沪教版（上海）高中数学度高三数学二轮复习
立体几何专题之
空间的角与距离①
教学目标
1、理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念；会用求距离的常用方法（如：直
接法、转化法、向量法）
2、理解线线角、线面角、面面角的概念定义和取值范围；会用求角的方法“一作二证三计算”。
知识梳理
1、空间角：
（1）空间角的计算步骤一作、二证、三算。
（2）异面直线所成角：
1>范围：___________ (0°，90°]；
2>计算方法:
<1>平移法：一般情况下应用平行四边形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线进行平移;
<2>补体法；
（3）直线与平面所成的角：
1>定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；
2>范围：_____________ [0°，90°]；
3>斜线与平面所成角的计算：
<1>直接法：关键是作垂线，找射影可利用面面垂直的性质；
<2>平移法：通过三角形的中位线或平行四边形的对边平移，计算其平行线与平面所成的角（也可平移平面）。
<3>通过等体积法求出斜线任一点到平面的距离d，计算这点与斜足之间的线段长l，则sin
d
l θ=.
(6)二面角：
1>定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角.规定：二面角的两个半平面重合时，二面角为0，当两个半平面合成一个平面时，二面角为π，因此，二面角的大小范围为_______ [0°，180°]；
2>确定二面角的方法：
<1>定义法；<2>垂面法；
注：空间角的计算步骤：一作、二证、三算
2、空间距离
（1）七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离； （2）点与点的距离： 1>解三角形及多边形；
2>空间任意两点A 、B 间的距离即线段AB 的长度： 设()111,,A x y z 、()222,,B x y z ，则()()()
222
121212AB x x y y z z =
-+-+-
（3）两条异面两条异面直线的距离：直线的公垂线段的长度；
说明：两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离。 求法：
1>直接法：求两异面直线的公垂线段的长度; 2>转化法：转化为线面距离或面面距离;
(4)点到平面的距离：已知点P 是平面α外的任意一点，过点P 作PA α⊥，垂足为A ，则PA 唯一，则PA 是点P 到平面α的距离.即 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离。 注：连结平面α外一点P 与α内一点所得的线段中，垂线段PA 最短。 求法：
1>直接法：过点P 作一平面与平面α垂直，再过点P 作两平面的交线的垂线即可 2>等体积转化法：
3>线面平行法：若过点P 有一直线l ∥平面α，则直线l 上的任一点到平面α的距离等于到点P 到平面α的距离
(5)直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)
(6)距离的共性：这其中的距离中，虽然定义不同，但总具有下列几个特征： 1>某距离是指相应线段的长度； 2>此线段是相关线段中最短的；
3>除两点间的距离外，其余总与垂直相联系，由此求距离的方法就有几何法和代数等方法. (7)求距离的一般步骤： 1>找出或作出相关的距离； 2>证明它符合定义；
3>归到某三角形或多边形中计算； 4>作答。
典例精讲
(★★★)例1、在棱长为a 的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是BC 、A ′D ′的中点. (1)求证：四边形B ′EDF 是菱形； (2)求直线A ′C 与DE 所成的角； (3)求直线AD 与平面B ′EDF 所成的角； (4)求面B ′EDF 与面ABCD 所成的角.
分析：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，
综合性较强，属知识依托：平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，所以求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法.求二面角的大小也可应用面积射影法. 解：(1)证明：如上图所示，由勾股定理，得B ′E =ED =DF =FB ′=2
5
a ,下证B ′、E 、D 、F 四点共面，取AD 中点G ，连结A ′G 、EG ，由EG
AB
A ′
B ′知，B ′EGA ′是平行四边形.
∴B ′E ∥A ′G ,又A ′F
DG ,∴A ′GDF 为平行四边形.
∴A ′G ∥FD ，∴B ′、E 、D 、F 四点共面 故四边形B ′EDF 是菱形.
(2)解：如图所示，在平面ABCD 内，过C 作CP ∥DE ，交直线AD 于P ， 则∠A ′CP (或补角)为异面直线A ′C 与DE 所成的角. 在△A ′CP 中，易得A ′C =3a ，CP =DE =25a ,A ′P =2
13a 由余弦定理得cos A ′CP =
15
15
故A ′C 与DE 所成角为arccos
15
15. (3)解：∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上.如下图所示. 又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线， 故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′ 在Rt △B ′AD 中，AD =2a ，AB ′=2a ,B ′D =2a 则cos ADB ′=
3
3 故AD 与平面B ′EDF 所成的角是arccos
3
3. (4)解：如图，连结EF 、B ′D ，交于O 点，显然O 为B ′D 的中点，从而O 为正方形ABCD —A ′B ′C ′D 的中心.
作OH ⊥平面ABCD ，则H 为正方形ABCD 的中心， 再作HM ⊥DE ，垂足为M ，连结OM ，则OM ⊥DE ，
故∠OMH 为二面角B ′—DE ′—A 的平面角.
在Rt △DOE 中，OE =
22a ,OD =23a ,斜边DE =25a , 则由面积关系得OM =1030
=
⋅DE OE OD a 在Rt △OHM 中，sin OMH =6
30
=
OM OH 故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为arcsin 6
30. 点评：主要考察斜线与平面所成角的概念及公式cos θ=cos θ1·cos θ2的应用，证明平面与平面垂直，主要依据是面面垂直判定定理，即只要在一个平面内找一条直线恰好与另一平面垂直即可。
(★★)例2、已知直角三角形ABC 的两直角边AC ＝2，BC ＝3，P 是斜边AB 上的一点，如图(1)，现沿CP
将此直角三角形折成直二面角A —CP —B ,当AB ＝7时，求二面角P —AC —B 的大小.
分析：本题是折叠问题，不妨先作一个题意相同的直角三角形的模型，然后按照题意进行折叠，在实图上作出二面角P —AC —B ；然后再回到图形中，互相对照，理解之后再予以解答.
解：如图(2)，过B 作CP 延长线的垂线，垂足E ，过E 作AC 的垂线，垂足为D ，连BD .
∵平面APC ⊥平面BPC ，且BE ⊥CE ， ∴BE ⊥平面APC .
而ED ⊥AC ,∴BD ⊥AC .
∴∠BDE 是二面角P —AC —B 的平面角.
∵AC =2,BC =3,AB =7,
∴cos ∠ACB =2
1
3223222=⨯⨯+,
∴∠ACB =60°.
∴BD =3sin60°=
333,CD =21BC =2
3
. 设∠PCB =θ,则∠ACP =90°-θ,利用∠CDE =∠CEB =90°,
得)
90cos(23θ-︒=3cos θ, 2sin θcos θ=1,sin 2θ=1. ∴2θ=90°,θ=45°. ∴BE =BC sin 45°=3×
2
2
322=
. 例3 (1) 例3 (2)
∴sin ∠BDE =3
6
233223==BD BE , ∴∠BDE =arcsin .3
6
(★★)例3、如图，已知ABCD 是矩形，AB =a ,AD =b ,P A ⊥平面ABCD ，P A =2c ,Q 是P A 的中点. 求：(1)Q 到BD 的距离；(2)P 到平面BQD 的距离.
分析：空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、 点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离. 解：(1)在矩形ABCD 中，作AE ⊥BD ，E 为垂足
连结QE ，∵QA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理得QE ⊥BE ∴QE 的长为Q 到BD 的距离 在矩形ABCD 中，AB =a ,AD =b , ∴AE =
2
2
b
a a
b +
在Rt △QAE 中，QA =
2
1
P A =c ∴QE =2
22
22
b a b a
c ++
∴Q 到BD 距离为2
22
22
b
a b a c ++. (2)解法一：∵平面BQD 经过线段P A 的中点， ∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离 在△AQE 中，作AH ⊥QE ，H 为垂足
∵BD ⊥AE ,BD ⊥QE ,∴BD ⊥平面AQE ∴BD ⊥AH ∴AH ⊥平面BQE ，即AH 为A 到平面BQD 的距离. 在Rt △AQE 中，∵AQ =c ,AE =
2
2
b
a a
b +
∴AH =
2
22
2
2
)(b
a c
b a ab
c ++
∴P 到平面BD 的距离为
2
22
2
2
)(b
a c
b a ab
c ++
解法二：设点A 到平面QBD 的距离为h ，由
V A —BQD =V Q —ABD ,得31S △BQD ·h =3
1S △ABD ·AQ h =
2
22
2
2
)(b
a c
b a ab
c S AQ
S BQD
ABD ++=
=⋅∆∆
(★★)例4、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离.
分析：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得，然而求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.
解： 解法一：如图，连结AC 1，在正方体AC 1中，∵A 1C 1∥AC ,∴A 1C 1∥平面AB 1C ，∴A 1C 1与平面AB 1C 间的距离等于异面直线A 1C 1与AB 1间的距离.
连结B 1D 1、BD ，设B 1D 1∩A 1C 1=O 1,BD ∩AC =O ∵AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1， ∴AC ⊥平面BB 1D 1D
∴平面AB 1C ⊥平面BB 1D 1D ，连结B 1O ，则平面AB 1C ∩平面BB 1D 1D =B 1O 作O 1G ⊥B 1O 于G ，则O 1G ⊥平面AB 1C ∴O 1G 为直线A 1C 1与平面AB 1C 间的距离， 即为异面直线A 1C 1与AB 1间的距离.
在Rt △OO 1B 1中，∵O 1B 1=22
，OO 1=1， ∴OB 1=2
1121B O OO += 2
6
∴O 1G =
331111=⋅OB B O O O ，即异面直线A 1C 1与AB 1间距离为3
3
.
解法二：如图，在A 1C 上任取一点M ，作MN ⊥AB 1于N ，作MR ⊥A 1B 1于R ，连结RN ， ∵平面A 1B 1C 1D 1⊥平面A 1ABB 1，∴MR ⊥平面A 1ABB 1，MR ⊥AB 1 ∵AB 1⊥RN ，设A 1R =x ,则RB 1=1－x ∵∠C 1A 1B 1=∠AB 1A 1=45°， ∴MR =x ,RN =NB 1=
)1(2
2
x - 3
1
)31(23)1(2122222+-=-+=+=x x x RN MR MN （0＜x ＜1）
∴当x =3
1
时，MN 有最小值33即异面直线A 1C 1与AB 1距离为33.
巩固练习：
(★★★)1、设△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =120° 求：(1)直线AD 与平面BCD 所成角的大小；
(2)异面直线AD 与BC 所成的角； (3)二面角A —BD —C 的大小.
解：(1)如图，在平面ABC 内，过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，则AH ⊥平面DBC ，
∴∠ADH 即为直线AD 与平面BCD 所成的角.由题设知△AHB ≌△AHD ， 则DH ⊥BH ，AH =DH ， ∴∠ADH =45°
(2)∵BC ⊥DH ，且DH 为AD 在平面BCD 上的射影， ∴BC ⊥AD ，故AD 与BC 所成的角为90°.
(3)过H 作HR ⊥BD ，垂足为R ，连结AR ，则由三垂线定理知，AR ⊥BD ，故∠ARH 为二面角A —BD —C 的平面角的补角.设BC =a ,则由题设知，AH =DH =
2,23a BH a =,在△HDB 中，
HR =43a ，∴tan ARH =HR
AH
=2 故二面角A —BD —C 大小为π－arctan2.
(★★)2、如图所示，四面体P -ABC 中，AP 、AB 、AC 两两垂直，且P A =2,AB =3,AC =4，求二面角P —BC —A 的正切值.
分析：本题的关键是找二面角的平面角，而找二面角的平面角最常用的方法是利用三垂线定理，及其逆定理来处理.
解： ∵P A 、AB 、AC 两两垂直，
∴P A ⊥平面ABC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连结PD ， 由三垂线定理知，PD ⊥BC ，根据二面角的平面角定义， ∠PDA 为所求的角，在Rt △ABC 中，
AB =3,AC =4,∴BC =5,
又∵
21AB ·A C =21BC ·AD ,可求得AD =5
12
. ∴tan ∠PDA =65
5
122==AD PA .
(★★)3、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =3，CC 1=2，如图： (1)求证：平面A 1BC 1∥平面ACD 1； (2)求(1)中两个平行平面间的距离； (3)求点B 1到平面A 1BC 1的距离.
解：(1)证明：由于BC 1∥AD 1，则BC 1∥平面ACD 1
同理，A 1B ∥平面ACD 1，则平面A 1BC 1∥平面ACD 1
(2)设两平行平面A 1BC 1与ACD 1间的距离为d ，则d 等于D 1到平面A 1BC 1的距离.易求A 1C 1=5，
A 1
B =25，B
C 1=13，则cos A 1BC 1=
65
2,则sin A 1BC 1=
65
61,则S 111C B A ∆=61,由于111111D C A B BC A D V V --=，
则
31S 11BC A ∆·d =)2
1
(31111D C AD ⋅·BB 1,代入求得d =616112,即两平行平面间的距离为616112.
(3)解：由于线段B 1D 1被平面A 1BC 1所平分，则B 1、D 1到平面A 1BC 1的距离相等，则由(2)知点B 1到
平面A 1BC 1的距离等于
61
61
12. (★★★)4、已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B 且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°,AB =a ,求： (1)截面EAC 的面积；
(2)异面直线A 1B 1与AC 之间的距离； (3)三棱锥B 1—EAC 的体积.
解：(1)连结DB 交AC 于O ，连结EO ，
∵底面ABCD 是正方形
∴DO ⊥AC ，又ED ⊥面ABCD ∴EO ⊥AC ，即∠EOD =45° 又DO =
22a ，AC =2a ，EO =︒
45cos DO
=a ，∴S △EAC =22a (2)∵A 1A ⊥底面ABCD ，∴A 1A ⊥AC ，又A 1A ⊥A 1B 1 ∴A 1A 是异面直线A 1B 1与AC 间的公垂线 又EO ∥BD 1，O 为BD 中点，∴D 1B =2EO =2a
∴D 1D =2a ，∴A 1B 1与AC 距离为2a
(3)连结B 1D 交D 1B 于P ，交EO 于Q ，推证出B 1D ⊥面EAC ∴B 1Q 是三棱锥B 1—EAC 的高，得B 1Q =
2
3
a 3
24
22322311a a a V EAC B =⋅⋅=-
课堂检测：
(★★★)1、已知∠AOB =90°,过O 点引∠AOB 所在平面的斜线OC ，与OA 、OB 分别成45°、60°，则以OC 为棱的二面角A —OC —B 的余弦值等于_________.
解：在OC 上取一点C ，使OC =1，过C 分别作CA ⊥OC 交OA 于A ，CB ⊥OC 交OB 于B ，则AC =1，，OA =2，BC =3，OB =2，Rt △AOB 中，AB 2=6，△ABC 中，由余弦定理，得cos ACB =－
3
3
. (★★★)2、设D 是△ABC 的BC 边上一点，把△ACD 沿AD 折起，使C 点所处的新位置C ′在平面ABD 上的射影H 恰好在AB 上.
(1)求证：直线C ′D 与平面ABD 和平面AHC ′所成的两个角之和不可能超过90°； (2)若∠BAC =90°，二面角C ′—AD —H 为60°，求∠BAD 的正切值.
解：(1)证明：连结DH ，∵C ′H ⊥平面ABD ，∴∠C ′DH 为C ′D 与平面ABD 所成的角且平面C ′HA ⊥平面ABD ，过D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，则DE ⊥平面C ′HA .
故∠DC ′E 为C ′D 与平面C ′HA 所成的角 ∵sin DC ′E =
D C D
E '≤D
C DH
'=sin DC ′H ∴∠DC ′E ≤∠DC ′H ,
∴∠DC ′E +∠C ′DE ≤∠DC ′H +∠C ′DE =90° (2)解：作HG ⊥AD ，垂足为G ，连结C ′G ,
则C ′G ⊥AD ，故∠C ′GH 是二面角C ′—AD —H 的平面角 即∠C ′GH =60°，计算得tan BAD =
2
2
. (★★)3、如左下图，空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则P 与Q 的最短距离为_________.
解：以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，因为AQ =BQ =
2
2
a ,∴PQ ⊥AB ,同理可得PQ ⊥CD ，故线段PQ 的长为P 、Q 两点间的最短距离，在Rt △APQ 中，PQ =2
2)2()23(
2222=-=-a a AP AQ a (★★)4、如右上图，ABCD 与ABEF 均是正方形，如果二面角E —AB —C 的度数为30°，那么EF 与平面ABCD 的距离为_________.
解：显然∠F AD 是二面角E —AB —C 的平面角，∠F AD =30°,过F 作FG ⊥平面ABCD 于G ，则G 必在AD
上，由EF ∥平面ABCD .
∴FG 为EF 与平面ABCD 的距离，即FG =
2
a . (★★★)5、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =2
π
,AB = 31AD =a ,∠ADC =arccos 552,P A ⊥面ABCD
且P A =a .
(1)求异面直线AD 与PC 间的距离；
(2)在线段AD 上是否存在一点F ，使点A 到平面PCF 的距离为3
6. 解：(1)∵BC ∥AD ,BC ⊂面PBC ,∴AD ∥面PBC
从而AD 与PC 间的距离就是直线AD 与平面PBC 间的距离. 过A 作AE ⊥PB ，又AE ⊥BC ∴AE ⊥平面PBC ，AE 为所求. 在等腰直角三角形P AB 中，P A =AB =a ∴AE =
2
2a (2)作CM ∥AB ，由已知cos ADC =55
2 ∴tan ADC =
21,即CM =2
1DM ∴ABCM 为正方形，AC =2a ,PC =3a 过A 作AH ⊥PC ,在Rt △P AC 中，得AH =3
6
下面在AD 上找一点F ，使PC ⊥CF
取MD 中点F ，△ACM 、△FCM 均为等腰直角三角形 ∴∠ACM +∠FCM =45°+45°=90°
∴FC ⊥AC ,即FC ⊥PC ∴在AD 上存在满足条件的点F .
回顾总结
1、无论是求角还是求距离，其方法大致可以分为两类：一类是直接法，即作出所求的角和距离；另一类是转化法；
2、异面直线的距离，除求公垂线段外，通常划归为线面距离、面面距离；而线面距离、面面距离通常转
化为点面距离；
沪教版（上海）高中数学度高三数学二轮复习 类比专题之 类比与转化② ------平面几何与立体几何类比 课前引入 将空间问题转化为熟知的平面问题是研究立体几何问题最重要的数学方法之一。如线面垂直的判定定理转化为三角形全等的平面几何问题；教材中的几种多面体和旋转体的侧面积公式的推导（除球面和球冠外）、侧面上最短线问题都是通过侧面展开转化为平面几何问题；旋转体的有关问题不也是转化为关于轴截面的平面几何问题吗？其实，立体几何中的三种角（线线角、线面角、二面角）和四种距离（线线距、点面距、线面距、面面距）从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转化。 教学目标 1、掌握平面几何和立体几何的类比关系； 2、利用类比原则解题 知识梳理 平面内的一般三角形与空间中的四面体性质类比 注意点：这些知识要根据学生的情况给到，进行适当删减，不能全部给到学生，否则时间不够。 三角形四面体 三角形两边之和大于第三边. 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面 积． 三角形的三条内角平分线交于一点且该点是三角形内切圆的圆心. 四面体的六个二面角的平分面交于一点，且该点是四面体内切球的球心． 三角形任意两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边的一半. 四面体任意三条棱的中点连成的三角形的面积等于第四个面面积的 1 4 ,且该三角形所在平面平行于第四个面. 三角形的任何一条边上的中线将三角形分成面积相等的两部分. 四面体的任何一个三角形面上的一条中线和这个三角形所在平面外一顶点所确定的平面将这个四
典例精讲 平面几何和立体几何之间常见的类比关系 （一） “直线”类比为“__平面___”，“角”类比为“___二面角 _____”，“角的两边”类比为“____构成二面角的两个半平面____________”等．（★） 例1、（★）对于平面几何中的命题：“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补．”在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“___如果两个二面角的平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补_______________________． ”其真假性是___真______． 变式练习、（★）我们所熟悉的从平面几何定理到立体几何定理还有不少类比的实例，例如： (1)平几：平行于同一直线的两直线平行； 立几：平行于同一平面的两平面平行． (2)平几：垂直于同一直线的两直线平行； 立几：垂直于同一平面的两直线平行；垂直于同一直线的两平面平行． (3)平几：如果一条直线垂直于两平行直线中的一条直线，那么它也和另一条直线垂直； 立几：如果一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，那么它也和另一个平面垂直； (4)平几：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； 面体分成体积相等的两部分． 三角形的三条中线交于一点，且三角形的每一条中线被该点分成的两段的比为2：1. 将四面体的每一个顶点和对面的重心相连接，所得四条线段交于一点，且其中每一条线段被交点分成的两段的比都是3：1 在ΔABC 中，A ∠的平分线交BC 于D ，则AB BD AC DC = ； 在四面体ABCD 中，二面角C-AB-D 的平分面交棱CD 于点E ，则，BCE ABC BDE ABD S S S S ∆∆∆∆=； 在ΔABC 中， a b c sin A sin B sinC == （正弦定理） 在四面体ABCD 中，棱AB 与面ACD 、BCD 的夹角分别α，β，则 BCD ACD S S sin sin αβ ∆∆= 设ΔABC 的三边长分别为a 、b 、c ，ΔABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，外接圆半径为R ，则 （1）2S r a b c = ++ （2）2R r ≥ 四面体S —ABCD 的四个侧面的面积分别为1S ， 2S ，3S ，4S ，内切球的半径为r ，外接球的半径 为R ，则（1）1234 3V r S S S S = +++ （2）3R r ≥
1.3.3 立体几何综合 一、选择题 1．若平面α，β的法向量分别为n 1＝(2,3,5)，n 2＝(－3,1，－4)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥β C ．α，β相交但不垂直 D ．以上均有可能 解析：因为不存在实数λ使得n 1＝λn 2，因此n 1与n 2不平行，又n 1·n 2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，所以n 1与n 2不垂直，从而平面α，β相交但不垂直．故选C. 答案：C 2．已知空间中两点P 1(x,3,2)和P 2(5,7,4)的距离为6，则实数x 的值为( ) A ．1 B.9 C ．1或9 D.－1或9 解析：空间中两点P 1(x,3,2)和P 2(5,7,4)的距离为6， 可得(x －5)2 ＋(3－7)2 ＋(2－4)2 ＝6，解得x ＝1或x ＝9. 答案：C 3．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD → |＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→ |等于( ) A ．5 B.6 C ．4 D.8 解析：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→ ＝a ＋b ＋c ， AC 1→2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·c ＋2b·c ＋2c·a ＝25，因此|AC 1→ |＝5. 答案：A 4．设O －ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB → ＋zOC → ，则(x ，y ，z )为( ) A.? ????14，14，14 B.? ????34，34，34 C.? ?? ??13，13，13
2021年高考数学二轮复习难点2.7 立体几何中的空间角与距离教学案理 立体几何中的“角”与“距离”是定量分析空间几何元素（点、线、面）间位置关系的两个重要的几何量,在研究这些“角”和“距离”时,常将空间问题转化为平面问题来处理,这是化归思想在立体几何中的具体应用. 空间角是考查学生对立体几何中的视图、空间想象能力、逻辑推理能力以及运算能力的一个综合知识点;空间距离既能考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力,又能考查学生的转化思想及运算能力,空间距离的计算也是学生感觉较难的部分.在求解空间的角与距离的问题时,一般应包括三个部分:求作、论证和计算,这三部分是一个统一的整体.求空间中的角或距离的常用方法注意根据定义找出或作出所求的角或距离，给出证明，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置.求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活地转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离. 空间向量是高中数学立体几何中新增加的内容 .借助于空间向量工具，可以对一些传统解法中较为繁琐的问题加以定量化 ,从而降低了思维难度 ,增强了可操作性 ,使学生对立体几何更容易产生兴趣 .空间向量在角和距离的处理上有着独特的优势 ,它最大限度地避开了思维的高强度转换 ,避开了各种辅助线添加的难处 ,代之以空间向量的计算 ,有利于我们较好地解决问题 . 1 异面直线所成的角 异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的.因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小.在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力.新教材对立体几何的处理有了一些新的变化，淡化了对学生作图
高三数学总复习专题9 立体几何 方法点拨 1．求解几何体的表面积及体积的技巧 （1）求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上． （2）求不规则几何体的体积，常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体易于求解． 2．判断与空间位置关系有关的命题真假的方法 （1）借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断． （2）借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行判断． 3．利用空间向量证明空间垂直、平行的步骤 （1）建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系． （2）建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素． （3）通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系． （4）根据运算结果解释相关问题． 4．三种空间角与空间向量的关系 （1）线线角：设,a b 分别为异面直线,a b 的方向向量，则两异面直线所成的角θ满足cos a b a b θ⋅=⋅． （2）线面角：设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，则斜线l 与平面α所成的角θ满足sin l n l n θ⋅=．
（3）二面角 ①如图(Ⅰ)，AB ，CD 是二面角αβ--l 的两个半平面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小,AB CD θ=； ②如图(Ⅱ)(Ⅲ)，1n ，2n 分别是二面角αβ--l 的两个半平面,αβ的法向量，则二面角的大小θ满足121212 cos cos ,n n n n n n θ⋅==． 5．利用空间向量求解探索性问题的策略 （1）假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论． （2）在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解，是否有规定范围内的解”等．若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论． 6．求空间多面体的外接球半径的常用方法： （1）补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解． （2）利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径． （3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可． 经典试题汇编 一、选择题． 1．（四川省成都市2021-2022学年高三一模）在△ABC 中，已知AB ⊥BC ，
D C B A F E 南宫中学 高三二轮复习立体几何专题训练（1） 1．如图所示的多面体中， ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ,3BAD π ∠= ． (1)求证：平//CF AED 面B 面； (2))若BF BD a ==，求四棱锥A BDEF -的体积． 2. 如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E （不同于点D ），延长AE 交BC 于F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥 1A BCD -，如图2所示. （Ⅰ）若M 是FC 的中点，求证：直线DM //平面1A EF ； （Ⅱ）求证：BD ⊥1A F ； （Ⅲ）若平面 1A BD ⊥ 平面BCD ，试判断直线1A B 与直线CD 能否垂直？并说明理由. F E D A B C 3.（本小题共14分） 如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 是正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，M 和N 分别是AD 和BC 的中点。 （I ）求证：PM ⊥MN ； （II ）求证：平面PMN ⊥平面PBC ； （III ）在PA 上是否存在点Q ，使得平面QMN//平面PCD ？若在求出Q 点位置，并证明；若不存在，请说明理由。 4.(本小题满分12分) 如图，四边形ABCD 是菱形，四边形MADN 是矩形，平面MADN ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为MA ，DC 的中点，求证： (I)EF//平面MNCB ； (Ⅱ)平面MAC ⊥平面BND ． 1图 图 2 E D A 1 C B F M
A B C A 1 O B 1 C 1 5.如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,1 2 2AD CD AB ===, 点E 为AC 中点.将 ADC ∆沿AC 折起, 使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示. （I ）在CD 上找一点F ,使//AD 平面EFB ; （II ）求点C 到平面ABD 的距离. 6．（本小题满分12分） 如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，O 是AC 的中点，A1O ⊥平面ABC ，∠BCA=90°，AA1=AC=BC. （I ）求证： AC1⊥平面A1BC; （II ）若AA1=2，求三棱锥C-A1AB 的高的大小． 7.已知正方体1111 ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１）1C O 面 11 AB D ； （2）1A C ⊥面 11 AB D ． （3） 111AB D C BD 平面平面 O C 1 D 1 B 1 1 C D A B 8．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD 垂直于AB 和DC ，侧棱SA ⊥底面ABCD ，且SA = 2，AD = DC = 1，点E 在SD 上，且AE ⊥SD 。 （1）证明：AE ⊥平面SDC ； A B C D 图2 E B A C D 图1 E
第1讲空间几何体 1.[圆锥的结构特征] (2021·新高考Ⅰ卷,T3)已知圆锥的底面半径为√2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( B ) A.2 B.2√2 C.4 D.4√2 解析:由题意,设圆锥的母线长为l,因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长,圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径,则有2π·√2=π·l,解得l=2√2,所以该圆锥的母线长为2√2.故选B. 2.[球的外接问题] (2021·全国甲卷,T11)已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为( A ) A.√2 12B.√3 12 C.√2 4D.√3 4 解析:如图所示,因为AC⊥BC,所以AB为截面圆O1的直径,且AB=√2. 连接OO1,则OO1⊥平面ABC,OO1=√1-(AB 2)2=√1-(√2 2 )2=√2 2 ,所以三棱锥 O-ABC的体积V=1 3S△ABC·OO1=1 3 ×1 2 ×1×1×√2 2 =√2 12 .故选A.
3.[棱台的体积] (2022·新高考Ⅰ卷,T4)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m 时,相应水面的面积为140.0 km 2;水位为海拔157.5 m 时,相应水面的面积为180.0 km 2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m 上升到157.5 m 时,增加的水量约为(√7≈2.65)( C ) A.1.0×109 m 3 B.1.2×109 m 3 C.1.4×109 m 3 D.1.6×109 m 3 解析:如图,由已知得该棱台的高为157.5-148.5=9(m),所以该棱台的体积V=1 3×9×(140+√140×180+180)×106=60×(16+3√7)×106≈ 60×(16+3×2.65)×106=1.437×109≈1.4×109(m 3).故选C. 4.[圆锥的表面积与体积] (2022·全国甲卷,T9)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S 甲和S 乙,体积分别为V 甲和V 乙,若S 甲 S 乙=2,则 V 甲V 乙 等于( C ) A.√5 B.2√2 C.√10 D. 5√10 4 解析:法一 因为甲、乙两个圆锥的母线长相等,所以结合S 甲S 乙 =2可知,甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.不妨设两个圆锥的母线长为l=3,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r 1,r 2,高分别为h 1,h 2,则由题意知,两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的
§8.8立体几何中的向量方法(二)——求空间角距离
1.两条异面直线所成角的求法 设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则 2.斜线和平面所成的角 (1)斜线和它在平面内的射影的所成的角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角). (2)斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. 3.二面角 (1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)在二面角α—l —β的棱上任取一点O ，在两半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α—l —β的平面角. 4.空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1， m 2〉|. (2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|. (3)求二面角的大小 1°如图①，AB 、CD 是二面角α—l —β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD → 〉.
2°如图②③，n 1，n 2分别是二面角α—l —β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉. 概念方法微思考 1.利用空间向量如何求线段长度？ 提示 利用|AB →|2＝AB →·AB → 可以求空间中有向线段的长度. 2.如何求空间点面之间的距离？ 提示 点面距离的求法：
已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则点B 到平面α的距离为 |BO →|＝|AB →||cos 〈AB → ，n 〉|. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( × ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( × ) (4)两异面直线夹角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，直线与平面所成角的范围是⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤0，π2，二面角的范围是[0，π]. ( √ ) (5)若二面角α－a －β的两个半平面α，β的法向量n 1，n 2所成角为θ，则二面角α－a
2021年高考数学二轮复习难点.7立体几何中的空间角与距离 教学案理 2021年高考数学二轮复习难点2.7 立体几何中的空间角与距离教学案理 立体几何中的“角”与“距离”是定量分析空间几何元素（点、线、面）间位置关系的两个重要的几何量,在研究这些“角”和“距离”时,常将空间问题转化为平面问题来处理,这是化归思想在立体几何中的具体应用. 空间角是考查学生对立体几何中的视图、空间想象能力、逻辑推理能力以及运算能力的一个综合知识点;空间距离既能考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力,又能考查学生的转化思想及运算能力,空间距离的计算也是学生感觉较难的部分.在求解空间的角与距离的问题时,一般应包括三个部分:求作、论证和计算,这三部分是一个统一的整体.求空间中的角或距离的常用方法注意根据定义找出或作出所求的角或距离，给出证明，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置.求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活地转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离. 空间向量是高中数学立体几何中新增加的内容 .借助于空间向量工具，可以对一些传统解法中较为繁琐的问题加以定量化,从而降低了思维难度 ,增强了可操作性 ,使学生对立体几何更容易产生兴趣 .空间向量在角和距离的处理上有着独特的优势,它最大限度地避开了思维的高强度转换 ,避开了各种辅助线添加的难处 ,代之以空间向量的计算 ,有利于我们较好地解决问题 . 1 异面直线所成的角 异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的.因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小.在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力.新教材对立体几何的处理有了一些新的变化，淡化了对学生作图
第二篇 专题三 第1讲 一、选择题 1．如图，△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 的斜二测直观图，其中O ′C ′＝O ′A ′＝2O ′B ′，则以下说法正确的是( C ) A ．△ABC 是钝角三角形 B ．△AB C 是等腰三角形，但不是直角三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是等边三角形 【解析】根据题意，将△A ′B ′C ′还原成原图，如图， 原图中，则有OC ＝OA ＝OB ， 则△ABC 是等腰直角三角形； 故选C. 2．如图，半径为R 的球的两个内接圆锥有公共的底面．若两个圆锥的体积之和为球的体积的3 8 ，则这两个圆锥的高之差的绝对值为( D ) A ．R 2 B ．2R 3 C ．4R 3 D ．R 【解析】设球的球心为O ，半径为R ，体积为V ，上面圆锥的高为h (h
∵V 1＋V 2＝3 8 V ， ∴13πr 2h ＋13πr 2H ＝38×4 3 πR 3， ∴r 2(h ＋H )＝32R 3.∵h ＋H ＝2R ，∴r ＝32R . ∵OO 1垂直于圆锥的底面， ∴OO 1垂直于底面的半径，由勾股定理可知R 2＝r 2＋|OO 1|2， ∴R 2＝r 2＋(H －R )2，∴H ＝32R ，∴h ＝1 2R ， 则这两个圆锥的高之差的绝对值为R ，故选D. 3．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1 S 2 等于( C ) A ．1 2 B ．1 3 C ．1 4 D ．18 【解析】如图，由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r ，l 为底面圆周长，R 为母线长， 则1 2lR ＝2πr 2， 即1 2·2π·r ·R ＝2πr 2， 解得R ＝2r ， 故∠ADC ＝30°，则△DEF 为等边三角形， 设B 为△DEF 的重心，过B 作BC ⊥DF ， 则DB 为圆锥的外接球半径，BC 为圆锥的内切球半径， 则 BC BD ＝12，∴r 内r 外＝12 ，故S 1S 2＝1 4. 4．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，动点E 在BB 1上，动点F 在A 1C 1上，O 为底面ABCD 的中心，若BE ＝x ，A 1F ＝y ，则三棱锥O －AEF 的体积( B )
命题点15空间角与空间距离(一) 大题突破 1．[2022·北京卷]如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点． (1)求证：MN∥平面BCC1B1； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：AB⊥MN； 条件②：BM＝MN. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，那么按第一个解答计分． 2．[2022·全国甲卷]在四棱锥P ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB ＝1，AB＝2，DP＝3.
(1)证明：BD⊥P A； (2)求PD与平面P AB所成的角的正弦值． 3．[2022·全国乙卷]如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E 为AC的中点． (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．
4．[2020·新高考Ⅰ卷] 如图，四棱锥P ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面P AD与平面PBC的交线为l. (1)证明：l⊥平面PDC； (2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 5．[2022·福建福州三模]如图1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝3，E是AB 的中点，D在AC上，DE⊥AB.沿着DE将△ADE折起，得到几何体A BCDE，如图2 (1)证明：平面ABE⊥平面BCDE； (2)若二面角A DE B的大小为60°，求直线AD与平面ABC所成角的正弦值．
考点突破练8 空间向量与空间角、距离 1. (2022·全国乙·理18)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点. (1)证明:平面BED⊥平面ACD; (2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求CF与平面ABD所成的角的正弦值. 2. (2022·辽宁葫芦岛一模)如图所示,在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,AB=1,A1A=. (1)证明:A1E⊥CE1; (2)求二面角A1-CE1-F的正弦值.
3.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,AB=BC=BB1=1. (1)求证:AC∥平面BA1C1; (2)若AB⊥BC,求: ①AA1与平面BA1C1所成角的正弦值; ②直线AC与平面BA1C1的距离.
4. (2022·甘肃兰州一模)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,点E为棱PC上的一点(与P,C不重合),点M,N分别在棱PD,PB上,平面EMN∥平面ABCD. (1)求证:BD∥平面AMN; (2)若E为PC的中点,PC=BC=BD=2,∠PBC=,PC⊥BD,求二面角E-MN-A的正弦值. 5.(2022·海南文昌中学练习)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为长方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,E为线段PB的中点. (1)若点F在线段BC上运动,求证:AE⊥EF;
(2)从下面两个条件中任选一个作为后面的条件补充,条件①:二面角P-CD-A的平面角大小为45°;条件②:直线PC与平面PAB所成角的正切值为.若F为线段BC的中点,且(从上面两个条件选一个),求:二面角E-AF-B的余弦值. 6. (2022·山东菏泽一模)如图所示,圆柱的轴截面ABCD是正方形,点E在底面圆周上,AF⊥DE,点F 为垂足.
专题02 大题专攻（一）（立体几何中的空间角与距离问题） 目录 题型一：求线面角 题型二：求二面角 题型三：求空间距离 应用体验 精选好题做一当十 题型一：求线面角 1．（2021·安徽·合肥市第八中学高二期中）如图.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点． （1）求证：1//BD 平面ACE ； （2）求直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值． 2．（2021·河北·藁城新冀明中学高三月考）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形， PB BC ⊥，PD CD ⊥，且2PA =，E 为PD 的中点． （1）求证：PA ⊥平面ABCD ； （2）求PC 与平面ACE 所成角的正弦值． 题型二：求二面角
1．（2021·吉林·东北师大附中高二期中）如图，四棱锥P ABCD -中，PAB ∆为等边三角形，平面PAB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，其中90ABC BAD ∠=∠=︒，2AD AB ==，1BC =，M 为线段PD 中点. （1）证明：AM ⊥平面PCD ； （2）求平面PAC 与平面MAC 的夹角的余弦值. 2．（2021·重庆市第十一中学校高二期中）在如图所示的几何体中，平面ADNM ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，四边形ADNM 是矩形，3 DAB π ∠=，2AB =，1AM =，E 是AB 的中点． （1）求证：DE ⊥平面ABM ； （2）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为4 π ？若存在，求出AP 的长；若不存在，请说明理由． 题型三：求空间距离
高考数学一轮复习学案：立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离（含答案） 8.8立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法二二求空间求空间角和距离角和距离最新考纲考情考向分析 1.能用向量方法解决直线与直线.直线与平面.平面与平面所成角的计算问题 2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.本节是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异面直线所成角.直线和平面所成角.二面角及空间距离等内容，考查热点是空间角的求解题型以解答题为主，要求有较强的运算能力，广泛应用函数与方程的思想.转化与化归思想.1两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角a与b的夹角范围0，20，求法cos|ab||a||b|cosab|a||b| 2.直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，a与n的夹角为，则 sin|cos||an||a||n|.3求二面角的大小1如图，AB，CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小AB，CD2如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos||cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角或其补角知识拓展利用空间向量求距离供选用1两点
间的距离设点Ax1，y1，z1，点Bx2，y2，z2，则 |AB||AB|x1x22y1y22z1z 22.2点到平面的距离如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离为|BO||ABn||n|.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角2直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角3两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角4两异面直线夹角的范围是0，2，直线与平面所成角的范围是0，2，二面角的范围是0，5若二面角a的两个半平面，的法向量n1，n2所成角为，则二面角a的大小是.题组二 教材改编2P104T2已知两平面的法向量分别为m0,1,0， n0,1,1，则两平面所成的二面角为A45B135C45或135D90答案C 解析cosm，nmn|m||n|11222，即m，n45.两平面所成二面角为45或18045135.3P117A组T42如图，正三棱柱底面是正三角形的直棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为______答案6解析以A为原点，以AB，AEAEAB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，设D为A1B1的中点，则A0,0,0，C11，3，22， D1,0,22，AC11，3，22，AD1,0,22C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角，cosC1ADAC1AD|AC1||AD|1，3，221，0，2212932，又 C1AD0，2，C1AD
立体几何 1．一个物体的三视图的排列规则是俯视图放在正(主)视图下面，长度与正(主)视图一样，侧(左)视图放在正(主)视图右面，高度与正(主)视图一样，宽度与俯视图一样，即“长对正，高平齐，宽相等”．在画一个物体的三视图时，一定注意实线与虚线要分明． [问题1] 如图，若一个几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均为面积 等于2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为________． 答案 43 2．在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x 轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y 轴的线段平行性不变，长度减半．” [问题2] 如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的 直观图，则这个平面图形的面积是________． 答案 22 3．简单几何体的表面积和体积 (1)S 直棱柱侧＝c ·h (c 为底面的周长，h 为高)． (2)S 正棱锥侧＝12 ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)． (3)S 正棱台侧＝12 (c ′＋c )h ′(c 与c ′分别为上、下底面周长，h ′为斜高)． (4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl (r 为底面半径，l 为母线)， S 圆锥侧＝πrl (同上)， S 圆台侧＝π(r ′＋r )l (r ′、r 分别为上、下底的半径，l 为母线)． (5)体积公式 V 柱＝S ·h (S 为底面面积，h 为高)， V 锥＝13 S ·h (S 为底面面积，h 为高)， V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (S 、S ′为上、下底面面积，h 为高)． (6)球的表面积和体积 S 球＝4πR 2，V 球＝4 3 πR 3.
二轮大题专练15—立体几何（线线角、线面角） 1．已知四棱锥S ABCD ∠=︒，SBC ∆为等边三角形， ABC -中，四边形ABCD是菱形，且120 平面SBC⊥平面ABCD． （Ⅰ）求证：BC SD ⊥； （Ⅱ）若点E是线段SA上靠近S的三等分点，求直线DE与平面SAB所成角的正弦值． 证明：（Ⅰ）取BC的中点F，连接BD、DF和SF， 因为SBC ∆为等边三角形，所以SF BC ⊥； 又四边形ABCD是菱形，且120 ∠=︒， ABC 所以BCD ∆为等边三角形，所以DF BC ⊥； 又SF DF F =，SF⊂平面SDF，DF⊂平面SDF， 所以BC⊥平面SDF，又SD⊂平面SDF， 所以BC SD ⊥； （Ⅱ）解：因为平面SBC⊥平面ABCD，平面SBC⋂平面ABCD BC =，⊥，SF⊂平面SBC，所以SF⊥平面ABCD； SF BC 又DF BC ⊥，所以SF、BC、DF两两垂直； 以点F为坐标原点，FC、FD、FS所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系F xyz -，
如图所示； 不妨设2AB =，则(2A -30)，(1B -，0，0)，(0S ，03)； 所以(1AB =，3-0)，(2AS =，3-3)； 设平面SAB 的一个法向量为(m x =，y ，)z ， 由00m AB m AS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得30 2330 x x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩， 令1y =，得(3m =，1，1)-， 又12(33SE SA ==-3，3，所以2(3E -323)， 又(0D 30)，所以2 (3 DE =-，2323， 设直线DE 与平面SAB 所成的角为θ， 则232323 ||| 3105333sin |||| 41212 311999 DE m DE m θ-⋅= = = ⨯++⨯++ 2．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，6AD =，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且1AE =， 4BF =，沿EF 将四边形AEFB 折成四边形A EFB ''，使点B '在平面CDEF 上的射影H 在直 线DE 上． （1）求证：平面B CD '⊥平面B HD '； （2）求证：//A D '平面B FC '； （3）求直线HC 与平面A ED '所成角的正弦值．
立体几何—空间角与空间距离 专题综述 空间角度与空间距离的推理、比较与计算，是高考考查的重点.求解方法既可以选择几何法，又可以选择向量法，在解决空间背景下及建系困难的几何体中的角与距离时，几何法更具优势，在解决简单几何体中的角与距离及探究性问题时，向量法更具优势.因此,选择合适的方法，确保快速解决问题.另外，两种方法都要求熟练准确的运算，且具有较高的直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养. 专题探究 探究1：综合法 解决立体图形中角度和距离问题的思路： 立体几何平面化→平面几何三角化→三角问题定理化. 即把空间立体几何的问题转化为平面几何的问题，再把平面几何的问题转化为解三角形问题. 答题思路一：综合法求解空间角 （1）求异面直线成角的方法 ①平移：平移已有的平行线，或选择适当的点（线段的中点或端点），做平线性平移，或 补形平移；
② 证明：证明所作的角是异面直线所成的角或是其补角； ③ 寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，解三角形； ④ 取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0, 2π⎛ ⎤ ⎥⎝ ⎦ ，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． （2）求线面角的方法： （I ）定义法： ① 先确定斜线与平面，找到线面的交点A 为斜足；找线在面外的一点B ，过点B 向平面α做垂线，确定垂足O ； ② 连结斜足A 与垂足O ,OA 为斜线AB 在面α内的投影；投影OA 与斜线AB 之间的夹角为线面角； ③ 把投影OA 与斜线AB 归到三角形中进行求解. （2）间接法： 设斜线PA 与平面α所成角为θ，则sin P h PA θ= （P h 为点P 到平面α的距离），转化为求点P 到平面α的距离，可利用等积转化或借助其他点求距离. （3）求二面角的方法：l αβ-- ① 点A 为平面α内一点，过点A 作AO l ⊥于点O ； ② 证明过点A 的直线AB ⊥平面β于点B ,连接OB ， AB l l ⇒⊥⇒⊥平面AOB ,OB l ⇒⊥， ⇒AOB ∠即为二面角l αβ--的平面角； ③ 解Rt AOB ∆. 答题思路二：综合法求解空间距离 空间中的距离：平行平面间的距离、平行平面的直线到平面的距离、点到平面的距离 ⇒转化为点到平面的距离 求点A 到平面α距离的方法： （1）直接法：
高中数学立体几何 空间距离 1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离 【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离； 【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线. (2)在Rt △BEF 中，BF = a 23 ,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2 12，即EF =a 22 . 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为 a 2 2 . 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED . ∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB . ∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离. ∵CE =23 ,∴CF =FD =2 1,∠EFC =90°,EF = 2221232 2 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛. ∴AB 、CD 的距离是 2 2 . 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： （1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度. （2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. 例1题图 例2题图
2022版新高考数学总复习--§8.4空间角与距离、空间向量及其应 用 —专题检测— 一、单项选择题 1.(2021河南十所名校4月联考,12)已知圆锥的底面圆心为O,顶点为S,侧面展开图对应扇形的圆心角为√3π,A,B是 底面圆周上的两点,SB与平面SOA所成角的正弦值为3 4 ,则SA与OB所成角的余弦值为() A.√3 4B.1 2 C.3 4 D.√3 2 答案A如图,设圆锥的底面半径为r,母线SA=l,高SO=h.由侧面展开图对应扇形的圆心角为√3π,得2πr l =√3π,得 r l =√3 2 ,所以SA与底面所成的角为∠SAO=30°,SA=SB=2h,r=√3h.过点B作BC⊥直线AO于点C,连接SC,AB.由圆锥的性 质可知,SO⊥平面AOB,因为BC⊂平面AOB,所以SO⊥BC,又SO∩OA=O,所以BC⊥平面SOA,所以∠BSC即直线SB与平面 SOA所成的角,sin∠BSC=BC SB =3 4 ,即BC 2ℎ =3 4 ,BC=3 2 h.在直角△BOC中,sin∠BOC=BC OB = 3 2ℎ √3ℎ =√3 2 ,所以∠BOC=60°.过A作AE∥OB 交圆O于E,则∠SAE(或其补角)即为SA与OB所成的角.连接SE,OE,因为∠EAO=∠BOC=60°,OA=OE,∴△AEO为等边三 角形,AE=OB=√3h,在△SAE中,易得cos∠SAE=√3 4 . 2.(2021山西晋中二模,6)如图,圆锥的轴截面ABC为正三角形,其面积为4√3,D为AB ⏜的中点,E为母线BC的中点,则异面直线AC,DE所成角的余弦值为() A.√2 4B.√2 2 C.√6 3 D.√3 3 答案B取AB的中点为O,连接OD,OC,AD,BD,因为△ABC是圆锥的轴截面,所以平面ABC⊥平面ABD,又D是AB⏜的中点,所以OD⊥AB,又平面ABC∩平面ABD=AB,OD⊂平面ABD,所以OD⊥平面ABC.又OC⊥AB,所以以O为坐标原点,以