1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)
(1) 设21,cos ,
x t y t ?=+?=? 则22d y dx =__________.
(2)
由方程xyz +
=(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分
dz =__________.
(3) 已知两条直线的方程是1123:
101x y z L ---==-；221:211
x y z
L +-==,则过1L 且平行于2L 的平面方程是__________.
(4) 已知当0x →时,123
(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =__________.
(5) 设4阶方阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ?? ?
?= ?- ???
,则A 的逆阵1A -=__________.
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲线2
2
11x x e y e
--+=
- ( )
(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线
(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数()f x 满足关系式20
()ln 22x
t f x f dt ??
=
+ ???
?
,则()f x 等于 ( ) (A) ln 2x
e (B) 2ln 2x
e
(C) ln 2x
e + (D) 2ln 2x
e +
(3) 已知级数
1
1
(1)
2n n n a ∞
-=-=∑,211
5n n a ∞-==∑,则级数1
n n a ∞
=∑等于 ( )
(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9
(4) 设D 是xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象
限的部分,则
(cos sin )D
xy x y dxdy +??等于 ( )
(A) 1
2
cos sin D x ydxdy ?? (B) 1
2D xydxdy ??
(C) 1
4
(cos sin )D xy x y dxdy +?? (D) 0
(5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E = (B) CBA E =
(C) BAC E = (D) BCA E =
三、(本题满分15分,每小题5分.)
(1)
求0
lim x x π
+
→. (2) 设n 是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数
u =
P 处沿方向n 的方向导数. (3) 2
2
()x y z dV Ω
++???,其中Ω是由曲线22,
0y z x ?=?=?绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面
4z =所围成的立体.
四、(本题满分6分)
在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线L ,使沿该曲线从
O 到A 的积分3(1)(2)L
y dx x y dy +++?的值最小.
五、(本题满分8分.)
将函数()2||(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数
2
11
n n
∞
=∑的和.
六、(本题满分7分.)
设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1
23
3
()(0)f x dx f =?
,证明在(0,1)内存在
一点c ,使()0f c '=.
七、(本题满分8分.)
已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)a α=-+,4(1,2,4,8)a α=+,及
(1,1,3,5)b β=+.
(1) a 、b 为何值时,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合？
(2) a 、b 为何值时,β有1234αααα、、、的唯一的线性表示式？并写出该表示式.
八、(本题满分6分)
设A 为n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明A E +的行列式大于1.
九、(本题满分8分)
在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.
十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)
(1) 若随机变量X 服从均值为2,方差为2
σ的正态分布,且{}240.3P X <<=,则
{}0P X <=_______.
(2) 随机地向半圆0y <<
(a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概
率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4
π
的概率为_______.
十一、(本题满分6分)
设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为
(2)2, 0,0
(,)0, x y e x y f x y -+?>>=??其他
,
求随机变量2Z X Y =+的分布函数.
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】
3
sin cos 4t t t
t
- 【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即 如果 ()()x t y t φ?=??
=?
, 则 ()
()dy t dx t ?φ'=
'. 所以 sin 2dy
dy t
dt dx dx t dt
-==
, 再对x 求导,由复合函数求导法则得
22
sin 1
()()22d y d dy dt d t dx dt dx dx dt t t
-=?=? 23
2cos 2sin 1sin cos 424t t t t t t
t t t
-+-=
?=. (2)
【答案】dx
【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点(1,0,1)-的含义是(1,0)1z z ==-. 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得
222()0d xyz +
=,
再由全微分四则运算法则得
()()xy dz ydx xdy z ++=,
令1,0,1x y z ===-,
得dy =
即dz dx =. (3)【答案】320x y z -++=
【解析】所求平面∏过直线1L ,因而过1L 上的点(1,2,3)；
因为∏过1L 平行于2L ,于是∏平行于1L 和2L 的方向向量,即∏平行于向量1(1,0,1)l =-
和向量2(2,1,1)l =
,且两向量不共线,于是平面∏的方程
12310102
1
1
x y z ----=, 即320x y z -++=. (4)【答案】32
-
【解析】因为当0x →时,11sin ,(1)1n
x x x x n
+-
, 当0x →时2
0ax →,所以有
122223
111(1)1,cos 1sin ,322
ax ax x x x +--=--
所以 1223
002
1(1)12
3lim lim 1cos 132
x x ax
ax a x x →→+-==---.
因为当0x →时,123
(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,所以213a -
=,故32
a =-. (5)【答案】120
025
00120033110033-??
?- ? ?
?
?
?-
???
. 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.
注意： 1
110000
A A
B B ---????
=
? ?????,1
110
00A B B A
---??
??= ? ?????
. 对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：a b A c d ??
=
???
,则求A 的伴随矩阵
*a b d b A c d c a *
-????== ? ?-????
.
如果0A ≠,这样
1
11
a b d b d b c d c a c a A ad bc
---??????
== ? ?
?---??????
. 再利用分块矩阵求逆的法则：1
110000
A A
B B ---??
??
=
? ?????
,易见 1120025
001200
33110033A --??
?- ? ?= ?
?
?-
??
?
.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)
【解析】由于函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,
2
2
2
2
11lim lim
lim
11
x x x x x x x e e y e
e --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,
2
2
2
2
11lim lim
lim
111
x x x x x x x e e y e
e --→∞
→∞
→∞
++====--,所以1y =为水平渐近线.
所以选(D).
【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0
lim ()x x f x →=∞,则
0x x =是函数的一条铅直渐近线；
水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞
=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.
(2)【答案】(B) 【解析】令2
t
u =
,则2,2t u dt du ==,所以 20
()ln 22()ln 22x
x t f x f dt f u du ??
=+=+ ???
?
?,
两边对x 求导,得()2()f x f x '=,这是一个变量可分离的微分方程,即
[()]
2()
d f x dx f x =.解之得2()x
f x Ce =,其中C 是常数.
又因为0
(0)2()ln 2ln 2f f u du =
+=?
,代入2()x f x Ce =,得0(0)ln 2f Ce ==,得
ln 2C =,即2()ln 2x f x e =?.
(3)【答案】(C) 【解析】因为
1
12342121
(1)
n n n n n a a a a a a a ∞
--=-=-+-++-+∑
1234212()()()n n a a a a a a -=-+-++-+ 21
22121
1
1
()n n n n n n n a
a a a ∞
∞∞
--====
-=-∑∑∑(收敛级数的结合律与线性性质),
所以
122111
1
(1)523n n
n n n n n a
a a ∞
∞
∞
--====--=-=∑∑∑.
而
12342121
()()()n
n n n a
a a a a a a ∞
-==+++++++∑
21
22121
1
1
()n n n n n n n a
a a a ∞
∞∞
--====+=+∑∑∑538=+=,
故应选(C).
(4)【答案】(A)
【解析】如图,将区域D 分为1234,,,D D D D 四个子区域. 显然,12,D D 关于y 轴对称,34,D D 关于x 轴对称.
令 12cos sin D
D
I xydxdy I x ydxdy ?=
??=??????,
由于xy 对x 及对y 都是奇函数,所以
12
34
0,
0D D D D xydxdy xydxdy ++==??
??
.
而cos sin x y 对x 是偶函数,对y 是奇函数,故有
34
12
1
cos sin 0,
cos sin 2cos sin D D D D D x ydxdy x ydxdy x ydxdy ++==??
????,
所以 1
1
2(cos sin )2cos sin D
D xy x y dxdy I
I x ydxdy +=+=????,
故选(A).
(5)【答案】(D)
【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.
由于A 、B 、C 均为n 阶矩阵,且ABC E =,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式
||||||1A B C =,得到0A ≠、0B ≠、0C ≠,知A 、B 、C 均可逆,那么,对于ABC E =,
先左乘1
A -再右乘A 有 1
ABC E BC A BCA E -=→=→=,故应选(D).
其实,对于ABC E =先右乘1C -再左乘C ,有1
ABC E AB C CAB E -=→=→=.
三、(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞
型未定式求极限
.
0lim(1x x x π
++
→→=+
令1t =,则0x +
→时0t -
→,所以
1
lim(1lim(1)t
x t t e +
-
→→+=+=, 所以
0lim
lim(1lim x x x e
→+
+
→→+==.
因为当0x →时,sin x x ,所以
2
2
0002sin 2lim
lim lim 2
x x x x x πππ+++→→→--????===-,
故
02
x x x e e
π
π
→+
-
→==.
(2)【解析】先求方向n 的方向余弦,再求
,,u u u
x y z
??????,最后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u n x y z
αβγ????=++????求出方向导数. 曲面2
2
2
236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的法向量为
{}
{}
{}(1,1,1)
4,6,24,6,222,3,1P
x y z x y z ±==±,
在点(1,1,1)P 处指向外侧,取正号,并单位化得
}}{}2,3,12,3,1cos ,cos ,cos .n αβγ=
=
= 又
P P P u x u y u z ?
??==
=
????
??===
?
?????===????
, 所以方向导数
cos cos cos u u u u
n x y z αβγ????=++????
11
7
=
=. (3)【解析】由曲线22,0
y z x ?=?=?绕z 轴旋转一周而围成的旋转面方程是22
2x y z +=.
于是,Ω是由旋转抛物面2
21()2
z x y =
+与平面4z =所围成.曲面与平面的交线是 228,4x y z +==.
选用柱坐标变换,令cos ,sin ,x r y r z z θθ===,于是
:02,04,0z r θπΩ≤≤≤≤≤≤,
因此 22()I x y z dV Ω=++???
4
220
)dz d r z rdr πθ=
+?
?
42
4
0242r r r r z dz π
=?????=+ ?
??????
? 4
20
256
43
z dz ππ==
?
.
四、(本题满分6分
)
【解析】曲线sin ,([0,])y a x x π= ∈,则cos dy a xdx =,所以 3(1)(2)L
I y dx x y dy =+++?
30
[1(sin )(2sin )cos ]a x x a x a x dx π
=+++??
2330
1sin 2cos sin 22a a x ax x x dx π
??=
+++ ???
?
2
3
3
sin 2cos sin 22
a a
xdx a x xdx xdx π
π
π
π=+++
??
?
2
3
2
(cos 1)cos 2sin sin 224
a a
x d x a xd x xd x π
π
π
π=+-++
?
?
?
[][]233
000
1cos cos 2sin cos cos 234a a x x a x x x x π
πππ??=+-+++-????
3
443
a a π=+
-. 对关于a 的函数3
443
I a a π=+-两边对a 求导数,其中0a >,并令0,I '=得
2440I a '=-=.
所以1a =, 且 0,01
0,1I a I a '<<
'><<+∞
?.
故1a =为函数3
44,(0)3
I a a a π=+
->的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 sin ,([0,])y x x π= ∈.
五、(本题满分8分.)
【解析】按傅式级数公式,先求()f x 的傅式系数n a 与n b .因()f x 为偶函数,所以
1()sin
0(1,2,3,)l n l n b f x xdx n l l π
-== =? , 012()cos
()cos l l n l n n a f x xdx f x xdx l l l l ππ
-==?? 111
00022(2)cos 4cos sin x n xdx n xdx xd n x n ππππ
=+=+??? 122
022(cos 1)
sin (1,2,3,)n n xdx n n n ππππ-=-
= =? ,
1
00
2(2)5a x dx =+=?.
因为()2||f x x =+在区间(11)x -≤≤上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以
01()2||cos sin
2n n n a n n f x x a x b x l l
ππ
∞=??
=+=++ ???
∑ 22152(cos 1)
cos 2n n n x n πππ∞=-=+∑
2
2
154
1
cos(21)(11)2(21)
n n x x n ππ
∞
==-- -≤≤-∑. 令0x =,有2
2
154
1
(0)20cos02(21)n f n π
∞
==+=--∑,所以,2211(21)8n n π∞
==-∑. 又 2222
21111111111
(21)
(2)(21)4n n n n n n n n n ∞
∞
∞∞====??=+=+??--??∑∑∑∑, 所以, 2213148n n π∞==∑,即 2
2116n n
π∞
==∑.
六、(本题满分7分.)
【解析】由定积分中值定理可知,对于
1
23
()f x dx ?
,在区间2
(,1)3
上存在一点ξ使得
1
23
21
()()(1)()33
f x dx f f ξξ=-=?
,
即123
3()()(0)f x dx f f ξ==?.
由罗尔定理可知,在区间(0,1)内存在一点(01)c c ξ<<<,使得()0f c '=.
七、(本题满分8分)
【解析】设11223344x x x x ααααβ+++=,按分量写出,则有
12342334
1234123412123(2)4335(8)5
x x x x x x x x x a x x b x x x a x α+++=??-+=??
++++=+??++++=?.
对方程组的增广矩阵作初等行变换:
第一行分别乘以有()2-、()3-加到第三行和第四行上,再第二行乘以()1-、()2-加到第三行和第四行上,有
111111
1111011210
112123243
0121351850
2252A a b a b a a ????
?
?
--
? ?
=→ ? ?+++ ?
?
+-+???? 1
11110112100100
0010a b a ??
?- ?→ ?+ ?+??
, 所以,当1,0a b =-≠时,()1()r A r A +=,方程组无解.即是不存在1234x ,x ,x ,x 使得
11223344x x x x ααααβ+++=成立,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合；
当1a ≠-时,()() 4.r A r A ==方程组有唯一解21,,,0111T
b a b b a a a ++??
- ?+++??
,
故β有唯一表达式,且1234210111
b a b b
a a a βαααα++=-
+++?+++. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设A 是m n ?矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b = 的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα 线表出,亦等同于12,,,n ααα 与12,,,,n b ααα 是等价向量组).
设A 是m n ?矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ? ()().r A r A n == (2) 有无穷多解 ? ()().r A r A n =< (3) 无解 ? ()1().r A r A +=
? b 不能由A 的列向量12,,,n ααα 线表出.
八、(本题满分6分)
【解析】方法1：因为A 为n 阶正定阵,故存在正交矩阵Q ,使
121T N Q AQ Q AQ λλλ-?? ?
?==Λ= ? ?
?
? , 其中0(1,2,)i i n λ>= ,i λ是A 的特征值. 因此 ()T T T Q A E Q Q AQ Q Q E +=+=Λ+
两端取行列式得 |||||||||()|||(1)T T i
A E Q A E Q Q A E Q E λ+=+=+=Λ+=+∏,
从而 ||1A E +>.
方法2：设A 的n 个特征值是12n ,,,.λλλ 由于A 为n 阶正定阵,故特征值全大于0.
由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端同时加上α,
得()()1A E αλα+=+.按特征值定义知1λ+是A E +的特征值.因为A E +的特征值是
12111n ,,,.λλλ+++ 它们全大于1,根据i A λ=∏,知||(1)1i A E λ+=+>∏.
【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列
向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.
九、(本题满分8分)
【解析】曲线()y y x =在点(,)P x y 处的法线方程为
1
()Y y X x y -=-
-'
(当0y '≠时), 它与x 轴的交点是(,0)Q x yy '+,从而
122
||(1)PQ y y '==+.
当0y '=时,有(,0),||Q x PQ y =,上式仍然成立. 因此,根据题意得微分方程
31222
2
1(1)
(1)
y y y y ''=
''++,
即2
1yy y '''=+.这是可降阶的高阶微分方程,且当1x =时,1,0y y '==.
令()y P y '=,则dP y P
dy ''=,二阶方程降为一阶方程21dP yP P dy =+,即21PdP dy P y
=+.
即y =C 为常数.
因为当1x =时,1,0y P y '===,所以1C =,即y ==
所以y '=分离变量得
dx =±.
令sec y t =,并积分,则上式左端变为
sec tan ln sec tan tan t tdt
t t C t
==++?
ln sec ln t C y C =+=+.
因曲线在上半平面,所以0y >,即(ln y C x =±.
故 x y Ce ±+
=.
当1x =时,1,y =
当x 前取+时,1
C e -=,1x y e -=,
1
1
1x x y e e --=
=
=
=；
当x 前取-时,C e =,1x y e -++
=,
1
11x x
y e e --=
=
=
=；
所以 (1)(1)1()2
x x y e e ---=+.
十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)
(1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数μ和2
σ,否则应先根据题设条件求出μ,2
σ,再计算有关事件的概率,本题可从
2()0.8σΦ=,通过查()x Φ表求出σ,但是注意到所求概率(0)P x <即是2()σ-Φ与2()
σ
Φ之间的关系,可以直接由2()σΦ的值计算出2
(
)σ
-Φ.
因为2(2,)X N σ ,所以可标准化得 2
(0,1)X N σ
- ,
由标准正态分布函数概率的计算公式,有
42
22
(24)(
)(
)P x σ
σ
--<<=Φ-Φ,
2
()(24)(0)0.8P x σ
Φ=<<+Φ=.
由正态分布函数的对称性可得到 02
22
(0)(
)()1()0.2P x σ
σσ
-<=Φ=Φ-=-Φ=.
(2)【解析】设事件A =“掷的点和原点的连线与x 轴的夹角小于4
π
”, 这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式
()D
S P A S =
半圆
,而 212S a π=半圆,
22141124
D OAC S S S a a π=+=
+ 圆
, 故 22
2111124()122
a a
P A a πππ+==+.
十一、(本题满分6分)
【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有
{}{}2()2(,)x y z
F z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=
??
.
当0z ≤时,()0F z =.
因为2x y z +=在直线20x y +=的下方 与0,0x y >>(即第一象限)没有公共区域
所以()0F z =.
当0z >时,2x
y z +=在直线20x y +=
的上方与第一象限相交成一个三角形区域D ,此即为积分区间.
(2)
20
()2()1z x z
z
x y x z z z F z dx e
dy e e dx e ze --+----==-=--??
?.
0=
所以2Z X Y =+的分布函数 0, 0,
()1, 0. z z
z F z e ze z --
2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析（数三） 一、 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。 （1）()f x 是在(0,)+∞内单调增加的连续函数，对任何0b a >>，记()b a M xf x dx =?， 01 [()()]2b a N b f x dx a f x dx =+??，则必有（ ） （A ）M N ≥；（B ）M N ≤；（C ）M N =；（D ）2M N =； （2）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，在(,0)(0,)-∞+∞U 内可导，函数()y y x =的图像为 则其导数的图像为（ ） (A) (B)
(C) (D) (3)设有下列命题： ①若2121 ()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1 n n u ∞=∑收敛； ②若1 n n u ∞=∑收敛，则10001 n n u ∞ +=∑收敛； ③若1 lim 1n n n u u +→∞>，则1n n u ∞=∑发散； ④若1()n n n u v ∞=+∑收敛，则1n n u ∞=∑，1n n v ∞ =∑收敛 正确的是（ ） （A ）①②（B ）②③（C ）③④（D ）①④ (4)设22 0ln(1)() lim 2x x ax bx x →+-+=，则（ ） （A ）51,2a b ==-；（B ）0,2a b ==-；（C ）50,2 a b ==-；（D ）1,2a b ==- (5)设A 是n 阶矩阵，齐次线性方程组（I ）0Ax =有非零解，则非齐次线性方程组（II ） T A x b =，对任何12(,,)T n b b b b =L （A ）不可能有唯一解； （B ）必有无穷多解； （C ）无解； （D ）可能有唯一解，也可能有无穷多解 (6)设,A B 均是n 阶可逆矩阵，则行列式1020 T A B -?? -? ??? 的值为 （A ）1 (2)n A B --； （B ）2T A B -； （C ）12A B --； （D ）1 2(2)n A B -- (7)总体~(2,4)X N ，12,,,n X X X L 为来自X 的样本，X 为样本均值，则（ ） （A ）22 11()~(1)1n i i X X n n χ=---∑； （B ）221 1(2)~(1)1n i i X n n χ=---∑； （C ）22 12()~()2n i i X n χ=-∑； （D ）221 ()~()2n i i X X n χ=-∑； (8)设随机变量,X Y 相互独立且均服从正态分布2(,)N μσ，若概率1 ()2 P aX bY μ-<=则（ ） （A ）11,22a b ==；（B ）11,22a b ==-；（C ）11,22a b =-=；（D ）11 ,22 a b =-=-； 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。
2019最新考研数学模拟试题（含答案） 学校：__________ 考号：__________ 一、解答题 1． 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m 和6m ，高为20m ，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力． 解：如图20，建立坐标系，直线AB 的方程为 y =-x 10 +5． 压力元素为 d F =x ·2y d x =2x ??? ?-x 10+5d x 所求压力为 F =??0202x ????-x 10+5d x =? ???5x 2-115x 3200 =1467(吨) =14388(KN) 2．证明本章关于梯度的基本性质(1)~(5). 证明：略 3．一点沿对数螺线e a r ?=运动，它的极径以角速度ω旋转，试求极径变化率. 解： d d d e e .d d d a a r r a a t t ???ωω?=?=??= 4．一点沿曲线2cos r a ?=运动，它的极径以角速度ω旋转，求这动点的横坐标与纵坐标的变化率. 解： 22cos 2cos sin sin 2x a y a a ???? ?=?==? d d d 22cos (sin )2sin 2,d d d d d d 2 cos 22cos .d d d x x a a t t y y a a t t ???ωω????ωω??=?=??-?=-=?=?= （20）
5．椭圆22 169400x y +=上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相同？ 解：方程22169400x y +=两边同时对t 求导，得 d d 32180d d x y x y t t ? +?= 由d d d d x y t t -=. 得 161832,9y x y x == 代入椭圆方程得：29x =，163,.3x y =±=± 即所求点为1616,3,3,33????-- ? ???? ?. 6．设总收入和总成本分别由以下两式给出： 2()50.003,()300 1.1R q q q C q q =-=+ 其中q 为产量，0≤q ≤1000，求：(1)边际成本；(2)获得最大利润时的产量；(3)怎样的生产量能使盈亏平衡？ 解：(1) 边际成本为： ()(300 1.1) 1.1.C q q ''=+= (2) 利润函数为 2()()() 3.90.003300() 3.90.006L q R q C q q q L q q =-=--'=- 令()0L q '=,得650q = 即为获得最大利润时的产量. (3) 盈亏平衡时： R (q )=C (q ) 即 3.9q －0.003q 2－300=0 q 2－1300q +100000=0 解得q =1218(舍去)，q =82. 7．已知函数()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0f a f b ==，试证：在（a ，b ）内至少有一点ξ，使得 ()()0, (,)f f a b ξξξ'+=∈. 证明：令()()e ,x F x f x =?()F x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0F a F b ==，由罗尔定理知，(,)a b ξ?∈，使得()0 F ξ'= ，即()e ()e f f ξξξξ'+=,即()()0, (,).f f a b ξξξ'+=∈ 8．求下列曲线的拐点： 23(1) ,3;x t y t t ==+
考研数学二模拟题 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。 （1）当0x →时，设2 arctan x α=，11(0)a x a β=(+)-≠，2 arcsin x tdt γ=? ，把三个无 穷小按阶的高低由低到高排列起来，正确的顺序是（ ） （A ）,,αβγ；（B ）,,βγα；（C ）,,βαγ；（D ）,,γβα； （2）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，在(,0) (0,)-∞+∞内可导，函数()y y x =的图像为 则其导数的图像为（ ） (A) (B)
(C) (D) (3)若()f x 是奇函数，()x ?是偶函数，则[()]f x ?（ ） （A ）必是奇函数 （B ）必是偶函数 （C ）是非奇非偶函数 （D ）可能是奇函数也可能是偶函数 (4)设220ln(1)() lim 2x x ax bx x →+-+=，则（ ） （A ）51,2a b ==- ；（B ）0,2a b ==-；（C ）5 0,2 a b ==-；（D ）1,2a b ==- (5)下列说法中正确的是（ ） （A ）无界函数与无穷大的乘积必为无穷大； （B ）无界函数与无穷小的乘积必为无穷小； （C ）有界函数与无穷大之和必为无穷大； （D ）无界函数与无界函数的乘积必无解； (6)设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶线性非齐次方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 123,,C C C 为任意常数，则该方程的通解是（ ） （A ）112333C y C y C y ++； （B ）1123123()C y C y C C y +++； （C ）1123123(1)C y C y C C y +---；（D ）1123123(1)C y C y C C y ++--； (7)设A 是n 阶矩阵，齐次线性方程组（I ）0Ax =有非零解，则非齐次线性方程组（II ）T A x b =，对任何12(,, )T n b b b b = （A ）不可能有唯一解； （B ）必有无穷多解； （C ）无解； （D ）可能有唯一解，也可能有无穷多解
考研数学三模拟题 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。 （1）()f x 是在(0,)+∞内单调增加的连续函数，对任何0b a >>，记()b a M xf x dx =?， 01[()()]2b a N b f x dx a f x dx =+??(中间的加号改成减号)，则必有（ ） （A ）M N ≥；（B ）M N ≤；（C ）M N =；（D ）2M N =； （2）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，在(,0)(0,)-∞+∞U 内可导，函数()y y x =的图像为 则其导数的图像为（ ） (A) (B)
(C) (D) (3)设有下列命题： ①若 21 21 ()n n n u u ∞ -=+∑收敛，则1 n n u ∞=∑收敛； ②若1 n n u ∞=∑收敛，则10001 n n u ∞ +=∑收敛； ③若1 lim 1n n n u u +→∞>，则1n n u ∞=∑发散； ④若1()n n n u v ∞=+∑收敛，则1n n u ∞=∑，1n n v ∞ =∑收敛 正确的是（ ） （A ）①②（B ）②③（C ）③④（D ）①④ (4)设220ln(1)() lim 2x x ax bx x →+-+=，则（ ） （A ）51,2a b ==- ；（B ）0,2a b ==-；（C ）5 0,2 a b ==-；（D ）1,2a b ==- (5)设A 是n 阶矩阵，齐次线性方程组（I ）0Ax =有非零解，则非齐次线性方程组（II ）T A x b =， 对任何12(,,)T n b b b b =L （A ）不可能有唯一解； （B ）必有无穷多解； （C ）无解； （D ）可能有唯一解，也可能有无穷多解 (6)设,A B 均是n 阶可逆矩阵，则行列式1020 T A B -?? -? ??? 的值为 （A ）1 (2)n A B --； （B ）2T A B -； （ C ）12A B --； （ D ）1 2(2)n A B -- (7)总体~(2,4)X N ，12,,,n X X X L 为来自X 的样本，X 为样本均值，则（ ）
考研数学模拟测试题完 整版及答案解析数一 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析（数一） 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）当0x →时，下面4个无穷小量中阶数最高的是 （ ） 23545x x x ++ (C) 3 3 ln(1)ln(1)x x +-- (D) 1cos 0 x -? 【答案】（D ） 【解析】（A ）项：当0x → 2 2x = （B ）项：显然当0x →时，235 2454x x x x ++ （C ）项：当0x →时，3333 33333 122ln(1)ln(1)ln ln 12111x x x x x x x x x ??++--==+ ?---?? （D ）项： 1cos 3 110 0001(1cos )2lim lim lim k k k x x x x x x x x kx kx ---→→→→-?=== ? 所以，13k -=，即4k =时1cos 0 lim k x x -→?存在，所以4 1cos 0 8 x -? （2）下列命题中正确的是 （ ） (A) 若函数()f x 在[],a b 上可积，则()f x 必有原函数 (B)若函数()f x 在(,)a b 上连续，则()b a f x dx ?必存在 (C)若函数()f x 在[],a b 上可积，则()()x a x f x dx Φ=?在[],a b 上必连续
模拟测试题(七) 考生注意:(1)本试卷共三大题,23小题,满分150分. (2)本试卷考试时间为180分钟. 一、选择题(本题共8小题,每题4分,共32分) (1)函数sin y x x =+及其表示的曲线 ( ). (A ) 没有极值点,有无限个拐点 ; (B ) 有无限个极值点和无限个拐点 ; (C ) 有无限个极值点,没有拐点 ; (D ) 既无极值点,也无拐点 . (2) 设222 22(0(,)0,0x y x y f x y x y ?++≠?=??+=? 则在(0,0)点处, (,)f x y ( ). (A ) 连续但二偏导数不都存在 ; (B ) 二阶偏导数存在但不连续; (C ) 连续且二偏导数存在但不可微 ; (D ) 可微 . (3)(一、三)设级数 n n a ∞ =∑收敛,则下列三个级数① 2 1 ,n n a ∞ =∑②41 ,n n a ∞ =∑③61 n n a ∞ =∑中( ) (A ) ①、②、③均收敛 ; (B ) 仅②、③收敛 ; (C ) 仅③收敛 ; (D ) ①、②、③均未必收敛 . (3)(二) 设21,0 ()||,(),,0 x x f x x g x x x -≥?==?
全国硕士研究生入学统一考试数学（ 三） 模拟试卷 一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分．） （1）已知当0→x 时，1)2 31(31 2 -+x 与 1cos -x 是 （ ） （A ）等价无穷小 （B ）低阶 无穷小 （C ）高价无穷小 （D ）同阶 但非等价无穷小 （2）设()f x 满足 ()(1cos )()()sin f x x f x xf x x '''+-+=，且 (0)2f =，0)0(='f 则（ ） （A ）0x =是函数()f x 的极小值点 （B ）0x =是函数()f x 的极大值点 （C ）存在0δ >，使得曲线()y f x =在点 (0,)δ内是凹的 （D ）存在0δ >，使得曲线()y f x =在点 (0,)δ内是凸的 （3）设有两个数列 {}{},n n a b ,若lim 0n n a →∞ =,则正确的是 （ ） （A ）当 1 n n b ∞ =∑收敛时, 1 n n n a b ∞ =∑收敛. （B ）当 1 n n b ∞ =∑发散时, 1n n n a b ∞ =∑发散. （C ）当 1 n n b ∞ =∑收敛时, 221 n n n a b ∞ =∑收敛. （D ）当 1 n n b ∞ =∑发散时, 221 n n n a b ∞ =∑发散. （4）设22(,)xy z f x y e =-，其中(,)f u v 具有连续二阶偏导数，则z z y x x y ??+=?? （ ） （A ）( ) v xy f e y x '+2 2 (B) v xy u f xye f xy '+'24 (C) ( ) u xy f e y x '+2 2 (D) v xy f xye '2 （5）设四阶方阵()1234,,,,A αααα=其中 12,αα线性无关，若1232αααβ+-=， 1234ααααβ+++=， 1234232ααααβ+++=，则Ax β=的通 解为（ ） （A ） 123112213111012k k k ?????? ? ? ? ? ? ?++ ? ? ?- ? ? ??????? （B ） 12012123201112k k ?????? ? ? ? ? ? ?++ ? ? ?- ? ? ?-??????
[考研类试卷]考研数学一（高等数学）模拟试卷206 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 设f(x)=x3+ax2+bx在x=1处有极小值一2，则( )． （A）a=1，b=2 （B）a=一1，b=一2 （C）a=0，b=一3 （D）a=0，b=3 2 设(x＋y≠0)为某函数的全微分，则a为( )． （A）一1 （B）0 （C）1 （D）2 3 若正项级数( )． （A）发散 （B）条件收敛 （C）绝对收敛
（D）敛散性不确定 二、填空题 4 =________． 5 =_________． 6 =_________． 7 =_________． 8 ∫0＋∞x5e－x2dx=________． 9 一平面经过点M1(2，1，3)及点M2(3，4，一1)，且与平面3x—y+6z一6=0垂直，则该平面方程为________． 10 设y=y(x)满足(1+x2)y'=xy且y(0)=1，则y(x)=________． 三、解答题 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 11 求． 12 求．
13 讨论f(x)=在x=0处的可导性． 14 证明：当x＞0时，． 15 求下列不定积分： 16 求． 17 求cos2xdx． 18 设f(x)在区间[a，b]上阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫a b f(x)dx=(b－ a)f''(ξ)． 19 设z=． 20 设μ=x yz，求dμ．
21 求max｛xy，1｝dxdy，其中D=｛(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤2｝． 22 求dxdy，其中D：x2+y2≤π2． 23 计算xdydz+ydzdx+zdxdy，其中∑是z=x2+4y2(0≤z≤4)的上侧． 24 判断级数的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛． 25 求微分方程xy'+(1一x)y=e2x(x＞0)的满足=1的特解． 26 一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为k＞0，设融化过程 中形状不变，设半径为r0的雪堆融化3小时后体积为原来的，求全部融化需要的时间．
2015年考研数学一模拟练习题及答案（三） 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）设函数2 ()ln(3)x f x t dt = +? 则()f x '的零点个数（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （2）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞ =，则（ ） （A ）当 1n n b ∞ =∑收敛时， 1n n n a b ∞ =∑收敛. （B ）当 1n n b ∞ =∑发散时， 1n n n a b ∞ =∑发散. （C ）当 1 n n b ∞ =∑收敛时， 221 n n n a b ∞ =∑收敛. （D ）当 1 n n b ∞ =∑发散时， 221 n n n a b ∞ =∑发散. （3）已知函数()y f x =对一切非零x 满足 02()3[()]x x xf x x f x e e --''+=-00()0(0),f x x '==/则（ ） （A ）0()f x 是()f x 的极大值 （B ）0()f x 是()f x 的极小值 （C ）00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点 （D ）0()f x 是()f x 的极值，但00(,())x f x 也不是曲线()y f x =的拐点 （4）设在区间[a,b]上1()0,()0,()0(),b a f x f x f x S f x dx '''><>= ?，令 231 ()(),[()()](),2 S f b b a S f a f b b a =-=+-则 （ ） （A ）123S S S << （B ）213S S S << （C ）312S S S << （D ）231S S S << （5）设矩阵111111111A --?? ?=-- ? ?--??，100020000B ?? ? = ? ??? ，则A 于B （ ） （A ） 合同，且相似 （B ）合同，但不相似 （C ） 不合同，但相似 （D ）既不合同，也不相似 （6）设,A B 均为2阶矩阵，* * ,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块
* 4.微分方程 y 2 y x e 2x 的特解 y 形式为（） . * 2x * 2 x (A) y (ax b)e (B) y ax e (C) y * ax 2 e 2x (D) y * ( ax 2 bx)e 2 x 2016 年考研数学模拟试题（数学二） 参考答案 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分，每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内） 1.设 x 是多项式 0 P( x) x 4 ax 3 bx 2 cx d 的最小实根，则（） . （A ） P ( x 0 ) 0 （ B ） P ( x 0 ) 0 （C ） P ( x 0 ) 0 （ D ） P (x 0 ) 0 解 选择 A. 由于 lim P( x) x x 0 ，又 x 0 是多项式 P(x) 的最小实根，故 P (x 0 ) 0 . 2. 设 lim x a f ( x) 3 x f (a) a 1 则函数 f ( x) 在点 x a （） . （A ）取极大值（ B ）取极小值（ C ）可导（ D ）不可导 o o 解 选择 D. 由极限的保号性知，存在 U (a) ，当 x U (a) 时， f ( x) 3 x f (a) a 0 ，当 x a 时， f ( x) f (a) ，当 x a 时， f ( x) f (a) ，故 f ( x) 在点 x a 不取极值 . lim f ( x) f (a) a lim f ( x) f (a) a 1 x a x x a 3 x 3 ( x a) 2 ，所以 f ( x) 在点 x a 不可导 . 3.设 f ( x, y) 连续，且满足 f ( x, y) f ( x, y) ，则 f (x, y) dxdy （） . x 2 y 2 1 （A ） 2 1 1 x 2 1 1 y 2 0 dx f ( x, y)dy （ B ） 2 0 dy 1 y 2 f ( x, y)dx 1 1 x 2 1 1 y 2 （C ） 2 dx 1 x 2 f ( x, y)dy （ D ） 2 dy f ( x, y)dx 解 选择 B. 由题设知 f ( x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy 2 1 0 dy 1 y 2 1 y 2 f ( x, y)dx . x 2 y 2 1 x 2 y 2 1, y 0
考研数学模拟试题（数学二） 参考答案 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内） 1.设0x 是多项式432()P x x ax bx cx d =++++的最小实根，则（）. （A ）0()0P x '≤（B ）0()0P x '<（C ）0()0P x '≥（D ）0()0P x '> 解 选择A. 由于0 lim ()x x P x →=+∞，又0x 是多项式()P x 的最小实根，故0()0P x '≤. 2. 设1x a →= 则函数()f x 在点x a =（）. （A ）取极大值（B ）取极小值（C ）可导（D ）不可导 解 选择D. 由极限的保号性知，存在()U a ，当()x U a ∈ 0>，当x a <时，()()f x f a <，当x a >时，()()f x f a >，故()f x 在点x a =不取极值 . ()()lim x a x a f x f a x a →→-==∞-，所以()f x 在点x a =不可导. 3.设(,)f x y 连续，且满足(,)(,)f x y f x y -=，则 221 (,)x y f x y dxdy +≤=?? （）. （A ）1002(,)dx f x y dy ?? （B ）1 2(,)dy f x y dx ?? （C ）10 2 (,)dx f x y dy ?? （D ）1 2(,)dy f x y dx ?? 解 选择B. 由题设知 22221 1 1,0 (,)2 (,)2(,)x y x y y f x y dxdy f x y dxdy dy f x y dx +≤+≤≥==?? ???? . 4.微分方程22e x y y x '''-=的特解* y 形式为（）. (A) *2()e x y ax b =+ (B) *2e x y ax = (C) *22e x y ax = (D) *22()e x y ax bx =+
考研数学模拟试题及答 案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
模拟 一 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）设函数2 ()ln(3)x f x t dt =+?则()f x '的零点个数（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （2）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞ =，则（ ） （A ）当1 n n b ∞=∑收敛时，1 n n n a b ∞=∑收敛. （B ）当1 n n b ∞=∑发散时，1 n n n a b ∞ =∑发散. （C ）当1 n n b ∞=∑收敛时，221 n n n a b ∞ =∑收敛. （D ）当1 n n b ∞=∑发散时，22 1 n n n a b ∞ =∑发散. （3）已知函数()y f x =对一切非零x 满足02()3[()]x x xf x x f x e e --''+=-00()0(0),f x x '==/则（ ） （A ）0()f x 是()f x 的极大值 （B ）0()f x 是()f x 的极小值 （C ）00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点 （D ）0()f x 是()f x 的极值，但00(,())x f x 也不是曲线()y f x =的拐点
（4）设在区间[a,b]上1()0,()0,()0(),b a f x f x f x S f x dx '''><>= ?，令 231 ()(),[()()](),2 S f b b a S f a f b b a =-=+-则 （ ） （A ）123S S S << （B ）213S S S << （C ）312S S S << （D ）231S S S << （5）设矩阵111111111A --?? ?=-- ? ?--??，100020000B ?? ? = ? ??? ，则A 于B （ ） （A ） 合同，且相似 （B ）合同，但不相似 （C ） 不合同，但相似 （D ）既不合同，也不相似 （6）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩 阵O A B O ?? ???的伴随矩阵为（ ） （A ）**32O B A O ?? ??? （B ）** 23O B A O ?? ??? （C ）**32O A B O ?? ??? （D ）** 23O A B O ?? ??? （7）设,,A B C 是三个相互独立随机事件，且0()1P C <<，则下列给定的四对事件中不相互独立的是（ ） （A ）A B +与C （B ）AC 与C （C ）A B -与C （D ）AB 与C
2018年考研数学模拟试题（数学二） 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内） 1.设0x 是多项式432()P x x ax bx cx d =++++的最小实根，则（ ）. （A ）0()0P x '≤（B ）0()0P x '<（C ）0()0P x '≥（D ）0()0P x '>. 2.设 1x a →= 则函数()f x 在点x a =（ ）. （A ）取极大值（B ）取极小值（C ）可导（D ）不可导 3.设(,)f x y 连续，且满足(,)(,)f x y f x y -=，则 221 (,)x y f x y dxdy +≤=?? （ ）. （A ）1 002(,)dx f x y dy ?? （B ）1 2(,)dy f x y dx ?? （C ） 10 2 (,)dx f x y dy ?? （D ）1 2(,)dy f x y dx ?? . 4.微分方程22e x y y x '''-=的特解*y 形式为（ ）. (A) *2()e x y ax b =+ (B) *2e x y ax = (C) *22e x y ax = (D) *22()e x y ax bx =+ 5. 设函数()f x 连续，则下列函数中，必为偶函数的是（ ）. （A ） 20 ()x f t dt ? （B ）20 ()x f t dt ? （C ） [()()]x t f t f t dt +-? （D ）0 [()()]x t f t f t dt --? 6. 设在全平面上有0) ,(??y y x f ，则保证不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的条件是（ ） （A ）21x x >，21y y <. （B ）21x x <，21y y <. （C ）21x x >，21y y >. （D ）21x x <，21y y >. 7.设A 和B 为实对称矩阵，且A 与B 相似，则下列结论中不正确的是（ ）.
考研数学一真题及答案 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
2017年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上． （1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则 (A) 12 ab = ． (B) 1 2 ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =． 【答案】A 【详解】由0 11lim 2x b ax a + →-==,得1 2 ab =. （2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则 (A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-. 【答案】C 【详解】2() ()()[]02 f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6． (C) 4． (D)2 ． 【答案】D 【详解】方向余弦12 cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入 cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可. （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部
2011考研数学三模拟题 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。 （1）()f x 是在(0,)+∞内单调增加的连续函数，对任何0b a >>，记()b a M xf x dx = ? ， 1[()()]2 b a N b f x dx a f x dx = +??，则必有（ ） （A ）M N ≥；（B ）M N ≤；（C ）M N =；（D ）2M N =； （2）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，在(,0)(0,)-∞+∞ 内可导，函数()y y x =的图像为 则其导数的图像为（ ） (A) (B)
(C) (D) (3)设有下列命题： ①若2121 ()n n n u u ∞ -=+∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛； ②若1 n n u ∞ =∑收敛，则10001 n n u ∞ +=∑收敛； ③若1lim 1n n n u u +→∞ >，则1 n n u ∞=∑发散； ④若1 ()n n n u v ∞=+∑收敛，则1 n n u ∞=∑，1 n n v ∞ =∑收敛 正确的是（ ） （A ）①②（B ）②③（C ）③④（D ）①④ (4)设2 2 ln(1)() lim 2x x ax bx x →+-+=，则（ ） （A ）51,2 a b ==-；（B ）0,2a b ==-；（C ）50,2 a b ==-；（D ）1,2a b ==- (5)设A 是n 阶矩阵，齐次线性方程组（I ）0A x =有非零解，则非齐次线性方程组（II ）T A x b =， 对任何12(,,)T n b b b b = （A ）不可能有唯一解； （B ）必有无穷多解； （C ）无解； （D ）可能有唯一解，也可能有无穷多解 (6)设,A B 均是n 阶可逆矩阵，则行列式1020 T A B -?? -? ??? 的值为 （A ）1 (2)n A B --； （B ）2T A B -； （C ）12A B --； （D ）1 2(2) n A B -- (7)总体~(2,4)X N ，12,,,n X X X 为来自X 的样本，X 为样本均值，则（ ）
[考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷43 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 设A，B为n阶可逆矩阵，则( )． （A）存在可逆矩阵P1，P2，使得P1—1AP1，P2—1BP2为对角矩阵 （B）存在正交矩阵Q1，Q2，使得Q1T AQ1，Q2T BQ2为对角矩阵 （C）存在可逆矩阵P，使得P—1(A+B)P为对角矩阵 （D）存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B 2 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )． （A）A无负特征值 （B）A是满秩矩阵 （C）A的每个特征值都是单值 （D）A*是正定矩阵 3 下列说法正确的是( )． （A）任一个二次型的标准形是唯一的 （B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同（C）若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型（D）二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的 4 设A为可逆的实对称矩阵，则二次型X T Ax与X T A—1X( )．
（A）规范形与标准形都不一定相同 （B）规范形相同但标准形不一定相同 （C）标准形相同但规范形不一定相同 （D）规范形和标准形都相同 5 设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是( )． （A）可逆矩阵 （B）实对称矩阵 （C）正定矩阵 （D）正交矩阵 6 设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP=B，则( )．（A）A，B合同 （B）A，B相似 （C）方程组AX=0与BX=0同解 （D）r(A)=r(B) 7 设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是( )．（A）r(A)=r(B) （B）|A|=|B| （C）A～B
2018考研数学模拟题完整版及参考答案（数一、数二、数 三通用） 一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．) (1) 已知函数()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则()() 233 2lim x x f x f x x →-=( ) (A) -2()0f '. (B) -()0f '. (C) ()0f '. (D) 0. (2) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x = ，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则 (),D f x y dxdy =?? ( ) (A) ()1 3sin214 2sin2cos ,sin d f r r rdr π θπθ θθθ?? (B) ( )34 cos ,sin d f r r rdr π πθθθ? (C) ()13sin 214 2sin 2cos ,sin d f r r dr π θπθ θθθ?? (D) ( )34 cos ,sin d f r r dr π πθθθ? (3) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得 单位矩阵，记11001 10001P ?? ?= ? ???，2100001010P ?? ? = ? ??? ，则A =( ) (A) 12PP ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 1 21P P -． (4) 设4 ln sin I x dx π = ? ，40 ln cot J x dx π=?，40 ln cos K x dx π=?，则,,I J K 的大小关
考研数学二模拟题
第 2 页 共 17 页 考研数学二模拟题 一、 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。 （1）当0x →时，设2 arctan x α=，11(0)a x a β=(+)-≠，2 arcsin x tdt γ=?，把三个无穷小按阶的高低由低到高排 列起来，正确的顺序是（ ） （A ）,,αβγ；（B ）,,βγα；（C ）,,βαγ；（D ）,,γβα； （2）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，在(,0)(0,)-∞+∞U 内可导，函数()y y x =的图像为 则其导数的图像为（ ） x y O
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第 4 页 共 17 页 （A ）51,2a b ==-；（B ）0,2a b ==-；（C ）5 0,2a b ==-；（D ）1,2 a b ==- (5)下列说法中正确的是（ ） （A ）无界函数与无穷大的乘积必为无穷大； （B ）无界函数与无穷小的乘积必为无穷小； （C ）有界函数与无穷大之和必为无穷大； （D ）无界函数与无界函数的乘积必无解； (6)设线性无关的函数1 2 3 ,,y y y 都是二阶线性非齐次 方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，1 2 3 ,,C C C 为任意常数，则 该方程的通解是（ ） （A ）1123 33 C y C y C y ++； （B ）11 2 3 123 ()C y C y C C y +++； （C ）11 23 123 (1)C y C y C C y +---；（ D ）11 23 123 (1)C y C y C C y ++--； (7)设A 是n 阶矩阵，齐次线性方程组（I ）0Ax =有非零解，则非齐次线性方程组（II ）T A x b =，对任何1 2 (,,)T n b b b b =L （A ）不可能有唯一解； （B ）必有无穷多解； （C ）无解； （D ）可能有唯一解，也可能有无穷多解
2015年考研数学模拟试题(数学一)及答案 一、选择题(本题共 8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求，把所选项的字母填在题后的括号内) 1?设f(X )在(」：，?：：)内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是() . X X X (A) sin f (x) ( B ) 0 si nt f (t)dt ( C ) 。 f (si nt)dt ( D ) [si nt f(t)]dt X 解 选择B.由题设知，sint f(t)为偶函数，故 °sint f (t)dt 为奇函数? f 1 p+e X 2?设 f(x)= — 'Xi'贝y x=0是 f (X)的(). -e X 1, x = 0, (A )可去间断点(B )跳跃间断点(C )第二类间断点(D )连续点 1 1 1 + e x 1 + e x 解 选择 B. lim f (x) = lim - = 1, lim f (x) = lim 1 = -1，故 x = 0 是 f (x)的跳跃间断点 x —0 … x _0 x —0 * x >0 ' 1 -e x 1 -e x 3?若函数f (x)与g(x)在(—? ?：：)内可导，且f(x) ：：g(x)，则必有() X X (C) lim f(x) ：： lim g(x) (D ) f(t)dt ：： g(t)dt X —5X 0 X —5X 0 H 0 (0 解 选择C.由函数f (x)与g(x)在(-：：，?：：)内可导知， f (x)与g(x)在(-：：，?：：)内连续, lim f (x 戸 f X o ) lim g(x) =g(x °)，而 f(X g ) ：： g(x °)，故 lim f(x) ：： lim g(x). x 「x ) x )X 0 x ]X 0 x >X 0 4.已知级数7 (T)n 'a n 和a a 2n 分别收敛于 n * n T QO 解 选择D.由级数v ^1)n4a n 收敛知，lim a n =0 , n nV n =1(A) f(-x) g(-x) (B) f (x) ：：： g (x) Q Q a,b ，则级数a n ().【C 】 n d (A)不一定收敛 (B)必收敛，和为2a b (C)必收敛，和为a -2b (D)必收敛，和为a - 2b