1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)
(1) 设21,cos ,
x t y t ?=+?=? 则22d y dx =__________.
(2)
由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分
dz =__________.
(3) 已知两条直线的方程是1123:
101x y z L ---==-；221:211
x y z
L +-==,则过1L 且平
行于2L 的平面方程是__________.
(4) 已知当0x →时,123
(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =__________.
(5) 设4阶方阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ?? ?
?= ?- ???
,则A 的逆阵1A -=__________.
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲线2
2
11x x e y e
--+=
- ( )
(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线
(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数()f x 满足关系式20
()ln 22x
t f x f dt ??
=
+ ???
?
,则()f x 等于 ( ) (A) ln 2x
e (B) 2ln 2x
e
(C) ln 2x
e + (D) 2ln 2x
e +
(3) 已知级数
1
1
(1)
2n n n a ∞
-=-=∑,211
5n n a ∞-==∑,则级数1
n n a ∞
=∑等于 ( )
(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9
(4) 设D 是xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象
限的部分,则
(cos sin )D
xy x y dxdy +??等于 ( )
(A) 1
2
cos sin D x ydxdy ?? (B) 1
2D xydxdy ??
(C) 1
4
(cos sin )D xy x y dxdy +?? (D) 0
(5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E = (B) CBA E =
(C) BAC E = (D) BCA E =
三、(本题满分15分,每小题5分.)
(1) 求0
)x x π
+
→. (2) 设n 是曲面222
236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数
u =
P 处沿方向n 的方向导数. (3) 2
2
()x y z dV Ω
++???,其中Ω是由曲线22,
0y z x ?=?=?绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面
4z =所围成的立体.
四、(本题满分6分)
在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线L ,使沿该曲线从
O 到A 的积分3(1)(2)L
y dx x y dy +++?的值最小.
五、(本题满分8分.)
将函数()2||(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数
21
1
n n ∞
=∑的和.
六、(本题满分7分.)
设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1
23
3
()(0)f x dx f =?
,证明在(0,1)内存在
一点c ,使()0f c '=.
七、(本题满分8分.)
已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)a α=-+,4(1,2,4,8)a α=+,及
(1,1,3,5)b β=+.
(1) a 、b 为何值时,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合？
(2) a 、b 为何值时,β有1234αααα、、、的唯一的线性表示式？并写出该表示式.
八、(本题满分6分)
设A 为n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明A E +的行列式大于1.
九、(本题满分8分)
在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.
十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)
(1) 若随机变量X 服从均值为2,方差为2
σ的正态分布,且{}240.3P X <<=,则
{}0P X <=_______.
(2) 随机地向半圆0y <<(a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概
率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4
π
的概率为_______.
十一、(本题满分6分)
设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为
(2)2, 0,0
(,)0, x y e x y f x y -+?>>=??其他
,
求随机变量2Z X Y =+的分布函数.
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】
3
sin cos 4t t t
t
- 【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即 如果 ()()
x t y t φ?=??
=?, 则 ()
()dy t dx t ?φ'='. 所以 sin 2dy
dy t
dt dx dx t dt
-==
, 再对x 求导,由复合函数求导法则得
22sin 1
()()22d y d dy dt d t dx dt dx dx dt t t
-=?=? 23
2cos 2sin 1sin cos 424t t t t t t
t t t
-+-=
?=. (2)
【答案】dx -
【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点(1,0,1)-的含义是(1,0)1z z ==-. 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得
222()0d xyz +
=,
再由全微分四则运算法则得
()()xy dz ydx xdy z ++=,
令1,0,1x y z ===-,
得dy =
,
即dz dx =. (3)【答案】320x y z -++=
【解析】所求平面∏过直线1L ,因而过1L 上的点(1,2,3)；
因为∏过1L 平行于2L ,于是∏平行于1L 和2L 的方向向量,即∏平行于向量1(1,0,1)l =-和向量2(2,1,1)l =,且两向量不共线,于是平面∏的方程
12310102
1
1
x y z ----=, 即320x y z -++=. (4)【答案】32
-
【解析】因为当0x →时,11sin ,(1)1
n
x
x x x n
+-, 当0x →时2
0ax →,所以有
122223
11
1
(1)1
,cos 1sin ,322
ax ax x x x +--=-- 所以 1223
002
1(1)123lim lim 1cos 132
x x ax
ax a x x →→+-==---. 因为当0x →时,123
(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,所以213a -
=,故32
a =-. (5)【答案】120
025
001200
33110033-??
?- ? ? ?
?
?-
???
. 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.
注意： 1
110000
A A
B B ---????
=
? ?????,1
110
00A B B A
---??
??= ? ?????
. 对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：a b A c d ??
=
???
,则求A 的伴随矩阵
*a b d b A c d c a *
-????== ? ?-????
.
如果0A ≠,这样
1
11
a b d b d b c d c a c a A ad bc ---??????
== ? ?
?---??
????
. 再利用分块矩阵求逆的法则：1
110000
A A
B B ---??
??
=
? ?????
,易见 1120
025
001200
33110033A --??
?- ? ?= ?
?
?-
??
?
.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)
【解析】由于函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,
2
2
2
2
11lim lim
lim
11
x x x x x x x e e y e
e --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,
2
2
2
2
11lim lim
lim
111
x x x x x x x e e y e
e --→∞
→∞
→∞
++====--,所以1y =为水平渐近线.
所以选(D).
【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0
lim ()x x f x →=∞,则
0x x =是函数的一条铅直渐近线；
水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞
=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.
(2)【答案】(B) 【解析】令2
t
u =
,则2,2t u dt du ==,所以 20
()ln 22()ln 22x x t f x f dt f u du ??
=+=+ ???
?
?,
两边对x 求导,得()2()f x f x '=,这是一个变量可分离的微分方程,即
[()]
2()
d f x dx f x =.解之得2()x
f x Ce =,其中C 是常数.
又因为0
(0)2()ln 2ln 2f f u du =
+=?
,代入2()x f x Ce =,得0(0)ln 2f Ce ==,得
ln 2C =,即2()ln 2x f x e =?.
(3)【答案】(C) 【解析】因为
1
12342121
(1)
n n n n n a a a a a a a ∞
--=-=-+-++-+
∑
1234212()()()n n a a a a a a -=-+-++-+
21
22121
1
1
()n n n n n n n a
a a a ∞
∞
∞
--====
-=-∑∑∑(收敛级数的结合律与线性性质),
所以
122111
1
(1)523n n
n n n n n a
a a ∞
∞
∞
--====--=-=∑∑∑.
而
12342121
()()()n
n n n a
a a a a a a ∞
-==+++++++
∑
21
22121
1
1
()n n n n n n n a
a a a ∞
∞
∞
--====+=+∑∑∑538=+=,
故应选(C).
(4)【答案】(A)
【解析】如图,将区域D 分为1234,,,D D D D 四个子区域. 显然,12,D D 关于y 轴对称,34,D D 关于x 轴对称.
令 12cos sin D
D
I xydxdy I x ydxdy ?=
??=??????,
由于xy 对x 及对y 都是奇函数,所以
12
34
0,
0D D D D xydxdy xydxdy ++==??
??
.
而cos sin x y 对x 是偶函数,对y 是奇函数,故有
34
12
1
cos sin 0,
cos sin 2cos sin D D D D D x ydxdy x ydxdy x ydxdy ++==??
????,
所以 1
1
2(cos sin )2cos sin D
D xy x y dxdy I
I x ydxdy +=+=????,
故选(A).
(5)【答案】(D)
【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.
由于A 、B 、C 均为n 阶矩阵,且ABC E =,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式
||||||1A B C =,得到0A ≠、0B ≠、0C ≠,知A 、B 、C 均可逆,那么,对于ABC E =,
先左乘1A -再右乘A 有 1
ABC E BC A BCA E -=→=→=,故应选(D).
其实,对于ABC E =先右乘1C -再左乘C ,有1
ABC E AB C CAB E -=→=→=.
三、(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限
.
lim )lim (1x x x π
++
→→=+
令1t =,则0x +→时0t -
→,所以
1
00
lim(1lim(1)t
x t t e +
-
→→+=+=, 所以
0lim
lim (1lim x x x e →+
+
→→+==.
因为当0x →时,sin x x ,所以
2
2
0002sin 21)lim
lim lim 2
x x x x x x ππππ+++→→→--????===-,
故
0lim
2
lim )x x
x e e
π
π→+
-
→==.
(2)【解析】先求方向n 的方向余弦,再求
,,u u u
x y z
??????,最后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u n x y z
αβγ????=++????求出方向导数. 曲面2
2
2
236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的法向量为
{}
{}
{}(1,1,1)
4,6,24,6,222,3,1P
x y z x y z ±==±,
在点(1,1,1)P 处指向外侧,取正号,并单位化得
}}{}2,3,12,3,1cos ,cos ,cos .n αβγ=
=
= 又
P P P u x u y u z ?
??==
=
????
??===
?
?????===????
, 所以方向导数
cos cos cos u u u u n x y z αβγ????=++????
11
7
=
=. (3)【解析】由曲线22,0
y z x ?=?=?绕z 轴旋转一周而围成的旋转面方程是22
2x y z +=.
于是,Ω是由旋转抛物面2
21()2
z x y =
+与平面4z =所围成.曲面与平面的交线是 228,4x y z +==.
选用柱坐标变换,令cos ,sin ,x r y r z z θθ===,于是
:02,04,0z r θπΩ≤≤≤≤≤≤
因此 22()I x y z dV Ω=++???
4
220
)dz d r z rdr πθ=
+?
?
42
4
0242r r r r z dz π
=?????=+ ?
??????
?
4
20
256
43
z dz ππ==
?
.
四、(本题满分6分
)
【解析】曲线sin ,([0,])y a x x π= ∈,则cos dy a xdx =,所以 3(1)(2)L
I y dx x y dy =+++?
30
[1(sin )(2sin )cos ]a x x a x a x dx π
=+++??
233
1sin 2cos sin 22a a x ax x x dx π
??=
+++ ???
?
2
3
3
sin 2cos sin 22
a a
xdx a x xdx xdx π
π
π
π=+++
??
?
2
3
2
(cos 1)cos 2sin sin 224
a a
x d x a xd x xd x π
π
π
π=+-++
?
?
?
[][]233
000
1cos cos 2sin cos cos 234a a x x a x x x x π
πππ??=+-+++-????
3
443
a a π=+
-. 对关于a 的函数34
43
I a a π=+-两边对a 求导数,其中0a >,并令0,I '=得
2440I a '=-=.
所以1a =, 且 0,01
0,1I a I a '<<<<+∞?
.
故1a =为函数3
44,(0)3
I a a a π=+
->的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 sin ,([0,])y x x π= ∈.
五、(本题满分8分.)
【解析】按傅式级数公式,先求()f x 的傅式系数n a 与n b .因()f x 为偶函数,所以
1()sin 0(1,2,3,)l n l n b f x xdx n l l π
-=
= =?, 012()cos ()cos l l n l n n a f x xdx f x xdx l l l l ππ
-==??
111
00022(2)cos 4cos sin x n xdx n xdx xd n x n ππππ=+=+???
122022(cos 1)
sin (1,2,3,)n n xdx n n n ππππ
-=-= =?,
1
00
2(2)5a x dx =+=?.
因为()2||f x x =+在区间(11)x -≤≤上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以
01()2||cos sin
2n n n a n n f x x a x b x l l ππ
∞=??=+=++ ???
∑ 22
152(cos 1)
cos 2n n n x n πππ∞=-=+∑ 2
2
1
54
1
cos(21)(11)2(21)n n x x n ππ
∞
==-- -≤≤-∑. 令0x =,有2
2
154
1
(0)20cos 02(21)n f n π
∞
==+=--∑,所以,2211(21)8n n π∞
==-∑. 又 2222
21111111111
(21)(2)(21)4n n n n n n n n n ∞
∞
∞∞====??=+=+??--??∑∑∑∑, 所以, 2213148n n π∞==∑,即 2
21
16n n π∞
==∑.
六、(本题满分7分.)
【解析】由定积分中值定理可知,对于
1
23
()f x dx ?
,在区间2
(,1)3
上存在一点ξ使得
1
23
21
()()(1)()33
f x dx f f ξξ=-=?
,
即1
23
3
()()(0)f x dx f f ξ==?
.
由罗尔定理可知,在区间(0,1)内存在一点(01)c c ξ<<<,使得()0f c '=.
七、(本题满分8分)
【解析】设11223344x x x x ααααβ+++=,按分量写出,则有
12342334
1234123412123(2)4335(8)5
x x x x x x x x x a x x b x x x a x α+++=??-+=??
++++=+??++++=?.
对方程组的增广矩阵作初等行变换:
第一行分别乘以有()2-、()3-加到第三行和第四行上,再第二行乘以()1-、()2-加到第三行和第四行上,有
1111111111011210
1121232
430
1213
5
1
8
50
225
2A a b a b a a ???? ? ?-- ? ?
=→ ? ?
+++ ? ?+-+???? 1111101121001
00
1
0a b a ?? ?- ?→ ?+ ?+??
, 所以,当1,0a b =-≠时,()1()r A r A +=,方程组无解.即是不存在1234x ,x ,x ,x 使得
11223344x x x x ααααβ+++=成立,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合；
当1a ≠-时,()() 4.r A r A ==方程组有唯一解21,,,0111T
b a b b a a a ++??
- ?+++??
,
故β有唯一表达式,且1234210111
b a b b a a a βαααα++=-
+++?+++. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设A 是m n ?矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,
亦等同于12,,
,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).
设A 是m n ?矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ? ()().r A r A n == (2) 有无穷多解 ? ()().r A r A n =< (3) 无解 ? ()1().r A r A +=
? b 不能由A 的列向量12,,
,n ααα线表出.
八、(本题满分6分)
【解析】方法1：因为A 为n 阶正定阵,故存在正交矩阵Q ,使
12
1
T N Q AQ Q AQ λλλ-??
?
?==Λ= ? ??
?
, 其中0(1,2,
)i i n λ>=,i λ是A 的特征值.
因此 ()T
T
T
Q A E Q Q AQ Q Q E +=+=Λ+
两端取行列式得 |||||||||()|||(1)T T i
A E Q A E Q Q A E Q E λ+=+=+=Λ+=+∏,
从而 ||1A E +>.
方法2：设A 的n 个特征值是12n ,,
,.λλλ由于A 为n 阶正定阵,故特征值全大于0.
由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端同时加上α,
得()()1A E αλα+=+.按特征值定义知1λ+是A E +的特征值.因为A E +的特征值是
12111n ,,,.λλλ+++它们全大于1,根据i A λ=∏,知||(1)1i A E λ+=+>∏.
【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.
九、(本题满分8分)
【解析】曲线()y y x =在点(,)P x y 处的法线方程为
1
()Y y X x y
-=-
-' (当0y '≠时), 它与x 轴的交点是(,0)Q x yy '+,从而
1
22
||(1)PQ y y '==+.
当0y '=时,有(,0),||Q x PQ y =,上式仍然成立. 因此,根据题意得微分方程
31222
2
1(1)
(1)
y y y y ''=
''++,
即2
1yy y '''=+.这是可降阶的高阶微分方程,且当1x =时,1,0y y '==.
令()y P y '=,则dP y P
dy ''=,二阶方程降为一阶方程21dP yP P dy =+,即2
1PdP dy
P y
=+.
即y =C 为常数.
因为当1x =时,1,0y P y '===,所以1C =,即y ==
所以y '=分离变量得
dx =±.
令sec y t =,并积分,则上式左端变为
sec tan ln sec tan tan t tdt
t t C t
==++?
ln sec ln t C y C =+=+.
因曲线在上半平面,所以0y +>,即(ln y C x =±.
故 x y Ce ±=.
当1x =时,1,y =
当x 前取+时,1C e -=,1x y e -=,
1
1
1x x y e e
--=
=
==；
当x 前取-时,C e =,1x y e -+=,
1
11x x
y e e
---=
=
==；
所以 (1)(1)1()2
x x y e e ---=+.
十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)
(1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数μ和2
σ,否则应先根据题设条件求出μ,2
σ,再计算有关事件的概率,本题可从
2()0.8σΦ=,通过查()x Φ表求出σ,但是注意到所求概率(0)P x <即是2()σ-Φ与2()
σ
Φ之间的关系,可以直接由2()σΦ的值计算出2
(
)σ
-Φ.
因为2(2,)X N σ,所以可标准化得
2
(0,1)X N σ
-,
由标准正态分布函数概率的计算公式,有
42
22
(24)(
)(
)P x σ
σ
--<<=Φ-Φ,
2
()(24)(0)0.8P x σ
Φ=<<+Φ=.
由正态分布函数的对称性可得到 02
22
(0)(
)()1()0.2P x σ
σσ
-<=Φ=Φ-=-Φ=.
(2)【解析】设事件A =“掷的点和原点的连线与x 轴的夹角小于4
π
”, 这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式
()D S P A S =
半圆,而 2
12
S a π=半圆, 22
141124
D OAC
S S
S a a π=+=
+圆
, 故 22
2111124()122
a a
P A a πππ+==+.
十一、(本题满分6分)
【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有
{}{}2()2(,)x y z
F z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=
??
.
当0z ≤时,()0F z =.
因为2x y z +=在直线20x y +=的下方 与0,0x y >>(即第一象限)没有公共区域
所以()0F z =.
当0z >时,2
x y z +=在直线20x y +=
的上方与第一象限相交成一个三角形区域D ,此即为积分区间.
(2)
20
0()2()1z x z
z
x y x z z z F z dx e
dy e e dx e ze --+----==-=--??
?.
所以2Z X Y =+的分布函数 0, 0,()1, 0.
z
z
z F z e ze z --
--≥?
0=
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 设sin ,xy z e =则dz = _______. (2) 设曲线()3f x x ax =+与()2g x bx c =+都通过点()10,,-且在点()10,-有公共切线, 则a = _______,b = _______,c = _______. (3) 设()x f x xe =,则() ()n f x 在点x = _______处取极小值 _______. (4) 设A 和B 为可逆矩阵,00A X B ??= ??? 为分块矩阵,则1 X -= _______. (5) 设随机变量X 的分布函数为 0, 1,0.4,11,(){}0.8,13,1, 3.x x F x P X x x x <-??-≤
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 设21,cos , x t y t ?=+?=? 则22d y dx =__________. (2) 由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分 dz =__________. (3) 已知两条直线的方程是1123: 101x y z L ---==-；221:211 x y z L +-==,则过1L 且平行 于2L 的平面方程是__________. (4) 已知当0x →时,1 23 (1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =__________. (5) 设4阶方阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ?? ? ?= ?- ??? ,则A 的逆阵1A -=__________. 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲 线 2 2 11x x e y e --+= - ( ) | (A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数()f x 满足关系式20 ()ln 22x t f x f dt ?? = + ??? ? ,则()f x 等于 ( ) (A) ln 2x e (B) 2ln 2x e (C) ln 2x e + (D) 2ln 2x e + (3) 已知级数 1 1 (1) 2n n n a ∞ -=-=∑,211 5n n a ∞-==∑,则级数1 n n a ∞ =∑等于 ( ) (A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (4) 设D 是xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象限的部
历年考研数学一真题1987-2016 1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分) (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014?? ??=?????? A 求矩阵. B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A )a (B )1 a (C )1n a - (D )n a 九、（本题满分8分） 问,a b 为何值时,现线性方程组 123423423412340 221(3)2321 x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=- 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.
1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______. 三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B )12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关 (C )12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D )12,,,s αααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 七、（本题满分6分） 已知,=AP BP 其中100100000,210,001211???? ????==-????????-????B P 求5 ,.A A 八、（本题满分8分） 已知矩阵20000101x ????=?? ???? A 与20000001y ?? ??=????-??B 相似. (1)求x 与.y (2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设ln(13)x y -=+,则dy =＿＿＿＿＿＿. (2) 曲线2 x y e -=的上凸区间是＿＿＿＿＿＿. (3) 2 1 ln x dx x +∞ =? ＿＿＿＿＿＿. (4) 质点以速度2 sin()t t 米每秒作直线运动, 则从时刻1t = 秒到2 t =的路程等于＿＿＿＿＿＿米. (5) 1 10 1lim x x x e x e + →-=+＿＿＿＿＿＿. 二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 若曲线2 y x ax b =++和3 21y xy =-+在点(1,1)-处相切,其中,a b 是常数,则 ( ) (A) 0,2a b ==- (B) 1,3a b ==- (C) 3,1a b =-= (D) 1,1a b =-=- (2) 设函数2 , 01, ()2,12, x x f x x x ?≤≤=?-<≤?记0 ()(),02x F x f t dt x =≤≤?,则 ( ) (A) 32 , 013()12,1233x x F x x x x ?≤≤??=??+-<≤?? (B) 32 , 013 ()72,1262x x F x x x x ?≤≤??=??-+-<≤?? (C) 3 22 , 013 ()2,123 2x x F x x x x x ?≤≤??=??+-<≤?? (D) 32 , 013()2,122x x F x x x x ?≤≤??=??-<≤?? (3) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义,00x ≠是函数()f x 的极大点,则 ( ) (A) 0x 必是()f x 的驻点 (B) 0x -必是()f x --的极小点
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 0 11 lim cot ( )sin x x x x →-=_____________. (2) 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________. (3) 设sin x x u e y -=,则2u x y ???在点1(2,)π处的值为_____________. (4) 设区域D 为2 2 2 x y R +≤,则22 22()D x y dxdy a b +=??_____________. (5) 已知11(1,2,3),(1,,)23 αβ==,设T A αβ=,其中T α是α的转置,则n A =_________. 二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 设422 2 sin cos 1x M xdx x π π-=+?,3422(sin cos )N x x dx ππ-=+?,2342 2(sin cos )P x x x dx π π-=-?, 则 ( ) (A) N P M << (B) M P N << (C) N M P << (D) P M N << (2) 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的 ( ) (A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (3) 设常数0λ>,且级数 21 n n a ∞ =∑收敛, 则级数 1 (1) n n ∞ =-∑ ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与λ有关 (4) 2 tan (1cos )lim 2ln(12)(1) x x a x b x c x d e -→+-=-+-,其中220a c +≠,则必有 ( ) (A) 4b d = (B) 4b d =- (C) 4a c = (D) 4a c =- (5) 已知向量组1234αααα、、、线性无关,则向量组 ( ) (A) 12αα+、23αα+、34αα+、41αα+线性无关
2008年考研数学一真题 一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)设函数,则的零点个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】B。 【解析】 且，则是唯一的零点 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数 (2)函数在点处的梯度等于 (A) (B) (C) (D) 【答案】A。 【解析】
所以 综上所述，本题正确答案是A。 【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度 (3)在下列微分方程中，以 为通解的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。 【解析】 由通解表达式 可知其特征根为 可见其对应特征方程为 故对应微分方程为 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—常微分方程—高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 (4)设函数在内单调有界，为数列，下列命题正 确的是 (A)若收敛，则收敛
(B)若单调，则收敛 (C)若收敛，则收敛 (D)若单调，则收敛 【答案】B。 【解析】 【方法一】 由于单调，单调有界，则数列单调有界，根据单调有界准则知数列收敛。 【方法二】 排除法：若取,,则显然单调， 收敛，但，显然不收敛，排除A。 若取,显然收敛且单调，但不收敛，排除C和D。 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 (5)设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵，若,则 (A)不可逆，不可逆 (B)不可逆，可逆
(C)可逆，可逆 (D)可逆，不可逆 【答案】C。 【解析】 因为 所以可知可逆，可逆 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】线性代数—矩阵—矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件 (6)设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 在正交变换下的标准方程的图形如右图所示， 则的正特征值的个数为 (A) (B)1 (C)2 (D)3 【答案】B。 【解析】 所给图形为双叶双曲线，标准方程为 二次型正交变换化为标准形时，其平方项的系数就是的特征
1991年数学三试题 一、填空题 (1)设sin ,xy z e =则dz =_______. (2)设曲线()3f x x ax =+与()2g x bx c =+都通过点()10,,?且在点()10,?有公共 切线,则a =_______,b =_______,c =_______. (3)设()x f x xe =,则()()n f x 在点x =_______处取极小值_______. (4)设A 和B 为可逆矩阵,00A X B ??=???? 为分块矩阵,则1X ?=_______.(5)设随机变量X 的分布函数为0,1,0.4,11,(){}0.8,13,1, 3.x x F x P X x x x
1991年数学四试题 一、填空题 (1)设sin xy z e ,=则dz =________. (2)设曲线()3f x x ax =+与()2g x bx c =+都通过点()10,,?且在点()10,?有公共切线,则a =________,b =________,c =________. (3)设()x f x xe =,则()()n f x 在点x = 处取极小值________.(4)n 阶行列式0000000000000000a b a b a a b b a ????????=????????????????????_____. (5)设A,B 为随机事件,()()0703P A .,P A B .,=?=___P AB ??=????________.二、选择题 (1)下列各式中正确的是 ()(A)01lim 11x x x +→??+=????(B)01lim 1x x e x +→??+=????(C)1lim 1x x e x →∞???=?????(D)1lim 1x x e x ?→∞??+=????(2) 设数列的通项为1 n n x ,n n =????为奇数，为偶数，，则当n →∞时,n x 是()(A)无穷大量(B)无穷小量 (C)有界变量(D)无界变量 (3)设A,B 为n 阶方阵,满足等式0AB =,则必有 ()(A)0A =或0 B =(B)0A B +=(C)0A =或0B =(D)0 A B +=(4)设A 是m n ×矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是() (A)若0Ax =仅有零解,则Ax b =有唯一解
1 / 26 历年考研数学一真题1987-2016 1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分) (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014?? ??=?????? A 求矩阵. B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A )a (B )1a (C )1n a - (D )n a 九、（本题满分8分） 问,a b 为何值时,现线性方程组 123423423412340 221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=- 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解. 1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______. 三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B )12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关 (C )12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示