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分式线性变换--很好很强大

§2 分式线性变换

一、教学目标或要求：理解分式线性变换的映射性质及应用二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：分式线性变换的映射性质，例题重点：分式线性变换难点：应用

三、教学手段与方法：讲授、练习

四、思考题、讨论题、作业与练习：4-11

§2 分式线性变换

1、

分式线性变换及其分解

分式线性变换的概念称变换

cz b

az w ++=

(7.3) 为分式线性变换或M?bius 变换，其中的d c b a ,,,为复常数，且0≠-bc ad ．记

为。

规定

时，

，时，。

线性变换将扩充平面一一变换为扩充平面,逆变换也

是线性变换。

线性变换

可分解为以下二种类型变换的复合

(Ⅰ) 整线性变换 (当时,)

(Ⅱ)反演变换 (当时,)

(Ⅰ)型变换的几何意义——整线性变换下,原象与象是不改变图形方向的相似变换。

(Ⅱ)型变换的几何意义。

其中

具有性质:

，并且对称点

都在过单位圆心

的同一射线

上。把平面上的单位圆周映成

平面上的单位圆周,并把单位圆周内(外)部映成单位圆外(内)部。规定圆心与

为关于单位圆周的对称点。

线性变换的复合仍是线性变换。几个初等函数的映射性质

1.h z w += (h 为常数)的映射性质： (1)是一个平移变换．

(2)在复平面处处是保角的．这是因为，在复平面上处处有01≠='w ． (3)将圆周映射为圆周．

2.kz w = (k 为常数，且0≠k )的映射性质： (1)是旋转与伸长（或缩短）变换的叠加．

(2)在复平面上处处是保角的．这是因为，0≠='k w 在复平面上处处成立． 3.z

w 1

的映射性质： (1)该映射称为反演变换或倒数变换，它是相继施行两个对称变换的结果，一是关于实轴对称，二是关于单位圆周对称． (2)在复平面上除0=z 外，处处是保角的．

(3)将圆周映射为圆周．对于z 平面上的圆周（或直线）

0)(22=++++D Cy Bx y x A 映射z

w 1=

当0,0≠≠D A 时，将圆周映射为圆周；当0,0=≠D A 时，将圆周映射为直线；当0,0≠=D A 时，将直线映射为圆周；当0,0==D A 时，将直线映射为直线．分式线性变换的映射性质

（7.3）式的“结构”是由平移变换、旋转与伸长（或缩短）变换及反演变换复合而成．

1. 线性变换的保形性

定义两曲线在无穷远点处的交角是指它们在反演变换之下的

象曲线在原点处的交角。

定理 7.7 线性变换在扩充复平面上是保形的。

证由于

在扩充复平面是单叶的，故只需证其保角。对于(Ⅱ)型变

换，当，

时，，由定理7.4知解析函数在导

数不为处保角,当

时，由定义知也是保角的。对于(Ⅰ)型变

换，，,当时是保角的；当时,令,

，则，即，于是，

，

故在处也是保角的。综上所述，即得。

3. 线性变换的保交比性

定义7.4扩充复平面上相异的四个点构成的量称为它们的交比，记为；当四点中有一个为时，包含此点的项用代替，

即若，则,也就是先将当作有限的，再令取极限而得。

定理7.8线性变换下，四点的交比不变。

证记，则

，故

若中有一个为，则类似可证。

定理7.9设线性变换得扩充平面上的三个相异点指定变为，则此线性变换被唯一确定，并且可写为

(即三对对应点唯一确定一个线性变换)。

证设,满足。由知，

四个常数中至少一个不为,不妨设,则，将代

入，由方程组的理论, 是唯一确定的。

例试求将点1,0,∞分别映射为点∞,1,0的分式线性变换．

解令1,0,321==∞=z z z ，∞===321,1,0w w w ，则由（7.11）式得

w -=

即为所求． 4.线性变换的保圆周性

定理7.10 线性变换将平面上的圆周(直线)变为圆周或直线。

证 1o显然整线性变换(Ⅰ)

将圆周(直线)变为圆周(直线),

对反演变换(Ⅱ)

，将直线变为

,当

时表示直线,当

时，

表示圆周。同样，

将圆周 (

) 变为

，当

时表示直线,当

时表示圆周。

2o若将扩充复平面上的直线看作半径无穷大的圆周,则线性变换在扩充复平面上将圆周变换成圆周。

3o要确定线性变换将平面上圆周的内部变换为

平面圆周的内部还

是外部有两种方法。可以再内部取一点

，若

，在的内(外)

部，则变换将

的内部变换成的内(外)部；也可用另一种方法,

在上依次取三点,当观察者绕依

方向进行时，区域若在

的左侧，则在平面上相应依次沿

，

绕行

时,

确定的相应区域仍在观察者左侧。

5. 线性变换的保对称点性

定义7.5 关于圆周

对称是指

都在过圆心的同一射线

上，且

；约定与

对应。

定理7.11 设)(z f w =为分式线性变换，若扩充z 平面上两点1z 与2z 关于圆周c 对称，则)(11z f w =与)(22z f w =两点关于圆周)(c f c ='对称．定理7.12 设

关于圆周

对称，则

关于

对称。

6. 线性变换的应用

1．求将上半平面保形变换为上半平面的线性变换。

证由于此变换将实轴变换为实轴，故,

均为实数。又取

，则，

即

,故所求变换为

满

足均为实数且

。

2. 求将上半平面0Im >z 映射为单位圆1

)0(Im >α映射为点0=w

解用构造法．依题意，所求映射应将z 平面上的实轴映射为w 平面上的单位圆周1:=w c ．

由于要求将点α=z 映射为点0=w ，而关于z 平面上的实轴与点α对称的点是α，关于w 平面上的圆周c 与点0=w 对称的点是∞，所以，由分式线性变换具有保对称点性可知，拟求映射除应将点α=z 映射为点0=w 外，还应将点α=z 映射为点∞=w ．又因所求映射是分式线性变换，故可构造为

(

z )

( w )

●

k z z k

w ,α

α--=为待定系数

为确定k ，只须利用该变换需将实轴上的点x z =映射为单位圆周1=w 上的点的事实，即当x z =时，有

--=x x k

w k =1= 由此得θθ,e i =k 为任意实数．至此，便得

θαα

αθ

,0Im ,e i >--=z z w 为任意实数（7.12）

经验证，（7.12）式即为所求．事实上，当x z =时，由（7.12）式得

θ--?

=x x w i e 1= 又（7.12）式是分式线性变换，故（7.12）式将z 平面上的实轴（上半平面的边界）映射为w 平面上的圆周1=w （单位圆的边界）．又由于当α=z 时，由（7.12）式得0=w ，而该点位于圆1z 映射为1αα映射为点0=w ．至于（7.12）式是分式线性变换是明显的，故（7.12）式即为所求．

3．求将1

0=w （图2）．

解用构造法．依题意，所求映射应将z 平面上的单位圆周1:=z c 映射为w 平面上的单位圆周1:='w c ．

由于要求将点)1(<αα映射为点0=w ，而关于圆周c 与点α对称的点是

图2

( w )

（见图7-2），关于圆周c '与点0=w 对称的点是∞，所以，由分式线性变换具有保对称点性可知，所求变换应将点α=z 映射为点0=w ，且将点α

=z 映

射为点∞=w ，又因所求变换是分式线性变换，故可构造为

k z z k w '-

=,1α

为待定系数

即

z k w αα

α--'

-=1 令k k '-=α，得

k z

z k

w ,1αα--=为待定系数

为确定k ，利用c 上的点的像一定位于c '上的事实，不失一般性，可取点1=z 代入上式后应满足1=w ，即

--?

=11k w k =1= 于是，θθ,e i =k 为任意实数．于是，经验证

θαααθ

,1,1e i <--=z

z w 为任意实数（7.13）

即为所求．

例若a 、b 、c 、d 均为实数，且ad-bc>0,则d cz b

az w ++=

将上半平面0Im >z 保

形变换为上半工半平台0Im >w 。

证明：因为a ，b ，c ，为实数。所以d cz b

az w ++=

将实数变为实数，从而此变换

将实轴0Im =z 变为实轴0Im =z 。

且当z 为实数时，()02

>+-=d cz bc

ad dz dw ，即

(),00'>x f ()0arg 0'=∴x f 。这表明实轴经过变换后的旋转角为零，即将正实轴的方向变到正实轴方向。

Y v

()Z w →0X ()w

()n f →0w

因此，实轴变成实轴是同向的。所以，0

Im >z w

→

0Im >w

由此例可以看出，若a ，b ，c ，d 为实数，则实轴→实轴。当0>-bc ad 时，则上半平台f

→

上半平台当0<-bc ad 时，则上半平台

→

下半平台，

因为0<-bc ad ，故()

00'

()π=0'arg x f 。因此，实轴经变换后的旋转角为π，即将正实轴方向变到负实轴方向。

第七讲分式线性变换

第七讲分式线性变换形如()(,,,0)az b f z a b c d ad bc cz d +=∈-≠+￡且的分式函数,即等价于 :f → ＃,az b z w cz d +→=+为分式线性变换 . f 是￡上的双射. 设()az b w f z cz d +== +,1()b dw z f w z cw a --=?=-,即1()dw b f w cw a --+=-. 1f -也是分式线性变换. 特别地, 11(0)()lim (0)()lim z z b f d az b a f cz d c b f a dw b d f cw a c →∞--→∞?=??+?∞==?+??=-??-+?∞==--? 1 反演变换形如1w z =的变换,称为反演变换(如图7.1). 2 相似变换 (1)平移变换:(),()f z z h h =+∈￡(如图7.2). (2)旋转变换:(),()i f z e z θθ=?∈?(如图7.3). (3)伸缩变换:(),(0)f z rz r =>(如图7.4).

综上:相似变换统一写成arg ()()i k f z kz h k e z h =+=?+. 引理1 形如()(,,,0)az b f z a b c d ad bc cz d +=∈-≠+￡且的分式线性变换必是一系列相似变换与反演变换的复合;反过来,相似变换与反演变换的复合也是某个分式线性变换. 证明:(?) case1:0()az b a b c f z z d d d +=?==+是相似变换. case2:10()bc ad a c f z c cz d c -≠?=?++,即如下复合: 111bc ad bc ad a z cz d cz d c cz d c cz d c --→+→ →?→?++++ (?) 设''()'' a z b g z c z d +=+,要证()gf z 也是分式线性变换.经过计算,得 ('')('')()('')('') aa cb z ba db gf z ac bd z bc db +++= +++ 为分式线性变换.证毕. 反演变换的性质 ? 保圆周性定理2 分时线性变换()az b f z cz d +=+将圆周(或直线)映为圆周(或直线). 证:(方法一)Q ()az b f z cz d +=+是1w z =和w kz h =+的复合而成的 ∴只需讨论1w z =或w kz h =+的形式,其中,后一情形显然.只讨论1w z =的情形. 圆周曲线的方程为 0Azz Bz Bz C +++=

分式函数

第 1 页共 4 页一次分式函数班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、理解分式函数的概念 2、掌握一次分式函数的图像画法及性质【教学过程】一、知识梳理： 1．一次分函数的定义我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。 2．一次分函数(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的图象和性质 2.1 图象：其图象如图所示. 2.2定义域： ? ?????-≠a b x x ； 2.3 值域：? ?????≠ a c y y ； 2.4 对称中心：??? ? ?- a c a b ,；

2.5 渐近线方程：b x a =- 和c y a =； 2.6 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当ad

分式指数函数和分式对数函数的对称中心的应用

分式指数函数和分式对数函数的对称中心的应用知识准备：函数)(x f 满足n x m f x m f =-++)()(，则)(x f 的图像关于点)2 ,(n m 对称。 1、函数)1,0(11)(≠>+=a a a x f x 的图像关于点)2 1,0(对称。推论：函数)1,0(2111)(≠>-+= a a a x f x 为奇函数，它的图像关于原点)0,0(对称。 2、函数)1,0(11)(≠>-=a a a x f x 的图像关于点)2 1,0(-对称。推论：函数)1,0(2 111)(≠>+-= a a a x f x 为奇函数，它的图像关于原点)0,0(对称。 3、函数)0,1,0()(>≠>+= b a a b a c x f x 的图像关于点)2,(log b c b a 对称。 4、函数)0,1,0()(>≠>-=b a a b a c x f x 的图像关于点)2,(log b c b a -对称。结论：函数)0,1,0()(≠≠>+=m a a m a n x f x 的图像关于点)2,(log m n m a 对称。一、分式指数函数的对称中心的应用 1、分式指数函数a a a x f x x +=)( 的图像关于)21,21(中心对称，所以总有1)1()(=-+x f x f 例：已知244)(+=x x x f ，则)2018 2017()20182016()20182()20181(f f f f ++???++ 的值是

1014。 2、分式指数函数a a x f x +=1)(的图像关于)21,21(a 中心对称，所以总有a x f x f 1)1()(=-+ 例：已知2 21)(+=x x f ，则)6()5()4()5(f f f f ++???+-+-的值是23。 3、分式指数函数x a a x f -=21)(的图像关于)21,2(2a 中心对称，所以总有2 1)1()(a x f x f =-+ 例：已知函数x x f 2 41)(-=的图像关于点P 对称，则点P 的坐标是)81,2(。 4、分式指数函数)1,0,0,()(≠≠≠++=a a rs qr ps s ra q pa x f x x >的图像关于)2,log (rs qr ps r s a +中心对称，所以总有rs qr ps x r s f x f a +=-+)2log ()( 二、分式对数函数的对称中心的应用分式对数函数)1,0,0,(log )(≠≠≠++=a a rs qr ps s rx q px x f a >的图像关于)log ,2(r p rp qr ps a -+中心对称，所以总有r p x rp qr ps f x f a log 2)()(=--++

函数的周期和对称性

专题：函数的周期性对称性 1、周期函数的定义一般地，对于函数)(x f y =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，那么函数)(x f y =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的一个周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。显然，若T 是函数的周期，则)0,(≠∈k z k kT 也是)(x f 的周期。如无特别说明，我们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。说明：1、周期函数定义域必是无界的。 2、周期函数不一定都有最小正周期。推广：若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期； )2 ()2(T x f T x f -=+，则)(x f 周期为T ； ()f x 的周期为)(x f T ω?的周期为 ω T 。 2、常见周期函数的函数方程：（1）函数值之和定值型，即函数)()()(b a C x b f x a f ≠=+++ 对于定义域中任意x 满足)()()(b a C x b f x a f ≠=+++，则有)()]22([x f a b x f =-+，故函数)(x f 的周期是)(2a b T -= 特例：()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；（2）两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型若)()()(可正可负，C b a C x b f x a f ≠=+?+，则得 )]22()2[()2(a b a x f a x f -++=+，所以函数)(x f 的周期是)(2a b T -=

第一章线性空间与线性变换

第一章线性空间与线性变换线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间． §1.1 线性空间线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R )和复数域(记为C )，统称数域F ．一、线性空间的定义及性质定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质：对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++； 3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有0αα+=； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=； 6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+．则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间． V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间．需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间．

有理分式函数的图象及性质

有理分式函数的图象及性质【知识要点】 1．函数(0,)ax b y c ad bc cx d += ≠≠+ （1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{|y y ≠ 单调区间为(,),(,+)d d c c -∞-- ∞（4）直线,d a x y c c =- = ，对称中心为点(,)d a c c - （5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。（62．函数(0,0)b y ax a b x =+ >>的图象和性质：（1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：{|y y y ≥≤或（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间+),(∞上是增函数；在区间0)上是减函数（5以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 3．函数(0,0)b y ax a b =+ ><的图象和性质：

【例题精讲】 1．函数1 1+- =x y 的图象是（） A B C D 2．函数23 (1)1 x y x x += <-的反函数是（） 3333.(2) . (2) . (1) .(1)2 2 2 2 x x x x A y x B y x C y x D y x x x x x ++++= <= ≠=<= ≠---- 3．若函数2()x f x x a +=+的图象关于直线y x =对称，则a 的值是（） . 1 . 1 . 2 .2A B C D -- 4．若函数21 ()x f x x a -=+存在反函数，则实数a 的取值范围为（） 11. 1 . 1 . .2 2 A a B a C a D a ≠-≠≠ ≠- 5．不等式14x x > 的解集为（） 1111111. (,0)( ,) . (-,)( ,) . (,0)(0,,+) .(,0)(0, ) 22 2 2 2 2 2A B C D - +∞∞- +∞-∞- 6．已知函数2 ()ax b f x x c += +的图象如图所示，则,,a b c 的大小关系为（） . . . .A a b c B a c b C b a c D b c a >>>>>>>> 7．若正数a 、b 满足,3++=b a ab 则ab 的取值范围是_____ 。 8．函数2 34 x y x = +的值域是。 9．若函数1 a x y x a -= --的反函数的图象关于点(1,4)-成中心对称，则实数 a = 。 10．函数11 x x e y e -= +的反函数的定义域是。 11．不等式 2113 x x ->+的解集是。 12．函数2 2 1 x x y x x -= -+的值域是。

函数对称性的三类题型

对称性一、有关对称性的常用结论（一）函数图象自身的对称关系（加法） 1、轴对称 (1))(x f -=)(x f ?函数)(x f y =图象关于y 轴对称； (2) 函数)(x f y =图象关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+?()(2)f x f a x =- ?()(2)f x f a x -=+；（3）若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线对称。 2、中心对称（1）)(x f -=－)(x f ?函数)(x f y =图象关于原点对称；. （2）函数)(x f y =图象关于(,0)a 对称?)()(x a f x a f --=+?()(2)f x f a x =-- ?)2()(x a f x f +=-；（3）函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称?b x a f x a f 2)()(=++- （4）若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），则函数)(x f y =的图象关于点对称。（二）两个函数图象之间的对称关系（减法） 1.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线对称。推论1：函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对称。推论2：函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。 2.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f c y --=的图象关于点对称。推论：函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=图象关于点)0,2 ( a b -对称。类型一：双对称问题 1. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)1()1(x f x f -=+，当01≤≤-x 时， 2 a b x -= )2 ,2( c a b -2 b a x += )2 ,2(c b a +

第二节分式线性变换(映射)

第二节分式线性变换（映射）本节以及下一节，我们将介绍保形变换中两类基本的保形变换---分式线性变换和某些初等解析函数构成的保形变换---及其简单的应用．一、分式线性变换及其分解（一）分式线性变换形如：az b w cz d +=+（其中0a b ad bc c d =-≠）的变换称为分式线性变换，简记为L()w z =．注：10 分式线性变换中，系数满足的条件不可少，否则， 0a b ad bc c d =-=，即 a b k c d = ，必将导致L()z k ≡为常数，显然它不可能构成保形变换． 20 为研究的方便，在扩充平面上，我们对分式线性变换L()w z =补充定义如下：（·）当0c ≠时，补充定义L()d c -=∞，L()a c ∞=；（··）当0c =时，补充定义L()∞=∞．则分式线性变换就成为整个扩充平面上线性变换． 30 补充定义后，分式线性变换成为整个扩充z 平面与整个扩充w 平面之间的一一变换，即它在整个扩充z 平面上是单叶的，换言之，它将扩充z 平面单叶地变成扩充w 平面．事实上，在扩充平面上，分式线性变换L()az b w z cz d +==+具有单值的逆变换dw b z cw a -+= -．

40 根据保域性定理（定理1）的推广，分式线性变换L()w z =在扩充平面上具有保域性． 50 易知，分式线性变换与分式线性变换的复合仍为分式线性变换．（二）分式线性变换的分解（分式线性变换的四种基本形式）分式线性变换L()w z =总可以分解成下面四种简单变换的复合：（Ⅰ）i w e z θ= ------------------ 称为旋转变换；（Ⅱ）w r z =? ------------------ 称为伸缩变换；（Ⅲ）w z h =+ ------------------ 称为平移变换；（Ⅳ）1w z = ------------------ 称为反演变换．事实上，当0c =时，分式线性变换变为a b w z d d =+，记i a re d θ=，它又变为 ()i b w r e z d θ=+ ，显然，它是由下面三个形如（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的变换 i e z θξ=，r ηξ= 和 b w d η=+ ，复合而成．当0c ≠时，分式线性变换可变形为 2 1()1()1 az b c az b a cz d bc ad a bc ad w d cz d c cz d c cz d c c z c ++++--= =?=?=+? ++++，记 2i bc ad re c θ-=，它还可变形为 2 11()i a bc ad a w r e d d c c c z z c c θ-=+?=+?++．显然，它是由下面五个形如（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）的变换

一次分式函数最值问题

一次分式函数最值问题Last revision on 21 December 2020

拆分函数解析式结构，巧解问题 --------------函数()ax b f x cx d +=+值域（最值）问题的解法在高中，初学函数之时，我们接触的具体函数并不多。前面我们已经给出了一元二次函数值域（最值）的求法步骤。除此，还有一类()(0)ax b f x c cx d +=≠+函数也很常见，它也是今后解决其他复杂函数值域（最值）问题的基础。此类函数看似生疏，而实际这类函数的图像，就是我们初中学过的反比例函数图像。此类问题有三种类型，一种是函数式子决定定义域，不额外附加函数定义域；另一种是附加定义域。还有一种是可转化为()(0)ax b f x c cx d += ≠+型的函数，此类随着学习的深入，再行和大家见面。下面我们以具体实例，说明如何依据函数解析式的结构特征，选择适当的方法步骤解决问题。【例题1】：求函数21()3 x f x x +=-的值域；【思路切入】：从函数结构可以得出，函数定义域由分式决定，为 {|3}x x R x ∈≠且，此时，将函数解析式的结构进行拆分变换，不难得出反比例函数结构，如此，得到解法程序： 1、将函数分解为反比例的结构； 2、根据反比例结构特性，或者利用图像，或者利用数式属性得到函数值域。【解析】：原函数可化为212677()2333 x x f x x x x +-+===+---， 7303 x x ≠≠-且，2y ∴≠，函数()f x 值域为{|2}y y R y ∈≠且；【例题2】：求函数21(),(2,4]1x f x x x -=∈-的值域；

复变函数论第七章共形映射

7．1解析函数的特性教学目的：使学生掌握从映射角度来研究解析函数的概念及基本原理，从而了解解析函数的几何理论. 重点：保角映射的概念与性质. 难点：解析变换的保域性. 课时：4课时教学过程：前几章我们用分析的方法研究了解析函数的性质和应用，从映射角度来研究解析函数的性质及其应用主是通常说的解析函数的几何理论.几何理论中最基本的是共形映射的理论.下面我们来介绍共形映射的概念及基本原理. 一．解析函数的保域性. 定理7.1 (保域定理)设()w f z =在区域D 内解析且不恒为常数,则D 的象()G f D =也是一个区域. 证明：按区域的定义：要证()G f D =是一个连通开集. 首先证明G 是一个开集即证G 的每一个都是内点,设0w 是G 内的任意一点，则存在0z D ∈，使得00()f z w =，由第六章的儒歇定理，必存在0w 的一个邻域*0w w δ-<.对于其中的任一数w A =，函数()f z A -在0z z ρ-<内（0z z ρ-<是D 内的邻域）必有根，即w A =，这记0w w G -?.表明0w 是G 的内点.由0w 的任意性知G 是开集其次证明G 是连通集.由于D 是区域,可在D 内部取一条联结12,z z 的折线 =≤≤==121122:()[,(),()]C z z t t t t z t z z t z . 于是： 12:[()]() w f z t t t t Γ=≤≤就是联结12,w w 的并且完全含于G 的一条曲线.从而, 由柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到一条联结12,w w 内接于Γ且完全含于G 的折线 Γ. 从以上两点，表明()G f D =是区域. 推论7.2 设()w f z =在区域D 内单叶解析,则D 的象()G f D =也是一个区域. 证明：用()f z 在区域D 内单叶，必()f z 在D 内不恒为常数. 定理7.3 设函数()w f z =在点0z 解析,且' 0()0f z ≠,则()f z 在0z 的一个邻域内单叶解析. 由此可见，符合本定理条件的解析变换()w f z =将0z 的一个充分小邻域变成00()w f z =的

一次分式型函数

：Y 一次分式型函数(0,)cx d y a ad bc ax b += ≠≠+ 一、课前准备： 1．一次分函数的定义我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b += ≠≠+的函数称为一次分函数。 2．一次分函数的图象是双曲线 3.一次分函数(0,)cx d y a ad bc ax b += ≠≠+的性质 ①．定义域：? ? ????-≠a b x x ； ②．值域：? ?????≠a c y y ； ③．对称中心：?? ? ??-a c a b ,； ④．渐近线方程：b x a =-和c y a =； ⑤．对称轴方程：[()]c b y x a a -=--和[()]c b y x a a -=--- ⑥单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当adbc 时，在“一、三象限”；当ad

分式函数求最值

分式函数的图象及性质和值域（4，13班）耿在近几年的高考和模拟考试题目中，经常会出现求解模型函数为分式函数值域的题目，而分式函数的值域求法有共同的规律，本节课给大家介绍解法并总结出通法！【知识要点】 1．函数(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+ （1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{|y y ≠单调区间为(,),(,+)d d c c -∞--∞（4）直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a c c - （5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。（62．函数(0,0)b y ax a b x =+ >>的图象和性质：（1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：{|y y y ≥或（3）奇偶性：奇函数（4 ）单调性：在区间+),(∞上是增函数；在区间上是减函数（5以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 3．函数(0,0)b y ax a b x = + ><的图象和性质：（1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：R （3调性：在区间(0,+)∞和(,0)-∞上是增函数。（5直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 (0)b y ax a x =+ <的图象（如图所示）和性质（略）：

类型一：(, ,,) ax b y a b c d R cx d + =∈ + （“一次比一次”型）备注：本质上一定是反比例函数上下或左右平移而来，所以一定是中学对称函数，可以从图像观察出其值域范围。例1。函数 1 1 + - = x y的图象是（） A B C D 例2、画出函数 21 1 x y x - = - 的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。【分析】 212(1)11 2 111 x x y x x x --+ ===+ --- ，即函数 21 1 x y x - = - 的图像可以经由函数 1 y x = 的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示： 12 111 2 11 y y y x x x =??→=??→=+ -- 右上由此可以画出函数 21 1 x y x - = - 的图像，如下：单调减区间：(,1),(1,) -∞+∞；值域：(,2)(2,) -∞+∞ U； x O y x O y 1 2 x O y 1

课内第七章习题

第七章习题（一） 1. 求2w z =在z=I 处的伸缩率和旋转角。问此变换将经过点z=i 且平行于实宙正方向的曲线的切线方向变换成w 平面上哪一个方向？并用图。 2. 试利用保域定理7.1简捷地证明第二章习题（一）6(3)、（4）。 3. 在整线性变换w iz =下，下列图形分别变成什么图形？（1）以123,1,1z i z z ==-=为顶点的三角形；（2）闭圆|1|1z -≤. 4. 下列各题中，给出了三对对应点112233,,z w z w z w ???的具体数值，写出相应的分式线性变换，并指出此变换把通过z 1，z 2，z 3的圆周的内部，或直线左边（顺着z 1，z 2，z 3观察）变成什么区域。（1）11,0,1i i ??-?-；（2）1,1,10i ?∞?--?；（3）0,,0i i ∞???∞；（4）0,01,1∞???∞. 5. z 平面上有三个互相外切的圆周，切点之一在原点，函数1w z = 将此三个圆周所围成的区域变成w 平面上什么区域？ 6. 如az b w cz d +=+将单位圆周变成直线，其系数应满足什么条件？ 7. 分别求将上半z 平面Im 0z >共形映射成单位圆 ||1w <的分式线性变换()w L z =,使符合条件：（1）()0,()0L i L i '=>; （2）()0,arg ()2L i L i π '==. 8. 分别求将单位圆 ||1z <共形映射成单位圆||1w <的分式线性变换()w L z =，使

符合条件：（1）10,(1)12L L ??==- ??? ; （2）110,arg 222L L π????'==- ? ????? . 9. 求出将圆 |4|2z i -<变成半平面v u >的共形映射，使得圆心变到-4，而圆周上的点2i 变到0.w = 10. 求出将上半z 平面Im 0z >共形映射成圆||w R <的分式线性变换()w L z =，使符合条件()0L i =；如果再要求()1L i '=，此变换是否存在？ 11. 求将圆||z ρ<共形映射成圆||w R <的分式线性变换，使(||)z a a ρ=<变成w=0。 12. 求出圆||2z <到半平面Re 0w >的共形映射()w f z =，使符合条件 (0)1arg (0)2f f π '==. 13. 试求以下各区域（除去阴影部分）到上半平面的一个共形映射。（1）||2,Im 0z i z +<>（图7.20）。（2）|||z i z i +>-7.21）。（3）||2,|1|1z z <->（图7.22）。 14. 求出角形区域0arg 4z π <<到单位圆||1w <的一个共形映射。 15.求出将上半单位圆变成上半平面的共形映射，使z=1,-1,0分别变成1,1,w =-∞。 16. 求出第一象限到上半平面的共形映射，使,,1z θ=对应地变成0,, 1.w =∞- 17. 将扩充z 平面割去1+I 到2+2i 的线段后剩下的区域共形映射成上半平面。 18. 将单位圆割去0到1的半径后剩下的区域共形映射成上半平面。 19. 将一个从中心起沿实轴上的半径割开了的单位圆共形映射成单位圆，使符合条件：割疑寂岸的1变成1，割缝下岸的1变成-1，0变成-i 。

上海交通大学复变函数习题

复变函数习题一：选择题： 1. 1 2 z =- 的辐角为：（A ） A ．(21)0,1,2)k arctg k π-+=±± B.(21)0,1,2)k k π-+=±± C. 20,1,2)k arctg k π+=±± D. 20,1,2)k k π+=±± 2. 221 1 c z z dz z -+-?,其中(:2)c z =(B) A ．2i π B. 4i π C. 6i π D.0 3. 2 1 (1) z z z +-在1z <<+∞洛朗级数为（B ） C A. 210112n n z z ∞+=+∑ B. 10112n n z z ∞+=+∑ C. 230112n n z z ∞+=+∑ D. 23011n n z z ∞ +=+∑ 4. 1 sin z 在(0,1,)z n n π==± 留数（A ） A ．(1)n - B.1 C.0 D. 1- 5. 将上半z 平面Im 0z >共形映射成单位圆1w <分式线性变换()w L z =符合 ' ()0,L()0L i i =>为（B ） A ．()z i L z z i -= + B. ()z i L z i z i -=+ C. 1()z L z i z i -=+ D. ()1 z i L z i z -=+ 6.复数2 3 (cos5sin 5)(cos3sin 3) i i ????+-化为指数形式：(A) A ．19i e ? B. 17i e ? C. 20i e ? D. 16i e ? 7.已知()cos cosh sin sinh f z x y i x y =?-?，则/ ()f z =(C) D A ．cos z B. sin z C. cos z - D. sin z - 8. 2 ()c x y ix dz -+?=。。。。。（积分路径C 是连接0到1i +的直线段）B A. 13 i +- B. 13i -- C. 12i -- D. 12i - 9.幂级数 1 n n n n z ∞ =∑收敛半径(C)

一次齐次分式函数图象与性质

一次齐次分式函数图象与性质【问题提出】如何绘制)0,()(≠≠++=ad bc ad d cx b ax x f 的图象，并研究它的相关性质？（对称性，值域，奇偶性）【探究拓展】探究1：函数1 32+-=x x y 的单调增区间为______________ 变式1：已知函数1 3+-=x ax y 在区间()1,-∞-上是增函数，则实数a 的取值范围是________ 变式2：若函数2x b y x -=+在(),4(2)a b b +<-上的值域为()2+∞，，则____b a =116 先定单调性，由函数图像可得2,4a b =-=- 探究2：设0a >,0b >,已知函数()1 ax b f x x +=+. （1）当a b ≠时,讨论函数()f x 的单调性(直接写结论); （2）当0x >时，（i ）证明2)]([)()1(a b f a b f f =?；（ii ）若ab x f b a a b ≤≤+)(2,求x 的取值范围. 解：（1）由1)(+-+=x a b a x f ，得当b a >时，)(x f 分别在()()+∞--∞-,1,1,上是增函数； ……………2分当b a <时，)(x f 分别在()()+∞--∞-,1,1,上是减函数； ……………2分

（2）（i ）∵2)1(b a f +=，ab a b b a b a a b f b a ab a b f =++=+=1)(,2)( …………2分 ∴ 2])([)()1(a b f ab a b f f ==，∴2)]([)()1(a b f a b f f = (1) 分（ii ）∵ ab x f b a ab ≤≤+)(2 ∴由（i ）可知，)()()(a b f x f a b f ≤≤， ……………2分 ①当 b a =时，a x f =)(，H=G=a ，x 的取值范围为0>x . ……………2分 ②当b a >时，∵1a b ，∴a b a b > 由（Ⅰ）可知， )(x f 在()+∞,0上是减函数，∴x 的取值范围为a b x a b ≤≤ …2分综上，当b a =时，x 的取值范围为0>x ；当b a >时，x 的取值范围为a b x a b ≤≤；当b a <时，x 的取值范围为a b x a b ≤≤ …………1分