第15课时直线和圆的位置关系
教学过程
一、问题情境
在课桌中心放置一张白纸,用圆规在白纸上画一个圆,将一把直尺从桌子的一边平行于课桌边缘平移到桌子的另一边.假如将直尺一条边看成一条直线,在这条直线移动过程中你看到了什么现象?
(这是一个开放问题,没有精确答案,同学回答时可能都是“白话”,同学可能会回答“直线先靠近圆,再远离圆”、“直线先相离,再相切,然后相交,再相切,最终又远离”等.只要意思对,就应当赐予确定.让同学充分表达,为后面一系列问题做预备)
二、数学建构
问题1学校学过的平面几何中,直线和圆有哪几种位置关系?
(该问题可能同学一开头已经回答了,在这里再次毁灭的目的是明确在数学中直线和圆位置关系的精确
表述,只能是“相离”、“相切”、“相交”,不能用其他意思相近的词语代替)
问题2在刚才的操作中,你能用数学符号来表示直线靠近(远离)圆吗?你会推断直线和圆的位置关系吗?
(这实际上是直线和圆的位置关系的判定,同学在学校已经有确定的基础.在本节课中,再次毁灭这个判定,目的在于说明这个判定揭示的是直线和圆位置关系的几何特征)
设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则
d>r时,直线和圆相离;
d=r时,直线和圆相切;
d 问题3当直线和圆分别“相离”、“相切”、“相交”时所表现出来的几何特征分别是什么? (启发同学由图形猎取推断直线与圆的位置关系的直观认知,即他们看到的直线和圆相离时没有公共点,相切时只有一个公共点,相交时有两个公共点) 问题4你能用数学语言来解释直线和圆没有公共点、只有一个公共点、有两个公共点的含义吗? (引导同学用直线与圆的方程推断它们之间的位置关系,即图象交点个数就是它们所构成方程组的解的个数) 设直线l和圆C的方程分别为: Ax+By+C=0 (A,B不全为0), x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0). 由直线l和圆C的方程联立方程组 则方程组无解时,直线和圆相离;方程组仅有一组解时,直线和圆相切;方程组有两组不同的解时,直线和圆 相交. 问题5请总结一下到目前为止,推断直线和圆的位置关系有哪几种方法?它们有什么不同? (引导对学过的内容总结,由学校学过的平面几何过渡到解析几何,从“形”过渡到“数”,了解学问之间的联系和进展) 几何法是平面几何的方法,是直线和圆的几何特征;而利用联立方程组的方法是解析法,是直线和圆的代数 特征.利用代数的方法解决几何问题就是解析的思想. 三、数学应用 【例1】(教材P113例1)求直线4x+3y=40和圆x2+y2=100的公共点的坐标,并推断它们的位置关系.[3] [处理建议]直线和圆的交点坐标就是它们联立的方程组的解,本题让同学板演. [规范板书]解直线4x+3y=40和圆x2+y2=100的公共点的坐标就是方程组 的解. 解这个方程组,得 所以公共点坐标为(10, 0),. 直线4x+3y=40和圆x2+y2=100有两个公共点,所以直线和圆相交. [题后反思]求两曲线的交点坐标或交点的个数可以用联立方程组的方法,用方程组的解反映图形的状况,这是一般的方法,是通解. 变式已知直线y=3x+m和圆x2+y2=2相交于点(1, 1),求直线和圆的另一个交点的坐标. [处理建议]让同学比较和例1的区分,直线的方程未知,先依据条件求出直线的方程,再联立方程组求解.在解方程时,实际上已经知道方程的一个根了,可以利用根与系数关系来解决,在上课时要引导同学留意这一点,这也是近几年高考中有所体现的题型. 解由于线y=3x+m过点(1, 1),所以1=3+m,所以m=-2, 将直线和圆的方程联立方程组 消去y,得10x2-12x+2=0, 由题意方程一个根为1,设另一个根为x2,则1×x2=,得x2=. 将x2=代入直线的方程得y2=-, 所以直线和圆的另一个交点的坐标为. 【例2】(教材P113例2)自点A(-1, 4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线l,求切线l的方程.[4] [处理建议]要求直线的方程还需要知道什么?先引导同学找准解决问题的方向,即还需要知道直线的斜率.再依据直线和圆相切的条件,列出关于斜率的方程,求出斜率.让同学在下面书写,老师可以找出用不同方式解题的同学上黑板板演. [规范板书]解方法一:当直线l垂直于x轴时,直线l:x=-1与圆相离,不满足条件. 当直线l不垂直于x轴时,可设直线l的方程为y-4=k(x+1),即kx-y+(k+4)=0, 由于直线和圆相切,所以圆心(2, 3)到直线l的距离等于圆的半径,故 =1. 解得k=0或k=-, 因此,所求直线l的方程为y=4或3x+4y-13=0 方法二:当直线l垂直于x轴时,直线l:x=-1与圆相离,不满足条件. 当直线l不垂直于x轴时,可设直线l的方程为y-4=k(x+1), 由于直线和圆相切,所以方程组 仅有一解. 由方程组消去y,得关于x的一元二次方程 (1+k2)x2+(2k2+2k-4)x+k2+2k+4=0. 依题意,这个一元二次方程有两个相等实根,所以判别式 Δ=(2k2+2k-4)2-4(1+k2)(k2+2k+4)=0. 解得k=0或k=-. 因此,所求直线l的方程为y=4或3x+4y-13=0. [题后反思]处理直线和圆相切时,一般有两种方法,一是用几何法,即d=r;另一个是代数法,即通过方程组的解来分析.特殊要留意在设直线方程时,要关注直线方程适用的条件,往往要分状况争辩,这一点格外简洁遗漏. 变式(2010年山东枣庄模拟改编)将圆x2+y2=1沿x轴正方向平移1个单位后得圆C,若过点(3, 0)的直线l 和圆C相切,求直线l的方程. [处理建议]本题照旧强调在设直线方程时,要分状况争辩. 解将圆x2+y2=1向右平移1个单位后得圆的方程为(x-1)2+y2=1. 过点(3, 0)的直线l方程分为两种状况: 当斜率不存在时x=3,与圆不相切; 当斜率存在时,设直线方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0, 由于直线和圆相切,所以圆心(1, 0)到直线l的距离等于圆的半径,故 =1.解得k=±. 因此,所求直线l的方程为y=±(x-3). 【例3】(教材P114例3)求直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长.[5] [处理建议]本题同样有两种方法,让同学先思考,再找用不同方式解题的同学上黑板板演.假犹如学不能用两种方法解决,老师可以引导,如用“弦长就是一条线段长,即两点之间的距离.”引导同学用代数法;用“在我们学校平面几何中还学过关于弦长的问题吗?”引导同学用几何法,即用垂径定理来解决. [规范板书]解法一直线x-y+2=0和圆x2+y2=4的公共点坐标就是方程组 的解. 解这个方程组,得 所以公共点坐标为(, 1),(0, 2),直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为 =2. (图2) 解法二如图2,设直线x-y+2=0和圆x2+y2=4交于A,B两点, 弦AB的中点为M,则OM⊥AB(O为坐标原点), 所以 AB=2AM=2 =2=2. [题后反思]弦的相关问题不外乎用代数法或几何法解决,几何法侧重于图形特征,代数法侧重于运算,当条件具备几何图形的某些特征时,用几何法解答会更便利快捷. 圆的弦长的求法: ①几何法:设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为L,则=r2-d2; ②代数法:设直线与圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,解方程组 由方程组消去y,得关于x的一元二次方程,求出A,B的坐标,再用两点之间的距离公式求出弦长AB. 变式1已知点A(1, 1),求过点A的圆x2+y2-4y=0的最长与最短的弦长. [处理建议]结合图象分析,找出过圆内一点作最长弦和最短弦的条件. [规范板书]解圆x2+y2-4y=0圆心为C(0, 2),r=2, 由于点A(1, 1)在该圆内, 所以过A最长的弦就是过A及圆心的直径,长为4; 最短的弦就是与AC垂直的弦,由于AC==, 所以弦长为2=2. 变式2已知过点M(-3,-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为8,求直线l的方程. [处理建议]把圆的方程化为标准式,求出圆心坐标和半径,求出弦心距的值.设出直线l的方程,由弦心距的值求出直线的斜率,即得直线l的方程. [规范板书]解圆x2+y2+4y-21=0的圆心坐标为(0,-2),半径r=5. 由于直线l被圆所截得的弦长是8,所以弦心距为=3. 由于直线l过点M(-3,-3), 所以,当斜率不存在时,直线方程为x=-3,满足题意; 当斜率存在时,可设所求直线l的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0. 则由圆心到直线的距离等于弦心距,得 =3,解得k=-, 此时直线方程为4x+3y+21=0. 故所求直线有两条,它们分别为x=-3, 4x+3y+21=0. *【例4】已知点P(0, 5)及圆:C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4,求l的方程; (2)求圆C内过点P的弦的中点的轨迹方程.[6] [处理建议]对于(1),要求直线的方程只需要求出直线的斜率,利用垂径定理求出圆心到直线的距离,从而得出关于斜率的等量关系,求出斜率;对于(2)只需要列出关于弦中点D(x,y)的等式即可. 解(1)如图,AB=4,D是AB的中点,则AD=2,AC=4, (图3) 在Rt△ADC中,可得CD=2. 设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.由点C 到直线的距离公式=2, 得k=,此时直线l的方程为3x-4y+20=0. 又直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时的方程为x=0. 所以所求直线为x=0或3x-4y+20=0. (2)方法一:设圆C上过点P的弦的中点为D(x,y), 由于CD⊥PD,所以·=0,即(x+2,y-6)·(x,y-5)=0, 化简得轨迹方程x2+y2+2x-11y+30=0. 方法二:设弦的两个端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),弦的中点为D(x,y), 则x1+x2=2x,y1+y2=2y. 将A(x1,y1),B(x2,y2)代入圆的方程 得 ①-②得(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)+4(x1-x2)-12(y1-y2)=0, 同除以(x1-x2),得x+k AB y+2-6k AB=0, 由于k AB=k PD =,所以x++2-=0, 整理得轨迹方程x2+y2+2x-11y+30=0. [题后反思]在争辩与弦的中点有关问题时,留意运用“平方差法”,即设弦AB两端点的坐标分别为A(x1,y1), B(x2,y2),中点为(x0,y0), 由 得k==-=-. 该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.四、课堂练习 1.对任意实数k,圆C:x2+y2-6x-8y+12=0与直线l:kx-y-4k+3=0的位置关系是相交. 提示由于动直线kx-y-4k+3=0过定点(4, 3),而该点恰好在圆内部.所以直线和圆相交. 2.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则点P(a,b)与圆的位置关系是在圆外. 解由于直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,所以圆心到直线的距离小于半径,则<1,即>1,所以点在圆外. 3.(1)求过圆x2+y2=4上一点的圆的切线方程. (2)求过原点且与圆(x-3)2+(y-1)2=1相切的直线方程. 答案(1)-x+y-4=0. (2)y=x和y=0. 4.求过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长. 提示本题有多种方法,用几何法,代数法都可以,都比较简洁. 答案2. 五、课堂小结 1.在直线与圆的位置关系中,“直线与圆相切时求切线”和“相交时争辩与弦长有关的问题”是两个重点内容;求切线时,若知道切点,可直接利用公式;若过圆外一点求切线,一般运用圆心到直线的距离等于半径来求,但留意有两条. 2.解决与弦长有关的问题时,留意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形,也可以运用弦长公式,就是通常所说的“几何法”和“代数法”. 3.解决直线与圆的位置关系问题,一般有两种方法,即几何法或代数法,从运算的合理、简明的要求选择,通常接受几何法,但代数法具有一般性. 4.数形结合法(如几何法)是解决直线与圆的位置关系的重要方法. 《复习直线和圆的位置关系》说课稿 《复习直线和圆的位置关系》说课稿范文 《复习直线和圆的位置关系》说课稿1 今天我的说课内容是人教版九年级上册第二十四章第二节第二课时的直线与圆的位置关系。下面我将以教什么、怎么样教、为什么这样教为思路从教材分析、学情分析、教学目标、学法教法、教学过程和板书设计六个方面对本课进行说明。 一、教材分析 教材的地位和作用。 圆在平面几何中占有重要地位，它被安排在初中数学第二十四章，属于一个提高阶段。而直线和圆的位置关系又是本章的一个中心内容。从知识体系上看：它有着承上启下的作用，既是对点与圆的位置关系的延续与提高，又是后面学习切线的性质和判定、圆和圆的位置关系及高中继续学习几何知识的基础。从数学思想方法层面上看:它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程以及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分类讨论、类比等数学思想方法，有助于提高学生的数学思维品质。 二、学情分析 在此之前学生已经学习了点和圆的位置关系，对圆有了一定的感性和理性认识，但在某种程度上特别是平面几何问题上，学生还是依 靠事物的具体直观形象。加之九年级学生好奇心强，活泼好动，注意力易分散，认知水平大都停留在表面现象，对亲身体验的事物容易激发求知的渴望，因此要想方设法，引导学生深入思考、主动探究、主动获取新知识。 三、教学目标： 根据学生已有的认知基础及本课的教材的地位、作用，结合数学课程标准我将确定如下的教学目标： （1）掌握直线和圆的三种位置关系性质及判定。 （2）通过观察、实验、合作交流等数学活动使学生了解探索问题的一般方法； （3）通过直线和圆的位置关系的探究，向学生渗透分类讨论、数形结合、类比的数学思想, 陪养学生观察、分析和概括的能力； （4）体会事物间的相互渗透，感受数学思维的严谨性，并在合作学习中体验成功的喜悦。 教学的重难点： 重点：直线和圆的三种位置关系的性质与判定。 难点：用数量法刻画直线与圆的三种位置关系。 突破难点的策略:引导学生动手动脑、操作实践，类比点和圆的位置关系的判定方法，配合几何画板直观演示来加深学生对知识的理解。 四、学法教法 高中数学必修2 直线与圆的位置关系 【一】、圆的定义及其方程． （1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定 长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件） （2）圆的标准方程： ；圆心),(b a 圆的一般方程：)04(02 2 2 2 >-+=++++F E D F Ey Dx y x ；圆心 ，半径为 ； 【二】、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理） 设),(00y x P 与圆2 2 2 )()(r b y a x =-+-；若P 到圆心之距为d ； ①P 在在圆C 外 ； ②P 在在圆C 内 ； ③P 在在圆C 【三】、直线与圆的位置关系： 设直线0:=++C By Ax l 和圆2 2 2 )()(:r b y a x C =-+-，圆心C 到直线l 之距为 d ，由直线l 和圆C 联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为?，则它 们的位置关系如下： 相离 ；相切 ；相交 ； 注意：这里用d 与r 的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法； 利用?判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。 【四】、两圆的位置关系： （1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解， 则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。 （2）几何法：设圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r ①两圆外离 ； ②两圆外切 ； ③两圆相交 ； ④两圆内切 ⑤两圆内含 ； （五） 已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线L：Ax+By+C=0 1．位置关系的判定： 判定方法1：联立方程组得到关于x(或y)的方程 (1)△>0相交； (2)△=0相切； (3)△<0相离。 判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d (1)d 第49讲直线与圆的位置关系 一、课程标准 1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系 2、能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 二、基础知识回顾 1、直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系：相交、相切、相离． (2)圆的切线方程的常用结论 ①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2； ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2； ③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 三、自主热身、归纳总结 1、若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系为() A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 位置不确定 【答案】C 【解析】∵圆心(0，0)到直线ax＋by＝1的距离d＝ 1 a2＋b2 <1，∴a2＋b2>1，即点P(a，b)在圆外．故选C. 2、直线kx－y－4k＋3＝0与圆x2＋y2－6x－8y＋21＝0的交点个数为() A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 【答案】C 【解析】∵直线kx－y－4k＋3＝0过定点(4，3)，且点(4，3)在圆x2＋y2－6x－8y＋21＝0内，∴交点个数 为2个．故选C . 3、若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a)2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A . [－3，－1] B . [－1，3] C . [－3，1] D . (－∞，－3]∪[1，＋∞) 【答案】C 【解析】由题意可得，圆的圆心为(a ，0)，半径为2，∴|a －0＋1| 12＋（－1）2 ≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a≤1.故 选C . 4、过点(2，3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________________． 【答案】 x ＝2或4x －3y ＋1＝0 【解析】 ①若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y ＝k(x －2)＋3，由圆心(1，0)到切线的距离为半径1，得k ＝4 3，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0；②若切线的斜率不存在，则切线方程为x ＝2，符合题意，所以直 线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2. 5、直线l ：3x －y －6＝0与圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则AB ＝________． 【答案】 10 【解析】 由x 2＋y 2－2x －4y ＝0，得(x －1)2＋(y －2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径r ＝5，又圆心(1，2)到直线3x －y －6＝0的距离为d ＝|3－2－6| 32＋（－1）2 ＝102，由????AB 22＝r 2－d 2，得AB 2＝4×????5－52＝10，即AB ＝10. 6、(多选)已知直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A. 6 B.5 C ．－ 6 D ．－5 【答案】BD 【解析】因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a |12＋－2 2 ＝1，所以a ＝±5，故 选B 、D. 7、(多选)已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72，若直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m ＝( ) 第15课时直线和圆的位置关系 教学过程 一、问题情境 在课桌中心放置一张白纸,用圆规在白纸上画一个圆,将一把直尺从桌子的一边平行于课桌边缘平移到桌子的另一边.假如将直尺一条边看成一条直线,在这条直线移动过程中你看到了什么现象? (这是一个开放问题,没有精确答案,同学回答时可能都是“白话”,同学可能会回答“直线先靠近圆,再远离圆”、“直线先相离,再相切,然后相交,再相切,最终又远离”等.只要意思对,就应当赐予确定.让同学充分表达,为后面一系列问题做预备) 二、数学建构 问题1学校学过的平面几何中,直线和圆有哪几种位置关系? (该问题可能同学一开头已经回答了,在这里再次毁灭的目的是明确在数学中直线和圆位置关系的精确 表述,只能是“相离”、“相切”、“相交”,不能用其他意思相近的词语代替) 问题2在刚才的操作中,你能用数学符号来表示直线靠近(远离)圆吗?你会推断直线和圆的位置关系吗? (这实际上是直线和圆的位置关系的判定,同学在学校已经有确定的基础.在本节课中,再次毁灭这个判定,目的在于说明这个判定揭示的是直线和圆位置关系的几何特征) 设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则 d>r时,直线和圆相离; d=r时,直线和圆相切; d 《切线长定理》教学设计 一、教学内容分析 《切线长定理》所在的第24章《圆》，是整个初中几何的综合应用。本节课是圆的第二节---直线与圆的位置关系的最后一课时，主要内容有：切线长的概念；切线长定理及三角形的内切圆等。从教学内容上来说，它是承前启后的一节内容，是在学习了切线的性质与判定之后的内容，同时为以后学习正多边形和圆做准备，且难度适中，中考考点较多，正因为如此，本节课教学时常常能足够引起教师的重视。但是我认为本课内容在编排上真正体现了“从生活走向数学，从数学走向社会”的课程基本理念，通过探究、分析、归纳来认识圆的各种特性，能很好激发起学生的学习兴趣和建立起学生学习圆的知识、学习数学的自信心，从而消除学生学习几何困难所造成的负面影响，理顺几何知识学习的良好思路，为以后升入高中学习立体几何奠定了良好的心理基础，所以要重视本节的教学 二、学情分析 学生在小学数学课中就已经接触过圆的切线内容并且对这类现象很感兴趣,教师应该抓住学生这一特点,通过学生动手操作画两条切线，然后折叠使学生自然而然地想到利用轴对称研究两切线的问题，从而发现切线长定理。而本节课的重点是切线长定理及其应用，难点是与切线长定理有关的证明与计算。本节课我通过动手操作和小组合作学习来突破重点与难点。 三、设计思想 本节课我打算采用以教师引导，学生探究和合作学习为主的互动启发式教学方法。通过身边的事例的探究、分析、讨论使学生积极的参与教学；利用多媒体的直观动态教学手段，增加一系列师生、学生与学生活动展开教学。 四、渗透科技、校训、德育或环保教育 通过本节课的学习，培养学生由特殊到一般的认识事物的规律以及辩证唯物主义的世界观.。 五、教学目标 (一)知识与技能 1、掌握切线长定理及其应用。 2、了解三角形内切圆、内心的概念，会作三角形内切圆。 （二）过程与方法 1、在折叠、发现、探究的过程中再次体现圆的轴对称美，从而培养学生的观察、分析、 归纳的能力。 2、通过列方程，让学生感受数与形的统一。 （三）情感态度与价值观 1、通过小组合作学习的形式，让学生有团队协作精神 2、在交流学习中激发学生学习兴趣，调动学生学习的积极性。 六、教学重点和难点 重点：切线长定理及其应用 位置关系第一课时直线与圆的位置关系高效测评北师大版必修2 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章解析几何初步2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系高效测评北师大版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第二章解析几何初步2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系高效测评北师大版必修2的全部内容。 与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系高效测评北师大版必修 2 （本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、选择题（每小题5分,共20分) 1．直线2x－y＋3＝0与圆C：x2＋（y－1）2＝5的位置关系是( ) A．相交B．相切 C．相离D．不确定 解析: 圆C：x2＋（y－1）2＝5的圆心C为（0，1），半径为错误!. 由圆心（0,1）到直线2x－y＋3＝0的距离： d＝错误!＝错误!错误!＜错误!. ∴直线和圆相交． 答案：A 2．若圆心在x轴上、半径为错误!的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C 的方程是（） A．（x－5)2＋y2＝5 B．(x＋错误!）2＋y2＝5 C．（x－5）2＋y2＝5 D．（x＋5)2＋y2＝5 解析：设圆心为(x0，0)，则由题意知圆心到直线x＋2y＝0的距离为错误!，故有错误!＝错误!，∴|x0｜＝5.又圆心在y轴左侧，故x0＝－5.∴圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5，选D。 答案: D 3．若点P（2，－1）为圆C：（x－1）2＋y2＝25的弦AB的中点,则直线AB的方程为( ) A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0 C．2x－y－5＝0 D．x－y－3＝0 解析: 圆心是点C(1,0)，由CP⊥AB,得k AB＝1，所以直线AB的方程为x－y－3＝0,故选D。 答案: D 4．已知圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A，B两点，圆心为P，若∠APB＝90°,则c 的值为( ） A．－3 B．3 第1讲 直线与圆 高考定位 1.直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点；2.考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系推断、简洁的弦长与切线问题，多为选择题、填空题. 真 题 感 悟 1.(2022·全国Ⅱ卷)圆x 2 ＋y 2 －2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A.－4 3 B.－3 4 C. 3 D.2 解析 圆x 2 ＋y 2 －2x －8y ＋13＝0化为标准方程为(x －1)2 ＋(y －4)2 ＝4，故圆心为(1，4). 由题意得d ＝|a ＋4－1|a 2 ＋1＝1，解得a ＝－4 3. 答案 A 2.(2022·山东卷)已知圆M ：x 2 ＋y 2 －2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2 ＋(y －1)2 ＝1的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 解析 圆M ：x 2 ＋y 2 －2ay ＝0(a >0)可化为x 2 ＋(y －a )2 ＝a 2 ， 由题意，d ＝ a 2 ，所以有a 2 ＝a 2 2＋2，解得a ＝2. 所以圆M ：x 2 ＋(y －2)2 ＝22 ，圆心距为2，半径和为3，半径差为1，所以两圆相交. 答案 B 3.(2022·全国Ⅰ卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2 ＋y 2 －2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________. 解析 圆C 的标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2 ＋2，圆心为C (0，a )，点C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝ |0－a ＋2a |2 ＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π. 答案 4π 4.(2021·天津卷)设抛物线y 2 ＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________. 解析 由题意知该圆的半径为1，设圆心C (－1，a )(a >0)，则A (0，a ). 又F (1，0)，所以AC → ＝(－1，0)，AF → ＝(1，－a ). 由题意知AC → 与AF → 的夹角为120°，得cos 120°＝－11×1＋a 2 ＝－1 2，解得a ＝ 3. 所以圆的方程为(x ＋1)2 ＋(y －3)2 ＝1. 答案 (x ＋1)2 ＋(y －3)2＝1 考 点 整 合 1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式 (1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2| A 2＋ B 2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C | A 2＋ B 2. 3.圆的方程 (1)圆的标准方程：(x －a )2 ＋(y －b )2 ＝r 2 (r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r . (2)圆的一般方程：x 2 ＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2 ＋E 2 －4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2 ，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F 2. 4.直线与圆的位置关系的判定 (1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d 2021年高中数学直线和圆的位置关系新课标人教版必修2(A) 教学目标 (一)使学生掌握直线和圆的三种位置关系的定义及其判定方法和性质； (二)通过直线和圆的位置关系的探究，向学生渗透类比、分类、数形结合的思想，培养 学生观察、分析和发现问题的能力； (三)使学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、培养学生的辩证唯 物主义观点. 教学重点和难点 直线与圆的三种位置关系是重点；直线和圆的三种位置关系的性质和判定的正确运用是 难点. 教学过程设计 一、类比联想，提出问题 1.前面已经研究了点和圆的位置关系，请学生回忆，点和圆有几种位置关系?它们的数 量特征分别是什么? 在学生回答的基础上，教师投影打出点和圆的三种位置关系：点在圆内、在圆上、在圆外. d＜r d＝r；点在圆外 d＞r. 2.如果把点换成一条直线，直线和圆又有哪几种位置关系呢?(板书课题) 二、根据图形运动变化，发现规律、传授新知 1.尝试活动 让学生在纸上画一个圆，把直尺边缘看成一条直线，任意移动直尺，观察有几种位置关系. 2.电脑演示 在学生尝试活动的基础上，教师电脑演示图7-98：一个已知圆O与一条直线l发生相对运动的情况. 将圆向上逐步运动，让学生观察，把观察到的情况说出来. 教师引导学生答出：在图7-98中，直线和圆由有两个交点逐渐缩至一个点最后完全消失 . 在学生回答的基础上，教师指出：由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三 种位置关系： (1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线. (2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线，唯 一的公共点叫做切点. (3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离. 给出以上定义后，教师强调： (1)直线与圆有唯一公共点的含义是“有且仅有”，这与直线与圆有一个公共点的含义不同. (2)直线和圆除了上述三种位置关系外，有第四种关系吗?即一条直线和圆的公共点能否 多于两个?为什么? 对于问题(2)可让学生展开讨论，后教师指出：由于同一直线上的三点不可能作圆，因 而直线不可能与圆有三个交点，故直线与圆不可能有第四种位置关系. 3.直线与圆的位置关系的数量特征. 直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样进行数量分析呢? 提出问题，让学生思考，教师引导学生观察图7-98，发现：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系. 图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与 圆心的距离大于半径. 学生回答后，教师总结并板书： 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么 (1)直线l和⊙O相交 d＜r； (2)直线l和⊙O相切 d＝r； (3)直线l和⊙O相离 d＞r. 在讲点与圆的位置关系时若引用了符号“”，可再巩固一下；若没有引用，这里应解 释符号“”的意义. 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是 直线与圆的位置关系的判定. 以上三个命题的正确性是通过观察得到的，可鼓励程度好的学生课后对它们加以证明. 现以(3)为例证明如下. 证明：判定定理. 过O作OA⊥l于A，则OA＝d. 在直线l上任取另一点B，并连结OB. 则在Rt△OAB中，OB＞OA＞r. 所以l上任意一点均在⊙O的外部. 即直线l与⊙O没有公共点，l与⊙O相离. 证明：性质定理. 假设d不大于r,则d＝r或d＜r. 由判定定理可知，当d＝r时，l与⊙O相切；当d＜r时，l与⊙O相交，都与已知直线l与⊙O相离矛盾，因此d＞r. 三、例题分析，课堂练习 例在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3厘米，BC＝4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB 有怎样的位置关系?为什么? (1)r＝2厘米；(2)r＝2.4厘米；(3)r＝3厘米. 分析：因为题目给出了⊙O的半径，所以解题关键是求圆心C到直线AB的距离，也就是要求出Rt△ABC斜边AB上的高.为此，可过C点向AB作垂线段CD，然后可根据CD的长度与r进行 比较，确定⊙C与AB的关系. 直线与圆的位置关系(1) 课型：高三数学一轮复习课 课题：直线与圆的位置关系 课时：第一课时 教材：苏教版 对教材内容的理解分析： １、本节内容在全书及章节的地位： 直线与圆的位置关系是高中数学新教材“圆的方程”的综合课． ２、本节课的复习内容： 本节课的主要内容是直线与圆的位置关系及判定方法，它是高考中的热点内容之一． ３、教材的地位与作用： 本节课是平面解析几何学的基础知识，它既复习了前面刚学过的直线与圆的方程，又为今后学习直线与圆锥曲线的位置关系奠定基础．它虽然是解析几何中较为简单的内容，但有着广泛的应用，也具有较强的综合性，有利于培养学生分析问题和解决问题的能力． 教学反思： 1、通过小组合作学习，组织学生对问题进行讨论，激发学生的求知欲望，使大部分学生在学习过程中始终处于积极思考、探索的状态，真正成为主动学习的主体． 2、利用计算机辅助教学，显示了事物从静态到动态的运动过程，培养学生用运动变化这一辩证唯物主义观点分析问题、解决问题的能力．用几何画板可以很好地体现数形结合的思想，使较为复杂的问题明了化．教案的简介：直线与圆的位置关系(1)，高三数学一轮复习课、扬州市优秀公开课，并获一等奖． 关键字：位置关系、广义几何法、狭义几何法、代数法． 参赛者简介：扬州市特级教师，扬州市学科带头人，扬州市优秀班主任，高邮市中青年专家，高邮市劳动模范等． [教学目标] 知识目标:了解代数法和几何法解决直线与圆位置关系的差异，明确几何法在直线与圆的位置关系的判定中的地位，并能应用几何法解决问题． 能力目标:让学生在解决问题的过程中体会到数形结合、转化、化归等数学思想，注重培养学生的分析、计算、总结归纳等能力． 情感态度价值观目标:培养学生合作交流,善于思考的良好品质,激发学生学习数学的积极性． [重点难点] 重点:几何法在直线与圆的位置关系的判定中的应用． 《直线与圆的位置关系》专题解析 【考点图解】 【技法透析】 1．判定直线与圆的位置关系的方法有两种：一是从直线与圆的公共交点的个数来进行判断，另一种是根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系来判断． 2．切线的判定方法有三种：一是根据定义，直线与圆只有一个公共点；二是圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；三是切线的判定定理，当已知条件中明确指出圆与直线有公共点时，常用“连半径证垂直”的方法，当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常用“作垂直证半径”的方法． 3．切线的性质定理有：①切线与圆只有唯一的公共点；②切线和圆心的距离等于圆的半径； ③切线垂直于过切点的半径；④经过圆心垂直于切线的直线必过切点；⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心． 4．涉及切线的重要性质还有切线长定理和弦切角定理，其中切线长定理及其对应的基本图形、以及圆的外切三角形、外切四边形所存在的线段之间的关系也是解决问题常用的依据租方法，弦切角定理更是转化圆中相关角的重要定理． 5．和圆有关的比例线段定理包括相交弦定理、切割线定理及其推论，统称圆幂定理，它揭示了直线与圆相交后所存在的线段间的比例关系．利用这些定理，可直接进行线段的等积式的变换，或比例线段的转化． 【名题精讲】 考点1直线与圆的位置关系 例1 如图10－1，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，O为AB上一点，OB＝m，⊙O 的半径为r＝1 2 ，当m在什么范围内取值时，BC与⊙O相离、相切、相交？ 【切题技巧】要判断OB＝m在什么范围内取值时，BC与⊙O相离、相切、相交，就是要判断圆心O到BC的距离d与⊙O的半径r之间的大小关系． 【切题技巧】作OD⊥BC于点Ｄ 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 人教版高中数学必修二 直线与圆的位置关系 一、教学理念 1.以学生为主体，从实际问题出发，通过建模解模，培养学生解决实际问题的能力。 2.在集合论系统以及两点距离背景下“探寻”直线与圆的位置关系的判断方法，还原问题的本源，即“在已走道路上探寻为何是这样走”。 3.在问题解决的过程中，触发学生的“最近发展区”，并遵循学生的思维。 二、教材分析 教材在内容的编排上，采用了模块化、螺旋上升的方式，学生在初中阶段已经接触过直线与圆的位置关系，在必修二刚刚又学习了直线与圆的方程、点到直线的距离公式、点与圆的位置关系等内容，因此本节课是对已学内容的深化何延伸；另一方面，本节课对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫，具有承上启下的地位。 三、学情分析 学生在初中阶段学习了直线与圆的位置关系的几何判断方法（d与r的关系），对其位置关系有一定的感性认识，但对于“为何要研究圆心到直线的距离”的理论认识是缺乏的。本节课是在初中知识的基础上，探索利用直线和圆的方程来判断它们的位置关系的方法。 四、教学目标 1、知识与技能：掌握直线与圆的三种位置关系；熟练掌握判断位置关系的两种方法；能够解决一些简单的与直线与圆位置关系相关的问题。 2、过程与方法：学生经历将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何 含义，最终解决几何问题，不断体会“数形结合”、“转化”和“由特殊到一般”的数学思想方法；在教师引导下，从集合论以及距离角度重新构建直线与圆的位置关系的判断方法的由来。 3、情感、态度与价值观：通过直线与圆位置关系的相关知识的深入研究，培养学生探究精神和创新意识，感受与体会数学的魅力，激发学习数学的热情。 五、教学重点、难点 1、教学重点：利用方程判断直线和圆的位置关系的方法。 2、教学难点：从集合论和“距离”视角重新认识直线与圆的位置关系；直线和圆的位置关系的判断方法的运用。 六、教法学法 针对本节课的特点，在教法上，采用以教师为主导、学生为主体的教学方法；在教学过程中，注重启发式引导、反馈式评价，充分调动学生的学习积极性，鼓励同学们动手计算，采用一题多变的形式，让学生体会由简单到复杂，由特殊到一般的题型及相应解题策略，教师在学生活动后，给予帮助，促进数学概念的建构，促进数学基本素养的形成；在教学手段上，运用黑板板书和多媒体展示，激发学生的创造力，活跃了气氛，加深了理解。 七、教学过程 （一）复习回顾 提问：圆的标准方程与一般方程以及对应圆心坐标、半径、点到直线的距离公式 【设计意图】复习回顾所学知识，为本节课的展开作铺垫， （二）知识点讲解 思考：我们知道：研究直线与圆的位置关系，就是研究圆心到直线的距离d与 2021年高中数学直线与圆的位置关系教案(共4课时)新课标人教版必修2(A) 第一课时直线与圆的位置关系（1课时） 教学要求：理解和掌握直线与圆的位置关系，利用直线与圆的位置关系解决一些实际问题。 教学重点：直线与圆的位置关系 教学难点：直线与圆的位置关系的几何判定. 教学过程： 一、复习准备： 1.在初中我们知道直线现圆有三种位置关系：（1）相交，有一两个公共点；（2）相切，只有一个公 共点；（3）相离，没有公共点。 2. 在初中我们知道怎样判断直线与圆的位置关系？现在如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 二、讲授新课： 设直线,圆圆心到直线的距离 1. 利用直线与圆的位置直观特征导出几何判定：比较圆心到直线的距离d与圆的半径r ①②③ 2.看直线与圆组成的方程组有无实数解:有解,直线与圆有公共点.有一组则 相切:有两组,则相交:b无解,则相离 3.例题讲解: 例1直线与圆相切,求r的值 例2如图1,已知直线和圆心为C的圆.判断直线与圆的位置关系;如果相交,求出他们交点的坐标. 例3如图2,已知直线过点且和圆相交,截得弦长为,求的方程 练习.已知超直线,圆求直线被圆C截得的弦长 4.小结： 判断直线与圆的位置关系有两种方法 (1)判断直线与圆的方程组是否有解 a有解,直线与圆有公共点.有一组则相切;有两组,则相交b无解,则直线与圆相离 (2)圆心到直线的距离与半径的关系: 如果直线与圆相交; 如果直线与圆相切; 如果直线与圆相离. 三、巩固练习： 1.圆上到直线的距离为的点的坐标 2.求圆心在直线上,且与两坐标轴相切的圆的方程. 3.若直线与圆(1)相交(2)相切(3)相离分别求实数a的取值范围 四.作业:p140 4题 第二课时圆与圆的位置关系 教学要求：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系； 教学重点：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系 教学难点：用坐标法判断两圆的位置关系 教学过程： 一、复习准备 1. 两圆的位置关系有哪几种？ 2.2.3 圆与圆的位置关系 A级基础巩固 1．两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是( ) A．相离B．相交C．内切D．外切 解析：圆C1：x2＋y2＝9的圆心为C1(0，0)，半径长为r1＝3； 圆C2：x2＋y2－8x＋6y＋9＝0化为(x－4)2＋(y＋3)2＝16， 圆心为C2(4，－3)，半径长为r2＝4， 圆心距|C1C2|＝42＋（－3）2＝5. 因为|r1－r2|<|C1C2| 直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质 A组基础巩固 1.2013·广东卷设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( ) A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β 解析：本题主要考查线面、面面的位置关系，考查数形结合的思想方法．画出一个长方体ABCD－A1B1C1D1.对于A，C1D1∥平面ABB1A1，C1D1∥平面ABCD，但平面ABB1A1与平面ABCD 相交，故A不正确；对于C，BB1⊥平面ABCD，BB1∥平面ADD1A1，但平面ABCD与平面ADD1A1相交，故C不正确；对于D，平面ABB1A1⊥平面ABCD，CD∥平面ABB1A1，但CD⊂平面ABCD，故D不正确，故选B. 答案：B 2.2013·新课标全国卷Ⅱ已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l 满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( ) A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l 解析：本题主要考查线线、线面的位置关系的判定．由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则交线平行于l，故选D. 答案：D 3.2014·陕西师大附中月考在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC是( ) A．直角三角形B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：本题考查由线面垂直、面面垂直判断三角形的形状．过点A作AH⊥BD于点H，由平面ABD⊥平面BCD，得AH⊥平面BCD，则AH⊥BC.又DA⊥平面ABC，所以BC⊥AD，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC为直角三角形．故选A. 答案：A 4．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角( ) A．相等 B．互补 2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.2 直线与圆的位置关系学案苏教版必修2 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.2 直线与圆的位置关系学案苏教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.2 直线与圆的位置关系学案苏教版必修2的全部内容。 2.2。2 直线与圆的位置关系 学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离。2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系。3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题。 知识点直线与圆的三种位置关系及判定 思考用代数法如何根据方程判定直线与圆的位置关系？ 梳理 位置关系相离相切相交 图示 几何法d与r的大小d____r d____r d____r 位置关系相离相切相交 代数法 依据方程组 错误! 解的情况 Δ〈0 方程组 ______ Δ＝0 方程组 _______ _ Δ〉0 方程组有 两个不同 解 类型一直线与圆的位置关系的判断 例1 求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足:①相交；②相切；③相离。 反思与感悟直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断。 (2）代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. (3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系。但有一定的局限性，必须是过定点的直线系. 跟踪训练1 过点P（－错误!，－1）的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角α 直线与圆的位置关系 【学习目标】 1．直线与圆的三种位置关系 代数法：由 ⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2 ＋y －b 2 ＝r 2 消元得到一元二次方程的判别式Δ 【小试牛刀】 1.若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.( ) 2.如果直线与圆组成的方程组有解,则直线和圆相交或相切.( ) 3.若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.( ) 4.过半径外端的直线与圆相切.( ) 【经典例题】 题型一直线与圆的位置关系 直线与圆位置关系判断的三种方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点,可通过判断点与圆的位置关系判断,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系． 例1 已知直线方程mx －y －m －1＝0,圆的方程x 2 ＋y 2 －4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时,圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． [跟踪训练]1已知直线l ：x －2y ＋5＝0与圆C ：(x －7)2 ＋(y －1)2 ＝36,判断直线l 与圆C 的位置关系. 题型二圆的切线方程 (1)点在圆上时 求过圆上一点(x 0,y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ,再由垂直关系得切线的斜率为－1 k ,由 点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程y ＝y 0或x ＝x 0. (2)点在圆外时 ①几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)．由圆心到直线的距离等于半径,可求得k ,也就得切线方程． ②代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0),与圆的方程联立,消去y 后得到关于x 的一元二次方程,由Δ＝0求出k ,可得切线方程． 提醒：切线的斜率不存在的情况,不要漏解． 例2 （1）求过圆x 2 ＋y 2 －2x －4y ＝0上一点P (3,3)的切线方程。 （2）求过点P (2,3)且与圆(x －1)2 ＋(y －2)2 ＝1相切的直线的方程. [跟踪训练]2 (1)已知直线l ：ax ＋by －3＝0与圆M ：x 2 ＋y 2 ＋4x －1＝0相切于点P (－1,2),则直线l 的方程 直线与圆的位置关系 ：： 【学习目标】 1．依据直线和圆的方程，能熟练求出他们的交点坐标. 2．能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系. 3．理解直线和圆的三种位置关系（相离、相切、相交）与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解（无解、有唯一解、有两组解）的对应关系. 4．能利用直线和圆的方程研究与圆有关的问题，提高学生的思维能力. 【要点梳理】 要点一：直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系： (1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定： (1)代数法： 判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解. 如果有解，直线l与圆C有公共点. 有两组实数解时，直线l与圆C相交； 有一组实数解时，直线l与圆C相切； 无实数解时，直线l与圆C相离. (2)几何法： 由圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系判断： <时，直线l与圆C相交； 当d r =时，直线l与圆C相切； 当d r >时，直线l与圆C相离. 当d r 要点诠释： (1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得. (2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过 勾股定理解得，有时还用到垂径定理. (3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 要点二：圆的切线方程的求法 1．点M 在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率l k 与圆心和该点连线的斜率OM k 的乘积等于1-，即 1O M l k k ⋅=-． 法二：圆心O 到直线l 的距离等于半径r ． 2．点()00,x y 在圆外，则设切线方程：00()y y k x x -=-，变成一般式：000kx y y kx -+-=，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ． 要点诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆222 x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=； （2）过圆()()22 2 x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是 ()()()()200x a x a y b y b r --+--=. 要点三：求直线被圆截得的弦长的方法 1．应用圆中直角三角形：半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 具有的关系2 222l r d ⎛⎫ =+ ⎪⎝⎭ ，这也是 求弦长最常用的方法． 2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 3．利用弦长公式：设直线:l y kx b =+，与圆的两交点()()1122,,,x y x y ，将直线方程代入圆的方程， 消元后利用根与系数关系得弦长：12|l x x =-． 【典型例题】 类型一：直线与圆的位置关系 例1.已知直线y=2x+1和圆x 2 +y 2 =4，试判断直线和圆的位置关系. 【思路点拨】解决本题的方法主要有两个，其一是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系；其二是《复习直线和圆的位置关系》说课稿
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