2008年考研数学一真题
一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)设函数,则的零点个数为
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
【答案】B。
【解析】
且，则是唯一的零点
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数
(2)函数在点处的梯度等于
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A。
【解析】
所以
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度
(3)在下列微分方程中，以
为通解的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D。
【解析】
由通解表达式
可知其特征根为
可见其对应特征方程为
故对应微分方程为
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—常微分方程—高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程
(4)设函数在内单调有界，为数列，下列命题正
确的是
(A)若收敛，则收敛
(B)若单调，则收敛
(C)若收敛，则收敛
(D)若单调，则收敛
【答案】B。
【解析】
【方法一】
由于单调，单调有界，则数列单调有界，根据单调有界准则知数列收敛。
【方法二】
排除法：若取,,则显然单调，
收敛，但，显然不收敛，排除A。
若取,显然收敛且单调，但不收敛，排除C和D。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则
(5)设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵，若,则
(A)不可逆，不可逆
(B)不可逆，可逆
(C)可逆，可逆
(D)可逆，不可逆
【答案】C。
【解析】
因为
所以可知可逆，可逆
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件
(6)设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程
在正交变换下的标准方程的图形如右图所示，
则的正特征值的个数为
(A) (B)1
(C)2 (D)3
【答案】B。
【解析】
所给图形为双叶双曲线，标准方程为
二次型正交变换化为标准形时，其平方项的系数就是的特征
值，可知的正特征值的个数为1
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】线性代数—二次型—次型的标准形和规范形
(7)设随机变量独立同分布，且的分布函数为,则
的分布函数为
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A。
【解析】
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—随机变量的独立性和不相关性，两个及两个以上随机变量简单函数的分布
(8)设随机变量,且相关系数,则
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D。
【解析】
由相关系数的性质可知：
如果则必有
可得
已知,所以,得
又
而
所以
即
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量函数的数学期望矩、协方差、相关系数及其性质
二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。）
(9)微分方程满足条件的解是。
【答案】。
【解析】
分离变量得,l两边积分有
利用条件，，解得
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—常微分方程—变量可分离的微分方程(10)曲线在点处的切线方程是。
【答案】
【解析】
先求曲线在点处的斜率
等式两端对求导得
在上式中，将代入可得
所以曲线在该点处的切线方程为即
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数的几何意义和物理意义
(11)已知幂级数在处收敛，在处发散，则
幂级数的收敛域为。
【答案】。
【解析】
由题设可知，幂级数在处收敛，在处发散,即时，幂级数收敛。
对于幂级数，则收敛区间为
又幂级数在处收敛，在处发散，
所以对于幂级数收敛域为。
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—无穷级数—幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域
(12)设曲面是的上侧，则
。
【答案】。
【解析】
补曲面,取下侧，记
则
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用，两类曲面积分的概念、性质及计算(13)设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，
，则的非零特征值为。
【答案】1。
【解析】
【方法一】
定义法：由
可得矩阵的特征值为，因此的非零特征值为。
【方法二】
矩阵相似：
可知，的特征值易得为，所以可得矩阵的特征值为，因此的非零特征值为。
综上所述，本题正确答案是。
【考点】线性代数—矩阵的特征值和特征向量—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，相似变换、相似矩阵的概念及性质
(14)设随机变量服从参数为1的泊松分布，则
。
【答案】
【解析】由已知，有,所以
所以
综上所述，本题正确答案是。
【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—一维随机变量及函数的数字特征
三、解答题：小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(15)（本题满分9分）
求极限
【解析】
【方法一】
（等价无穷小代换）
（洛必达法则）
（）
(等价无穷小代换)
【方法二】
（等价无穷小代换）
（变量代换）
（洛必达法则）
（等价无穷小代换）
【方法三】
由泰勒公式,可得
则，上式
【方法四】
（拉格朗日中值定理）
【方法五】
由于当时,,则
所以
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算
高等数学—一元函数微分学—微分中值定理，洛必达
(L'Hospital)法则
(16)（本题满分9分）
计算曲线积分,其中是曲线
上从点到点的一段。
【解析】
【方法一】
【方法二】
添加轴上从点到点的直线段，为与围成的封闭区域，则
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用，两类曲线积分的概念、性质及计算，格林(Green)公式
(17)（本题满分11分）
已知曲线求曲线距面最远和最近的点。
【解析】
设为曲线上任意一点，则点到面的距离为，即原题化为求在条件下的最值点，构造拉格朗日函数
解方程组
得，从而
得可能极值点：
有
根据几何意义，曲线上存在距面最远和最近的点，故所求点依次为。
【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的极值和条件极值
(18)（本题满分10分）
设函数连续，
(I)利用定义证明函数可导，且；
(II)当是以2为周期的周期函数时，证明函数
也是以2为周期的周期函数。
【解析】
(I)对于任意的,由于函数连续，所以
（积分中值定理）
其中介于和之间。
又,可知可导，且
(II)【方法一】
对于任意的，有
所以，
从而有（常数）
又
则，，即也是以2为周期的周期函数。
【方法二】
对于任意的，有
则
故也是以2为周期的周期函数。【方法三】
对于任意的，有
由于以2为周期，则
所以
故也是以2为周期的周期函数。【方法四】
对于任意的，有
则
故也是以2为周期的周期函数。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性
高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数(19)（本题满分11分）
将函数展开成余弦级数，并求
的和。
【解析】
因为是偶函数，于是,对有
所以
令,
故
【考点】高等数学—无穷级数—函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数，函数在上的正弦级数和余弦级数
(20)（本题满分10分）
设为3维列向量，矩阵,其中分别是的转置。证明：
(I)秩；
(II)若线性相关，则秩。
【解析】
(I)因为为3维列向量，所以都是3阶矩阵，
且秩
那么
(II)线性相关，则设
于是，
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的秩
(21)（本题满分12分）
设元线性方程组，其中
(I)证明行列式；
(II)当为何值时，该方程组有唯一解，并求；
(III)当为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。
【解析】
(I)数学归纳法：
记阶行列式的值为
当时,命题正确；
当时，,命题正确
设时，命题正确
当时，按第一列展开，则有
2０08年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一）试卷 一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内．） (1）设函数2 0()ln(2)x f x t dt =+?则()f x '的零点个数 (Ａ）0 ???? ? ?(B)1 ? ? (C)２?? ? ?? ??（D)３ (２)函数(,)arctan x f x y y =在点(0,1)处的梯度等于 (A ）i ?? ?? ????(B)－i ? （C)j ? ?????（Ｄ)-j (3)在下列微分方程中,以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是 (Ａ)440y y y y ''''''+--= ? (B)440y y y y ''''''+++= (Ｃ)440y y y y ''''''--+= ? ?(Ｄ)440y y y y ''''''-+-= (4)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,{}n x 为数列,下列命题正确的是 (A ）若{}n x 收敛,则{}()n f x 收敛 ??（Ｂ)若{}n x 单调,则{}()n f x 收敛 (C ）若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛 ??(D)若{}()n f x 单调,则{}n x 收敛 (5）设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ,则 (A)-E A 不可逆，+E A 不可逆? ? (B)-E A 不可逆,+E A 可逆 ?(C ）-E A 可逆,+E A 可逆? ? ?(D ）-E A 可逆,+E A 不可逆 （6）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 (,,)1x x y z y z ?? ? = ? ??? A 在正交变换下的标准方程的图形如图,则 A 的正特征值个数为 (A ）0 (B)1 (Ｃ)2? (D)３ （7)设随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ,则{}max ,Z X Y =分布函数为 (Ａ)()2F x ? ? ? ??(Ｂ) ()()F x F y (C) ()2 11F x --????? ??? ?(D) ()()11F x F y --???????? (8)设随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=,则 (A){}211P Y X =--= ?? ?(Ｂ）{}211P Y X =-= (C ）{}211P Y X =-+= ? ???（D){}211P Y X =+= 二、填空题(9-14小题,每小题4分,共２４分，请将答案写在答题纸指定位置上.) (9）微分方程0xy y '+=满足条件()11y =的解是y = . (10）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （11）已知幂级数()0 2n n n a x ∞ =+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散,则幂级数() 3n n n a x ∞ =-∑的收敛域为 . （12)设曲面∑是224z x y =--,则2xydydz xdzdx x dxdy ∑ ++=?? . （1３)设A 为２阶矩阵,12,αα为线性无关的２维列向量,12120,2==+A αA ααα,则A 的非零特征值为 . （14)设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,则{}2P X EX == .
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设0a b <<，则( ) 10 lim n n n n a b --→+（ ） ()A a . ()B 1a -. ()C b . ()D 1b -. （2）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0 ()()x f t dt g x x = ?的（ ） ()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点. ()C 无穷. ()D 振荡. （3）设()f x 是连续奇函数，()g x 是连续偶函数，区域 { (,)01,D x y x y =≤≤≤≤则正确的（ ） ()A ()()0D f y g x dxdy =??. ()B ()()0D f x g y d x d y = ??. ()C [()()]0D f x g y dxdy +=??. ()D [()()]0D f y g x dxdy +=??. （4）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分 '0 ()a xf x dx ? （ ） ()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积. ()D 三角形ACD 面积. （5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若3 0A =，则（ ） ()A E A -不可逆，E A +不可逆. ()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆. ()D E A -可逆，E A +不可逆. （6）设1221A ?? = ??? ，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-?? ?-?? ()B 2112-?? ?-?? ()C 2112?? ? ?? ()D 1221-?? ?-??. （7）随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =的分布函数为（ ） ()A ()2F x . ()B ()()F x F y .
2008年考研数学（三）真题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0 ()()x f t dt g x x = ?的（ ） ()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点. ()C 无穷间断点. ()D 振荡间断点. （2）曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分 ()a t af x dx ? 等于 （ ） ()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积. ()D 三角形ACD 面积. （3 ）已知(,)f x y = （A ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都存在 （B ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在 （C ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在 （D ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在 （4）设函数f 连续，若22(,)uv D f u v = ?? ，其中uv D 为图中阴影部分，则 F u ?=?（ ） （A ）2 ()vf u （B ） 2()v f u u （C ）()vf u （D ）()v f u u （5）设A 为阶非0矩阵E 为阶单位矩阵若3 0A =，则（ ） ()A E A -不可逆，E A +不可逆. ()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆. ()D E A -可逆，E A +不可逆. （6）设1221A ?? = ???则在实数域上域与A 合同矩阵为（ ） ()A 2112-?? ?-?? . ()B 2112-?? ?-?? . ()C 2112?? ??? . ()D 1221-?? ?-?? . （7）随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（ ）
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 （1 ）若函数10(),0x f x ax b x ?->? =??≤? 在0x =处连续，则（ ） (A)12ab = (B)1 2 ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（ ） (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- (C)()()11f f >- (D)()()11f f <- （3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（ ） (A)12 (B)6 (C)4 (D)2 （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则（ ） (A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t > () s （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ） (A) T E αα-不可逆 (B) T E αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆 (D)2T E αα-不可逆 （6）已知矩阵200021001A ????=?????? 2 100200 1B ??? ?=? ?????100020002C ?? ??=?????? ，则（ ）
2008年考研数学一真题 一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)设函数f (x )= ∫ln?(2+t)dt x 2 ,则f′(x)的零点个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】B 。 【解析】 f ′(x )=2x?ln?(2+x 2)且ln?(2+x 2)≠0，则x =0是f′(x)唯一的零点 综上所述，本题正确答案是B 。 【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数 (2)函数f (x,y )=arctan x y 在点(0,1)处的梯度等于 (A )i (B )?i (C )j (D )?j 【答案】A 。 【解析】 gradf (x,y )=ef(x,y)ex i +ef(x,y)ey j ef(x,y)ex =1 y 1+(x y )2=y x 2+y 2?,ef(x,y)ey =? x y 2 1+(x y ) 2=?x x 2+y 2 所以gradf (x,y )|(0,1)=f ′x (0,1)i +f ′y (0,1)j =1?i +0?j =i 综上所述，本题正确答案是A 。
【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度 (3)在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1,C2,C3 为任意常数)为通解的是 (A)y′′′+y′′?4y′?4y=0(B)y′′′+y′′+4y′+4y=0 (C)y′′′?y′′?4y′+4y=0(D)y′′′?y′′+4y′?4y=0 【答案】D。 【解析】 由通解表达式y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x 可知其特征根为λ1=1,λ2,3=±2i 可见其对应特征方程为(λ?1)(λ2+4)=λ3?λ2+4λ?4=0故对应微分方程为y′′′?y′′+4y′?4y=0 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—常微分方程—高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 (4)设函数f(x)在(?∞,+∞)内单调有界，{x n}为数列，下列命题正确 的是 (A)若{x n}收敛，则{f(x n)}收敛 (B)若{x n}单调，则{f(x n)}收敛 (C)若{f(x n)}收敛，则{x n}收敛 (D)若{f(x n)}单调，则{x n}收敛 【答案】B。 【解析】
2008年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)设函数2 ()ln(2)x f x t dt =+? 则()f x '的零点个数 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (2)函数(,)arctan x f x y y =在点(0,1)处的梯度等于 (A)i (B)-i (C)j (D)-j (3)在下列微分方程中,以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是 (A)440y y y y ''''''+--= (B)440y y y y ''''''+++= (C)440y y y y ''''''--+= (D)440y y y y ''''''-+-= (4)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,{}n x 为数列,下列命题正确的是 (A)若{}n x 收敛,则{}()n f x 收敛 (B)若{}n x 单调,则{}()n f x 收敛 (C)若{}()n f x 收敛,则{}n x 收敛 (D)若{}()n f x 单调,则{}n x 收敛 (5)设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ,则 (A)-E A 不可逆,+E A 不可逆 (B)-E A 不可逆,+E A 可逆 (C)-E A 可逆,+E A 可逆 (D)-E A 可逆,+E A 不可逆 (6)设A 为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程 (,,)1x x y z y z ?? ? = ? ??? A 在正交变换下的标准方程的图形如 图,则A 的正特征值个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
2008年考研数学一真题 一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)设函数,则的零点个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】B。 【解析】 且，则是唯一的零点 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数 (2)函数在点处的梯度等于 (A)(B) (C)(D) 【答案】A。 【解析】
所以 综上所述，本题正确答案是A。 【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度 (3)在下列微分方程中，以 为通解的是 (A)(B) (C)(D) 【答案】D。 【解析】 由通解表达式 可知其特征根为 可见其对应特征方程为 故对应微分方程为 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—常微分方程—高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程
(4)设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确 的是 (A)若收敛，则收敛 (B)若单调，则收敛 (C)若收敛，则收敛 (D)若单调，则收敛 【答案】B。 【解析】 【方法一】 由于单调，单调有界，则数列单调有界，根据单调有界准则知数列收敛。 【方法二】 排除法：若取,,则显然单调， 收敛，但，显然不收敛，排除A。 若取,显然收敛且单调，但不收敛，排除C和D。 综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 (5)设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵，若,则 (A)不可逆，不可逆 (B)不可逆，可逆 (C)可逆，可逆 (D)可逆，不可逆 【答案】C。 【解析】 因为 所以可知可逆，可逆 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】线性代数—矩阵—矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件 (6)设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程
2008-2019年考研数学一 真题答案及解析 目录 2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (2) 2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (6) 2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (10) 2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (14) 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (18) 2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (21) 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (25) 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (29) 2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (34) 2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (38) 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (42) 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (46) 1
2 2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。 （1）当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k = （A ）1. （B ）2. （C ）3. （D ）4. （2）设函数(),0, ln ,0,x x x f x x x x ?≤?=?>??则0x =是()f x 的 A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点. C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点. （3）设{}n u 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是 A.1m n n u n =∑ B.() 1 11m n n n u =-∑ C.111m n n n u u =+??- ?? ?∑ D.()22 11 m n n n u u +=-∑ （4）设函数()2,x Q x y y = .如果对上半平面()0y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有()(),,0C P x y dx Q x y dy +=??，那么函数(),P x y 可取为 A.2 3x y y -. B.231x y y -. C.11x y -. D.1x y - . （5）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3 阶单位矩阵。若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形为 A.222123y y y ++. B.222 123y y y +- C.222123y y y -- D.222123y y y --- （6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，他们的方程()1231,2,3i i i i a x a y a z d i +++= 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则 A.()()2,3r A r A == B.()() 2,2r A r A == C.()()1,2r A r A == D.()() 1,1r A r A ==
2008年考研数学二试题分析、详解和评注 一，选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设2()(1)(2)f x x x x =-+，则()f x '的零点个数为【 】． (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(D). 【详解】322()434(434)f x x x x x x x '=+-=+-． 令()0f x '=，可得()f x '有三个零点．故应选(D). (2)曲线方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0 ()a xf x dx '? 在几何上 表示【 】． (A) 曲边梯形ABCD 的面积． (B) 梯形ABCD 的面积． (C) 曲边三角形ACD 面积． (D) 三角形ACD 面积． 【答案】 应选(C). 【详解】 '0 ()()()()a a a xf x dx xdf x af a f x dx ==-? ??， 其中()af a 是矩形面积，0 ()a f x dx ? 为曲边梯形的面积， 所以' ()a xf x dx ?为曲边三角形ACD 的面积．故应选(C). (3)在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【 】． (A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=. (C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D). 【详解】由123cos2sin2x y C e C x C x =++，可知其特征根为 11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为 2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+ 3244λλλ=+-- 32444λλλ=-+- 所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).
2008年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则' ()f x 的零点个数为（ ） ()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3 （2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0()a t af x dx ?（ ） ()A 曲边梯形ABOD 面积. ()B 梯形ABOD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积. ()D 三角形ACD 面积. （3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ） ()A ''''''440y y y y +--= ()B ''''''440y y y y +++= ()C ''''''440y y y y --+= ()D ''''''440y y y y -+-= （5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ） ()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛. ()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛. （6）设函数f 连续，若2222(,)uv D F u v dxdy x y = +??，其中区域uv D 为图中阴影部分，则 F u ?=? ()A 2()vf u () B 2()v f u u ()C ()vf u ()D ()v f u u
2008年考研数学二真题及参考答案 一，选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设2 ()(1)(2)f x x x x =-+，则()f x '的零点个数为【 】． (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(D). 【详解】3 2 2 ()434(434)f x x x x x x x '=+-=+-． 令()0f x '=，可得()f x '有三个零点．故应选(D). (2)曲线方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0 ()a xf x dx '? 在几何上 表示【 】． (A) 曲边梯形ABCD 的面积． (B) 梯形ABCD 的面积． (C) 曲边三角形ACD 面积． (D) 三角形ACD 面积． 【答案】 应选(C). 【详解】 '0 ()()()()a a a xf x dx xdf x af a f x dx ==-? ??， 其中()af a 是矩形面积，0 ()a f x dx ? 为曲边梯形的面积，所以' ()a xf x dx ?为曲边三角形ACD 的面积．故应选(C). (3)在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通 解的是【 】． (A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=. (C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D). 【详解】由123cos 2sin 2x y C e C x C x =++，可知其特征根为 11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为 2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+ 3244λλλ=+-- 32444λλλ=-+- 所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题详解 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0 ()()x f t dt g x x = ?的（ ） ()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点. ()C 无穷间断点. ()D 振荡间断点. 解：B 分析：()()0 ()lim ()lim lim 0x x x x f t dt g x f x f x →→→===?，所以0x =是函数()g x 的可去间断点。 （2）设f 连续，221x y +=，222x y u +=，1u >，则()222 2 ,D f u v F u v dudv u v +=+， 则 F u ?=?（ ） ()A ()2vf u ()B ()v f u ()C ()2v f u u () D ()v f u u 解：选A 分析；用极坐标得()222() 222 01 1 ,()v u u f r r D f u v F u v dudv dv rdr v f r dr u v += ==+?? ? ()2F vf u u ?=? （3）设24 (,)x y f x y +=则函数在原点偏导数存在的情况是( ) ()A (0,0),(0,0)x y f f ''存在存在 ()B (0,0),(0,0)x y f f ''存在不存在 ()C (0,0),(0,0)x y f f ''不存在存在 ()D (0,0), (0,0)x y f f ''不存在不存在 解： C 分析： 011(0,0)lim lim 00 x x x x e f x x →→--'==--00011lim lim 100x x x x e e x x →+→+--==--， 001 lim 10 x x e x -→--=--
2008年研究生入学统一考试数学二试题与答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设2 ()(1)(2)f x x x x =--，则' ()f x 的零点个数为（ ） ()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3 （2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分 ()a t af x dx ? （ ） ()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积. ()D 三角形ACD 面积. （3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ） ()A ''''''440y y y y +--= ()B ''' '' ' 440y y y y +++= ()C ''''''440y y y y --+= ()D ''''''440y y y y -+-= （5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ） ()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛. ()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛. （6）设函数f 连续，若2222 ()(,)uv D f x y F u v dxdy x y += +?? ，其中区域uv D 为图中阴影部分，则 F u ?=? ()A 2()vf u () B 2()v f u u ()C ()vf u ()D ()v f u u （7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若3 0A =，则（ ） ()A E A -不可逆，E A +不可逆. ()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆. ()D E A -可逆，E A +不可逆.