整式概念及整式加减运算
参考练习题
一.判断题 1. 3
1
+x 是关于x 的一次二项式． ( ) 2. －3不是单项式． ( ) 3. 单项式xy 的系数是0． ( ) 4. x 3＋y 3
是6次多项式． ( ) 5.
多项式是整式． ( )
二.选择题：
6. 下列说法正确的是（ ）
A.0不是单项式
B.
a b 是单项式 C. 2x y 的系数是0 D.3
2
x -是整式 7. 下列单项式中，次数是5的是（ ）
A.5
3 B. 3
2
2x C. 23y x D. 2y x 8. 在下列代数式：
21ab ，2b a +，ab 2+b+1，x 3+y
2，x 3+ x 2
－3中，多项式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D.5个 9. 多项式－23m 2
－n 2
是（ ）
A ．二次二项式
B ．三次二项式
C ．四次二项式
D 五次二项式 10. 下列说法正确的是（ ）
A ．3 x 2
―2x+5的项是3x 2
，2x ，5 B ．3x －3
y 与2 x 2
―2xy －5都是多项式 C ．多项式－2x 2
+4xy 的次数是3
D.一个多项式的次数是6，则这个多项式中只有一项的次数是6
11. 单项式－2
32
xy 的系数与次数分别是( )
A ．－3，3
B ．－21，3
C ．－2
3
，2
D ．－
2
3
，3
12. 下列单项式次数为3的是( ) A.3abc B.2×3×4 C.4
1x 3
y D.52x 13. 下列代数式中整式有( )
x 1， 2x +y ， 31a 2b ， πy x -， x
y 45， 0.5 ， a A.4个 B.5个 C.6个
D.7个
14. 下列整式中，单项式是( )
A.3a +1
B.2x －y
C.0.1
D.
2
1
+x 15. 下列各项式中，次数不是3的是( )
A ．xyz ＋1
B ．x 2＋y ＋1
C ．x 2y －xy 2
D ．x 3－x 2
＋x －1 16. 下列说法正确的是( )
A ．x(x ＋a)是单项式
B ．
π
1
2+x 不是整式
C ．0是单项式
D ．单项式－3
1
x 2
y 的系数是3
1 17. 在多项式x 3
－xy 2
＋25
中，最高次项是( )
A ．x 3
B ．x 3，xy 2
C ．x 3，－xy 2
D ．25
18. 多项式212x y -+的次数是（ ） A.1 B. 2 C.－1 D.－2 19. 下列说法正确的是( )
A ．x 的指数是0
B ．x 的系数是0
C ．－10是一次单项式
D ．－10是单项式 20. 下列代数式中，不是整式的是（ ）
A.2
3x -
B.
745b a - C.x
a 52
3+ D.－2005
21. 下列多项式中，是二次多项式的是（ ） A.132
+x
B.2
3x
C.3xy －1
D.2
53-x
22. 多项式3
2
4
4327x x y m -+-的项数与次数分别是（ ）
A. 4,9
B.4,6
C. 3,9
D. 3,10
23. 已知：32y x m -与n xy 5是同类项，则代数式n m 2-的值是( )
A.6-
B.5-
C.2-
D.5 24. 系数为－
2
1
且只含有x.y 的二次单项式，可以写出( ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
25. 下列各组单项式中属于同类项的是（ ）
A.22
22m n a b 和 B.66xyz xy 和 C.2234x y y x 和 D.ab ba -和 26. 长方形的一边长为a 3，另一边比它小b a -，则其周长为（ ）。
A. b a 210+
B. a 6
C. b a 46+
D.以上答案都不对。
27. 多项式8x 2
-3x+5与多项式3x 3
+2mx 2
-5x+7相加后，不含二次项，则常数m 的值是（ ）
A. 2
B. －4
C. －2
D.－8 28. )]([n m ---去括号得 （ ）
A.n m -
B.n m --
C.n m +-
D.n m + 29. 下列各题去括号所得结果正确的是（ ）
A.22
(2)2x x y z x x y z --+=-++ B.(231)231x x y x x y --+-=+-+
C.3[5(1)]351x x x x x x ---=--+
D.2
2
(1)(2)12x x x x ---=--- 30. 将)(4)(2)(y x y x y x +-+++合并同类项得（ ）
A.)(y x +
B.)(y x +-
C.y x +-
D.y x -
31. 如果m 是三次多项式，n 是三次多项式，那么m n +一定是（ ）
A.六次多项式
B.次数不高于三的整式
C.三次多项式
D.次数不低于三的整式
32. x 减去y 的平方的差，用代数式表示正确的是（ ） A.2
)(y x - B.2
2
y x -
C.y x -2
D.2
y x -
33. 某同学爬一楼梯，从楼下爬到楼顶后立刻返回楼下。已知该楼梯长S 米，同 学上楼速度是a 米/分,下楼速度是b 米/分,则他的平均速度是（ ）米/分。 A.
2
b
a + B.
b
a s + C.
b
s a s + D.
b
s a s s +2
三.填空题
34. 当a ＝－1时，3
4a ＝ 。
35. 单项式7
92xy 的系数是 ，次数是 。多项式62352
3-+-x x x 是 _______次
________项式。
36. 220053xy 是 次单项式；
37. y x 342-的一次项系数是 ，常数项是 ； 38. _____和_____统称整式.
39. 整式①1
π，②3x －y 2,③23x 2
y ,④a ,⑤12x y π+,⑥5
22
a π,⑦x +1中 单项式有 ，
多项式有 40. 比m 的一半还少4的数是 ； 41. b 的3
1
1倍的相反数是 ；
42. 设某数为x ，10减去某数的2倍的差是 ； 43. n 是整数，用含n 的代数式表示两个连续奇数 ； 44. 多项式a 2
－
21ab 2－b 2有_____项，其中－2
1
ab 2的次数是 . 45. 多项式2
32
1323
x y x y π-+-的次数是 ，它的最高项的系数是 。单项式2
5x y .
223x y .24xy -的和为 。
46. 多项式232
31a b a ab ---按字母a 的升幂排列是 ，按字母b 的降幂排列
是 ；
47. 一个多项式与222x x -+的和是2
321x x -+，则这个多项式为 48. 6
2m
x y -与
3235
n
x y 是同类项，则n m ＝
49. 去括号：=---)2675(2b a x 。 50. 代数式2x ＋3y 的值是－4,则3+6x+9y 的值是
51. 在代数式2635842
2
-+-+-x x x x 中，2
4x 和 是同类项，x 8-和 是同类项，2-和
也是同类项。合并后是 。
52. 计算：22224(2)(2)a b ab a b ab --+= ； 53. 当x ＝2，y ＝－1时，代数式||||x xy -的值是 ；
54. 当t ＝ 时，3
1t
t +-
的值等于1； 55. 当y ＝ 时，代数式3y －2与
4
3
+y 的值相等； 56. －23
ab 的系数是 ，次数是 次． 57. 把代数式2a 2b 2
c 和a 3b 2
的相同点填在横线上：
（1）都是 式；（2）都是 次． 58. 多项式x 3y 2
－2xy 2
－
43
xy
－9是___次___项式，其中最高次项的系数是 ，二次项是 ，常数项是 ．
59. 多项式x 2
y ＋xy －xy 2
－53
中的三次项是____________． 60. 当a=____________时，整式x 2
＋a －1是单项式．
61. 当x ＝－3时，多项式－x 3
＋x 2－1的值等于____________． 62. 如果整式(m －2n)x 2y
m+n-5
是关于x 和y 的五次单项式，则m+n
63. 一个n 次多项式，它的任何一项的次数都____________．
64. 系数是－3，且只含有字母x 和y 的四次单项式共有 个，分别
是 ．
65. 组成多项式1－x 2
＋xy －y 2
－xy 3
的单项式分别是 ． 66. 下面是小芳做的一道多项式的加减运算题,但她不小心把一滴墨水滴在了上面.
??? ?
?-+-22
213y xy x 2222
2123421y x y xy x -=??? ??-+--,阴影部分即为被墨迹弄污的部分.那么被墨汁遮住的一项应是 ( )
A .xy 7- B. xy 7+ C. xy - D .xy +
67. 用棋子摆出下列一组三角形,三角形每边有n 枚棋子,每个三角形的棋子总数是S .按此规律推断,
当三角形边上有n 枚棋子时,该三角形的棋子总数S 等于 ( ) A. 33-n B. 3-n C. 22-n D. 32-n
68. .如图是某月份的月历，用正方形圈出9个数，设最中间一个是ｘ，则用ｘ表示这9个数的和是
69. 如图是一个正三角形场地，如果在每边上放2盆花共需要3盆花；如果在每边上放3盆花共需要6
盆花，如果在每边上放ｎ（ｎ＞1）盆花，那么共需要花（ ）盆
Ａ．3ｎ3Ｄ．3ｎ-3
70. 观察下列单项式：0，3x 2，8x 3，15x 4，24x 5
，……，按此规律写出第13个单项式是______。
四.列代数式
()3,2==S n ()6,3==S n ()9,4==S n
()12,5==S n
71. 除以a 的商加上3
2
3的和；
72. m 与n 的平方和；
73. x 与y 的和的倒数；
74. x 与y 的差的平方除以a 与b 的和，商是多少。
五.根据题意列出整式
75. 钢笔每支a 元，圆珠笔每支b 元，买2支圆珠笔，3支钢笔共用多少元？用一张100
面值的人民币购买，应找回多少元？
76. 三个植树队，第一小队种树x 棵，第二小队种的树比第一小队种的树的3倍多8棵，
第三小队种的树比第一小队的一半多6棵，三个队一共种了多少棵？
六.求代数式的值
77. 当x ＝－2时，求代数式132
--x x 的值。
78. 当2
1
=a ，3-=b 时，求代数式||a b -的值。
79. 当x ＝2，y ＝－3时，求22
3
1
212y xy x --的值。
80. 若0)2(|4|2=-+-x y x ，求代数式222y xy x +-的值。
七.计算下列各多项式的值：
81. x 3－x ＋1－x 2，其中x ＝－3；
82. 5xy －8x 2＋y 2－1，其中x ＝
2
1
，y ＝4；
八.解答题
83. 已知ABCD 是长方形，以DC 为直径的圆弧与AB 只
有一
个交点，且AD=a 。
（1）用含a 的代数式表示阴影部分面积；
（2）当a ＝10cm 时，求阴影部分面积 （π取3.14，保
留两个有效数字）
84. 有一道题目是一个多项式减去x+14x-6，小强误当成了加法计算，结果得到2x2-x+3，
正确的结果应该是多少？
九.化简：
85. x y yx xy y x 222223-+-
86. 22225
2
214.041ab b a ab b a +--
87. (7m 2n －5mn)－(4m 2n －5mn)
88. 22225(3)2(7)a b ab a b ab ---
十. 解答题
89. 化简求值: 233
(4333)(4)a a a a a +-+--+，其中a ＝－2
90. 化简求值:(
)(
)
2
2
2
234,1,1x y xy x y xy x y x y +---==-其中
91. 化简求值:2
2
2
2
2
2
2
2
(22)(33)(33)x y xy x y x y x y xy ??---++-??，其中x ＝-1,y ＝2.
92. 化简2a －｛［7b －（b －2a ）－4b ］＋4a ｝，并求当2a ＋b －1＝0时的值．
十一.解答题
93. 已知22222,3A a ab b B a ab b =-+=---，求：23A B -
94. k 取何值时，多项式3x 2
y ＋4xy －5xy 2
＋kxy 2
－x 3
不含xy 2
项？
95. 已知x 2
＋xy ＝2，xy ＋y 2
＝1, 求x 2
＋2xy ＋y 2
的值．
96. 设a 表示一个两位数，b 表示一个三位数，把a 放在b 的左边，组成一个五位数x ，把b 放在a 的
左边组成一个五位数y ，试问9能否整除y x -？请说明理由.
97. 先阅读下面文字，然后按要求解题.
例：1+2+3+…+100＝？如果一个一个顺次相加显然太繁，我们仔细分析这100个连续自然数的规律和特点，可以发现运用加法的运算律，是可以大大简化计算，提高计算速度的.
因为1+100＝2+99＝3+98＝…＝50+51＝101，所以将所给算式中各加数经过交换、结合以后，可以很快求出结果.
解1+2+3+…+100＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）＝101×＿＝＿.
（1）补全例题解题过程；
（2）计算a+（a+b）+（a+2b）+（a+3b）+…+（a+99b）.
98.一家三口（父亲、母亲、女儿）准备参加旅行团外出旅游，甲旅行社告知：“父母全票，女儿按半
价优惠”；乙旅行社告知：“家庭旅游可按团体票计价，即每人均按全价的80％收费”．如果这两家旅行社每人的原票价相同，那么应选择哪家旅行社比较合算？
99.要对一组对象进行分类，关键是要选定一个分类标准，不同的分类标准有不同的结果.
如对下面给出的七个单项式，若按单项式的次数分类：二次单项式有3y2；三次单项
式有xyz.－5y2x.z3；四次单项式有2x3z，－z2y2，1
3
x2yz.请你仿此再用两种不同的分
类方法对下列七个单项式进行分类：2x3z，xyz，3y2，－5y2x，－z2y2，1
3
x2yz，z3.
整式的加减 【本将教学容】 整式的基本概念、加减运算、代数式求值等 整式知识点 1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式. 2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数. 3．多项式：几个单项式的和叫多项式. 4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数； 注意：（若a 、b 、c 、p 、q 是常数）ax 2 +bx+c 和x 2 +px+q 是常见的两个二次三项式. 5．整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式. 整式分类为：?? ?多项式 单项式整式 . 6．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 7．合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 8．去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 9．整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并. 10.多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列. 11. 列代数式 列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了. 12.代数式的值 根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所
整式及其加减知识点 一、字母表示数 点1、用字母表示数 优点：解决了特殊与一般的关系，更具有一般性和简明性。 例题：1·．“x 的平方与2的差”用代数式表示为_____ ___． 2、今年小明m 岁，去年小明__________岁，8年后小明__________岁. 点2、用字母表示运算律和公式 加法的交换律：_______________ 乘法的交换律： 乘法对加法的结合律： 例题：1下列各式中与a-b-c 的值不相等的是（ ） A ．a-（b+c ） B.a-（b-c ） C.（a-b ）+（-c ） D.（-c ）-（b-a 2、“a 与b 的和除以a 与b 的差”用代数式表示为：________________. 见 教材全解 二、代数式 点1、代数式的概念 像4+3（x-1),x+x+x(x+1),a+b,ab 等式子都是代数式 注：单独一个数或一个字母也是代数式 1. 一个长方形的宽为a cm ，长比宽的2倍少1cm ，这个长方形的长是______cm. 2某本书的价格是x 元，则0.9x 可以解释为：______________________. 点2、代数式的书写要求 1、字母与字母相乘时，乘号通常简写“.”或者不写， 2、除法时一般按照分数的书写形式，被除数做为分子，除数作为分子。 3、在实际问题中，表示某一数量的代数式往往是有单位名称的，如果代数式是积或商的形式，就将单位名称写在式子后面即可。如果是和或差的时候必须用括号把式子括起来。 2. 以下代数式书写规范的是 （ ） A. 2)(÷+b a B. y 5 6 C. x 3 1 1 D. y x +厘米 点3、列代数式。 正确的列代数式应注意; 1、认真审题，将问题中的表示数量关系的词语正确的转换为对应的运算
§集合的概念与运算 【2014高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力． 【复习备考要这样做】 1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解． 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 2. (1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B(或B?A)． (2)真子集：若A?B，且A≠B，则A?B(或B?A)． (3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，??B(B≠?)． (4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个． (5)集合相等：若A?B，且B?A，则A＝B. 3．集合的运算 4. 并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. 交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. 补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A. [难点正本疑点清源] 1．正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误． 2．注意空集的特殊性
空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A ?B ，则需考虑A ＝?和A≠?两种可能的情况． 3． 正确区分?，{0}，{?} ?是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{?}是含有一个元素?的集合．??{0}，??{?}，?∈{?}，{0}∩{?}＝?. 题型一 集合的基本概念 例1 (1)下列集合中表示同一集合的是 ( B ) A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)} B ．M ＝{2,3}，N ＝{3,2} C ．M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝1}，N ＝{y|x ＋y ＝1} D ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)} 例如： (2)设a ，b∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝? ????? 0，b a ，b ，则b －a ＝___2_. 思维启迪：解决集合问题首先要考虑集合的“三性”：确定性、互异性、无序性，理解集合中元素的特征． 解析 (1)选项A 中的集合M 表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N 表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M 与N 不是同一个集合．选项C 中的集合M 表示由直线x ＋y ＝1上的所有的点组成的集合，集合N 表示由直线x ＋y ＝1上的所有的点的纵坐标组成的集合，即N ＝{y|x ＋y ＝1}＝R ，故集合M 与N 不是同一个集合．选项D 中的集合M 有两个元素，而集合N 只含有一个元素，故集合M 与N 不是同一个集合．对选项B ，由集合元素的无序性，可知M ，N 表示同一个集合． (2)因为{1，a ＋b ，a}＝ ? ????? 0，b a ，b ，a≠0， 所以a ＋b ＝0，得b a ＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2. 探究提高 (1)用描述法表示集合时要把握元素的特征，分清点集、数集；(2)要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最容易被忽视，因此要对计算结果进行检验，防止所得结果违背集合中元素的互异性． 若集合A ＝{x|ax 2 －3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝ 0或98_. 解析 ∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素． 当a ＝0时，x ＝2 3 符合要求． 当a≠0时，Δ＝(－3)2 －4a×2＝0，∴a＝98.故a ＝0或98. 题型二 集合间的基本关系 例2 已知集合A ＝{x|－2≤x≤7}，B ＝{x|m ＋1 05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一)平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 考点 平面向量的有关概念 ［典例］⑴设a , b 都是非零向量，下列四个条件中，使 向=而成立的充分条件是( ) A . a =- b B . a // b C . a = 2b D . a // b 且 |a|= |b| ⑵设a o 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，贝U a = |a| a o ;②若a 与a o 平行，则 a = |a|a o ;③若a 与a o 平行且|a|= 1,则a = a o .假命题的个数是( ) A . o B . 1 C . 2 D . 3 ［解析］⑴因为向量合的方向与向量a 相同，向量￡的方向与向量b 相同，且￡，所以向量a 与 |a| |b| |a| |b| 向量b 方向相同，故可排除选项 A , B , D.当a = 2b 时，a =警=b ，故a = 2b 是耳=g 成立的充分条件. |a| |2b| |b| |a| |b| (2)向量是既有大小又有方向的量， a 与|a|a o 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a o 平行，则a 与a o 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a =- |a|a o ，故②③也是假命题.综上 所述，假命题的个数是 3. ［答案］(1)C (2)D _ _［易错提醒」_____________ _____________ 厂7i)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小 ［…(2)大小与方向是向量的两个要素?j 分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上. 突破点(二)平面向量的线性运算 1. 向量的线性运算： 加法、减法、数乘 2. 平面向量共线定理： 向量b 与a(a ^ o )共线的充 要条件是有且只有一个实数 人使得b = 1 ［答案］(1)D ⑵1 —…_［方法技巧丄—――――_—_ _―_—_ _―_……_ _―_…_ _―_…_ _―_…_ _―_…「 i 1.平面向量的线性运算技巧： ⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解. ⑵含图形的情况：将它们转化到 ］ 三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示岀来求解. 2?利用平面向量的线性运算求参数的一般思路： (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置. (2)利用平行四 边形法则或三角形法贝U 进行转化丄转化为要求的向量形式._ _ (3) 比较，观察可知所求.__________ 考点二 平面向量共线定理的应用 ［例2Lu 设两个非零向J a 和b 不共鈿 平面向量的线性运算 …uuur …"uLu r 考点一 ~~uuur ----- u uur ［例 1］ (1)在厶 ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2 DC 12 5 2 A.3b + 3C B.gC — 3b 2 1 2 1 C.gb — 3c D.gb + 3C uuuu 1 uuur ⑵在△ ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN = NC , P 是BN 上一点, 数m 的值是 ______________ . uuur umr ［解析］(1)由题可知BC = AC - uuur + BD = c + 2 1 —c)= 3b + §c,故选 D. uuuu 1 uuur (2)如图，因为AN = 2 NC ，所以 uuur 2 uuuu m AB + 3 AN ?因为B ，P ，N 三点共线, ―uuur ，贝U AD =( ) UULT uuur 2 uuur 若 AP = m AB + 9 AC ，则实 2 uuir 2 uuir uur uuur uuur uuur UULT AB = b — c , '^BD = 2 DC ,「.BD = 3 BC = 3(b — c)，则 AD = AB uuuu 1 uuur AN = 3 AC ，所以 2 所以m +3= 1,则 UULT uuur 2 uuur AP = m AB + 9 AC = 1 m = 3. 整式的有关概念 一、基本概念 1.由_____和_____的乘积组成的_____叫做单项式.单项式中的______叫做这个单项式的系数.一个单项式中，所有字母的__ __的和叫做这个单项式的次数. 2.____ __叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做这个多项式的_____，其中不含字母的项叫做_____，各项的次数是几就叫做_____.一个多项式中，________的项的次数叫做这个多项式的次数. 3.__ ___和___ _统称为整式. 4.____ _相同，并且相同字母的___ __也分别__ ___的项叫做同类项. 5.把多项式的_____合并成一项，叫做合并同类项. 已知22250,631x x x x --=-+求的值. 1.列代数式 例1、用式子表示“a 的3倍与b 的差的平方”，正确的是（ ） A ．2(3)a b - B ．23()a b - C ．23a b - D ．2(3)a b - 例2、已知某船顺水航行3小时，逆水航行2小时： （1）已知轮船在静水中前进的速度是m 千米/时，水流的速度是a 千米/时，则轮船共航行多少千米？ （2）轮船在静水中前进的速度是80千米/时，水流的速度是3千米/时，则轮船共航行多少千米？ 2.整式的有关概念 例3、单项式3a 6 1b π- 的系数为 例4、写出含有字母x 、y 的四次单项式___________（只要写出一个）. 例5、多项式232246x y x x y +--+是____次____项式，最高次项的系数是_____，常数项是 例6、（1）若533m x y x y +与是同类项，则m = ． （2）指出同类项：(1)3x －2y ＋1＋3y －2x －5； (2)3x 2y －2xy 2＋31xy 2－2 3yx 2。 3.规律探索问题 例7 有一种石棉瓦，每块宽60厘米，用于铺盖屋顶时，每相邻两块重 叠部分的宽都为10厘米，那么n (n 为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为 一、 知识点详解 整式的有关概念 1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个 数或一个字母也是代数式。 2、单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如b a 2314-，这种表示就是错误的，应写成b a 23 13-。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如c b a 235-是6次单项式。 多项式 1、多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项多项式 中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式 的次数。 ①单项式和多项式统称整式。 ②用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 ③注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。 （2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。 2、同类项：所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 3、去括号法则 ①括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。 ②括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。 4、整式的运算法则 整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。 整式的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=? ),(都是正整数）（n m a a mn n m = )()(都是正整数n b a ab n n n = 22))((b a b a b a -=-+ 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=- 整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数 集合的概念与运算训练 一、选择题 1．（07浙江）设全集U ={1，3，5，6，8}，A ={1，6}，B ={5，6，8}，则(C U A )∩B =( ) A ．｛6｝ B ．{5，8} C ．{6，8} D ．{3，5，6，8} 2．（09山东）集合{0,2,}A a =,2{1,}B a =,若{0,1,2,4,16}A B = ,则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 3．（10湖北）设集合M ={1,2,4,8}，N ={x |x 是2的倍数}，则M ∩N =( ) A ．{2,4} B ．{1,2,4} C ．{2,4,8} D ．{1,2,8} 4．（08安徽）若A 为全体正实数的集合，{2,1,1,2}B =--则下列结论中正确的是（） A ．{2,1}A B =-- B ．()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ．(){2,1}R C A B =-- 5．（06陕西）已知集合P ={x ∈N |1≤x ≤10},集合Q ={x ∈R |x 2+x -6=0}, 则P ∩Q 等于( ) A ． {2} B ．{1,2} C ．{2,3} D ．{1,2,3} 6．（07安徽）若22 {|1},{|230}A x x B x x x ===--=，则A B ＝( ) A ．{3} B ．{1} C ．? D ．{1}- 7．（08辽宁）已知集合{31}M x x =-<<，{3}N x x =≤-，则M N = （） A ．? B ．{3}x x ≥- C ．{1}x x ≥ D ．{1}x x < 8．（06全国Ⅱ）已知集合2{|3},{|log 1}M x x N x x =<=>，则M N = ( ) A ．? B ．{|03}x x << C ．{|13}x x << D ．{|23}x x << 9．（09陕西）设不等式20x x -≤的解集为M ，函数()ln(1||)f x x =-的定义域为N ，则M N 为（） A ．[0，1） B ．（0，1） C ．[0，1] D ．（-1，0] 10．（07山东）已知集合11{11}| 242x M N x x +??=-=<<∈????Z ，，，，则M N = （） A ．{11}-， B ．{0} C ．{1}- D ．{10}-， 11．（11江西）已知集合{}? ?????≤-=≤+≤-=02,3121x x x B x x A ，则B A 等于（） A ．{10}x x -≤< B ．{01}x x <≤ C ．{02}x x ≤≤ D ．{01}x x ≤≤ 12．（07广东）已知集合1{10{0}1M x x N x x =+>=>-，，则M N = （） A ．{11}x x -<≤ B ．{1}x x > C ．{11}x x -<< D ．{1}x x -≥ 13．（08广东）届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（） A. A B ? B. B C ? C. B ∪C = A D. A∩B = C 14．（09广东）已知全集U =R ，则正确表示集合M = {-1，0，1}和N = {x |x 2+x =0}关系的韦恩（Venn ） 图是（） A ． B ． C ． D ． 向量的概念与运算 一、知识网络 二、高考考点 1、对于向量的概念，高考的考点主要是两向量平行（即共线）的判定以及两向量共线的基本定理的运用，多以选择题或填空题的形式出现。 2、对于向量的运算，向量的数量积及其运算是向量的核心内容，对此，高考的考点主 要是： （1）向量的加法、减法的几何意义与坐标表示的应用； （2）向量共线的充要条件的应用；（3）向量垂直的充要条件的应用；（4）向量的夹角的计算与应用； （5）向量的模的计算，关于向量的模的等式的变形与转化，关于向量的模的不等式的认知与转化。 3、线段的定比分点线或平移问题。 4、以向量为载体的三角求值或图象变换问题，以向量为载体的函数或解析几何问题（多以解答题的形式出现）。 三、知识要点 （一）向量的概念 1、定义（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量。 （2）向量的模：向量的大小（即长度）叫做向量的模，记作。 特例：长度为0的向量叫做零向量，记作；长度为1的向量叫做单位向量. （3）平行向量（共线向量）： 一般定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量.特殊规定：与任一向量平行（即共线）. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。零向量与零向量相等。认知：向量的平移具有“保值性”。 2、向量的坐标表示 （1）定义：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量、作为基底，任作一个向量 ,则由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得，将有序实数对（x,y）叫做向量的坐标，记作；并将叫做向量的坐标表示。 （2）认知：相等的向量，其坐标也相同，反之成立。 （二）向量的运算 1、向量的加法 2、向量的减法 3、实数与向量的积 （1）定义（2）实数与向量的积的运算律： （3）平面向量的基本定理： 如果是同一面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使，这两个不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 （4）向量共线的充要条件： （i）向量与非零向量共线有且只有一个实数使 （ii）设则： 4、向量的数量积（内积） （1）定义：（i）向量的夹角：已知两个非零向量和，作叫做向量与的夹角。 （ii）设两个非零向量和的夹角为，则把数量叫做与的数量积（内积），记作，即并且规定：零向量与任一向量的数量积为0. （2）推论设、都是非零向量，则（i）（ii）（iii） (3)坐标表示(i)设非零向量，则 (ii)设(4)运算律（自己总结，认知） 四、经典例题 例1．判断下列命题是否正确： （1）若的方向相同或相反；（2）若 整式的有关概念及运算 初中数学知识点总结：整式的有关概念及运算 1、概念 （1）单项式：像x、7、，这种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次数。单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。 （2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含有几项，就叫几项式。多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。（3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。 2、运算 （1）整式的加减：合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各项都变号。添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“–”号，括到括号里的各项都变号。整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。 （2）整式的乘除：幂的运算法则：其中m、n都是正整数同底数幂相乘：；同底数幂相除：；幂的乘方：积的乘方：。单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项，再把所得的商相加。乘法公式：平方差公式：；完全平方公式：， 1 集合的概念与运算（一） 目标： 1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题 2.理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质， 3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法． 重点： 1.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用; 2.交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用． 基本知识点： 知识点1、集合的概念 （1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集） （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 知识点2、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{}Λ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N * 或N + {}Λ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}Λ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {} 整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {} 数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0 （2）非负整数集内排除0的集记作N * 或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 知识点3、元素与集合关系（隶属） （1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ? 注意：“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写 知识点4、集合中元素的特性 （1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可 （2）互异性：集合中的元素没有重复 （3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出） 平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时， 定 义 示例剖析 代数式的定义：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式．单独的一个数或字．．．．．．．．母也是代数式．．．．．． ． 21x +，23ab ，10，a 单项式：像2a -，2πr ，21 3x y -，abc -，237x yz ，……，这些代数式中，都是数字与字母的积，这样的代数式称为单项式．也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减的关系，且单项式的分母中不含字母．单独的一个字母或数也叫做单项式， 例如：a ，3-是单项式； 356x y ab c +-+，不是单项式 单项式的次数：是指单项式中字母．． 的指数和．单独的一个数（零除外），它们的次数规 定为零． 单项式212ab c -，它的指数1214++=， 是四次单项式． 单项式的系数：单项式中的数字因数．．．．叫做单项式的系数． 47叫做单项式247x y 的系数； 2r π的系数是π． 同类项：所含字母相同．．．．，并且相同字母的指数．． 也分别相同的单项式叫做同类项． 2 13x y -与 247x y ，2abc 与abc -， m -与7m 易错点：① 单项式的系数包括单项式前面的符号； ② π是一个数，不要将它当作字母． 【例1】 指出下列各式，哪些是代数式 ？ ⑴ 21x + ⑵ 23ab ⑶ 10 ⑷ 10n a ? ⑸ a b b a +=+ ⑹ 32> ⑺ 2πS R = ⑻ 347+= ⑼ π 夯实基础 模块一 单项式相关概念 整式的概念 和整式的加减 单项式 32 5 x y - 423a b - 0.9mn - 22πr 2x yz - 3x 系数 次数 【例3】 ⑴ 单项式32 57ab c - 的系数是57 -，次数是 ． （人大附中期中） ⑵ 一个单项式：它的系数是1-，次数是3，必须含x ，y 两个字母，请写出这样的单项式 ．（写出一个即可） （北京101中学期中） ⑶ 系数为3，只含．． 字母x 、y ，且次数是3的单项式共有（ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （人大附中期中） ⑷ 下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是（ ） A ．213x y 与23z - B ．232.2m n 与321 12 n m C ．20.2a b 与2 0.2ab D ．11abc 与11ab （人大附中期中） ⑸ ①2002-与2000是同类项；②2ab 与3abc -是同类项；③53x 与55x 是同类项；④5b -与3b 是同类项，上述说法正确的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 （人大附中期中） ⑹ 写出325x y -的一个同类项 （清华附中期中） ⑺ 若342n m x y +与923n x y -是同类项，那么m n ，的值分别是（ ） A ．23m n =-=， B ．23m n ==， C ．32m n =-=， D ．32m n ==， （三帆中学期中） ⑻ 如果3||2n x y 与11 3 m x y +-是同类项，则m n +=__________ （北京师范大学附属实验中学期中） 能力提升 < % 考试内容 A （基本要求） B （略高要求） C （较高要求） 代数式 理解用字母表示数的意义 — 会列代数式表示简单的数量关 系；能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义 代数式的值 了解代数式的值的概念 会求代数式的值；能根据代数式 的值或特征推断代数式反映的规 律 能根据特定的问题查阅资料，找到 所需要的公式，并会代入具体的值 进行计算；能通过代数式的适当变 形求代数式的值 整式 了解整式的概念，理解单项式的系数与次数、多项式的次数、项 与项数的概念，明确它们之间的关系 / 整式的加减运算 理解整式加、减运算的法则 会进行简单的整式加、减运算 能合理运用整式的概念及其加减 运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题 板块一 代数式、单项式、多项式 代数式的定义：用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方等)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做 代数式. 单独的一个数或字母也是代数式. 列代数式：列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”. 列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、 ^ 例题精讲 中考要求 整式基本概念及加减运算 ? 在列代数式时，应注意以下几点： （1） 在同一问题中，要注意不同的对象或不同的数量必须用不同的字母来表示； （2） 字母与字母相乘时可以省略乘号； （3） 在所列代数式中，若有相除关系要写成分数形式； （4） 列代数式时应注意单位，单位名称在代数式后面写出来，如果结果为加减关系，必须用括号将代 数式括起来； （5） 代数式中不要使用带分数，带分数与字母相乘时必须把带分数化成假分数. 单项式： 像2-a ，2 r π，2 13 -x y ，-abc ，237x yz ，……这些代数式中，都是数字与字母的积，这样 的代数式称为单项式.也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数.单独的一个字母或数也叫做单项式，例：a 、3-. 单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和.例如：单项式21 2 -ab c ，它的指数为1214++=，是四次 单项式.单独的一个数(零除外)，它们的次数规定为零，叫做零次单项式. } 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数.例如：我们把4 7叫做单项式247x y 的系数. 同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项. 多项式： 几个单项式的和叫做多项式.例如：27 319 -+x x 是多项式. 多项式的项： 其中每个单项式都是该多项式的一个项.多项式中的各项包括它前面的符号.多项式中不含 字母的项叫做常数项. 多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数. 整式： 单项式和多项式统称为整式. 【例1】 指出下列各式，哪些是代数式，哪些不是代数式 % ⑴21+x ⑵23ab ⑶0 ⑷10?n a ⑸+=+a b b a ⑹32> ⑺2πS R = ⑻347+= ⑼π 【巩固】 a ， b ， c 都是有理数，试说出下列式子的意义： ① 0a b +=； ② 0abc >； ③ 0ab ≠； ④ 1ab =-； ⑤ 2||0a b +=； ⑥ ()()()0a b b c c a ---=； ⑦ 22a b +；⑧ ()2 a b + % §1.1集合的概念与运算 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系有属于或不属于两种，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 A B(或 B A) 3. (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个． (2)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×) (2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×) (3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)恒成立．(√) (4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×) (5)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则M∩N＝N.(√) (6)若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，则?U P＝{2}．(√) 1．(2014·课标全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B等于() A．[－2，－1]B．[－1,2) C．[－1,1]D．[1,2) 答案 A 解析∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x<2}， ∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]，故选A. 2．(2014·四川)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于() A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1} C．{0,1} D．{－1,0} 答案 A 解析因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B ＝{－1,0,1,2}，故选A. 3．(2013·山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是() A．1 B．3 C．5 D．9 答案 C 整式的加减 整式知识点 1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一 类代数式叫单项式. 2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数 不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数. 3．多项式：几个单项式的和叫多项式. 4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多 项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数； 注意：（若a、b、c、p、q 是常数）ax2+bx+c 和x2+px+q 是常见的两个二次三项式. 5．整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式. 整式分类为： 单项式 整式. 多项式 6．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 7．合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 8．去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边 是“- ”号，括号里的各项都要变号. 9．整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并. 10. 多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）. 注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列. 11. 列代数式 列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平 方、倒数以及几分之几、几成、倍等等. 抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太 难了. 12. 代数式的值 根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所得的结果是代数 式的值. 13. 列代数式要注意 ①数字与字母、字母与字母相乘，要把乘号省略； ②数字与字母、字母与字母相除，要把它写成分数的形式； ③如果字母前面的数字是带分数，要把它写成假分数。 1 整式的运算 整式的加减 一、整式的有关概念 1．单项式 （1）概念：注意：单项式中数与字母或字母与字母之间是乘积关系，例如：2x 可以看成12x ?，所以2x 是单项式；而2x 表示2与x 的商，所以2 x 不是单项式，凡是分母中含有字母的就一定不是单项式. （2）系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 例如：212 x y -的系数是12 -；2r π的系数是2.π 注意：①单项式的系数包括其前面的符号；②当一个单项式的系数是1或1-时，“1”通常省略不写，但符号不能省略. 如：23,xy a b c -等；③π是数字，不是字母. （3）次数：一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数. 注意：①计算单项式的次数时，不要漏掉字母的指数为1的情况. 如322xy z 的次数为1326++=，而不是5；②切勿加上系数上的指数，如522xy 的次数是3，而不是8；322x y π-的次数是5，而不是6. 2．多项式 （1）概念：几个单项式的和叫做多项式. 其含义是：①必须由单项式组成；②体现和的运算法则. （2）项：在多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项；一个多项式含有几个单项式就叫几项式.例如：2231x y --共含有有三项，分别是22,3,1x y --，所以2231x y --是一个三项式. 注意：多项式的项包括它前面的符号，如上例中常数项是1-，而不是1. （3）次数：多项式中，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数. 注意：要防止把多项式的次数与单项式的次数相混淆，而误认为多项式的次数是各项次数之和. 例如：多项式2242 -+中，22 235 x y x y xy - 2x y的次数是4，4 3x y 的次数是5，2 5xy的次数是3，故此多项式的次数是5，而不是45312 ++=. 3．整式：单项式和多项式统称做整式. 4．降幂排列与升幂排列 （1）降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列. （2）把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列. 注意：①降（升）幂排列的根据是：加法的交换律和结合律；②把一个多项式按降（升）幂重新排列，移动多项式的项时，需连同项的符号一起移动；③在进行多项式的排列时，要先确定按哪个字母的指数来排列. 例如：多项式244233 -+---；按y y xy x y x y x 32 32 xy x y x y x y ----按x的升幂排列为：422334 的降幂排列为：423234 y x y xy x y x --+--. 32 二、整式的加减 1．同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项. 注意：同类项与其系数及字母的排列顺序无关. 例如：23 -是同 2a b与32 3b a 类项；而23 5a b却不是同类项，因为相同的字母的指数不同. 2a b与32 2．合并同类项 §6.1 向量的概念与线性运算 ● 课前热身 1．下列命题正确的是（ ） A ．若=，则∥ B ．若a ∥b ∥c ，则∥c C =a =b D ．若b a ≠，则b a b a <>或 2．ABC ?中， AB 边上的高为CD ，若=，=，0=? 1= 2=，则= A ． b a 3131- B ．b a 3 2 32- C ． b a 5353- D ．b a 5 4 54- 3．平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ） A ．a ，b 方向相同 B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量 C ．R λ?∈，a b λ= D ．存在不全为零的实数1λ，2λ，021=+b a λλ 4．在平行四边形 ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若μλ+=，其中R ∈μλ,，则 =+μλ ． 5．如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题： ① 2=+； ②22+=； ③?=?；④)()(?=?． 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． ● 知识梳理 1.平面向量的有关概念 （1）向量的定义: 既有大小．．又有方向．．的量叫做向量. （2）向量的表示方法 几何表示：用有向线段表示. 字母表示：用字母 ,等表示；用有向线段的起点与终点字母，如：. 注意：解题时，向量中的箭头不可省． （3）向量的长度：向量 的大小就是向量的长度（或称为模） ，记作||． 向量模的计算方法：||a = 零向量、单位向量概念： 零向量： =?= ；单位向量= e 为单位向量1=?e . （4）平行向量定义 ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②规定0与任一向量平行. （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作a =b . ①零向量与零向量相等； ②任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. （6）共线向量与平行向量关系 ①平行向量可以在同一直线上；②共线向量可以相互平行；③平行向量．．．．就是共线向量．．．．．． . 2.平面向量的线性运算 （1）向量的加法 ①向量加法的三角形法则 ②向量加法的平行四边形法则 =+（两个．． 向量“首尾．．．．．”．相接．． ） A B C A B D E C F平面向量的概念、运算及平面向量基本定理
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