

=>,

1

w

z

=

因为：当0

c=时,(6.4)式变为az b a b

w z

d d d

+

==+ ,可以看做(0)

w rz r

=>和w z b

=+的复合.

当0

c≠时，(6.4)式变为

()

az b c az b ad ad acz ad bc ad a bc ad

w

+++-++--

====+

它可以看作w z b

=+，(0)

w rz r

=>,

1

w

z

=参与的复合。

((由于任何分式线性映射总可以分解成上述四个函数的复合，所以只须对这四种映射进行讨论，就可以了解分式线性映射的特点))

(1)平移映射：w z b

=+, ( b为复数) ((从z,b的实部和虚部解释,也可以用向量的平行四边形法则解释))

装

订线

同样将曲线C进行旋转

θ角度。

(3)相似映射：(0)

w rz r

=>

(4)反演映射：

1

w

z

=

当点z在单位圆外部时，此时||1

z>，故||1

w<,即w位于单位圆内部。

当点z在单位圆内部时，此时||1

z<，故||1

w>,即w位于单位圆外部。

所以反演映射的特点是：将单位圆内部映射到单位圆外部，将单位圆外部映射到单位圆内部。

规定：反演映射

1

w

z

=将0

z=映射成w=∞,将z=∞映射成0

w=。

2、分式线性映射的性质

1）保形性

装订线定理6.5 分式线性函数在扩充复平面上是共形映射。

也就是说，分式线性函数在扩充复平面上既是保角的，也具有伸缩率不变性。

2）保圆性

约定：直线是作为圆的一个特例，即直线是半径为无限的圆。

定理6.6 在扩充复平面上，分式线性映射能把圆变成圆。

((这里的圆包括直线和一般所指的半径为有限的圆周))

注意：

（1）如何判断分式线性映射将圆映射成圆还是直线呢？

在分式线性映射下，当z平面上的圆C上有一点被映射成无穷远点，即这个圆经过无穷远点，那么这条曲线C就被映射成直线。如果圆C上没有点被映射成无穷远点，那么圆C就被映射成半径为有限的圆。

补充：区域D的边界的方向规定：当一个人沿着区域D的边界行走时，区域D始终在这个人的左手边，那么这个人行走的方向为边界的方向。

例：求实轴在映射

2i

w

z i

=

+

下的像曲线;

((由于实轴过无穷远点，所以实轴可以看做是半径为无限大的圆))

解：在实轴上取三点：

123

,0,1

z z z

=∞==,则对应的三个像点为：123

0,2,1

w w w i

===+.

实轴的像经过

123

,,

w w w,且为圆，因此像曲线Γ为|1|1

w-=.

装订线由于实轴的方向是自左向右，那么它的像曲线Γ的方向如何确定呢？

显然，当

123

,0,1

z z z

=∞==是沿着实轴的正方向取值的，所以123

0,2,1

w w w i

===+在圆周上的排列顺序就是Γ的方向：即顺时针方向。

或者用下面的方法：

当z取上半平面点i时,1

w=,因此上半平面被

2i

w

z i

=

+

映射为圆Γ：|1|1

w-=的内部。

实轴作为上半平面的边界，上半平面在实轴的左手边，所以圆Γ：|1|1

w-=的内部应在圆周|1|1

w-=的左手边，这样圆周Γ：|1|1

w-

=的方向为顺时针方向。

解：（解题思路：考虑区域D的边界在映射w的像，其次再考虑区域D的像）

12

12

,

ΓΓ，

1

Γ方向为从原点指向无穷远点，

2

Γ的方向为从无穷原点指向原点。由于C1,C2在z=i处的夹角为0

90,所以根据分式线性映射的保角性，

12

,

ΓΓ在w=0处的夹角为0

90。

装订线映射w将z=0映射成w=－1,所以将过,0,

z i z z i

===-三点的线段AB映射成过0,1,

w w w

==-=∞的左半实轴。方向为自右向左。

由于C1和AB的夹角为135度，所以

1

Γ和左半实轴的夹角为135度。

同样C2和AB的夹角为135度，所以

2

Γ和左半实轴的夹角为45度。

综合上述讨论，可以画处区域D的像区域。

3）保对称点性

定义：设某圆的半径为R，A、B两点再从圆心出发的射线上且2

OA OB R

?=

则称A和B是关于圆周对称的。

定理6.7 设

12

,z z关于圆C对称，则在分式线性映射下，它们的像点

12

,

w w关于C的像曲线Γ对称。

注：圆C可以为直线。

三、惟一决定分式线性映射的条件

定理6.8 在z平面上任给三个不同的点

123

,,

z z z,在w平面上也任给三个不同的点1

w,

2

w,

3

w，则存在惟一的分式线性映射，把

123

,,

z z z分别依次地映射为

1

w,

2

w,

3

w，并且3131

11

232232

::

w w z z

w w z z

w w w w z z z z

--

--

=

----

(6.10)

推论6.1 如果

k

z或

k

w中有一个为∞，则只须将对应点公式中含有∞的项换为1.

装订线例：求将2,,2

∞-对应地变成1,,i

-∞的线性变换。

解：设

123

2,,2

z z z

==∞=-,对应的点为

123

1,,

w w i w

=-==∞

则所求线性变换为3131

11

232232

::

w w z z

w w z z

w w w w z z z z

--

--

=

----

即为

11222

::

111

w z

w i

+---

=

-

整理得

24

2

zi i

w

z

--

=

+

推论6.2 设()

w f z

=是一分式线性映射，且有

11

()

f z w

=以及

22

()

f z w

=，则它可表示为

11

22

w w z z

k

w w z z

--

=

--

(k为复常数)

特别地，当

12

0,

w w

==∞时，有

1

2

z z

w k

z z

-

=

-

……(6.11)

注意：这个公式能把过

12

,z z点的弧映射成过原点的直线,即将

1

z映射成原点，

2

z映射成∞。

说明：在处理边界由圆周、圆弧、直线、直线段所围成的区域的共形映射问题时，分式线性变换起着十分重要的作用。

例：将区域{:||1,Im0}

D z z z

=<>映射为第一象限，求映射函数。

解：（解题思路：考虑区域D的边界在映射w的像，其次再考虑区域D的像）

装订线

区域D的边界为

12

,

C C，其方向如图所示，

12

,

C C是过－1和1的两个弧。

而第一象限的边界为两条射线：实半轴和虚半轴。这两条射线的交点分别为0和∞。所以我们可以考虑应用推论6.2，先构造一个分式线性函数使－1变为0，使1

变为∞，从而将

12

,

C C映射为从原点出发的两条射线，由公式(6.11)，有

1

1

1

z

w

z

+

=

-

由于

1

C是沿实轴从－1到1，所以它被映射为负实半轴

1

Γ，方向为从0到沿负实半轴到∞。

由保角性可知，

2

C被映射为下半虚轴

2

Γ，方向为从∞到0。

由于D在

12

,

C C的左方，所以同时在

1

Γ、

2

Γ的左方的区域应为第三象限。

即

1

1

1

z

w

z

+

=

-

将区域D映射成

1

w平面的第三象限。

将第三象限逆时针旋转180度，即得结果：

1

1

1

i

z

w w e

z

π

+

==

-

四、两个典型区域间的映射

装订线这里的两个典型区域是指上半平面和单位圆域；

1）

z i

w

z i

-

=

+

能将上半平面Im0

z>映射为单位圆内部||1

w<；

它的反函数就将单位圆内部映射成上半平面。

说明：它同时也将下半平面映射为单位圆外部||1

w>。

判断方法：当z取上半平面点i时，w的值为单位圆内部||1

w<。

2）一般地，0

i

z z

w e

z z

θ

-

=

-

（其中

z为上半平面任一点）

能将上半平面映射为单位圆内部||1

w<。它的反函数就将单位圆内部映射成上半平面。

说明：上半平面的边界为实轴，被映射为单位圆。

z被映射为0

w=，

z被映射为∞。由于

z与

z关于实轴对称，根据保对称点定理6.7,0

w=与w=∞关于单位圆对称。

3) 0

1

i

z z

w e

z z

θ

-

=

-

（其中

z为单位圆||1

z<内任一点）

把单位圆内部||1

z<映射为单位圆内部||1

w<。

说明：映射w将单位圆||1

z=映射为单位圆||1

w=。

z z

=被映射为0

w=。

1

z

z

=被映射为w=∞。

z z

=与

1

z

z

=关于单位圆||1

z=对称，所以根据保对称点定理6.7，0

w=与w=∞关于单位圆||1

w=

注意：上面三种映射是比较重要的，在将一些其他区域映射成单位圆的内部时，常

装订线常先将其映射成上半平面，然后在变为单位圆内部。

例：求一分式线性映射()

w f z

=，将区域Re0

z>映射为区域||2

w<,并满足

(1),arg(0)

2

f i f

π

'

==.

解：((分析：我们已经知道上半平面到单位圆内部的映射，而右半平面Re0

z>可以通过旋转映射成上半平面。))

2

1

i

w e z iz

π

==:将右半平面Re0

z>映射成上半平面。

1

2

1

i

w a

w e

w a

θ

-

=

-

：将上半平面映射成单位圆内部

2

||1

w<。

2

2

w w

=：将单位圆内部

2

||1

w<映射成||2

w<。

所以，()2i

iz a

w f z e

iz a

θ

-

==

-

将区域Re0

z>映射为区域||2

w<.

因为(1)0

f=，有02i

i a

e

i a

θ

-

=

-

，得a i

=，从而

1

()22

1

i i

iz i z

w f z e e

iz i z

θθ

--

===

++

所以()

f z

'=

2

4

(1)

i e

z

θ

+

,(0)4i

f eθ

'=

又arg(0)

2

f

π

'=，所以θ＝

2

π

从而2

11

()22

11

i z z

w f z e i

z z

π--

===

++

分式函数

第 1 页 共 4 页 一次分式函数 班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、 理解分式函数的概念 2、 掌握一次分式函数的图像画法及性质 【教学过程】 一、知识梳理： 1． 一次分函数的定义 我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。 2． 一次分函数(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的图象和性质 2.1 图象：其图象如图所示. 2.2定义域： ? ?????-≠a b x x ； 2.3 值域：? ?????≠ a c y y ； 2.4 对称中心：??? ? ?- a c a b ,；

2.5 渐近线方程：b x a =- 和c y a =； 2.6 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当ad

分式函数的图像与性质

y ax =b a b a -2ab 2ab -x O y 高一数学选修课系列讲座(一) -----------------分式函数的图像与性质 一、概念提出 1、分式函数的概念 形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221x y x x +=+,212x y x +=-,41 3 x y x +=+等。 2、分式复合函数 形如 22 [()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如 22112x x y +=-,sin 23sin 3 x y x +=-,12x y -+=等。 二、学习探究 探究任务一:函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质 问题1:(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像就是怎样的？ 例1 画出函数21 1 x y x -=-的图像,依据函数图像,指出函数的单调区间、值域、对称中心。 小结:(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像的绘制,可以经由反比例函数的图像平移得到,需要借助“分离常数”的处 理方法。 分式函数(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像与性质: (1)定义域: ; (2)值域: ; (3)单调性:单调区间为 ; (4)渐近线及对称中心:渐近线为直线 ,对称中心为点 ; (5)奇偶性:当 时为奇函数; (6)图象:如图所示 问题2:(0)b y ax ab x =+ ≠的图像就是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像,绘制函数1 y x x =+的图像,并结合函数图像指出函数具有的性质。 小结:分式函数(,0)b y ax a b x =+>的图像与性质: (1)定义域: ; (2)值域: ; (3)奇偶性: ; (4)单调性:在区间 上就是增函数, 在区间 上为减函数; (5)渐近线:以 轴与直线 为渐近线; (6)图象:如右图所示 例3、根据y x =与1y x = 的函数图像,绘制函数1 y x x =-的图像,并结合函数图像指出函数具 x O y x O y

一次分式型函数学案

一次型分式函数图象的研究 教学目标 1．通过对反比例函数图象的研究，重新认识反比例函数图象． 2．会用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象． 教学重点 用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象． 教学难点 用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象． 教学过程 一、复习 1．复习已学过的函数的解析式与图象：一次函数（正比例函数）；二次函数；反比例函数． 2．学生谈对反比例函数)0(≠=k x k y 的认识． 二、基本函数作图 例1．作下列函数图象 （1）x y 3=； （2）x y 2-=． 归纳1：反比例函数是以坐标轴为渐近线（无限接近）的双曲线，原点是图象的中心对称 点；对于（1），点)3,3(是该双曲线的一个顶点． 归纳2：一般地，函数)0(≠=k x k y 的图象是双曲线，以坐标轴为渐近线，原点是图象的中心对称点．当0>k 时图象分布在一、三象限，图象与直线x y =的交点是双曲线的顶点；当0

归纳：1-→x x 图象向右平移1个单位；2)()(-=→=x f y x f y 图象向下平移2个单位， 等等． 练习：指出函数3 21--=x y 的图象由那个函数经过怎样的平移得到，并作出函数3 21--=x y 的图象． 例3．作函数123--=x x y 的图象，并归纳一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=图象与函数函数)0(≠=k x k y 的图象的关系． 归纳：一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=本质上是一个反比例函数，两者的图象一般只相差一个平移． 练习：作函数21++=x x y 的图象． 四．“二线一点”法作图探究 例4．已知函数4 23-+=x x y ． （1）作函数的图象； （2）并指出函数自变量x 的取值范围（即函数的定义域）；因变量y 的取值范围（即 函数的值域）． （3）x 的取值范围2≠x ，y 的取值范围2 1≠y 反映在图象上的特点是什么？ （函数图象与直线2=x , 21=y 没有交点，即2=x , 2 1=y 是对应双曲线的渐近线） （4）找到了双曲线的渐近线，根据双曲线图象的大致形状，只要知道图象在“一、 三象限”还是在“二、四象限”就可以画出其大致图象．如何根据函数4 23-+=x x y 的解析式直接来确定“象限”？（一般找与坐标轴的交点来确定） （5）对于一般的一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=如何来确定渐近线，即确定x 与y 的取值范围？ （6）观察例4、例3，发现与系数d c b a ,,,关系． 例5．作函数1 23--=x x y 的图象． 归纳：对于一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=的作法： （1）先确定x 与y 的取值范围：c d x -≠，c a y ≠，即找到双曲线的渐近线c d x -=，c a y =； （2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”； （3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象． 练习：用平移法与“二线一点”法分别作函数1 32+-=x x y 的图象．

§3 分式线性映射

装订线 §3分式线性映射 ((分式线性映射是共形映射中比较简单的但又很重要的一类映射)) 1、定义：由分式线性函数 az b w cz d + = + (,,, a b c d为复常数且0 ad bc -≠) ……(6.4) 构成的映射，称为分式线性映射。 注意：任何分式线性映射总可以分解成下面函数的复合： w z b =+，0i w zeθ =，(0) w rz r =>, 1 w z = 因为：当0 c=时,(6.4)式变为az b a b w z d d d + ==+ ,可以看做(0) w rz r =>和w z b =+的复合. 当0 c≠时，(6.4)式变为 () az b c az b ad ad acz ad bc ad a bc ad w +++-++-- ====+ 它可以看作w z b =+，(0) w rz r =>, 1 w z =参与的复合。 ((由于任何分式线性映射总可以分解成上述四个函数的复合，所以只须对这四种映射进行讨论，就可以了解分式线性映射的特点)) (1)平移映射：w z b =+, ( b为复数) ((从z,b的实部和虚部解释,也可以用向量的平行四边形法则解释))

装 订线 同样将曲线C进行旋转 θ角度。 (3)相似映射：(0) w rz r => (4)反演映射： 1 w z = 当点z在单位圆外部时，此时||1 z>，故||1 w<,即w位于单位圆内部。 当点z在单位圆内部时，此时||1 z<，故||1 w>,即w位于单位圆外部。 所以反演映射的特点是：将单位圆内部映射到单位圆外部，将单位圆外部映射到单位圆内部。 规定：反演映射 1 w z =将0 z=映射成w=∞,将z=∞映射成0 w=。 2、分式线性映射的性质 1）保形性

第二节 分式线性变换(映射)

第二节 分式线性变换（映射） 本节以及下一节，我们将介绍保形变换中两类基本的保形变换---分式线性变换和某些初等解析函数构成的保形变换---及其简单的应用． 一、分式线性变换及其分解 （一）分式线性变换 形如：az b w cz d +=+（其中0a b ad bc c d =-≠）的变换称为分式线性变换，简记为L()w z =． 注：10 分式线性变换中，系数满足的条件不可少，否则， 0a b ad bc c d =-=，即 a b k c d = ，必将导致L()z k ≡为常数，显然它不可能构成保形变换． 20 为研究的方便，在扩充平面上，我们对分式线性变换L()w z =补充定义如下： （·）当0c ≠时，补充定义L()d c -=∞，L()a c ∞=； （··）当0c =时，补充定义L()∞=∞． 则分式线性变换就成为整个扩充平面上线性变换． 30 补充定义后，分式线性变换成为整个扩充z 平面与整个扩充w 平面之间的一一变换，即它在整个扩充z 平面上是单叶的，换言之，它将扩充z 平面单叶地变成扩充w 平面． 事实上，在扩充平面上，分式线性变换L()az b w z cz d +==+具有单值的逆变换dw b z cw a -+= -．

40 根据保域性定理（定理1）的推广，分式线性变换L()w z =在扩充平面上具有保域性． 50 易知，分式线性变换与分式线性变换的复合仍为分式线性变换． （二）分式线性变换的分解（分式线性变换的四种基本形式） 分式线性变换L()w z =总可以分解成下面四种简单变换的复合： （Ⅰ）i w e z θ= ------------------ 称为旋转变换； （Ⅱ）w r z =? ------------------ 称为伸缩变换； （Ⅲ）w z h =+ ------------------ 称为平移变换； （Ⅳ）1w z = ------------------ 称为反演变换． 事实上，当0c =时，分式线性变换变为a b w z d d =+， 记i a re d θ=，它又变为 ()i b w r e z d θ=+ ， 显然，它是由下面三个形如（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的变换 i e z θξ=，r ηξ= 和 b w d η=+ ， 复合而成． 当0c ≠时，分式线性变换可变形为 2 1()1()1 az b c az b a cz d bc ad a bc ad w d cz d c cz d c cz d c c z c ++++--= =?=?=+? ++++， 记 2i bc ad re c θ-=，它还可变形为 2 11()i a bc ad a w r e d d c c c z z c c θ-=+?=+?++． 显然，它是由下面五个形如（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）的变换

题型08 必考的几类初等函数(分式一次型函数、二次函数、指数函数)(原卷版)

秒杀高考题型之必考的几类初等函数（分式一次型函数、二次函数、指数函数） 【秒杀题型一】：分式一次型函数：()ax b d y x cx d c += ≠-+。 『秒杀策略』：反比例函数()k f x x =推广为分式函数：()ax b d y x cx d c +=≠-+→把分子变量去掉，可转化 为：t y m x n =+-，图象为双曲线，有以下性质： ①定义域：,x R x n ∈≠； ②值域：,y R y m ∈≠，a m c =； ③单调性：单调区间为()(),,,n n -∞+∞，当0t >时为减函数，反之为增函数； ④对称中心：(),n m 。 秒杀方法：在选择题中考查增减性时．．．．．．．．．．．，．如选项中有分式．．．．．．．一次型．．．函数．．，．一般情况下．．．．．优先考虑．．．．此选项。．．．． 1.(高考题)函数1 11--=x y 的图象是 ( ) 2.(高考题)在区间(),0-∞上为增函数的是 ( ) A.0.5log ()y x =-- B.1x y x = - C.2(1)y x =-+ D.21y x =+ 3.(高考题)函数()21 )(≥-=x x x x f 的最大值为 。 【秒杀题型二】：二次函数。 『秒杀策略』：二次函数解析式设法有三种：根据条件特点采用对应设法。①一般式：2y ax bx c =++； ②两根式：12()()y a x x x x =--; ③顶点式：2()y a x h k =-+。 1.(高考题)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价()b b a >以及常数()01x x <<确定实际销售价格()c a x b a =+-，这里x 被称为乐观系数。经验表明，

分式函数的图像与性质

分式函数的图像与性质 1、分式函数的概念 形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221 x y x x +=+， 212x y x +=-，41 3 x y x +=+等。 2、分式复合函数 形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如221 12x x y +=-，sin 2 3sin 3x y x += - ，y = 等。 ※ 学习探究 探究任务一：函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数21 1 x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。 【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---， 即函数211 x y x -=-的图像可以经由函数1 y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示： 12 111211 y y y x x x = ??→=??→=+--右上 由此可以画出函数21 1 x y x -= -的图像，如下： 单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞； 值域：(,2)(2,)-∞+∞； 对称中心：(1,2)。 【反思】(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？ 【小结】(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。

分式线性变换--很好很强大

§2 分式线性变换 一、教学目标或要求：理解分式线性变换的映射性质及应用 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：分式线性变换的映射性质，例题 重点：分式线性变换 难点：应用 三、教学手段与方法： 讲授、练习 四、思考题、讨论题、作业与练习：4-11 §2 分式线性变换 1、 分式线性变换及其分解 分式线性变换的概念 称变换 d cz b az w ++= (7.3) 为分式线性变换或M?bius 变换，其中的d c b a ,,,为复常数，且0≠-bc ad ．记 为 。 规定 时， ， 时， 。 线性变换将扩充平面一一变换为扩充平面,逆变换 也 是线性变换。 线性变换 可分解为以下二种类型变换的复合 (Ⅰ) 整线性变换 (当时,)

(Ⅱ)反演变换 (当时,) (Ⅰ)型变换的几何意义——整线性变换下,原象与象是不改变图形方向的相似变换。 (Ⅱ)型变换的几何意义。 其中 具有性质: ，并且对称点 都在过单位圆心 的同一射线 上。把平面上的单位圆周映成 平面上的单位圆周,并把单位圆周内(外)部映成单位圆外(内)部。规定圆心 与 为关于单位圆周的对称点。 线性变换的复合仍是线性变换。 几个初等函数的映射性质 1.h z w += (h 为常数)的映射性质： (1)是一个平移变换． (2)在复平面处处是保角的．这是因为，在复平面上处处有01≠='w ． (3)将圆周映射为圆周． 2.kz w = (k 为常数，且0≠k )的映射性质： (1)是旋转与伸长（或缩短）变换的叠加． (2)在复平面上处处是保角的．这是因为，0≠='k w 在复平面上处处成立． 3.z w 1 = 的映射性质： (1)该映射称为反演变换或倒数变换，它是相继施行两个对称变换的结果，一是关于实轴对称，二是关于单位圆周对称． (2)在复平面上除0=z 外，处处是保角的．

第七讲 分式线性变换

第七讲 分式线性变换 形如()(,,,0)az b f z a b c d ad bc cz d +=∈-≠+ 且的分式函数,即等价于 :f → ,az b z w cz d +→= +为分式线性变换 . f 是 上的双射. 设()az b w f z cz d +== +,1()b dw z f w z cw a --=?=-,即1()dw b f w cw a --+=- . 1f -也是分式线性变换 . 特别地, 11(0)()lim (0)()lim z z b f d az b a f cz d c b f a dw b d f cw a c →∞--→∞?=??+?∞==?+??=-??-+?∞==--? 1 反演变换 形如1w z =的变换,称为反演变换(如图7.1). 2 相似变换 (1)平移变换:(),()f z z h h =+∈ (如图 7.2). (2)旋转变换:(),()i f z e z θθ=?∈ (如图7.3). (3)伸缩变换:(),(0)f z rz r =>(如图 7.4).

综上:相似变换统一写成arg ()()i k f z kz h k e z h =+=?+. 引理1 形如()(,,,0)az b f z a b c d ad bc cz d +=∈-≠+ 且的分式线性变换必是一系列相似变换与反演变换的复合;反过来,相似变换与反演变换的复合也是某个分式 线性变换. 证明:(?) case1:0()az b a b c f z z d d d +=?==+是相似变换. case2:10()bc ad a c f z c cz d c -≠?=?++,即如下复合: 111bc ad bc ad a z cz d cz d c cz d c cz d c --→+→ →?→?++++ (?) 设''()'' a z b g z c z d +=+,要证()gf z 也是分式线性变换.经过计算,得 ('')('')()('')('') aa cb z ba db gf z ac bd z bc db +++= +++ 为分式线性变换.证毕. 反演变换的性质 保圆周性 定理2 分时线性变换()az b f z cz d +=+将圆周(或直线)映为圆周(或直线). 证:(方法一) ()az b f z cz d +=+是1w z =和w kz h =+的复合而成的 ∴只需讨论1w z =或w kz h =+的形式,其中,后一情形显然.只讨论1w z =的情形. 圆周曲线的方程为 0Azz Bz Bz C +++=

投资组合模型的线性分式规划解法

统计与决策２００７年第２１期（总第２４９期） 摘要：本文对证券投资组合的最大收益、最小风险投资决策问题，提出了一个兼顾收益和风险的效用函数；并建立了基于线性分式规划的投资组合选择模型，给出了该模型的线性分式规划解法。 关键词：线性规划；线性分式规划；投资组合；风险效用中图分类号：Ｆ８３０．５９；Ｏ２２１． 文献标识码：Ａ 文章编号：１００２－６４８７（２００７）２１－００４１－０２ 陈国华１，２，胡婵娟１，廖小莲１ （１．湖南人文科技学院数学系，湖南娄底４１７０００；２．湖南大学工商管理学院，长沙４１００８２）投资组合模型的线性分式规划解法 １９５２年，ＨａｒｒｙＭａｒｋｏｗｉｔｚ提出了证券组合投资均值－方 差模型，它为现代证券组合投资理论奠定了基础［１］。由于在 Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ的均值方差模型中，需要计算所有风险资产之间 的协方差，给模型的实际操作带来了计算上的困难。为了克服Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ模型的计算困难，许多国内外学者依据这些理论对证券组合投资进行了深入的研究， 采用不同的方法得 出一系列的研究成果［２］［３］［４］。本文以总体风险损失率作为投资组合的风险度量，提出了一个兼顾收益和风险的效用函数，并建立了基于线性分式规划的投资组合模型，然后利用分式规划知识对模型进行了求解。 １证券组合的风险效用函数投资决策模型 的建立 我们分别以ｒｉ（ｉ＝１，…，ｎ）表示第ｉ种风险证券Ｓｉ的投资收益，以ｘｉ（ｉ＝１，…，ｎ）表示第ｉ种风险证券Ｓｉ的投资比例，以ｑｉ（ｉ＝ １，…，ｎ）表示第ｉ种风险证券Ｓｉ的风险损失，则确定投资份额 的优化模型为： ｍａｘｎ ｉ＝１!ｒｉｘｉｍｉｎｎｉ＝１!ｑｉｘｉｓ．ｔ．ｎｉ＝１!ｘｉ＝１０≤ｘｉ≤μ，ｉ＝１，…，# %%%$%%%& ｎ在此模型中，一方面我们要使投资收益最大化；另一方面要使投资风险最小化。而我们建立投资决策模型的目的本质是在对投资风险最小化的同时，对投资收益最大化。鉴于此，我们定义风险效用函数（Ｒｉｓｋｕｔｉｌｉｔｙｆｕｎｃｔｉｏｎ）如下。 定义 证券组合投资中兼顾收益和风险的效用函数为 ｇ（ｘ）＝ｎ ｉ＝１ !ｑｉｘ ｉ ｎｉ＝１ !ｒｉｘ ｉ 利用效用函数ｇ（ｘ），我们建立如下的证券组合投资决策 模型 ｍｉｎｇ（ｘ）＝ｎ ｉ＝１ !ｑｉｘｉｎｉ＝１!ｒｉｘｉ ＝ｑＴｘｒＴｘｓ．ｔ．ｎ ｉ＝１ !ｘｉ＝１０≤ｘｉ≤μ，ｉ＝１，…，# %%%’ %%%& ｎ（ａ） ２ 证券组合投资模型的线性分式规划解法上面建立的证券组合投资决策模型是不含常数项的线性分式规划，我们利用分式规划知识对其求解。线性分式规划是目前应用比较广泛的一种优化系统，目前已有不少国内外学者在这方面取得了一系列研究成果，有关线性分式规划问题的相关研究情况，可参阅文献［５－８］。从中可看出线性分式规划是分式规划中一类比较复杂、困难的数学规划。实际问题中，将所考虑的决策系统建成数学规划模型，通常要涉及到多个决策变量，并且有可能包含目标函数及约束条件。一般来说，这些目标函数的系数有可能经常变化，约束条件也可能有所改变。因此，如何求解线性分式规划的最优解是一个比较复杂困难的问题。我们利用变换的方法，将模型中的线性分式规划问题转化为线性规划问题。 作变换，令ｘ＝ｙτ （τ∈Ｒ，τ＞０）得到： ｇ（ｘ）＝ ｑＴ（ｙτ） ｒＴ（ｙτ）＝１τｑＴｙ １τ ｒＴｙ＝ｑＴ ｙｒＴｙ基金项目：湖南省教育厅基金资助项目 ４１