1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 设sin ,xy
z e
=则dz = _______.
(2) 设曲线()3f x x ax =+与()2g x bx c =+都通过点()10,,-且在点()10,-有公共切线,
则a = _______,b = _______,c = _______. (3) 设()x f x xe =,则()
()n f
x 在点x = _______处取极小值 _______.
(4) 设A 和B 为可逆矩阵,00A X B
??=
???
为分块矩阵,则1
X -= _______. (5) 设随机变量X 的分布函数为
0,
1,0.4,11,(){}0.8,13,1,
3.x x F x P X x x x <-??-≤
=≤=?≤
则X 的概率分布为 _______.
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 下列各式中正确的是 ( )
(A) 01lim 11x x x +→??
+= ??? (B) 01lim 1x
x e x +→??+= ??? (C) 1lim 1x
x e x →∞??-=- ??? (D) 1lim 1x
x e x -→∞
??+= ?
??
(2) 设1
0(1,2,)n a n n
≤≤
=L 则下列级数中肯定收敛的是 ( ) (A)
1n
n a
∞
=∑ (B)
1(1)
n
n n a ∞
=-∑
(C)
1
n ∞
=2
1
(1)n n n a ∞
=-∑
(3) 设A 为n 阶可逆矩阵,λ是A 的一个特征根,则A 的伴随矩阵*
A 的特征根之一是( )
(A) 1
n A λ
- (B) 1A λ- (C) A λ (D) n
A λ
(4) 设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 ( )
(A) A 与B 不相容 (B) A 与B 相容 (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()P A B P A -=
(5) 对于任意两个随机变量X 和Y ,若()()()E XY E X E Y =?,则 ( )
(A) ()()()D XY D X D Y =? (B) ()()()D X Y D X D Y +=+ (C) X 和Y 独立 (D) X 和Y 不独立
三、(本题满分5分)
求极限 120lim x x nx
x
x e e e n →??
+++
???
L ,其中n 是给定的自然数.
四、(本题满分5分)
计算二重积分D
I ydxdy =??,其中D 是由x 轴,y
轴与曲线
1=所围成的区域,0,0a b >>.
五、(本题满分5分)
求微分方程22dy
xy
x y dx
=+满足条件2x e y e ==的特解.
六、(本题满分6分)
假设曲线1L ：()2
101y x
x =-≤≤、x 轴和y 轴所围区域被曲线2L ：2y ax =分为面
积相等的两部分,其中a 是大于零的常数,试确定a 的值.
七、(本题满分8分)
某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为1p 和2p ；销售量分别为1q 和
2q ；需求函数分别为112402q .p =-和2210005q .p =-,总成本函数为()123540C q q .=++
试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？
八、(本题满分6分)
试证明函数1()(1)x
f x x
=+在区间(0,)+∞内单调增加.
九、(本题满分7分)
设有三维列向量
1232
1110111111,,,,λααλαβλλλ+????????
????????==+==????????
????????+????????
问λ取何值时,
(1) β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一? (2) β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一? (3) β不能由123,,ααα线性表示?
十、(本题满分6分)
考虑二次型222
12312132344224f x x x x x x x x x λ=+++-+.问λ取何值时,f 为正定二
次型.
十一、(本题满分6分)
试证明n 维列向量组12,,,n αααL 线性无关的充分必要条件是
1112121222120T T T n
T T T n
T T T n n n n
D αααααααααααααααααα=
≠L L
M
M
M
L
,
其中T
i α表示列向量i α的转置,1,2,,i n =L .
十二、(本题满分5分)
一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求X 的概率分布.
十三、(本题满分6分)
假设随机变量X 和Y 在圆域2
2
2
x y r +≤上服从联合均匀分布. (1) 求X 和Y 的相关系数ρ;(2) 问X 和Y 是否独立? 十四、(本题满分5分)
设总体X 的概率密度为
1,0,
(;)0,0,a
a x ax e x p x x λλλ--?>?=?≤??
其中0λ>是未知参数,0a >是已知常数.试根据来自总体X 的简单随机样本
12,,,n X X X L ,求λ的最大似然估计量?λ
.
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】()sin cos xy
e
xy ydx xdy +
【解析】方法一：先求出两个偏导数
z x ??和z y
??,然后再写出全微分dz , sin sin sin sin cos cos cos cos xy xy
xy xy z e xy y ye xy x z
e xy x xe xy y
??=??=???
???=??=???, 所以 sin sin cos cos xy xy z z
dz dx dy ye xydx xe xydy x y
??=
+=+?? sin cos ()xy
e xy ydx xdy =+.
方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算dz .
()()()sin xy sin xy sin xy sin xy dz d e e d sin xy e cos xydxy e cos xy ydx xdy ====+.
(2)【答案】1a =-,1b =-,1c =
【解析】由于曲线()f x 与()g x 都通过点()10,,-则
()()110
10f a g b c -=--=???
-=+=??
, 又曲线()f x 与()g x 在点()10,-有公切线,则()()11f g ''-=-,即
()()
()211
133122x x f x a a g bx b =-=-''-=+=+=-==-,
亦即32a b +=-,解之得 1a =-,1b =-,1c =.
(3)【答案】()1x n =-+；()
1n e
-+-
【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式()
()
()()
0n
n k n k k n k uv C u v -==∑可知, ()0()1(1)2(2)()()()()
()n x n x n x n n n x n n n n f x C x e C x e C x e C x e --'''=++++L 00()x x x
xe ne x n e =++++=+L . 对函数()()
()n g x f
x =求导,并令()0g x '=,得
()(1)()(1)0n x g x f x x n e +'==++=,
解之得驻点()1x n =-+,且()0,(1),()()0,(1),()g x x n g x g x x n g x '<<-+??
'>>-+?函数严格单调递减函数严格单调递增；
；
故()1x n =-+是函数()()
()n g x f
x =的极小值点,极小值为
()11(1)(1)(1)n n n g n f n n n e e ------=--=--+=-.
(4)【答案】11
0B A --?? ???
【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有
123
40000
X X A E X X B
E ??????
= ? ? ?????
??,
由对应元素或块相等,即34
12,0,0,.
AX E AX BX BX E =??=??=??=?
从A 和B 均为可逆矩阵知1
1
3412,0,0,X A X X X B --====.故应填11
0B A
--?? ???
. (5)【答案】
【解析】因为随机变量X 的分布函数()F x 在各区间上的解析式都与自变量x 无关,所以在()F x 的连续点,{}0P X x ==,只有在()F x 的间断点处X 取值的概率才大于零,且
{}{}{}()(0)P X x P X x P X x F x F x ==≤-<=--,则
{1}(1)(10)0.4P X F F =-=----=, {1}(1)(10)0.80.40.4,P X F F ==--=-= {3}(3)(30)10.80.2.P X F F ==--=-=
因此X 的概率分布为
二、选择题(本题满分(1)【答案】(A)
【解析】由重要极限1lim(1)x
x e x
→∞
+=可知,
极限 (1)
111lim(1)lim[1()]
x x x x e x x
-?--→∞→∞-=+-=,
(1)
111lim(1)lim(1)
x x x x e x x
-?--→∞→∞+=+=. 而极限 001
1
1lim ln(1)lim ln(1)ln(1)001lim (1)lim x x x x x x x x x x x e e e x
++
→→+++++→→+===, 令1
t x
=
,则 0
1
ln(1)1
lim ln(1)lim lim 01t t x t x x t
t +
→+∞→+∞→++==+洛,
所以 01
lim ln(1)001lim (1)1x x x x x e e x
+
→++→+===. 故选项(A)正确.
(2)【答案】(D)
【解析】因为2
221(1)n
n n
a a n -=<,由211n n ∞=∑收敛及比较判别法可知2
1
(1)n n n a ∞
=-∑绝对收敛.
即(D)正确.
另外,设1
(1,2)2n a n n
=
=L ,则可知 (A) 111111
22n n n n a n n ∞
∞
∞=====∑∑∑
, (C) 1
112
12n n n n
∞∞
∞=====∑ 都不正确.
设2121
0,(1,2)4n n a a n n
-==
=L ,则可知(B)不正确. (3)【答案】(B).
【解析】由λ为A 的特征值可知,存在非零向量X ,使得AX X λ=.
两端同时乘以*A ,有 *
*
()A X A AX λ=,由公式*A A A =得到*
A X A X λ=.于是
*1A X A X λ-=.
按特征值定义知1
A λ
-是伴随矩阵*A 的特征值.故应选(B).
【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.
(4)【答案】(D)
【解析】A B A B =U ,如果A B =ΩU ,则A B =?,即A 与B 互不相容；如果
A B ≠ΩU ,则A B ≠?,即A 与B 相容.由于A 、B 的任意性,故选项(A)(B)均不正确.
任何事件A 一定可以表示为两个互不相容事件AB 与AB 的和. 又因AB =?,从而
A B AB A -==,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把A 、B 互不相容
等同于A 、B 相互独立而错选(C).
A ,
B 不相容,()P A ,()P B 均不为零,因此
()()0P AB P =?=,()()()P AB P A P B .≠
即(C)不正确. 用排除法应选(D).
事实上,()()()()P A B P A P AB P A .-=-=
(5)【答案】(B)
【解析】由于()()()E XY E X E Y =,因此有
cov(,)()()()0,
()()2cov(,)()()().
X Y E XY E X E Y D X Y D X X Y D Y D X D Y =-=+=++=+
故应选(B).
【相关知识点】若两个随机变量X ,Y 的方差都大于零,则下面四个命题是等价的：
1) ()()()E XY E X E Y =； 2) ()()()D X Y D X D Y +=+； 3) cov(,)0X Y =；
4) X 和Y 不相关,即X 和Y 的相关系数0ρ=.
三、(本题满分5分)
【解析】方法一：这是 1∞型未定式极限.
1
220112ln lim 00lim lim x x nx
x x nx x
x e e e e e e x x nx
x
n x n x x e e e e e
n →????
++++++ ? ? ? ???
??
→→??+++== ???
L L L
20ln()ln lim
x x nx x e e e n x
e
→+++-=L ,
其中指数上的极限是
型未定式,由洛必达法则,有 20ln()ln lim x x nx x e e e n x
→+++-L
220212(1)1lim 22
x x nx x x nx x e e ne n n n n e e e n n →++++++++====+++L L L . 所以 1
1
220lim n x
x
nx
x
x e e e e n +→??
+++= ???
L . 方法二：由于 1
12211x x nx
x x nx
x
x
e e e e e e n n ????
++++++=+-
? ?????
L L ,
记21x x nx
e e e y n
+++=
-L ,则当0x →时0y →,从而
111
2000lim lim(1)lim (1)y x x nx x
x
y
x
x x x e e e y y n →→→????
+++=+=+?? ??????
?
L . 而1
0lim(1)y y y e →+=,所以01lim 0
lim (1)x y y x
y
x
x y e →→?
?+=?????
?
. 又因 200(1)(1)(1)
lim lim x x nx x x y e e e x nx
→→-+-++-=L
2000111111lim lim lim (12)2x x nx x x x e e e n n n x x x n →→→??---+=++++++=
????
L L 洛. 所以 1
1
220lim n x
x
nx
x
x e e e e n +→??
+++= ???
L .
四、(本题满分5分)
【解析】积分区域D 如图阴影部分所示.
由1x y a b +=,得2
1x y b a ??
=- ? ???
. 因此 ()
()
2
2
4
12
120
00
1122b x a
a b x a
a
a
D
b x I ydxdy dx ydy dx y dx a --??
??
=
===- ???
?????
????
??. 令1x t a
=-
,有2
(1),2(1)x a t dx a t dt =-=--,故 4
2
2
401
12(1)22
a b x b I dx t a t dt a ??=-=- ? ?????
1
5
621
245200
()5630t t ab ab t t dt ab ??=-=-= ????.
五、(本题满分5分)
【解析】将原方程化为
2
221y dy x y x
y dx xy
x ??+ ?+??==,由此可见原方程是齐次微分方程. 令y ux =,有,dy du
u x dx dx
=+将其代入上式,得21dy du u u x dx dx u +=+=,
化简得1du x dx u =,即dx udu x =.积分得 21
ln .2
u x C =+ 将y
u x
=
代入上式,得通解222(ln )y x x C =+. 由条件2x e y e ==,即2242(ln )e e e C =+求得1C =. 所以222(ln 1)y x x =+所求微分方程的特解.
六、(本题满分6分)
【解析】先求出曲线1L 和2L 的交点,然后利用定积分求出平面图形面积1S 和2S ,如图：
由()()
2
2
1010y x x y ax a ?=-≤≤??= >?? 得 11x ,a
a y .a ?=??+??=?+?
所以 1
1
2120
(1)S S S ydx x dx =+=
=-?
?
1
301233
x x ??
=-=????,
()()2
2
2
1110
111a a
S x ax dx a x dx ++????=--=-+?????
?
1
130
1331a
a x x a
++??
=-=
??
+??.
又因为12S S =,所以
22331a
=?+,即12a +=,解得3a .=
七、(本题满分8分)
【解析】方法1：总收入函数为
2211221122240210005R p q p q p .p p .p =+=-+-,
总利润函数为
()()1122123540L R C p q p q q q =-=+-++????
22
11223202120051395p .p p .p =-+--.
由极值的必要条件,得方程组
11
2
2
3204012010L
.p ,p L .p ,
p ??=-=????
??=-=??? 即1280120p ,p ==.
因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1280120p ,p ==时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为
1
2
122211228012080120
3202120051395605p ,p p ,p L p .p p .p =====-+--=（）
方法2：两个市场的价格函数分别为
1122120520020p q ,p q =-=-,
总收入函数为
()()11221122120520020R p q p q q q q q =+=-+-,
总利润函数为
()()()1122121205200203540L R C q q q q q q =-=-+--++????
22
11228051602035q q q q =-+--.
由极值的必要条件,得方程组
11
1222
8010084160400L
q ,q q ,q .L q ,q ??=-=????==?
??=-=??? 因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1284q ,q ==,即180p ,=
2120p =时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为1
2
84605q ,q L ===.
八、(本题满分6分)
【解析】因为(0,)x ∈+∞,所以1()(1)0x
f x x
=+>.
1ln(1)1()(1)x x
x
f x e x
+=+=,两边对x 求导,得
112ln(1)
ln(1)1()1111()ln(1)(1)ln(1)111x x x x
x
x x f x e
e x x x x x ++?
??-'??????'==?++=++-??????+???
???+
?
?.
令11
()ln(1)1g x x x
=+-
+,为证函数()f x 为增函数,只需()0f x '>在(0,)+∞上成立,,即()0,(0,)g x x >∈+∞. 方法一：利用单调性.
由于 22211111()ln(1)11(1)(1)1x g x x x x x x x
-'-??'=+-=-=-??+++??+, 且(0,)x ∈+∞,故2
1
()0(1)g x x x '=-
<+,所以函数()g x 在(0,)+∞上单调减少.
又11
lim ()lim[ln(1)]01x x g x x
x
→∞
→∞
=+-
=+,于是有()0,(0,)g x x >∈+∞.从而 1
()(1)()0x f x g x x
'=+>,(0,)x ∈+∞,
于是函数()f x 在(0,)+∞单调增加. 方法二：利用拉格朗日中值定理. 令 11
ln(1)ln(
)ln(1)ln (1)()x x x u x u x x x
++==+-=+-, 所以在区间(,1)x x +存在一点ξ,使得
1
(1)()()(1)()u x u x u x x u ξξξ
''+-=+-==
,
即11
ln(1)x
ξ
+=
.又因为01x x ξ<<<+,所以
111
1x x
ξ<<+,所以 1111ln(1)1x x x
ξ<+=<+. 故对一切(0,)x ∈+∞,有111
()(1)[ln(1)]01x
f x x
x x
'=++->+.函数()f x 在(0,)+∞单调增加.
九、(本题满分7分)
【解析】设112233x x x ,αααβ++=将分量代入得到方程组
()()()12312321231011x x x ,x x x ,x x x .λλλλλ?+++=?
+++=??+++=?
对方程组的增广矩阵作初等行变换.
第一行分别乘以有()1-、()1λ-+加到第二行和第三行上,有
22
2111011
10111011120λ
λλλλλλλλλλ
λλ++????
????+→-???
?????+---????M M M M M M , 再第二行加到第三行上,所以有
2211100300λ
λλλλλλλ+????→-??
??--+??
M M M .
若0λ≠且2
30,λλ+≠即0λ≠且3λ≠-,则()()
3r A r A ==,方程组有唯一解,即
β可由123,,ααα线性表示且表达式唯一.
若0λ=,则()()
13r A r A ==<,方程组有无穷多解,β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一.
若3λ=,则()()
23r A ,r A ==,方程组无解,从而β不能由123,,ααα线性表示. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设A 是m n ?矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =M 的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n αααL 线表出,亦等同于12,,,n αααL 与12,,,,n b αααL 是等价向量组).
设A 是m n ?矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ? ()().r A r A n == (2) 有无穷多解? ()().r A r A n =<
(3) 无解 ? ()1().r A r A +=?b 不能由A 的列向量12,,,n αααL 线表出. 十、(本题满分6分)
【解析】关于判定二次型正定这类题目时,用“顺序主子式全大于0”的方法最为简捷.
二次型f 的矩阵为1142124A λλ-??
??=????-??
,其顺序主子式为 2212311,4,448.4
A λ
λλλλ?=?=
=-?==--+
正定的充分必要条件是各阶顺序主子式都大于0,所以有
12310,(2)(2)0,4(1)(2)04
A λ
λλλλλ?>?=
=-+>?==--+>.
解出其交集为(2,1)-,故(2,1)λ∈-时,f 为正定二次型.
【相关知识点】二次型的定义：含有n 个变量12,,,n x x x L 的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)
()1211
,,,,n n
n ij i
j
i j f x x x a x x ===
∑∑L 其中ij
ji a
a =,
称为n 元二次型,令()12,,,T
n x x x x =L ,()
ij A a =,则二次型可用矩阵乘法表示为 ()12,,,,T
n f x x x x Ax =L
其中A 是对称矩阵()
T A A =,称A 为二次型()12,,,n f x x x L 的矩阵.
十一、(本题满分6分)
【解析】记12(,,,)n A ααα=L ,则12,,,n αααL 线性无关的充分必要条件是0A ≠. 由于
[]1111212212
22121
2,,,T T T T n T T T T
T n n T T T T
n n n n n A A αααααααααααααααααααααααα????
???????
?
==????
????????????
L L L M M M M L ,
从而取行列式,有2
T
T
D A A A
A A ===.
由此可见12,,,n αααL 线性无关的充分必要条件是0D ≠.
【相关知识点】m 个n 维向量12m ,,,αααL 线性相关的充分必要条件是齐次方程组
()1212
0m m x x x ααα??
??
??=??????
L
M
有非零解.特别地,n 个n 维向量12,,,n αααL 线性相关的充分必要条件是行列式
12,,,0n ααα=L .
十二、(本题满分5分)
【解析】首先确定X 的可能值是0123,,,,其次计算X 取各种可能值的概率.
设事件i A =“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”,123i ,,,=且i A 相互独立.
()()
1
2
i i P A P A .==
事件i A 发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为1i -.所以有
{}()1102
P X P A ,===
{}()()
()2
12121
12P X P A A P A P A ,====
{}()()()
()3123123122P X P A A A P A P A P A ,==== {}()()()()
3
1231231
32P X P A A A P A P A P A .====
则X 的概率分布为
注：此题易犯的一个错误是将{}3P X =计算为412
,这是由于该街道仅有三个设有红绿信
号灯的路口,3X =仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯,而不存在第四个有信号灯路口问
题.
十三、(本题满分6分)
【解析】二维均匀分布(,)X Y 的联合密度函数为1
, (,),
(,) 0, (,),D x y D S f x y x y D ?∈?=?
???
D
S 是区域D 的面积,
2,D S r π=所以(,)X Y 的联合密度
22222221,(,)0,x y r
f x y r
x y r π?+≤?=??+>?
. 由连续型随机变量边缘分布的定义,X 和Y 的概率密度1
()f x 和2()f y 为
12
1
()(,)),f x f x y dy x r r
π+∞
-∞
===≤?
2()(,))f y f x y dx y r +∞
-∞
==
≤?
. 由一维连续型随机变量的数学期望的定义：
()EX x f x dx +∞-∞
=??
, []()()().E g X g x f x dx +∞
-∞
=??
若()f x 为奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为零,即是()0r
r
f x dx -=?
.
故
2
2,r
r
EX r π-=
?
2
2r
r
EY r π-=
?
,
由于被积函数为奇函数,故 0EX EY ==.
()222
2cov(,)x y r xy
X Y E XY EX EY dxdy r π+≤=-?=
??, 因为此二重积分区域关于x 轴对称,被积函数为y 的奇函数,所以积分式为0.
cov(,)0X Y =.
由相关系数计算公式ρ=
于是X 和Y 的相关系数0ρ=.
(2)由于12(,)()()f x y f x f y ≡,可见随机变量X 和Y 不独立.
十四、(本题满分5分) 【解析】最大似然估计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似然函数.
现题设给出概率密度函数(;)f x λ,则似然函数
1
1
121
(,,,;)(),n
i i n
x n
n i
i L x x x e X α
λ
α
λλα=--=∑=∏L
1
1
1ln ln()ln .n
n
i
i i i L n X X ααλαλ-===+-∑∏
(由于ln L 是单调递增函数,L 取最大与ln L 取最大取到的θ是一致的,而加对数后能把连乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便).
由对数似然方程
1
ln 0,n i i L n X α
λλ=?=-=?∑ 得λ的最大似然估计值1
?n
i
i n
X α
λ
==∑.所以得λ的最大似然估计量为 1
?n
i
i n
X α
λ
==∑.
【相关知识点】似然函数的定义：
设12,,...,n x x x 是相应于样本12,,...,n X X X 的一组观测值,则似然函数为：
12121
()(,,,;)(;)(;)(;)(;)n
n i n i L f x x x f x f x f x f x θθθθθθ====∏L L .